STATIČNA STABILNOST JADRNICE

PEDAGOŠKA FAKULTETA

BLAŽ URŠIČ

STATIČNA STABILNOST JADRNICE

DIPLOMSKO DELO

Ljubljana, 2015

UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA

Študijski program: FIZIKA - TEHNIKA

BLAŽ URŠIČ

Mentor: doc. dr. JURE BAJC

Somentorica: asist. dr. BARBARA ROVŠEK

STATIČNA STABILNOST JADRNICE DIPLOMSKO DELO

Ljubljana, 2015

B. Uršič i

Zahvala

Zahvaljujem se somentorici dr. Barbari Rovšek in mentorju dr. Juriju Bajcu, ki sta s strokovno pomočjo, nasveti in idejami prispevala k nastanku diplomskega dela.

Največja zahvala gre mojim staršem Elju in Branki ter bratu Luki, ki so me vsa leta šolanja podpirali in verjeli vame.

B. Uršič ii

B. Uršič iii

Povzetek

V diplomski nalogi obravnavam statično stabilnost jadrnice za rotacijo okrog vzdolžne osi.

Trup jadrnice pri pojasnjevanju osnovnih pojmov, ki se dotikajo plovnosti in statične stabilnosti, poenostavim do te mere, da lahko parametre opišem z enostavnimi matematičnimi izrazi. V teoretičnem delu vpeljem vse osnovne pojme, ki so pomembni za opis plavajočega telesa. Definiram in pojasnim krivuljo statične stabilnosti plovila, ki predstavlja osrednji del diplomske naloge. Z računalniškim programom Geogebra analitično določim položaje vodne gladine za različne kote nagiba ter vpeljem skupno potencialno energijo sistema. V nadaljevanju statično stabilnost obravnavam z vidika treh spremenljivk – balasta, oblike prečnega prereza trupa in širine trupa.

V praktičnem delu s pomočjo treh poenostavljenih modelov trupov analiziram vpliv vseh obravnavanih spremenljivk (balasta, širine in oblike) na statično stabilnost. Za vsakega od primerov izrišem krivuljo stabilnosti. Rezultate povežem s teoretičnimi predpostavkami, predstavljenimi v prvem delu diplome. V tem delu predstavim tudi eksperimentalno metodo, s katero sem določil izravnalni navor brez določanja prijemališča vzgona.

Ključne besede: Plavanje, nagibanje, statična stabilnost, prijemališče vzgona, težišče, izravnalni navor, krivulja stabilnosti, metacenter.

B. Uršič iv

Abstract

In this thesis static stability of a sailboat is presented with focus on rotation about its longitudinal axis. For an explanation of basic concepts which are connected to buoyancy and static stability of the boat, the boat’s hull is simplified to the extent which allows for description of all parameters with simple mathematical expressions. In the theoretical part basic terms which are important for the description of a floating body are intoduced and the curve of static stability of the vessel is explained, which represents the central part of the thesis. A computer program Geogebra is used for analytical determination of the position of the water line for different angles of inclination and the total potential energy of the system is introduced. Further, static stability is discussed in terms of three variables – ballast, cross- sectional shape of the hull and the width of the hull.

In the practical part of this thesis the impact of all previously introduced variables (ballast, width and shape) is analyzed with the help of three simplified models of hulls. For each case, the curve of static stability is plotted. Data, obtained at measurements is linked to the theoretical results, presented in the first part of the thesis. Experimental method used for determining the balancing torque without determining the center of buoyancy is also explained in this part.

Keywords: Floating, rolling, statical stability, center of buoyancy, center of gravity, righting moment, metacentre.

B. Uršič v

Kazalo

Zahvala ... i

Povzetek ... iii

Abstract ... iv

Kazalo ... v

Slike ... vi

1 Uvod ... 1

2 Statična stabilnost jadrnice okrog vzdolžne osi ... 3

2.1 Sile pri nagibu ... 3

2.2 Delo nagiba ... 6

2.3 Krivulja osi vrtenja plovila pri nagibanju ... 7

2.4 Skupna potencialna energija sistema ... 11

2.5 Začetni metacenter ... 12

2.6 Odvisnost statične stabilnosti od balasta ... 16

2.7 Odvisnost statične stabilnosti od oblike in širine prečnega prereza trupa ... 18

3 Praktični del ... 21

3.1 Prikaz meritve in teoretični izračun izravnalnega navora za primer kvadra ... 21

3.2 Odvisnost statične stabilnosti od oblike trupa ... 23

3.2.1 Krivulje stabilnosti ... 24

3.2.2 Delo nagiba ... 31

3.2.3 Interpretacija rezultatov ... 34

3.3 Odvisnost stabilnosti od širine trupa ... 35

3.3.1 Delo nagiba ... 36

3.3.2 Interpretacija rezultatov ... 37

3.4 Odvisnost stabilnosti od balasta ... 37

3.4.1 Delo nagiba ... 39

3.4.2 Interpretacija rezultatov ... 40

4 Zaključek ... 41

5 Literatura ... 43

B. Uršič vi

Slike

Slika 1: Prečni prerez kvadra s koordinatnim sistemom plovila. ... 3

Slika 2: Prikaz položaja težišča in prijemališča vzgona ... 4

Slika 3: Tipična krivulja stabilnosti za jadrnico. ... 5

Slika 4: Položaj težišča jadrnice in prijemališča vzgona pri kotu prevrnitve. ... 6

Slika 5: Primerjava izravnalnih navorov za jadrnici z različnim izpodrivom. ... 7

Slika 6: Koordinatni sistem plovila in koordinatni sistem okolice. ... 7

Slika 7: Premikanje točke O pri nagibanju delno potopljenega valja . ... 8

Slika 8: Dva položaja, kjer točka O miruje glede na koordinatni sistem kvadra. ... 9

Slika 9: Vodna črta (g) pri kotih α1 < α < α2. ... 9

Slika 10: Premikanje središča vodne črte v koordinatnem sistemu kvadra pri nagibanju. ... 10

Slika 11: Premikanje točke O, prijemališča vzgona V ter razdalji yt in y_h. ... 11

Slika 12: Oblika grafa skupne potencialne energije za primer homogenega kvadra ... 12

Slika 13: Prijemališče vzgona (Vx), težišče (T) in začetni metacenter (M0). ... 13

Slika 14: Stabilna (a), indiferentna (b) in nestabilna ladja (c). ... 15

Slika 15: Indiferentno plavanje homogenega valja. ... 16

Slika 16: Oblika krivulje statične stabilnosti za idealno obteženo telo. ... 17

Slika 17: Dva enako stabilna trupa. ... 18

Slika 18: Krivulja statične stabilnosti za homogeno telo z idealno obliko. ... 19

Slika 19: Primerjava začetnih metacentričnih višin in dolžin izravnalnih ročic ... 20

Slika 20: Primerjava začetnih metacentričnih višin in dolžin izravnalnih ročic ... 20

Slika 21: Prikaz postavitve poskusa za meritev izravnalnega navora. ... 22

Slika 22: Sile in ročice pri meritvi. ... 22

Slika 23: Modela trupa s pravokotnim in polkrožnim presekom. ... 24

Slika 24: Ročno nagibanje in označevanje ugreznjenega dela trupa. ... 24

Slika 25: Težišče krožnega segmenta ... 25

Slika 26: Določanje težišča (prijemališča vzgona) za sestavljen lik ABC. ... 26

Slika 27: Prijemališča vzgona V za pozitivno stabilnost polvalja. ... 27

Slika 28: Prijemališča vzgona V za negativno stabilnost polvalja. ... 27

Slika 29: Krivulja statične stabilnosti za polvalj. ... 28

Slika 30: Načrtovalno določanje težišča trapeza. ... 29

Slika 31: Prijemališča vzgona V za pozitivno stabilnost kvadra. ... 29

Slika 32: Prijemališča vzgona V za negativno stabilnost kvadra. ... 30

Slika 33: Krivulja statične stabilnosti za kvader. ... 31

Slika 34: Krivulja pozitivnih izravnalnih ročic za polvalj. ... 32

Slika 35: Krivulja pozitivnih izravnalnih ročic za kvader. ... 33

Slika 36: Prijemališča vzgona za pozitivno stabilnost širokega kvadra. ... 35

Slika 37: Krivulja pozitivne statične stabilnosti za širok kvader. ... 36

Slika 38: Prijemališča vzgona za pozitivno stabilnost kvadra z nizkim težiščem. ... 38

Slika 39: Krivulja pozitivne statične stabilnosti za kvader z nizkim težiščem. ... 39

B. Uršič 1

1 Uvod

Vodna plovila so za človeka že od nekdaj pomemben način transporta, v moderni dobi pa tudi rekreacije in sprostitve. Pri projektiranju plovila se moramo zavedati njegove dinamike pri plavanju, saj je od tega odvisna njegova uporabnost in tudi varnost. V tem diplomskem delu bomo obravnavali le eno od možnih gibanj plovila, pri čemer se bomo osredotočili na specifično plovilo – jadrnico. Poznavanje pojmov, ki se nanašajo na statično stabilnost je za jadrnico toliko bolj pomembna, saj za pogon uporablja veter in se zato že pri normalnem obratovanju močno nagiba. Model jadrnice bomo pri obravnavi poenostavili do te mere, da postanejo računi pregledni, pri čemer pa vseeno lahko vpeljemo vse pojme in parametre, s katerimi opišemo plovnost realnih plovil z netrivialnimi oblikami trupov.

Plovilo na mirujoči vodni gladini in takrat, ko ne piha, zavzame stabilno ravnovesno lego.

Zunanja motnja – val, veter ali premikanje posadke na plovilu – pa povzroči translacijo plovila in tudi odmik plovila od ravnovesne lege. Gibanja plovila okoli njegove ravnovesne lege, pri čemer se v povprečju plovilo nikamor ne premakne, lahko opišemo kot rotacije okoli treh osi – navpično (y), vzdolžno (z) in prečno (x). Tako poznamo tri rotacijska periodična gibanja: nagib (ang. roll), naklon (ang. pitch), odklon (ang. yaw) [1]. Angleška poimenovanja so bila dodana zaradi neenotnosti slovenskih izrazov za opis naštetih gibanj. V nadaljevanju diplomskega dela bo predstavljena le rotacija okrog vzdolžne osi (z).

V teoretičnem delu diplome najprej pojasnim osnovne pojme, ki so pomembni za obravnavanje nagiba pri plavanju telesa. Celotna diploma opisuje stanje plovila, ko so vse sile v ravnovesju, ne pa nujno tudi navori. Tako pri plavanju obravnavamo dve sili – silo teže in vzgon. Za opis različnih stanj nagiba moramo poznati tudi njuni prijemališči. Že pri rahlem nagibu pride do razmika med omenjenima silama. Pojavi se navor, ki skuša jadrnico zopet zravnati - imenujemo ga izravnalni navor. Pri nagibanju telesa v vodi hitro ugotovimo, da se izravnalni navor spreminja s kotom nagiba. Tako lahko stabilnost plovila izrazimo s funkcijo izravnalnega navora v odvisnosti od kota nagiba. Imenujemo jo tudi krivulja statične stabilnosti, ki predstavlja osrednji del diplome. V nadaljevanju so predstavljeni podatki, pomembni za opis statične stabilnosti plovila, ki jih lahko razberemo iz grafov omenjenih krivulj.

Kot študenta fizike me je zanimalo, ali lahko za preprosto obliko trupa (kvader) krivuljo stabilnosti določim tudi analitično, kar je pojasnjeno v poglavju 2.3. Izkaže se, da je os nagibanja plavajočega telesa relativno zapleteno določiti, saj pri določenih nagibih poleg rotacije telesa opisujemo tudi translacijo. Za opis nagiba sta bila na tem mestu definirana dva koordinatna sistema – sistem okolice in sistem plovila. Premikanje osi vrtenja je bilo prikazano s pomočjo računalniškega programa Geogebra. Ker tako določimo lego vodne gladine pri vseh kotih, je bilo mogoče prikazali tudi obliko grafa skupne potencialne energije, ki predstavlja spremembo dela nagiba.

B. Uršič 2 V poglavju 2.5 je računsko in grafično predstavljeno osnovno merilo za oceno stabilnosti plovila – začetni metacenter. Opisani so trije možni načini plavanja in njihove relacije do omenjenega parametra. V nadaljevanju teoretičnega dela je stabilnost jadrnice smiselno razčlenjena na osnovne spremenljivke. To so balast, oblika in širina. Predstavljeni so vplivi posamezne spremenljivke na statično stabilnost jadrnice in posledično tudi obliko krivulje statične stabilnosti.

V praktičnem delu s pomočjo enostavnih modelov trupov preverim odnose med vsemi naštetimi spremenljivkami. Najprej predstavim še en način, s katerim lahko narišemo krivuljo statične stabilnosti za telo s poljubno obliko brez določanja prijemališča vzgona za vsak kot nagiba. Nato za primer kvadra in polvalja eksperimentalno določim dolžine izravnalnih ročic in v programu Microsoft Excel izrišem krivuljo stabilnosti za posamezen primer. V nadaljevanju s pomočjo teoretičnih predpostavk, predstavljenih v drugem poglavju, iz krivulj stabilnosti izračunam delo prevrnitve za primer kvadra in polvalja. Nato preverim odvisnost stabilnosti od širine trupa, za kar uporabim dva kvadra različnih širin. Tudi tokrat izračunam delo nagiba, pri čemer se osredotočim na začetno stabilnost. Nazadnje eksperimentalno preverim odvisnost stabilnosti od balasta, pri čemer sem pozoren na kot prevrnitve (absolutno stabilnost). Vsaki meritvi sledi interpretacija rezultatov, kjer ugotovitve povežem s teorijo, predstavljeno v drugem poglavju.

B. Uršič 3

2 Statična stabilnost jadrnice okrog vzdolžne osi

V tem poglavju se bomo osredotočili na nagibanje jadrnice (plovila) okrog vzdolžne osi. Vse spremenljivke bodo obravnavane na poenostavljenih modelih trupov, ki se jim prerez pravokotno na vzdolžno os ne spreminja. Tako vse probleme omejimo na prerez trupa. Za lažji prikaz dolžin in položajev pomembnih točk, uporabljamo koordinatni sistem, ki je predstavljen na sliki 1. Ta slika predstavlja prečni prerez kvadra, ki velja za najpogosteje uporabljeno poenostavitev trupa plovila. Kvader plava na vodi, vodna linija (gladina) je označena z g. Točka T predstavlja težišče plovila v tem pogledu, točka V0 pa začetno prijemališče vzgona. Slika 1 predstavlja plovilo v ravnovesni legi.

Slika 1: Prečni prerez kvadra s koordinatnim sistemom plovila [2].

2.1 Sile pri nagibu

Na mirujočo jadrnico v vodi delujeta dve sili, ki sta po velikosti enaki – sila vzgona, ki kaže navpično navzgor ter sila teže, ki kaže navpično navzdol. Sila vzgona prijemlje v prijemališču vzgona (V), ki se nahaja v težišču izpodrinjene tekočine. Sila teže prijemlje v težišču jadrnice (T), kot kaže slika 2. Ko je jadrnica v pokončnem položaju, se nosilki obeh sil prekrivata, kar pomeni, da se točki V in T nahajata na premici, ki gre skozi središče prereza jadrnice. Drugače je, ko se jadrnica nagne. V tem primeru se zaradi spremenjene oblike potopljenega dela trupa, točka V premakne iz prejšnje lege. Težišče jadrnice se glede na sistem jadrnice ne premika, zato se med nosilkama sile teže in sile vzgona pojavi razdalja, ki jo imenujemo izravnalna ročica (r*) in jo merimo v vodoravni smeri, kot je prikazano na sliki 2. Zaradi izravnalne ročice, na jadrnico deluje t.i. izravnalni navor

B. Uršič 4

𝑀_{𝑖𝑧𝑟𝑎𝑣𝑛𝑎𝑙𝑛𝑖}= 𝑚𝑔𝑟^∗, (1)

ki jo skuša vrniti v pokončno lego. Iz slike 2 je razvidno, da je to navor dvojice enakih, a nasprotno predznačenih sil. Pri nagibanju torej vedno predpostavljamo, da so sile v statičnem ravnovesju (∑ 𝐹⃑ = 0), ne pa tudi navori. V enačbi je z m označena masa jadrnice, ki je enaka masi izpodrinjene tekočine (t.i. izpodrivu jadrnice). V navtični terminologiji se namesto mase plovila večinoma uporablja izraz izpodriv. Navadno je označen z ∆ in se podaja v kilogramih (tonah) [3].

Slika 2: Prikaz položaja težišča in prijemališča vzgona pri zravnani a) in nagnjeni jadrnici b).

Prijemališče vzgona V se pri nagibanju jadrnice premika (glede na jadrnico), zato se spreminja tudi dolžina izravnalne ročice in navor omenjenih sil, ki skušata jadrnico zravnati.

Stabilnost jadrnic (ladij) pogosto podajamo s krivuljami izravnalnih ročic (r*) v odvisnosti od kota nagiba (α) do 180°. Ker pa je možno, da imajo manjša plovila enake ali daljše izravnalne ročice kot večja, je bolje podajati graf izravnalnih navorov (1) v odvisnosti od kota nagiba.

Ker je odvisnost med izravnalnimi ročicami in izravnalnimi navori premo-sorazmerna, imata obe krivulji enako obliko, vendar drugačne enote [3]. Smisel krivulje izravnalnih navorov bo predstavljen v naslednjem podpoglavju. Primer tipične krivulje stabilnosti je prikazan na sliki 3.

B. Uršič 5 Slika 3: Tipična krivulja stabilnosti za jadrnico [4].

Iz krivulje stabilnosti je mogoče razbrati nekatere podatke, ki so pomembni za jadrnico:

- Strmina krivulje pri majhnih kotih nam pove, ali se jadrnica bolj ali manj upira nagibanju zaradi vetra. Jadrnica je lahko ''mehka'' (ang. tender) ali ''trda'' (ang. stiff).

Pri prvi je krivulja pri majhnih kotih bolj položna, kar pomeni, da sta za nagib potrebna manjša sila in navor.

- Pri kotu največje izravnalne ročice bo tudi izravnalni navor največji. Ta kot bo v nadaljevanju označen z αmax. V navtični literaturi je za ta kot uveljavljena kratica AMS (ang. angle of maximum stability). Če je ta kot majhnen, se jadrnica pri običajnem jadranju malo nagiba, vendar pri manjšem kotu - ki je večji od αmax - izgubi stabilnost.

V kolikor je kot največje izravnalne ročice velik, se jadrnica pri jadranju nagiba nekoliko bolj, vendar se težje prevrne.

- Pri kotu prevrnitve je prijemališče vzgona zopet poravnano s težiščem jadrnice (gledamo navpično os), zato na jadrnico preneha delovati izravnalni navor, kar vodi v prevrnitev (slika 4). Pri tem kotu je jadrnica v meta-stabilni legi. Le majhna zunanja motnja jo lahko sune v napačno smer in jadrnica se prevrne. Ta kot bo v nadaljevanju označen z αp. V navtični literaturi je za ta kot uveljavljena kratica AVS (ang. angle of vanishing stability). Jadrnica z večjim α_p se težje prevrne.

- V kolikor v graf M(α) vnašamo vrednosti izravnalnega navora (1), ploščina pod krivuljo predstavlja delo, ki je potrebno za nagib jadrnice do določenega kota. Če je ploščina pod delom krivulje, ki predstavlja negativno stabilnost, glej sliko 3, majhna, lahko pričakujemo, da se bo jadrnica izravnala že zaradi vetra in valov, ki so jo prevrnili (v kolikor ne upoštevamo upora potopljenih jader) [4].

(𝛼_𝑚𝑎𝑥)

(𝛼_𝑝)

B. Uršič 6 Slika 4: Položaj težišča jadrnice in prijemališča vzgona pri kotu prevrnitve.

2.2 Delo nagiba

Iz dela nagiba lahko neposredno sklepamo na površino jader, pri kateri bo jadrnica še lahko obratovala, saj se jadrnica nagiba zaradi navora sile vetra, ki deluje na jadra in se preko jambora ter drugih vpetij prenaša na trup jadrnice. Navor sile vetra je večji, ko je površina jader večja. Ali drugače – ko predvidimo površino jader, lahko s pomočjo krivulje stabilnosti ugotovimo kot, za katerega se bo jadrnica nagnila ob določeni hitrosti vetra [3]. Delo, opravljeno do določenega nagiba lahko izračunamo po formuli:

𝐴_𝛼 = 𝐹_𝑣𝑠, (2)

oziroma

𝐴_𝛼 = ∫ 𝑀𝑑𝛼. (3)

Izkaže se, da je delo nagiba odvisno od višinske razlike, ki jo je opravilo prijemališče vzgona V [2]. V enačbi (2) je ta razdalja označena z s, Fv pa predstavlja velikost sile vzgona. Razdalja s se povečuje do kota prevrnitve (αp). Delo nagiba lahko ocenimo tudi s pomočjo krivulj stabilnosti. Ploščina dS pod krivuljo izravnalnih ročic je enaka vertikalni kompomenti premika prijemališča vzgona. Če jo pomnožimo s silo vzgona, dobimo delo dA, potrebno za nagib jadrnice za dα. Integral nam da celotno delo, potrebno za prevrnitev jadrnice, oziroma njen nagib do določenega kota. Če za oceno dela uporabimo krivuljo izravnalnih navorov, delo predstavlja kar ploščina pod to krivuljo (enačba 3) [2]. Ploščino pod krivuljo dobimo z integracijo funkcije v določenih mejah:

𝑆 = ∫ 𝑓(𝛼) 𝑑𝛼

𝑏 𝑎

. (4)

B. Uršič 7 Krivulje stabilnosti so izdelane na podlagi meritev, zato jih navadno aproksimiramo s polinomi in ploščino izračunamo numerično, kakor bo predstavljeno v praktičnem delu. Na sliki 5 sta predstavljeni krivulji izravnalnih momentov dveh jadrnic z enakimi krivuljami izravnalnih ročic, vendar različnim izpodrivom. Izravnalni moment jadrnice z večjim izpodrivom (polna črta) je večji, zato ta jadrnica prenese večjo površino jader, kar pa je za njeno gibanje nujno, saj mora odrivati večjo prostornino vode [3].

Slika 5: Primerjava izravnalnih navorov za jadrnici z različnim izpodrivom [5].

2.3 Krivulja osi vrtenja plovila pri nagibanju

Če želimo natančno opisati nagibanje plovila, moramo poznati os vrtenja. Za opis gibanja v prostoru, moramo plovilo postaviti v koordinatni sistem okolice. Postavimo ga tako, da njegova abscisna os (X) leži na vodni gladini, ordinatna (Y) pa je pravokotna nanjo.

Koordinatni sistem okolice ima izhodišče v točki O, ki označuje središče vodne črte na preseku (slika 6) [6].

Slika 6: Koordinatni sistem plovila in koordinatni sistem okolice [6].

B. Uršič 8 Čeprav ni očitno, se izkaže, da os vrtenja plovila sovpada s točko O, ki v koordinatnem sistemu okolice miruje, ne pa tudi v koordinatnem sistemu plovila, ki je označen z osema x in y. V nadaljevanju bomo pokazali, kako se os vrtenja (oziroma točka O) premika v koordinatnem sistemu plovila. Vodna linija presek plavajočega telesa zaradi zahteve po ravnovesju sil vedno razdeli tako, da je ploščina potopljenega dela konstantna. Zaradi enostavnosti, bo premikanje točke O najprej predstavljeno na primeru delno potopljenega homogenega valja. Na sliki 7 vidimo, da središče vodne linije v koordinatnem sistemu valja pri nagibanju potuje po krožnici [6].

Slika 7: Premikanje točke O pri nagibanju delno potopljenega valja [6].

Drugače je pri nagibanju kvadra, ki ima pravokoten presek. Takoj lahko vidimo, da gre pri nagibanju do kota α1 (slika 8) le za rotacijo okrog osi, ki leži na presečišču navpične simetrale in vodne gladine. Do tega kota je pogoj o konstantni ploščini potopljenega preseka vedno izpolnjen, saj se pri določenem nagibu iz vode dvigne enaka ploščina preseka, kakor na drugi strani potone. Podobno se točka O pri nagibu, večjem od kota α2 nahaja na presečišču horizontalne simetrale in vodne gladine (slika 8).

B. Uršič 9 Slika 8: Dva položaja, kjer točka O miruje glede na koordinatni sistem kvadra.

Pogoja za mirovanje točke O na presečiščih simetral in vodne gladine se glasita:

𝛼 ≤ 𝛼₁ = tan⁻¹(2𝑐

𝑎) in (5)

𝛼 ≥ 𝛼₂ = tan⁻¹(𝑏²

2𝑎𝑐) (6)

Pri vmesnih kotih (α1 < α < α2) nagibanja kvadrane moremo opisati le z rotacijo, ampak s kombinacijo rotacije in translacije. Točka O v tem primeru potuje po krivulji, razpeti med točkama O₁ in O_2. Za prikaz premikanja vodne gladine v koordinatnem sistemu kvadra, si bomo pomagali s premico, ki predstavlja vodno gladino. Če izhodišče koordinatnega sistema kvadra postavimo v enega od kotov kvadra, se enačba premice za vmesne kote glasi:

𝑏 = 𝑘𝑥₁+ 𝑛 (7)

ali

𝑥₁ = 1

𝑘(𝑏 − 𝑛), (8)

pri čemer je vrednost n vedno pozitivna, k pa predstavlja vrednost tan α.Vse uporabljene spremenljivke so prikazane na sliki 9.

Slika 9: Vodna črta (g) pri kotih α1 < α < α2.

Vodna linija mora presek razdeliti tako, da je ploščina pod (ali nad) njo konstantna (S1), zato lahko zapišemo:

B. Uršič 10 𝑆₁ = 𝑎(𝑏 − 𝑐) =1

2(𝑏 − 𝑛)𝑥₁ = 1

2𝑘(𝑏 − 𝑛)². (9)

Za izris položaja gladine na preseku kvadra, moramo izraziti vrednost n:

𝑛 = 𝑏 − √2𝑘𝑎(𝑏 − 𝑐) = 𝑏 − √2𝑘(𝑆 − 𝑆₁) (10) ali x1:

𝑥₁ = √2(𝑆 − 𝑆₁) 𝑘 ,

(11)

kjer S predstavlja ploščino celotnega preseka kvadra. Z zgornjimi izrazi lahko v koordinatnem sistemu kvadra zapišemo enačbo premice (y = kx + n), ki ponazarja vodno gladino za poljuben kot nagiba. Spomnimo se, da točka O leži na sredini vodne črte na preseku kvadra. S pomočjo računalniškega programa Geogebra lahko z vnosom enačbe za vodno gladino na enostaven način prikažemo premikanje točke O v koordinatnem sistemu kvadra. Na ta način poiščemo krivuljo, po kateri se točka O premika med skrajnima legama O₁ in O₂, kakor je prikazano na sliki 10.

Slika 10: Premikanje središča vodne črte (O) v koordinatnem sistemu kvadra pri nagibanju od 0 do 90°.

O₁

O₂

O

B. Uršič 11

2.4 Skupna potencialna energija sistema

Vpeljemo lahko pojem skupne potencialne energije [7], ki je vsota potencialne energije telesa, ki plava (Wp) in potencialne energije izpodrinjene tekočine (Wh). Wh vpeljemo kot t.i.

hidrostatično potencialno energijo [7]. Skupno potencialno energijo zapišemo kot:

𝑊_{𝑠𝑘𝑢𝑝𝑛𝑎}= 𝑊_𝑝+ 𝑊_ℎ. (12)

Skupna potencialna energija je definirana v koordinatnem sistemu okolice. Potencialna energija plavajočega telesa je določena z višino težišča yt:

𝑊_𝑝 = 𝑦_𝑡𝐹⃑⃑⃑⃑⃑_𝑔, (13)

Hidrostatična potencialna energija pa z višino prijemališča vzgona yv:

𝑊_ℎ = 𝑦_ℎ𝐹⃑⃑⃑⃑⃑_𝑣. (14)

Skupna potencialna energija doseže največjo vrednost pri kotu prevrnitve, najmanjšo vrednost pa zavzame v ravnovesju, zato sistem teži k tej legi. Sprememba skupne potencialne energije sistema je enaka delu nagiba [7]. S pomočjo animacije nagiba kvadra v programu Geogebra lahko narišemo graf skupne potencialne energije. Za določitev razdalje y_h moramo poznati položaj prijemališča vzgona za vse kote nagiba. Krivulja, po kateri se premika prijemališče vzgona v sistemu kvadra je prikazana na sliki 11.

Slika 11: Premikanje točke O, prijemališča vzgona V ter razdalji yt in yh.

Sedaj lahko narišemo graf skupne potencialne energije za primer kvadra, ki je prikazan na sliki 12.

B. Uršič 12 Slika 12: Oblika grafa skupne potencialne energije za primer homogenega kvadra pri

nagibanju do 90°.

Teoretično je mogoče določiti tudi kot prevrnitve. Ta se zgodi, ko je prijemališče vzgona na isti vertikali kakor težišče. Pri homogenem kvadru kot prevrnitve znaša 90°. Opazimo lahko, da je skupna potencialna energija največja pri kotu prevrnitve. Pri tem kotu je največje tudi delo nagiba, oziroma vertikalen razmik med težiščem in prijemališčem vzgona.

2.5 Začetni metacenter

Pomemben pojem, ki se pogosto uporablja pri opisovanju statične stabilnosti plovil, je začetni metacenter (M0). To je točka, v kateri nosilka sile vzgona seka simetralo prečnega prereza plavajočega telesa (jadrnice). Položaj metacentra je grafično prikazan na sliki 13. Za prikaz nagiba bomo v nadaljevanju obravnavali prečni prerez kvadra – pravokotnik. Koordinatni sistem predstavljata osnovnica pravokotnika (os x) in njena simetrala (os y). Izhodišče koordinatnega sistema je v točki K.

Wskupna

α1 90° α

B. Uršič 13 Slika 13: Prijemališče vzgona (Vx), težišče (T) in začetni metacenter (M0) [4].

Pri majhnih kotih nagiba (do okrog 10°) predpostavljamo, da metacenter v koordinatnem sistemu jadrnice miruje, saj se prijemališče vzgona pri majhnem nagibu premakne le v smeri osi x. Oddaljenost začetnega metacentra od začetnega prijemališča vzgona v tem primeru računamo po formuli:

𝑉₀𝑀₀ = 𝑉₀𝑉_𝑥

tan 𝛼, (15)

pri čemer z 𝑉₀𝑉_𝑥 označimo premik prijemališča vzgona v smeri osi x. Položaj prijemališča vzgona lahko dobimo na več načinov, na primer z grafičnimi metodami. Tokrat bomo uporabili metodo momentov. Iz slike 13 je razvidno, da se pri nagibu del preseka trupa pogrezne v vodo, del pa dvigne iz vode. Na levi strani je dvignjen trikotnik s težiščem -bα in na desni ugreznjen s težiščem v bα [2]. Ploščina tega trikotnika je:

𝐴_∆ =1 2(𝑏

2) (𝑏

2) tan 𝛼 = (𝑏²

8) tan 𝛼.

(16) Razdalja med težiščema trikotnikov v smeri x je:

𝑟_𝑥 =2 (𝑏 2)

3 +2 (𝑏 2)

3 = 2 (𝑏

3). (17)

S pomočjo razdalje r_x in znane ploščine 𝐴_∆ lahko izrazimo ravnovesje navorov:

𝑉₀𝑉_𝑥

̅̅̅̅̅̅𝐴₀ = 𝑟_𝑥𝐴_∆ (18)

B. Uršič 14 in premik prijemališča vzgona v smeri x:

𝑉₀𝑉_𝑥 =𝑟_𝑥𝐴_∆

𝐴₀ = ( 𝑏³

12𝐴₀) tan 𝛼,

(19) pri čemer je A0 ploščina potopljenega dela pravokotnika, ki se ne spreminja. Najlažje jo izračunamo s pomočjo začetnega ugreza d0:

𝐴₀ = 𝑏𝑑₀. (20)

Če izračunan premik prijemališča v smeri osi x vstavimo v enačbo (15), dobimo:

𝑉₀𝑀₀ = ( 𝑏³

12𝐴₀) tan 𝛼

tan 𝛼 = 𝑏³

12𝐴₀. (21)

Formulo moramo prilagoditi za kvader, ki ima razsežnost tudi v smeri z (dolžino l). Ploščina podvodnega dela A0 se tako spremeni v prostornino podvodnega dela V, vztrajnostni moment daljice (𝑏³/12) pa v drugi moment ploskve plavajočega telesa na ravnini plavanja okrog osi z:

𝐼_𝑧= 𝑏³ 12𝑙.

(22) Enačba za oddaljenost začetnega metacentra od začetnega prijemališča vzgona, ki velja za kvader je nato:

𝑉₀𝑀₀ = 𝑏³𝑙 12 𝑉 =𝐼_𝑧

𝑉.

(23) Razdaljo med težiščem in začetnim metacentrom imenujemo metacentrična višina in jo označimo s TM0 ali h_m. Metacentrična višina je kriterij, na podlagi katerega najlažje ocenimo stabilnost plavajočega telesa (jadrnice) [8]. Poznamo tri vrste ravnotežja:

- Stabilno plavanje (hm > 0).

- Indiferentno plavanje (h_m = 0).

- Nestabilno (labilno) plavanje (h_m < 0) [9].

Vse tri vrste ravnotežja so predstavljene na sliki 14. Puščice označujejo silo vzgona in silo teže.

B. Uršič 15 Slika 14: Stabilna (a), indiferentna (b) in nestabilna ladja (c) [9].

a) Stabilno plavanje

Pogoj za stabilno plavanje telesa je pozitivna metacentrična višina. To pomeni, da se mora začetni metacenter nahajati nad težiščem. Ko se telo (jadrnica) nagne, se med navpičnima nosilkama prijemališča vzgona in težišča pojavi izravnalna ročica in navor, ki skuša jadrnico zopet postaviti v ravnovesno lego (slika 14) [10].

b) Indiferentno plavanje

Metacenter v tem primeru sovpada s težiščem telesa. Telo pri vsaki zunanju motnji zavzame novo lego, saj je pri nagibu dolžina izravnalne ročice enaka 0, zato ni navora, ki bi telo postavil v prvotno lego (slika 14) [10]. Indiferentno plavanje najlažje ponazorimo s homogenim valjem, kot je prikazano na sliki 15. Pri homogenem valju težišče sovpada z metacentrom. Prijemališče vzgona je vedno pod težiščem, zato se izravnalna ročica ne pojavi pri nobenem kotu nagiba.

a) b)

c)

𝐹_𝑉

⃑⃑⃑⃑⃑

𝐹𝑉

⃑⃑⃑⃑⃑

𝐹_𝑉

⃑⃑⃑⃑⃑

𝐹_𝑔

⃑⃑⃑⃑

𝐹_𝑔

⃑⃑⃑⃑

𝐹𝑔

⃑⃑⃑⃑

B. Uršič 16 Slika 15: Indiferentno plavanje homogenega valja [6].

c) Nestabilno plavanje

Metacenter se v tem primeru nahaja pod težiščem. Ko se telo nagne za majhen kot, se med silo teže in silo vzgona pojavi ročica. Na telo začne delovati prevrnitveni moment, ki ga zavrti tako, da zavzame novo stabilno lego (slika 14) [10].

V kolikor je težišče nižje od prijemališča vzgona, je plavanje vedno stabilno. V ostalih primerih je potrebno izračunati metacentrično višino ter oceniti stabilnost po omenjenih kriterijih. Iz napisanega lahko sklepamo, da morajo imeti vse jadrnice (in ladje) pozitivno metacentrično višino. Okvirne vrednosti metacentričnih višin za različne vrste plovil so zbrane v preglednici 2.1.

Preglednica 2.1: Tipične vrednosti hm za različne vrste plovil [4].

Vrsta plovila Metacentrična višina

Tovorne ladje 0,3 m – 0,5 m

Tankerji 0,5 m – 2 m

Supertankerji 2 m – 5 m

Ladje za prevoz vozil (Ro – Ro) 1,5 m

Ladje za razsuti tovor 2 m – 3 m

Jadrnice Do 4 m

2.6 Odvisnost statične stabilnosti od balasta

Zaradi potrebe po večji stabilnosti nagiba, jadrnice običajno dodatno obtežujemo ter jim tako znižamo težišče. Poleg tega z dodajanjem mase jadrnici povečujemo silo teže (in vzgon). To pomeni večje izravnalne navore pri nagibanju, kar smo že omenili (slika 5). Utež je

B. Uršič 17 nameščena na kobilici, saj tako povečamo učinek dodajanja mase. Pri modernejših jadrnicah se uporabljajo tudi premične kobilice, ki se po potrebi nagibajo proti vetru ter tako povečujajo razdaljo med prijemališčem vzgona in težiščem (r*), kar vodi v povečano stabilnost. Na ta način lahko jadrnica z relativno majhnim izpodrivom prenaša veliko površino jader in posledično pluje hitreje. Podoben učinek je mogoče doseči tudi s prečrpavanjem vode med balastnimi posodami na bokih jadrnice ali s pravilno razporeditvijo oseb na jadrnici med jadranjem v bočnem vetru [11]. Omenjene metode premikajo težišče v smeri osi x v koordinatnem sistemu jadrnice. V tem poglavju bomo premikanje težišča jadrnice omejili na dve spremenljivki – pomikanje uteži v smeri y v koordinatnem sistemu jadrnice in maso uteži.

Čeprav se zdi, da je balast za jadrnice ključnega pomena, se izkaže, da prispeva le del stabilnosti. Balast ključno vpliva na stabilnost, če želimo izdelati jadrnico, ki se bo pri zunanjih motnjah vedno postavila v pokončen položaj [3]. Taka jadrnica bi bila podobna obteženi boji in ne bi imela negativnega dela krivulje stabilnosti (slika 16).

Slika 16: Oblika krivulje statične stabilnosti za idealno obteženo telo [5].

Večji del stabilnosti pri jadrnicah prispeva oblika trupa (predvsem širina), kar bo podrobneje opisano v naslednjem poglavju. Naloga balasta je predvsem znižanje težišča jadrnice. Za računanje težišča v smeri y (v koordinatnem sistemu jadrnice) uporabimo enačbo:

𝑦_𝑡= 𝑦_𝑡1𝑚₁+ 𝑦_𝑡2𝑚₂ 𝑚₁+ 𝑚₂ ,

(24) pri čemer yt1 in yt2 predstavljata koordinate težišča uteži ter trupa, m1 in m2 pa maso uteži in maso trupa [12]. Ta enačba bo uporabljena za računanje težišča obteženih modelov trupov v praktičnem delu. Nižanje težišča jadrnice neposredno vpliva na dolžino izravnalne ročice r*, vendar prinaša tudi nekatere slabosti. Iz enačbe (24) je razvidno, da lahko za nižanje težišča povečujemo maso uteži na kobilici (m1) ali pa podaljšujemo kobilico (yt1). Podaljševanje kobilice je najboljši način za nižanje težišča, saj lahko ob minimalnem povečanju izpodriva jadrnice dosežemo velike učinke na stabilnost. Tak način nižanja težišča se uporablja pri tekmovalnih jadrnicah, kjer nismo bistveno omejeni z ugrezom. Hkrati manjši izpodriv

B. Uršič 18 prinaša večje hitrosti pri jadranju. Pri običajnih potovalnih jadrnicah, ki morajo biti uporabne tudi v plitvejšem morju, moramo za isti učinek na krajši kobilici povečati maso uteži. To pomeni večji izpodriv, večji upor in nižje hitrosti jadranja [11]. Na sliki 17 je prikazan odnos med maso uteži in dolžino kobilice za doseganje enake stabilnosti za dva enaka trupa.

Slika 17: Dva enako stabilna trupa, pri čemer ima a) večjo maso uteži in b) daljšo kobilico [11].

Povečevanje stabilnosti s pomočjo balasta največ prispeva k povečanju kota prevrnitve (αp).

Tako bo ozka jadrnica z zelo nizkim težiščem podobna obteženi boji, zato se bo lažje nagnila do velikega kota (bo ''mehkejša''), vendar se bo težko prevrnila. To pomeni, da bo krivulja stabilnosti take jadrnice pri nižjih kotih položnejša, vendar bo na negativen del prešla pri večjem kotu nagiba. Ali nasprotno – krivulja stabilnosti široke jadrnice z višjim težiščem, bo pri majhnih kotih bolj strma. Jadrnica se bo v normalnih pogojih manj nagibala, vendar se bo prevrnila pri manjšem kotu [11].

2.7 Odvisnost statične stabilnosti od oblike in širine prečnega prereza trupa

Kot je bilo že omenjeno, lahko statično stabilnost jadrnice razdelimo na dva dela. Prvi je stabilnost zaradi balasta, drugi pa stabilnost zaradi oblike in širine prečnega prereza trupa.

Izkaže se, da lahko z obliko prečnega prereza trupa vplivamo predvsem na začetno stabilnost jadrnice (to je pri majhnih kotih nagiba), ne pa tudi na kot prevrnitve. Idealno oblikovano telo s strani statične stabilnosti je raven ploh [5]. Oblika krivulje stabilnosti takega telesa je prikazana na sliki 18.

a) b)

B. Uršič 19 Slika 18: Krivulja statične stabilnosti za homogeno telo z idealno obliko [5].

Krivulja stabilnosti ravnega ploha je pri majhnih kotih nagiba bolj strma od krivulje stabilnosti idealno obteženega telesa (boje). Jadrnice s širokim trupom in ravnim dnom se zato pri jadranju v normalnih razmerah manj nagibajo, vendar v slabših razmerah prej dosežejo kot prevrnitve. Balast podaljšuje izravnalno ročico r* s pomočjo premikanja težišča, s pomočjo oblike pa lahko izravnalno ročico podaljšujemo s premikanjem prijemališča vzgona V.

Prijemališče vzgona se pri ravnem plohu pri majhnih kotih nagiba premakne vstran za relativno veliko vrednost, kar pomeni velik začetni izravnalni navor in bolj strmo krivuljo stabilnosti. V kolikor povečamo širino ploha, se prijemališče vzgona pomakne za večjo razdaljo, kar pomeni večjo začetno stabilnost (slika 19) [3].

a) b)

B. Uršič 20 Slika 19: Primerjava začetnih metacentričnih višin in dolžin izravnalnih ročic pri ožjem (a) in

za eno tretjino širšem trupu (b) pri nagibu 5°. Trupa imata enak izpodriv.

Poleg širine trupa je ključnega pomena tudi njegova oblika. Obravnavali bomo dve skrajni obliki – trup z ravnim dnom ter trup s polkrožnim dnom. Trup z ravnim dnom je bolj stabilen od tistega s polkrožnim, saj pokrije večjo površino vodne gladine [13]. Posledično je drugi moment ploskve na ravnini plavanja (22) večji, kar pomeni daljšo metacentrično višino in večjo stabilnost. Primerjava stabilnosti trupov z enako širino, izpodrivom in višino težišča, vendar različnih oblik je prikazana na sliki 20.

Slika 20: Primerjava začetnih metacentričnih višin in dolžin izravnalnih ročic pri trupu s polkrožnim dnom (a) in trupu z ravnim dnom (b) pri nagibu 10°.

B. Uršič 21

3 Praktični del

V praktičnem delu diplomskega dela smo izvajali poskuse s poenostavljenimi modeli trupov, s katerimi smo izolirali posamezne spremenljivke, ki vplivajo na statično stabilnost plovila.

Izdelani so bili trije modeli iz ekspandiranega polistirena – eden s polkrožnim presekom ter dva s pravokotnim presekom, vendar različnih širin. Modeli so imeli pri vseh meritvah enako maso.

Cilj praktičnega dela je bil preveriti teoretične predpostavke, ki so bile opisane v drugem poglavju. Najprej smo preverili veljavnost enačbe (1) za računanje izravnalnega navora.

Predstavljen je način, s katerim je mogoče eksperimentalno določiti izravnalne navore za različne kote brez določanja prijemališč vzgona. Nato smo preverjali odvisnost statične stabilnosti trupa od oblike, širine in balasta.

3.1 Prikaz meritve in teoretični izračun izravnalnega navora za primer kvadra

Za preverjanje enačbe izravnalnega navora je bil iz ekspandiranega polistirena izdelan poenostavljen model trupa s pravokotnim presekom. Njegove gabaritne izmere so podane v preglednici 3.1.

Preglednica 3.1: Gabaritne izmere modela trupa.

Dolžina (l) 250 mm

Širina (b) 180 mm

Višina (a) 75 mm

Model je bil obtežen tako, da je imel težišče na višini y = 30 mm – merjeno od izhodišča koordinatnega sistema, predstavljenega na sliki 1. Položaj težišča je bil določen s pomočjo enačbe (24). Njegova masa je znašala 407 g. Zunanja sila, ki je nagnila kvader do določenega kota je bila zagotovljena z utežjo z maso m₁ = 120 g. Z utežjo modelu spreminjamo maso (izpodriv) in položaj težišča, zato je za smiselno meritev potrebno na drugi strani model vleči iz vode z enako silo. To je bilo zagotovljeno z drugo utežjo z enako maso (m2 = 120 g), ki je bila pripeta na vrv, speljano preko škripca na drugo stran kvadra. Na ta način smo zagotovili, da so vse sile delovale v isti smeri – pravokotno na vodno gladino. Postavitev je prikazana na sliki 21.

B. Uršič 22 Slika 21: Prikaz postavitve poskusa za meritev izravnalnega navora.

Na nagnjenem modelu trupa je bil označen položaj vodne gladine. Nato smo potopljenemu delu preseka določili položaj prijemališča vzgona ter označili položaj težišča. Izmerjena je bila izravnalna ročica (r*) ter ročica zunanjega navora (r). Meritve so prikazane na sliki 22.

Slika 22: Sile in ročice pri meritvi.

Navor dvojice zunanjih sil je enak izravnalnemu navoru, saj sistem miruje. Velja

𝑀𝑖𝑧𝑟𝑎𝑣𝑛𝑎𝑙𝑛𝑖 = − 𝑀_{𝑧𝑢𝑛𝑎𝑛𝑗𝑖} (25)

𝑚𝑔𝑟^∗ = − 𝑚₁𝑔𝑟 (26)

Vrednosti izravnalnega in zunanjega navora sta podani v preglednici 3.2. Odstopanje je določeno s pomočjo obrazca za določanje napake dveh vrednosti:

B. Uršič 23 𝑜𝑑𝑠𝑡𝑜𝑝𝑎𝑛𝑗𝑒 = |𝑀_{𝑖𝑧𝑟𝑎𝑣𝑛𝑎𝑙𝑛𝑖}− 𝑀_{𝑧𝑢𝑛𝑎𝑛𝑗𝑖}|

(𝑀_{𝑖𝑧𝑟𝑎𝑣𝑛𝑎𝑙𝑛𝑖}+ 𝑀_{𝑧𝑢𝑛𝑎𝑛𝑗𝑖}), (27)

pri čemer izračunano število pomnožimo s 100 %.

Preglednica 3.2: Primerjava izračunanih navorov.

Mizravnalni [Nm] M_zunanji[s] Odstopanje [%]

0,15 0,17 6

Odstopanje nastane zaradi napake pri določanju težišča ter nenatančnosti pri izdelavi kvadra.

Na opisan način je mogoče na enostaven način izmeriti vrednosti izravnalnih navorov za različne kote ter izrisati krivuljo le-teh. Prednost te metode je, da ni potrebno za vsak kot določati prijemališča vzgona. Na ta način lahko izravnalne navore (in posredno izravnalne ročice) določimo tudi za telesa nepravilnih oblik.

3.2 Odvisnost statične stabilnosti od oblike trupa

Za preverjanje teoretičnih predpostavk glede stabilnosti zaradi oblike, sta bila iz ekspandiranega polistirena izdelana dva poenostavljena modela trupov – eden s polkrožnim in eden s pravokotnim presekom. Trupa sta imela enake gabaritne izmere. Le – te so podane v preglednici 3.3.

Preglednica 3.3: Gabaritne izmere modelov trupov.

Dolžina (l) 250 mm

Širina (b) 150 mm

Višina (a) 75 mm

Oba modela sta bila obtežena tako, da sta imela enako maso (380 g) ter težišče na enaki višini y = 30 mm - merjeno od izhodišča koordinatnega sistema, predstavljenega na sliki 1. Položaj težišča je bil določen s pomočjo enačbe (24). V tem poglavju bosta izrisani in primerjani krivulji stabilnosti za oba modela ter s pomočjo integracije izračunano delo nagiba za posamezen model. Oba modela sta prikazana na sliki 23.

B. Uršič 24 Slika 23: Modela trupa s pravokotnim in polkrožnim presekom.

3.2.1 Krivulje stabilnosti

Zaradi spreminjanja položaja položaja osi pri rotaciji, je določanje ugreznjenega dela trupa zahtevno opravilo, saj trupa ne moremo enostavno vpeti med dve točki in ga vrteti na gladini (to bi bilo mogoče le pri zelo majhnih kotih nagiba). Položaje vodne gladine pri različnih kotih je mogoče določiti tudi analitično, kot je bilo pokazano v poglavju 2.3. Zaradi enostavnosti je bila v tem poglavju izbrana eksperimentalna metoda. Pri poskusu smo trupa nagibali ročno, pri čemer smo pazili, da se jima izpodriv ne spreminja. Ta način ni najboljši, vendar lahko z njim dosežemo zadovoljive rezultate za prikaz pomena oziroma vloge posameznih spremenljivk. Način nagibanja trupa je prikazan na sliki 24. Pri vsakem kotu je bilo potrebno označiti položaj vodne gladine na preseku trupa oziroma njegov ugreznjen del.

V ta namen je bila na eno krajišče vsakega trupa nalepljena bela samolepilna folija, na katero je bilo mogoče s svinčnikom začrtati položaj vodne gladine.

Slika 24: Ročno nagibanje in označevanje ugreznjenega dela trupa.

Po končanem začrtovanju je bila samolepilna folija odlepljena z modelov in prilepljena na list papirja, kjer so bile meritve obdelane. Najprej so bile narisane črte, ki označujejo vodno gladino za vsak kot, nato pa so bili izmerjeni posamezni koti. Črte, ki označujejo gladino vode skupaj z obliko trupa tvorijo različne like (segment kroga, trikotnik, trapez) in tudi manj pravilne like. Ker se prijemališče vzgona nahaja v težišču potopljenega dela trupa in ker se trupom prerez po dolžini ni spreminjal, je bilo za položaj prijemališča vzgona potrebno poiskati težišča omenjenih likov (za vsak kot posebej). V nadaljevanju bo opisan način, s katerim so bila določena težišča ugreznjenih delov trupov.

a) Določanje prijemališč vzgona pri polvalju

Dokler se vodna gladina pri nagibanju polvalja ne dotakne ravnega zgornjega dela, se oblika preseka ugreznjenega dela ne spreminja, saj trup vedno izpodriva enako količino vode. Tako v

B. Uršič 25 našem primeru do kota 42° prijemališča vzgona določimo s pomočjo enačbe za izračun težišča odseka kroga:

𝑦_𝑇 = 4𝑅sin³𝜗/2 3(𝜗 − sin𝜗),

(28) pri čemer je 𝜗 kot krožnega loka, ki določa segment kroga (slika 25) in ga v enačbo (28) vstavimo v radianih [14].

Slika 25: Težišče krožnega segmenta [14].

Težišče se nahaja na simetrali segmenta, zato določimo samo njegov navpični položaj, ki velja za kote do 42°:

𝑦_𝑇 =4 ∙ 75 mm ∙ sin³(1,64 2 )

3 ∙ (1,64 − sin 1,64) = 60,8 mm. (29) Pri večjih kotih je potrebno lik razdeliti na dva dela – segment kroga in trikotnik. Vsakemu delu nato določimo položaj težišča ter ju grafično seštejemo. V nadaljevanju je prikazan postopek določanja prijemališča vzgona za nagib 56°. Težišče T1 pripada segmentu kroga.

Izračunamo ga po enačbi (28):

𝑦_𝑇1 = 4 ∙ 75 mm ∙ sin³(1,47 2 )

3 ∙ (1,47 − sin1,47) = 63,5 mm. (30) Težišče T₂ pripada trikotniku ABC. Lahko ga določimo načrtovalno – s presečiščem težiščnic, ali pa s pomočjo koordinat. Prikazana bosta oba načina. Da lahko določimo koordinate težišča nepravilnega lika, mu moramo pripeti koordinatni sistem, ki je prikazan na sliki 26 [12].

Koordinate oglišč A, B in C so: A(67, 0), B(17, 74), C(0, 74). Koordinate težišča trikotnika izračunamo s pomočjo izrazov:

𝑥_𝑇2 =𝑋_𝑎+ 𝑋_𝑏+ 𝑋_𝑐

3 =67 mm + 17 mm + 0

3 = 28 mm (31)

in

T

B. Uršič 26 𝑦_𝑇2 =𝑌_𝑎+ 𝑌_𝑏+ 𝑌_𝑐

3 =0 + 74 mm + 74 mm

3 = 49 mm. (32)

Koordinate težiča trikotnika ABC so T₂(28, 49). Za izračun skupnega težišča moramo določiti koordinate tudi težišču T1: T1(28, 32), nato pa ju sešteti po enačbah:

𝑥_𝑡 = 𝑥_𝑇1𝑃₁ + 𝑥_𝑇2𝑃₂

𝑃₁ + 𝑃₂ (33)

in

𝑦_𝑡= 𝑦_𝑇1𝑃₁+ 𝑦_𝑇2𝑃₂

𝑃₁+ 𝑃₂ , (34)

kjer P1 in P2 predstavljata ploščino segmenta kroga in trikotnika. Ploščino segmenta kroga izračunamo po enačbi [14]:

𝑃₁ =𝑅²

2 (𝜗 − sin𝜗) =75 mm²

2 (1,64 − sin1,64) = 1336 mm². (35) Ploščino trikotnika izračunamo po enačbi [9]:

𝑃₂ =𝑎𝑣_𝑎

2 =𝑏𝑣_𝑏 2 = 𝑐𝑣_𝑐

2 =13 mm ∙ 100 mm

2 = 650 mm² (36)

Z upoštevanjem enačb (33) in (34), sta koordinati skupnega težišča T(28, 38). Tako smo določili prijemališče vzgona za nagib 56°. Njegov položaj je razviden na sliki 26. Pri poskusu so bila prijemališča vzgona na enak način določena še za kote 67°, 84°, 103° in 116°.

Slika 26: Določanje težišča (prijemališča vzgona) za sestavljen lik ABC.

Ko določimo prijemališča vzgona za vse izbrane kote, lahko izmerimo dolžine izravnalnih ročic (r*) ter narišemo krivuljo stabilnosti (slika 29). Položaji vodnih gladin za pozitivno

B. Uršič 27 stabilnost so prikazani na sliki 27, za negativno stabilnost pa na sliki 28. Zaradi boljše preglednosti je merjenje dolžine r* prikazano le za kot 67° (slika 27).

Slika 27: Prijemališča vzgona V za pozitivno stabilnost polvalja.

Slika 28: Prijemališča vzgona V za negativno stabilnost polvalja.

B. Uršič 28 Dolžine izravnalnih ročic za pozitivno in negativno stabilnost so podane v preglednici 3.4.

Preglednica 3.4: Vrednosti izravnalnih ročic za polvalj.

α [5°] GZ [mm] α [5°] GZ [mm]

0 0 125 -8

9 7 142 -21

14 11 156 -27

20 16 164 -28

25 19 172 -19

29 23 180 0

34 26

42 30

56 35

67 32

84 23

103 10

116 0

Slika 29: Krivulja statične stabilnosti za polvalj.

b) Določanje prijemališč vzgona pri kvadru

Pri določanju prijemališč vzgona za kvader moramo določati težišča trapezom in trikotnikom.

Težišče trapeza lahko izračunamo z metodo momentov, ki je bila predstavljena v poglavju 2.5 ali pa načrtovalno. Načrtovalno določanje težišča trapeza (pri nagibu 75°) je predstavljeno na sliki 30 [9].

-40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

Izravnalne ročice [mm]

Kot nagiba [°]

GZ (α)

B. Uršič 29 Slika 30: Načrtovalno določanje težišča trapeza.

Ko določimo prijemališča vzgona za vse kote, lahko izmerimo dolžine izravnalnih ročic ter narišemo krivuljo stabilnosti (slika 33). Položaji vodnih gladin za pozitivno stabilnost so prikazani na sliki 31, za negativno stabilnost pa na sliki 32. Zaradi boljše preglednosti je merjenje dolžine r* prikazano le za kot 75° (slika 31).

Slika 31: Prijemališča vzgona V za pozitivno stabilnost kvadra.

B. Uršič 30 Slika 32: Prijemališča vzgona V za negativno stabilnost kvadra.

Dolžine izravnalnih ročic za pozitivno in negativno stabilnost so podane v preglednici 3.5.

Preglednica 3.5: Vrednosti izravnalnih ročic za kvader.

α [°] GZ [mm] α [°] GZ [mm]

0 0 118 -14

7 16 130 -19

13 25 145 -25

20 32 159 -29

29 40 165 -27

42 32 172 -23

57 26 180 0

75 18

94 4

100 0

B. Uršič 31 Slika 33: Krivulja statične stabilnosti za kvader.

3.2.2 Delo nagiba

Delo nagiba izračunamo po enačbi (2), pri čemer pot s predstavlja razdaljo, za katero sta se razmaknila prijemališče vzgona in težišče. To razdaljo lahko izmerimo ali pa z integracijo krivulje statične stabilnosti izračunamo ploščino pod grafom (4), ki prav tako predstavlja razdaljo s. Vertikalni premik prijemališča vzgona s do kota prevrnitve za primer pozitivne stabilnosti polvalja izmerimo tako, da od razdalje V12T odštejemo razdaljo V0T (slika 27).

Razlika za ta primer znaša 40 mm. Za primer pozitivne stabilnosti kvadra jo izmerimo tako, da od razdalje V9T odštejemo razdaljo V0T (slika 31). Razlika za ta primer znaša 38 mm. V kolikor je trditev, da je ploščina pod krivuljo izravnalnih ročic enaka vertikalnemu razmiku težišča in prijemališča vzgona pravilna, mora biti rezultat integracije enak izmerjeni vrednosti.

Pri merjenju ploščine si pomagamo z aproksimacijo krivulje s polinomom. To lahko storimo z računalniškim orodjem Microsoft Excel, ki nam poda funkcijo krivulje, ki se najbolje prilega krivulji statične stabilnosti. Slika 34 predstavlja krivuljo pozitivnih izravnalnih ročic za polvalj, pri kateri so koti podani v radianih. Aproksimirana funkcija je na grafu predstavljena s prekinjeno rdečo črto.

-40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

Izravnalne ročice [mm]

Kot nagiba [°]

GZ (α)

B. Uršič 32 Slika 34: Krivulja pozitivnih izravnalnih ročic za polvalj.

Enačba aproksimirane funkcije za primer polvalja, ki jo bomo uporabili za integracijo in določitev ploščine se glasi:

𝑦 = −15,1𝑥⁶ + 87,0𝑥⁵ − 170,0𝑥⁴ + 118,5𝑥³ − 35,3𝑥² + 49,2𝑥. (37) Funkcijo integriramo v mejah od 0 do 2,02:

𝑠 = ∫ −15,1𝑥⁶ + 87,0𝑥⁵ − 170,0𝑥⁴ + 118,5𝑥³ − 35,3𝑥² + 49,2𝑥 𝑑𝑥

2,02

0

𝑠 = (−15,1𝑥⁷

7 + 87,0𝑥⁶

6 − 170,0𝑥⁵

5 + 118,5𝑥⁴

4 − 35,3𝑥³

3 + 49,2𝑥² 2)|

0 2,02

𝑠 = 41,69 mmRad.

Rezultat se dobro ujema z izmerjeno razdaljo, ki je znašala 40 mm. Postopek ponovimo še za pozitivno stabilnost kvadra. Slika 35 predstavlja krivuljo pozitivnih izravnalnih ročic za kvader, pri kateri so koti podani v radianih. Aproksimirana funkcija je na grafu predstavljena s prekinjeno rdečo črto.

0 5 10 15 20 25 30 35 40

0 0,5 1 1,5 2 2,5

Izravnalne ročice [mm]

Kot nagiba [rad]

B. Uršič 33 Slika 35: Krivulja pozitivnih izravnalnih ročic za kvader.

Enačba aproksimirane funkcije za primer kvadra, ki jo bomo uporabili za integracijo in določitev ploščine se glasi:

𝑦 = 82,3𝑥⁶ − 443,1𝑥⁵ + 863,4𝑥⁴ − 684,8𝑥³ + 88,7𝑥² + 118,9𝑥. (38) Funkcijo integriramo v mejah od 0 do 1,75:

𝑠 = ∫ (82,3𝑥⁶ − 443,1𝑥⁵ + 863,4𝑥⁴ − 684,8𝑥³ + 88,7𝑥² + 118,9𝑥)𝑑𝑥

1,75 0

𝑠 = (82,3𝑥⁷

7 − 443,1𝑥⁶

6 + 863,44𝑥⁵

5 − 684,8𝑥⁴

4 + 88,7𝑥³

3 + 118,9𝑥² 2)|

0 1,75

𝑠 = 37,84 mmRad.

Rezultat se dobro ujema z izmerjeno razdaljo, ki je znašala 38 mm. Za izračun dela nagiba moramo razdaljo s pomnožiti s silo vzgona (1). Masi modelov sta bili enaki, zato lahko z zbranimi podatki primerjamo delo, ki je potrebno za nagib posameznega trupa do določenega kota (na primer do kota prevrnitve – αp). Delo, potrebno za prevrnitev polvalja je torej:

𝐴_𝛼𝑝1= 𝐹⃑⃑⃑⃑ ∙ 𝑠_{𝑣 1} = 𝑚𝑔𝑠₁ = 0,380 kg ∙ 9,81m

s²∙ 0,042m = 0,157 J, (39) za prevrnitev kvadra pa:

𝐴_𝛼𝑝2 = 𝐹⃑⃑⃑⃑ ∙ 𝑠_{𝑣 2} = 𝑚𝑔𝑠₂ = 0,380 kg ∙ 9,81m

s²∙ 0,038m = 0,142 J. (40)

-5 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45

0 0,5 1 1,5 2

Izravnalne ročice [mm]

Kot nagiba [rad]

B. Uršič 34 Za primerjavo začetne stabilnosti, bomo krivulji integrirali do kota 10°. Vertikalni razmik prijemališča vzgona in težišča za nagib polvalja pri kotu 10° znaša:

𝑠 = ∫ −15,1𝑥⁶ + 87,0𝑥⁵ − 170,0𝑥⁴ + 118,5𝑥³ − 35,3𝑥² + 49,2𝑥 𝑑𝑥

0,18

0

𝑠 = (−15,1𝑥⁷

7 + 87,0𝑥⁶

6 − 170,0𝑥⁵

5 + 118,5𝑥⁴

4 − 35,3𝑥³

3 + 49,2𝑥² 2)|

0 0,18

𝑠 = 0,77 mmRad.

Za nagib kvadra pa:

𝑠 = ∫ (82,3𝑥⁶ − 443,1𝑥⁵ + 863,4𝑥⁴ − 684,8𝑥³ + 88,7𝑥² + 118,9𝑥)𝑑𝑥

0,18

0

𝑠 = (82,3𝑥⁷

7 − 443,1𝑥⁶

6 + 863,4𝑥⁵

5 − 684,8𝑥⁴

4 + 88,7𝑥³

3 + 118,9𝑥² 2)|

0 0,18

𝑠 = 1,94 mmRad.

Delo za nagib polvalja do kota 10° znaša 0,003 J, za nagib kvadra pa 0,007 J.

3.2.3 Interpretacija rezultatov

Krivulji statične stabilnosti uporabljenih modelov se razlikujeta v skladu s pričakovanji.

Polvalj doseže maksimalno stabilnost (αmax) pri kotu nagiba 56°, medtem ko kvader maksimalno stabilnost doseže pri kotu 29°. Krivulja statične stabilnosti kvadra pri majhnih kotih hitro narašča, kar pomeni, da ima kvader boljšo začetno stabilnost kot polvalj. To smo pokazali tudi z integracijo krivulj stabilnosti do kota nagiba 10°. Vertikalni razmik težišča in prijemališča vzgona je večji pri kvadru (1,94 mm), kar pomeni večje delo začetnega nagiba (0,007 J) in boljšo začetno stabilnost. Prav tako kvader doseže daljšo izravnalno ročico pri kotu največje stabilnosti (αmax). Kljub temu se kvader prevrne pri manjšem kotu (100° nagiba) v primerjavi s polvaljem (116° nagiba). Z izračunanim delom smo pokazali, da je za prevrnitev polvalja kljub slabši začetni stabilnosti potrebna večja energija.

Ugotovitve lahko povežemo tudi z realnimi jadrnicami, oziroma plovili. Jadrnica z dnom, bolj podobnim kvadru, bi se v normalnem vetru manj nagibala, kar je za posadko udobnejše.

Jadrnice, ki se zanašajo na boljšo začetno stabilnost potrebujejo manj balasta, zato so lahko lažje in imajo nižji ugrez, vendar v izrednih razmerah prej dosežejo kot prevrnitve, saj je za prevrnitev take jadrnice potrebno vložiti manj dela. Nasprotno velja za jadrnico z dnom, bolj podobnim polvalju.

Za jadrnice, ki plujejo v slabih razmerah je pomemben tudi negativen del krivulje stabilnosti, saj nam ta pove, kolikšno delo je potrebno za ponovno izravnavo jadrnice ob morebitni prevrnitvi. V kolikor je ploščina nad negativnim delom krivulje majhna, lahko za izravnavo