UNIVERZA V LJUBLJANI
FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Finančna matematika – 1. stopnja
Eva Babnik
Optimizacija portfeljev za vrednostne papirje s težkimi repi
Delo diplomskega seminarja
Mentorica: izr. prof. dr. Damjana Kokol Bukovšek
Ljubljana, 2021
Kazalo
1. Uvod 5
1.1. Težkorepe porazdelitve 5
1.2. Primeri težkorepih porazdelitev 6
1.3. Empirični dokazi 7
2. Teorija ekstremnih vrednosti in statistike ekstremov 8
2.1. Teorija ekstremnih vrednosti 8
2.2. Cenilke za indeks repa 11
2.3. Tvegana vrednost 12
3. Optimizacija portfeljev za vrednostne papirje s težkimi repi 13
3.1. Izgube vrednostnih papirjev in portfelja 13
3.2. Markowitzev model optimizacije portfelja 14
3.3. Optimizacija portfelja z indeksom ekstremnih tveganj 15 4. Primerjava Markowitzeve metode, enako uteženega portfelja in pristopa
z indeksom ekstremnih tveganj 20
4.1. Podatki 20
4.2. Cenilke in algoritmi 21
4.3. Primerjane lastnosti dobljenih portfeljev 22
4.4. Izračuni 23
5. Zaključek 26
Slovar strokovnih izrazov 28
Literatura 28
Optimizacija portfeljev za vrednostne papirje s težkimi repi Povzetek
Precej časa so znanstveniki domnevali, da so donosi vrednostnih papirjev poraz- deljeni normalno, zaradi česar veliko modelov za optimizacijo portfelja temelji na normalni porazdelitvi. Eden najbolj popularnih je Markowitzev model optimiza- cije portfelja. Leta, ki so sledila po finančni krizi leta 2008, so pokazala, da sta tehnični napredek finančnih trgov in njihova globalizacija prinesla tudi nekaj novih izzivov oziroma vprašanj. Eden od teh je potreba po strategijah diverzifikacije, ki upoštevajo velike izgube in naraščajočo odvisnost od donosov sredstev v kriznih ob- dobjih. To je tudi povečalo pomen ne-Gaussovih modelov in odvisnosti od repa pri optimizaciji portfelja.
Zaradi empiričnih dokazov, ki temeljijo na različnih podatkih, je med strokovnjaki danes splošno sprejeto, da vrednosti finančnih instrumentov nakazujejo na težko- repo porazdelitev. Cilj tega dela diplomskega seminarja je tako opisati optimizacijo portfeljev, katerih vrednosti so slučajne spremenljivke s težkimi repi. Podrobneje bom opisala klasičen Markowitzev model, enako utežen portfelj in pristop z inde- ksom ekstremnih tveganj. Zadnja metoda izvira iz teorije ekstremnih vrednosti in je še posebej močna v primeru težkih repov, za katere je ta metoda tudi zasno- vana. Zmanjšuje verjetnost velikih izgub in zato lahko pripomore k boljši vrednosti portfelja tudi v času visokega tveganja na trgih.
Na koncu bom raziskala kakšen potencial imajo opisane optimizacijske metode v praksi, pri čemer bo primerjava temeljila na testiranju za nazaj, kjer bom za podatke vzela dnevne cene delnic, ki sestavljajo indeks EURO STOXX 50 v obdobju od leta 2001 do leta 2011.
Portfolio optimization for heavy-tailed assets Abstract
It has been assumed for quite some time that assets returns are normally distri- buted, making many portfolio optimization models based on normal distributions.
One of the most popular is Markowitz’s portfolio optimization model. The years following the 2008 financial crisis have shown that the technical progress of financial markets and their globalization have also brought up some new challenges as well as some issues. One of these is the need for a diversification strategy that takes into account large losses and the growing dependence of returns on assets in cri- sis periods. This also increased the importance of non-Gaussian models and tail dependence in portfolio optimization.
Due to empirical evidence based on various data, it has been generally accepted today by the experts that the values of financial assets indicate a heavy-tailed distri- bution. The aim of this diploma thesis is to describe the optimization of portfolios, whose values are random variables with heavy tails. I will present in more detail the classic Markowitz model, the equally weighted portfolio and the optimization stra- tegy based on the extreme risk index. The last method comes from extreme value theory and is especially strong in the case of heavy tails, for which this method is designed. It reduces the likelihood of large losses and can therefore contribute to improved portfolio values, even in times of high market risk.
Finally, I will explore the potential of described optimization methods in practice with the comparison based on backtesting, where I will take the daily share prices of the components of the EURO STOXX 50 index for the period 2001-2011.
Math. Subj. Class. (2010): 60G70, 62G32, 91B30, 91G10
Ključne besede: indeks ekstremnih tveganj, Markowitzev model, optimizacija por- tfelja, repno tveganje, teorija ekstremnih vrednosti, testiranje za nazaj, težkorepe porazdelitve
Keywords: extreme risk index, Markowitz model, portfolio optimization, tail risk, extreme value theory, backtesting, heavy-tailed distributions
4
1. Uvod
Markowitzev model optimizacije portfelja je še zmeraj popularen in temelji na normalni porazdelitvi, saj so raziskovalci precej časa domnevali, da so vrednosti finančnih instrumentov porazdeljene normalno. Zaradi empiričnih dokazov, ki te- meljijo na različnih podatkih, je med strokovnjaki danes splošno sprejeto, da vre- dnosti finančnih sredstev nakazujejo na težkorepo porazdelitev. To velja predvsem za podatke na področju operativnega tveganja, zavarovalniškega tveganja, deviznih tečajev in cen delnic. V nekaterih primerih empirični podatki celo nakazujejo, da imajo izgube finančnih instrumentov neomejeno matematično upanje.
1.1. Težkorepe porazdelitve. Težkorepe porazdelitve so verjetnostne porazdeli- tve, ki imajo težje repe kot eksponentna porazdelitev, kar pomeni, da gostota po- razdelitve s težkim repom konvergira proti 0 počasneje kot gostota eksponentne porazdelitve. V mnogih aplikacijah je zanimiv desni rep porazdelitve, a ima poraz- delitev lahko tudi težek levi rep ali pa sta težka oba repa.
Težek rep pomeni večjo verjetnost, da slučajna spremenljivka zavzame zelo velike vrednosti. Pri težkorepih porazdelitvah preučujemo sisteme, na katere zelo vplivajo velike vrednosti, ki sistem občasno šokirajo. To je v nasprotju s številnimi modeli, katerih vedenja v veliki meri določa učinek povprečja. Pri analizi s težkimi repi običajno asimptotično vedenje opisnih statistik določajo velike vrednosti, ki po na- vadi izkrivljajo vzorčne statistike. Povprečje vzorca je namreč lahko zelo zavajajoče, varianca vzorca pa zelo velika. Centralni limitni izrek za težkorepe porazdelitve ne drži več, prav tako nekateri momenti ne obstajajo, zato imajo pri modeliranju težkih repov pomembno vlogo vrstilne statistike [14]. Naslednji dve definiciji sta povzeti iz [5].
Definicija 1.1. Porazdelitvena funkcijaF slučajne spremenljivke X ima težek (de- sni) rep, če za njeno momentno rodovno funkcijo MX(t)velja
(1) MX(t) = E(etX) =
∫
R
etXdF(x) =∞za∀t >0.
Definicija 1.2. Porazdelitvena funkcija F slučajne spremenljivke X je lahkorepa, če za njeno momentno rodovno funkcijo MX(t) velja
(2) MX(t) =E(etX) =
∫
R
etXdF(x)<∞za nekt >0.
Za vsako lahkorepo porazdelitev F na pozitivni realni osi R+ = [0,∞) so vsi momenti končni, torej velja
(3)
∫ ∞
0
xkdF(x)<∞za∀k >0.
V primerjavi z lahkorepo porazdelitvijo, pri težkorepi porazdelitvi vsi momenti niso končni. Končne momente od neskončnih ločuje indeks repa α, kar pomeni, da za slučajni vektor X veljaE(Xβ)<∞ zaβ < α inE(Xβ) =∞ zaβ > α.
Pomemben razred težkorepih porazdelitev je razred porazdelitev z regularno va- riacijo [11].
Definicija 1.3. Za nenegativno slučajno spremenljivko X je značilna regularna va- riacija z repnim indeksom α∈[0,∞), če je izpolnjen naslednji pogoj:
(4) ∀x >0 : P(X > tx)
P(X > t) →x−α, t→ ∞.
V nadaljevanju bomo za regularno variacijo slučajne spremenljivke X uporabljali zapis X ∈ RV−α. Pojem regularne variacije za slučajne spremenljivke in ustreznih verjetnostnih porazdelitev je tesno povezan z regularno variacijo funkcij.
Definicija 1.4. Funkcija f, definirana na okolici okoli točke ∞, f : (c,∞) → R, c ∈ R, je regularno variabilna (v ∞), če obstaja taka funkcija g : (0,∞) → R, da velja
(5) ∀x >0 lim
t→∞
f(tx)
f(t) =g(x).
Za preživetveno funkcijof slučajne spremenljivke z regularno variacijo, je funkcija g v zgornji enačbi potenčna funkcija
(6) g(x) =xβ, β ∈R,
kjer je −β indeks regularne variacije. V posebnem primeru, ko je β = 0, funkcijo f imenujemo počasi se spreminjajoča funkcija (angl. slowly varying function). Vsaka merljiva regularno variabilna funkcija je oblike
(7) f(t) =l(t)·tβ,
kjer je l počasi se spreminjajoča funkcija.
1.2. Primeri težkorepih porazdelitev. V tem razdelku, ki je povzet po knjigi [5], bomo našteli nekaj primerov težkorepih porazdelitev.
• Paretova porazdelitev na R+. Njena preživetvena funkcija je oblike
(8) F¯(x) =
(xm x
)α
,
za vsak x ∈ [xm,∞) in 1 sicer. Določata jo dva parametra, parameter velikosti xm > 0 in oblike α > 0. Momenti reda β < α so končni, medtem ko momenti reda β ≥α ne obstajajo.
• Burrova porazdelitev naR+. Njena preživetvena funkcija F¯ je oblike
(9) F¯(x) = (1 +xc)−k
za x ≥ 0 in 1 sicer. Določata jo dva parametra, c > 0 in k > 0. Momenti reda β < αc so končni, medtem ko momenti reda β≥αc ne obstajajo.
• Cauchyjeva porazdelitev na Rs funkcijo gostote
(10) f(x) = 1
πxm(1 + (xx−x0
m )2)
s parametroma lokacije x0 ∈R in velikostixm >0. Vsi momenti redaβ <1 so končni, medtem ko so momenti reda β ≥1neskončni.
• Log-normalna porazdelitev naR+ s funkcijo gostote
(11) f(x) = 1
xσ√
2πe−(ln2σx−µ)22
za x > 0 in 0 sicer. Določata jo parametra µ ∈ R in σ > 0. Vsi momenti log-normalne porazdelitve so končni.
• Weibullova porazdelitev naR+ s preživetveno funkcijo
(12) F¯(x) =e−(x/xm)k
zax ≥0in 1 sicer. Določata jo parametra oblike k > 0in velikosti xm >0.
Weibullova porazdelitev je težkorepa samo zak <1. Za primer, ko jek = 1, je porazdelitev eksponentna. Vsi momenti Weibullove porazdelitve so končni.
6
• Studentova t porazdelitev na Rs funkcijo gostote
(13) f(x) = Γ(ν+12 )
√νπΓ(ν2) (
1 + t2 ν
)−ν+12 ,
kjer je ν > 0 število prostorskih stopenj in Γ funkcija gama. Za β < ν so momenti končni, za β≥ν pa neskončni.
1.3. Empirični dokazi. Kot že omenjeno, klasična portfeljska teorija temelji na predpostavki, da so donosi vrednostnih papirjev porazdeljeni normalno. S pomočjo zgodovinskih podatkov o cenah oziroma donosih različnih finančnih instrumentov, hipotezo o normalni porazdelitvi zlahka ovržemo. Iz empiričnih dokazov lahko torej sklepamo, da imajo donosi vrednostnih papirjev porazdelitve s težjimi repi, kot jih ima normalna porazdelitev, kar ponazarjata tudi sliki 1 in 2, ki sem ju dobila iz podatkov za logaritemske donose delniškega indeksa EURO STOXX 50. QQ grafa (angl. quantile-quantile plot) prikazujeta kvantile logaritemskih dnevnih donosov indeksa EURO STOXX 50 v primerjavi s kvantili normalne in Studentove-t(3) po- razdelitve. Normalna porazdelitev je lahkorepa, medtem ko je t(3) porazdelitev težkorepa. Na območju, kjer teoretična porazdelitev dobro opiše empirično, je QQ graf linearen. Slika 1 tako jasno prikazuje, da se normalna porazdelitev slabo prilega podatkom o donosih indeksa EURO STOXX 50, medtem ko težkorepatporazdelitev podatkom o donosih bolje ustreza.
Slika 1. QQ graf za logaritemske donose EURO STOXX 50 v obdo- bju od 2001 do 2007 v primerjavi z normalno in t(3) porazdelitvijo.
Na težkorepe porazdelitve finančnih instrumentov nakazuje tudi tabela 1, kjer so prikazane nekatere empirične statistike za indeks EURO STOXX 50, indeks NA- SDAQ, indeks S&P 500, menjalni tečaj EUR/USD in menjalni tečaj USD/YEN.
Pomembnejša statistika, ki nakazuje na težkorepo lastnost, je koeficient splošče- nosti (angl. kurtosis):
K(X) = E((X−E(X))4 (V arX)2 −3.
Koeficient sploščenosti normalne porazdelitve ima vrednost 0, za težkorepe poraz- delitve pa je njegova vrednost pozitivna in se z vse težjimi repi povečuje. Iz tabele lahko razberemo, da imajo vsi preučevani finančni instrumenti težji rep kot nor- malna porazdelitev, pri čemer je najtežji rep značilen za indeks NADSAQ (nad 13),
Slika 2. Empirična funkcija gostote verjetnosti za logaritemske do- nose indeksa EURO STOXX 50 v obdobju od 2007 do 2016 v primer- javi z gostoto normalne porazdelitve.
Finančni
instrument Obdobje µ σ Koeficient
asimetrije
Koeficient sploščenosti EURO STOXX 50 07/2007 - 07/2016 −0,009 0,701 −0,042 4,68
NADSAQ 07/2013 - 07/2021 0,071 1,23 −0,933 13,5 S&P 500 07/1990 - 07/2000 0,055 0,935 −0,344 5,19 EUR/USD 07/2001 - 07/2011 0,061 0,267 −0,064 0,903 USD/YEN 07/1990 - 07/2015 0,010 0,718 0,396 4,80
Tabela 1. Empirične statistike za dnevne donose (v %) nekaterih finančnih instrumentov: indeks EURO STOXX 50, indeks NASDAQ, indeks S&P 500, menjalni tečaj EUR/USD in menjalni tečaj USD/YEN.
sledijo mu indeks S&P 500, menjalni tečaj USD/YEN in indeks EURO STOXX 50, medtem ko je menjalni tečaj EUR/USD po vrednosti koeficienta sploščenosti najbolj podoben normalni porazdelitvi.
2. Teorija ekstremnih vrednosti in statistike ekstremov
2.1. Teorija ekstremnih vrednosti. Kot že ime pove, se teorija ekstremnih vre- dnosti osredotoča na ekstremne in redke dogodke, najdene v repih verjetnostnih porazdelitev. Poznamo dva načina za modeliranje ekstremov: modeliranje maksi- muma slučajnih spremenljivk in modeliranje obnašanja ekstremnih vrednosti nad visokim pragom.
Najprej si poglejmo Fisher-Tippetov izrek, ki je eden temeljnih izrekov teorije ekstremnih vrednosti in je analogen centralnemu limitnemu izreku za ekstremne vrednosti. Medtem ko se za vsoto neodvisnih enako porazdeljenih slučajnih spre- menljivk uporablja centralni limitni izrek, se za maksimum neodvisnih enako poraz- deljenih slučajnih spremenljivk uporablja Fisher-Tippetov izrek. Razdelek je povzet po [1, 7, 10].
8
Izrek 2.1 (Fisher-Tippettov izrek). Naj bo X1, ..., Xn zaporedje neodvisnih enako porazdeljenih slučajnih spremenljivk s porazdelitveno funkcijo F in naj obstajata zaporedji an >0 in bn ∈R, da velja
(14) lim
n→∞P
(max{X1, ..., Xn} −bn
an ≤x
)
=G(x) ali ekvivalentno
(15) lim
n→∞Fn(anx+bn) =G(x).
Potem ima G eno izmed naslednjih porazdelitvenih funkcij ekstremnih vrednosti:
(16) F rechetova: Φα(x) = {
0 : x≤0
e−x−α : x >0 (α >0),
(17) obrnjena W eibullova: Ψα(x) = {
1 : x≥0
e−(−x)α : x <0 (α >0), (18) Gumbelova: Λα(x) = e−e−x, x∈R.
Dokaz Fisher-Tippettovega izreka najdemo v [10]. Gostote porazdelitev ekstre- mnih vrednosti so prikazane na slikah 3, 4 in 5.
Frechetovo, Weibullovo in Gumbelovo porazdelitev lahko predstavimo z eno samo porazdelitveno funkcijo:
(19) Hξ(x) =
{
e−(1+ξx)−1/ξ : ξ 6= 0 e−e−x : ξ= 0,
za vse vrednosti x, za katere je 1 +ξx > 0. Standardne porazdelitve ekstremnih vrednostiΨα,ΦαinΛαdobimo tako, da po vrsti vzamemoξ=α−1 >0,ξ =−α−1 <
0 inξ = 0.
Opomba 2.2. Porazdelitve ekstremnih vrednostiΦα,Ψα inΛα so med seboj pove- zane. Naslednje zveze so za X >0ekvivalentne:
P(X ≤x) = Φα(x), P(− 1
X ≤x) = Ψα(x), P(lnXα ≤x) = Λ(x).
(20)
V praksi je modeliranje maksimumov zamudno, če so na voljo tudi ostali podatki o ekstremnih vrednostih. Učinkovitejši pristop je modeliranje obnašanja ekstremnih vrednosti nad visokim pragom. Ta metoda se imenuje metoda vrhov nad mejo (angl.
peaks over threshold) in se osredotoča na dogodke, večje od neke meje, kar lahko opišemo s funkcijo presežka.
Definicija 2.3 (Funkcija presežka). Naj bo X slučajna spremenljivka s porazdeli- tveno funkcijo F in desnim krajiščem xF = sup{x ∈ R|F(x) < 1} ≤ ∞. Za fiksen u < xF definiramo funkcijo presežka slučajne spremenljivke X nad mejou kot (21) Fu(x) =P(X−u≤x|X > u) = F(x+u)−F(u)
1−F(u) , 0≤x < xF −u.
Slika 3. Gostota Frechetove porazdelitve.
Slika 4. Gostota obrnjene Weibullove porazdelitve.
Slika 5. Gostota Gumbelove porazdelitve.
Definicija 2.4 (Posplošena Paretova porazdelitev). Porazdelitvena funkcija posplo- šene Paretove porazdelitve je definirana kot
(22) Hξ,β(x) =
{
1−(1 + ξxβ )−1ξ : ξ 6= 0, 1−e−xβ : ξ = 0,
10
za x≥0, če je ξ≥0 in za 0≤x≤ −βξ, če je ξ <0.
Opomba 2.5. Zaξ >0je zgornja porazdelitev Paretova, torej težkorepa, z repnim indeksom α = 1/ξ, za ξ = 0 je porazdelitev eksponentna, za ξ < 0 pa imamo porazdelitev na omejenem intervalu [0,−β/ξ], ki ji pravimo Paretova porazdelitev tipa II.
Naslednji izrek poveže funkcijo presežka Fu s posplošeno Paretovo porazdelitvijo in predstavlja drugi temeljni izrek teorije ekstremnih vrednosti.
Izrek 2.6 (Pickands–Balkema–De Haanov izrek). Naj bodo X1, ..., Xn neodvisne enako porazdeljene slučajne spremenljivke s porazdelitveno funkcijo F in Fu njihova funkcija presežka. Potem lahko za velik razred porazdelitvenih funkcij F funkcijo presežka aproksimiramo z posplošeno Paretovo porazdelitvijo Hξ,β:
(23) Fu(x)≈Hξ,β(x), u→ ∞. Dokaz izreka bralec najde v [4].
2.2. Cenilke za indeks repa. Indeks repa α opisuje kako težek rep ima porazde- litev in karakterizira obstoj momentov.
Ocenjevanjeαje zaradi pomanjkanja opazovanih ekstremnih dogodkov v splošnem težek problem. V literaturi lahko zaznamo mnogo cenilk za indeks repa, dve izmed njih bom predstavila v nadaljevanju. Razdelek je povzet po [14].
Definicija 2.7 (Pickandova cenilka za indeks repa). Naj XN,1 ≤ XN,2 ≤ ... ≤ XN,N označuje vrstilne statistike nabora slučajnih spremenljivkX1, ..., XN in naj bo k(N)∈ {1, . . . , N}. Potem je Pickandova cenilka za indeks repaξ = 1/α definirana kot
(24) ξˆN,k= 1
ln 2lnXN,N−(k/4)−XN,N−(k/2) XN,N−(k/2)−XN,N−k .
Trditev 2.8. Pickandova cenilka je dosledna cenilka za ξ ∈ R, če velja k(n) → ∞ in k(n)/n→0, ko gren → ∞.
Dokaz trditve bralec najde v [14].
Hillova cenilka je izpeljana s pomočjo metode največjega verjetja iz Paretove po- razdelitve. Pri tem upoštevamo dejstvo, da lahko porazdelitveno funkcijo F(x) aproksimiramo s Paretovo porazdelitveno funkcijo, ko x preseže prag u.
Spomnimo se zapisa porazdelitvene funkcije za Paretovo porazdelitev za x > xm F(x) = 1−(xm
x )α
in funkcije gostote verjetnosti
f(x) = αxαm xα+1.
Pogojna gostota verjetnosti pri pogoju, da x presega dovolj visoko vrednost s, se izraža kot
f(x|x > s) = f(x) F(x > s). Nadaljnje dobimo
f(x|x > s) = f(x)
1−F(s) =α (x
s )−α
x−1.
Cenilko največjega verjetja za α dobimo z logaritmiranjem in odvajanjem funkcije pogojne gostote f(x|x > s):
∂lnf(x|x > s)
∂α = ∂
∂α (
lnα−αlnx
s −lnx )
= 1
α −lnx
s = 0⇒ 1 ˆ
α = lnx−lns.
Da dobimo bolj robustno oceno, x nadomestimo s povprečjem vseh izgub, ki prese- gajo mejo s.
Definicija 2.9 (Hillova cenilka). Naj XN,1 ≤XN,2 ≤ ... ≤XN,N označuje vrstilne statistike nabora slučajnih spremenljivk X1, ..., XN in naj bo k(N) ∈ {1, . . . , N}. Potem Hillovo cenilko za indeks repa α definiramo kot
(25) αˆN,k = k
∑k−1
i=0 log XXN,N−i
N,N−k
.
Trditev 2.10. Hillova cenilka je dosledna cenilka za α >0, če velja k(n) → ∞ in k(n)/n→0, ko gre n→ ∞.
Dokaz trditve bralec najde v [14].
V zgornjih zapisih za cenilki za indeks repa k predstavlja število vrstilnih stati- stik, ki presegajo mejo s, torej predstavlja opazovanja, ki naj bi opisovala vedenje repa porazdelitve. Izbira optimalnega k ni enostavna, saj bo z majhnim k varianca relativno velika, obratno se bo z večjim k povečevala pristranskost, kar prikazuje tudi Hillov graf na sliki 6. Opazimo lahko, kako močno na oceno zaαvpliva različna izbira k.
Slika 6. Hillov graf prikazuje oceno za α pri različnih vrednostih k za vzorec Studentove t(4) porazdelitve velikostin = 10,000.
2.3. Tvegana vrednost. Razdelek je povzet po [1].
Tvegana vrednost (angl. Value-at-Risk) je eden glavnih indikatorjev tveganja v portfelju. Opredeljena je kot največja izguba portfelja, ki se v izbranem časovnem obdobju pojavi z največ določeno stopnjo zaupanja. Z drugimi besedami, za dano
12
stopnjo zaupanja λ, VaR predstavlja izgubo tržne vrednosti, ki je presežena z ver- jetnostjo 1−λ,
P(Izguba > V aR)≤1−λ.
Stopnja zaupanja λ je tipično število 0,95 ali 0,99. S statističnega vidika V aR predstavlja oceno λ-kvantila porazdelitve donosov, kar pomeni, da x ustreza dani vrednosti za 0< λ=FX(x)<1.
Definicija 2.11. Naj bo X slučajna spremenljivka, katere kumulativna porazdeli- tvena funkcija FX opisuje porazdelitev izgub tveganega finančnega instrumenta v določenem časovnem obdobju. Potem je tvegana vrednost λ-kvantil porazdelitvene funkcije FX:
(26) VaRλ(X) := inf{x∈R:P(X ≤x)≥λ}=FX−1(λ), kjer FX−1 pomeni inverzno funkcijo od FX.
Zaradi preprostosti je VaR danes standardna mera tveganja, ki jo uporabljajo po vsem svetu. VaR pogosto uporabljajo regulatorji za določanje zahtev glede mini- malne kapitalske ustreznosti.
3. Optimizacija portfeljev za vrednostne papirje s težkimi repi 3.1. Izgube vrednostnih papirjev in portfelja. Razdelek je povzet po [13, 14].
Naj Si(t) označuje ceno vrednostnega papirja Si, i = 1,2, ..., N v času t = 0,1, ..., T. Če se osredotočimo na negativno tveganje, naj Xi(t) označuje logari- temsko izgubo vrednostnega papirja Si:
(27) Xi(t) := −log Si(t)
Si(t−1) = logSi(t−1)−logSi(t), in naj X˜i(t)označuje ustrezno relativno izgubo:
(28) X˜i(t) := Si(t−1)−Si(t)
Si(t) = Si(t−1) Si(t) −1.
Če so dnevne izgube majhne, sta Xi(t)in X˜i(t)skoraj identična:
(29) Xi(t) = logSi(t−1) Si(t) = log
( 1 +
(Si(t−1) Si(t) −1
))
∼ Si(t−1)
Si(t) −1 = ˜Xi(t), saj za majhne |x| velja
log(1 +x)∼x, x→0.
Naprej si poglejmo naložbeno strategijo (statično ali enoobdobno), ki diverzificira eno enoto kapitala med vrednostnimi papirji S1, ..., SN. Lahko jo predstavimo z vektorjem w, ki predstavlja uteži portfelja,
(30) w∈H1 :={w∈RN :
∑N
i=1
wi = 1}.
Če ne dovolimo kratke prodaje, lahko nabor portfeljev omejimo na
(31) ∆N :={w∈[0,1]N :
∑N
i=1
wi = 1}.
Ta omejitev nam pove, da so investirana sredstva100 %razporejena, zaradi izključi- tve kratke prodaje pa mora vsak vrednostni papir, vključen v portfelj, imeti vrednost
deleža v portfelju med 0 in 1. Vsaka komponenta wi ≥ 0 ustreza deležu celotnega kapitala, vloženega vSi, relativna izguba portfelja pa je enaka skalarnemu produktu wTX(t) :=˜ ∑N
i=1wiX˜i(t), kjer je w portfeljski vektor in X(t) = ( ˜˜ X1(t), ...,X˜N(t)) vektor dnevnih izgub vrednostnih papirjev:
(32) Xp(t) :=
∑N
i=1
wi
Si(t−1)(Si(t−1)−Si(t)) = wTX(t).˜
Skalarni produkt wTX(t) za logaritemski vektor izgube X(t) := (X1(t), ..., XN(t)) je tako Taylorjev približek prvega reda za wTX(t).˜
3.2. Markowitzev model optimizacije portfelja. Razdelek je povzet po [1].
Markowitzev model optimizacije portfelja je bil prvi model, ki je opisal, kako naj vlagatelji oblikujejo portfelj, da bodo ob upoštevanju tveganja maksimizirali dobi- ček. Predstavil ga je Harry Markowitz leta 1952 ter z njim postavil temelje moderne teorije upravljanja portfelja, za kar je prejel tudi Nobelovo nagrado. Tveganje port- felja je opredelil kot njegovo varianco oziroma standardni odklon, dobiček portfelja pa kot njegov pričakovani donos. Ker je matematično upanje linearni operator, dobimo portfeljski pričakovani donos kot uteženo vsoto pričakovanih donosov posa- meznih vrednostnih papirjev. V nasprotju z upanjem, varianca ni linearni operator, kar pomeni, da tveganje portfelja, merjenega z varianco, ni enako uteženi vsoti tve- ganj posameznih vrednostnih papirjev. To omogoča način za kvantificiranje koristi diverzifikacije.
Pomembna predpostavka klasičnega Markowitzevega modela je, da so donosi vrednostnih papirjev porazdeljeni multivariatno normalno. Recimo, da imamo N tveganih vrednostnih papirjev, katerih donosi so komponente slučajnega vektorja Y = (Y1, . . . , YN)z upanjemµ= (µ1, . . . , µN)in kovariančno matrikoΣ, uteži port- felja pa so predstavljene z vektorjemw= (w1, . . . , wN). Če je vektorY multivariatno normalno porazdeljen Y ∼ N(µ,Σ), potem je tudi donos portfelja Yp =wTY nor- malno porazdeljen, Yp ∼ N(µp, σ2p), kjer je µp = wTµ in σ2p = wTΣw. Cilj je najti portfelj z minimalno varianco, ki doseže vsaj minimalni pričakovan donos a:
(33)
minw wTσw, p. p.wTµ≥a, eTw= 1,
kjer je e = (1, . . . ,1) vektor samih enic. S spreminjanjem minimalnega nivoja pri- čakovanega donosa, je izbran nabor portfeljev Yp, od katerih je vsak optimalen v smislu, da investitor ne more doseči večjega pričakovanega donosa kot µp =E(Yp), ne da bi ob tem povečal tveganjeσp. Nabor optimalnih portfeljev ustreza konveksni krivulji (σp, E(Yp)), ki se imenuje meja učinkovitosti (angl. efficient frointer). Vsak racionalen investitor, ki se bo odločal na podlagi upanja in variance porazdelitve do- nosov portfelja, bo izbral portfelje na meji učinkovitosti. Konkreten portfelj, ki ga investitor izbere, je odvisen od njegove stopnje nenaklonjenosti tveganju. V primeru, ko so na voljo samo tvegani vrednostni papirji R, meja predstavlja konveksno kri- vuljo. Vključitev netveganega vrednostnega papirja r bo na množico učinkovitosti močno vplivala, saj bodo v tem primeru vsi učinkoviti portfelji linearna kombinacija netveganega vrednostnega papirja r in tveganega portfelja YR. Na sliki 7 je ta line- arna kombinacija tangenta na konveksno mejo učinkovitosti za tvegane vrednostne
14
papirje v točki (σR, E(YR)). Tvegan portfelj tako maksimizira naklon te linearne kombinacije,
(34) max
w
E(YR)−r σR .
Slika 7. Meja učinkovitosti (σp, E(Yp).
3.3. Optimizacija portfelja z indeksom ekstremnih tveganj. V nasprotju z Markowitzevo optimizacijo, se ta pristop ne opira na obstoj drugih momentov pri porazdelitvi donosov vrednostnih papirjev. Z vse težjimi repi lahko cenilke za vari- anco in kovarianco postanejo nezanesljive ali pa te sploh ne obstajajo. Markowitzev pristop se tako sooča z omejitvami, zlasti v kriznih obdobjih, ko se finančni do- nosi obnašajo v najbolj ekstremni smeri. Izgube vrednostnih papirjev se tako kot pri Markowitzevem pristopu modelirajo s slučajnim vektorjem X, za katerega je značilna regularna multivariatna variacija. Občutljivost na ekstremne dogodke in verjetnostno porazdelitev skrajne portfeljske izgube lahko karakteriziramo z enim številom, ki ga zato imenujemo indeks ekstremnih tveganj portfelja.
3.3.1. Regularna multivariatna variacija. Da bi definirali regularno multivariatno variacijo in posledično indeks ekstremnega tveganja slučajnega vektorjaX, je najprej potrebno navesti nekaj definicij, ki so povzete iz [6, 8].
Definicija 3.1. Naj bo µverjetnostna mera na (R,B(R)). Realnemu številu a∈R pravimo točka zveznosti mere µ, če veljaµ({a}) = 0.
Definicija 3.2. Naj bodo Fn in F kumulativne porazdelitvene funkcije. Fn šibko (angl. weakly) konvergira kF, če velja
Fn(x)→F(x) za vsako točko x, kjer je F zvezna.
Trditev 3.3. Naj bodo Fn in F kumulativne porazdelitvene funkcije in naj bodo µn in µ ustrezne verjetnostne mere na (R,B(R)). Potem Fn šibko konvergira k F, če velja
(35) µn((a, b]) =Fn(b)−Fn(a)→F(b)−F(a) =µ((a, b]) za vsaki točki a < b, kjer je F zvezna.
Definicija 3.4. Naj bodo µn(n ≥ 1) in µ končne mere na R. Pravimo, da µn nerazločno (angl. vaguely) konvergira k µ (ko gre n → ∞), če velja µn((a, b]) → µ((a, b]) za vsaki dve točki zveznosti a < b mere µ. Če poleg tega velja še µn(R)→ µ(R), potem pravimo, da µn šibko konvergira kµ.
Če sta µn in µ verjetnosti meri, sta šibka in nerazločna konvergenca enaki, saj v tem primeru velja µn(R) = 1→1 =µ(R).
Definicija 3.5. Meraµ naRn je regularna Borelova, če velja:
(1) Vsaka Borelova množica jeµ-merljiva.
(2) Za vsako merljivo množico A ⊂ Rn obstaja Borelova množica B ⊇ A, da veljaµ(B) =µ(A).
Definicija 3.6. Radonova mera je Borelova regularna mera, za katero velja, da ima vsaka kompaktna množica končno mero.
Opomba 3.7. Če je µ Borelova regularna mera na Rn, A merljiva množica in µ(A)<∞, potem je µ|A Radonova mera.
Sedaj definirajmo pojem regularna multivariatna variacija. Nadaljevanje razdelka je povzeto po [12, 13].
Definicija 3.8 (Klasična definicija). Slučajni vektor X z vrednostmi v RN ima re- gularno multivariatno variacijo z repnim indeksom α∈(0,∞), če obstaja zaporedje an → ∞ in neničelna Radonova mera ν na Borelovi σ-algebri B([−∞,∞]N \ {0}), da velja ν([−∞,∞]N \RN) = 0 in ko gre n→ ∞ velja
(36) nPa−1n X −→v ν naB([−∞,∞]N \ {0}),
kjer −→v označuje nerazločno konvergenco k Radonovi meriν, Pa−1n X pa je verjetno- stna porazdelitev slučajnega vektorja a−n1X.
Regularno multivariatno variacijo lahko definiramo tudi s pomočjo polarnih ko- ordinat.
Definicija 3.9 (Zapis definicije s polarnimi koordinatami). Slučajni vektor X ima regularno multivariatno variacijo, če skupna porazdelitev njegovih polarnih koordi- nat R :=||X||1 :=∑N
i=1|Xi| inZ :=||X||−11X ustreza
(37) L((r−1R, Z)|R > r)−→w ρα⊗Ψ, r→ ∞,
kjer je Ψ verjetnostna mera na enotski sferi S1N, ki jo definiramo kot S1N :={s∈RN :||s||= 1}
in ρα Paretova porazdelitev s parametroma velikosti xm = 1 in oblike α, ki ima preživetveno funkcijo
F¯ =s−α, s≥1.
16
R predstavlja radialno komponento, Z pa kotno komponento slučajnega vektorja X. Simbol −→w v zgornji enačbi predstavlja šibko konvergenco verjetnostne mere, simbol ⊗ pa se nanaša na produkt verjetnostnih mer. Meraν se tu izraža kot (38) ντ :=ν◦τ−1 =c·ρα⊗Ψ,
kjer c > 0predstavlja neko konstanto, τ pa je definiran kot τ(x) := (||x||1,||x||−11x).
Dokaz zveze medν in produktom verjetnostnih merραinΨ(38) bralec najde v [14].
Intuitivni pomen enačbe (37) je, da ima pri R > r za dovolj velik r, slučajna spremenljivka r−1R približno Paretovo porazdelitev s parametrom α > 0, ki mu pravimo indeks repa, in je neodvisna od Z, ki je približno Ψ-porazdeljena. Mera Ψ v zgornji enačbi se imenuje spektralna mera. V nadaljevanju bomo za slučajni vektor X z regularno multivariatno variacijo z repnim indeksom α in s spektralno mero Ψ uporabljali oznako X ∈ MRV−α,Ψ.
Če velja X ∈ MRV−α,Ψ, to med drugim pomeni, da ima slučajna spremenljivka
||X|| regularno variacijo z enakim indeksom repa α. Z drugimi besedami, porazde- litvena funkcija F||X|| slučajne spremenljivke||X|| ustreza
(39) ∀r >0 lim
t→∞
1−F||X||(tr)
1−F||X||(t) =r−α.
Iz X ∈ MRV−α,Ψ sledi |Xi| ∈ RV−α za vsak i, če za vsaki∈ {1, . . . , N} velja (40) Ψ({x∈SN1 :Xi = 0})<1.
Ta pogoj neizrojenosti mere Ψ zagotavlja, da so vse komponente Xi relevantne za ekstreme portfeljskih izgub wTX. Potrebno je tudi omeniti, da iz X ∈ MRV−α,Ψ
sledi tudi wTX ∈ RV−α za vsakw pod primernimi pogoji neizrojenosti.
IntuitivnoX ∈ MRV−α,Ψ pomeni, da ima radijR težek rep in je asimptotsko (tj.
za velike R) neodvisen od kotnega dela Z. Velja pa tudi, da če je merljiva množica A ⊂ RN dovolj daleč stran od izhodišča, torej, če je ||X|| ≥t za vse x ∈ A za nek velik t, potem velja:
(41) P(X ∈sA) =s−αP(X ∈A)zas ≥1, kjer je
sA:={sx:x∈A}.
Tovrstni približki so ključna ideja teorije ekstremnih vrednosti. Veliko popularnih modelov ima regularno multivariatno variacijo. To velja zlasti za eliptične, mul- tivariatne Studentove-t in α-stabilne porazdelitve. V slednjem primeru je indeks stabilnosti α tudi indeks repa, spektralna mera, ki karakterizira multivariatno sta- bilnost, pa je konstantni večkratnik mere Ψ v enačbi (37). V teh modelih so kom- ponente repno ekvivalentne, v smislu, da PP(X(Xi>r)
j>r) → ci,j > 0, ko gre r → ∞ za vse i, j ∈ {1,2, ..., N}. To je tudi ekvivalentno pogoju neizrojenosti spektralne mere Ψ (40).
3.3.2. Asimptotske portfeljske izgube. Ekstremne izgube portfelja w, torej dogodke, da wTX preseže neko visoko mejo t > 0, lahko zapišemo kot {X ∈ Aw,t}, kjer so množice Aw,t definirane kot
Aw,t:={x∈RN :wTx > t}.
Tako analiza ekstremnih portfeljskih izgub vključuje asimptotske verjetnosti P(X ∈ Aw,t)za w∈∆N int→ ∞. Da bi bile te verjetnosti primerljive, jih normaliziramo z verjetnostjo P(X ∈At), kjer je množica At definirana kot
(42) At ={x∈RN :||x||1 > t}.
MnožiciAw,tinAtlahko interpretiramo kot različni vrsti ekstremnih dogodkov; Aw,t predstavlja visoke izgube portfeljaw, medtem ko jeAtgenerični ekstremni dogodek, ki nakazuje na to, da le nekatere komponente vektorja X povzročajo velike izgube ali dobičke.
Množici At in Aw,t lahko dobimo iz množic A1 inAw,1: (43) At=t·A1, Aw,t =t·Aw,1.
Opazimo tudi, da je Evklidska razdalja medAw,1 in izhodiščem odvisna od portfelj- skega vektorja w:
(44) inf
x∈Aw,1
||x||2 =||w||−21 ≥ ||w||−11. Posebej je za w∈∆N ta razdalja navzdol omejena z 1.
Mero ν normaliziramo tako, da velja
(45) ν({x∈RN :||x||1 >1}) = 1,
kar lahko zapišemo tudi kot ν(A1) = 1.Posledično iz regularne multivariatne varia- cije slučajnega vektorja X sledi naslednja zveza:
(46) lim
t→∞
P(X ∈Aw,t)
P(X ∈At) = lim
t→∞
P(t−1X ∈Aw,1)
P(t−1X ∈A1) = ν(Aw,1)
ν(A1) =ν(Aw,1).
Zgornja enačba naprej nakazuje, da za vsaka dva portfeljska vektorja v, w ∈∆N velja
(47) lim
t→∞
P(vTX > t)
P(wTX > t) = ν(Av,1) ν(Aw,1).
To pomeni, da lahko za vektorje izgub X ∈ MRV primerjamo asimptotske verje- tnosti ekstremnih portfeljskih izgub s pomočjo funkcionala
γw :=ν(Aw,1).
Ker za w∈∆N veljaAw,1 ⊂A1, enačbo (46) lahko interpretiramo kot konvergenco pogojne verjetnosti P(wTX > t|||X||1 > t), tj. verjetnosti, da portfelj w prinaša visoke izgube, če vemo, da nekateri vrednostni papirji Xi generirajo ekstremne iz- gube. Funkcional γw tako karakterizira tudi relativno občutljivost portfelja w na ekstremne dogodke.
Definicija 3.10. Naj boX ∈ MRV−α,Ψinνeksponentna mera normalizirana tako, da velja ν(A1) = 1. Potem za vsak portfeljski vektor w∈∆N funkcional
γw :=ν(Aw,1) imenujemo indeks ekstremnih tveganj vektorja w.
Indeks ekstremnega tveganja kvanitificira vpliv asimptotske odvisnosti na ekstre- mne portfeljske izgube v okviru regularne multivariatne variacije.
Naslednja lema prikazuje povezanost indeksa ekstremnih tveganj γw s spektralno mero Ψ in repnim indeksomα.
18
Lema 3.11. Naj boX ∈ MRV−α,ΨinΨspektralna mera vektorjaX. Potem indeks ekstremnih tveganj γw za portfelj w lahko zapišemo kot
(48) γw =
∫
SN1
fw,α(s)dΨ(s), kjer je
fw,α(s) := (wTs)α+ = (max{0, wTs})α.
Dokaz. Spomnimo se produktne reprezentacije (38) in normalizacije ν(A1) = 1, ki nakazuje na ντ =ρα⊗Ψ, kjer jeτ(x) := (||x||1,||x||−11x):
γw =ν(Aw,1) =
=
∫
RN1(x∈Aw,1)dν(x) =
=
∫
SN1
∫
R+
1(r·wTs >1)dρα(r)dΨ(s) =
=
∫
SN1
∫
R+
1(wTs >0)·1(r > 1
wTs)dρα(r)dΨ(s) =
=
∫
SN1
∫
r> 1
wT s
1(wTs >0)· α
rα+1dr dΨ(s) =
=
∫
SN1
(wTs)α+dΨ(s).
□ Portfelj z najnižjo občutljivostjo na ekstremne dogodke dobimo s pomočjo γw, ki meri tovrstno tveganost. Optimalni portfelj torej dobimo z minimiziranjem funkcije w7→γw. Nastali problem optimizacije je analiziran v naslednji lemi.
Lema 3.12. Za α >1 je preslikava w 7→γw konveksna. Konveksnost je stroga, če celotna masa Ψ ni skoncentrirana na linearnem podprostoru sfereS1N.
Dokaz. Konveksnost preslikave w 7→ γw sledi iz konveksnosti funkcije t 7→ tα+ za t >0 inα ≥1. Za poljuben λ∈(0,1)in portfelja v, w ∈∆N dobimo
λγv + (1−λ)γw =
∫
SN1
(λ(vTs)α++ (1−λ)(wTs)α+)Ψ(ds)≤
≤
∫
S1N
(λvTs+ (1−λ)wTs)α+Ψ(ds) =
=γλv+(1−λ)w.
Stroga konveksnost velja, če je zgornja neenakost stroga:
∫
SN1
(λ(vTs)α++ (1−λ)(wTs)α+)Ψ(ds)<
∫
SN1
(λvTs+ (1−λ)wTs)α+Ψ(ds) za vsaka dvav, w ∈∆N, pri čemerv 6=w. Ker je preslikavat7→tαstrogo konveksna za α > 1, enakost drži, samo če velja vTs = wTs skoraj povsod glede na mero Ψ.
To lahko zapišemo tudi kot
Ψ(s∈S1N : (v−w)Ts = 0) = 1,
kar pomeni, da je celotna verjetnostna masa Ψskoncentrirana na S1N ∩(v−w)⊥.
□
Posledično se za α >1optimalni portfelj
(49) w∗ := min
w∈∆N
γw
običajno nahaja v notranjosti ∆N. Optimalni portfelj je enoličen, če masa Ψ ni skoncentrirana na linearnem podprostoru sfere S1N.
Spektralno mero Ψocenimo z diskretno spektralno mero Ψ, ki je skoncentriranaˆ v točkah s(1), s(2), ..., s(k)∈S1N:
(50) Ψ =ˆ 1
k
∑k
i=1
δs(i).
Vektorje s(1), s(2), ..., s(k) dobimo iz vzorca logaritemskih izgubX(1), X(2), ..., X(T)tako, da vzamemo kotne dele tistih izgub, ki imajo največje radialne dele. Za število k vzamemo isto vrednost, kot jo uporabimo za oceno α s Hillovo cenilko.
Integral po spektralni meri ∫
f(s)Ψ(ds) potem ocenimo z integralom po diskretni spektralni meri
(51)
∫
f(s) ˆΨ(ds) = 1 k
∑k
i=1
f(s(i)).
Natančnejšo razlago bralec najde v [12].
3.3.3. Ocena indeksa ekstremnih tveganj in optimalnega portfelja. Naj bo X ∈ MRV−α,Ψ slučajna spremenljivka in naj bodoX1, X2, . . . , XN neodvisne enako po- razdeljene slučajne spremenljivke, ki predstavljajo vzorec za X. Indeks ekstremnih tveganj γw in optimalni portfelj w∗ lahko ocenimo z naslednjim pristopom:
(1) S cenilko αˆ ocenimo indeks repa α.
(2) S cenilko Ψˆ ocenimo spektralno meroΨ.
(3) γw ocenimo s cenilko ˆ γw :=
∫
(wTs)αˆΨ(ds).ˆ (4) Optimalni portfelj ocenimo z minimiziranjem ˆγw:
w∗ := min
w∈∆Nγˆw.
Z minimiziranjem funkcije w 7→ γw tako dobimo portfelj, ki zmanjša izgubo pri velikih ||X||1, to je v primeru kriznih dogodkov.
4. Primerjava Markowitzeve metode, enako uteženega portfelja in pristopa z indeksom ekstremnih tveganj
4.1. Podatki. Markowitzevo metodo, enako utežen portfelj in algoritem z indeksom ekstremnih tveganj sem uporabila na podatkih o dnevnih cenah delnic podjetij, ki sestavljajo delniški indeks EURO STOXX 50. Pri primerjavi različnih optimizacij- skih pristopov sem naredila podobno analizo kot je narejena v članku [13] za dnevne donose delnic, ki sestavljajo delniški indeks S&P 500. Na podlagi podatkov o cenah delnic v obdobju od 22. 10. 2001 do 18. 10. 2007 sem za vsak dan v obdobju od 19.
10. 2007 do 18. 10. 2011 izračunala optimalni portfelj, kar pomeni, da so moji po- datki zajemali 1485 dni opazovanj in 1018 dni v obdobju povratnega testiranja. Ker se je sestava indeksa EURO STOXX 50 s časom spreminjala, sem v svojih izračunih uporabila le podatke o cenah delnic tistih podjetij, ki so se v indeksu obdržala skozi
20
celotno obdobje opazovanja. Imena podjetij, uporabljenih v izračunih, so prikazana v tabeli 2.
Izračuni temeljijo na logaritemskih izgubah Xi(t), definiranih v enačbi (27). In- deks delnic i se giblje med 1 in N = 35, indeks t pa zavzema vrednosti med 1 in T = 2502 (1484 dnevnih donosov za 1485 dni opazovanj + 1018 dni v obdobju povratnega testiranja).
Za obdelavo podatkov sem uporabljala program R, za optimizacijske algoritme pa program Matlab.
Air Liquide Alcatel - Lucent Allianz Assicurazioni Generali Axa Basf
Bayer BBVA BNP Paribas Carrefour Daimler AG Deutsche Bank
Deutsche Telekom E.ON Enel Eni France Telekom Iberdrola
ING Group Intesa Sanpaolo L’oreal LVMH Nokia Phillips
Renault Repsol YPF RWE SAP AG Siemens Vivendi
Telecom Italia Telefonica Total S. A. Unicredit Unilever
Tabela 2. Delnice indeksa EURO STOXX 50, ki so se v indeksu obdržale skozi celotno obdobje testiranja modelov.
4.2. Cenilke in algoritmi. Cenilke in algoritmi v razdelku so povzeti po [13].
4.2.1. Pristop z indeksom ekstremnih tveganj. Za oceno α in Ψ najprej pretvorimo vektor logaritemskih izgub X v polarne koordinate:
(R(t), Z(t)) = (kX(t)k1,kX(t)k−11X(t)), t= 1, . . . , T.
Repni indeks α ocenimo s pomočjo Hillove cenilke za radialne dele R(t):
ˆ
α= k
∑k
j=1log(R(j),t/R(k+1),t),
kjer je t > 1484 in so R(1),t ≥ · · · ≥ R(1484),t vrstilne statistike radialnih delov R(t −1484), . . . , R(t −1) in k = 223. To pomeni, da izmed 1484 podatkovnih točk izberemo 15% tistih podatkovnih točk z največjimi radialnimi deli. Izbira k določa, katera opazovanja naj bi opisovala vedenje repa. Kot že omenjeno, je izbira optimalnega k zahtevna in bi bila lahko predmet nadaljnjih raziskav.
MeroΨ ocenimo z empirično mero kotnih delov iz opazovanj z največjimi radial- nimi deli; uporabimo torej enakih 15% podatkovnih točk, kot smo jih uporabili pri oceni za α. Dobljeni cenilki za Ψ inγw sta
(52) Ψ =ˆ 1
k
∑k
j=1
δZ(ij,t) in
(53) ˆγw(t) = 1
k
∑k
j=1
max{0, wTZ(ij,t)}αˆ,
kjer je ij,t indeks vrstilne statistike R(j),t v celotnem naboru podatkov:
R(j),t =R(ij,t), j = 1, ...,1484, t= 1485, ..., T.
Optimalni portfelj w∗(t) na trgovalni dantje portfeljski vektor w∈∆N, ki minimi- zira γˆw(t):
ˆ
γw∗(t)= min
w∈∆Nγˆw(t).
Opisani algoritem ponovimo za vse trgovalne dni t > 1484. Na primer, optimalni portfelj za 19. 10. 2007 dobimo na podlagi podatkov o dnevnih donosih delnic v obdobju od 22. 10. 2001 do 18. 10. 2007.
4.2.2. Markowitzev algoritem. Analogno kot pri algoritmu z indeksom ekstremnih tveganj, Markowitzev portfelj izračunamo iz logaritemskih donosov delnic, pri čemer upoštevamo enako opazovalno okno iz 1484 točk. Optimalni portfelj za trgovalni dan t z minimalno varianco wM V dobimo z minimiziranjem funkcije
w(t)7→w(t)TCw(t)ˆ
za w∈∆N. Dodatne linearne omejitve wTµˆ =R∗ pri izračunih ne upoštevamo, saj tudi pri pristopu z indeksom ekstremnih tveganj minimiziramo zgolj čisto tveganje, pri čemer ne upoštevamo nobenih zahtev za pričakovane donose. V nasprotnem primeru primerjava teh dveh pristopov ne bi bila pravična. Seveda bi lahko priča- kovane donose upoštevali tudi pri pristopu z indeksom ekstremnih tveganj tako, da bi optimizacijskemu problemu dodali omenjeno linearno omejitev.
Elemente variančno-kovariančne matrike C ocenimo s cenilko ˆ
c(i,j),t =
∑t−1
k=(t−1484)(Ri(k)− ∑t−1l=t−14841484Ri(l))(Rj(k)− ∑t−1l=t−14841484Rj(l)))
1484 .
4.3. Primerjane lastnosti dobljenih portfeljev. Poleg letnega in kumulativ- nega donosa sem pri dobljenih portfeljih opazovala tudi nekatere druge lastnosti, ki jih bom navedla v nadaljevanju.
Sharpovo razmerje [15] opiše koliko preseženega donosa prinese dodatna volatil- nost, ki se pojavi zaradi držanja bolj tveganega vrednostnega papirja. Sharpovo razmerje je definirano kot
(54) Sharpovo razmerje= E(Y)−r
σY ,
kjer jeE(Y) pričakovani donos portelja,r netvegana stopnja donosa inσY standar- dni odklon portfeljskih preseženih donosov, pri čemer za netvegano stopnjo donosa običajno vzamemo najmanj trajajočo državno zakladno menico. Sharpovo razmerje je zelo popularen kazalec, a njegovo pomanjkljivost predstavlja predpostavka, da so donosi vrednostnih papirjev porazdeljeni normalno.
Razširitev Sharpovega razmerja je STARR razmerje [13], ki za koherentno mero tveganja, namesto standardnega odklona, uporablja pričakovani primanjkljaj (anlg.
Expected Shortfall) in je zato bolj primerno za merjenje donosnosti portfeljev s težkimi repi. STARR razmerje je definirano kot
(55) STARRλ(Y) = E(Y −r)
ESλ(Y −r), kjer je pričakovani primanjkljaj definiran kot:
(56) ESλ(Y) := E(Y|Y >VaRλ).
Število λ v zgornjem zapisu pomeni stopnjo zaupanja blizu 1. Pričakovanemu pri- manjkljaju pravimo tudi pogojna tvegana vrednost (angl. Conditional Value-at- Risk).
22
