Filozofski vestnik Letnik/Volume XXIII • Številka/Number 1 • 2002 • 25-51
KAKO LAHKO APLICIRAMO MATEMATIKO NA SVET?
An d r e j Ule
V ra zp ra v ah o m atem atik i se v e d n o znova zastavlja vprašanje, kako to, d a lahko m a te m a tik o oz. m a te m a tič n e s tru k tu re tako d o b ro in n a ta n č n o »apliciram o n a svet«. T o j e še zlasti a k tu a ln o d anes, ko lah k o n a n e k a te rih p o d ro č jih zna
n o sti d o lo č e n e za k o n ito sti p red stav im o zgolj m atem atičn o , k e r vsa d ru g a in te le k tu a ln a sredstva p re p ro s to o d p o v ed o (np r. v m ikrofiziki ali v kozm ologi
ji) . T o v p ra šan je so si zastavljali že an tičn i filozofi, zlasti P lato n. P latonov p re d lo g rešitve te g a v p ra šan ja j e klasičen in v d o lo čen i m eri še dan es zanimiv. Po P la to n u j e n a m re č m a te m a tik a najbližja p o d o b a idej. J e »um ski odraz« idej, za razliko o d e m p irič n ih stvari, ki so zgolj č u tn a in zato m an j p o p o ln a p o d o b a idej, k o t je m a te m a tik a , k o t ugotavlja P lato n v 6. knjigi Države (P laton, 1995).
Č e z a n e m a rim o nižji o n to lo šk i položaj stvari pojavn ega sveta v prim erjavi z m a te m a tič n im i stvarm i, k a r za nas v tej razpravi ni p o m e m b n o , im am o torej n e k a k šn o trik o tn išk o s tru k tu ro razm erij:
K er sta m a te m a tik a in pojavni svet dva o d ra za idej, sta seveda m ed seboj tu d i n u jn o p o v ezan a, če p rav ta zveza ni n e p o sred n a. Pojavni svet že zaradi tega, k e r n i id e a le n i n j e tu d i p o d o b n o st stvari in idej n e p o p o ln a p o d o b n o st, le v p rib ližk u u strez a m a te m a tič n im a rh e tip o m (Platon, prav ta m ). Kljub tem u P la to n ni n ik o li dvom il, d a tem eljn i zakoni kozm osa izražajo d o lo č e n a m a te m a tič n a ra zm erja, za P la to n a so bila to razm erja m e d števili in razm erja m ed g e o m etrijsk im i liki. V d ia lo g u T im ajje utelesil to svoje p re p rič a n je v veličastni m a te m a tič n o -m e ta fo rič n i o bliki (P lato n, 1959, 31-36, 5 3 d -5 5 c ).
P la to n o v a rešitev u g a n k e , zakaj lah ko svet spo zn am o s p o m o čjo m atem a
tike, j e n a č e lo m a za d o stn a , če seveda sp re jm em o d o m n ev o o obsto ju idej ko t ideje
m a te m a tik a pojavni svet
skupni po d lag i m atem atik e in e m p irič n e stvarnosti. O staja p a o d p r to novo vprašanje, čem u oz. zakaj im ajo id eje dve vrsti p o d o b , u m sk o p o d o b o v m a te m atiki in č u tn o p o d o b o v e m p irič n ih stv areh. Prav tak o n i o d g o v o rje n o n a vprašanje, zakaj je ravno m atem atik a u m ski o d ra z idej. P la to n še n i im el izd e
lan eg a p o jm a logike, zato n e vem o, k ak o s ije p redstav ljal ra z m e rje m e d logi
ko in m atem atik o . Kaj bi dejal, če bi bo lje p o z n a l logiko, vsaj aristo telo v sk o silogistiko? Ali bi j o prišteval k u m sk e m u o d ra z u idej, ali bi j o p o d re d il, ali n a d re d il m atem atiki?
Z anim ivo je , d a si niti v antiki n iti v času sh o lastik e n iso zastavljali teh vprašanj. Vsaj za n eo p la to n ik e se zdi, d a j e b ila m a te m a tik a zanje nek aj višjega k o t logika, kajti m atem atik a n am p o d a ja čiste o b lik e (fo rm e ), m e d te m k o j e logika zgolj o rg a n o n , o ro d je razum a, in n e sam o sto jn a sfe ra id e a ln ih re sn ic ali bitnosti. Več spoštovanja d o logike n a jd e m o že p ri A risto telu , še več p a p ri stoikih, v e n d a r so njihova p o jm ovanja ra z m e rja m e d logiko in m a te m a tik o en a k o n ejasn a in n ed o lo čn a .
A ristotel in njegovi n asled n ik i so p rav tako k o t p la to n ik i zg rad ili svojo teorijo m atem atik e in j o skušali o d lep iti o d p lato n o v sk e » p arad ig m e« , a ta te o rija je p o m ojem m n e n ju n e z a d o stn a in v k o n č n i p o sled ici vodi k ponovitvi platonovske shem e, le d a n am esto idej stojijo s u b sta n c ia ln e fo rm e , ki so d o sto p n e zgolj um ski intuiciji, v e n d a r p a k n jim težijo vse stvari. A risto tel j e n am re č dom neval, d a m atem atičn e re sn ic e tem eljijo n a abstrak ciji d o lo č e n ih potez, re c im o tem u kvantitativnih p o tez fo rm stvari, o d d ru g ih , re c im o te m u kvalitativnih potez. Pri tem j e tih o m a p re d p o sta v lja l, d a so d ijo k v an titativ n e značilnosti stvari in njihovih razm erij m e d s k u p n e in sp lo šn e zn a čiln o sti vseh stvari. T e značilnosti ne odkriva kak p o s e b n i čut, tem več n e k a k še n sk u p n i č u t oz. sk u p n o st vseh čutov. R azum lah k o p re p o z n a te sk u p n e zn a čiln o sti in jih m iselno loči od ostalih značilnosti. R azum o b rav n av a te zn a čiln o sti v id ealizi
ra n i obliki, tj. za n em ari n u jn a o d s to p a n ja o d čistih o b lik p ri k o n k re tn ih stva
re h . T elo m o tri n p r. kot da bibilozgol] g e o m e trijsk o telo, k o t d a bi bilo daljica, ploskev, k o t da bi bilo nedeljivo ali deljivo itd. (A ristotel, 1999, 1076—1077).
Zato za A ristotela m atem atičn e o blike in ra z m e rja n im a jo s a m o s to jn e g a o b stoja n a sp ro ti re aln im stvarem , k o t j e to d o m n ev al P la to n , tem več so sam o stojne zgolj in abstracto.
A ristotel ni im el težav p ri razlagi aplikacije m a te m a tik e n a svet, kajti če so m a te m a tič n e lastnosti in relacije izv edene p o abstrakciji in idealizaciji d o lo čen ih kvantitativnih lastnosti re a ln ih b itn o sti, p o te m j e ap lik acija m a te m a tičnih resnic na realne bitnosti razumljiva. A risto telje p o le g tega v n ap rej om ejil u p o ra b o m atem atičn ih zakonov n a tista o b m o č jih stv arn osti, k jer v lad a s tro ga p raviln ost dogajanj, n p r. stro g a cik ličn o st g ibanj itd. T o j e bil p re d v se m t.
i. n a d lu n a rn i svet, m ed tem k o je za A risto tela v p o d lu n a rn e m (tj. zem eljskem )
Ka k o l a h k o a p l i c i r a m om a t e m a t i k o n as v e t?
svetu m a te m a tik a u p o r a b n a le v o m ejen i m eri. M očan n a p re d e k m atem atizi- ra n ih z n a n o sti o d re n e s a n se d alje je seveda falzificiral tak šn o gled an je in p o n o v n o zao stril v p rašan je o bistvu m a te m a tič n e g a in v p rašan je o tem , zakaj la h k o tako u sp e š n o a p lic ira m o m atem atik o n a realn i svet.
O č itn o je , d a j e bilo A ristotelovo pojm ovanje m atem atik e zavezano raz
m e ro m a o z k e m u d o m e tu m atem atik e, ki o m eju je n a fo rm a ln i in id ealizirani p o s n e te k re a ln o sti. V e n d a r že n a rav n ih števil, in zlasti n e a p rio rn e veljavnosti a ritm e tič n ih zakonov, n e bi m ogli »izpeljati« iz fo rm a ln ih abstrakcij re a ln ih u re je n o s ti, n e d a bi jih že n a tih em predpostavili k o t sp lo šno obliko lin e a rn e u re je n o s ti n a sp lo h .
Kljub tem om ejitv am tvegajm o in zabeležim o fo rm a ln o p o d o b o A ristote
lovega p o jm o v a n ja o ra z m e rju m e d m atem atik o in svetom oz. fo rm am i real
n ih stvari.
m a te m a tič n e fo rm e substancialne fo rm e fo rm e re a ln ih stvari
Pri te m sta sm eri o d n o so v različni. M edtem , ko ljud je iz re a ln e g a sveta a b s tra h ira jo m a te m a tič n e fo rm e (in jih p o tem znova a p lic ir a o n a n jem ), to
rej so n a ša m ise ln a k o n stru k c ija in o ro d je, so su b stan cialn e fo rm e relativno n e o d v isn e o d p o sa m e z n ih bitn o sti. So im a n e n tn i sm o te r gibanj, ki n ek ako n a re k u je jo b itn o stim k ak šn e naj b o d o oz. kaj naj po stan ejo . V e n d ar ta sh em a n e m o re vzdržati, m o r a m o jo d o p o ln iti, kajti n i jasn o , o d k o d črp a m atem ati
k a svojo a p r io r n o in sp lo šn o re sn ičn o st. T o lahko po jasn im o le tako, če tu d i m a te m a tič n e fo rm e n av ežem o n a su b stan cialn e fo rm e oz. n a njihove p o seb n e , tj. k v an titativ n e m o m e n te . T eg a A ristotel v n am z n a n ih spisih ni ja s n o izrekel, v e n d a r to lah k o p re d p o sta v im o . V n asp ro tn e m bi se m atem atik a sp re
m e n ila zgolj v začasni m iseln i k o n stru k t, ki ga n ač eln o n e bi m ogli ločiti od k ak ih fantazij. Res p a j e , d a p ri A ristotelu v m atem atičn e m sp o zn an ju n e gre za kake o d ra z e p o sebi veljavnih razm erij in stru k tu r čistih fo rm , ko t p ri P lato
n u . Č e p a n av e žem o m a te m a tič n e fo rm e n a substancialne fo rm e, se v bistvu v rn e m o k že postavljeni trik o tn išk i platonovski shem i razm erij m ed svetom , m a te m a tik o in o b m o č je m a p r io r n ih resnic in zakonov. E d in a razlika bi bila v tem , d a so za P la to n a m a te m a tič n e fo rm e p red p o stav ljen e svetu, za A ristotela p a so n e k a k o izp eljan e iz sveta.
Za P la to n a j e svet, o n to lo šk o g led an o , se k u n d a re n tako glede n a m ate
m a tič n e fo rm e k o t g le d e n a ideje. Človekov u m m atem atičn e fo rm e le o d k ri
va, p ri č e m e r so m a te m a tič n e h ip o te z e in kon struk cije zgolj p rip o m o č e k v tem o d k riv an ju , m e d te m ko p o A ristotelu ljudje m atem atičn e fo rm e k o n stru i
ra m o g led e n a m o m e n te su b stan cialn ih fo rm in so o n to lo š k o g le d a n o s e k u n d a rn e g led e na svet. M atem atične fo rm e živijo tedaj le v n aši m iseln i a b s tra k ciji in konstrukciji, n e p a p o sebi. P a tu d i su b sta n c ia ln e fo rm e n e o b stajajo n eodvisno o d sveta, tem več so k o t n o tra n ji sm o te r v sebo vane v b itn o s tih d o lo č e n e vrste. A ristotelov realizem fo rm bi lah k o sk iciran o ozn ačili k o t re alizem brez sep arab iln o sti, P latonov pa k o t re alizem s se p a ra b iln o stjo fo rm . P o d o b n o velja za m atem atičn e fo rm e - tu d i tu g re p ri A risto telu za re a ln o s t b re z sep a rab iln o sti (o d in d iv id u aln ih stv a ri), p ri P la to n u za re a ln o s t s s e p a ra b il
nostjo. Oz. točneje re č e n o , pri A risto telu so m a te m a tič n i stavki stavki o id e a liziranih, ab stra h ira n ih p o teza h re a ln ih stvari, p ri P la to n u p a so o h ip o te tičnih id ealn ih k o n stru k tih , k i jih o b tih em vzoru idej n a r e d im o n a osnovi n e p o p o ln ih re a ln ih m odelov. J e p a iz A risto telo v eg a p o jm o v a n ja m a te m a tik e in logike razvidno, d a j e m ate m a tik a n e o d v isn a o d lo gik e, kajti log ik a im a opravka s stavki (sodbam i) in sklepi, m a te m a tik a p a s id e a liz ira n im i fo rm a ln i
m i m o m e n ti realn ih bitnosti. D o lo če n a p o s re d n a zveza v e n d a rle tu d i tu o b staja, n a m re č toliko, kolikor so logičn i sklepi n e k a k še n a b s tra k te n in fo rm a len p o sn e te k vzročnih relacij, te p a z o p e t tem eljijo n a s tru k tu rn ih re la cijah m ed substan cialn im i fo rm am i b itn o sti. T ežko p a j e kaj več o d te b le d e p o sre d n e zveze reči o o d n o su m ed logiko in m a te m a tik o p ri A risto telu .
N a n asled n jo k o h e re n tn o razlago ap lik ab iln o sti m a te m a tik e n a pojavni svet je bilo tre b a čakati več k o t dva tisoč let, n a m re č d o K anta. Vse d ru g e teorije so se n am re č vrtele v Platonovi oz. A ristotelovi, to rej k o n e c k o n ce v v P latonovi, senci. T o še zlasti velja za ra cio n aliste , le d a so n a m e sto P lato n o v e
»sfere idej« postavljali sfero čistih a p r io r n ih resn ic, ki so d o s to p n e ra zu m u . M atem atik o in logiko so im eli za dva n u jn a u m sk a izraza teh re sn ic , p ojavni oz. e m p irič n i svet p a se m o ra prav tak o ravnati p o n jih , k e r so to najvišji zako ni vsakega m o žn eg a sveta. N ajjasneje j e to m isel izrazil L eibniz. N e k a te re o d um skih re sn ic lahko uvidim o z in te le k tu a ln o in tu ic ijo , d ru g e p a lo g ičn o izpe
ljem o iz n jih . Te nalo g e človekov u m n e m o re oprav iti v ce lo ti, p ač zarad i svoje k o n čn o sti, to d a n esk o n čn i, n p r. božji u m bi to la h k o storil. P o m e m b n a novost p a j e v en d a rle Leibnizov izrecn i logicizem, saj j e iz re c n o trd il, d a j e m a tem atik a izpeljiva iz logike oz. so m a te m a tič n e re sn ic e izpeljive iz lo g ič n ih resnic. Po d ru g i strani p a j e zanj logik o m o ž n o izraziti z računom, n a m re č s sim b o ln im ra ču n o m , ki g a je L eibniz vztrajno, a za m a n p o sku šal d o lo čiti vse življenje. Se e n a Leibnizova zam isel j e zelo p o m e m b n a , n a m re č zam isel o o b stoju o bjektivnih stru k tu rn ih p o d o b n o sti m e d fo rm a ln im i zako ni, k o t j ih p o pišem o v kakem sim bolnem izrazu ali stavku te r lastn o stm i stvari in re lacijam i m ed stvarm i v stvarnosti. T e s tru k tu rn e p o d o b n o s ti so p o njeg o v em m n e n ju tudi p o d la g a za aplikacijo m atem atik e n a re a ln i svet. L e ib n iz je tako prvi p o stavil idejo o izomorfizmu struktur, k ij e p o d la g a za u p o ra b o s im b o ln ih jezikov,
K A KO LAHKO APLICIRAMO MATEMATIKO NA SVET?
m e d d ru g im tu d i m a te m a tik e v svetu. Pri tem j e pojem sim b o ln ih jezik ov raz
širil d a le č n a d o b se g te d a n je m atem atik e (gl. L eibniz, 1960,1966, 1996, več o te m U le, 1997). S tem j e p re ciziral A ristotelovo zamisel o abstrakciji fo rm al
n ih lastn o sti in relacij v m a te m a tič n ih so d b ah in pojm ih. V e n d a r so njegove zam isli o stale sk o ra jd a n e o p a ž e n e k ar dvesto let. P on o v n o so oživele v začet
kih m o d e m e logike p ri B oolu, S ch rö d e rju , P eirceju in seveda Fregeju.
R acio n alisti so si že začeli zastavljati tudi vprašanja o n atan č n ejšem raz
m e rju m e d m a te m a tik o in logiko. D escartes je n p r. stro g o razločeval m ed log ik o in m a te m a tik o in im el m a te m a tič n e resnice za višje k o t logične. L o
g ičn e re sn ic e , k a r j e p o m e n ilo tedaj zakone silogistike, j e im el za urejev aln a n a č e la ra z u m a , u re ja jo n a m re č zap o red je idej, tako da si sledijo p o m iselni n u jn o sti, m a te m a tič n e re sn ic e p a za splošna n ač ela »reda in m ere«, tj. u re d i
tv en ih s tru k tu r n a sp lo h . T o d a izhajanje en e resnice iz d ru g ih resnic za Des
c a rte sa n i p o d v rž e n o zgolj logiki, tem več tudi d ru g im a p rio rn im n ačelo m , ki p a ji h ni p o d ro b n e je pojasnil, im el p a jih je za ev id en tn a in razvidna (D escar
tes, 1957, p ravilo IV). N a sp ro tn o j e L eibniz težil k zbližanju in p o e n o te n ju logike in m a te m a tik e , vsekakor j e poskušal oboje zvesti n a nek i sku pn i sim b o ln i ra č u n (mathesis universalis) (Leibniz, 1996).
E m p iristi n a m g le d e m a te m a tik e in logike nim ajo kaj dosti povedati. N e
k ateri, k o t j e n p r. H o b b e s, so logiko in m atem atik o razum eli k o t n ek ak šen ra č u n pojm ov, p ri č e m e r so im eli logiko (ÿ . v obliki tra d ic io n a ln e silogistike) za n e k a k š n o trivialno in n e p lo d n o m eto d o , n a m re č n e p o tre b n o n ad aljn je razlag e. P o d ru g i stra n i so em p iristi še sledili A ristotelovi ideji, d a m atem atič
n e lastn o sti in relacije, k ijih p rile g a m o naravi, d obim o s p o m o čjo in du kcije, ab stra k cije in idealizacije iz e m p irič n ih pojavov, pri č e m e r si p o m ag am o z lo g ič n o an a liz o pojavov v enostavnejše elem e n te . T u so n e k a te ri priznavali človeško u stv arjaln o st, ki lah k o ustvari sim b o ln o p o sre d o v an e m iselne k o n s tru k te , za k a te re n i n u jn o , d a jim karkoli ustreza v dejanskosti, p a v en d a r la h k o ig rajo p o m e m b n o vlogo v izpeljavah in tudi v em p iričn e m raziskova
n ju . V tej točki so o d sto p a li o d tra d ic io n a ln e g a razum evan ja m atem atik e k o t a b stra k cije in idealizacije k vantitativn ih lastnosti in relacij iz izkustva. M etoda an a liz e in m a te m a tič n e k o n stru k cije j e bila sk u p n a tako racio n alisto m ko t e m p iristo m , p re d v sem p a te d a n jim naravoslovcem z G alilejem n a čelu. E m pi
risti p a so p o u d a rja li, d a z m a te m a tič n im raziskovanjem narav e n e iščem o k ak ih sk ritih bistev ali vzrokov, tem več odkrivam o zgolj razm erja m ed pojavi in ta ra z m e rja o p isu je m o s p o m o čjo m atem atičn o fo rm u lira n ih zakonov.
K ot p o u d a r ja C assirer, se v tem kaže m oč novo o d k rite g a relacijskega in fu n k c ijsk eg a razm išljanja, za razliko od aristotelovskega in platon ov skeg a sub- stan cia lizm a (C assirer, 1911, str. 4 1 7 ).1 P o d o b n e misli lahko n a jd e m o tudi pri
1 Bacon n p r. piše, da se m o ram o v naravoslovnih razmišljanjih previdno držati le tega,
G alileju, ki velja za o č e ta novoveškega in m o d e rn e g a n a ra v o s lo \ja (gl. Cassi
rer, 1911, str. 4 03-4 , B ecker, 1998, str. 3 2 -3 3 ). V te h p o jm o v a n jih s e j e o d ra žala n a novo od k rita kreativna in siste m atič n a zveza m e to d ič n e g a e k sp e rim e n tiran ja te r analize pojavov ob p o m o či m a te m a tič n ih fo rm u lac ij s p lo šn ih zako
nov. M atem atik a s e je kazala o b e n e m k o t a n a litič n o in k o t k o n stru k tiv n o člo vekovo sredstvo, orodje. V e n d a r j e ostalo o d p rto v p ra šan je, zakaj j e u p o r a b a m atem atik e v naravoslovju in teh n ik i sp lo h u sp e šn a in zlasti, zakaj j e tak o zelo uspešna. S plošno p re p rič a n je , d a je »knjiga n arav e n a p is a n a v je z ik u m a te m a tike« (G alilei), k i j e d e ln o obnavljalo p itag o re jsk o -p la to n o v sk e p o g le d e n a m a te m a tik o , je bilo pač p re m a lo za to.
M atem atik a 16. in 17. stoletja j e b ila že tedaj tak o razvita, d a j e razvijala svoje lastn e sim bolne kalkile, ki se niso več n aslan ja li n a ab strak cije iz izkus
tva. In rav n o n e k a te ri takšni kalkili so se že tedaj izkazali za zelo p lo d n e v naravoslovju (n pr. razširitev p o jm a števil z im a g in a rn im i oz. k o m p le k sn im i števili, an a litičn a g eo m etrija itd .). Z ato n a m zgolj sklicevanje n a s p re tn o m a tem atičn o k o n strukcijo n e m o re razložiti u p o ra b n o s ti m a te m a tik e v izkustve
n em svetu. N ek ateri em p iristi so im eli veliko z a d re g g le d e m a te m a tič n e g a naravoslovja. Z n an o je , d a j e n p r. B erkeley o stro zavračal N ew to n o v o fiziko predvsem zaradi n je n e »spekulativne m atem atičn o sti« , tj. ap lik acije in fin ite zim aln eg a ra č u n a (v B ecker, 1975, str. 1 5 6 -8 ). N iti racio n alisti, n iti e m p iristi niso našli zadovoljivih odgovorov n a to v prašan je. V k o lik o r so g a sp lo h te m a tizirali, so nanj pravilom a odgovarjali v okviru p lato n o v sk ih ali a ris to telovskih
»trikotniških« m odelov odnosov m e d m atem atičn im i in n arav n im i (e m p irič n i
m i) stru k tu ra m i oz. oblikam i.
V d ru g a č n o sm er s e je p o d al šele K ant. M atem a tik o j e o p rl n a a p r io r n e s tru k tu re čistega zora, tj. p ro sto rsk e g a in ča sovnega zora. G e o m e trija u stre z a a p rio rn i stru k tu ri p ro sto ra , aritm e tik a a p rio rn i stru k tu ri ča so vn ega re d a , n a g eo m etriji in aritm etiki p a tem elji vsa p re o s ta la m atem atik a. K er j e p o K an tu čisti z o r o b e n e m a p rio rn a zm o žn o st zavesti in pogoj m o žn o sti za n a sto p p o ja
vov k o t stvari v svetu m o žn eg a izkustva, j e s tem tu d i p o ja sn je n o , zakaj so m a
te m a tič n e resn ice sam e po sebi a p r io r n e in zakaj so tu d i n u jn e re sn ic e za izkustveni svet. P o d o b n o ko t za za k o n e n arav e p o K antovi teo riji velja, d a j i h postavlja čista zavest (n a ta n čn eje , čisti ra z u m ), n e pa, d a j i h n a ra v a zastavlja kar realno obstaja, v endar pa nas to ne sm e ovirati pri iskanju enostavnih narav s pom očjo m atem atičnih razmišljanj. Tako lahko »zapletene naloge prestavim o v enostavne, nesoiz- merljive, v soizmerljive, iz iracionalnih v rac io n aln e količine, iz n esk o n čn ih in m eglenih v končne in gotove - kakor v prim eru črk abecede in glasbenih not« (Bacon, 1939, II, 8).
Govori o tem , da im a raziskovanje narave najboljše rezultate tedaj, ko začenja s fiziko in končuje v m atem atiki. Ne sm em o se bati velikih števil ali m ajhnih delčkov. Kajti p ri števi
lih jih lahko tisoč razum em o kot eno sam o ali p a razu m em o tisoči del celega k o t celo samo (prav tam ).
Ka k o i a h k o a p l i c i r a m o m a t e m a t i k on as v e t?
zavesti, tu d i za m a te m a tič n e re sn ic e velja, d a j i h naravi zastavlja čista zavest ( n a ta n č n e je , čisto z re n je ), n e pa, d a j ih narava zastavlja zavesti.
T u d i p ri K antovi teo riji la h k o p rikažem o sh em o odn o so v m ed e m p iričn o stvarn o stjo , zavesÿo in m atem atik o :
Z o p e t sm o d obili značilno trikotniško strukturo, kjer d o lo čen a vrsta ap rio r
n ih fo rm o b e n e m p o g o ju je a p rio rn e fo rm e realno sti in p o d p ira veljavnost m a te m a tik e . Za K antovo te o rijo j e značiln a veliko tesnejša povezan ost m ed izkustv en o stv arn o stjo in m ate m a tik o , kak o r p ri platonovski oz. platonovsko- aristotelovski teo riji. P ri P la to n u je zveza p o s re d n a in le p ribližna, kajti em p i
rič n e stvari le p rib liž n o u strez ajo idejam , m atem atik a p a jim u strez a p o p o ln e j e , k e r so tak o id eje k o t m a te m a tič n e stru k tu re um ske stvarnosti, ki obstajajo опкггу e m p irič n e pojavnosti. Pri A ristotelu j e zveza zo p et p o sre d n a , čeprav n e m a r a tesn ejša k o t p ri P la to n u . T o p a zato, k er so m a te m a tič n e stru k tu re a b stra k cija iz re a ln ih fo rm in idealizacija razm erij m ed tem i fo rm am i in niso stv a rn o st p o sebi, o n k ra j č u tn ih form . Pri K antu p a sta a p rio rn a stru k tu ra p ro s to ra in časa in a p r io r n a stru k tu ra čistega zrenja pravzaprav le dva vidika iste » tra n s c e n d e n ta ln e « a p rio rn o s ti, e n o j e a p rio rn a u re je n o s t čistega akta zre n ja , d ru g o j e a p r io r n a u re je n o s t m o žn ih p re d m e to v teg a zrenja. K ant je p o d p o jm o m »zrenja« (A nschauung) d ejansko združil tak o in te n c io n a ln i akt z re n ja k o t tu d i n jeg o v p re d m e t (Kant, 1980, str. 111 sq). Če njegovo tezo iz re č e m o n a n a č in H u sserlo v e fe n o m e n o lo g ije, p o tem bi lah k o dejali, d a so za K a n ta a p r io r n e fo rm e n o e z č u tn e g a zrenja strogo izo m o rfn e a p rio rn im fo rm a m m o ž n ih n o e m č u tn e g a zrenja. M atem atika na fo rm a le n n ačin izraža a p r io r n o sk u p n o s tru k tu ro o b e h vrst form . O d to d n e izhaja zgolj n ač e ln a ap lik a b iln o st m a te m a tik e n a prostorsko-časovne stvari, tem več tu di a p rio rn a veljavnost čiste m atem atik e. M atem atik a j e zato sistem čistih fo rm a ln ih resnic, n e zgolj lo g ičn i re z u lta t d o lo č e n ih konvencij.
M o ra m o p a u gotoviti, d a K ant s svojo n a č e ln o rešitvijo vprašanja, kako je m o g o č a čista m a te m a tik a , še n i d o k o n č n o odgovoril n a vprašanje, kako je m o g o č e tak o n a ta n č n o , k a k o r n p r. v new tonovski m eh an ik i, aplicirati m a te m a tik o n a narav o. N a to vprašan je je K ant le d eln o odgo vo ril in to šele v Kritiki razsodne moči. P o n jegovem p o tre b u je m o nov princip, ki utem eljuje en o t
n o s t vseh e m p irič n ih p rin c ip o v in utem elju je tudi m ožn o st sistem atičnega a p rio rn e fo rm e
čistega zrenja a p r io r n e f
p ro s to ra in časa m atem atik a
u jem an ja m ed njim i. T a p rin c ip j e p o K an tu v tem , d a g le d a m o n a n a ra v o k o t n a s m o trn o u re je n o celoto, in to tako, d a se sestav n arav e u je m a z n ašim i spoznavnim i zm ožnostm i (Kant, 1999, str. 20, 2 3 -2 5 , 3 3 6 ).2 T a u re je n o s t ni zagotovljena z sam im i tra n sc e n d e n ta ln im i p rin c ip i m o ž n e g a izkustva, saj bi se prav la h k o zgodilo, pravi K ant, d a bi b ila lah k o n arav a tak o n e z n a n s k o m n o g o v rstn a in h e te ro g e n a , d a je n e bi m ogli n a ta n č n e je sp o z n a ti, p a če p rav bi spoznali tran sc en d en taln e pogoje m o žn eg a izkustva. P o tre b u je m o torej sm o
trn o u re je n sistem e m p irič n ih zakonov, d a bi bil la h k o d o s to p e n n a š e m u ra zum u. S ev ed aje zam isel ne-človeškega ra z u m a le p re d p o sta v k a in v o d iln a id e j a v raziskovanju narave, n e p a dokazljiva trditev.
V Metafizičnih osnovah naravoslovja pa. j e K an t trd il, d a j e v n arav oslo vju le toliko dejanske znanosti, kolikor j e v n jem m a te m a tik e . T o p a zato, k e r vsako naravoslo'sje p o tre b u je n ek i a p rio rn i d el k o t svojo p o d lag o . V e n d a r se čisto sp o zn a n je n arav n ih reči n e doseže zgolj skozi p o jm e , tem več n u jn o p o tr e b u je m o čisti zor. To p a p o m en i k o n s tru ira n je narav o slo v n ih pojm ov, k ije bistve
n o m atem atičn o . Cista filozofija n arav e m o rd a la h k o sh aja b re z m a te m a tik e , n e p a filozofija (tj. zn anost) o p o se b n ih n a ra v n ih re č e h (n p r. fizika ali p s ih o logija). T o re j, k o lik o r več m atem atik e n a jd e m o v kaki e m p irič n i zn a n o sti, toliko bolj znan stvena j e (Kant, 1957, str. 14 sq).
O p a zim o lahko, d a K ant ni m o g el povsem b re z d o p o ln iln ih p re d p o s ta v k u tem eljiti aplikacije m atem atik e n a n aravo, tako d a se d e ja n sk o ra z ra h lja - ko t se kaže v navedeni trikotniški s tru k tu ri - n a videz tr d n a in n e d v o u m n a povezava m e d m a te m a tik o in e m p irič n im svetom . T o p a n jeg o v o »zgodbo«
p o n o v n o približa že znani platonovski m a te m a tič n i zg o d b i o m a te m a tik i in svetu, p ri č e m e r pred p o stav ljen i »razum narave« stoji n a m estu p lato n o v sk ih čistih fo rm , k aterih odsev so tako m a te m a tič n e fo rm e k o t tu d i re a ln e fo rm e .
T ako platonovska oz. aristotelovsko-p latono vsk a k a k o r kan to v sk a filozo
fija m atem atik e ko t tudi n ju n a rešitev v p rašanja, kako la h k o (tak o d o b ro ) ap licira m o m atem atik o n a svet, sta doživeli veliko k ritik in zavračan j, ta k o d a im am o d a n e s opraviti z m ešanico n ju n ih d e ln ih o b n o v in n jih o v ih p re o s ta n kov. V p ra ša n je je , ali sm o n am esto teh postavili kake trd n e jše teo rije, ali vsaj zanesljivejše n ač e ln e p o g led e ali p a še v e d n o živim o v ru še v in a h in o d njih . N ajprej lah k o vidim o, d a so vse tri prej n a v e d e n e k lasične rešitve — p la to n o v ska, aristotelovska in kantovska - p o svoji fo rm i tip ič n o » trik otniške« s tru k tu
2 Ko K ant govori o sm otrnosti celotne narave, misli n a sm o trn o st narave, v kolikor naravo presojam o glede na našo razsodno m oč, tj. glede n a um sko refleksijo, ne n a o bjek
tivno sm o trn o st narave. Gre za »form alno sm otrnost«, ki j o le privzam em o, ne dokazuje
mo. Čeprav z njo ni utem eljeno »ne te o re tič n o spoznanje narave ne p rak tičn o načelo svobode«, j e s tem privzetkom d ano načelo, kako naj iščem o zakonitosti za p o se b n a izkus
tva, tako da vzpostavimo k o herenco izkustva (prav tam , str. 336).
Ka k o LA llKO a p l i c i r a m om a t e m a t i k on as v e t?
re. G lavna id e ja jim j e , d a sta tak o m atem atik a k o t realn i svet n ek a k o navezani n a n e k o s k u p n o fo rm a ln o osnovo, ki daje m atem atik i značaj sp lošn ih in n u j
n ih fo rm a ln ih resn ic, e m p irič n im pojavom pa om o g o ča objektivni obstoj te r j i h m e d s e b o jn o veže z n ajsplošnejšim i in n u jn im i vezmi.
P o m e m b e n o d m ik o d trik o tn išk ih stru k tu r, ki naj razložijo a p rio rn o st m a te m a tik e in n je n o sp lo šn o aplikacijo n a svet, j e predstavljala Fregejeva (del
n a) vezava m a te m a tik e n a logiko. F rege sicer ni uspel v am biciji, d a bi logično izvedel a ritm e tik o iz logike, k e r j e njegov sistem zašel v zanj nerešljivo p ro ti
slovje (a n tin o m ija m n o ž ic ), a če bi uspel, bi dobili v bistvu n asled n jo stru k tu ro:
logika m atem atik a
svet
i
P o F reg e ju vse tiste m a te m a tič n e discipline, ki izhajajo iz p ojm a števila (a ritm e tik a , alg eb ra, a n a liz a), izhajajo iz logike, del m atem atik e, n am re č geo
m etrija, p a p re d sta v lja sam o sto jn o ap rio rn o -sin te tič n o znanost. Zato sem v svoji g ra fičn i p o n az o ritv i »m atem atiko« n ekoliko o d m ak n il o d logike, v en d a r n e povsem . K er vse z n a n o sti predpo stavljajo logiko in s tem razne logične z a k o n e, s tem eo ipso p re d p o sta v lja jo tudi veljavnost tistega d ela m atem atik e, ki izh aja iz logike. A plikacija m atem atik e n a svet j e tedaj le p o se b e n p rim e r ap lik acije lo gike, ki p a j e tako ali tako n u jn a p red p o stav k a vseh znanosti. Ni p o tre b n o , d a bi b ila m a te m a tik a n ek i se k u n d a rn i odsev idej, svet p a prvotni odsev, k o t j e b ilo p ri P la to n u , n iti ni p o tre b n o , d a bi m atem atičn e resnice s p o m o č jo ab strakcije in idealizacije n ek ak o izpeljevali iz re a ln ih form . Z adnje d e lo m a velja le za g e o m e trijo , ki izraža a p rio rn e fo rm e p ro s to ra (Frege, 1973, 1987, 4 2 -4 4 ). F reg e ni pisal o tem , kako lahko apliciram o g eo m etrijo n a re al
n i svet. M o rd a se je strinjal s K antom , d a geom etrija izraža n u jn e pogoje m ožno
sti p ro sto rsk e ek sisten ce re a ln ih pojavov.
Se e n n a m ig n a m la h k o p o m ag a pojasniti Fregejevo g led an je n a od n o s lo g ik e-m atem a tik e in sveta. Po F reg eju n e m o re m o govoriti o dejstvih ko t o n e č e m ra zličn em o d sm islov oz. misli. K ot eksplicitno pravi v spisu »O misli«, so dejstva zgolj re sn ič n e m isli (F rege, 1976, str. 50), pri tem p a j e misli razu m el k o t o b jek tiv n o veljavne in p o sebi o bstoječe sm isle stavkov. Če n p r. astro n o m p ri a stro n o m sk e m o d k ritju u p o ra b i n e k o m ate m a tič n o resn ico , p o tem to la h k o sto ri zato, k e r tak o m a te m a tič n a resn ica kot astro n o m sk o dejstvo b re z č a sn o o b sta ja ta n e o d v isn o o d človeka k o t »dejstvi« v kraljestvu misli in sta n a ta n a č in b re zča sn o p o vezani m e d seboj (prav tam ). Dejstva le odkrivam o, n e p a ustvarjam o.
F reg e se torej n e bi strinjal z m islijo, d a svet sestoji iz dejstev ali vseb uje dejstva, ta p a p o te m o d ra žam o v m islih in stavkih, ra z e n če n e bi ves svet sp re m e n ili v n ekakšno vseobsežno »misel«, ki u s tre z a ce lo ti vseh re s n ič n ih misli. G led e tega n am j e F rege zapustil p re m a lo sledi, d a bi la h k o n a ta n č n o re k o n stru ira li njegovo stališče. V k o lik o r bi veljalo, d a j e svet sam m o rd a le ce lo ta m isli (»in n e stvari« - bi d o d a l W ittg e n ste in ), p o te m j e sev eda p o sebi razum ljivo, da m a tem atičn e oz. lo g ičn e re sn ic e » apliciram o « n a svet, saj g re p re p ro s to za logična razm erja m e d bolj in m an j sp lo šn im i re sn ic am i.
V e n d a r tudi s to sh em o ni p o jasn jen o , zakaj se tak o d o b ro o b n e s e jo p o seb n e in visoko »konstrukcijske« m a te m a tič n e teo rije, začenši z in fin ite z im a l
nim ra ču n o m . Kako to, d a naš u m zag rab i kak šn o začasn o povsem a b s tra k t
n o , n a videz n e u p o ra b n o teorijo, ki p a se čez nekaj časa, m o rd a celo čez več k o t sto let, izkaže za izvrstno o ro d je znanosti? N a to v p ra šan je F reg ejev logici- zem , in tu d i vsak d ru g logicizem , n i dal p a m e tn e g a o d g o v o ra.
S o d o b n i filozofi v glavnem zavračajo ali vsaj m o č n o dvo m ijo v obstoj n e k e m atem atik i in svetu sk u p n e id ealn e a p rio rn o sti. T ak šn a p re d p o s ta v k a velja za
»m etafizično« v slabšalnem p o m e n u . Zlasti lo g ičn i pozitivisti so bili s m rtn i sovražniki tovrstnih zamisli. Le p ri H u sse rlu in n e k a te rih fe n o m e n o lo šk o u sm e rje n ih avtorjih n a jd e m o odm ev e k lasične trik o tn išk e rešitve. P ri H u s se r
lu n p r. v zamisli k ateg o rialn eg a a p rio rija in k a te g o ria ln e g a zren ja, ki j o je razvil že v Logičnih raziskavah, izre cn o p a to rešitev razvija n p r. v svojih zg o d njih p re d av an jih o logiki in splošni teo riji zn a n o sti iz le t 1911 -1 2 (H u sserl, 1996, str. 2 7 4 -8 ). T a dva m ed d ru g im u te m e lju je ta a p r io r n o re s n ič n o s t m a te m atike in n je n o o n to lo šk o pom en ljiv o st in sicer k o t sestavino n ajsp lo šn ejše fo rm a ln e ontologije. T o d a to še zdaleč n i bil o d g o v o r n a v p rašan je, k ak o j e m o goče u spešno in n a ta n č n o m a te m a tič n o naravoslovje, k o t g a p o z n a n p r.
m o d e rn a fizika. H usserlova kasnejša razm išljan ja o tej tem i bi še n ajlaže p ri
m erjal z A ristotelovim i. O b a im ata n a m re č m a te m a tič n e s tru k tu re za a b s tra k cijo kvantitativnih ali relacijskih zn ačiln o sti o d k o n k re tn ih zn a čiln o sti p o ja vov in njihovo idealizacijo v n ek i n av id ez n o sam o sto jn i fo rm a ln i svet. P ri A ri
stotelu je bilo izhodišče abstrakcije po lje k o n k re tn ih su b stan c, n jih o v ih last
nosti in odnosov, pri H usserlu p a p rim a rn i življenjski svet (gl. n p r. H u ss e rlo va izvajanja o čisti geo m etriji v njegovih »V prašanjih p o izvoru g e o m e trije « ,
1998).
H usserlov u č e n e c in filozof m a te m a tik e O . B e c k e rje p o o b sežn i zgod o- vinsko-filozofski raziskavi o n to lo šk ih tem eljev m a te m a tik e svoje d e lo zaključil z m islijo, d a m o ram o p o leg tra n sc e n d e n c e p re d m e tn o s ti g le d e n a zavest u p o števati še e n o tra n sc e n d e n c o , n a m re č božjo. N e p o sre d n o se sklicuje n a K an
ta, k ije p rav tako do m n ev o o sm o trn i povezavi vseh n a ra v n ih zako n o v p o d p rl z ad hoc id ejo božjega razum a, ki »ureja« svet (za K anta j e to le izh o d v sili, tj.
Ka k o l a h k oa p l i c i r a m o m a t e m a t i k on as v e t?
d o m n e v a , k i j e n ik o li n e m o re m o dokazati ali ovreči. Je le Ideja, ki vodi razi
skovalce n arav e k novim s p o z n a n je m ). B ecker se sklicuje tu d i n a H usserla, ki j e v Idejah p ra v tako n az n ačil m o žn o st boga k o t tra n sc e n d e n tn e g a bitja, ki
»uredi« svet v k ozm os in p re p re č i zm ago kaosa (B ecker, 1973, str. 327 sq, H u sserl, 1997, 58. p o g l.). V e n d a r j e razm išljanje o bogu h itro zaključil z ug o
tovitvijo, d a so d ita p o je m in obstoj b oga v epoché fe n o m e n o lo šk e redu kcije, torej ga m o ra fe n o m e n o lo g o p u stiti iz svojih raziskav. V prašanje se tako izteče nazaj v m etafiziko, o d k a te re želijo fe n o m e n o lo g i p o b eg n iti. B ecker priznava, d a j e s tem n a z n a č e n tu d i n e re še n i del vprašanja, o n ač in u obstoja m atem atič
n eg a . T o p o m e n i, d a se v rača v platonovsko-aristotelovsko verzijo trikotniške rešitve p ro b le m a .
L og ičn i pozitivisti so zavračali tudi ap rio rn i status m atem atik e (in včasih tu d i logike) in j o p o v ečini sp re m in jali v d o lo č e n e sistem e aksiom skih k o n vencij, pravil in lo g ičn ih izpeljav iz njih. T u je p rednjačil zlasti R. C arn ap , ki se j e skliceval n a W ittg en stein o v T raktatin njegovo kasnejšo teo rijo »sintaktičnih je z ik o v n ih sistem ov«. Za C a rn a p a j e bila m atem atik a zgolj e d e n o d sintaktič
n ih sistem ov s povsem a b stra k tn im i pravili. Pri tem ni p o p o ln o m a nič važen m o re b itn i vsebinski p o m e n te h znakov, tem več zgolj p ravilno st ali nep ravil
n o s t ra č u n a n ja z znaki (C a rn a p , 1968). K asneje j e C arn a p k sintaksi d o d al še se m a n tik o oz. m o d e le (in te rp re ta c ije ) sintak tičn ih kalkilov (C arn ap , 1959), v e n d a r tu d i s tem ni p o v rn il m atem atik i n je n e a p rio rn e veljave in nepolju b- n o sti, kajti in te rp re ta c ije in m o d e li sin tak tičn ih sistem ov n iso e n o lič n o d o lo č e n i, n iso u n iv erz aln i. L ah k o re č e m o le to, d a če se n ek a m a te m a tič n a teorija u sp e šn o u p o ra b i v kakšni e m p irič n i teoriji, k o t sestavina n je n e g a teo retsk eg a d e la , to p o m e n i, d a se v m o d e lih te e m p irič n e teo rije skriva tu di n ek i m o del u stre z n e m a te m a tič n e teo rije. T o d a o d re aln o sti d o m o d e la teo rije j e še ved
n o p o tr e b e n n a d a ljn ji k onstrukcijski presk ok, zato n e m o re m o reči, d a sm o ap licira li m a te m a tik o n a dejan sk o st, tem več sm o kvečjem u d o lo čen vidik ali izsek d ejan sk o sti p o d a li v takšni obliki, d a predstavlja m o d el m atem atičn e teo rije. T u se v e d n o skriva e le m e n t k o nvencionalnosti, izbire jezik a, op isa itd.
C a rn a p u s e j e m o rd a zd elo , d a j e s tem vprašanje aplik abilno sti m atem a
tike n a svet sp re m e n il v trivialno, n am re č v vprašanje izbire sin tak tičn eg a si
ste m a in n jeg o v eg a m o d ela. N p r. za n e k o fizikalno teo rijo »izberem o« m ate
m a tič n o te o rijo g ru p , v p o se b n e m , e n o o d m n o g ih sim etrijskih g ru p k o t se
stavino n je n e g a te o re tsk e g a a p a rata. Izkaže se, da se ta teo rija d o b ro p o trd i v p rak si, tj. d aje p ra v iln e in zelo n a ta n č n e razlage in napovedi.
O d g o v o r n a vp rašan je, kako sm o lahko v tem p rim e ru aplicirali d o lo če
n o s tru k tu ro g ru p in z n jo v re d teo rijo g ru p n a em p iričn i svet, j e p o C arn a p u v tem , d a sm o iz sveta pojavov »izbrali« prav tak podsistem pojavov, ki vsebuje tak šn e zn a čiln o sti svojih p o jav n ih stru k tu r, k ijih lahko p rire d im o (preslika
m o) fo rm a ln im stru k tu ram teo rije g ru p . T o j e v j e d r u kan to v sk a rešitev, s to razliko, d a n am esto čistega razum a, ki » p re d p isu je« z a k o n e n arav i, sedaj stoji
ta človeški izbiri - izbira teo rije in izb ira u stre z n e g a e m p irič n e g a p o d siste m a.
N am esto a p rio rn o zagotovljenega in sp lo šn o v eljav nega soglasja m e d m a te m atičn im i form am i in prostorsko-časovnim i fo rm a m i p ri K an tu , im a m o p ri C a rn a p u in neopozitivistih opravka z o b sto je m p re slik av n e fu n k cije, ki p re sli
ka del m a te m a tič n e g a a p a ra ta teo rije v izkustveni svet. T a fu n k c ija n e m o re zagotoviti splošne in n u jn e veljavnosti m a te m a tič n ih re sn ic , saj p o k riv a kveč
je m u o m e je n o definicijsko o b m o čje e m p irič n ih pojavov.
V p o se b n e m p rim e ru se lah ko v p rašam o , k ak o se m a te m a tič n i izrazi in fo rm u le p rev ed ejo v em pirijski jezik . C a rn a p tega p ravzaprav ni n ik o li k o n sek v en tn o izpeljal. Se najbliže te m u cilju j e bil v svojem z g o d n je m d e lu Logi
čna zgradba sveta (1928). T am j e poskusil n a osnovi stavkov o č u tn ih p o d a tk ih p o sam ez n ik a izpeljati k o nstrukcijo c e lo tn e g a sveta. Pri te m j e m o ra l p r e d p o staviti nekaj m atem atičn ih pojm ov v n a p re j, torej j i h ni m o g el zvesti n a č u tn e p o d a tk e (n p r. pojem m nožice, u re d itv e , n a ra v n e g a števila). Č e v re sn ici n e m o re m o zvesti c e lo tn e m atem atik e n a izkustvo (oz. izkustvene stav k e), p o te m j e vsaj del m atem atik e »skupen« tako teo riji k o t izkustvu. V e n d a r je p rav to p ro b lem , ki ga vseskozi rešujem o, saj j e o d lo č ile n za s le h e rn o ap lik acijo m a tem atike n a svet. V prašanje, kako je m o g o če aplicirati m a te m a tik o n a svet, se v C arnapovi viziji sp rem en i v vprašanje, k a k o je m o goče, d a je vsaj d el m atem atič
nih stru k tu r skupen em p iričn e m u svetu in teorijam , ki ga razlagajo in opisujejo?
Naj p rip o m n im , d a tudi poskusi lo g ičn e izločitve vseh teo rijsk ih te rm i
nov iz teorij in redukcij teorij n a čisto em p irijsk o j e d r o , k ije teo riji e m p irič n o ekvivalentno (k o tje n p r. Ram seyeva m e to d a e lim in a cije teo rijsk ih p o jm o v ), v n ačelu n e uspejo izločiti vseh m a te m a tič n ih oz. vseh a b stra k tn ih te rm in o v iz teo rije.3 Če poskušam o p o teh m e to d a h izločiti še m a te m a tič n e te rm in e , p o tem n u jn o zaidem o v o bm očje n e p r e g le d n ih p re d ik a to v d ru g e g a in višjih re dov (n p r. p re d ik ato v n a d m n o žicam i ali n a d p re d ik a ti p rv eg a re d a , p re d ik a ti n a d funkcijam i itd .) , k ijih nikoli n e m o re m o zaobiti s kako p o p o ln o in o dlo č- ljivo logiko, ki bi se n an ašala le n a in d iv id u e. O b ič a jn e teorijske izraze, n p r.
»sila«, »masa«, »elektron« itd., sicer v p rv e m k o ra k u elim in a cije tu d i p re o b ra zim o v u strez n e p re d ik a te in n a to e k siste n č n o kv an tificiram o n a d njim i, v en d a r se d a vse te kvantifikatorje oz. vezane p re d ik a tiv n e sp re m e n ljiv k e v n a s le d njem k o ra k u analize p re o b raz iti v kvantifikacije n a d d o lo č e n im i re a ln im i in dividui (n p r. n ad re aln im i telesi ali prosto rsk o -časo v n im i o b m o čji) oz. v veza
n e in d iv id u aln e sprem enljivke.4 P o leg te g a tako n e m o re m o o d p ra v iti m a te 3 P odrobnejši prikaz te m etode elim inacije teorijskih term inov si lahko b ralec ogleda pri Stegm iillerju, 1970, str. 400-437, krajši prikaz tudi v Ule, 1992, str. 180-188.
4 T ekoče znanstvene teorije ne p o treb u jejo bistveno več kot p re d ik a tn o logiko prvega
Ka k o l a h k oa p l i c i r a m o m a t e m a t i k on as v e t?
m a tič n ih o p eracij, ki se p o g o sto skrivajo v ab strak tn ih izrazih (n pr. ulom ki, p o te n c e , k o re n i, o d v o d i itd .).
C elo tak o stro g i em p iristi in n o m in alističn o n a v d a h n je n i avtorji, ko t sta n p r. W. v. O . Q u in e in H. P u tn a m , m enijo, d a je n em o g o če izločiti m atem ati
k o iz z n a n o sti, še več, m o ra m o p rizn a ti obstoj vsaj n e k a te rih osnovnih ab s tra k tn ih objektov, k o t so n p r. ra zre d i, relacije, fu n k cije.r’
K ljub vsem tem težavam o b staja nekaj p o m e m b n ih poskusov n ač eln e eli
m in a c ije a b stra k tn ih m a te m a tič n ih objektov iz naravoslovnih znanosti (n a ra voslovne zn a n o sti so najbolj re p rez en tativ n i p rim e r u p o ra b e m atem atike v z n a n o s tih ) . M ed najbolj p o sre č e n im i in najbolj d o sled n im i poskusi te vrste je n e d v o m n o p oskus H arty ja F ielda. P o sk u šalje zgraditi » zn an ost brez števil«. S te m j e skušal p o k azati, d a m a te m a tik e n e p o tre b u je m o k o t teoretično ogrodje z n a n o sti, tem več zgolj k o t p ojm o v n i in fo rm aln i instrument, ki nam olajša teo re tsk e ali e m p irič n e izpeljave (Field, 1980). N jegova m e to d a j e v osnovi n a
sled n ja: vzem i d o lo č e n o e m p irič n o teorijo, v kateri n asto p ajo m atem atičn i p o jm i, fo rm u le , stavki in poišči n etrivialen in znanstveno zanim iv »nom inali- stični« p re o s ta n e k te teo rije, v k aterem ni n o b e n ih takšn ih izrazov, pojm ov, stavkov, tem več k o t osnovni o b jek ti nasto p ajo zgolj prostorskočasovne točke oz. p ro sto rsk o č a so v n a o b m o čja, k o t lastnosti in relacije p a zgolj lastnosti in re la c ije te h objek to v .'1 N a to d o lo či preslikave (vsaj n a r a v n i h o m o m o rfizm a) m e d tak o n o m in a listič n o očiščenim p re o sta n k o m teorije in d o lo čen im i ma- r e d a z id e n tite to , če seveda zanem arim o u p o rab o abstraktnih term inov, ki so bodisi p o vsem m atem atičn i ali m ešanica re a ln ih in m atem atičnih term inov. Teorijski term ini, ki bi presegali to dvoje, so »m etafizični«, tj. ne m orem o jim dati em p iričn e vsebine, a tudi niso n u jn o p o tre b n i za znanstvene razlage ali napovedi, tj. z njihovo pom očjo ne pridobi
m o d ru g ih resn ičn ih stavkov kot brez njih. Več o tem gl. C arnap, 1956, Q uine, 1961, Q u in e, 1992, str. 25-35.
* Gl. n p r. a rg u m e n te H. P u tn am a, ki se sklicuje tudi na Q uina v njegovi Filozofiji logike (P u tn a m , 1979). Njegov arg u m e n t bi lahko povzeli v dveh prem isah in sklepu, nam reč: 1.
M oram o biti o n tološko zavezani le takšni bitnosti, k ije nepogrešljiva {indispensable) v naših najboljših teorijah, 2. M atem atične bitnosti so nepogrešljive v naših najboljših znans
tvenih te o rijah , torej sm o ontološko zavezani m atem atičnim entitetam . O be prem isi sta za m n o g e sporni. Prva zato, k er ni rečeno, kako daleč m oram o iti z našo sprejemljivostjo, np r. kaj vse od zahtevnega in abstraktnega m atem atičnega aparata kake teorije m oram o im eti za nepogrešljivega v kaki znanosti. Q uine, P utnam in nekateri drugi teoretiki zna
nosti m enijo, da m o ram o sprejeti znanstvene teorije kot celoto, drugi tem u oporekajo in m enijo, d a m o ra privzeti le d oločen del teorij, saj vemo, da npr. fiziki še zdaleč ne spreje
m ajo vseh fo rm a ln o u v ed en ih abstraktnih objektov kot fizikalnih entitet. Drugi prem isi p a n asp ro tu jejo oni, ki m enijo, d a lahko v načelu izločimo velik del ali celo ves m atem a
tični a p a ra t neke teorije, pa se to ne bo n ujno poznalo v tistih stavkih teorije, ki imajo čisto e m p irič n o vsebino.
11 D ejansko ne gre za p o p o ln i nom inalizem , temveč le za izločanje abstraktnih univerza- lij iz p rim a rn e o ntološke stru k tu re dejanskosti, Field nam reč dopušča realne lastnosti in rea ln e relacije n e-abstraktne vrste.
tem atičn im i teorijam i (npr. aritm etik o , te o rijo re a ln ih števil, te o rijo m n o žic, teorijo vektorjev itd .) , tako d a d o lo č e n im k o m p o zicijam , p re d ik a to m ali re la cijam n a d prostorskočasovnim i točk am i ali reg ijam i u stre z a jo d o lo č e n i m a te m atični ekvivalenti, n pr. m atem atične en titete, lastnosti, relacije, funkcije, funk- cionali itd. T o preslikavo p o zgledu H ilb e rto v e g a te o re m a re p re z e n ta c ije g eo m etrije v 3-D p ro sto ru re a ln ih števil im e n u je tu d i » re p rez en tacija« n o m i- n alistične teorije v m a tem atičn e m (a b stra k tn e m ) ekvivalentu. D ru g k o ra k v tem p o sto p k u j e v tem , da p okažem o, d a lah k o d o lo č e n e k o m p le k sn e izp elja
ve stavkov v nom inalistični teoriji p rid o b im o tu d i tako, d a n a m e s to te h izp e
ljav izvedem o u strez n e m a te m a tič n e tran sfo rm acije in izpeljave n a ravn i ab stra k tn e g a (m atem atičn eg a) ekvivalenta te o rije in p o te m re z u lta te te h tra n s
form acij p reslikam o nazaj v n o m in a listič n o teo rijo . N a k o n c u m o ra m o še p o kazati, d a v tej teoriji ni n o b e n e izpeljave, k ije n e bi m og li v n a č e lu d o seči že zgolj v n o m in alističn e m u p re o sta n k u teo rije in m o rd a še, zakaj j e ov in ek sko
zi m atem atičn i ekvivalent za nas p ra g m a tič n o bolj p rim e re n k o t izpeljava zgolj n a ravni n o m in alističn e g a p re o sta n k a teorije. T a » recept« F ield s p re tn o in u sp ešn o prikaže n a m etričn i g eo m etriji 3D p ro s to ra , 4D p ro sto ra -ča sa in New- tonovi klasični m eh an ik i.7
S plošno vzeto, g re m u za to, d a bi do kazal splošni konservativizem m atem a- 7 V prašanje je, kako daleč gre lahko Field s to m eto d o . N ekateri kritiki, n p r. M. D.
Resnik, ugotavljajo, da Fieldov program n e m o re uspeti v n om inalistični reform ulaciji relativnostne in kvantne teorije, kajti vsebujejo veliko bolj zahtevno m atem atik o kot j e N ewtonova fizika. V kvantni fiziki npr. predpostavljam o n e s k o n čn o d im en zio n aln i vek
torski p ro sto r (ti. H ilbertov prostor) in težko s ije predstavljati neki n o m in a lističn o obse- kani analogon tega pojm a. Resnik dalje sprašuje, kako naj izgleda n o m in a lističn a re d u k cija u p o ra b e statističnih ipd. m atem atičnih m e to d za ocenjevanje h ip o te z zunaj m a tem a
tične fizike. Field po njegovem m nenju ni pokazal, kako apliciram o statistično sklepanje, natančneje, kako falsificiramo statistične hipoteze. T u se n e bi sm eli več sklicevati n a verjetnost in sploh n a n o b en a razm erja števil, saj m o ram o te nom in alističn o elim inirati.
Tudi govor o »naključjih« ipd. ne pom aga, k e r so tudi to abstraktne e n tite te. S tatistične dom neve gradijo na vzorcih dogodkov, n a m nožicah stavkov ali m ožnostih itd., a vse to so m atem atične konstrukcije, ki slonijo n a ab stra k tn ih b itn o stih (Resnik, 1997, str. 5 5 -5 8 ).
N adalje bi m oral Field uveljaviti svoj p ro g ra m tudi v m etam atem atiki, n e le v naravoslov
nih znanostih. Field se sicer te naloge zaveda in skuša predstaviti svojo teo rijo nom inali- zacije kot teorijo o konsistenci različnih teorij, nato pa izenači konsisten tn o st z logično m ožnostjo teorije. Tj., nam esto, d a rečem o , d a obstaja tak in tak m atem atičn i objekt, rečem o, d a j e logično m ožno, da obstaja. T o nas ne obvezuje k priznavanju obstoja tak
šnega objekta, kot nas nič ne sili k priznanju obstoja enorogov, čeprav priznavam o, d a so logično m ožni. Po Resniku to nasprotuje našim u tije n im intuicijam g led e m atem atike (poleg tega terja ustrezno nom inalistično in te rp re tac ijo m odalnosti, kar n e gre brez d o ločene logike drugega reda, tj. kvantificiranja nad pred ik ati in funkcijam i). K ončno Re
snik ugotavlja, da Filedovo sprejem anje prostorsko-časovnih točk in obm očij kot osnov
nih en tite t ni načelno nič manj sporno kot sp rejem an je obstoja kakšnih d ru g ih sta n d a rd n ih m atem atičnih objektov (m nožice, števila itd.) (str. 59).
K A K O LAHKO APLICIRAMO MATEMATIKO NA SVET?
tič n ih teo rij g le d e n a n o m in a listič n o očiščen e teorije. P o F ield u j e m atem a
tič n a te o rija M k o n serv ativ n a (gled e n a kako n o m in alističn o teorijo oz. glede n a n o m in a listič n i opis dejan sk o sti) n a ta n k o tedaj, če za p o lju b e n n o m inali- stičen stavek A in p o lju b n o m n o žico n o m in alističn ih stavkov N (iz d a n e no- m in a listič n e teo rije) velja, d a A ni log ičn a p o sledica stavkov N + M, če ni že lo g ič n a p o sle d ic a m n o ž ic e N. Ali re č e n o d rugače: M je konservativna tedaj, če A izh aja iz izjav N + M, p o te m izhaja že iz m nožice N sam e (gl. Field, 1980, str. 12).8 Iz F ieldove teo rije izhaja, d a je m atem atik a stro go vzeto n eresn ičn a, če p rav k o ris tn a (str. 15). T o se n e u jem a z običajn im p re p rič a n je m , d a j e m a te m a tik a a p r io r n o re sn ič n a. T o d a n asp ro tje m e d o b e m a izjavama bi lahko rešili s tem , d a j e m a te m a tik a a p rio rn o re sn ič n a le v toliko, v k olikor jo razu
m e m o k o t sestav p o g o jn ih izjav tip a »Če ..., p o te m ...« ), k jer v a n te n c e d e n su n a sto p a jo n p r. izb ra n i m a te m a tič n i aksiom i in definicije, v konsekvensu p a k ak šn i m a te m a tič n i izreki, ki izhajajo iz njih. K olikor p a bi gledali le konsek- vense te h stavkov (in to o b ič a jn o p o č n e m o , k ad a r u p o ra b lja m o m atem atičn e stavke izven sam e m a te m a tik e ), p a so ti pravilom a n eresn ičn i, k e r govorijo o a b s tra k tn ih o b je k tih , ki n e obstajajo, tem več so kvečjem u naše idealizacije d o lo č e n ih re a ln ih objektov.
F ieldo va m e to d a razlikovanja konservativnih m atem atičn ih re p rez en ta- cij n o m in a lis tič n ih teorij v bistvu izhaja iz in tuitiv ne d om n eve, d a v em p i
rič n ih ra zlag ah k o t premise razlage n e sm ejo n asto p ati m atem atičn o ali logično re sn ič n i stavki. T i stavki n a m re č sodijo k pravilom oz. p o sto p k o m izpeljave (d o k azo v an ja) e k sp la n a n sa iz ek sp lan a n d u m a, saj veljajo v vseh m o žn ih sveto
vih (so a p r io r n i) , to rej n e p rin aša jo n o b e n e vsebinske resn ice, ki bi kakorkoli in fo rm a tiv n o pog o jev ala razlago. N a b an a ln i ravni to začutim o takoj, če n am n p r. n e k d o skuša razložiti, zakaj je n e n a d o m a v košari le p e t jab o lk , m alo p r e d tem p a j i h j e b ilo sed e m in re če takole:
»T o j e zato, k e r sem p r e d tem dva vzel ven in ker je sedem minus dva enako pet.« Č u tim o , d a j e o n i m a te m a tič n i del razlage trivialen oz. odvečen, saj n am p ra v n ič n e pove o svetu, tj. dejstvih in stanjih stvari, o k aterih j e govora v razlagi. P ač p a za k o n 7 — 2 = 5 p o tre b u je m o zato, če želim o dokazati, d a č e je bilo v ko šari sprva se d e m ja b o lk in sm o odvzeli dve ven, j e ostalo še p e tja b o lk . N a ta n č n e jši p rik az tega, k a r sm o tu počeli, j e seveda bolj zahteven.
T u d i tu n a tih e m p o tre b u je m o u strezen m atem atičn i, ab strak tn i ekviva
le n t ugotovitve, d a j e bilo v košari sprva to in to' in to" in to'" in .... to"""
8 T u sem nekoliko poenostavil Fieldove form ulacije, kajti on upošteva še sprem em bo kvantificiranih izjav v stavku A in stavkih N še tako, da se vse začenjajo z antecedensom , ki se glasi nek ak o takole: C e je x število (ali kaka d ruga abstraktna e n tite ta), p o te m ... Poleg teg a m o ra Field do d ati še zahtevo, d a stavki N dopuščajo obstoj kakšnih ne-m atem atičnih objektov.
ja b o lk o in ugotovitve, d a je bilo n a to m o rd a le to '" in to"" ... in to """ ja b o lk o (pri tem naj nam indeksikalni izrazi o b lik e to p o m e n ijo in d iv id u a ln e kazal
ke n a p o sam ez n a ja b o lk a v košari). Ti dve ugotovitvi sta n a m re č povsem e m p iričn i (opazovalni) in se v n jih n e sklicu jem o n a a b s tra k tn e te rm in e . S tro g n o m in alist bi v erje tn o o p o re k al u p o ra b i p re d ik a ta » ... j e ja b o lk o v košari«, kolikor bi le-ta im pliciral n ek o množico o b jek to v in n e zgolj n e k a k šn o fa k tič n o celo to objektov, a pustim o to p rip o m b o za sedaj o b stran i.
Ugotovitvi, d a je bilo sprva v košari to in to' in to" in to"' in .... to""" ja b o l
ko, p rire d im o abstraktni ekvivalent, d a je bilo v košari 7 jab o lk . Ugotovitvi, d a je sedaj v njej le to"' in ... to""" jab o lk o , p rire d im o a b stra k tn i ekvivalent, d a j e sedaj v košari 5 jabolk. Trditvi, d a sta bili iz k ošare odvzeti to in to' jabo lko p rire d im o abstraktni ekvivalent, da sta bili odvzeti 2 jab o lk i. N a ravni ab stra k t
n ih ekvivalentov im am o torej opravka z m ešan im i m atem atičn o -realn im i po j
mi. N ato izpeljem o stavek, d a je sedaj le p e tja b o lk s tem , d a u p o ra b im o p re m i
so »V košari j e (bilo) 7 jabolk« in p rem iso »Iz košare sm o vzeli 2 jab o lk i« te r d o d am o še e n m atem atični ekvivalent te situacije, ki » in terp re tira« odvzem anje ko t m atem atičn o odštevanje števil objektov. Sele sedaj lah k o ap licira m o m a te m atični zakon 7 - 2 = 5 in sicer kot pravilo, p o k aterem iz ugotovitve, d a im am o 7 objektov, in trditve, d a sm o odšteli 2 objekta, izpeljem o, d a j e p re o sta lo še 5 objektov. N ato ta re zu ltat p revedem o nazaj v p rv o tn i je z ik o k o n k re tn ih ob jek tih, tj. jab o lk ih , tj. »V košari j e še to"' in to"" in ... in to""" jab olko «.
Ja s n o vidim o, d a n am m atem atik a k o t tak šn a ni bistv en o p o tr e b n a za izpeljavo teg a stavka iz p o d a n ih prem is, j e p a k o riste n p rip o m o č e k (in v idim o tudi, d a preslikava m ed jab o lk i v košari in m a te m a tič n im i o b jek ti n i rav n o izom orfna, tem več h o m o m o rfn a , kajti ugotovitvi, d a j e v ko šari n ja b o lk u stre za lah k o več različnih kom binacij ja b o lk iz košare}.. N a re a ln i ravni im a m o torej oprav ka z dejanskim i celotam i d o lo č e n ih objektov, ki si d elijo m e d seboj n ekakšno »jabolkasto« p o d o b n o st te r z p ro c e so m izlo čan ja n e k a te rih o b jek tov iz te celote. R ezultat tega p ro c esa j e p o d a n v dejstvu, d a j e sedaj v ko šari n ekoliko m anj teh objektov, p ri č e m e r to »m anjšost« n e sm em o v n a p re j m a
tem atičn o razlagati (npr. tako, d a p ov em o število o b jek to v v k o šari). T o lah k o storim o šele n a ravni u streznega ab stra k tn e g a -m a te m a tič n e g a ekvivalenta o p i
sanih dejstev, ne pa n a ravni e m p irič n e stvarnosti.
P o d o b n o deluje Fieldova m eto d a. Povsod skuša izločiti re fe re n c o ab stra k t
n ih term in o v v em p iričn i stvarnosti. In k e r j e zanj to tu d i ek v iv alen tn o o p u s ti
tvi d o lo č e n ih eksistenčnih trditev, o d to d izhaja, d a se n a m n i tre b a več sklice
vati n a obstoj m atem atičn ih objektov, tem več j i h lah k o im a m o zgolj za v irtu a l
ni, ab stra k tn i p rip o m o č e k p ri proizvajanju d o lo č e n ih e m p irič n ih stavkov iz d ru g ih em p irič n ih stavkov.'-1
,J Naj do d am k tem u, da Field ne sprejem a m etod elim inacije običajnih teorijskih ter-
Ka k o l a h k oa p l i c i r a m o m a t e m a t i k o n as v e t?
F ieldov o d g o v o r n a vprašan je, kako lahko apliciram o m atem atik o n a svet, bi bil v k ra tk e m v tem , d a je p ač s tru k tu ra stvarnosti takšna, d a lahko n je n opis in še bolj n je n o razlag o p o en o stav im o in sistem atično p redstav im o (s tem , d a a p lic ira m o ra zličn e o b lik e a b stra k tn ih m atem atičn ih ekvivalentov » no m inali
stičn ih « stavkov in razlag, ki n a m olajšajo p re h o d o d en ih k d ru g im n o m ina- lističn im sta v k o m ). N e vem , če Fieldova razlaga in m e to d a dejansko zdrži kri
tike, v sek ak o r n a m n e pojasni, zakaj j e m atem atik a tako učink ov ita v tem p o slu, zakaj z n je n o p o m o čjo , in le z njo, lahko dosežem o takšno fantastičn o n a ta n č n o s t razlag in n ap o v e d i, k o t j o d o seg am o n p r. v so d o b n i znanosti. Po
ja s n i n a m k večjem u p o sto p e k aplikacije m atem atik e n a svet in nam p o m ag a o d s tra n iti z a b lo d e g led e o b sto ja ab stra k tn ih m atem atičn ih b itn osti v d e ja n skosti. P a še to n e povsem , kajti, ko t sem o pozoril v op. 5, j e Field že v svojo o sn o v n o o n to lo g ijo vključil p o m e m b e n »del« m atem atičn ih stru k tu r, n am re č m o ž n o st n e s k o n č n ih lin e a rn ih u re je n o sti e le m e n ta rn ih objektov in celote, ki p re d stav ljajo k o n tin u u m , tj. zvezno u re je n e celote (ne m n ožice) svojih delov.
N i m i čisto ja s n o , k a k o je to m o g o če doseči brez p o jm a m nožice in ureditve m n o žic, p a p o jm a fu n k cije, ki im ajo svoje u teleše n je n a p rim a rn i ravni stvar
nosti. K ot re č e n o , celo č e je m o g o ča stro g a n o m in alističn a zg rad b a teh stru k tu r, še v e d n o n e vem o, kako to, d a n am o m ogočajo tako fan tastičn o u spešn ost m a te m a tič n ih ekvivalentov re a ln im stru k tu ram k o tjo do kazu je m o d e rn a zna
n o s t z m aso v n o u p o ra b o m a te m a tič n ih m e to d in m atem atičn ih s tru k tu r.10 m inov iz znanstvenih teorij, k o tjo najdem o npr. pri Craigu, kajti po njegovem m nenju sega vsebina em pirijskih teorij n a d obm očje nep o sred n o opazljivega, torej v obm očje
»teorijskosti«, n e p a tudi v obm očje abstraktnih m atem atičnih objektov. Slednje po nje
govem m n e n ju lahko v načelu izločim o iz em piričnih teorij (Field, 1980, str. 8 -10). To p o č n e m ed d ru g im tudi zato, k er dopušča nekaj ključnih teoretskih, tj. načelno neopaz- ljivih stvarnosti, ki pa po njegovem m n en ju niso »abstraktna« v platonističnem pom enu, saj ne predstavljajo univerzalij, tem več posebne strukture partikularij. Takšne stvarnosti so n p r. obstoj p o te n c ia ln o nesk o n čn ih zaporedij realnih objektov, tj. prostorsko-časov- n ih točk ali obm očij in rea ln i obstoj kontinuum a, npr. zveznih prostorskočasovnih in ter
valov ali obm očij.
10 C hris M o rten sen je v svoji kritiki Fieldove knjige ugotovil, da Fieldova m etoda ne d elu je v ed n o , oz. j e p o n e k o d m očno artificielna. Ne zdi se mu pam etn o , da se m atem ati
ko predstavi kot n ap ačn o , čeprav koristno teorijo (napačno zato, ker m atem atika govori o ab stra k tn ih e n tite ta h , ki n e obstajajo). Navaja prim ere govora o številih in številskih razm erjih v fiziki, ki jih m oram o razum eti tako, da števila oz. bolje številska razm erja rea ln o obstajajo kot razm erja fizikalnih količin, ne pa zgolj kot abstraktni ekvivalent no
m inalističnih stru k tu r dejanskosti (M ortersen, 1998). Po tem pojm ovanju so kvantitete osnovna realn o st, n a katero se sklicujejo uspešne form ulacije znanstvenih zakonov. Za kvantitete je značilno, d a z njim i lahko računam o. Kvantitete različnih vrst lahko m edse
b o jn o m nožim o in delim o, m e d tem ko kvantitete istih vrst lahko še seštevamo in odšteva
m o. Vsaki kvantiteti lahko p rid ru ž im o ustrezni merski sistem, tj. določim o m ersko enoto in m e riln o lestvico. P otem lahko objektivna razm erja m ed kvantitetam i izrazimo m ate
m atičn o k o t m atem atičn a razm erja m ed m erjenim i m erilnim i en o tam i (npr. 1 newton =
