Poučevanje, Predmetno poučevanje
Blaž Uršič
NIHANJE PLAVAJOČEGA POLVALJA Magistrsko delo
Ljubljana, 2017
Poučevanje, Predmetno poučevanje
Blaž Uršič
NIHANJE PLAVAJOČEGA POLVALJA Magistrsko delo
Mentor: dr. Jurij Bajc Somentor: dr. Barbara Rovšek
Ljubljana, 2017
Zahvaljujem se somentorici dr. Barbari Rovšek in mentorju dr. Juriju Bajcu za strokovno pomoč in potrpežljivost. Znanje, ki sem ga pridobil z vajino pomočjo, mi veliko pomeni.
Zahvaljujem se staršema, Branki in Elju, za vso podporo v času celotnega šolanja. Vedno sta verjela vame in mi zaupala.
Zahvaljujem se tebi, Beti, ki me podpiraš na vseh področjih in razumeš moj pogled na svet.
i
Povzetek
V magistrskem delu obravnavam nihanje plavajočega polvalja okrog vzdolžne osi. V prvem delu izpeljem enačbo za izračun nihajnega časa polvalja ter osvetlim problematiko upoštevanja vpliva okoliške tekočine pri računanju vztrajnostnega momenta. Nadalje brez upoštevanja okoliške tekočine teoretično analiziram načine nihanja polvalja, za katere menim, da so kandidati za približek nihanja polvalja med plavanjem. Za vsak način nihanja zapišem izraz za energijo nihanja, izračunam nihajni čas in narišem grafe spreminjanja lege težišča in osi vrtenja v odvisnosti od časa. Po razmisleku o delovanju sil na plavajoč polvalj izdelam enostaven analitičen model, s katerim opišem enega od vplivov delovanja okoliške tekočine na plavajoč polvalj med nihanjem.
V empiričnem delu opišem poskuse, s katerimi preverim teoretične predpostavke o kinematiki in nihajnem času za posamezen način nihanja. Meritve pri mehanskih modelih se dobro ujemajo s teoretičnimi izračuni. S poskusom, pri katerem polvalj niha med plavanjem v vodi, izmerim nihajni čas in preverim pravilnost analitičnega modela za opis tega gibanja tako, da izračunam potrebno dodano maso vode, da z modelom dobro opišem izmerjeno nihanje plavajočega polvalja. S pomočjo računalniškega sledenja točki težišča plavajočega polvalja med nihanjem analiziram kinematiko polvalja in nadgradim analitični model ter zapišem enačbo za energijo nihanja polvalja med plavanjem v vodi. Iz primerjave med modelskimi načini nihanja in izmerjenim gibanjem plavajočega polvalja sklepam, da je najboljši model tisti, pri katerem je težišče polvalja ves čas na enaki višini in niha le v vodoravni smeri.
Ključne besede: model polvalja, nihanje plavajočega telesa, vztrajnostni moment, dodana masa, težišče, vrtišče, energija nihanja.
ii
Abstract
In this thesis oscillation of a floating semicylinder is presented with focus on rotation about its longitudinal axis. In the first part, I derive the equation for calculating the ship's oscillation period and highlight the problem of the influence of the surrounding fluid in calculating the moment of inertia. Furthermore, without considering the surrounding fluid, I theoretically analyze the ways for which I think are the candidates for the approximation of oscillating semicylinder on the water surface. For each way, I write the term for the oscillation energy and for the period of oscillation and plot graphs of position-time dependence for the center of gravity and axis of rotation. With a reflection on the operation of forces on a floating semicylinder, I develop a simple analytical model in which I describe one of the effects of the surrounding fluid on a floating semicylinder during oscillation.
In the practical part, I describe the experiments in which I examine the theoretical assumptions about kinematics and the oscillatory time for a particular mode of oscillation.
The measured values match the theoretical ones. Data, obtained from the experiment in which the semicylinder floats on the water, are used to check the correctness of the analytical model by calculating the added mass of the water which affects the oscillation. Computer tracking method is used for analysis of the position of the centre of gravity of a floating semicylinder during oscillation. Using the data obtained, the analytical model is upgraded and the equation for the assumption of oscillation energy is derived. On the basis of a comparison between the modeling modes of motion and the measured motion of a floating semicylinder, I conclude that the best model is the one in which the center of gravity of the semicylinder fluctuates only in the horizontal direction.
Key words: semicylider model, oscillation of the floating body, moment of inertia, added mass, center of gravity, axis of rotation, energy of oscillation.
iii
Kazalo
Povzetek ... i
Abstract ... ii
Kazalo ... iii
Slike ... iv
Oznake ... vi
1 Uvod ... 1
2 Nihanje polvalja ... 3
2.1 Statična stabilnost plavajočega polvalja ... 3
2.2 Nihajni čas plavajočega telesa ... 5
2.3 Modelski načini nihanja polvalja ... 7
2.3.1 Kotaljenje po trdni podlagi brez podrsavanja ... 7
2.3.2 Nepremična simetrijska os S ... 11
2.3.3 Vodoravno prečno prosto premična simetrijska os S ... 14
2.3.4 Nepremična simetrijski osi vzporedna os med težiščem in simetrijsko osjo S .. 18
2.3.5 Navpično prosto gibljiva simetrijska os S brez vertikalnega gibanja težišča ... 20
2.4 Nihanje plavajočega polvalja ... 22
2.4.1 Nihanje plavajočega polvalja ob konstantnem izpodrivu ... 22
2.4.2 Nepremična simetrijski osi vzporedna os med težiščem in simetrijsko osjo S .. 24
2.5 Dodana masa ... 25
3 Empirični del ... 28
3.1 Polvalj na zračni drči ... 28
3.1.1 Izdelava zračne drče, jahača in polvalja ... 28
3.1.2 Izvedba poskusa in rezultati ... 30
3.2 Polvalj z vrtiščem v simetrijski S ... 32
3.2.1 Izvedba poskusa in rezultati ... 32
3.3 Polvalj na trdni podlagi ... 33
3.3.1 Izvedba poskusa in rezultati ... 33
3.4 Plavajoči polvalj ... 35
3.4.1 Izdelava polvalja in klešč za sprožitev poskusa ... 35
3.4.2 Izvedba poskusa in rezultati ... 36
3.5 Opis kinematike plavajočega polvalja ... 39
3.6 Določanje dodane mase ... 41
3.7 Energijska razlaga nagibanja plavajočega polvalja ... 43
4 Zaključek ... 45
5 Literatura ... 47
iv
Slike
Slika 1: Načini gibanja plavajočega telesa okrog vseh treh osi. ... 1
Slika 2: Izravnalna ročica v izmaknjeni legi polvalja. ... 3
Slika 3: Določevanje dolžine izravnalne ročice 𝑟∗ za majhne kote nagiba polvalja. ... 4
Slika 4: Kotna odvisnost dolžine izravnalne ročice za polvalj s polmerom 60 mm do kota nagiba 35° (polni simboli). S črtkano črto je označen linearni približek odvisnosti za majhne kote. ... 5
Slika 5: Vertikalna razdalja med prijemališčem vzgona in težiščem v ravnovesni (ℎ1) in izmaknjeni legi (ℎ2). ... 5
Slika 6: Nihanje polvalja na trdni podlagi. ... 7
Slika 7: Izbira predznaka za nagib polvalja. ... 7
Slika 8: Določanje položaja težišča v izmaknjeni legi. ... 8
Slika 9: Grafi značilnih količin pri nihanju polvalja na trdni podlagi: koordinati težišča 𝑥𝑇(𝜔𝑡) in 𝑦𝑇(𝜔𝑡) sta narisani po vrsti z debelo in tanko polno črto, kot zasuka polvalja 𝛼(𝜔𝑡) je narisan s pikčasto črto. ... 11
Slika 10: Določanje položaja težišča v izmaknjeni legi. ... 11
Slika 11: Grafi značilnih količin pri nihanju polvalja, ki je vpet v simetrijski osi: koordinati težišča 𝑥𝑇(𝜔𝑡) in 𝑦𝑇(𝜔𝑡) sta narisani po vrsti z debelo in tanko polno črto, kot zasuka polvalja 𝛼(𝑡𝜔) je narisan s pikčasto črto. ... 13
Slika 12: Določanje položaja težišča v izmaknjeni legi. ... 14
Slika 13: Koordinate točk 𝑆, 𝑇 in 𝐴 v koordinatnem sistemu polvalja. ... 15
Slika 14: Grafi značilnih količin pri nihanju polvalja okrog vrtišča v simetrijski osi, ki je prosto gibljivo v vodoravni smeri: koordinati težišča 𝑥𝑇(𝜔𝑡) in 𝑦𝑇(𝜔𝑡) sta narisani po vrsti z debelo in tanko polno črto, kot zasuka polvalja 𝛼(𝜔𝑡) je narisan s pikčasto črto, odmik osi vrtenja 𝑥𝑆(𝜔𝑡) pa s črtkano črto. ... 18
Slika 15: Nihanje polvalja okrog vrtišča 𝑂. ... 18
Slika 16: Grafi značilnih količin pri nihanju polvalja okrog premaknjene osi 𝑂: koordinati težišča 𝑥𝑇(𝜔𝑡) in 𝑦𝑇(𝜔𝑡) sta narisani po vrsti s polno debelo in polno tanko črto, kot zasuka polvalja 𝛼(𝜔𝑡) je narisan s pikčasto črto. ... 20
Slika 17: Določanje položaja osi 𝑆 pri vodoravnem premiku težišča. ... 21
Slika 18: Grafi značilnih količin pri nihanju polvalja okrog vrtišča v simetrijski osi, ki je prosto v navpični smeri: koordinata težišča 𝑥𝑇(𝜔𝑡) je narisana s polno debelo črto, odmik osi vrtenja 𝑦𝑆(𝑡) je narisan s črtkano črto, kot zasuka polvalja 𝛼(𝑡𝜔) je narisan s pikčasto črto. ... 22
Slika 19: Envelopa vodnih linij. ... 23
Slika 20: Vrtenje plavajočega polvalja okrog točke 𝑂. ... 24
Slika 21: Dodana masa, pripeta na polvalj. ... 26
Slika 22: Določanje vztrajnostnega momenta dodane mase. ... 26
Slika 23: Zračna drča s polvaljem (pogled od strani)... 29
Slika 24: Zračna drča s polvaljem (pogled od zgoraj). ... 29
Slika 25: Zračna drča s polvaljem (pogled od spredaj). ... 30
Slika 26: Postavitev poskusa. ... 30
Slika 27: Sledenje težišču polvalja, kalibracija dolžin in označevanje kota nagiba v programu Tracker. ... 31
Slika 28: Grafi značilnih količin pri nihanju polvalja okrog vrtišča, ki je prosto v vodoravni smeri: koordinati težišča 𝑥𝑇(𝑡) in 𝑦𝑇(𝑡) sta narisani po vrsti s polno debelo in polno tanko črto, kot zasuka polvalja 𝛼(𝑡) je narisan s pikčasto črto. ... 31
v
Slika 29: Grafi značilnih količin pri nihanju polvalja okrog simetrijske osi polvalju očrtanega valja: koordinati težišča 𝑥𝑇(𝑡) in 𝑦𝑇(𝑡) sta narisani po vrsti s polno debelo in polno tanko črto, kot zasuka polvalja 𝛼(𝑡) je narisan s pikčasto črto. ... 33 Slika 30: Polvalj na trdni podlagi. ... 34 Slika 31: Grafi značilnih količin pri nihanju polvalja na trdni podlagi: koordinati težišča 𝑥𝑇(𝑡) in 𝑦𝑇(𝑡) sta narisani po vrsti s polno debelo in polno tanko črto, kot nagiba polvalja 𝛼(𝑡) je narisan s pikčasto črto. ... 34 Slika 32: Računalniški model polvalja (a) ter končen izdelek (b). ... 36 Slika 33: Klešče za sprožitev nihanja polvalja. ... 36 Slika 34: Položaji vodnih gladin za tri kote (a) in postavitev poskusa za nagibanje polvalja na vodni gladini (b). ... 37 Slika 35: Grafi značilnih količin pri nihanju plavajočega polvalja za začetni nagib 10°.
Koordinati težišča 𝑥𝑇(𝑡) in 𝑦𝑇(𝑡) sta narisani po vrsti s polno debelo in polno tanko črto, kot nagiba polvalja 𝛼(𝑡) je narisan s pikčasto črto. ... 38 Slika 36: Grafi značilnih količin pri nihanju plavajočega polvalja za začetni nagib 20°.
Koordinati težišča 𝑥𝑇(𝑡) in 𝑦𝑇(𝑡) sta narisani po vrsti s polno debelo in polno tanko črto, kot nagiba polvalja 𝛼(𝑡) je narisan s pikčasto črto. ... 38 Slika 37: Grafi značilnih količin pri nihanju plavajočega polvalja za začetni nagib 30°.
Koordinati težišča 𝑥𝑇(𝑡) in 𝑦𝑇(𝑡) sta narisani po vrsti s polno debelo in polno tanko črto, kot nagiba polvalja 𝛼(𝑡) je narisan s pikčasto črto. ... 39 Slika 38: Določanje položaja vrtišča polvalja. ... 40 Slika 39: Določanje navpičnega premika točke 𝑂. ... 40 Slika 40: Kvalitativen prikaz časovne odvisnosti kota nagiba polvalja in premika vrtišča 𝑂.
Navpična koordinata vrtišča 𝑦𝑂(𝜔𝑡) je narisana s črtkano črto, kot nagiba polvalja 𝛼(𝑡) je narisan s pikčasto črto. ... 41 Slika 41: Potapljanje kvadra. ... 43 Slika 42: Premikanje točk 𝑆 in 𝑇 med vrtenjem okrog točke 𝑂. ... 44
vi
Oznake
𝐹⃑𝑔 – sila teže 𝐹⃑𝑣 – sila vzgona 𝑇 – težišče
𝑉 – prijemališče vzgona 𝑟∗ – izravnalna ročica
𝑎 – razdalja od simetrijske osi polvalju očrtanega valja do težišča 𝛼 – kot nagiba polvalja glede na vodno gladino
𝑠 – sprememba vertikalne razdalje med prijemališčem vzgona in težiščem 𝑀 – navor
𝑚 – masa
𝑅𝑉 – vztrajnostni polmer
𝐽 – vztrajnostni moment telesa za poljubno os 𝜔 – krožilna frekvenca
𝑔 – težni pospešek 𝑡0 – nihajni čas 𝑏 – širina plovila 𝐾 – delež širine plovila
𝑆 – simetrijska os polvalju očrtanega valja 𝑟 – polmer polvalju očrtanega valja
𝑥𝑇 – abscisa težišča polvalja za poljuben kot nagiba 𝑦𝑇 – ordinata težišča polvalja za poljuben kot nagiba 𝑊𝑝 – potencialna energija
𝑊𝑘 – kinetična energija polvalja 𝑊𝑛𝑖ℎ - energija nihanja
𝐽𝑆 – vztrajnosni moment polvalja za vrtenje okrog simetrijske osi polvalju očrtanega valja 𝐽∗ – vztrajnostni moment polvalja za vrtenje okrog težišča
𝐽𝑝 – vztrajnostni moment polvalja, ki niha na trdni podlagi 𝑡 – čas
𝛼0 – amplituda kota 𝛼
𝑥𝑇0 – amplituda nihanja težišča v 𝑥-smeri 𝑦𝑇0 – amplituda nihanja težišča v 𝑦-smeri
vii 𝑥𝑆 – abscisa vrtišča polvalja, ki je prosto v 𝑥-smeri 𝐴 – poljubna masna točka polvalja
𝑝 – razdalja od izhodišča koordinatnega sistema polvalja do poljubne masne točke 𝐴 𝑥𝑆0 – amplituda odmika vrtišča 𝑆 v smeri 𝑥
𝑂 – premaknjena os vrtenja polvalja
𝑐 – razdalja od težišča 𝑇 do premaknjene osi 𝑂
𝐽𝑂 – vztrajnostni moment polvalja za vrtenje okrog točke 𝑂 𝐻 – razdalja od osi 𝑆 do prijemališča vzgona 𝑉
𝑖 – radij envelope vodnih linij pri nagibanju polvalja 𝑙 – dolžina polvalja
𝐷 – debelina dodane plasti vode
2𝛾 – kot, ki ga oklepa plašč dodane mase 𝑉𝑑 – prostornina dodane vode
𝑟𝑍 – razdalja od točke 𝑆 do zunanjega roba plašča dodane mase 𝜌 – gostota tekočine, v kateri plava polvalj
𝑅𝑑 – vztrajnostni polmer dodane mase 𝐽𝑑 – vztrajnostni moment dodane mase 𝑇𝑑 – težišče dodane mase
𝐽𝑒𝑓 – efektivni vztrajnostni moment sistema polvalj-dodana masa 𝑓 – razdalja med težiščem dodane mase in osjo 𝑂
𝑒 – razdalja med težiščem dodane mase in osjo 𝑆 𝑚𝑑 – dodana masa
𝑡𝑧𝑦 – čas zadušitve nihanja težišča v 𝑦-smeri
1
1 Uvod
Plovila so že od nekdaj pomembna za prevoz blaga, ljudi in ostale namene. Čolni in ladje so se skozi stoletja izboljševali predvsem na podlagi izkušenj in napakah predhodnikov. Čeprav so današnja vodna plovila na prvi pogled enostavne konstrukcije, se za njihovo gradnjo skrivajo zahtevni fizikalni izračuni, ki še danes izhajajo iz poskusov. Poskusi so največkrat izvedeni na manjših modelih ladij, s pomočjo katerih konstruktorji opazujejo odziv oblike trupa na izbrane spremenljivke. Na tak način spoznajo odziv trupa ladje na različno višino, frekvenco in vpadni kot valov ter ostale spremenljivke, še preden jo začnejo graditi. Ob pregledovanju literature zasledimo veliko člankov na temo numeričnega modeliranja odziva plavajočega telesa na zunanje motnje, kar je drugi način za spoznavanje lastnosti ladij.
Za opis gibanja plavajočega telesa si pomagamo s koordinatnim sistemom, katerega izhodišče pripnemo približno v težišče telesa (Slika 1). Prosto plavajoče telo se lahko premika na šest različnih načinov, kar pomeni premik vzdolž ter rotacijo okrog vzdolžne (𝑥), prečne (𝑦) in navpične (𝑧) osi. Tako opišemo tri translatorna gibanja: v smeri 𝑥 zaganjanje (ang. surge), v smeri 𝑦 bočni premik (ang. sway) in dviganje (ang. heave) v smeri 𝑧. Rotacijska gibanja za vsako os poimenujemo: valjanje (ang. roll) okrog osi 𝑥, naklon (ang. pitch) okrog osi 𝑦 in odklon (ang. yaw) okrog osi 𝑧 [1]. Vsa možna gibanja so predstavljena na sliki 1.
Slika 1: Načini gibanja plavajočega telesa vzdolž in okrog vseh treh osi [1].
Pomemben podatek vsakega plovila so njegovi rotacijski nihajni časi za vse osi, saj je od le- teh odvisna uporabnost plovila. Lahko si predstavljamo, da bi bila plovila z majhnim nihajnim časom za potnike zelo neudobna ter zaradi velikih pospeškov neuporabna tudi za prevoz večine tovorov. Za uporabnost plovila je najbolj odločilen nihajni čas valjanja, saj je nihajni čas naklona zaradi dolžine plovila navadno daljši. S poznavanjem lastne frekvence plovila za poljubno harmonično gibanje lahko predvidimo njegov odziv na zunanje motnje, ki jih v večini primerov predstavljajo valovi.
2
V magistrskem delu se omejim na opis valjanja, pri čemer za trup plovila uporabim poenostavitev – homogen polvalj. Pri poskusih ne opazujem odziva izbranega telesa na zunanjo motnjo v obliki valov, ampak ga obravnavam kot nihalo, ki ga na začetku poskusa izmaknem iz ravnovesne lege za določen kot in spustim, da prosto zaniha na vodni gladini. V nalogi najprej opišem osnovna načela statične stabilnosti polvalja, pri kateri predpostavljamo, da so sile in navori ves čas v ravnovesju. Z upoštevanjem načel statične stabilnosti v nadaljevanju izpeljem semiempirično enačbo za nihajni čas plavajočega telesa na način, ki ga običajno uporabljajo konstruktorji ladij. Namen naloge je izdelati enostaven analitični model, s katerim lahko brez empirično določenih koeficientov opišemo prosto nihanje plavajočega polvalja. V ta namen fizikalno opišem različna gibanja, za katere menim, da so kandidati za približek nihanja polvalja na vodni gladini. V zadnjem delu teoretičnega dela naloge predstavim problematiko upoštevanja vpliva okoliške tekočine na plavajoč polvalj, ki prosto niha in predstavim matematični model, ki pri nihanju upošteva tudi vpliv vode, ki obdaja polvalj.
V empiričnem delu naloge predstavim izdelavo fizičnih modelov, ki jih uporabim pri meritvah. Meritve zajemajo snemanje polvalja med nihanjem na trdni podlagi, polvalja, ki je vpet v simetrijski osi njemu očrtanega valja ter polvalja na zračni drči, ki niha okrog vrtišča, ki je prosto v prečni smeri. Jedro raziskave predstavlja poskus, pri katerem snemamo plavajoč polvalj med nihanjem. Posnetke vseh načinov gibanja v nadaljevanju obdelam v programu Tracker, kjer sledim gibanju težišča polvalja. S pomočjo zbranih podatkov v programu Excel izrišem grafe spreminjanja lege težišča, 𝑥𝑇(𝑡) in 𝑦𝑇(𝑡) ter spreminjanja kota v odvisnosti od časa 𝛼(𝑡) v laboratorijskem koorinatnem sistemu. S pomočjo grafov 𝑥𝑇(𝑡), 𝑦𝑇(𝑡) ter 𝛼(𝑡) opišem gibanje plavajočega polvalja, ki prosto niha. Grafe 𝑥𝑇(𝑡), 𝑦𝑇(𝑡) ter 𝛼(𝑡) za nihanje plavajočega polvalja primerjam s teoretičnimi grafi ostalih izbranih načinov nihanja ter izberem način, ki najbolje opiše nihanje polvalja na vodni gladini. S pomočjo tabeliranih podatkov izmerim nihajni čas plavajočega polvalja in preverim ustreznost analitičnega modela, ki sem ga zasnoval v teoretičnem delu.
3
2 Nihanje polvalja
V tem poglavju bodo predstavljena teoretična izhodišča, preko katerih bomo skušali razložiti nihanje plavajočega polvalja okrog njegove vzdolžne osi. Izhajali bomo iz statične stabilnosti plavajočega polvalja, kjer razložimo nagib, ko so sile in navori v ravnovesju. Nadalje je izpeljana semiempirična enačba, ki se v navtiki pogosto uporablja za oceno nihajnega časa plovil. V drugem delu bomo predstavili in fizikalno opisali načine nihanja, za katere menimo, da so kandidati za približek nihanja polvalja na vodni gladini. Pri vsakem načinu nihanja bomo spremljali gibanje težišča ter izračunali teoretični nihajni čas. V zadnjem delu poglavja bo predstavljen problem opisa nihanja polvalja na vodni gladini in problem upoštevanja okoliške tekočine na to gibanje.
2.1 Statična stabilnost plavajočega polvalja
Homogen polvalj postavimo na vodno gladino, da plava delno potopljen. Nanj delujeta dve sili, ki sta po velikosti enaki – sila teže 𝐹⃑𝑔, ki prijemlje v težišču polvalja 𝑇 in kaže navpično navzdol ter sila vzgona 𝐹⃑𝑣, ki prijemlje v težišču izpodrinjene tekočine 𝑉 in kaže v nasprotni smeri. Ko je polvalj v ravnovesni legi, se nosilki obeh sil pokrivata. Drugače je, ko ga nagnemo za določen kot. Takrat se nosilki sile vzgona in teže razmakneta za razdaljo, ki jo imenujemo izravnalna ročica (𝑟∗) in jo merimo v vodoravni smeri. Zaradi ročice med silama na polvalj deluje izravnalni navor:
𝑀𝐼𝑧𝑟𝑎𝑣𝑛𝑎𝑙𝑛𝑖 = 𝑚𝑔𝑟∗, (1)
ki ga skuša vrniti v ravnovesno lego (Slika 2). Izravnalna ročica ima v ravnovesni legi dolžino 0 in se povečuje s kotom nagiba [2].
Slika 2: Izravnalna ročica v izmaknjeni legi polvalja.
Izravnalne ročice pri različnih kotih nagiba je na primeru polvalja enostavno določiti, saj se oblika podvodnega dela do kota, pri katerem se vodna gladina še ne dotakne zgornje ploskve, ne spreminja. Potopljeni del do tega kota vedno zavzame obliko krožnega odseka, prijemališče vzgona na preseku polvalja pa opiše del krožnice (Slika 3).
4
Slika 3: Določevanje dolžine izravnalne ročice 𝑟∗ za majhne kote nagiba polvalja.
Dolžina izravnalne ročice za kote, pri katerih se vodna gladina še ne dotakne zgornje ploskve polvalja, oziroma ima potopljeni del obliko krožnega odseka, je:
𝑟∗ = 𝑎 sin 𝛼. (2)
Kot, pri katerem se gladina vode dotakne zgornje ploskve polvalja, je odvisen od izpodriva.
Za izpodriv, predstavljen na sliki 3, se oblika potopljenega dela polvalja ne spremeni do kota 37°. Za polmer polvalja 60 mm so v tabeli 1 podane izračunane dolžine izravnalnih ročic za nekaj kotov do kota 35°, na sliki 4 je predstavljena kotna odvisnost izravnalne ročice do kota 35°. Za primerjavo je s prekinjeno črto narisana tudi linearna odvisnost, pri kateri smo upoštevali sin 𝛼 ≈ 𝛼, ki velja za majhne kote.
Tabela 1: Nekaj dolžin izravnalnih ročic za polvalj s polmerom 60 mm.
𝛼 [°] 𝛼 [𝑟𝑎𝑑] 𝑟∗ [𝑚𝑚]
0 0,00 0,00
5 0,09 2,22
10 0,17 4,42
15 0,26 6,59
20 0,35 8,71
25 0,44 10,76
30 0,52 12,73
35 0,61 14,60
5
Slika 4: Kotna odvisnost dolžine izravnalne ročice za polvalj s polmerom 60 mm do kota nagiba 35° (polni simboli). S črtkano črto je označen linearni približek odvisnosti za majhne kote.
Potencialna energija plavajočega telesa pri nagibu je odvisna od spremembe vertikalne razdalje med prijemališčem vzgona 𝑉 in težiščem 𝑇 [3]. Kot je razvidno iz slike 5, je vertikalna razdalja med težiščem in prijemališčem vzgona v ravnovesni legi najmanjša (ℎ1) in se povečuje s kotom nagiba (ℎ2).
Slika 5: Vertikalna razdalja med prijemališčem vzgona in težiščem v ravnovesni (ℎ1) in izmaknjeni legi (ℎ2).
Sprememba vertikalne razdalje med prijemališčem vzgona in težiščem je:
𝑠 = ℎ2− ℎ1. (3)
Izkaže se, da je razdalja s enaka ploščini pod krivuljo izravnalnih ročic [2]. Zapišemo lahko:
𝑠 ≡ ∫ 𝑟∗(𝛼)𝑑𝛼
𝛼 0
. (4)
2.2 Nihajni čas plavajočega telesa
V tem poglavju bomo izpeljali semiempirično enačbo, ki se v navtiki pogosto uporablja za oceno nihajnega časa plavajočih teles. Namen izpeljave je osvetlitev problematike, ki se navezuje na določanje nihajnega časa plavajočega telesa ob upoštevanju vpliva okoliškega sredstva.
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18
0,00 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70
Izravnalne ročice [mm]
Kot nagiba [rad]
6
Za telo, ki prosto niha na vodni gladini, lahko zapišemo 2. Newtonov zakon:
𝐽𝑑2𝛼
𝑑𝑡2 + 𝑚𝑔𝑟∗ = 0, (5)
kjer je 𝐽 vztrajnostni moment plavajočega telesa za nihanje okrog določene osi, 𝑚 masa telesa in 𝑟∗ izravnalna ročica pri določenem kotu nagiba. Na tem mestu ne upoštevamo kinetične energije vode, ki jo polvalj odriva med nihanjem. Iz enačbe (2) ob predpostavki majhnih nagibov dobimo:
𝐽𝑑2𝛼
𝑑𝑡2 + 𝑚𝑔𝑎𝛼 = 0. (6)
Preko vztrajnostnega momenta 𝐽 definiramo tako imenovani vztrajnostni polmer 𝑅𝑉, z enačbo:
𝐽 = 𝑚𝑅𝑉2. (7)
Uporabimo (7) in zapišemo:
𝑑2𝛼 𝑑𝑡2 + 𝑔𝑎
𝑅𝑉2𝛼 = 0. (8)
V (8) prepoznamo diferencialno enačbo drugega reda za harmonično nihanje brez dušenja z obliko:
𝑑2𝑢(𝑥)
𝑑𝑥2 + 𝜔2𝑢(𝑥) = 0. (9)
Nihajni čas izrazimo iz krožne frekvence, ki je definirana kot 𝜔 = 2𝜋 𝑡⁄ 0: 𝑡0 = 2𝜋 𝑅𝑉
√𝑔𝑎. (10)
V enačbi (10) nastopa vztrajnostni polmer 𝑅𝑉, ki ga analitično ne moremo enostavno določiti, saj moramo pri nihanju plavajočega telesa upoštevati tudi interakcijo z okoliško tekočino [4].
V nekaterih navtičnih virih zasledimo delitev vztrajnostnega momenta trupa na vztrajnostni moment zaradi mase (t.i. masni vztrajnostni moment) ter vztrajnostni moment zaradi okoliške tekočine (t.i. hidrodinamični vztrajnostni moment). Hidrodinamični del vztrajnostnega momenta poveča vztrajnostni moment zaradi mase za 10 do 25 %, kar je odvisno od oblike trupa in porazdelitve mase [3]. Pri izdelavi plovil je pomembno, da nihajni čas ocenimo že v fazi projektiranja. V ta namen se uporabljajo empirično pridobljeni koeficienti 𝐾, ki predstavljajo razmerje med vztrajnostnim polmerom in širino plovila 𝑏:
𝑅𝑉 = 𝐾𝑏. (11)
Vrednosti 𝐾 se navadno gibljejo med 0,25 in 0,50, kar je odvisno od vrste plovila. Koeficienti so določeni na podlagi izkušenj in s primerjavo nihajnih časov različnih plovil. V nadaljevanju bomo na primeru polvalja natančneje analizirali problem določanja vztrajnostnega polmera. V empiričnem delu bomo vztrajnostni polmer skušali natančno določiti s pomočjo analize posnetka nihanja polvalja.
7
2.3 Modelski načini nihanja polvalja
V tem poglavju bodo predstavljeni načini nihanja polvalja, za katere menimo, da bi se lahko ujemali z nihanjem plavajočega polvalja. Ker na tem mestu ne bomo upoštevali okoliške tekočine, bomo vse načine nihanj tudi analitično opisali. Izračunali bomo teoretični nihajni čas ter spremljali gibanje težišča polvalja v mirujočem laboratorijskem koordinatnem sistemu.
Naš cilj je poiskati način gibanja, ki ga lahko obravnavamo analitično in s katerim bi se kvantitativno približali opisu nihanja polvalja na vodni gladini.
2.3.1 Kotaljenje po trdni podlagi brez podrsavanja
Pri tem načinu nihanja polvalj brez spodrsavanja niha (se kotali) na trdni podlagi, kakor je prikazano na sliki 6. Na isti sliki je označena tudi postavitev koordinatnega sistema in razdalja od simetrijske osi polvalju očrtanega valja 𝑆 do težišča 𝑇, označena z 𝑎, ki jo izračunamo po enačbi:
𝑎 = 4𝑟
3𝜋. (12)
S točko S označujemo središče polvalju očrtanega kroga, ki ima polmer 𝑟 [5]. Kadar bomo govorili o osi vrtenja skozi točko 𝑆, jo bomo imenovali »simetrijska os«, čeprav to za polvalj seveda ni os simetrije, je pa os simetrije za valj, ki bi ga morali prepoloviti, da bi iz njega naredili polvalj.
Slika 6: Nihanje polvalja na trdni podlagi.
Na tem mestu pojasnimo izbiro predznaka za kot pri nagibanju polvalja. Za kot s pozitivnim predznakom izberemo nagib, pri katerem je zgornja ravna ploskev v laboratorijskem koordinatnem sistemu usmerjena kot premica s pozitivnim koeficientom (Slika 7).
Slika 7: Izbira predznaka za nagib polvalja.
Opazujmo premikanje težišča v vodoravni (𝑥) in navpični smeri (𝑦) pri nagibanju za ta primer.
8
Kot je razvidno s slike 8, sta obe koordinati težišča 𝑇 v skrajnih legah nagiba največji. Če izhodišče koordinatnega sistema postavimo v točko, kjer se nahaja težišče v mirovni legi, lahko zapišemo koordinate težišča za poljuben kot znotraj intervala − 𝜋 2 < 𝛼 < 𝜋 2⁄ ⁄ :
𝑥𝑇 = 𝑟𝛼 − 𝑎 sin 𝛼 (13)
in
𝑦𝑇 = 𝑎 − 𝑎 cos 𝛼. (14)
Slika 8: Določanje položaja težišča v izmaknjeni legi.
Izračunajmo nihajni čas polvalja, ki se kotali po trdni podlagi brez podrsavanja. Izpeljemo ga s pomočjo zakona o ohranitvi energije. Ker poznamo spremembo višine težišča (13), lahko zapišemo potencialno energijo v odvisnosti od kota 𝛼:
𝑊𝑝 = 𝑚𝑔𝑦𝑇 = 𝑚𝑔(𝑎 − 𝑎 cos 𝛼). (15) Potencialna energija se med nihanjem spreminja v rotacijsko kinetično energijo:
Energija nihanja za ta primer je:
𝑊𝑛𝑖ℎ = 𝑊𝑝+ 𝑊𝑘. (17)
Zaradi enostavnosti obravnavamo primer nihanja brez dušenja, zato je energija nihanja konstantna:
𝑊̇𝑛𝑖ℎ =𝑑𝑊𝑛𝑖ℎ
𝑑𝑡 = 0. (18)
V nadaljevanju predpostavimo, da je vztrajnostni moment polvalja pri nihanju konstanten, za majhne kote pa uporabimo približek cos 𝛼 ≅ 1 −𝛼2
2 . Energija nihanja za ta primer je:
𝑊𝑛𝑖ℎ = 1
2𝐽𝛼̇2+1
2𝑚𝑔𝑎𝛼2. (19)
Ker velja (18), zapišemo:
𝑊𝑘 =1
2𝐽𝛼̇2. (16)
9 𝑑𝑊𝑛𝑖ℎ
𝑑𝑡 = 𝐽𝛼̇𝛼̈ + 𝑚𝑔𝑎𝛼𝛼̇ = 𝛼̇[𝐽𝛼̈ + 𝑚𝑔𝑎𝛼] = 0. (20) Prva rešitev enačbe je trivialna in predstavlja primer, ko polvalj miruje:
𝛼̇ = 0. (21)
V (20) prepoznamo diferencialno enačbo drugega reda za harmonično nihanje brez dušenja, iz katere izrazimo 𝜔. Zapišemo:
𝛼̈ +𝑚𝑔𝑎
𝐽 𝛼 = 0, (22)
kjer velja:
𝜔2 =𝑚𝑔𝑎
𝐽 . (23)
Za izračun nihajnega časa moramo poznati vztrajnostni moment polvalja za kotaljenje po trdni podlagi. Za izračun vztrajnostnega momenta uporabimo Steinerjev izrek, ki se glasi:
𝐽𝑆 = 𝐽∗+ 𝑚𝑟∗2, (24)
pri čemer z 𝐽∗ označimo vztrajnostni moment polvalja za vrtenje okrog težišča, z 𝑟∗pa pravokotno razdaljo med osjo skozi težišče in izbrano osjo 𝑆, ki je v našem primeru simetrijska os polvalja. Vztrajnostni moment za vrtenje polvalja okrog osi 𝑆 je:
𝐽𝑆 = 1
2𝑚𝑟2, (25)
kjer je 𝑚 masa polvalja in 𝑟 njegov polmer. Zapišimo Steinerjev izrek za naš primer:
𝐽𝑆 = 𝐽∗+ 𝑚𝑎2. (26)
Polvalj se pri kotaljenju vrti okrog stičišča s podlago, ki je za 𝑎 manjša od radija polvalja.
Vztrajnostni moment okrog te osi je:
𝐽𝑃 = 𝐽∗+ 𝑚(𝑟 − 𝑎)2. (27)
Iz enačbe (26) izrazimo 𝐽 ter za 𝑎 vstavimo (12), da dobimo vztrajnostni moment, ki ga bomo uporabili pri računanju rotacijske kinetične energije:
𝐽𝑃 = 𝑚𝑟2(3 2− 8
3𝜋). (28)
Z izračunanim vztrajnostnim momentom in ob upoštevanju 𝜔 = 2𝜋 𝑡⁄ 0, lahko izračunamo nihajni čas polvalja na trdni podlagi:
𝑡0 = 2𝜋√𝑟(9𝜋 − 16)
8𝑔 . (29)
10
Za izris grafov spreminjanja lege težišča in kota v odvisnosti od časa zapišemo rešitve enačbe nihanja za ta primer. Ker se bodo v empiričnem delu vse meritve začele s skrajno lego polvalja, bomo spreminjanje kota nagiba polvalja 𝛼 zapisali kot:
𝛼(𝑡) = 𝛼0cos(𝜔𝑡). (30)
Pri opisovanju trenutne lege težišča v 𝑥-smeri izhajamo iz enačbe (13), pri čemer upoštevamo približek za majhne kote sin 𝛼 ≈ 𝛼:
𝑥𝑇 = 𝑟𝛼 − 𝑎𝛼 = 𝛼(𝑟 − 𝑎) (31)
in za 𝛼 vstavimo (30):
𝑥𝑇(𝑡) = (𝑟 − 𝑎)𝛼0cos(𝜔𝑡), (32) kar lahko krajše zapišemo kot:
𝑥𝑇(𝑡) = 𝑥𝑇0cos(𝜔𝑡), (33)
kjer z 𝑥𝑇0 označimo amplitudo premika težišča v 𝑥-smeri:
𝑥𝑇0 = (𝑟 − 𝑎)𝛼0. (34)
Pri opisovanju trenutne lege težišča v 𝑦-smeri, izhajamo iz enačbe (14), pri čemer upoštevamo približek za majhne kote cos 𝛼 ≅ 1 −𝛼2
2 : 𝑦𝑇 = 𝑎𝛼2
2 (35)
in za 𝛼 vstavimo (30):
𝑦𝑇(𝑡) = 𝑎𝛼02cos2(𝜔𝑡)
2 . (36)
Iz trigonometrijskih relacij cos 2𝜑 = cos2𝜑 − sin2𝜑 ter sin2𝜑 = 1 − cos2𝜑 dobimo:
𝑦𝑇(𝑡) =𝑎𝛼02
4 (cos(2𝜔𝑡) + 1), (37)
kar lahko krajše zapišemo kot:
𝑦𝑇(𝑡) = 𝑦𝑇0(cos(2𝜔𝑡) + 1). (38) Hitro opazimo, da je graf spreminjanja lege težišča v 𝑦-smeri premaknjen, kar je posledica izbire izhodišča koordinatnega sistema. Na sliki 9 so narisani grafi 𝛼(𝜔𝑡), 𝑥𝑇(𝜔𝑡) in 𝑦𝑇(𝜔𝑡).
Za lažjo primerjavo gibanja težišča z ostalimi načini gibanja smo za izračun amplitud odmikov izbrali polvalj z radijem 60 mm in največji nagib polvalja 30°. Nasprotna faza zasuka glede na odmiki v vodoravni smeri ponazarja izbiro predznaka zasuka (slika 7), pozitivni zasuk pomeni negativni vodoravni premik težišča.
11
Slika 9: Grafi značilnih količin pri nihanju polvalja na trdni podlagi: koordinati težišča 𝑥𝑇(𝜔𝑡) in 𝑦𝑇(𝜔𝑡) sta narisani po vrsti z debelo in tanko polno črto, kot zasuka polvalja 𝛼(𝜔𝑡) je narisan s pikčasto črto.
2.3.2 Nepremična simetrijska os S
Pri tem poskusu je polvalj vpet v osi, ki je vzdolžna simetrala ravne ploskve polvalja. To os kot rečeno imenujemo simetrijska os polvalja. Shematska postavitev poskusa je predstavljena na sliki 10. Izhodišče koordinatnega sistema postavimo v os, okrog katere niha polvalj.
Koordinati težišča se s kotom 𝛼 izražata kot:
𝑥𝑇 = 𝑎 sin 𝛼 (39)
in
𝑦𝑇 = −𝑎 cos 𝛼. (40)
Slika 10: Določanje položaja težišča v izmaknjeni legi.
Izračunajmo nihajni čas polvalja, ki niha okrog simetrijske osi. Tudi v tem primeru bomo izhajali iz zakona o ohranitvi energije (17). Celotna energija nihanja je:
-40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40
-25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25
0 2 4 6 8 10 12 14
α(ωt) [°]
xT(ωt), yT(ωt) [mm]
ωt [rad]
12 𝑊𝑛𝑖ℎ =1
2𝐽𝛼̇2− 𝑚𝑔𝑎 cos 𝛼. (41)
Uporabimo približek cos 𝛼 ≅ 1 −𝛼2
2 in dobimo:
𝑊𝑛𝑖ℎ ≅1
2𝐽𝛼̇2− 𝑚𝑔𝑎 +1
2𝑚𝑔𝑎𝛼2. (42)
Ker ne upoštevamo dušenja, velja (18). Enačbo (42) odvajamo po času:
𝑊̇𝑛𝑖ℎ= 𝐽𝛼̇𝛼̈ + 𝑚𝑔𝑎𝛼𝛼̇ = 𝛼̇[𝐽𝛼̈ + 𝑚𝑔𝑎𝛼] = 0. (43) Rešitev enačbe (43) predstavljajo gibalne enačbe sistema. Netrivialna rešitev je enačba nihanja:
𝐽𝛼̈ + 𝑚𝑔𝑎𝛼 = 0, (44)
iz katere izrazimo krožno frekvenco nihanja 𝜔2 =𝑚𝑔𝑎
𝐽 . (45)
V (39) nastopa vztrajnostni moment polvalja za vrtenje okrog izbrane osi 𝑆. Na enostaven način lahko pokažemo, da vztrajnostni moment polvalja izračunamo na enak način kot vztrajnostni moment valja. Vztrajnostni moment valja za vrtenje okrog osi, ki gre skozi središče valja je:
𝐽 =1
2𝑚𝑣𝑎𝑙𝑗𝑎𝑟2, (46)
Kjer z 𝑚 označimo maso celotnega valja, z 𝑟 pa njegov polmer. Predstavljajmo si, da je valj sestavljen iz dveh polvaljev s skupno maso 2𝑚 = 𝑚𝑣𝑎𝑙𝑗𝑎. Vztrajnostni moment je v tem primeru:
𝐽 =1
22𝑚𝑟2. (47)
Ker pa računamo vztrajnostni moment samo enega polvalja, zapišemo:
𝐽 =1
2𝑚𝑟2. (48)
Ob upoštevanju 𝜔 = 2𝜋 𝑡⁄ 0 izračunamo nihajni čas polvalja, ki niha okrog simetrijske osi:
𝑡0 = 2𝜋√3𝜋𝑟
8𝑔. (49)
Za izris grafov spreminjanja lege težišča in kota zapišemo rešitve enačbe nihanja za ta primer.
Kot nagiba ponovno zapišemo z enačbo (30):
𝛼(𝑡) = 𝛼0cos(𝜔𝑡). (50)
13
Pri opisovanju spreminjanja lege težišča v 𝑥-smeri izhajamo iz enačbe (39) ter za majhne kote uporabimo približek sin 𝛼 ≈ 𝛼:
𝑥𝑇 = 𝑎𝛼 (51)
ter za 𝛼 vstavimo (50):
𝑥𝑇(𝑡) = 𝑎𝛼0cos(𝜔𝑡) = 𝑥𝑇0cos(𝜔𝑡). (52) Pri opisovanju lege težišča v 𝑦-smeri izhajamo iz enačbe (40), pri čemer upoštevamo približek za majhne kote cos 𝛼 ≅ 1 −𝛼2
2 ter za 𝛼 vstavimo (50):
𝑦𝑇(𝑡) = −𝑎 (1 −𝛼02cos2(𝜔𝑡)
2 ). (53)
Ob upoštevanju pravil cos 2𝜑 = cos2𝜑 − sin2𝜑 ter sin2𝜑 = 1 − cos2𝜑, zapišemo:
𝑦𝑇(𝑡) = −𝑎 +𝛼02
2 𝑎 (cos(2𝜔𝑡) + 1
2 ) = −𝑎 +𝛼02
4 𝑎 +𝛼02
4 𝑎 cos(2𝜔𝑡). (54) Enačbo zapišemo lepše z amplitudo nihanja težišča v 𝑦-smeri 𝑦𝑇0, kjer je 𝑦𝑇0 = 𝛼02
4 𝑎:
𝑦𝑇(𝑡) = −𝑎 + 𝑦𝑇0(cos(2𝜔𝑡) + 1). (55) Tudi v tem primeru je graf 𝑦𝑇(𝑡) premaknjen v pozitivni smeri. Zaradi izbire koordinatnega sistema bi morali pri risanju tega grafa upoštevati tudi konstantni premik −𝑎, vendar tega ne storimo zaradi lažje primerjave med različnimi načini nihanja. Na sliki 11 so narisani grafi 𝛼(𝜔𝑡), 𝑥𝑇(𝜔𝑡) in 𝑦𝑇(𝜔𝑡). Tudi v tem primeru amplitude odmika izračunamo za polvalj z radijem 60 mm in izbrani največji kot odmika 30°.
Slika 11: Grafi značilnih količin pri nihanju polvalja, ki je vpet v simetrijski osi: koordinati težišča 𝑥𝑇(𝜔𝑡) in 𝑦𝑇(𝜔𝑡) sta narisani po vrsti z debelo in tanko polno črto, kot zasuka polvalja 𝛼(𝑡𝜔) je narisan s pikčasto črto.
-40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40
-25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25
0 2 4 6 8 10 12 14
α(ωt) [°]
xT(ωt), yT(ωt) [mm]
ωt [rad]
14
2.3.3 Vodoravno prečno prosto premična simetrijska os S
Za ta način nihanja smo se odločili na podlagi razmisleka o delovanju zunanjih sil na polvalj med nihanjem na vodni gladini. Ker na enostaven način ne moremo določiti nobene zunanje sile, ki bi povzročila vodoravno translacijo težišča, lahko sklepamo, da se le-to med nihanjem na vodni gladini giblje le v smeri 𝑦. Pri tem poskusu polvalj niha okrog simetrijske osi 𝑆, a se os med nihanjem lahko prosto giblje v vodoravni smeri. Enačbe zapišemo v koordinatnem sistemu na sliki 12. S premikanjem vrtišča v smeri 𝑥 dosežemo, da se težišče premika samo v navpični smeri (𝑦). Poskus s tako postavitvijo je predstavljen v empiričnem delu magisterija, gibanje ustreza pogoju, da je vsota sil na polvalj v vodoravni smeri enaka nič.
Slika 12: Določanje položaja težišča v izmaknjeni legi.
Tako gibanje eksperimentalno dosežemo z vpetjem vrtišča na lahek voziček, ki se skoraj brez trenja giblje le v smeri 𝑥. Za majhne odklone pričakujemo harmonično gibanje z amplitudo:
𝑥𝑆 = −𝑎 sin 𝛼. (56)
Ob upoštevanju pogojev 𝑥̇𝑇 = 0 𝑖𝑛 𝑦̇𝑆 = 0 izračunajmo nihajni čas za ta primer. Nihajni čas izpeljemo s pomočjo zakona o ohranitvi energije, zato najprej zapišimo izraz za potencialno energijo polvalja za poljuben kot. V izbranem koordinatnem sistemu navpičen premik težišča izrazimo kot:
𝑦𝑇 = −𝑎 + 𝑎(1 − cos 𝛼) = −𝑎 cos 𝛼, (57)
zato je potencialna energija:
𝑊𝑝= 𝑚𝑔𝑦𝑇 = −𝑚𝑔𝑎 cos 𝛼. (58)
Kinetično energijo polvalja za to nihanje izpeljemo s pomočjo razmisleka o gibanju poljubne masne točke 𝑑𝑚 v polvalju. Lego majhne mase 𝑑𝑚 znotraj polvalja označimo s točko 𝐴, s koordinatami 𝑥𝐴 in 𝑦𝐴 v koordinatnem sistemu polvalja ter oddaljenostjo 𝑝 od koordinatnega izhodišča 𝑆 (Slika 13).
15
Slika 13: Koordinate točk 𝑆, 𝑇 in 𝐴 v koordinatnem sistemu polvalja.
Z upoštevanjem pogojev o mirovanju težišča 𝑇 v vodoravni smeri in mirovanju vrtišča 𝑆 v navpični smeri, spremljajmo premikanje točke 𝐴 med nihanjem polvalja. Sočasni vodoravni premik točke S in vrtež polvalja za kot 𝛼 okoli simetrijske osi premakneta v laboratorijskem sistemu, ki ima izhodišče v točki 𝑆, ko polvalj miruje v ravnovesni legi, točko 𝐴 v točko 𝐴′, s koordinatami:
𝑥′𝐴 = 𝑥𝐴cos 𝛼 − 𝑦𝐴sin 𝛼 + 𝑥𝑆 = 𝑥𝐴cos 𝛼 − 𝑦𝐴sin 𝛼 − 𝑎 sin 𝛼 (59) in
𝑦′𝐴 = 𝑥𝐴sin 𝛼 + 𝑦𝐴cos 𝛼. (60) V mirujočem laboratorijskem koordinatnem sistemu zapišemo komponenti hitrosti točke 𝐴 oziroma 𝐴′ za kot 𝛼 kot :
𝑥̇𝐴 = [−𝑥𝐴sin 𝛼 − (𝑦𝐴+ 𝑎) cos 𝛼]𝛼̇ (61) in
𝑦̇𝐴 = [𝑥𝐴cos 𝛼 − 𝑦 sin 𝛼]. (62) Podobno zapišimo v laboratorijskem sistemu še hitrosti za težišče 𝑇 in vrtišče 𝑆. Izbrani točki imata vsaka le po eno komponento hitrosti:
𝑣𝑇 = 𝑦̇𝑇 = [𝑎 sin 𝛼]𝛼̇ (63)
in
𝑣𝑆 = 𝑥̇𝑆 = [−𝑎 cos 𝛼]𝛼̇. (64)
Za izračun kinetične energije poljubne masne točke 𝐴 potrebujemo kvadrat njene hitrosti:
𝑣𝐴2 = 𝑥̇𝐴2+ 𝑦̇𝐴2. (65)
Enačbi (61) in (62) vstavimo v enačbo (103) in dobimo:
𝑣𝐴2 = 𝛼̇2[𝑥𝐴2sin2𝛼 + 𝑦𝐴2cos2𝛼 + 2𝑦𝐴𝑎 cos2𝛼 + 𝑎2cos2𝛼
+ 2𝑥𝐴𝑎 sin 𝛼 cos 𝛼 + 2𝑥𝐴𝑦𝐴sin 𝛼 cos 𝛼 + 𝑥𝐴2cos2𝛼 + 𝑦𝐴2sin2𝛼
− 2𝑥𝐴𝑦𝐴sin 𝛼 cos 𝛼]
16 𝑣𝐴2 = 𝛼̇2[𝑥𝐴2+ 𝑦𝐴2+2𝑦𝐴
𝑎 𝑎2cos2𝛼 + 𝑎2cos2𝛼 +2𝑥𝐴
𝑎 𝑎2sin 𝛼 cos 𝛼]
𝑣𝐴2 = 𝛼̇2𝑝2+2𝑦𝐴
𝑎 𝑣𝑆2+ 𝑣𝑆2−2𝑥𝐴
𝑎 𝑣𝑆𝑣𝑇, (66)
Kjer je p razdalja od izhodišča koordinatnega sistema polvalja do poljubne masne točke 𝐴.
Kinetična energija polvalja je:
𝑊𝑘= 1
2∫ 𝑣2𝑑𝑚. (67)
V (67) vstavimo rezultat (57) in dobimo:
𝑊𝑘 =1
2𝛼̇2∫ 𝑝2𝑑𝑚 +2𝑣𝑆2
2𝑎 ∫ 𝑦𝐴𝑑𝑚 +1
2𝑣𝑆2∫ 𝑑𝑚 −2𝑣𝑆𝑣𝑇
𝑎 ∫ 𝑥𝐴𝑑𝑚. (68)
Integral kvadratov oddaljenosti pomnoženih z maso 𝑑𝑚 v prvem členu je vztrajnostni moment polvalja okoli osi 𝑆. Ordinato celotne mase v drugem členu zapišemo kot ordinato težišča polvalja 𝑦𝑇 = −𝑎. Ker v smeri 𝑥 ni premika težišča, je zadnji integral enak nič. Za celotno kinetično energijo dobimo:
𝑊𝑘 = 1
2𝐽𝛼̇2− 𝑣𝑆2𝑚 +1
2𝑚𝑣𝑆2 =1
2𝐽𝛼̇2−1
2𝑚𝑣𝑆2. (69)
Za vztrajnostni moment polvalja vstavimo (48), za hitrost vrtišča pa uporabimo (64), pri čemer upoštevamo približek cos2𝛼 ≅ 1, ki velja za majhne kote:
𝑊𝑘 =1
4𝑚𝑟2𝛼̇2−1
2𝑚𝑎2𝛼̇2. (70)
Celotno energijo nihanja zapišemo kot vsoto kinetične in potencialne energije:
𝑊𝑛𝑖ℎ = −𝑚𝑔𝑎 cos 𝛼 +1 2𝑚 (1
2𝑟2− 𝑎2) 𝛼̇2, (71)
kjer je 𝑟 polmer polvalja in 𝑚 njegova masa. Ker se energija med nihanjem ne spreminja, jo odvajamo po času in celoten izraz izenačimo z 0. Za majhne kote zopet uporabimo približek cos 𝛼 ≅ 1 −𝛼2
2 :
𝑊̇𝑛𝑖ℎ= 𝑚𝑔𝑎𝛼𝛼̇ + 𝑚 (1
2𝑟2− 𝑎2) 𝛼̇𝛼̈ = 0 𝑊̇𝑛𝑖ℎ = 𝑚𝛼̇ [𝑔𝑎𝛼 + (1
2𝑟2− 𝑎2) 𝛼̈] = 0 (72)
Netrivialno rešitev je:
𝑔𝑎𝛼 + (1
2𝑟2− 𝑎2) 𝛼̈ = 0
17 𝛼̈ + 𝑔𝑎
1
2 𝑟2− 𝑎2
𝛼 = 0.
Za krožno frekvenco dobimo:
𝜔2 = 2𝑔𝑎
𝑟2− 2𝑎2. (73)
Ob upoštevanju 𝜔 = 2𝜋 𝑡⁄ 0 izrazimo tudi nihajni čas polvalja, katerega težišče se giblje le v navpični smeri 𝑦. Za 𝑎 vstavimo (12) in končno dobimo:
𝜔 = √𝑔
𝑟∙ √ 24𝜋
9𝜋2− 32. (74)
Za izris grafov spreminjanja lege težišča, lege osi vrtenja in kota zapišemo rešitve enačbe nihanja za ta primer. Kot nagiba naj se ponovno spreminja skladno s (30):
𝛼(𝑡) = 𝛼0cos(𝜔𝑡). (75)
Pri opisovanju spreminjanja lege osi vrtenja v 𝑥-smeri izhajamo iz enačbe (56) ter za majhne kote uporabimo približek sin 𝛼 ≈ 𝛼:
𝑥𝑆 = −𝑎𝛼 (76)
ter za 𝛼 vstavimo (75):
𝑥𝑆(𝑡) = −𝑎𝛼0cos(𝜔𝑡) = −𝑥𝑆0cos(𝜔𝑡). (77) Pri opisovanju lege težišča v 𝑦-smeri hitro opazimo, da dobimo enak rezultat kot v primeru 2.3.2, kjer je polvalj nihal okrog fiksne osi skozi točko 𝑆:
pri čemer je 𝑦𝑇0 =𝛼02
4 𝑎. Na sliki 15 so predstavljeni grafi trenutnih odmikov težišča 𝑦𝑇(𝜔𝑡), 𝑥𝑇(𝜔𝑡), osi vrtenja 𝑥𝑆(𝜔𝑡) ter nagiba 𝛼(𝜔𝑡) za primer nihanja polvalja s prostim vrtiščem v vodoravni smeri. Tudi tukaj amplitude odmika izračunamo za polvalj z radijem 60 mm in največji kot odmika 30°.
𝑦𝑇(𝑡) = −𝑎 + 𝑦𝑇0(cos(2𝜔𝑡) + 1), (78)
18
Slika 14: Grafi značilnih količin pri nihanju polvalja okrog vrtišča v simetrijski osi, ki je prosto gibljivo v vodoravni smeri: koordinati težišča 𝑥𝑇(𝜔𝑡) in 𝑦𝑇(𝜔𝑡) sta narisani po vrsti z debelo in tanko polno črto, kot
zasuka polvalja 𝛼(𝜔𝑡) je narisan s pikčasto črto, odmik osi vrtenja 𝑥𝑆(𝜔𝑡) pa s črtkano črto.
2.3.4 Nepremična simetrijski osi vzporedna os med težiščem in simetrijsko osjo S Pri naslednjem posebnem nihanju polvalja se fiksna os vrtenja 𝑂 nahaja med simetrijsko osjo 𝑆 in težiščem na simetrali polvalja. Razdaljo med osjo vrtenja 𝑂 in težiščem označimo s 𝑐 (Slika 15). Velja 0 ≤ 𝑐 ≤ 𝑎.
Slika 15: Nihanje polvalja okrog vrtišča 𝑂.
Izhodišče koordinatnega sistema za opis tega gibanja postavimo v točko 𝑂. Koordinati težišča za kot 𝛼 nagnjenega polvalja v laboratorijksem koordinatnem sistemu sta:
𝑥𝑇 = 𝑐 sin 𝛼 (79)
in
𝑦𝑇 = −𝑐 + 𝑐(1 − cos 𝛼) = −𝑐 cos 𝛼. (80)
-40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40
-25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25
0 2 4 6 8 10 12 14
α(ωt) [°]
xT(ωt), yT(ωt), xS(ωt) [mm]
ωt [rad]
19
Izračunajmo nihajni čas polvalja za ta primer. Tudi v tem primeru izhajamo iz zakona o ohranitvi energije (17):
𝑊𝑛𝑖ℎ =1
2𝐽𝛼̇2− 𝑚𝑔𝑐 cos 𝛼. (81)
Uporabimo približek cos 𝛼 ≅ 1 −𝛼2
2 in dobimo:
𝑊𝑛𝑖ℎ ≅1
2𝐽𝛼̇2− 𝑚𝑔𝑎 +1
2𝑚𝑔𝑐𝛼2. (82)
Ker ne upoštevamo dušenja, velja (18). Enačbo (82) odvajamo po času:
𝑊̇𝑛𝑖ℎ = 𝐽𝛼̇𝛼̈ + 𝑚𝑔𝑐𝛼𝛼̇ = 𝜔[𝐽𝛼̈ + 𝑚𝑔𝑐𝛼] = 0. (83) Netrivialna rešitev je enačba nihanja:
𝐽𝛼̈ + 𝑚𝑔𝑐𝛼 = 0, (84)
iz katere izrazimo krožno frekvenco
𝜔2 = 𝑚𝑔𝑐
𝐽 . (85)
Za določitev vztrajnostnega momenta okrog premaknjene osi uporabimo Steinerjev izrek (24).
Vztrajnostni moment polvalja pri vrtenju okrog simetrijske osi smo že zapisali v (25). Za vztrajnostni moment okoli simetrijske osi velja tudi:
𝐽𝑆 = 𝐽∗+ 𝑚𝑎2, (86)
Kjer je 𝐽∗ vztrajnostni moment polvalja okoli težišča in 𝑎 razdalja od težišča do simetrijske osi (slika 6), za katero velja 𝑎 = 4𝑟 3𝜋⁄ . Zapišimo Steinerjev izrek za premaknjeno os:
𝐽𝑂 = 𝐽∗+ 𝑚𝑐2. (87)
Iz (49) izrazimo 𝐽∗ in ga vstavimo v (87). Za vztrajnostni moment polvalja okoli premaknjene osi dobimo:
𝐽𝑂= 𝑚𝑟2(1 2− 16
9𝜋2) + 𝑚𝑐2. (88)
Ob upoštevanju 𝜔 = 2𝜋 𝑡⁄ 0 lahko izračunamo nihajni čas polvalja, ki niha okrog premaknjene osi 𝑂:
𝑡0 = 2𝜋√𝑟2(1 2 −
16
9𝜋2) + 𝑐2
𝑔𝑐 =√2
3 𝜋√18𝜋2𝑐2+ 9𝜋2𝑟2− 32𝑟2
𝜋2𝑐𝑔 . (89)
Za izris grafov spreminjanja lege težišča, osi vrtenja in kota, zapišemo rešitve enačbe nihanja za ta primer. Kot nagiba se spreminja v skladu z:
𝛼(𝑡) = 𝛼0cos(𝜔𝑡). (90)
20
Za opisovanje lege težišča v 𝑥-smeri velja (52), kjer za amplitudo odmika upoštevamo 𝑥𝑇0 = 𝑐𝛼0:
𝑥𝑇(𝑡) = 𝑐𝛼0cos(𝜔𝑡). (91)
Za opisovanje lege težišča v y-smeri velja (55), kjer za amplitudo odmika upoštevamo 𝑦𝑇0 = 𝛼02
4 𝑐:
𝑦𝑇(𝑡) = −𝑎 +𝛼02
4 𝑐(cos(2𝜔𝑡) + 1). (92)
Na sliki 16 so predstavljeni grafi trenutnih odmikov težišča 𝑦𝑇(𝜔𝑡), 𝑥𝑇(𝜔𝑡) ter nagiba 𝛼(𝜔𝑡) za primer nihanja polvalja okrog premaknjene osi 𝑂. Tudi tukaj amplitude odmika izračunamo za polvalj z radijem 60 mm in največji kot odmika 30°. Za vrednost 𝑐 izberemo 𝑐 = 𝑎 2⁄ .
Slika 16: Grafi značilnih količin pri nihanju polvalja okrog premaknjene osi 𝑂: koordinati težišča 𝑥𝑇(𝜔𝑡) in 𝑦𝑇(𝜔𝑡) sta narisani po vrsti s polno debelo in polno tanko črto, kot zasuka polvalja 𝛼(𝜔𝑡) je narisan s pikčasto
črto.
2.3.5 Navpično prosto gibljiva simetrijska os S brez vertikalnega gibanja težišča
Vpliva okoliške tekočine na tem mestu še ne poznamo, zato bomo predstavili še eno možno gibanje – nihanje brez vertikalnega premika težišča. Tega nihanja ne moremo enostavno mehansko simulirati, saj med nihanjem ne pride do spremembe potencialne energije samega polvalja. Težišče se v tem primeru giblje le v vodoravni smeri (slika 17). Tako gibanje je smiselno predviditi, saj lahko sklepamo, da del potencialne energije sistema pri nihanju predstavlja potencialna energija okoliške tekočine, ki se med harmoničnim potapljanjem polvalja spreminja. Pri analizi gibanja vrtišče ponovno postavimo v simetrijsko os 𝑆. Kot je razvidno iz slike 17, je edini način, da dosežemo samo navpično gibanje vrtišča 𝑆 ob omejitvi gibanja težišča 𝑇 le na vodoravno smer, z nastavkom:
𝑦𝑆 = 𝑎 cos 𝛼, (93)
-40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40
-25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25
0 2 4 6 8 10 12 14
α(ωt) [°]
xT(ωt), yT(ωt) [mm]
ωt [rad]
21
kjer smo izhodišče laboratorijskega sistema postavili v težišče polvalja v ravnovesni legi.
Koordinati težišča se zato s kotom 𝛼 izrazita kot:
𝑥𝑇 = 𝑎 sin 𝛼 in 𝑦𝑇 = 0. (94)
Slika 17: Določanje položaja osi 𝑆 pri vodoravnem premiku težišča.
Vrtišče se mora pri takem gibanju premikati z dvakratno frekvenco nihanja polvalja, ko gre polvalj skozi ravnovesno lego, pa mora biti vrtišče v najvišji točki. Zapišimo enačbi premikanja vrtišča in težišča. Pri izpeljavi enačbe za spreminjanje lege osi 𝑆 v navpični smeri izhajamo iz (93). Po upoštevanju približka za majhne kote cos 𝛼 ≅ 1 −𝛼2
2 zapišemo:
𝑦𝑆 = 𝑎 (1 −𝛼2
2). (95)
Tudi v tem primeru spreminjanje lege kota zapišemo kot:
𝛼(𝑡) = 𝛼0cos(𝜔𝑡) (96)
in ga vstavimo v (95). Ob upoštevanju cos 2𝜑 = cos2𝜑 − sin2𝜑 in sin2𝜑 = 1 − cos2𝜑, dobimo:
𝑦𝑆(𝑡) = 𝑎 −𝑎𝛼02
4 (cos(2𝜔𝑡) + 1). (97)
Spreminjanje lege težišča v odvisnosti od časa v 𝑥-smeri izračunamo na enak način kot za primer, ko polvalj niha okrog nepremične osi 𝑆:
𝑥𝑇(𝑡) = 𝑎𝛼0cos(𝜔𝑡) = 𝑥𝑇0cos(𝜔𝑡). (98) Na sliki 19 so predstavljeni grafi trenutnih odmikov težišča, 𝑥𝑇(𝜔𝑡), osi vrtenja 𝑦𝑆(𝜔𝑡) ter nagiba 𝛼(𝜔𝑡). Za izris krivuljo 𝑦𝑆(𝜔𝑡) bi morali glede na izbran koordinatni sistem upoštevati premik za vrednost a v pozitivni smeri, vendar tega zaradi lažje primerjave med grafi ne bomo storili. Celoten graf 𝑦𝑆(𝑡𝜔) tako ostane v negativnem področju. Amplitude odmika so izračunane za polvalj z radijem 60 mm in največji kot odmika 30°.
22
Slika 18: Grafi značilnih količin pri nihanju polvalja okrog vrtišča v simetrijski osi, ki je prosto v navpični smeri: koordinata težišča 𝑥𝑇(𝜔𝑡) je narisana s polno debelo črto, odmik osi vrtenja 𝑦𝑆(𝑡) je narisan s črtkano
črto, kot zasuka polvalja 𝛼(𝑡𝜔) je narisan s pikčasto črto.
2.4 Nihanje plavajočega polvalja
V nadaljevanju raziščemo problem dinamične stabilnosti plavajočega polvalja. To pomeni, da pri računanju upoštevamo tudi navor sile vzgona. Z upoštevanjem načel statične stabilnosti skušamo ugotoviti položaj osi, okrog katere se polvalj vrti pri nihanju, izračunati teoretični nihajni čas ter ugotoviti vpliv okoliške tekočine na to gibanje.
2.4.1 Nihanje plavajočega polvalja ob konstantnem izpodrivu
Z enostavno tehnično rešitvijo poskusom lahko dosežemo ravnovesno stanje v izmaknjeni legi, pri katerem je navor dvojice zunanjih sil enak izravnalnemu navoru. Zunanji navor zagotovimo z dvema nasprotnima silama, ki prijemljeta na enaki oddaljenosti od središča polvalja. Ker so vse sile v ravnovesju, se izpodriv polvalja ne spremeni (slika 19). Na tak način lahko opišemo ravnovesno stanje za poljuben kot nagiba, oziroma narišemo vodno linijo za poljuben kot [2].
-40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40
-25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25
0 2 4 6 8 10 12 14
α(ωt) [°]
xT(ωt), yS(ωt) [mm]
ωt [rad]
