Matematik a 4
4.vaja B.JurˇciˇcZlobec1 1UniverzavLjubljani, FakultetazaElektrotehniko 1000Ljubljana,Trˇzaˇska25,Slovenija MatematikaFE,Ljubljana,Slovenija17.april2013Re ˇsi pa rcialno diferencialno ena ˇcb o
∂2 ∂x2u ( x , y ) = 0
I∂2 ∂x2u(x,y)=0. I∂ ∂xu(x,y)=f(y). Iu(x,y)=f(y)x+g(y).Re ˇsi pa rcialno diferencialno ena ˇcb o
∂2 u(x,y) ∂x∂y= 0
I∂2 ∂x∂yu(x,y)=0. I∂ ∂xu(x,y)=f0 (x). Iu(x,y)=f(x)+g(y).Re ˇsi pa rcialno diferencialno ena ˇcb o
∂2 u(x,y) ∂x∂y+
∂u(x,y) ∂x= 0
I∂2 ∂x∂yu(x,y)+∂ ∂xu(x,y)=0. IUvedemonovospremenljivkou(x,y)x=v(x,y). Iv(x,y)y+v(x,y)=0→v(x,y)=f0 (x)e−y . Iux(x,y)=f0 (x)ey →u(x,y)=f(x)e−y +g(y). Iu(x,y)=f(x)e−y +g(y).Re ˇsi pa rcialno diferencialno ena ˇcb o
∂2 u(x,y) ∂x2+ u ( x , y ) = 0
I∂2 ∂x2u(x,y)+u(x,y)=0. Iu(x,y)=f(y)cosx+g(y)sinx.Re ˇsi pa rcialno diferencialno ena ˇcb o
∂u(x,y) ∂y= x
I∂ ∂yu(x,y)=x Iu(x,y)=xy+f(x).Re ˇsi pa rcialno diferencialno ena ˇcb o
∂2 u(x,y) ∂x∂y+
∂u(x,y) ∂x+ x + y = 0
I∂2 u ∂x∂yu(x,y)+∂u ∂xu(x,y)+x+y=0. IUvedemonovospremenljivko u(x,y)x=v(x,y)→v(x,y)y+v=−x−y. IReˇsitevhomogeneenaˇcbevhy+vh=0jevh=f0 (x)e−y . IPartikularnareˇsitevv(x,y)=C(y)ey . Iv(x,y)y+v(x,y)=−x−y→C0 (y)e−y −C(y)e−y + C(y)e−y =−x−y→C0 (y)=(−x−y)ey → IC(y)=−xey −yey +ey →v(x,y)=−x−y+1. Iu(x,y)x=v(x,y)=f0 (x)e−y −x−y+1→ Iu(x,y)=f(x)e−y −x2 2−xy−x+g(y).Re ˇsi pa rcialno diferencialno ena ˇcb o
∂u(x,y) ∂x= 2 x y u ( x , y )
IVzamemo,dajeykonstanta. INavadnadiferencialnaenaˇcbaimaloˇcljivespremenljivke. IPiˇsemov(x)=u(x,y)→ Iv0 =2xyv→dv v
=2xydx. Iln|v|=x2 y+ln|C|→v(x)=Cex2y . Iu(x,y)=C(y)ex2y .
Re ˇsi pa rcialno diferencialno ena ˇcb o
∂u(x,y) ∂x+ x
∂2 u(x,y) ∂x2= y
IUvedemonovospremenljivkoinvzamemo,dajeykonstanta. Iv(x)=u(x,y)x→v+xv0 =y→xdv dx=y−v. ILoˇcimospremenljivkedv y−v=dx x
. Iln|y−v|=ln|x|+ln|C|→y−v=Cx→v=y−Cx. Iu(x,y)x=y+f(y)x→u(x,y)=xy+f(y)x2 2+g(y). Iu(x,y)=xy+f(y)x2 2+g(y).
Re ˇsi pa rcialno diferencialno ena ˇcb o
∂2 u(x,y) ∂y2+
∂u(x,y) ∂y= xy
IUvedemonovospremenljivkoinvzamemo,dajexkonstanta. Iv(y)=u(x,y)y→v0 +v=xy. IReˇsitevhomogeneenaˇcbejev(y)=Ce−y . INastavekzapartikularnoreˇsitevv(y)=C(y)e−y . IC0 (y)e−y=xy→C0 (y)=xyey →C(y)=x(yey −ey ) Iv(y)=xy−x→v(y)=xy−x+Ce−y . Iu(x,y)x=xy−x+f(x)e−y →u(x,y)=1 22−y xy−xy+f(x)e+g(x). 12−yIu(x,y)=xy−xy+f(x)e+g(x). 2
Vp elji nove sp remenljivk e in re ˇsi ena ˇcb o
222 ∂u(x,y)∂u(x,y)∂u(x,y)− 2 + = 0, t = x , z = x + y .
22∂x∂x∂y∂y ∂u∂u∂t∂u∂z I=+. ∂x∂t∂x∂z∂x ∂u∂u∂t∂u∂zI=+. ∂y∂t∂y∂z∂y Iu=u+uu=u→u=(u+u)+(u+u)=xtzyzxxtzttzz u+2u+u,u=u→u=(u+u)=u+uz.tttzzzyyzzxytzztzz Iu−2u+u=u+2u+u−2u−2u+u=u=0.xxxyyytttzzztzzzzztt Iu=f(z)t+g(z)→u(x,y)=f(x+y)x+g(x+y). Iu(x,y)=f(x+y)x+g(x+y).Vp elji nove sp remenljivk e in re ˇsi ena ˇcb o x
∂u(x,y) ∂x− y
∂u(x,y) ∂y= 2 u ( x , y ), t = x
2, z = x y
I∂u ∂x=2x∂u ∂x+y∂u z→∂u ∂y=x∂u zI∂u ∂x=2√ t∂u ∂x+z√ t∂u z→∂u ∂y=√ t∂u ∂z. I√ t2√ tut+√ tz√ tuz−z√ t√ tuz=2u I2tut=2u→
du u
=
dt t
→u=tf(z) Iu(x,y)=x2 f(xy).
Vp elji nove sp remenljivk e in re ˇsi ena ˇcb o
∂2 u(x,y) ∂x2+
∂2 u(x,y) ∂x∂y− 2
∂2 u(x,y) ∂y2= 0, t = x + y , z = 2 x − y
. Iux=ut+2uzuy=ut−uz→ Iuxx=(ut+2uz)t+2(ut+2uz)z=utt+4utz+4uzz, uyy=(ut−uz)t−(ut−uz)z=utt−2utz+uzz, uxy=(ut+2uz)t−(ut+2uz)z. Iuxx−2uxy+uyy=utt+2utz+uzz−2utz−2uzz+uzz→ utt=0. Iu=f(z)t+g(z)→u(x,y)=f(2x−y)(x+y)+g(2x−y). Iu(x,y)=f(2x−y)(x+y)+g(2x−y).P oi ˇsˇci re ˇsitev diferencialne ena ˇcb e
∂u(x,y) ∂x+
∂u(x,y) ∂y= 0 v obliki u ( x , y ) = X ( x ) Y ( y )
IVstavimou(x,y)=X(x)Y(y), X0 (x)Y(y)+X(x)Y0 (y)=0→ IX0 (x) X(x)+Y0 (y) Y(y)=0. IVeljaX0 (x) X(x)=−Y0 (y) Y(y)=k, Ikjerjekparameternodvisenodxiny. IdX X=kdxindY Y=−kdy→ IX(x)=Aekx inY(y)=Be−ky → Iu(x,y)=Cek(x−y)P oi ˇsˇci re ˇsitev diferencialne ena ˇcb e x
2u
xy+ 3 y
2u = 0 v obliki u = XY
Ix2 X0 Y0 +3y2 XY=0→ Ix2X0 XY0 Y+3y2 =0→ Ix2X0 X=−3y2Y Y0=k, Ikjerjekparameternodvisenodxiny. I
dX X
=kdx x2in
dY Y
=−3y2dy kdy→ IX(x)=Ae−k xinY(y)=Be−y3 k→ Iu(x,y)=Ce−k x−y3 k
P oi ˇsˇci re ˇsitev diferencialne ena ˇcb e u
x+ yu
y= 0 v obl iki u = XY , ki ustreza p ogojema u (1 , 0) = 1 in u (0 , 1) = 2.
IX0 Y+yXY0 =0→X0 X+yY0 Y=0→ IX0 X=−yY0 Y=k,kjerjekparameternodvisenodxiny. I dX X=kdxin
dY Y
=−ydy→ IX(x)=Aekx inY(y)=Be−ky2 2→u(x,y)=Cekx−ky2 2. Iu(1,0)=Cek =1inu(0,1)=Ce−k 2=2 Ik=−1 3log4,C=41/3 .
