UNIVERZA V LJUBLJANI FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Matematika  1. stopnja Andraº Maier Pra²tevilski izrek Delo diplomskega seminarja Mentorica: prof. dr. Barbara Drinovec Drnov²ek Ljubljana, 2021

UNIVERZA V LJUBLJANI

FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Matematika 1. stopnja

Andraº Maier Pra²tevilski izrek Delo diplomskega seminarja

Mentorica: prof. dr. Barbara Drinovec Drnov²ek

Ljubljana, 2021

Kazalo

1. Uvod 4

2. Riemannova funkcija zeta 5

2.1. Neskon£ni produkt in zaporedja holomorfnih funkcij 6

2.2. Eulerjev produkt Riemannove funkcije zeta 11

2.3. Meromorfna raz²iritev Riemannove funkcije zeta 13

2.4. Obravnava ni£el Riemannove funkcije zeta 16

2.5. Logaritmi£ni odvod Riemannove funkcije zeta 18

3. Dokaz pra²tevilskega izreka 21

3.1. Ekvivalentna oblika pra²tevilskega izreka 21

3.2. Pristop s kompleksno analizo 23

Slovar strokovnih izrazov 33

Literatura 33

Pra²tevilski izrek Povzetek

V delu z analiti£nimi metodami dokaºemo pra²tevilski izrek. V ta namen predsta- vimo osnovno teorijo neskon£nih produktov in vpeljemo Riemannovo funkcijo zeta.

Izpeljemo Eulerjevo produktno formulo, poi²£emo meromorfno raz²iritev funkcije zeta na desno polovico kompleksne ravnine in predpis za njen logaritmi£ni odvod.

Deniramo Mangoldtovo funkcijo in funkcijo psi ter z njuno pomo£jo poi²£emo ek- vivalentno obliko pra²tevilskega izreka, ki ga nazadnje dokaºemo z metodami kom- pleksne analize.

Prime number theorem Abstract

In this work, prime number theorem is proven using analytic methods. For this purpose elementary theory of innite products is introduced and the Riemann zeta function is used. We derive the Euler product formula and nd a meromorphic extension of the zeta function to the right half of the complex plane and the expre- ssion for its logarithmic derivative. We also dene the Mangoldt and psi function and use them to nd an equivalent formulation of the prime number theorem. Finally, the prime number theorem is proved using complex analytic methods.

Math. Subj. Class. (2020): 11M06

Klju£ne besede: pra²tevilski izrek, Riemannova funkcija zeta Keywords: prime number theorem, Riemann zeta function

1. Uvod

Pra²tevila so v matematiki osnovni gradniki ²tevil in £eprav so sama po sebi eno- stavna, njihovo raziskovanje hitro postane zelo zahtevno. Veliko odprtih problemov v teoriji ²tevil se nana²a na pra²tevila. Omenimo samo znani problem pra²tevilskih dvoj£kov, ki pravi, da obstaja neskon£no mnogo parov pra²tevil, ki se razlikujejo za dva. Tudi nas bo zanimala domneva, ki je skoraj 100 let ostala nedokazana. še Evklid je v svojih Elementih pokazal, da je pra²tevil neskon£no mnogo, mi pa bomo

²li ²e korak dlje. Zanimalo nas bo, kako hitro ²tevilo pra²tevil nara²£a. O tem govori pra²tevilski izrek, ki ga najprej formalno zapi²imo.

Denicija 1.1. ’tevilo pra²tevilπ(x) :R⁺→Nje funkcija, ki pozitivnemu realnemu

²tevilu x priredi ²tevilo vseh pra²tevil, manj²ih ali enakih x. Izrek 1.2 (Pra²tevilski izrek). Velja

x→∞lim

π(x)

x/ln(x) = 1.

Izrek nam pove, da se funkcijaπ asimptotsko pribliºuje funkciji x↦→x/ln(x). To je razvidno iz slike 1, kjer sta v istem koordinatnem sistemu narisana grafa obeh funkcij.

Slika 1. Grafa funkcij π in x↦→x/ln(x).

Domnevo sta prva postavila Gauss in Legendre konec osemnajstega stoletja. Pro- blem so re²evali mnogi znani matematiki. Omenimo samo Riemanna, ki je med prvimi uporabljal metode kompleksne analize za re²evanje problemov teorije ²tevil.

Med poskusi dokazovanja domneve je deniral Riemannovo funkcijo zeta in postavil Riemannovo hipotezo, ki govori o legi ni£el te funkcije. Riemannova hipoteza je

²e danes eden najslavnej²ih nere²enih problemov v matematiki. Pra²tevilski izrek sta prva dokazala Hadamard in de la Vallée Poussin leta 1896, neodvisno drug od drugega. Tudi onadva sta, tako kot Riemann, za to uporabljala metode kompleksne analize. ’ele leta 1949 sta matematika Erd®s in Selberg na²la dokaz, ki uporablja samo elementarne metode. V delu bomo predstavili dokaz, ki ga je leta 1980 obja- vil Newman in kasneje modiciral Korevaar [2, poglavje 7]. Ta je enostavnej²i od prej²nih dokazov, a se vseeno posluºuje kompleksne analize.

Dokaza se bomo lotili v dveh delih, ki ustrezata drugemu in tretjemu poglavju. V drugem bomo spoznali vso potrebno teorijo, ki jo bomo v tretjem uporabili za dokaz

izreka. Spoznali bomo Riemannovo funkcijo zeta, ki bo nekak²na vez med pra²te- vili in analizo. Izpeljali bomo Eulerjevo produktno formulo, funkcijo zeta raz²irili na desno polravnino kompleksne ravnine, obravnavali bomo njene ni£le in vse to uporabili pri izpeljavi logaritmi£nega odvoda Riemannove funkcije zeta. Za obrav- navo vseh teh lastnosti bomo najprej denirali neskon£ne produkte in si pogledali nekaj njihovih lastnosti. V tretjem poglavju bomo poiskali ekvivalentno obliko pra-

²tevilskega izreka in dokazali zahteven izrek kompleksne analize. Na koncu bomo vse skupaj sestavili v celoto in dokazali pra²tevilski izrek. Za razumevanje dela je potrebno predznanje kompleksne in realne analize, pridobljeno na dodiplomskem

²tudiju matematike na slovenskih fakultetah.

2. Riemannova funkcija zeta

V tem poglavju bomo spoznali Riemannovo funkcijo zeta in dokazali njene glavne lastnosti. Funkcijo, ki je sicer denirana kot ²tevilska vrsta, bomo zapisali v obliki neskon£nega produkta in posplo²enega integrala kompleksnih funkcij. S pomo£jo teh izraºav bomo obravnavali ni£le te funkcije in jo meromorfno raz²irili na desno polrav- nino kompleksnih ²tevil. S pomo£jo raz²iritve bomo izpeljali ena£bo za logaritmi£ni odvod Riemannove funkcije zeta, ki bo imel klju£no vlogo v dokazu pra²tevilskega izreka. Za£nimo z denicijo.

Denicija 2.1. Funkcija ζ :{z ∈C|Re(z)>1} →C, podana s predpisom ζ(z) =

∞

∑︂

n=1

1 n^z, se imenuje Riemannova funkcija zeta.

Ker denicija vsebuje neskon£no funkcijsko vrsto, moramo preveriti, £e je funkcija zeta sploh dobro denirana. To bomo storili z naslednjo trditvijo.

Trditev 2.2. Vrsta, ki denira Riemanovo funkcijo zeta, konvergira absolutno na odprti mnoºici {z ∈ C | Re(z) > 1} in za vsak δ > 0 enakomerno na mnoºici {z ∈C|Re(z)>1 +δ}.

Dokaz. Najprej dokaºimo absolutno konvergenco na mnoºici {z ∈ C | Re(z) >1}. Velja

∞

∑︂

n=1

⃓

⃓

⃓

⃓ 1 n^z

⃓

⃓

⃓

⃓

=

∞

∑︂

n=1

⃓

⃓

⃓

⃓ 1 e^zlnn

⃓

⃓

⃓

⃓

=

∞

∑︂

n=1

1

eln(n) Re(z) =

∞

∑︂

n=1

1 n^Re(z).

Ta vrsta konvergira natanko tedaj, ko je Re(z) > 1. Dokaºimo ²e enakomerno konvergenco. Naj bo δ > 0. Po Weistrassovem M-testu vemo, da funkcijska vrsta

∑︁∞

n=1f_n(z)enakomerno konvergira na mnoºici kompleksnih ²tevilΩ, £e obstaja tako realno zaporedje {c_n}n∈N, da velja

cn ≥sup

z∈Ω

|fn(z)|

in vrsta ∑︁∞

n=1c_n konvergira. Ozna£imo z Ω = {z ∈C|Re(z)>1 +δ} in deni- rajmo zaporedje {c_n}_n∈N s predpisom c_n =n^−(1+δ). Dobimo

sup

z∈Ω

⃓

⃓

⃓

⃓ 1 n^z

⃓

⃓

⃓

⃓

= sup

z∈Ω

1

n^Re(z) = 1

n^1+δ =c_n.

Ker vrsta∑︁∞

n=1c_n=∑︁∞

n=11/n^1+δkonvergira, je po Weistrassovem M-testu funkcija zeta enakomerno konvergentna na mnoºici {z ∈C|Re(z)>1 +δ}. □ Za nadaljnjo obravnavo Riemannove funkcije moramo najprej spoznati nekaj do- datnih pojmov in rezultatov.

2.1. Neskon£ni produkt in zaporedja holomorfnih funkcij. V tem podpo- glavju bomo denirali neskon£ne produkte kompleksnih ²tevil in kompleksnih funk- cij ter razvili teorijo za obravnavo njihove konvergence. S tem orodjem bomo dobili teoreti£no podlago za nadaljnjo obravnavo Riemannove funkcije zeta. Glavni cilji so dokazati formulo za odvod neskon£nega produkta holomorfnih funkcij, ki ga bomo potrebovali pri izpeljavi formule za logaritmi£ni odvod funkcije zeta, ter poiskati pogoj, pri katerem je limita zaporedja holomorfnih funkcij tudi sama holomorfna funkcija. Slednje bomo potrebovali ve£krat, saj bomo imeli opravka z neskon£ni vsotami, produkti in izlimitiranimi integrali holomorfnih funkcij. Izpeljali bomo tudi trditev, ki obravnava ni£le nekaterih neskon£nih produktov funkcij. Ker bomo dokazali samo trditve, ki jih bomo kasneje potrebovali, bomo neskon£e produkte obdelali zelo povr²no. Bralec si lahko ve£ o njih prebere v [4, poglavje 8]. Poglejmo si najprej, kako deniramo neskon£ne produkte kompleksnih ²tevil.

Denicija 2.3. Naj bo {z_n}n∈N zaporedje kompleksnih ²tevil. Neskon£ni formalni produkt ozna£imo z ∏︁∞

n=1(1 +z_n) in imenujemo neskon£ni produkt. Pravimo, da

∏︁∞

n=1(1 +z_n) konvergira h kompleksnemu ²tevilu p, £e zaporedje delnih produktov p_n =∏︁n

k=1(1 +z_k)konvergira k ²tevilu p. Neskon£ni produkt ∏︁∞

n=1(1 +z_n)konver- gira absolutno, £e konvergira produkt ∏︁∞

n=1(1 +|z_n|).

Konvergentne neskon£ne produkte lahko razdelimo v tri razrede. V prvem so pro- dukti, ki konvergirajo k neni£elnemu kompleksnemu ²tevilu, v drugem so produkti, ki konvergirajo k 0 in obstaja takn ∈N, da je1 +z_n= 0, v tretjem pa so produkti, ki konvergirajo k 0 in za vsak n ∈ N velja 1 +z_n ̸= 0. Primer takega produkta je neskon£en produkt s faktorji 1 +z_n = 1/2. Preden dokaºemo, da za neskon£ne produkte, ki konvergirajo absolutno, tretji razred ne obstaja, si poglejmo dve lemi in ponovimo dejstva o logaritmu v kompleksni ravnini.

Lema 2.4. Neskon£ni produkt∏︁∞

n=1(1+|zn|)konvergira natanko tedaj, ko konvergira neskon£na ²tevilska vrsta ∑︁∞

n=1|zn|. Dokaz. Denimo, da vrsta ∑︁∞

n=1|zn|konvergira. Ker je

k

∏︂

n=1

(1 +|z_n|)≤

k+1

∏︂

n=1

(1 +|z_n|),

je zaporedje delnih produktov nara²£ajo£e. Treba je pokazati, da je navzgor ome- jeno. Ker je naravni logaritem nara²£ajo£a funkcija, iz znane neenakosti1+|a| ≤e^|a|

sledi neenakost ln(1 +|a|)≤ |a| in zato ln

(︄ _k

∏︂

n=1

(1 +|z_n|) )︄

=

k

∑︂

n=1

ln(1 +|z_n|)≤

k

∑︂

n=1

|z_n| ≤

∞

∑︂

n=1

|z_n|.

Torej je zaporedje delnih produktov omejeno in posledi£no konvergentno. Za dokaz druge implikacije predpostavimo, da zaporedje delnih produktov konvergira. Za vse, razen kon£no mnogon ∈N, velja|z_n|<1, saj bi se sicer produkt podvojil neskon£no mnogokrat in bi zato divergiral. Denimo torej, da za vsak n≥N velja|zn|<1.

Dokaºimo, da zat∈[0,1)velja neenakostt≤2 ln(1 +t). V ta namen denirajmo funkciji f1, f2 : [0,1) → R s predpisom f1(t) = e^t/2 in f2(t) = 1 +t. Ker je f₁(0) =f₂(0) in ker na denicijskem obmo£ju funkcij velja neenakost

f₁^′(t) = 1

2e^t/2 <1 = f₂^′(t),

je f1(t)≤f2(t), oziroma e^t/2 ≤1 +t. ƒe to neenakost na intervalu [0,1) logaritmi- ramo, dobimo t ≤2 ln(1 +t), kar smo ºeleli pokazati.

Za n≥N torej velja ocena |z_n| ≤2 ln(1 +|z_n|)in posledi£no tudi neenakost

m

∑︂

n=N

|zn| ≤

m

∑︂

n=N

2 ln(1 +|zn|)≤2 ln (︄ _m

∏︂

n=N

(1 +|zn|) )︄

.

Ker je, ko gremproti neskon£no, desna stran neena£be omejena, je zaporedje delnih vsot ∑︁m

n=1|z_n| navzgor omejeno. Ker je ob tem tudi nara²£ajo£e, je konvergentno.

□ Na tem mestu bomo ponovili denicijo funkcije logaritem, denirane v komple- ksni ravnini, in pojasnili oznake, ki jih bomo uporabljali. Kompleksni logaritem je deniran kot inverz kompleksne eksponentne funkcije na prerezani ravnini, to je ravnina brez enega poltraka z za£etkom v koordinatnem izhodi²£u. Zanj velja zveza

log_C(z) = ln|z|+iarg(z),

kjer je funkcijaarg(z)argument kompleksnega ²tevilazin leºi na ustreznem odprtem intervalu dolºine 2π. ƒe ga deniramo na standardni prerezani ravnini C\(−∞,0], spremenimo oznake, in sicer log_C(z) zamenjamo z Log_C(z), arg(z) pa z Arg(z). V tem primeru je Arg(z) ∈ (−π, π). Ker je kompleksni logaritem na standardni prerezani ravnini holomorfna funkcija in se na pozitivnih realnih ²tevilih ujema z obi£ajnim logaritmom ln, po principu identi£nosti, ki ga bralec lahko ponovi v [4, izrek 2.4.7], za ²tevila |z|<1velja formula

(1) Log_C(1−z) =−

∞

∑︂

n=1

zⁿ n .

Naslednja lema bo razkrila povezavo med neskon£nimi produkti in neskon£nimi vsotami kompleksnih ²tevil. Z njeno pomo£jo bomo v naslednji trditvi obravnavali ni£le absolutno konvergentnih produktov.

Lema 2.5. ƒe neskon£ni produkt ∏︁∞

n=1(1 +z_n) konvergira absolutno, potem kon- vergira. Velja ²e ve£, £e je pri tem Re(z_n)>−1 za vsak n∈N, potem je

∞

∏︂

n=1

(1 +z_n) = exp (︄ _∞

∑︂

n=1

Log_C(1 +z_n) )︄

in neskon£na vrsta na desni konvergira absolutno.

Dokaz. Ker neskon£ni produkt∏︁∞

n=1(1+z_n)konvergira absolutno, po lemi 2.4 vemo, da ²tevilska vrsta∑︁∞

n=1|z_n|konvergira. ƒleni|z_n|gredo zato proti 0, ko gre n proti neskon£no. Brez ²kode za splo²nost lahko torej predpostavimo, da je Re(z_n) >−1 za vsakn∈N. Funkcija arg(1 +z_n)zato zavzame vrednosti z intervala(−π/2, π/2), od koder sledi, da je logaritem Log_C(1 +zn) dobro deniran. Dokazali bomo, da je

zaporedje ∑︁k

n=1|Log_C(1 +z_n)|Cauchyjevo in zato konvergentno. Naj bo N ∈Nin naj bosta m, k > N taka, da je m > k. Izra£unamo

⃓

⃓

⃓

⃓

⃓

m

∑︂

n=1

|Log_C(1 +z_n)| −

k

∑︂

n=1

|Log_C(1 +z_n)|

⃓

⃓

⃓

⃓

⃓

=

m

∑︂

n=k+1

|Log_C(1 +z_n)|.

Ker £leni zaporedja {|z_n|}n∈N konvergirajo proti 0, lahko predpostavimo, da je N tako velik, da je |z_n|<1/2 za vsakn > N. Upo²tevajo£ poten£no vrsto za komple- ksni logaritem, ki smo jo izpeljali v ena£bi (1), na mnoºici {z ∈C| |z|<1/2}velja ocena

|Log_C(1 +z)|=

⃓

⃓

⃓

⃓

⃓

−

∞

∑︂

n=1

(−z)ⁿ n

⃓

⃓

⃓

⃓

⃓

≤ |z|

(︃

1 + |z|

2 +|z|²

3 +|z|³ 4 +· · ·

)︃

≤ |z|

(︃

1 + 1

2·2+ 1

3·4 + 1

4·8 +· · · )︃

<|z|

(︃

1 + 1 2+ 1

4+ 1 8+· · ·

)︃

= 2|z|.

Torej je vsota ∑︁m

n=k+1|Log_C(1 +z_n)| < 2∑︁m

n=k+1|z_n|. Ker je zaporedje ∑︁k n=1|z_n| Cauchyjevo, je Cauchyjevo tudi zaporedje ∑︁k

n=1|Log_C(1 +z_n)| in posledi£no ²te- vilska vrsta ∑︁∞

n=1Log_C(1 +z_n) konvergira absolutno. Izra£unajmo eksponent delne vsote te vrste

(2) exp (︄ _k

∑︂

n=1

Log_C(1 +z_n) )︄

= exp (︄

log_C (︄ _k

∏︂

n=1

(1 +z_n) )︄)︄

=

k

∏︂

n=1

(1 +z_n).

Ker je kompleksna eksponentna funkcija zvezna, neskon£ni produkt konvergira in velja

∞

∏︂

n=1

(1 +z_n) = exp (︄ _∞

∑︂

n=1

Log_C(1 +z_n) )︄

. □

Opomba 2.6. V dokazu prej²nje leme smo v enakosti (2) funkcijo Log_C zamenjali z logaritmom log_C, deniranem na neki drugi prerezani ravnini. V splo²nem ne drºi enakost ∑︁k

n=1Log_C(z_n) = Log_C(∏︁k

n=1z_n), saj se lahko argumenti se²tejejo v nekaj, kar ni na intervalu (−π, π). Zaradi lastnosti funkcije log_C, pa vemo, da enakost ∑︁k

n=1Log_C(zn) = log_C(∏︁k

n=1zn) velja za logaritem, deniran na neki drugi prerezani ravnini. Ponazorimo razmislek na konkretnem primeru. ’teviloLog_C(i)je dobro denirano, saj je i∈C\(−∞,0]. Ker je zmnoºek i·i=−1 element intervala (−∞,0], njegov logaritem na standardni prerezani ravnini ni deniran. Torej ne velja formulaLog_C(i) + Log_C(i) = Log_C(i·i). Velja pa Log_C(i) + Log_C(i) = log_C(i·i) za logaritem, deniran na neki drugi prerezani ravnini.

Naslednja trditev bo klju£na za kasnej²o obravnavo ni£el Riemannove funkcije zeta.

Trditev 2.7. Denimo, da neskon£ni produkt ∏︁∞

n=1(1 +z_n) konvergira k ²tevilu 0 in da konvergira absolutno. Potem obstaja tak n ∈N, da je 1 +zn= 0.

Dokaz. Podobno kot v dokazu prej²nje leme sklepamo, da ker neskon£ni produkt konvergira absolutno, po lemi 2.4 konvergira ²tevilska vrsta∑︁∞

n=1|z_n|in gredo torej

£leni |z_n| proti 0, ko gre n proti neskon£no. Posledi£no obstaja N ∈ N, da za vsak n ≥N velja Re(z_n)>−1. Po lemi 2.5 velja

∞

∏︂

n=N

(1 +zn) = exp (︄ _∞

∑︂

n=N

Log_C(1 +zn) )︄

̸= 0,

saj eksponentna funkcija nima ni£el na kompleksni ravnini. Torej je produkt prvih N − 1 faktorjev enak ∏︁N−1

n=1(1 +z_n) = 0, kar pomeni, da obstaja n < N, da je

z_n =−1. □

Eden od ekvivalentnih zapisov funkcije zeta je v obliki neskon£nega produkta holomorfnih funkcij. To je razlog, da ºelimo denirati tudi konvergenco neskon£nega produkta funkcij. Kot pri neskon£nih vsotah tudi pri produktih poznamo ve£ vrst konvergenc, navedimo njihove denicije.

Denicija 2.8. Naj bo{f_n}_n∈Nzaporedje funkcij, deniranih na odprti podmnoºici Ω ⊆ C. Pravimo, da produkt ∏︁∞

n=1f_n konvergira po to£kah k funkciji F, £e zapo- redje delnih produktov F_n = ∏︁n

k=1f_k konvergira po to£kah k funkciji F. Produkt

∏︁∞

n=1f_n konvergira enakomerno po kompaktnih podmnoºicah mnoºice Ω k funkciji F, £e zaporedjeF_n=∏︁n

k=1f_k konvergira enakomerno po kompaktnih podmnoºicah mnoºice Ωk funkciji F.

Pri dokazovanju pra²tevilskega izreka se bomo neprestano ukvarjali z neskon£nimi vrstami, neskon£nimi produkti in izlimitiranimi integrali. Denicije za konvergenco teh objektov poznamo, pogosto pa nas bo zanimala tudi holomorfnost. To bomo preverjali z naslednjo trditvijo, ki jo bralec lahko v splo²nej²i obliki najde v [4, izrek 3.4.5].

Trditev 2.9. Naj zaporedje holomorfnih funkcij {f_n}n∈N, deniranih na odprti mno- ºiciΩ⊆C, konvergira enakomerno po kompaktih k limitni funkciji F. Potem je tudi funkcijaF holomorfna na mnoºiciΩ. Velja ²e ve£, tudi funkcijsko zaporedje{f_n^′}n∈N

konvergira enakomerno po kompaktih k limitni funkciji F^′.

Dokaz. Dokaz holomorfnosti funkcije F sloni na Morerovem izreku [4, izrek 3.3.5], ki pravi: ƒe za zvezno funkcijo f na odprti mnoºici Ω⊆C za vsak zaprt trikotnik T ⊂ Ω velja ∫︁

∂T f(z)dz = 0, potem je f na mnoºici Ω holomorfna. Ker funkcije f_n konvergirajo k limitni funkciji F enakomerno po kompaktih in so zvezne, je zvezna tudi F. Naj bo T ⊂ Ω zaprt trikotnik in naj bo ϵ > 0. Za vsak n ∈ N po Cauchyjevem izreku velja ∫︁

∂Tf_n(z)dz = 0. Ker je ∂T kompaktna mnoºica, funkcijsko zaporedje {f_n}_n∈N na ∂T konvergira enakomerno k limitni funkciji F. Z l(∂T) ozna£imo dolºino roba trikotnika T. Za vsak dovolj velik n velja

⃓

⃓

⃓

⃓

∫︂

∂T

F(z)dz

⃓

⃓

⃓

⃓

=

⃓

⃓

⃓

⃓

∫︂

∂T

(F(z)−fn(z))dz

⃓

⃓

⃓

⃓

≤l(∂T) max

z∈∂T|F(z)−fn(z)|< ϵ.

Ker je ϵ > 0 poljuben, je integral ∫︁

∂T F(z)dz = 0 za vsak zaprt trikotnik T ⊂ Ω. Torej je po Morerovem izreku F holomorfna.

Za dokaz drugega dela trditve bomo uporabili Cauchyjeve ocene [4, izrek 3.3.8], ki trdijo: Naj bo Ω⊂ C odprta mnoºica in naj bo f : Ω→C holomorfna funkcija.

Z∆(p, r)ozna£imo odprto kroglo s sredi²£em v pin polmeromr. ƒe je∆(p, r)⊂Ω,

potem za vsak n∈N velja ocena

|f⁽ⁿ⁾(p)| ≤n!maxz∈∂∆(p,r)|f(z)|

rⁿ .

Naj boKkompaktna podmnoºica domeneΩ. Dokazati ºelimo, da zaporedje{f_n^′}n∈N

na mnoºici K enakomerno konvergira k limitni funkciji F^′. Zaradi kompaktnosti mnoºice K obstaja realno ²tevilo d > 0, da je razdalja med K in ∂Ω ve£ja od d. Denirajmo mnoºico

K^′ = ⋃︂

z∈K

∆(z, d/2).

Mnoºici K inK^′ prikazuje slika 2. Dokaºimo, da je K^′ kompaktna. Po konstrukciji je omejena in velja K ⊂ K^′ ⊂ Ω. Naj bo p element komplementa K^′c. Zaradi kompaktnosti mnoºiceK obstaja to£kaq ∈K, da je |p−q|ravno razdalja medpin K. Ker to£ka p /∈K^′, je razdalja|p−q|> d/2. Mnoºica∆(p,1/2·(|p−q| −d/2)) je torej odprta okolica to£ke p, ki ne seka mnoºiceK^′. Po potrebi jo zmanj²amo, tako da cela leºi v mnoºiciΩ. MnoºicaK^′ je zato zaprta in zaradi omejenosti kompaktna.

Slika 2. Mnoºici K in K^′.

Zaporedje {f_n}_n∈N konvergira enakomerno na kompaktni mnoºici K^′. Naj bo ϵ >0, tedaj obstaja takN ∈N, da je |F(z)−f_n(z)|< dϵ/2 za vsakz ∈K^′ in vsak n ≥N. Za poljuben p∈ K in poljuben n≥ N po formuli za Cauchyjevo oceno na mnoºici ∆(p, d/2)⊂K^′, za holomorfno funkcijoF(z)−f_n(z) velja

|F^′(p)−f_n^′(p)| ≤ maxz∈∂∆(p,d/2)|F(z)−f_n(z)|

d/2 ≤ϵ.

Torej zaporedje {f_n^′}n∈N na poljubni kompaktni mnoºici K konvergira enakomerno

k funkciji F^′. □

Pri izra£unu formule za logaritmi£ni odvod Riemannove funkcije zeta bomo morali odvajati neskon£ni produkt. Potrebovali bomo zvezo iz spodnje trditve.

Trditev 2.10. Naj bo {f_n}n∈N zaporedje holomorfnih funkcij, deniranih na odprti mnoºiciΩ⊆C. ƒe neskon£ni produktF(z) = ∏︁∞

n=1fn(z)konvergira enakomerno po

kompaktnih podmnoºicah mnoºice Ω in nima ni£el, potem je funkcija F holomorfna in zanjo velja

F^′(z) =

∞

∑︂

j=1

f_j^′(z)

∞

∏︂

i=1i̸=j

f_i(z).

Dokaz. S pn ozna£imo n-ti delni produkt funkcije F. Tedaj po formuli za odvod produkta velja

p^′_n(z) =

n

∑︂

j=1

f_j^′(z)

n

∏︂

i=1i̸=j

f_i(z).

Po trditvi 2.9 je F holomorfna in zaporedje {p^′_n}_n∈N konvergira k F^′ enakomerno po kompaktih. Ker F(z) ̸= 0 za noben z ∈ Ω, za vsak n ∈ N in vsak z ∈ Ω velja f_n(z)̸= 0. Zaporedje{p^′_n/p_n}_n∈N zato po to£kah konvergira k limitni funkciji F^′/F. Ker je

p^′_n(z) p_n(z) =

∑︁n

j=1f_j^′(z)∏︁n

i̸=jf_i(z)

∏︁n

i=1f_i(z) =

n

∑︂

j=1

f_j^′(z) f_j(z), velja

F^′(z) F(z) =

∞

∑︂

j=1

f_j^′(z) f_j(z).

ƒe vrsto pomnoºimo s funkcijo F(z), dobimo F^′(z) =

∞

∑︂

j=1

f_j^′(z)

∞

∏︂

i=1i̸=j

fi(z),

kar smo ºeleli pokazati. □

2.2. Eulerjev produkt Riemannove funkcije zeta. V prej²njem podpoglavju smo razvili orodje za obravnavo neskon£nih produktov in njihove holomorfnosti. V tem pa bomo Riemannovo funkcijo zeta v ekvivalentni obliki zapisali kot neskon£ni produkt holomorfnih funkcij, v katerem se prvi£ pojavljajo pra²tevila. Iz tega zapisa bo razvidna povezava med teorijo ²tevil in funkcijo zeta, sluºil pa nam bo tudi pri obravnani ni£el in kasneje za izra£un logaritmi£nega odvoda Riemannove funkcije zeta. Do konca dela bomo sledili dokazu pra²tevilskega izreka iz vira [2, poglavje 7].

Trditev 2.11 (Eulerjeva produktna formula). S p_i ozna£imo i-to zaporedno pra-

²tevilo. Za Riemannovo funkcijo zeta na denicijskem obmo£ju {z ∈C|Re(z)>1}

velja predpis

ζ(z) =

∞

∏︂

j=1

(︄ 1 1−p^−z_j

)︄

.

Produkt konvergira absolutno in enakomerno po kompaktnih podmnoºicah komple- ksnih ²tevil, za katere je Re(z)>1.

Opomba 2.12. Zgornji enakosti pravimo Eulerjeva produktna formula.

Dokaz. Najprej dokaºimo absolutno konvergenco produkta. Ker za kompleksno ²te- vilo z iz mnoºice {z ∈ C | Re(z) > 1} velja ocena ⃓

⃓

⃓

1 p^z_j

⃓

⃓

⃓ < 1, po formuli za vsoto geometrijske vrste sledi zveza

1

1−p^−z_j = 1 + 1 p^z_j + 1

p^2z_j +· · · . Ker je

∞

∏︂

j=1

(︄ 1 1−p^−z_j

)︄

=

∞

∏︂

j=1

(︄

1 + p^−z_j 1−p^−z_j

)︄

, je po lemi 2.4 dovolj pokazati, da konvergira ²tevilska vrsta

∞

∑︂

j=1

⃓

⃓

⃓

⃓

⃓ p^−z_j 1−p^−z_j

⃓

⃓

⃓

⃓

⃓

=

∞

∑︂

j=1

1 p^Re(z)_j

⃓

⃓

⃓

⃓ 1 + 1

p^z_j + 1

p^2z_j +· · ·

⃓

⃓

⃓

⃓

≤

∞

∑︂

j=1

1 p^Re(z)_j

(︃

1 +

⃓

⃓

⃓

⃓ 1 p^z_j

⃓

⃓

⃓

⃓ +

⃓

⃓

⃓

⃓ 1 p^2z_j

⃓

⃓

⃓

⃓ +· · ·

)︃

=

∞

∑︂

j=1

(︄ 1

p^Re(z)_j + 1

p^{2 Re(z)}_j + 1

p^{3 Re(z)}_j +· · · )︄

≤

∞

∑︂

n=1

1 n^Re(z).

V zadnji neenakosti smo uporabili trditev o konvergenci dvakratnih vrst [3, izrek 9.3], ki pravi: Naj bo S = ∑︁∞

i=1

∑︁∞

j=1a_ij dvakratna vrsta in φ : N → N× N bijekcija. ƒe ²tevilska vrsta S_φ = ∑︁∞

n=1a_φ1(n)φ2(n) konvergira absolutno, potem konvergira tudi dvakratna vrsta in velja S = S_φ. Za z ∈ {z ∈ C | Re(z) > 1}

je torej Eulerjev produkt res absolutno konvergenten. Dokaºimo ²e enakomerno konvergenco k funkciji zeta. Na mnoºici {z ∈C|Re(z)>1} je geometrijska vrsta absolutno konvergentna, saj je

1 +

⃓

⃓

⃓

⃓ 1 p^z_j

⃓

⃓

⃓

⃓ +

⃓

⃓

⃓

⃓ 1 p^2z_j

⃓

⃓

⃓

⃓

+· · · ≤1 + 1 p_j + 1

p²_j +· · ·= 1 1−p⁻¹_j . Z r_m(z)ozna£imo delni produkt

r_m(z) =

m

∏︂

j=1

1 1−p^−z_j =

m

∏︂

j=1

(︃

1 + 1 p^z_j + 1

p^2z_j +· · · )︃

.

Ker gre za kon£en produkt in so vse vrste absolutno konvergentne, lahko zamenjamo vrstni red £lenov. Dobimo

r_m(z) =

m

∏︂

j=1

(︃

1 + 1 p^z_j + 1

p^2z_j +· · · )︃

= ∑︂

n∈P_m

1 n^z,

kjer P_m ozna£uje mnoºico z elementom 1 in pozitivnimi naravnimi ²tevili, katerih pra²tevilski razcep sestavlja le prvihmpra²tevil. Za dokaz enakomerne konvergence mora za vsako kompaktno podmnoºico K mnoºice {z ∈ C | Re(z) > 1} in vsak ϵ >0 obstajatiN ∈N, da za vsak z ∈K velja

|rm(z)−ζ(z)|< ϵ,

£im je m > N. Najmanj²e pra²tevilo, ki ni v P_m, je p_m+1. Fiksirajmo ϵ in K. Ker je K kompaktna mnoºica, obstaja minimum s= min{Re(z)|z ∈K}, ki je ve£ji od 1. Ocenimo absolutno vrednost razlike

|r_m(z)−ζ(z)|=

⃓

⃓

⃓

⃓

⃓

∑︂

n∈Pm

1 n^z −

∞

∑︂

n=1

1 n^z

⃓

⃓

⃓

⃓

⃓

≤

⃓

⃓

⃓

⃓

⃓

∑︂

n /∈P_m

1 n^z

⃓

⃓

⃓

⃓

⃓

≤ ∑︂

n /∈P_m

1 n^Re(z) <

∞

∑︂

n=pm+1

1 n^s. Ker so pra²tevila poljubno velika in ker ²tevilska vrsta ∑︁∞

n=pm+1

1

n^s konvergira, ob- staja tak N ∈ N, da je za vsak m > N ²tevilska vrsta ∑︁∞

n=pm+1

1

n^s < ϵ. Torej je

konvergenca res enakomerna. □

Posledica 2.13. Riemannova funkcija zeta je na mnoºici {z ∈ C | Re(z) > 1}

holomorfna.

Dokaz. V dokazu prej²nje trditve smo pokazali, da je funkcija zeta limitna funkcija zaporedja delnih produktov r_m(z) = ∏︁m

j=1 1

1−p^−z_j . Ker je konvergenca enakomerna na kompaktnih podmnoºicah mnoºice {z ∈C|Re(z)>1} in so za vsak m ∈ N funkcije r_m holomorfne, je po trditvi 2.9 holomorfna tudi funkcija zeta. □ 2.3. Meromorfna raz²iritev Riemannove funkcije zeta. V tem podpoglavju bomo funkcijo zeta meromorfno raz²irili na ve£jo domeno. Za dokaz pra²tevil- skega izreka bomo potrebovali posebno funkcijo, ki bo denirana na okolici mnoºice {z ∈C|Re(z)≥1}. Ta funkcija bo ravno logaritmi£ni odvod Riemannove funkcije zeta, zato moramo denicijsko obmo£je te najprej malo raz²iriti. Poglejmo si, kaj pomeni raz²iritev domene neke funkcije.

Denicija 2.14. Naj bo f : Ω⊆C→C holomorfna funkcija na odprti mnoºiciΩ. Funkciji F : Ψ → C pravimo holomorfna raz²iritev funkcije f, £e je F holomorfna, je Ω⊆Ψin za vsak z ∈Ω veljaf(z) =F(z).

Denicija 2.15. Naj bo f : Ω⊆C→C meromofna funkcija na odprti mnoºiciΩ. Funkciji F : Ψ→C pravimo meromorfna raz²iritev funkcije f, £e jeF meromorfna, je Ω⊆Ψin za vsak z ∈Ω veljaf(z) =F(z).

Preden poi²£emo meromorfno raz²iritev Riemannove funkcije zeta, dokaºimo tr- ditev o enoli£nosti raz²iritve.

Trditev 2.16. Naj bosta Ψ,Ω ⊆ C obmo£ji v kompleksni ravnini za kateri ve- lja Ω⊆Ψ. ƒe sta f, g : Ψ → C dve meromorfni raz²iritvi meromorfne funkcije h: Ω→C, potem sta funkciji f in g na mnoºici Ψ enaki.

Dokaz. Ker sta funkciji f in g na mnoºici Ψ meromorfni funkciji, obstajajo holo- morfne funkcije f₁, f₂, g₁, g₂ : Ψ→ C, da je f = ^f_f¹

2 in g = ^g_g¹

2. Denirajmo mnoºico A ={z ∈Ψ|f₂(z) = 0 ali g₂(z) = 0}. Za z ∈Ω\A velja

h(z) = f₁(z)

f₂(z) = g₁(z) g₂(z),

od koder sledi enakost f₁(z)g₂(z) = g₁(z)f₂(z). Ker je mnoºica Ψ\A obmo£je in ker je mnoºica Ω\A njena podmnoºica s stekali²£em, po principu identi£nosti za holomorfni funkciji f₁g₂ in g₁f₂ za vsak z ∈Ψ\A velja f₁(z)g₂(z) =g₁(z)f₂(z). Od tod pa za vsak z ∈Ψ\A sledi

f(z) = f₁(z)

f₂(z) = g₁(z)

g₂(z) =g(z).

Torej sta meromorfni funkciji f in g res enaki na mnoºiciΨ. □ Dokaºimo, da Riemannovo funkcijo zeta res lahko meromorfno raz²irimo na ve£jo domeno.

Trditev 2.17. Riemanova funkcija zeta ima meromorfno raz²iritev na mnoºico {z ∈C|Re(z)>0} z edinim polom v z = 1. Pol ima stopnjo 1.

Dokaz. Dokazali bomo, da ima funkcija z ↦→ζ(z)−_z−1¹ holomorfno raz²iritev F na mnoºico {z ∈C|Re(z)>0}. Torej je Z(z) = F(z) + _z−1¹ meromorfna funk- cija denirana na mnoºici {z ∈C|Re(z)>0} s polom stopnje 1 v to£ki z = 1, ki se na mnoºici {z ∈ C | Re(z) > 1} ujema s funkcijo zeta. Funkcija Z je zato iskana meromorfna raz²iritev. Glavna ideja dokaza je, da predpis ζ(z)− _z−1¹ pre- oblikujemo, dokler ni enak neki funkciji, ki je meromorfna na ºeleni mnoºici. Za z ∈ {z ∈C|Re(z)>1}velja

k−1

∑︂

n=1

n

(︃ 1

(n+ 1)^z − 1 n^z

)︃

=

k

∑︂

n=2

n−1 n^z −

k−1

∑︂

n=1

1 n^z−1

=

k

∑︂

n=2

(︃ 1

n^z−1 − 1 n^z

)︃

−

k−1

∑︂

n=1

1 n^z−1

=−1 + 1 k^z−1 −

k−1

∑︂

n=1

1 (n+ 1)^z, od koder sledi enakost

(3) 1 +

k−1

∑︂

n=1

1

(n+ 1)^z = 1 k^z−1 −

k−1

∑︂

n=1

n

(︃ 1

(n+ 1)^z − 1 n^z

)︃

. Velja

n

(︃ 1

(n+ 1)^z − 1 n^z

)︃

= n (︃1

t^z )︃⃓

⃓

⃓

⃓

n+1

t=n

=−nz

∫︂ n+1 n

t^−z−1dt

=−z

∫︂ n+1 n

⌊t⌋t^−z−1dt, (4)

kjer je ⌊t⌋ funkcija celi del ²tevila t. Zadnja enakost drºi, saj je t ∈ [n, n+ 1] in posledi£no⌊t⌋=n v vseh to£kah razen v eni. ƒe ena£bo (4) vstavimo v ena£bo (3), dobimo

k

∑︂

n=1

1

n^z = 1 +

k−1

∑︂

n=1

1 (n+ 1)^z

= 1

k^z−1 +z

k−1

∑︂

n=1

∫︂ n+1 n

⌊t⌋t^−z−1dt

= 1

k^z−1 +z

∫︂ k 1

⌊t⌋t^−z−1dt.

Zgornjo enakost pogledamo v limitnem primeru, ko gre k → ∞. Ker leva stran ob- staja, enaka je namre£ funkciji zeta, konvergira tudi posplo²eni integral. Za poljuben z ∈ {z ∈C|Re(z)>1}dobimo zvezo

(5) ζ(z) = z

∫︂ ∞ 1

⌊t⌋t^−z−1dt.

Na mnoºici {z ∈C|Re(z)>1} izra£unamo integral

(6) z

∫︂ ∞ 1

tt^−z−1dt =z

∫︂ ∞ 1

t^−zdt= zt^−z+1 1−z

⃓

⃓

⃓

⃓

∞

t=1

= z

z−1 = 1 + 1 z−1.

ƒe od ena£be (5) od²tejemo ena£bo (6), dobimo ζ(z)− 1

z−1 = 1 +z

∫︂ ∞ 1

⌊t⌋t^−z−1dt−z

∫︂ ∞ 1

tt^−z−1dt= 1 +z

∫︂ ∞ 1

(⌊t⌋ −t)t^−z−1dt.

Na mnoºici{z ∈C|Re(z)>0}deniramo funkcijof(z) = ∫︁∞

1 (⌊t⌋−t)t^−z−1dt. Do- kazali bomo, da je na tej mnoºici dobro denirana in holomorfna. Dobra deniranost sledi iz ocene

|f(z)| ≤

∫︂ ∞ 1

|(⌊t⌋ −t)|⃓

⃓t^−z−1⃓

⃓ dt ≤

∫︂ ∞ 1

1·t^−Re(z+1)dt = 1 Re(z). Za dokaz holomorfnosti deniramo pomoºne funkcije f_k(z) = ∫︁k

1(⌊t⌋ −t)t^−z−1dt. Z uporabo Morerovega izreka bomo pokazali, da so funkcije f_k na odprti mnoºici {z ∈C|Re(z)>0} holomorfne. Funkcija (z, t) ↦→ (⌊t⌋ −t)t^−z−1 je holomorfna v spremenljivkiz in odsekoma zvezna v spremenljivkit. Zato je po trditvi o zveznosti integrala s parametrom zvezna tudi funkcija f_k. Torej po Cauchyjevem izreku za poljuben zaprt trikotnik T ⊂ {z ∈ C | Re(z) > 0} velja ∫︁

∂T(⌊t⌋ −t)t^−z−1dz = 0. Dokazati ºelimo, da je ∫︁

∂Tf_k(z)dz = 0. Poglejmo

∫︂

∂T

f_k(z)dz =

∫︂

∂T

∫︂ k 1

(⌊t⌋ −t)t^−z−1dt dz

=

∫︂ k 1

∫︂

∂T

(⌊t⌋ −t)t^−z−1dz dt

=

∫︂ k 1

0dt

= 0.

Integrala lahko zamenjamo po Fubinijevem izreku, ki ga uporabimo potem, ko pa- rametriziramo rob trikotnika T. Po Morerovem izreku je za vsak k ∈ N funkcija f_k holomorfna. Po trditvi 2.9 je funkcija f holomorfna, £e zaporedje holomorf- nih funkcij f_n k njej konvergira enakomerno po kompaktnih podmnoºicah mnoºice {z ∈ C | Re(z) > 0}. Naj bo K ⊂ {z ∈ C | Re(z) > 0} kompaktna mnoºica in ϵ > 0. Z m ozna£imo minimum m = min{Re(z) | z ∈ K}. Zaradi kompaktnosti

mnoºice K vemo, da ta obstaja in da je pozitiven. ƒe je k dovolj velik, velja maxz∈K |f(z)−f_k(z)| ≤max

z∈K

∫︂ ∞ k

|(⌊t⌋ −t)t^−z−1|dt

≤max

z∈K

∫︂ ∞ k

t^−1−Re(z)dt

= max

z∈K

t^−Re(z) Re(z)

⃓

⃓

⃓

⃓

k

t=∞

≤ 1 mk^m

< ϵ.

Ko gre k proti neskon£no, gre torej za vsak z ∈ K absolutna razlika |f(z)−f_k(z)|

proti ni£. Torej zaporedje {f_k}k∈N konvergira k limitni funkciji f enakomerno po kompaktih, ta je zato na mnoºici {z ∈C|Re(z)>0} holomorfna. Tedaj je na tej isti mnoºici holomorfna tudi funkcija

F(z) = 1 +zf(z) = 1 +z

∫︂ ∞ 1

(⌊t⌋ −t)t^−z−1dt,

ki pa je na {z ∈ C | Re(z) > 1} enaka funkciji z ↦→ ζ(z)− _z−1¹ . Funkcija F je zato holomorfna raz²iritev, ki smo jo iskali. Meromorfna raz²iritev funkcije zeta na mnoºico {z ∈C|Re(z)>0} je funkcija Z(z) = F(z) + _z−1¹ . □ Opomba 2.18. FunkcijoZ bomo v nadaljevanju ozna£evali kar zζ, za katero bomo privzeli, da je dobro denirana in meromorfna na mnoºici {z ∈C|Re(z)>0}. 2.4. Obravnava ni£el Riemannove funkcije zeta. V tem podpoglavju bomo dokazali, da obstaja okolica mnoºice{z ∈C|Re(z)≥1}, kjer Riemannova funkcija zeta nima ni£el. To bomo v naslednjem razdelku potrebovali za dobro deniranost logaritmi£nega odvoda ζ^′/ζ funkcije zeta. Trditev bomo dokazali v dveh delih. Na obmo£ju {z ∈C | Re(z) >1} je dokaz enostaven, na okolici premice Re(z) = 1 pa ni o£iten in zahteva nekaj iznajdljivosti.

Lema 2.19. Riemannova funkcija zeta nima ni£el na mnoºici {z ∈C|Re(z)>1}. Dokaz. V trditvi 2.11 smo dokazali, da lahko funkcijo zeta denirano na odprti mno- ºici{z ∈C|Re(z)>1}zapi²emo kot neskon£en produktζ(z) =∏︁∞

j=1

(︂ 1 1−p^−z_j

)︂. Ker ta konvergira absolutno, po trditvi 2.7 vemo, da jeζ(z) = 0natanko tedaj, ko obstaja tak n ∈ N, da je _1−p¹z

n = 0, kar pa ni moºno. Torej na mnoºici {z ∈C|Re(z)>1}

Riemannova funkcija zeta nima ni£el. □

Trditev 2.20. Obstaja okolica mnoºice{z ∈C|Re(z)≥1}, kjer Riemannova funk- cija zeta nima ni£el.

Dokaz. Po lemi 2.19 vemo, da Riemannova funkcija zeta nima ni£el na odprti mno- ºici {z ∈C|Re(z)>1}. Torej moramo dokazati le, da nima ni£el na premici {z ∈C|Re(z) = 1}, saj bo zaradi zveznosti sledilo, da ni£el nima tudi na neki oko- lici te mnoºice. Dokaz je teºko motivirati, a kljub temu ni preteºak za razumevanje.

Vemo, da ima funkcija zeta v z = 1 pol, kar pomeni, da v okolici z = 1 zavzame poljubno velike vrednosti. Fiksirajmo realno ²tevilo y̸= 0 in za realna ²tevilax >1 poglejmo funkcijo

h(x) =ζ³(x)ζ⁴(x+iy)ζ(x+i2y).

Ker na polravnini Re(z) > 1 funkcija zeta nima ni£el, je logaritem funkcije |ζ(z)|

tam dobro deniran.

ln|ζ(z)|= ln

⃓

⃓

⃓

⃓

⃓

∞

∏︂

j=1

(︄ 1 1−p^−z_j

)︄⃓

⃓

⃓

⃓

⃓

= ln (︄

k→∞lim

k

∏︂

j=1

⃓

⃓

⃓

⃓

⃓ 1 1−p^−z_j

⃓

⃓

⃓

⃓

⃓ )︄

= lim

k→∞ln (︄ _k

∏︂

j=1

⃓

⃓

⃓

⃓

⃓ 1 1−p^−z_j

⃓

⃓

⃓

⃓

⃓ )︄

=− lim

k→∞

k

∑︂

j=1

ln|1−p^−z_j |=−

∞

∑︂

j=1

ln|1−p^−z_j |=−

∞

∑︂

j=1

Re(︁

Log_C(1−p^−z_j ))︁

=

∞

∑︂

j=1

Re (︄ _∞

∑︂

n=1

p^−nz_j n

)︄

Upo²tevali smo, da je Re(z) > 1 in zato |p^−z_j | < 1. To pomeni, da kompleksni logaritem Log_C(1−p^−z_j )obstaja in ga lahko razvijemo v poten£no vrsto, kot smo to storili, ko smo vpeljali logaritem, v ena£bi (1). Upo²tevajo£ zgornji rezultat dobimo

ln|h(x)|= 3 ln|ζ(x)|+ 4 ln|ζ(x+iy)|+ ln|ζ(x+i2y)|

= 3

∞

∑︂

j=1

Re (︄ _∞

∑︂

n=1

p^−nx_j n

)︄

+ 4

∞

∑︂

j=1

Re (︄ _∞

∑︂

n=1

p^−nx−iny_j n

)︄

+

∞

∑︂

j=1

Re (︄ _∞

∑︂

n=1

p^−nx−i2ny_j n

)︄

= 3

∞

∑︂

j=1

∞

∑︂

n=1

Re

(︄p^−nx_j n

)︄

+ 4

∞

∑︂

j=1

∞

∑︂

n=1

Re

(︄p^−nx−iny_j n

)︄

+

∞

∑︂

j=1

∞

∑︂

n=1

Re

(︄p^−nx−i2ny_j n

)︄

=

∞

∑︂

j=1

∞

∑︂

n=1

p^−nx_j

n Re(3 + 4p^−iny_j +p^−i2ny_j ).

Za poljuben a∈R velja enakost

p^ia_j =e^ialnpj = cos(alnp_j) +isin(alnp_j).

ƒe s θ ozna£imo θ =−nylnp_j, dobimo

Re(3 + 4p^−iny_j +p^−i2ny_j ) = 3 + 4 cos(−nylnpj) + cos(−2nylnpj)

= 3 + 4 cos(θ) + cos(2θ)

= 3 + 4 cos(θ) + 2 cos²(θ)−1

= 2(1 + cos(θ))² ≥0.

Torej je ln|h(x)| ≥0, od koder, ker je naravni logaritem nara²£ajo£a funkcija, sledi

|h(x)|=|ζ³(x)||ζ⁴(x+iy)||ζ(x+i2y)| ≥1.

Ker je x >1, lahko zgornjo neenakost delimo z izrazom x−1. Dobimo (7) |h(x)|

x−1 =|(x−1)ζ(x)|³

⃓

⃓

⃓

⃓

ζ(x+iy) x−1

⃓

⃓

⃓

⃓

4

|ζ(x+i2y)| ≥ 1 x−1.

Ker je edini pol meromorfne raz²iritve funkcije zeta na Re(z) > 0 v z = 1 in je ta pol stopnje 1, za y̸= 0 limiti

x↘1lim|(x−1)ζ(x)|³ in lim

x↘1|ζ(x+i2y)|

obstajata in sta kon£ni. Denimo, da jeζ(1+iy) = 0. Ker je funkcija zeta holomorfna na mnoºici{z ∈C|Re(z)>0, z ̸= 1}, zay̸= 0obstaja odvodζ^′(1+iy). Posledi£no

obstaja limita

x↘1lim

⃓

⃓

⃓

⃓

ζ(x+iy) x−1

⃓

⃓

⃓

⃓

4

= lim

x↘1

⃓

⃓

⃓

⃓

ζ(x+iy)−ζ(1 +iy) x−1

⃓

⃓

⃓

⃓

4

=|ζ^′(1 +iy)|⁴.

Torej je limita, ko sexod zgoraj pribliºuje1, na levi strani neenakosti (7) kon£na, na desni pa neskon£na. Prispeli smo do protislovja, zato je predpostavkaζ(1 +iy) = 0 napa£na. Ker je y poljubno neni£elno ²tevilo, je s tem trditev dokazana. □ 2.5. Logaritmi£ni odvod Riemannove funkcije zeta. V zadnjem podpoglavju poglavja, ki obravnava lastnosti Riemannove funkcije zeta, bomo denirali njen lo- garitmi£ni odvod. Ta funkcija bo klju£na povezava med pra²tevili in metodami kompleksne analize, ki nam bodo sluºile pri dokazu pra²tevilskega izreka. Najprej bomo spoznali Mangoldtovo funkcijo in funkcijo psi, ki se presenetljivo pojavljata tako v logaritmi£nem odvodu funkcije zeta, kot tudi v ekvivalentni obliki pra²tevil- skega izreka, ki jo bomo spoznali v naslednjem poglavju.

Denicija 2.21. Mangoldtova funkcija Λ : N→R je funkcija, denirana s predpi- som

Λ(n) =

{︄ln(p) £e jen =p^m, kjer je p pra²tevilo in m∈N, 0 sicer.

Denicija 2.22. Funkcija psi ψ :R→Rje funkcija, denirana s predpisom ψ(x) = ∑︂

n≤x

Λ(n).

Zgled 2.23. Izra£unajmoψ(10,2). Med prvimi desetimi naravnimi ²tevili so ²tevila 2,3,4,5,7,8 in 9potence pra²tevil. Torej je

ψ(10,2) = ln(2) + ln(3) + ln(2) + ln(5) + ln(7) + ln(2) + ln(3)

= 3 ln(2) + 2 ln(3) + ln(5) + ln(7). ♢ Bolj pogosto bomo za zapis funkcije psi uporabljali naslednjo obliko.

Trditev 2.24. Za funkcijo psi velja enakost ψ(x) =∑︂

p≤x

⌊︃lnx lnp

⌋︃

lnp, kjer vsota te£e po vseh pra²tevilih p, manj²ih ali enakih x. Dokaz. Dokaºimo, da je funkcija psi oblike

ψ(x) =∑︂

p≤x

m_p(x) lnp,

kjer smo z m_p(x) ozna£ili najve£je naravno ²tevilo, da je p^mp(x) ≤ x. V vsoti

∑︁

n≤xΛ(n) se logaritem lnp pojavi za vsak m, ko je p^m ≤ x. To pa je ravno m_p(x)-krat. Ker je naravni logaritem nara²£ajo£a funkcija in je lnp > 0, velja

p^mp(x) ≤x⇐⇒m_p(x) lnp≤lnx⇐⇒m_p(x)≤ lnx lnp.

Ker je m_p(x) najve£je naravno ²tevilo, da je p^mp(x) ≤ x, velja m_p(x) = ⌊︂

lnx lnp

⌋︂, kar

smo ºeleli pokazati. □

Glavni rezultat tega poglavja je naslednja trditev. Za njen dokaz bomo potrebovali vse lastnosti Riemannove funkcije zeta, ki smo jih spoznali.

Trditev 2.25. Obstaja neka okolica mnoºice {z ∈C|Re(z)≥1}, na kateri je loga- ritmi£ni odvod Riemannove funkcije zeta ζ^′/ζ meromorfna funkcija z edinim polom v to£ki z = 1, katerega stopnja je enaka 1, ostanek pa Res(ζ^′(z)/ζ(z),1) =−1. Na mnoºici {z ∈C|Re(z)>1} je funkcija podana s predpisom

ζ^′(z) ζ(z) =−z

∫︂ ∞ 1

ψ(t)t^−z−1dt.

Dokaz. Po trditvi 2.20 obstaja okolicaΩmnoºice {z ∈C|Re(z)≥1}, kjer funkcija zeta nima ni£el, po trditvi 2.17 pa je tam tudi meromorfna. Ker meromorfne funkcije sestavljajo polje, je tudi funkcija ζ^′/ζ na Ω dobro denirana in meromorfna. Naj bo α element Ω. Potem obstajata m ∈ Z in holomorfna funkcija g, denirana v okolici to£ke α, ki nima ni£el, da v tej okolici velja ζ(z) = (z−α)^mg(z). Tedaj je ζ^′(z) = m(z−α)^m−1g(z) + (z−α)^mg^′(z) in zato

ζ^′(z)

ζ(z) = m

z−α +g^′(z) g(z).

Ker je g^′(z)/g(z)holomorfna na okolici to£ke α in ker je funkcija zeta brez ni£el na mnoºiciΩter ima edini pol stopnje 1 v to£kiz = 1, je logaritmi£ni odvod ζ^′/ζ holo- morfna funkcija na mnoºiciΩ, razen v to£kiz= 1, kjer ima pol stopnje 1 z ostankom Res(ζ^′(z)/ζ(z),1) =−1. Dokaºimo, da jo lahko zapi²emo v zgornji integralni obliki.

Po trditvi 2.11 na mnoºici {z ∈C| Re(z)> 1}, velja Eulerjeva produktna formula ζ(z) = ∏︁

p(1−p^−z)⁻¹. Produkt konvergira enakomerno po kompaktnih podmnoºi- cah mnoºice {z ∈ C | Re(z) > 1} in nima ni£el. Ko odvajamo neskon£ni produkt po formuli iz trditve 2.10, dobimo

ζ^′(z) =

∞

∑︂

i=1

d dz

(︃ 1 1−p^−z_i

)︃ ^∞

∏︂

j=1 j̸=i

1 1−p^−z_j

=

∞

∑︂

i=1

−p^−z_i lnp_i (1−p^−z_i )²

(︁ζ(z)(1−p^−z_i ))︁

=ζ(z)

∞

∑︂

i=1

−p^−z_i lnp_i 1−p^−z_i .

ƒe zgornjo enakost delimo s funkcijo ζ(z) in zatem upo²tevamo, da je |p^−z_i | < 1, dobimo

(8) − ζ^′(z) ζ(z) =

∞

∑︂

i=1

p^−z_i lnp_i 1−p^−z_i =

∞

∑︂

i=1

(︄

(p^−z_i lnpi)

∞

∑︂

j=0

p^−jz_i )︄

=

∞

∑︂

i=1

∞

∑︂

j=1

p^−jz_i lnpi. Za dvakratne vrste velja trditev [3, izrek 9.3]: Naj bo S =∑︁∞

i=1

∑︁∞

j=1a_ij dvakratna vrsta in φ : N → N×N bijekcija. ƒe konvergira ²tevilska vrsta ∑︁∞

i=1

∑︁∞ j=1|a_ij|, potem konvergira tudi vrstaS_φ =∑︁∞

n=1a_φ1(n)φ2(n)in veljaS =S_φ. V na²em primeru na mnoºici {z ∈C|Re(z)>1} vrsta

∞

∑︂

i=1

∞

∑︂

j=1

|p^−jz_i lnp_i|=

∞

∑︂

i=1

∞

∑︂

j=1

p^−j_i ^Re(z)lnp_i ⁽⁸⁾= −ζ^′(Re(z)) ζ(Re(z))

konvergira, zato po zgornji trditvi velja

−ζ^′(z) ζ(z) =

∞

∑︂

i=1

∞

∑︂

j=1

p^−jz_i lnp_i =

∞

∑︂

i=1

∞

∑︂

j=1

(︁p^j_i)︁^−z

lnp_i =

∞

∑︂

k=1

k^−zΛ(k).

Sumande preuredimo po vrsti od najmanj²ega naprej. To res ustreza zapisu zgoraj, saj je Mangoldtova funkcija, ki smo jo denirali v deniciji 2.21, neni£elna samo tedaj, ko je k potenca pra²tevila. ƒe upo²tevamo zvezo med funkcijo psi in Man- goldtovo funkcijo, dobimo enakost

(9) − ζ^′(z)

ζ(z) =

∞

∑︂

k=1

k^−zΛ(k) =

∞

∑︂

k=1

k^−z(ψ(k)−ψ(k−1)).

Delno vsoto zgornje ²tevilske vrste preoblikujemo in upo²tevamo, da je ψ(0) = 0. Dobimo

M

∑︂

k=1

k^−z(ψ(k)−ψ(k−1)) =

M

∑︂

k=1

ψ(k)k^−z−

M

∑︂

k=2

ψ(k−1))k^−z

=

M

∑︂

k=1

ψ(k)k^−z−

M−1

∑︂

k=1

ψ(k)(k+ 1)^−z

=ψ(M)(M + 1)^−z+

M

∑︂

k=1

ψ(k)(k^−z−(k+ 1)^−z).

(10)

ƒe v limitnem primeru, ko po²ljemo M proti neskon£no, upo²tevamo, da iz de- nicije funkcije psi sledi ocena ψ(x) =∑︁

n≤xΛ(n)≤∑︁

n≤xlnx≤xlnx, na mnoºici {z ∈C|Re(z)>1} velja

0≤ lim

M→∞

⃓

⃓

⃓

⃓

ψ(M) (M + 1)^z

⃓

⃓

⃓

⃓

≤ lim

M→∞

⃓

⃓

⃓

⃓

MlnM (M + 1)^z

⃓

⃓

⃓

⃓

≤ lim

M→∞

MlnM

(M+ 1)^Re(z) = 0.

Po pravilu sendvi£a je torejlim_M→∞ψ(M)(M+ 1)^−z = 0. ƒe v ena£bo (9) vstavimo limitni primer ena£be (10), dobimo

(11) − ζ^′(z)

ζ(z) =

∞

∑︂

k=1

ψ(k)(k^−z−(k+ 1)^−z).

Ker je na [k, k+ 1) funkcija psi konstantna, je

M

∑︂

k=1

ψ(k)(k^−z−(k+ 1)^−z) =

M

∑︂

k=1

ψ(k)z

∫︂ k+1 k

t^−z−1dt

=

M

∑︂

k=1

z

∫︂ k+1 k

ψ(t)t^−z−1dt

=z

∫︂ M+1 1

ψ(t)t^−z−1dt.

(12)

V ena£bo (11) vstavimo limitni primer ena£be (12) in za z ∈ {z ∈ C| Re(z) >1}

dobimo enakost

−ζ^′(z) ζ(z) =z

∫︂ ∞ 1

ψ(t)t^−z−1dt,

kar smo ºeleli pokazati. □