1 Cikli£ni indeks in izrek Polya
1. Koliko neekvivalentnih barvanj, ogli²£ enakostrani£nega trikotnika s tremi barvami, obstaja?
2. Poi²£i cikli£ni indeks grafaG na sliki 1.
Slika 1: Graf G.
3. Zapi²i cikli£ni indeks diederske grupe D12. 4. Poi²£i cikli£ni indeks ogrlice za n= 6. 5. Poi²£i cikli£ni indeks tetraedra.
6. Poi²£i cikli£ni indeks grupe avtomorzmov grafa G, na sliki 2, pri de- lovanju na vozli²£ih grafa.
Slika 2: Graf G.
7. Poi²£i cikli£ni indeks grupe avtomorzmov grafa G, na sliki 3, pri de- lovanju na vozli²£ih grafa.
Slika 3: Graf G.
1
8. Poi²£i cikli£ni indeks grupe vrtenj kocke pri njenem delovanju na plo- skve kocke.
9. Krog razdelimo na 8 enakih delov. Vsak del pobarvamo z eno izmed barv iz mnoºice {rde£a, modra, zelena}. Koliko razli£nih krogov lahko konstruiramo?
10. Na koliko na£inov lahko vrtiljak s 6 sedeºi pobarvamo (a) z dvema barvama?
(b) z dvema barvama tako, da z vsako barvo pobarvamo natanko 3 sedeºe?
11. Na koliko na£inov lahko sestavimo ogrlico iz 6 biserov, £e imamo na voljo
(a) £rne in bele bisere?
(b) 2 £rna in 4 bele bisere?
12. Molekula ima obliko tetraedra z ogljikom v centru. Na ogli²£ih te- traedra so lahko vezani naslednji radikali: CH3, H, Cl, C2H5. Koliko razli£nih moleku je mogo£e sestaviti? Koliko molekul vsebuje natanko en H?
13. Pahlja£a ima 7 prerezov. Na koliko na£inov jih lahko pobarvamo tako, da bodo trije modre, dva zelene in dva rde£e barve?
14. Na koliko na£inov se lahko 6 angle²kih in 6 ²kotskih vitezov posede za okroglo mizo z dvanajstimi neozna£enimi stoli, £e viteze razlikujemo le po narodnosti?
15. Koliko je vseh barvanj mozaika, na sliki 4, z modro in rde£o barvo?
Slika 4: Mozaik.
2
16. Na koliko na£inov lahko pobarvamo ploskve kocke z modro, rde£o in zeleno barvo, £e je ena ploskev ºe pobarvana s £rno barvo?
17. Na koliko neekvivalentnih na£inov lahko s tremi barvami pobarvamo vozli²£a grafa K5\ {e}? Pri tem sta barvanji ekvivalentni, £e lahko iz prvega pridemo v drugo z avtomorzmom grafa.
3
