UNIVERZA V LJUBLJANI FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Matematika  1. stopnja Tjaº Silov²ek O teoriji upodobitev kon£nih grup Delo diplomskega seminarja Mentor: izr. prof. dr. Pavle Saksida Ljubljana, 2021

UNIVERZA V LJUBLJANI

FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Matematika 1. stopnja

Tjaº Silov²ek

O teoriji upodobitev kon£nih grup Delo diplomskega seminarja

Mentor: izr. prof. dr. Pavle Saksida

Ljubljana, 2021

Kazalo

1. Ponovitev linearne algebre 4

1.1. Oznake 4

2. Upodobitve 4

2.1. Skalarni produkt 11

2.2. Maschkejev izrek in popolna razcepnost 12

3. Homomorzmi upodobitev 15

4. Ortogonalnostne relacije 18

5. Karakterji upodobitev 21

Slovar strokovnih izrazov 24

Literatura 24

O teoriji upodobitev kon£nih grup Povzetek

V diplomskem delu obravnavamo upodobitve kon£nih grup. Povemo, da je upodo- bitev homomorzem iz grupe G v linearno grupo GL(V), stopnja upodobitve pa je enaka dimenziji prostora V. Nato povemo, kaj so G-invariantni podprostori in neraz- cepne upodobitve. Deniramo ekvivalen£no relacijo med upodobitvami in dokaºemo, da se nerazcepnost in razgradljivost ohranjata na ekvivalen£nih razredih. Prvi ve£ji cilj je rezultat, da je poljubna upodobitev kon£ne grupe ekvivalentna direktni vsoti nerazcepnih upodobitev. Nato s teorijo upodobitev dokaºemo nekaj rezultatov iz linearne algebre. Dokaºemo, da je poljubna nerazcepna upodobitev abelove grupe prve stopnje. Za konec si pogledamo karakterje upodobitev, to so preslikave, ki vsakemu elementu iz grupe priredijo sled njegove upodobitve. Pokaºemo, da lahko s karakterji povemo, ali je upodobitev nerazcepna. Zadnji ve£ji rezultat pa je, da je poljubna upodobitev ekvivalentna natanko eni direktni vsoti nerazcepnih upodo- bitev, pri £emer so posamezni elementi v vsoti dolo£eni do ekvivalen£nega razreda natan£no.

Representation Theory of Finite Groups Abstract

In this work we deal with representations of nite groups. First, we say that a re- presentation is a homomorphism from a group G to a linear group GL(V) and the degree of the representation is equal to the dimension of the space V. We then tell what G-invariant subspaces and irreducible representations are. We further dene the equivalence relation between the representations and prove that the irreducibi- lity and decomposability are preserved on the equivalence classes. The rst major goal is to prove that any representation of a nite group is equivalent to the direct sum of irreducible representations. Then, with the theory of representations, we prove some results from linear algebra. We prove that any irreducible representa- tion of the abelian group is of the rst degree. Finally, we look at the characters of the representations. The character is a mapping that returns the trace of the representation evaluated at element for each element in the group. We show that we can tell with characters whether representation is irreducible. The last major result, however, is that any representation is equivalent to exactly one direct sum of irreducible representations, with the individual elements in the sum determined to the equivalence class exactly.

Math. Subj. Class. (2020): 20C10, 20C15.

Klju£ne besede: kon£ne grupe, upodobitve grup, nerazcepne upodobitve, karak- terji upodobitev

Keywords: nite groups, group representations, irreducible representations, cha- racters of representations

1. Ponovitev linearne algebre

V delu si bomo pomagali z linearno algebro, zato vpeljimo oznake, ki jih bomo v nadaljevanju uporabljali. Vsi vektorski prostori, s katerimi se bomo ukvarjali, bodo kon£no dimenzionalni nad obsegom kompleksih ²tevil.

1.1. Oznake. Vpeljimo nekaj oznak.

• M_mn(C) = {m×n matrike z elementi iz C}

• M_n(C) = M_nn(C)

• Hom(V, W) = {A:V →W| A je linearna preslikava }

• End(V) = Hom(V, V)

• GL(V) ={A∈End(V)| A ima inverz }

• GL_n(C) ={A∈M_n(C)| A ima inverz }

• U(V) ={A∈GL(V)| A je unitarna preslikava}

• Un(C) ={A ∈GLn(C)| A je unitarna matrika }

• C^∗ =C\ {0}

• Zⁿ={0,1, . . . , n−1}

Na primeru si poglejmo endomorzem vektorskega prostora C.

Primer 1.1. Denirajmo preslikavoA :C→Cs predpisomA(z) = 2z. Preverimo, da je A linearna.

A(αz₁+βz₂) = 2(αz₁+βz₂)

= 2αz1+ 2βz2

=α2z₁+β2z₂

=αA(z₁) +βA(z₂) ♢

2. Upodobitve

Za za£etek se bomo spopadli z osnovnimi pojmi teorije upodobitev in skozi primere razvili intuicijo, potrebno za globlje razumevanje. Skozi celotno delo bomo sledili viru [5], ostali viri pa so sluºili kot pomo£ pri dodajanju primerov in zanimivih posledic.

Denicija 2.1. Upodobitev grupe G je homomorzem φ : G → GL(V), kjer je V neni£eln kon£no-dimenzionalen vektorski prostor. Stopnja upodobitve φje enaka dimenziji prostora V.

Naj bo T ∈ GL(V) linearna preslikava in dimV = n. Izberemo bazo B = {b₁, . . . , b_n} prostora V. ProstoraGL(V) inGL_n(C) sta izomorfna z izomorzmom deniranim glede na bazo B. Kako deniramo izomorzem? Za izbrani T ∈GL(V) slikamo bazne vektorje

T(b_j) =

n

∑︂

i=1

a_ijb_i

in naberemo koeciente v matriko A = (a_ij). Oglejmo si idejo dokaza, da je tako denirana preslikava izomorzem. ƒe se T₁,T₂ preslikata v isto matriko, to pomeni, da je T₁(b_i) = T₂(b_i) za vsak i. Posledi£no je T₁ =T₂. Vzamemo poljubno matriko A = (a_ij) ∈ GL_n(C) in poi²£imo T ∈ GL(V), ki se slika v A. T deniramo na baznih vektorjih T(b_j) = ∑︁n

i=1a_ijb_i. Tako denirani T se slika v A. Preveriti je potrebno ²e, da je T ∈ GL(V). Pomagamo si lahko z A⁻¹. Preverimo ²e, da je

tako denirana preslikava homomorzem. Vzamemo T₁ in T₂ iz GL(V) in pora£u- namo T₁T₂(b_j) = ∑︁n

k=1

∑︁n

i=1a¹_kia²_ijb_k. Ra£unamo po deniciji homomorzma in dobimo, da je preslikava homomorzem. Homomorzme, ki slikajo iz grupe G v grupo GL_n(C), bomo dojemali kot matri£ne upodobitve. Skozi celotno delo bomo prehajali med upodobitvami in matri£nimi upodobitvami.

Za upodobitevφbomo vpeljali oznakoφ_g :=φ(g). Poglejmo si primer upodobitve grupe.

Primer 2.2. V primeru G=Zn bomo uporabili V =C² in φ:Zn →GL₂(C),

φ_m =

[︃cos(^2πm_n ) −sin(^2πm_n ) sin(^2πm_n ) cos(^2πm_n )

]︃

. Za zgornjo preslikavo φvelja

φ_m+k=φ_m∗φ_k,

kjer ∗ pomeni matri£no mnoºenje. Kar pomeni, da je φ res homomorzem, torej

upodobitev grupe Zⁿ. ♢

Spomnimo se, da je GL(V) grupa vseh obrnljivih linearnih preslikav prostora V samega vase. Naj bo n = dimV in φ : G → GL(V) upodobitev. Izberemo bazo B = {b1, . . . , bn} prostora V in deniramo izomorzem vektorskih prostorov T : V → Cⁿ s predpisom T(bi) = ei, kjer je ei i-ti standardni enotski vektor.

Deniramo upodobitev ψ : G → GL_n(C) s predpisom ψ_g = T φ_gT⁻¹ za g ∈ G. ƒe je B^′ druga baza prostora V, imamo nov izomorzem S : V → Cⁿ in posledi£no upodobitev ψ^′ : G → GL_n(C), dano s predpisom ψ_g^′ = Sφ_gS⁻¹. Opazimo, da sta upodobitvi ψ in ψ^′ povezani s formulo ψ_g^′ = ST⁻¹ψ_gT S⁻¹ = (ST⁻¹)ψ_g(ST⁻¹)⁻¹. Ker se upodobitvi ψ in ψ^′ razlikujeta le v izbiri baze, bi ju radi razumeli kot eno samo upodobitev. Iz tega sledi denicija ekvivalentnosti upodobitev.

Denicija 2.3. Upodobitviφ:G→GL(V)inψ :G→GL(W)sta ekvivalentni, £e obstaja tak izomorzem T :V →W, da velja ψ_g =T φ_gT⁻¹ za vsak g ∈G. Pi²emo φ∼ψ. ƒe upodobitvi nista ekvivalentni, sta neekvivalentni.

V matri£nem smislu sta upodobitvi φinψ ekvivalentni, £e obstaja taka obrnljiva matrika T, da veljaψ_g =T φ_gT⁻¹.

Ali je ekvivalenca upodobitev ekvivalen£na relacija? Naj bodo φ, ψ inθ upodo- bitve grupe G. Reeksivnost velja, saj lahko za izomorzem T izberemo identiteto.

Simetri£nost velja, saj lahko vzamemo izomorzma T in T⁻¹. Formalno preverimo tranzitivnost. Naj bostaT inU izomorzma, da veljaψ_g =T φ_gT⁻¹ inθ_g =U ψ_gU⁻¹ za vsak g ∈G. Sledi, da je

θg =U T φgT⁻¹U⁻¹ =U T φg(U T)⁻¹

za vsak g ∈ G. S tem smo pokazali, da je ekvivalenca upodobitev ekvivalen£na relacija.

Kako preveriti, da sta dani upodobitvi ekvivalentni? Za neekvivalentnost je dovolj preveriti sled in determinanto slik elementov grupe. ƒe sta upodobitvi ekvivalentni, velja ψg =T φgT⁻¹ za vsakg ∈G. Zaradi lastnosti sledi in determinante, velja

det(ψg) = det(T φgT⁻¹) = det(T) det(T)⁻¹det(φg) = det(φg)

in

tr(ψ_g) = tr(T φ_gT⁻¹) = tr(T⁻¹T φ_g) = tr(φ_g)

za vsak g ∈ G. Izberemo bazo, za vsak g ∈ G zapi²emo φg in ψg matri£no in izra£unamo sledi ter determinante. ƒe obstaja element g ∈G, pri katerem se sledi ali determinanti matrik φ_g in ψ_g ne ujemata, upodobitvi gotovo nista ekvivalentni.

Primer 2.4. Poglejmo si primere upodobitev in preverimo, katere so ekvivalentne.

Vzamemo grupo ostankov pri deljenju z n, kjer je n >1. φ:Zn→GL₂(C)

φ_m =

[︃cos(^2πm_n ) −sin(^2πm_n ) sin(^2πm_n ) cos(^2πm_n )

]︃

ψ :Zn →GL₂(C)

ψm =

[︃e^2πmin 0 0 e^−2πmin

]︃

θ :Zn →GL₂(C) θ_m =

[︃1 0 0 1 ]︃

Imamo tri preslikave izZⁿvGL₂(C), za katere lahko preverimo, da so upodobitve.

φ_mφ_k=

[︃cos(^2πm_n ) −sin(^2πm_n ) sin(^2πm_n ) cos(^2πm_n )

]︃ [︃

cos(^2πk_n ) −sin(^2πk_n ) sin(^2πk_n ) cos(^2πk_n )

]︃

=

[︃cos(^2π(m+k)_n ) −sin(^2π(m+k)_n ) sin(^2π(m+k)_n ) cos(^2π(m+k)_n )

]︃

=φ_m+k ψmψk=

[︃e^2πmin 0 0 e^−2πmin

]︃[︄

e^2πkin 0 0 e^−2πkin

]︄

= [︄

e^2π(m+k)in 0

0 e^{−2π(m+k)in} ]︄

=ψ_m+k θ_mθ_k=

[︃1 0 0 1

]︃ [︃

1 0 0 1 ]︃

= [︃1 0

0 1 ]︃

=θ_m+k

Trdimo, da sta upodobitviφinψ ekvivalentni,θ pa ni ekvivalentna nobeni izmed njiju. Najprej dokaºimo, da staφinψ ekvivalentni. Najti moramo ustrezen izomor- zem. Preden se lotimo iskanja izomorzma, preverimo, da se za poljuben m∈ Zⁿ sled in determinanta matrik φm inψm ujemata, saj jetr(φm) = 2 cos(^2πm_n ) = tr(ψm) in det(φm) = 1 = det(ψm).

Sled in determinanta se ujemata, zato je smiselno iskati izomorzem. Naj bosta A =

[︃i −i 1 1

]︃

in

A⁻¹ = 1 2i

[︃ 1 i

−1 i ]︃

. Izra£unajmo

A⁻¹φ_mA= 1 2i

[︃ 1 i

−1 i ]︃ [︃

cos(^2πm_n ) −sin(^2πm_n ) sin(^2πm_n ) cos(^2πm_n )

]︃ [︃

i −i 1 1

]︃

= 1 2i

[︃ e^2πmin ie^2πmin

−e^−2πmin ie^−2πmin ]︃ [︃

i −i 1 1

]︃

= 1 2i

[︃2ie^2πmin 0 0 2ie^−2πmin

]︃

=ψ_m.

PreslikavaAje iskani izomorzem in upodobitviφterψ sta ekvivalentni. Pokaºimo, da upodobitev θ ni ekvivalentna upodobitvi ψ. Pri 1∈ Zn, se sled θ₁ in sled ψ₁ ne ujemata, zato upodobitvi nista ekvivalentni. Uporabimo tranzitivnost ekvivalen£ne relacije za zaklju£ek, da tudi upodobitev φni ekvivalentna upodobitvi θ. ♢ Klasi£en primer upodobitve, ki nas bo vodil do naslednjih smiselnih denicij, je naslednji.

Primer 2.5. Delali bomo z grupo permutacij treh elementov S3. φ:S₃ →GL₃(C)

φ_σ(e_i) =e_σ(i)

φ₍₁₂₃₎ =

⎡

⎣

0 0 1 1 0 0 0 1 0

⎤

⎦

φ₍₁₂₎ =

⎡

⎣

0 1 0 1 0 0 0 0 1

⎤

⎦

Za upodobitev φin vsak σ∈S₃ velja

φ_σ(e₁+e₂+e₃) = e_σ(1)+e_σ(2)+e_σ(3) =e₁+e₂+e₃. ♢ Denicija 2.6 (G-invarianten prostor). Naj bo φ: G→GL(V) upodobitev. Pod- prostor W ≤V je G-invarianten, £e za vsakg ∈G inw∈W velja φ_g(w)∈W.

Spomnimo se upodobitve ψ iz primera 2.4. Prostora Ce₁,Ce₂ staZn-invariantna podprostora v C² =Ce1⊕Ce2.

Denicija 2.7. Naj bosta φ⁽¹⁾ : G → GL(V1) in φ⁽²⁾ : G → GL(V2) upodobitvi.

Direktna vsota upodobitev φ⁽¹⁾ in φ⁽²⁾ je upodobitev φ⁽¹⁾⊕φ⁽²⁾ :G→GL(V₁⊕V₂), denirana s predpisom

(φ⁽¹⁾⊕φ⁽²⁾)_g(v₁, v₂) = (φ⁽¹⁾_g (v₁), φ⁽²⁾_g (v₂)).

Kaj se dogaja z direktno vsoto upodobitev, ko operiramo z matrikami? Direktna vsota upodobitev φ⁽¹⁾ :G→GL_n(C) inφ⁽²⁾ :G→GL_m(C)je upodobitev

φ⁽¹⁾⊕φ⁽²⁾ :G→GL_n+m(C), ki ima blo£no matri£no obliko

(φ⁽¹⁾⊕φ⁽²⁾)_g =

[︃φ⁽¹⁾g 0 0 φ⁽²⁾

]︃

.

Primer 2.8. Deniramo upodobitvi φ⁽¹⁾ :Zn→C^∗ inφ⁽²⁾ :Zn→C^∗ s predpisoma φ⁽¹⁾_m =e^2πmin , φ⁽²⁾_m =e^−2πmin .

Direktna vsota

φ⁽¹⁾⊕φ⁽²⁾ :G→GL2(C) ima blo£no matri£no obliko

(φ⁽¹⁾⊕φ⁽²⁾)_g =

[︃e^2πmin 0 0 e^−2πmin

]︃

. ♢

Do zdaj smo upodobitve denirali na vseh elementih grupe G. Upodobitev je homomorzem, zato je preslikavo dovolj denirati na mnoºici generatorjev grupe G. To seveda ne pomeni, da je poljuben izbor vrednosti ustrezen, da je preslikava upodobitev.

Primer 2.9. Naj bo ρ:S₃ →GL₂(C) denirana le na mnoºici generatorjev ρ ₍₁₂₎ =

[︃−1 −1

0 1

]︃

, ρ₍₁₂₃₎ =

[︃−1 −1

1 0

]︃

.

Permutaciji (12) in (123) sta generatorja grupe S₃. Slike vseh elementov iz S₃ upodobitve ρ so:

ρ₍₁₂₎ =

[︃−1 −1

0 1

]︃

, ρ₍₁₂₃₎ =

[︃−1 −1

1 0

]︃

, ρ_I =

[︃1 0 0 1 ]︃

, ρ₍₂₃₎ =

[︃0 1 1 0 ]︃

, ρ₍₁₃₎=

[︃ 1 0

−1 −1 ]︃

, ρ₍₁₃₂₎=

[︃ 0 1

−1 −1 ]︃

.

Preverimo lahko, da je ρ res upodobitev. ♢

Slike upodobitev so linearne preslikave, ki jih lahko predstavimo matri£no (glede na izbrano bazo). Te matrike bi radi imeli v £im enostavnej²i obliki. Oblika ma- trike je odvisna od izbire baze, zato ho£emo izbrati bazo, ki matriko najbolj poe- nostavi. Pomagamo si z G-invariantnimi podprostori. Najprej izberemo bazo G- invariantnega podprostora in jo nato dopolnimo do baze celotnega prostora. Na primeru si poglejmo, kako nam tak²na izbira baze poenostavi matriko.

Primer 2.10. Naj bo φ:G→GL(V)upodobitev inW G-invarianten podprostor.

Izberemo bazo {w₁, . . . , w_m} prostora W in jo dopolnimo do baze {w₁, . . . , w_m, v_m+1, . . . , v_n}

celotnega prostora. Zapi²imo upodobitev matri£no, glede na izbrano bazo.

φ^′_g =

[︃w(g) x(g) 0 y(g) ]︃

Prostor W se zaradi G-invariantnosti slika sam vase, zato matrika razpade na blok, razpet po W, in na preostanek. ƒe bi bil tudi podprostor napet na vektor- jih {v_m+1, . . . , v_n} G-invarianten, bi lahko izbrali tak²no bazo, da bi dobili blo£no diagonalno matriko.

φ^′′_g =

[︃w^′(g) 0 0 y^′(g)

]︃

Vse tri upodobitve so ekvivalentne, saj je menjava baze avtomorzem prostora

V. ♢

Vidimo, da lahko z menjavo baze matrika upodobitve razpade na diagonalne bloke.

Zanimalo nas bo, ali lahko postopek ponovimo na blokih in po nekaj ponovitvah pridemo do diagonalne matrike.

Denicija 2.11. Upodobitev φ : G → GL(V) je nerazcepna, £e sta edina G- invariantna prostora {0}in V.

Nerazcepnost upodobitve nam pove, da ne obstaja baza, pri kateri bi matrika razpadla na manj²e bloke. Ostane vpra²anje, kako ugotoviti, ali je upodobitev ne- razcepna. Poglejmo si trivialni primer in primer, kjer je to enostavno povedati.

Primer 2.12. Prostor C nima pravih netrivialnih podprostorov, zato je poljubna

upodobitev φ:G→C^∗ nerazcepna. ♢

Primer 2.13. Dokaºimo, da je upodobitev ρ :S₃ →GL₂(C) iz primera 2.9 neraz- cepna.

Predpostavimo, da upodobitev ρ ni nerazcepna. Tedaj obstaja S₃-invarianten podprostor W, ki mora biti enodimenzionalen (ker je dim C² = 2, zato so pravi podprostori enodimenzionalni). Naj bo v ∈W neni£eln vektor. Tedaj jeW =Cv in zaradiS3-invariantnosti prostoraW veljaρσ(v) =λρv za nekiλρ∈C. Sledi, da jev lastni vektor za vse ρ_σ,σ ∈S₃. Trdimo, daρ₍₁₂₎ inρ₍₁₂₃₎ nimata skupnega lastnega vektorja. Lastni vrednosti matrike ρ₍₁₂₎ sta1in−1, pripadajo£a lastna vektorja pa sta e1 in

[︃−1 2

]︃

. Preverimo, da nista lastna vektorja matrikeρ₍₁₂₃₎. Ra£unamo:

ρ₍₁₂₃₎ [︃1

0 ]︃

= [︃−1

1 ]︃

; ρ₍₁₂₃₎

[︃−1 2

]︃

= [︃−1

−1 ]︃

.

Matriki ρ₍₁₂₃₎ in ρ₍₁₂₎ imata dve razli£ni neni£elni lastni vrednosti, zato lahko zaklju£imo, da nimata skupnega lastnega vektorja. Pri²li smo v protislovje in s tem

dokazali, da je upodobitev nerazcepna. ♢

Idejo iz primera bomo zapisali v obliki malo splo²nej²ega izreka.

Izrek 2.14. Naj bo φ: G → GL(V) upodobitev druge stopnje (dimV = 2). Tedaj je φ nerazcepna natanko tedaj, ko ne obstaja vektor izV, ki bi bil lasten vsem φ_g za g ∈G.

Za vse upodobitve druge stopnje se znamo opredeliti, ali so nerazcepne. Vrnimo se k ideji, da ºelimo upodobitve maksimalno poenostaviti. Naj bo φ:G→ GL(V) upodobitev. ƒe je W ≤ V G-invarianten podprostor, lahko deniramo novo upo- dobitev φ|_W : G→ GL(W) s predpisom (φ|_W)_g(w) = φ_g(w) zaw ∈ W. ZaradiG- invariantnosti je φ_g(w)∈W. ƒe staW₁, W₂ ≤V G-invariantna in je V =W₁⊕W₂, lahko preverimo, da je upodobitevφ|_W1⊕φ|_W2 ekvivalentna upodobitviφ. Zapi²imo denicijo, ki pove, kaj si pri upodobitvah ºelimo.

Denicija 2.15. Upodobitev φ:G→GL(V) je popolnoma razcepna, £e je V =V₁⊕V₂⊕ · · · ⊕V_n,

kjer je za vsaki= 1, . . . , nprostorV_i netrivialenG-invarianten podprostor in jeφ|_Vi nerazcepna upodobitev.

ƒe si zgornjo denicijo predstavljamo matri£no, popolna razcepnost pomeni, da lahko izberemo tak²no bazo prostora V, da bo matrika upodobitve blo£no diago- nalna, kjer bodo posamezni bloki najmanj²i moºni.

Denicija 2.16. Upodobitev φ: G→GL(V) je razgradljiva, £e obstajata netrivi- alna G-invariantna podprostora V₁ in V₂, da veljaV =V₁⊕V₂. ƒe upodobitevφni razgradljiva, je nerazgradljiva.

Primer 2.17. Naj bo upodobitev ψ :Zn→GL₂(C)podana s predpisom ψm =

[︃e^2πmin 0 0 e^−2πmin

]︃

.

Prostora Ce₁ in Ce₂ sta Zn-invariantna podprostora in C² = Ce₁ ⊕Ce₂. Sledi, da

je upodobitev ψ razgradljiva. ♢

Vseskozi z menjavo baz prehajamo med ekvivalentnimi upodobitvami. Pokaºimo, da se denirane lastnosti ohranjajo na ekvivalen£nih razredih.

Lema 2.18. Naj bo upodobitev φ:G→GL(V) ekvivalentna razgradljivi upodobitvi ψ :G→GL(W). Potem je tudi φrazgradljiva.

Dokaz. Ker sta upodobitvi φ in ψ ekvivalentni, obstaja izomorzem T : V → W, da velja φg =T⁻¹ψgT za vsak g ∈G. Ker je ψ razgradljiva, obstajata netrivialna G-invariantna podprostora W1 in W2, W =W1⊕W2. Deniramo V1 =T⁻¹(W1)in V₂ =T⁻¹(W₂). Trdimo, da je V =V₁⊕V₂.

Preverimo, da je V₁∩V₂ ={0}. Vzamemov ∈V₁∩V₂. Potem jeT v ∈W₁∩W₂ = {0}. TorejT v = 0 in, ker jeT injektivna, je tudiv = 0.

Dokazati moramo, da lahko poljuben element iz V zapi²emo kot vsoto elementov izV₁ inV₂. Vzamemov ∈V. Vemo, da jeT v=w₁+w₂ za nekaw₁ ∈W₁inw₂ ∈W₂. Iz tega sledi, da je v = T⁻¹w₁+T⁻¹w₂ ∈ V₁+V₂, saj je element T⁻¹w₁ ∈ V₁ po deniciji mnoºice V₁ in analogno T⁻¹w₂ ∈V₂.

Za konec moramo pokazati, da staV₁ inV₂ G-invariantna podprostora. Za v ∈V_i veljaφ_gv =T⁻¹ψ_gT v. Opazimo, da je T v∈W_i po deniciji mnoºiceV_i in, ker jeW_i G-invarianten, slediψ_gT v ∈W_i. Zaklju£imo, da jeφ_gv =T⁻¹ψ_gT v ∈T⁻¹(W_i) = V_i.

To pa je to£no to, kar smo ºeleli dokazati. □

V primeru 2.4 smo pokazali, da sta upodobitvi φ in ψ ekvivalentni, v primeru 2.17 pa, da je upodobitev ψ razgradljiva. Lema nam pove, da je tudiφrazgradljiva.

Lahko bi tudi uporabili idejo iz dokaza leme za izra£un Z_n-invariantnih podprosto- rov, na katera razpade C² pri upodobitvi φ.

Brez dokaza bomo navedli ²e dve lemi, ki povesta, da se nerazcepnost in popolna razcepnost ohranjata na ekvivalen£nih razredih. Dokaza teh lem sta analogna dokazu leme 2.18.

Lema 2.19. Naj bo upodobitev φ:G →GL(V) ekvivalentna nerazcepni upodobitvi ψ :G→GL(W). Potem je tudi φnerazcepna.

Lema 2.20. Naj bo upodobitev φ : G → GL(V) ekvivalentna popolnoma razcepni upodobitvi ψ :G→GL(W). Potem je tudi φ popolnoma razcepna.

Pri ²tudiju razgradljivsoti in popolne razcepnosti si bomo pomagali s primernim skalarnim produktom. Spomnimo se, kaj velja za skalarne produkte vektorskih prostorov nad obsegom kompleksnih ²tevil.

2.1. Skalarni produkt. Skalarni produkt na vektorskem prostoru V je preslikava

⟨·,·⟩:V ×V →C, za katero velja:

(1) ⟨c₁v₁+c₂v₂, w⟩=c₁⟨v₁, w⟩+c₂⟨v₂, w⟩, (2) ⟨v, w⟩=⟨w, v⟩,

(3) ⟨v, v⟩ ≥0,

(4) ⟨v, v⟩= 0 natanko tedaj, ko je v = 0.

Poglejmo, kako si lahko pomagamo s skalarnim produktom, da zapi²emo vektorski prostor kot direktno vsoto njegovih podprostorov. ƒe je W ≤ V, potem njegov ortogonalni komplement deniramo kot

W^⊥={v ∈V| ⟨v, w⟩= 0 za vsak w∈W}.

Izrek 2.21. Naj bo V kon£no dimenzionalen vektorski prostor s skalarnim produk- tom in W ≤V. Potem je V =W ⊕W^⊥.

Dokaz. Naj bo w ∈ W ∩ W^⊥. Sledi ⟨w, w⟩ = 0 in posledi£no w = 0. Torej je W ∩ W^⊥ = {0}. Pokaºimo sedaj, da lahko poljuben element iz V zapi²emo kot vsoto elementov iz W in W^⊥. Naj bo k = dim(W) in {u₁, . . . , u_k} ortonormirana baza prostora W. Preslikava proj_W : V → W je pravokotna projekcija na W s predpisom

proj_W(v) =

k

∑︂

i=1

⟨v, u_i⟩u_i. Za v ∈V je proj_W(v)∈W,v−proj_W(v)∈W^⊥ in

v = proj_W(v) + (v −proj_W(v)).

S tem je dokaz zaklju£en. □

Na kratko smo ponovili skalarni produkt in zapisali izrek, ki ga bomo kasneje upo- rabili. Nadaljujmo z upodobitvami na vektorskih prostorih s skalarnim produktom.

2.2. Maschkejev izrek in popolna razcepnost.

Denicija 2.22. Naj bo V vektorski prostor s skalarnim produktom. Upodobitev φ:G→GL(V) je unitarna, £e je φg unitarna za vsak g ∈G.

Bijektivna linearna preslikava φ_g je unitarna, £e je

⟨φg(v), φg(w)⟩=⟨v, w⟩

za vse v, w∈V. Povedano druga£e, φ:G→U(V). ƒe ena£imo GL(C) sC^∗, lahko izra£unamo, katera ²tevila iz C^∗ so unitarna. Ra£unamo po deniciji unitarnosti s standardnim skalarnim produktom,

⟨cv, cw⟩=⟨v, w⟩

cvcw=vw ccvw=vw cc= 1.

Sledi, da so vsa unitarna ²tevila iz C^∗ natanko ²tevila z enotske kroºnice S¹. Torej enodimenzionalne unitarne upodobitve so homomorzmi φ: G → S¹. Poglejmo si primer tak²ne upodobitve.

Primer 2.23. Naj bo preslikava φ:R→C^∗ podana s predpisom φ(t) =e^2πit.

Preslikava φje upodobitev, saj velja

φ(s+t) = e^2πi(s+t)=e^2πise^2πit=φ(s)φ(t).

Trdimo, da je φ unitarna upodobitev. Ra£unamo:

⟨φ_g(v), φ_g(w)⟩=e^2πigve^−2πigw

=vw

=⟨v, w⟩.

S tem smo pokazali, da je φunitarna upodobitev grupe R. ♢ Trditev 2.24. Naj bo φ : G → GL(V) unitarna upodobitev grupe G. Potem je φ ali nerazcepna ali razgradljiva.

Dokaz. Predpostavimo, da φni nerazcpena. Dokazali bomo, da je v tem primeru φ razgradljiva. Kerφni nerazcepna, obstaja pravi neni£elni G-invariantni podprostor W. Tudi njegov ortogonalni komplement W^⊥ je tedaj neni£eln in V = W ⊕W^⊥. Dokazati moramo, da je W^⊥ G-invarianten. Vzamemo poljubna elementa v ∈W^⊥ in w∈W. Ra£unamo:

⟨φ_g(v), w⟩⁽¹⁾= ⟨φ_g⁻¹φ_g(v), φ_g⁻¹(w)⟩

(2)= ⟨v, φ_g⁻¹(w)⟩

(3)= 0

Pri (1) uporabimo φ_g⁻¹, ki je unitarna in ohranja skalarni produkt. Pri (2) upo²te- vamo φ_g⁻¹φ_g(v) = v.Pri(3) zaradiG-invariantnosti prostoraW veljaφ_g⁻¹(w)∈W in, ker je v ∈W^⊥, je zgornji skalarni produkt enak 0.

S tem smo dokazali, da je φ_g(v) pravokoten na poljubenw∈W za vsakv ∈W^⊥, torej mora biti φg(v)∈W^⊥ in s tem je dokaz zaklju£en. □

Do sedaj noben izrek, denicija ali lema ni predpostavljal kon£nosti grupe G. Pri²li smo do prvega izreka, kjer bo kon£nost grupe G pomembna.

Trditev 2.25. Vsaka upodobitev kon£ne grupe G je ekvivalentna neki unitarni upo- dobitvi.

Dokaz. Naj bo φ:G→GL(V) upodobitev grupe G, kjer jen = dim(V). Izberemo bazo B = {b1, . . . , bn} prostora V. Naj bo T : V → Cⁿ izomorzem, podan s predpisom T(bi) = ei, kjer je ei i-ti standardni enotski vektor. Deniramo novo ekvivalentno upodobitev ψ s predpisom ψ_g = T φ_gT⁻¹. Imamo novo upodobitev ψ :G→GL_n(C), ekvivaletno na²i za£etni upodobitviφ. Naj bo⟨·,·⟩:Cⁿ×Cⁿ→C standardni skalarni produkt na prostoruCⁿ. Deniramo preslikavo(·,·) :Cⁿ×Cⁿ→ C s predpisom

(v, w) = ∑︂

g∈G

⟨ψ_gv, ψ_gw⟩.

Kon£nost mnoºice Gnam zagotavlja, da je zgornja vsota dobro denirana. Najprej bomo preverili, da je preslikava (·,·) skalarni produkt. Za£nimo z linearnostjo.

(c₁v₁+c₂v₂, w) =∑︂

g∈G

⟨ψ_g(c₁v₁+c₂v₂), ψ_gw⟩

=∑︂

g∈G

⟨c₁ψ_gv₁+c₂ψ_gv₂, ψ_gw⟩

=∑︂

g∈G

(c₁⟨ψ_gv₁, ψ_gw⟩+c₂⟨ψ_gv₂, ψ_gw⟩)

=c₁∑︂

g∈G

⟨ψ_gv₁, ψ_gw⟩+c₂∑︂

g∈G

⟨ψ_gv₂, ψ_gw⟩

=c₁(v₁, w) +c₂(v₂, w)

Linearnost je dokazana, zdaj se lotimo ²e preostalih lastnosti:

(v, w) =∑︂

g∈G

⟨ψgv, ψgw⟩

=∑︂

g∈G

⟨ψ_gw, ψ_gv⟩

= (w, v), (v, v) =∑︂

g∈G

⟨ψ_gv, ψ_gv⟩ ≥0.

Ker je vsak £len ⟨ψ_gv, ψ_gv⟩ nenegativen, je tudi celotna vsota nenegativna. ƒe je (v, v) = 0, potem je ⟨ψ_gv, ψ_gv⟩ = 0 za vsak g ∈ G. To velja tudi za enoto 1 ∈ G, torej velja 0 =⟨ψ₁v, ψ₁v⟩=⟨v, v⟩ in iz tega sledi, da je v = 0. S tem smo pokazali, da je preslikava (·,·) res skalarni produkt.

Pokazati moramo ²e, da je na²a upodobitev unitarna glede na novo denirani skalarni produkt:

(ψ_hv, ψ_hw) =∑︂

g∈G

⟨ψ_gψ_hv, ψ_gψ_hw⟩

=∑︂

g∈G

⟨ψ_ghv, ψ_ghw⟩

=∑︂

x∈G

⟨ψ_xv, ψ_xw⟩

= (v, w).

Pri tretjem ena£aju smo vpeljali novo spremenljivko x = gh. Enakost vsot sledi iz dejstva, da ko g prete£e celo grupo G, jo prete£e tudi x, kajti za k ∈ G je x = k natanko tedaj, ko je g =kh⁻¹. S tem je izrek dokazan. Baza {e₁, . . . , e_n} ni nujno ortonormirana glede na (·,·). Matrike ψg bodo unitarne glede na kako drugo bazo {f1, . . . , fn}, ki je ortonormirana glede na (·,·). □ Zapi²imo trditev, ki zdruºuje veliko prej²njih rezultatov in nas pripravi na Ma- schkejev izrek.

Trditev 2.26. Naj bo φ :G → GL(V) upodobitev kon£ne grupe G. Tedaj je φ ali nerazcepna ali razgradljiva.

Dokaz. Zaradi trditve 2.25 vemo, da je φ ekvivalentna unitarni upodobitvi ψ. Tr- ditev 2.24 pove, da je ψ ali nerazcepna ali razgradljiva. Uporabimo ²e lemi 2.18 in 2.19, ki zagotovita, da je upodobitev φ ali nerazcepna ali razgradljiva. □ Ali trditev drºi tudi brez predpostavke o kon£nosti grupe G? Izkaºe se, da je odgovor nikalen.

Primer 2.27. Deniramo preslikavo φ:Z→GL₂(C) s predpisom φ(n) =

[︃1 n 0 1 ]︃

. Preverimo, da je preslikava φ upodobitev,

φ(n)φ(m) = [︃1 n

0 1 ]︃ [︃

1 m 0 1 ]︃

=

[︃1 n+m

0 1

]︃

=φ(n+m).

Pokazali bomo, da je φ nerazgradljiva upodobitev, ki ni nerazcepna. Za£nimo z nerazcepnostjo. Vektor e₁ je lastni vsem matrikam φ(n), zato je Ce₁ Z-invarianten podprostor in posledi£no φni nerazcepna.

ƒe bi φ bila razgradljiva, bi bila ekvivalentna direktni vsoti enodimenzionalnih upodobitev. Tak²na upodobitev je diagonalna. Izra£unamo lahko, da φ(1) ni dia- gonalizabilna. Sledi, da upodobitev φni razgradljiva. ♢ Pri²li smo do glavnega izreka tega poglavja. Je nekak²en analog faktorizaciji celih

²tevil na pra²tevila.

Izrek 2.28 (Maschke). Vsaka upodobitev kon£ne grupe je popolnoma razcepna.

Dokaz. Naj bo φ : G → GL(V) upodobitev kon£ne grupe G. Dokazovali bomo z indukcijo na stopnjo upodobitve φ, to je n = dimV. ƒe je dimV = 1, je φ ne- razcepna, saj V nima pravih netrivialnih podprostorov. Predpostavimo, da trditev drºi za vse upodobitve, kjer je dimV ≤ n. Naj bo φ : G → GL(V) upodobitev stopnje n + 1. Dokazujemo, da je popolnoma razcepna. Izrek 2.26 nam zagotovi, da je upodobitev φ ali nerazcepna ali razgradljiva. ƒe je φ nerazcepna, je dokaz zaklju£en.V nasprotnem primeru je razgradljiva. Obstajata neni£elnaG-invariantna podprostoraV1,V2, da je V =V1⊕V2. Ker je dimV1,dimV2 ≤dimV, lahko upora- bimo indukcijsko predpostavko na upodobitvah φ|V1 in φ|V2, ki sta zato popolnoma razcepni. Torej velja V₁ = U₁ ⊕ · · · ⊕U_s in V₂ = W₁ ⊕ · · · ⊕W_r, kjer so U_i, W_j G-invariantni podprostori in φ|_Ui in φ|_Wj nerazcepne upodobitve za vse 1 ≤ i≤ s, 1 ≤ j ≤ r. Sledi V = U₁ ⊕ · · · ⊕ U_s ⊕W₁ ⊕ · · · ⊕ W_r in je zato φ popolnoma

razcepna. □

Poglejmo si, kaj to pomeni za upodobitve, ki slikajo v GL_n(C). ƒe je φ : G → GL_n(C) upodobitev kon£ne grupe, nam Maschkejev izrek pove, da je

φ∼

⎡

⎢

⎢

⎢

⎣

φ⁽¹⁾ 0 · · · 0 0 φ⁽²⁾ ... ...

... ... ... 0 0 · · · 0 φ^(m)

⎤

⎥

⎥

⎥

⎦ ,

kjer so φ⁽ⁱ⁾ nerazcepne upodobitve.

Na poljubno upodobitev kon£ne grupe lahko gledamo kot na direktno vsoto ne- razcepnih upodobitev. So nerazcepne upodobitve enoli£no dolo£ene? Na to bomo odgovorili v prihodnjih poglavjih.

3. Homomorfizmi upodobitev

Denicija 3.1 (Homomorzem upodobitev). Naj bosta φ:G→ GL(V), ψ :G→ GL(W) upodobitvi. Homomorzem iz φ v ψ deniramo kot linearno preslikavo T :V →W, da veljaT φ_g =ψ_gT za vsakg ∈G.

Mnoºico homomorzmov iz φv ψ ozna£imo s Hom_G(φ, ψ). Mnoºica Hom_G(φ, ψ) je podmnoºica mnoºice Hom(V, W), saj je vsak element iz Hom_G(φ, ψ) linearna preslikava iz V v W. ƒe je T ∈ Hom_G(φ, ψ) obrnljiva preslikava, je φ ∼ ψ z izomorzmom T.

Vzeli bomo homomorzem upodobitev in pokazali, da sta njegova slika in jedro G-invariantna podprostora.

Trditev 3.2. Naj bo T :V →W element mnoºice HomG(φ, ψ). Tedaj sta prostora kerT ≤V in T(V) = imT ≤W G-invariantna podprostora.

Dokaz. Najprej pokaºimo, da je kerT G-invarianten. Vzemimov ∈kerT in g ∈G. Dokazati ºelimo, da jeφ_gv ∈kerT, oziromaT φ_gv = 0. Velja T φ_gv =ψ_gT v = 0, saj je v ∈kerT. Sledi, da je φ_gv ∈kerT in zato je kerT G-invarianten podprostor V.

Pokaºimo, da je imT G-invarianten. Vzemimo w ∈ imT. Obstaja v ∈ V, da je w = T v. Potem je ψ_gw = ψ_gT v = T φ_gv ∈ imT. S tem smo dokazali tudi

G-invariantnost slike imT. □

Mnoºica homomorzmov iz φ v ψ ima dodatno strukturo je vektorski prostor.

Trditev 3.3. Naj bosta φ : G → GL(V), ψ : G → GL(W) upodobitvi. Potem je Hom_G(φ, ψ) vektorski podprostor prostora Hom(V, W).

Dokaz. Vzemimo homomorzma T₁, T₂ ∈ Hom_G(φ, ψ) in kompleksni ²tevili c₁, c₂ ∈ C. Dokaºimo, da je c₁T₁+c₂T₂ ∈Hom_G(φ, ψ). Velja

(c₁T₁ +c₂T₂)φ_g =c₁T₁φ_g+c₂T₂φ_g

=c₁ψ_gT₁+c₂ψ_gT₂

=ψ_g(c₁T₁+c₂T₂),

in s tem smo dokazali, da jeHom_G(φ, ψ)vektorski podprostor prostoraHom(V, W).

□ Poljubna upodobitev kon£ne grupe je ekvivalentna direktni vsoti nerazcepnih upo- dobitev, zato se bomo posvetili nerazcepnim upodobitvam. Za£eli bomo z lemo, pri kateri prvi£ izkoristimo dejstvo, da delamo z vektorskimi prostori nad obsegom kom- pleksnih ²tevil. Matrike linearnih preslikav med kon£no dimenzionalnimi komple- ksnimi vektorskimi prostori imajo vedno lastno vrednost. To je posledica osnovnega izreka algebre, ki pravi, da ima vsak nekonstanten polinom s kompleksnimi koeci- enti vsaj eno kompleksno ni£lo.

Lema 3.4 (Schurova lema). Naj bostaφ:G→GL(V), ψ :G→GL(W)nerazcepni upodobitvi in T ∈Hom_G(φ, ψ) homomorzem. Potem je ali T obrnljiva ali T = 0. Velja tudi:

(1) £e je φ̸∼ψ, potem jeHom_G(φ, ψ) = 0; (2) £e je φ=ψ, potem je T =λI za neki λ ∈C.

Dokaz. Naj bosta φ : G → GL(V), ψ : G → GL(W) nerazcepni upodobitvi in T : V → W ∈ Hom_G(V, W) homomorzem. ƒe je T = 0, smo zaklju£ili, zato predpostavimo, da velja T ̸= 0. Obrnljivost bomo dokazali tako, da pokaºemo, da jeT bijektivna. Izrek 3.2 nam pove, da jekerT G−invarianten podprostor in zaradi nerazcepnosti upodobitve φ je kerT = V ali kerT = 0. Ker je T ̸= 0, sledi, da je kerT = 0 in posledi£no je T injektivna. Izrek 3.2 nam pove tudi, da je imT G-invarianten podprostor in je zaradi nerazcepnosti upodobitveψ enak0aliW. ƒe bi bil enak0, bi pomenilo, da jeT = 0, kar smo predpostavili da ni, zato je enakW. S tem smo pokazali, da je T surjektivna. Surjektivnost in injektivnost nam dasta bijektivnost in s tem je prvi del dokaza zaklju£en.

(1) Dokazujemo s protislovjem. Predpostavimo, da je Hom_G(φ, ψ)̸= 0. Izberemo neni£eln homomorzem T ∈Hom_G(φ, ψ). Glavni del leme nam pove, da mora biti T obrnljiva. Iz tega sledi, da sta ψ in φekvivalentni upodobitvi.

(2) Predpostavimo, da je φ = ψ. Izberemo T ∈ Hom_G(φ, ψ). Naj bo λ lastna vrednost T. Ta vedno obstaja, saj je V vektorski prostor nad obsegom kompleksih

²tevil. T −λI ni obrnljiva, po deniciji lastne vrednosti. Ker je I ∈ Hom_G(φ, φ), po izreku 3.3 velja T −λI ∈HomG(φ, φ). Vsi neni£elni elementi iz HomG(φ, φ) so obrnljivi po glavnem delu leme. Sledi, da je T −λI = 0 oziroma T =λI. □ Vse imamo pripravljeno, da lahko opi²emo nerazcepne upodobitve abelovih grup.

Izrek 3.5. Naj bo G abelova grupa. Tedaj za poljubno nerazcepno upodobitev grupe G velja, da je prve stopnje.

Dokaz. Naj bo φ:G→GL(V) nerazcepna upodobitev. Vzamemo poljuben h∈G. Naj bo T =φ_h in za poljuben g ∈Gra£unamo

T φ_g =φ_hφ_g =φ_hg =φ_gh=φ_gφ_h =φ_gT.

Torej je T ∈ Hom_G(φ, φ) in Schurova lema nam pove, da je T =φ_h =λ_hI za neki λ_h ∈C. Naj bosta v ∈V, v ̸= 0 ink ∈C. Potem je

φ_h(kv) =λ_hIkv =λ_hkv ∈Cv.

Sledi, da je Cv G-invarianten podprostor, saj jehpoljuben. Upodobitevφje neraz- cepna, zato je Cv =V indimV = 1. Torej je res φupodobitev prve stopnje. □ Pri²el je £as, da z orodji teorije upodobitev dokaºemo nekaj rezultatov iz linearne algebre.

Izrek 3.6. Naj bo G kon£na abelova grupa in φ:G→GL_n(C) upodobitev. Obstaja obrnljiva matrika T, da je T⁻¹φgT diagonalna matrika za vsak g ∈G.

Dokaz. Naj bo φ : G → GL_n(C) upodobitev.Upodobitev φ popolonoma razcepna, zato je

φ∼φ⁽¹⁾⊕ · · · ⊕φ^(m),

kjer so φ⁽¹⁾, . . . , φ^(m) nerazcepne upodobitve. Ker je G abelova, so stopnje vseh upodobitev φ⁽ⁱ⁾ enake 1. Posledi£no velja n = m in φ⁽ⁱ⁾g ∈ C^∗ za vsak g ∈ G.

ƒe je T : Cⁿ → Cⁿ izomorzem, ki nam da ekvivalenco med φ in direktno vsoto upodobitev φ⁽¹⁾, . . . , φ⁽ⁿ⁾, potem je

T⁻¹φgT =

⎡

⎢

⎢

⎢

⎣

φ⁽¹⁾ 0 · · · 0 0 φ⁽²⁾ ... ...

... ... ... 0 0 · · · 0 φ⁽ⁿ⁾

⎤

⎥

⎥

⎥

⎦

diagonalna za vsak g ∈G. □

Kot posledico dobimo diagonalizabilnost matrik kon£nega reda. Problem znamo re²iti s klasi£nimi metodami linearne algebre, zdaj pa poglejmo, kako bomo problem prevedli, da si bomo pomagali s sredstvi teorije upodobitev.

Posledica 3.7. Naj bo A∈ GL_m(C) matrika kon£nega reda. Potem je A diagona- lizabilna. ƒe je Aⁿ =I, potem so lastne vrednosti A nekatere izmed re²itev ena£be zⁿ = 1.

Dokaz. Naj bo Aⁿ = I. Deniramo preslikavo φ : Zn → GL_m(C) s predpisom φ(k) = A^k. Preslikava φ je dobro denirana, saj je Aⁿ = I. Preverimo, da je upodobitev:

φ(l+k) =A^l+k =A^lA^k=φ(l)φ(k).

Izrek 3.6 nam pove, da obstaja T ∈GL_m(C), da je T⁻¹AT diagonalna. Torej je

T⁻¹AT =

⎡

⎢

⎢

⎢

⎣

λ1 0 · · · 0 0 λ2 ... ...

... ... ... 0 0 · · · 0 λ_m

⎤

⎥

⎥

⎥

⎦

=:D.

Velja

Dⁿ= (T⁻¹AT)ⁿ=T⁻¹AⁿT =T⁻¹IT =I.

Sledi, da je

⎡

⎢

⎢

⎢

⎣

λⁿ₁ 0 · · · 0 0 λⁿ₂ ... ...

... ... ... 0 0 · · · 0 λⁿ_m

⎤

⎥

⎥

⎥

⎦

=Dⁿ=I

in λⁿ_i = 1 za vsaki. S tem je dokaz zaklju£en. □ 4. Ortogonalnostne relacije

Od zdaj naprej bomo predpostavili, da je grupa G kon£na. Naj bo φ : G → GL_n(C)upodobitev. Elementφ_gsi lahko predstavljamo kot matriko funkcij (φ_ij(g)), kjer je φ_ij(g)∈C. Torej upodobitev predstavlja n² funkcijφ_ij :G→C. Kaj lahko povemo o teh funkcijah na splo²no? Kaj pa, ko je upodobitev φnerazcepna in uni- tarna? Ko jeφnerazcepna in unitarna, se izkaºe, da te funkcije tvorijo ortogonalno bazo prostora C^G.

Denicija 4.1. Naj bo G grupa in deniramo prostor L(G) = C^G={f|f :G→C}.

L(G) je vektorski prostor s se²tevanjem in skalarnim mnoºenjem, deniranima kot (f₁+f₂)(g) =f₁(g) +f₂(g),

(cf)(g) =c·f(g), in skalarnim produktom, deniranim kot

⟨f1, f2⟩= 1

|G|

∑︂

g∈G

f1(g)f2(g).

Kak²na je dimenzija prostora L(G)? Za poljuben elementg ∈Glahko deniramo preslikavo f_g :G→C s predpisom

fg(u) =

{︄√︁|G| £e je g =u 0 sicer.

Trdimo, da je mnoºica B = {f_u| u∈ G} ortonormirana baza prostora L(G). ƒe je f ∈L(G), ga lahko enoli£no zapi²emo kot

f = 1

√︁|G|

∑︂

g∈G

f(g)fg. Preverimo, da je B ortonormirana baza. Ra£unamo

⟨fv, fu⟩= 1

|G|

∑︂

g∈G

fv(g)fu(g) =

{︄1 £e jev =u 0 sicer.

Torej je dimL(G) =|G|.

Glavni cilj tega poglavja bo dokaz Schurovega izreka.

Izrek 4.2 (Schurove ortogonalne relacije). Naj bosta φ : G → U_n(C) in ψ : G → U_m(C)neekvivalentni, nerazcepni, unitarni upodobitvi. Tedaj za vsei, j ∈ {1, . . . , n}

in k, l∈ {1, . . . , m} velja:

(1) ⟨ψkl, φij⟩= 0

(2) ⟨φkl, φij⟩=

{︄1/n £e je i=k in j =l 0 sicer.

Za dokaz izreka potrebujemo nekaj priprave.

Lema 4.3. Naj bosta φ:G →GL(V), ψ : G→ GL(W) upodobitvi in T : V →W linearna preslikava. Deniramo

T^# = 1

|G|

∑︂

g∈G

ψ_g⁻¹T φ_g. Potem velja:

(1) T^#∈Hom_G(φ, ψ).

(2) ƒe je T ∈Hom_G(φ, ψ), potem je T^#=T.

(3) Preslikava P : Hom(V, W) → HomG(φ, ψ), denirana s predpisom P(A) = A^#, je surjektivna in linearna.

Dokaz. (1) Dokazati ºelimo, da je T^#∈Hom_G(φ, ψ). Ra£unali bomo po deniciji:

T^#φ_h = 1

|G|

∑︂

g∈G

ψ_g⁻¹T φ_gφ_h

= 1

|G|

∑︂

g∈G

ψ_g⁻¹T φgh

= 1

|G|

∑︂

x∈G

ψ_hx⁻¹T φ_x

= 1

|G|

∑︂

x∈G

ψ_hψ_x⁻¹T φ_x

=ψ_h 1

|G|

∑︂

x∈G

ψ_x⁻¹T φ_x

=ψ_hT^#.

Spet smo upo²tevali, da ko g prete£e celotno grupo G, jo prete£e tudi x = gh. S tem smo dokazali, da je T^# ∈Hom_G(φ, ψ).

(2) Vzamemo T ∈Hom_G(φ, ψ). Potem je T^#= 1

|G|

∑︂

g∈G

ψ_g⁻¹T φ_g

= 1

|G|

∑︂

g∈G

ψ_g⁻¹ψgT

= 1

|G|

∑︂

g∈G

T

= 1

|G||G|T

=T.

S tem smo dokazali drugo to£ko.

(3) Najprej dokaºimo, da je preslikava P linearna. Ra£unamo P(c₁T₁+c₂T₂) = (c₁T₁+c₂T₂)^#

= 1

|G|

∑︂

g∈G

ψ_g⁻¹(c1T1+c2T2)φg

=c₁ 1

|G|

∑︂

g∈G

ψ_g⁻¹T₁φ_g +c₂ 1

|G|

∑︂

g∈G

ψ_g⁻¹T₂φ_g

=c₁T₁^#+c₂T₂^#

=c₁P(T₁) +c₂P(T₂).

Dokaºimo zdaj surjektivnost. Vzemimo T ∈ Hom_G(φ, ψ). To£ka (2) nam pove, da je T =T^# =P(T). S tem smo dokazali tudi tretjo to£ko. □

Poglejmo si reformulacijo Schurove leme.

Lema 4.4. Naj bosta φ : G → GL(V), ψ : G → GL(W) nerazcepni upodobitvi in T :V →W linearna preslikava. Potem velja:

(1) ƒe je φ̸∼ψ, potem je T^#= 0. (2) ƒe je φ=ψ, potem je T^# = ^tr(T_degφ⁾I.

Dokaz. (1) Predpostavimo, da φ̸∼ψ. Po Schurovi lemi je Hom_G(φ, ψ) = 0. Posle- di£no je tudi T^#= 0.

(2) Predpostavimo, da je φ=ψ. Schurova lema nam pove, da jeT^#=λI za neki λ∈C. Poskusili bomo izraziti λna druga£en na£in. PreslikavaT^# je endomorzem prostora V in velja tr(T^#) = tr(λI) = λdim(V) = λdegφ. Sledi T^# = ^tr(T_deg^#_φ⁾I. Dokazali bomo, da je tr(T^#) = tr(T):

tr(T^#) = tr (︄ 1

|G|

∑︂

g∈G

φ_g⁻¹T φ_g )︄

= 1

|G|

∑︂

g∈G

tr(φ_g⁻¹T φ_g)

= 1

|G|

∑︂

g∈G

tr(T)

= tr(T). □

ƒe sta φ:G→GL_n(C)in ψ :G→GL_m(C)upodobitvi, potem je Hom(V, W) = M_mn(C) in Hom_G(φ, ψ) je podprostor M_mn(C). Potem je P : M_mn(C) → M_mn(C) linearna preslikava in naravno bi bilo izra£unati matrikoP glede na standardno bazo prostora M_mn(C). Spomnimo se, da standardno bazo prostora M_mn(C) sestavljajo matrikeE₁₁, E₁₂, . . . , E_mn, kjer je E_ij m×n matrika z enico na mestuij in ni£lami povsod drugod.

Lema 4.5. Naj bodo A = (a_ij) ∈ M_rm(C), B = (b_ij) ∈ M_ns(C) in E_ki ∈M_mn(C). Potem je (AE_kiB)_lj =a_lkb_ij.

Dokaz. Sledi direktno iz denicije mnoºenja matrik (AE_kiB)_lj =∑︂

x,y

a_lx(E_ki)_xyb_yj.

Vsi £leni so enaki ni£, razen tistega kjer je x=k in y=i. □ Lema 4.6. Naj bosta φ : G → U_n(C) in ψ : G → U_m(C) unitarni upodobitvi in A=E_ki ∈M_mn(C). Potem je A^#_lj =⟨ψ_kl, φ_ij⟩.

Dokaz. Ker je ψ unitarna upodobitev, velja ψ_g⁻¹ =ψ_g⁻¹ =ψ_g^∗. Torej je ψ_lk(g⁻¹) = ψ_kl(g). Ra£unamo

A^#_lj = 1

|G|

∑︂

g∈G

(ψ_g⁻¹E_kiφ_g)_lj

= 1

|G|

∑︂

g∈G

ψlk(g⁻¹)φij(g)

= 1

|G|

∑︂

g∈G

ψ_kl(g)φ_ij(g)

=⟨ψkl, φij⟩. □

Pripravljeni smo na dokaz Schurovega izreka.

Dokaz izreka 4.2. (1) Naj bo A = Eki ∈ Mmn(C). Po lemi 4.4 je A^# = 0 in lema 4.6 pove, da je A^#_lj =⟨ψ_kl, φ_ij⟩. S tem je prva to£ka dokazana.

(2) Naj bo A=E_ki ∈M_mn(C). Lemi 4.4 in 4.6 pri pogoju, da je φ=ψ, povesta, da je

A^#= tr(E_ki) n I

in A^#_lj =⟨φ_kl, φ_ij⟩. ƒe je k ̸=i, je A^#= 0 in posledi£no ⟨φ_kl, φ_ij⟩= 0. Ko je k=i, velja A^#= _n¹I. Tedaj je ⟨φ_il, φ_ij⟩= _n¹, ko jel =j, in 0sicer. S tem je druga to£ka

dokazana. □

Poljubni ekvivalen£ni razred nerazcepnih upodobitev kon£ne grupeGvsebuje neko unitarno upodobitev φ : G → U_n(C). Prostor L(G) je |G|-dimenzionalen, zato je

²tevilo linearno neodvisnih funkcij iz L(G) najve£ |G|. Schurov izrek nam pove, da so poljubne funkcije, ki sestavljajo nerazcepno unitarno upodobitev, med seboj linearno neodvisne. Torej je ²tevilo ekvivalen£nih razredov navzgor omejeno z |G|.

5. Karakterji upodobitev

Naj bo φ : G → GL(V) upodobitev kon£ne grupe G. Karakter upodobitve φ je preslikava χ:G→C s predpisom

χ_φ(g) = tr(φ(g)).

Karakterju nerazcepne upodobitve re£emo nerazcepen karakter.

Primer 5.1. Naj bo φ:Zⁿ→GL2(C) upodobitev s predpisom φ_m =

[︃cos(^2πm_n ) −sin(^2πm_n ) sin(^2πm_n ) cos(^2πm_n )

]︃

. Tedaj je njen karakter χ_φ :Zn→C dan s predpisom

χ_φ(m) = 2 cos

(︃2πm n

)︃

. ♢

Trditev 5.2. Naj bo χ karakter upodobitve φ stopnje n. Potem je:

(1) χ(1) =n,

(2) χ(s⁻¹) =χ(s) za s∈G, (3) χ(tst⁻¹) =χ(s) za s, t∈G. Dokaz. (1) χ(1) = tr(φ(1)) =tr(I) = n.

(2) Naj bo s∈ G. Ker je grupaG kon£na, ima s kon£en red m. Poljubna lastna vrednostφ_sje iz mnoºiceS¹. Naj boλlastna vrednost inv njen lastni vektor. Velja

φ_s^m(v) =φ^m_s (v) =λ^mv in

φ_s^m(v) =φ₁(v) =Iv =v.

Karakter je enak

χ(s) = tr(φ_s) =

n

∑︂

i=1

λ_i =

n

∑︂

i=1

λ⁻¹_i =tr(φ⁻¹_s ) = tr(φ_s⁻¹) = χ(s⁻¹),

kjer jeλ_i i-ta lastna vrednost linearne preslikaveφ_s. S tem je druga to£ka dokazana.

(3) Ra£unamo po deniciji in upo²tevamo, da je tr(AB) = tr(BA): χ(tst⁻¹) = tr(φ_tst⁻¹) = tr(φ_tφ_sφ_t⁻¹) = tr(φ_s) =χ(s).

S tem je dokazana tudi tretja to£ka. □

Razmislimo lahko, da imata ekvivalentni upodobitvi φ in ψ z izomorzmom T, enak karakter. Velja namre£ φ_g = T ψ_gT⁻¹ za vsak g ∈ G. Ra£unamo po deniciji in upo²tevamo enakost tr(AB) = tr(BA):

χ_φ(g) = tr(φ_g) = tr(T ψ_gT⁻¹) = tr(T⁻¹T ψ_g) = tr(ψ_g) = χ_ψ(g).

Izrek 5.3. Naj bosta φ in ψ nerazcepni upodobitvi grupe G. Potem je:

⟨χ_φ, χ_ψ⟩=

{︄1 φ∼ψ 0 φ̸∼ψ.

Dokaz. Trditev 2.25 in razmislek, da imata ekvivalentni upodobitvi isti karakter, nam zagotavlja, da lahko brez ²kode za splo²nost privzamemo, da sta ψ : G → Um(C) inφ:G→Un(C) unitarni upodobitvi. Izra£unamo skalarni produkt njunih karakterjev

⟨χ_φ, χ_ψ⟩= 1

|G|

∑︂

g∈G

χ_φ(g)χ_ψ(g)

= 1

|G|

∑︂

g∈G n

∑︂

i=1

φ_ii(g)

m

∑︂

j=1

ψ_jj(g)

=

n

∑︂

i=1 m

∑︂

j=1

1

|G|

∑︂

g∈G

φ_ii(g)ψ_jj(g)

=

n

∑︂

i=1 m

∑︂

j=1

⟨φ_ii, ψ_jj⟩.

ƒe ψ inφnista ekvivalentni, nam izrek 4.2 pove, da je⟨φ_ii(g), ψ_jj(g)⟩= 0 in posle- di£no je ⟨χφ, χψ⟩ = 0. ƒe sta upodobitvi ψ in φ ekvivalentni, imata isti karakter,