Ena ˇcba za nihanje vp ete strune µ

(1)

Matematik a 4

5.vaja B.JurˇciˇcZlobec1 1UniverzavLjubljani, FakultetazaElektrotehniko 1000Ljubljana,Trˇzaˇska25,Slovenija MatematikaFE,Ljubljana,Slovenija28.maj2013

Ena ˇcba za nihanje vp ete strune µ

∂2u(x,t) ∂t2

=

∂ ∂x

T ( x )

∂u(x,t) ∂x

Strunajevpetavx=0inx=l,dolˇzinajel. Robnipogoji:u(0,t)=u(l,t)=0. Napetoststrune:T=konst. c2 =T µ,kjerjeµdolˇzinskagostotastrune. I1 c2∂2 u(x,t) ∂t2=∂2 u(x,t) ∂x2 ILoˇcitevspremenljivku(x,t)=X(x)T(t). ILastnefunkcije:−X00 =λ2 X,X(x)=sin(λx). ILastnevrednosti: zaradirobnihpogojevjeλl=nπ,n∈N,λn=nπ l. I

ˇ Casovni

delT00 +ω2 nT=0.ωn=cλn. ITn(t)=Ancos(ωnt)+Bnsin(ωnt) Iun(x,t)=sin(λnx)(Ancos(ωnt)+Bnsin(ωnt)).

Ena ˇcba za nihanje kro ˇze ˇce strune µ

∂2 u(x,t) ∂t2

=

∂ ∂x

T ( x )

∂u(x,t) ∂x

Strunadolˇzineljevpetavx=0. Robnipogoji:u(0,t)=0,|u(l,t)|<∞. Napetoststrune:dT=xω2 µdx,T(x)=µω2Rl xξdξ, T(x)=

1 22222 µω(l−x),c=

1 22 ω. IUvedemonovospremenljivkoξ=

x l. −22Icu=(1−ξ)u.ttξξ IRobnipogojiu(0,t)=0,|u(1,t)|<∞. ILoˇcitevspremenljvku(ξ,t)=Ξ(ξ)T(t). 0200020I−(1−ξ)Ξ=λΞ,(1−ξ)Ξ−2ξΞ+λΞ=0.

IReˇsitevjelihiLegendreevpolinom,kerjeu(0,t)=0. ILastnevrednostiλn=2n(2n−1). ILastnefunkcijeΞn(ξ)=P2n−1(ξ). I

ˇ Casovni

del:T00 +c2 λT=0,ωn=c√ λn=ωp n(2n−1). Tn(t)=Ancos(ωnt)+Bnsin(ωnt). Iun(x,t)=P2n−1(x/l)(Ancos(ωnt)+Bnsin(ωnt)).

(2)

Ena ˇcba za nihanje ob eˇsene strune µ

∂2u(x,t) ∂t2

=

∂ ∂x

T ( x )

∂u(x,t) ∂x

Obeˇsenastruna,vpetavx=lindolˇzinel.Osxjenavpiˇcna. Robnipogoji:|u(0,t)|<∞,|u(l,t)|=0. Napetoststrune:T(x)=gµx,c2 =g. I1 c2∂2 u(x,t) ∂t2=∂ ∂x x∂u(x,t) ∂x

. IUvedemonovospremenljivkox=ξ2 . I 2 c2 utt=1 ξ(ξuξ) ξ. ILoˇcimospremenljivkiu(ξ,t)=Ξ(ξ)T(t),−1 ξ(ξΞ0 )0 =λ2 Ξ. IΞ00 +1 ξΞ0 +λ2 Ξ=0.

IRobnipogojiΞ(√ l)=0,|Ξ(0)|<∞. IDiferencialnoenaˇcboreˇsiBesslovafunkcijaΞ(ξ)=J0(λξ). ILastnevrednosti:λ2 n=ξ^{2 0},n/l,kjerjeξ0,nn-taniˇclaBesslove funkcijeJ0(ξ). ILastnefunkcije:Ξn(ξ)=J0(λnξ). I

ˇ Casovni

del:T00 + c 2

2 λ2 T=0,ωn=1 2cλn. Tn(t)=Ancos(ωnt)+Bnsin(ωnt). Iun(x,t)=J0(λn√ x)(Ancos(ωnt)+Bnsin(ωnt)).

Nihanje ob eˇsene strune Nihanje vp ete okrogle memb rane ∆ u ( r , t ) =

1 c2∂2 u(r,t) ∂t2 Polmermembranejea.Gledamolastnanihanja,kinisoodvisnaod kota.∆u=urr+1 rur.Robnapogojau(a,t)=0in|u(0,t)|<∞. IEnaˇcbaurr+1 rur=1 c2utt. ILoˇcimospremenljivkeu(r,t)=R(r)T(t). I−(R00 +1 rR0 )=λ2 R,T00 +c2 λ2 T=0. IVpeljemonovoneznankoξ=rλ, d2 R(ξ) dξ2+1 ξdR(ξ) dξ+R(ξ)=0. IKerje|R(ξ)|<∞,jeR(ξ)=J0(ξ),R(r)=J0(λr). IUpoˇstevamoˇsedrugirobnipogojR(λa)=0,λa=ξ0,n, n-taniˇclaBesslovefunkcijeJ0(ξ),λn=ξ0,n a. IRn(r)=J0(λnr),T00 +c2 λ2 nT=0,ωn=cλn. Iun(r,t)=Rn(r)Tn(t)=J0(λnr)(Ancos(ωnt)+Bnsin(ωnt)).

(3)

Nihanja pravok otne memb rane ∆ u ( x , y , t ) =

1 c2∂2 u(r,t) ∂t2 Stranicistaainb.∆u=uxx+uyy.Robnipogoji u(0,y,t)=u(a,y,t)=u(x,0,t)=u(x,b,t)=0. IEnaˇcbauxx+uyy=1 c2utt. ILoˇcimospremenljivkeu(x,y,t)=X(x)Y(y)T(t). IEnaˇcbaX00 X+Y00 Y=1 c2T00 T,robnipogoji X(0)=X(a)=Y(0)=Y(b)=0. IProstorskidel:X00 +λ2 mX=0,Y00 +µ2 nY=0.Lastni vrednostiλm=mπ ainµn=nπ b,m,n∈N. I

ˇ Casovni

delT00 +ω2 mnT=0,ωmn=πcq m a2 +n b2 . ILastnefunkcijeumn(x,y,t)= sin(λmx)sin(µny)(Amncos(ωmnt)+Bmnsin(ωmnt)).

Dirichletov robni problem: ∆ u = 0 za p olpas, 0 < x < 1, 0 < y < ∞ .

Robnipogojiu(0,y)=0,u(1,y)=0,u(x,0)=1 limy→∞u(x,y)=0. IEnaˇcbauxx+uyy=0. ILoˇcimospremenljivkeu(x,y)=X(x)Y(y). IEnaˇcbaX00 X+Y00 Y=0,robnipogojiX(0)=X(1)=0,|Y(y)| jeomejenafunkcija0<y<∞. IX00 +λ2 nX=0,λn=nπn∈N. IXn(x)=sin(nπx)inYn(y)=Ane−nπy +Bnenπy . IKoeficientiBn=0,kerjefunkcijaY(y)omejena. Iu(x,y)=P∞ n=1Ansin(nπx)e−nπy . Iu(x,0)=P ∞ n=1Ansin(nπx)=1,An=21−(−1)2 nπ.

Graf k pr ej ˇsnji nalogi z = P

10 n=1

u

n

( x , y ) Dirichletov robni problem, ∆ u = 0 za kr og, 0 ≤ r ≤ 1.

Robnipogoji:|u(r,φ)|<∞,u(1,φ)=f(φ). IEnaˇcba:urr+1 rur+1 r2uφφ=0. ILoˇcimospremenljivke:u(r,φ)=R(r)Φ(φ). IEnaˇcba:R00 R+1 rR0 R+1 r2Φ00 Φ=0. IRobnipogoji:|R(r)|jeomejenafunkcija, Φ(φ)jeperiodiˇcnafunkcijasperiodo2π. IEnaˇcbi: IΦ00 +λnΦ=0,λn=n2 ,n∈Nin Ir2 R00 (r)+rR0 (r)−n2 R(r)=0. IΦn(φ)=Ansin(nφ)+Bncos(nφ)inRn(r)=rn . Iu(r,φ)=A0+P∞ n=1(Ancos(nφ)+Bnsin(nφ))rn . Iu(1,φ)=f(φ)=A0+P∞ n=1(Ancos(nφ)+Bnsin(nφ)).

(4)

Graf k pr ej ˇsnji nalogi z = P

10 n=1

u

n

( x , y ) , f ( φ ) = sign ( φ ) , − π ≤ φ ≤ π . Splo ˇsna nihanja vp ete okrogle memb rane: ∆ u =

1 c2

u

tt

0 ≤ r ≤ a .

Robnipogoji:|u(0,φ,t)|<∞,u(a,φ,t)=0, u(r,φ+2π,t)=u(r,φ,t),periodiˇcnost. Zaˇcetnipogoji:u(r,φ,0)=f(r,φ)inut(r,φ,0)=g(r,φ) IEnaˇcba:urr+1 rur+1 r2uφφ=1 c2utt. ILoˇcimospremenljivke:u(r,φ,t)=R(r)Φ(φ)T(t). IEnaˇcba:R00 R+1 rR0 R+1 r2Φ00 Φ=1 c2T00 T. IRobnipogoji:|R(0)|<∞,R(a)=0in Φ(φ)jeperiodiˇcnafunkcijasperiodo2π. IEnaˇcbe: IΦ00 +m2 Φ=0,m∈N, IT00 +c2 λ2 T=0, Ir2 R00 (r)+rR0 (r)+(λ2 r2 −m2 )R(r)=0, IVpeljemonovospremenljivkoξ=λrdobimoenaˇcbo Iξ2 R00 (ξ)+ξR0 (ξ)+(ξ2 −m2 )R(ξ)=0. ReˇsitevjeR(ξ)=AJm(ξ)+BNm(ξ). Iλmn=ξmn/a,ωmn=cλmn ξmnjen-taniˇclaBesslovefunkcijeJm(ξ). IReˇsitve: IΦm(φ)=sin(mφ), IRmn(r)=Jm(λmnr) ITmn=Amncos(ωmnt)+Bmnsin(ωmnt). Iu(r,φ,t)= X m,nsin(mφ)Jm(λmnr)(Amncos(ωmnt)+Bmnsin(ωmnt)).

Graf lastne funk cije u

2,3

( r ,φ, 0).

(5)

Prevajanje toplote p o palici z izoliranima kraji ˇsˇcema

uxx=1 σ2ut,ux(0,t)=ux(a,t)=0,u(x,0)=f(x). Iuxx(x,t)=1 σ2ut(x,t).u(x,t)=X(x)T(t). IX00 X=1 σ2T0 T. IKrajevnidel:X00 X=−λ2 IEnaˇcba:X00 +λ2 X=0. IX(x)=Acos(λx)+Bsin(λx). IRobnipogoji:X0 (x)=−Aλsin(λx)+Bλcos(λx). IX(0)=0→B=0,X(a)=0→λa=nπ,n∈N. ILastnefunkcijeXn(x)=cos(nπ ax).

I

ˇ Casovni

del:1 σ2T0 T=−nπ a2 .µn=σnπ a. IEnaˇcbaT0 +µ2 nT=0. ITn(t)=Ane−µ2 nt . ILastnefunkcije:un(x,t)=Ancos(nπ ax)e−µ2 nt . IZaˇcetnipogoj:f(x)=P ∞ n=0Ancos(nπ ax). IAn=2 aZa 0f(x)cos(nπ ax)dx,n>0. IReˇsitev:u(x,t)=A0+∞X n=1Ancos(nπ ax)e−µ2 nt . IStacionarnareˇsitevlim t→∞u(x,t)=A0=1 aZa 0f(x)dx.

T emp eratura na kraji ˇsˇcih je konstantna.

uxx=1 σ2ut,u(0,t)=τ0,u(a,t)=τainu(x,0)=f(x). IPiˇsˇcimostaconarnoreˇsitev,ut=0,tojereˇsitevneodvisnaod ˇcasa,uxx=0. IReˇsitevjelinearnafunkcija:u(x)=τ0+τa−τ0 ax. Iu(x,t)=u(x)+v(x,t),v(0,t)=v(a,t)=0. Iv(x,t)=X(x)T(t).X00 X=1 σ2T0 T=−λ2 . IX(x)=Acos(λx)+Bsin(λx),X(0)=X(a)=0. Ivn(x,t)=Ansin(nπ ax)e−(σnπ a)2 t . IReˇsitev:u(x,t)=τ0+τa−τ0 ax+∞X n=1Ansin(nπ ax)e−(σnπ a)2 t . IAn=2 aZa 0

f(x)− τ0+τa−τ0 ax sin(nπ ax)dx.

Re ˇsi P oissonov robni problem ∆ u = f v prosto ru. Iˇs ˇcemo re ˇsitev, ki je o dvisna le o d r = p x

2

+ y

2

+ z

2 ∆u=f,u(1)=1,u(0)<∞,f(r)=( 10≤r≤1 0drugod ILaplaceovoperator∆u(r)=∂2 u ∂u2+2 r∂u ∂r2. Ir2 u00 (r)+2ru0 (r)=( r2 0≤r<1 0r≤1<∞,u(1)=1,u(0)<∞. IEulerjevadiferencialnaenaˇcba,r=ex . Iu00 (x)+u0 (x)=( e2x −∞<x≤0 00<x<∞, u(0)=1,lim x→−∞u(x)<∞.

(6)

Iu(r)=−20c1+r5 θ(r)−r5 −5r+4 θ(r−1) 20r+c2 Iu(r)=1 20r4 θ(r)−1 20rr5 −5r+4 θ(r−1)

Re ˇsi P oissonov robni problem ∆ u = f v prosto ru. Iˇs ˇcemo re ˇsitev, ki je o dvisna le o d r = p x

2

+ y

2

+ z

2 ∆u=1,1<r<2,u(1)=0,u(2)=0 ILaplaceovoperator∆u(r)=∂2 u ∂u2+2 r∂u ∂r2. Ir2 u00 (r)+2ru0 (r)=r2 ,u(1)=0,u(2)=0. ISploˇsnareˇsitevu(r)=c1+c2r−1 +

1 62 r. 3 r−7r+6 Iu(r)=. 6r

Re ˇsevanje pa rcialnih diferencialnih ena ˇcb s p omo ˇcjo Laplaceove transfo rmacije.

Reˇsidiferencialnoenaˇcbo ∂u(x,t)∂u(x,t)2 +x=0,t>0,u(x,0)=0,u(0,t)=t. ∂x∂t ILaplaceovatransformacijaenaˇcbe: dU(x,s) I+x(sU(x,s)−u(x,0))=0. dx ZZ 2xdU−sI2=−xsdx→U(x,s)=F(s)e. U 2 x2Iu(x,t)=f(t−),u(0,t)=t,→ 2 22 xx2Iu(x,t)=(t−)θ(t−). 22

Re ˇsevanje pa rcialnih diferencialnih ena ˇcb s p omo ˇcjo Laplaceove transfo rmacije.

Reˇsidiferencialnoenaˇcbo ∂u(x,t) ∂x+2x∂u(x,t) ∂t=2x,t>0,u(x,0)=1,u(0,t)=1. ILaplaceovatransformacijaenaˇcbe: IdU(x,s) dx+2x(sU(x,s)−u(x,0))=2x s. IdU(x,s) dx+2xsU(x,s)=2x s+2x→ IU(x,s)=F(s)e−sx2 +1+s s2. Iu(x,t)=f(t−x2 )+1+t u(x,0)=f(t)+1+t=1,→f(t)=−t. Iu(x,t)=−(t−x2 )θ(t−x2 )+(1+t)θ(t).