UNIVERZA V LJUBLJANI FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Matematika – 1. stopnja Gašper Mrzelj Euler–Rodriguesova ogrodja prostorskih krivulj s pitagorejskim hodografom Delo diplomskega seminarja Mentorica: prof. dr. Marjetka Knez Ljubljana, 2021

UNIVERZA V LJUBLJANI

FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Matematika – 1. stopnja

Gašper Mrzelj

Euler–Rodriguesova ogrodja prostorskih krivulj s pitagorejskim hodografom

Delo diplomskega seminarja

Mentorica: prof. dr. Marjetka Knez

Ljubljana, 2021

Kazalo

1. Uvod 4

2. Prostorske krivulje 4

2.1. Geometrijske lastnosti prostorske krivulje 7

2.2. Prostorske krivulje s pitagorejskim hodografom (PH krivulje) 13

3. Kvaternioni 16

3.1. Prostorske rotacije s kvaternioni 17

3.2. Predstavitev prostorskih PH krivulj s kvaternioni 20

4. Rotacijsko minimizirajoče ogrodje 22

5. Euler-Rodriguesovo ogrodje na PH krivuljah 25

Slovar strokovnih izrazov 36

Literatura 36

Euler–Rodriguesova ogrodja prostorskih krivulj s pitagorejskim hodografom

Povzetek

V diplomskem delu se bomo posvetili metodam, ki so uporabne v računalniško pod- prtem geometrijskem oblikovanju. Natančneje si bomo pogledali gibanje togega telesa v evklidskem tridimenzionalnem prostoru, ki ga v splošnem določimo z opi- som lokacije centra togega telesa in orientacije v odvisnosti od časa. Pri opisu bomo spoznali prostorske krivulje s pitagorejskim hodografom, ki imajo v računalniško podprtem geometrijskem oblikovanju pomembno vlogo, saj njihova polinomska for- mulacija omogoča racionalen zapis enotskega tangentnega vektorja, ortonormiranega ogrodja, dolžine krivulje itd. Racionalne oblike so pomembne, ker omogočajo učin- kovite in natančne izračune. Tako bomo spoznali racionalno Euler-Rodriguesovo ogrodje, ki je naravno definirano na kvaternionski reprezentaciji prostorskih krivulj s pitagorejskim hodografom. Videli bomo, da to ogrodje v splošnem izvaja nepo- trebne rotacije, ki v računalniškem modeliranju povzročajo popačenje slik. Ogrodja, ki takih rotacij ne izvajajo, imenujemo rotacijsko minimizirajoča ogrodja. Čeprav v splošnem Euler-Rodriguesovo ogrodje ni rotacijsko minimizirajoče, bomo spoznali pogoje na prostorske krivulje s pitagorejskim hodografom, kjer to velja.

Euler-Rodrigues frames on spatial Pythagorean-hodograph curves

Abstract

In this thesis we will focus on methods that are useful in computer aided geometric design. We will take a closer look at the motion of a rigid body in Euclidean three- dimensional space, which is generally determined by describing the location of the center of the rigid body and orientation as a function of time. In the description of these curves, we will get to know spatial Pythagorean-hodograph curves, which play an important role in computer aided geometric design, as their polynomial for- mulation allows a rational representation of the unit tangent vector, orthonormal frame, arc length, etc. Rational forms are important since they allow efficient and accurate calculations. Thus, we will get to know the rational Euler-Rodrigues frame, which is naturally defined on the quaternion representation of spatial Pythagorean- hodograph curves. We will see that this frame generally performs unnecessary ro- tations that cause image distortion in computer modeling. Frames that do not perform such rotations are called rotation minimizing frames. Although in general the Euler-Rodrigues frame is not rotation minimizing, we will derive the conditions on the spatial Pythagorean-hodograph curves where this applies.

Math. Subj. Class. (2020): 53A04, 65D17

Ključne besede: Euler-Rodriguesovo ogrodje, krivulja s pitagorejskim hodogra- fom, racionalno ortonormirano ogrodje, rotacijsko minimizirajoče ogrodje, kvater- nion

Keywords: Euler-Rodrigues frame, Pythagorean-hodograph curve, rational ortho- normal frame, rotation-minimizing frame, quaternion

1. Uvod

Uporaba računalniških sistemov kot pripomočkov pri inženirskemu delu se je za- čela razvijati v 60. letih 20. stoletja, ko so sistemi postali zmogljivejši. Metode in postopke, pri katerih uporabimo računalnik kot pripomoček pri inženirskemu delu imenujemo računalniško podprto načrtovanje. Sistemi računalniško podprtega načr- tovanja so na področju grafičnega modeliranja povzročili pravo revolucijo, saj raču- nalniška obdelava omogoča manipulacijo s predmetom, preden ta dobi fizično obliko.

Življenja si danes brez teh sistemov ne znamo predstavljati. Med drugim nam omo- gočajo grafično obdelavo, ki jo uporabljamo pri računalniških igrah in simulacijah.

Vse večja potreba po računalniških animacijah je sprožila razvoj na področju kon- strukcije gibanja teles v evklidskem tridimenzionalnem prostoru, čemur se bomo posvetili v nalogi.

Splošno gibanje togega telesa natančno opredelimo tako, da telesu v vsakem tre- nutku določimo položaj in orientacijo. Če poznamo orientacijo telesa, je pri opisu lege dovolj poznati le gibanje ene točke na objektu. Za opazovano točko si pogosto izberemo težišče telesa, katerega gibanje opišemo s prostorsko krivuljo. Pri opisu orientacije si pomagamo s pomožnim (lokalnim) koordinatnim sistemom, ki skupaj s telesom potuje po prostoru. Ta koordinatni sistem, ki je določen z ortonormira- nimi vektorji, imenujemo ogrodje krivulje. Pri obravnavi prostorskih krivulj pogosto uporabljamo Frenetovo ogrodje, ki ga bomo spoznali v nadaljevanju.

V sistemih računalniško podprtega načrtovanja je zaradi vse večjega števila po- datkov in potrebe po večji natančnosti zaželena uporaba racionalne geometrije. To pomeni, da je naš cilj gibanje togega telesa opisati z racionalnimi funkcijami. Pri tem bomo spoznali prostorske krivulje s pitagorejskim hodografom, katerih predpis je podan s polinomi. V želji po racionalizaciji bomo videli, da Frenetovo ogrodje v splo- šnem ni racionalno. Opazili bomo tudi, da ni racionalno niti na prostorskih krivuljah s pitagorejskim hodografom. Tako bomo spoznali Euler-Rodriguesovo ogrodje, ki je naravno definirano na kvaternionski formulaciji prostorskih krivulj s pitagorejskim hodografom in je vedno racionalno.

Ko izbiramo ogrodja, moramo upoštevati tudi drug pomemben dejavnik. Upo- števamo le ogrodja, katerih prvi vektor sovpada s tangentnim vektorjem krivulje.

Da obdržimo ortogonalnost, sta preostala vektorja prisiljena ustrezno spreminjati smeri, pri čemer imata eno prostostno stopnjo. To pomeni, da lahko preostala vek- torja poljubno rotirata v ravnini, ki jo gradita. Ogrodja, ki ne izvajajo odvečnih rotacij okrog tangente, imenujemo rotacijsko minimizirajoča ogrodja. Ta ogrodja so zaželena pri konstrukciji tridimenzionalnih objektov, saj preprečujejo nepričakovane rotacije, ki bi povzročile popačenje slike. Izkaže se, da je na poljubni prostorski kri- vulji mogoče definirati rotacijsko minimizirajoče ogrodje, ki pa ni nujno racionalno.

Čeprav v splošnem Euler-Rodriguesovo ogrodje ni rotacijsko minimizirajoče, bomo spoznali razred prostorskih krivulj s pitagorejskim hodografom, kjer to velja.

2. Prostorske krivulje

Poglavje je namenjeno ponovitni osnovnih pojmov, povezanih s prostorskimi kri- vuljami. Pri tem bomo sledili knjigi Banchoffa in Lovetta [1].

Pri obravnavi gibanja togega telesa se ne moremo izogniti pojmu krivulje, kajti krivuljo si lahko intuitivno predstavljamo kot sled, ki jo opazovan objekt pusti pri gi- banju. Zato ni presenečenje, da sta matematična opisa gibanja opazovanega objekta in krivulje, ki opiše to gibanje, enaka. S tem premislekom si pri formulaciji krivulje

pomagamo z gibanjem objekta, kar bi v fiziki opisali kot spremembo lege v odvi- snosti od časa. Denimo, da je lega točke, ki se giblje po krivulji v R³, ob času t₀ podana s koordinatami x(t₀), y(t₀) in z(t₀). Z uporabo vektorske notacije lahko položaj točke zapišemo v obliki trojice

r(t₀) = (x(t₀), y(t₀), z(t₀)).

Če z I označimo interval realnih števil, ki predstavlja čas, v katerem opazujemo potovanje točke, in če za vsak t ∈I poznamo legor(t), pravimo, da smo krivuljo v opazovanem času opisali s preslikavo r :I →R³.

Definicija 2.1. Naj bo I ⊆ R interval in x, y, z : I → R dane skalarne funkcije.

Preslikavo r :I →R³, podano s predpisom

r(t) = (x(t), y(t), z(t)),

imenujemo vektorska funkcija s parametromt. Skalarnim funkcijamx, y, z pravimo komponentne oziroma koordinatne funkcije.

Z vidika matematične obravnave ni pomembno, da parameter t predstavlja čas, kajti vektorska funkcija je lahko definirana tudi za t < 0. Tako kot si gibanje predstavljamo kot neprekinjeno zvezno dejanje, tudi pri krivuljah ne pričakujemo nenadnih skokov. Te bi se na sliki vektorske funkcije, s katero, kot bomo videli neko- liko kasneje, opišemo krivuljo, izražali kot prekinjene črte. V matematiki pravimo, da je funkcija zvezna, če je njen graf slika nepretrgane črte. Da bi izraz prenesli na vektorske funkcije, se moramo najprej seznaniti s pojmom limite.

Definicija 2.2. Naj bo r :D⊆R→R^d vektorska funkcija, ki je definirana v neki okolici točke a, razen morda v točkia. Vekorw ∈R^dje limita vektorske funkcijer, ko gre t proti a, t ̸= a, če za vsak ε > 0 obstaja tak δ > 0, da je ∥r(t)−w∥ < ε, čim je |t−a|< δ, t̸=a. Če to velja, potem pišemo

w = lim

t→ar(t).

Pravimo, da ima vektorska funkcija r v točki a limito w.

Opomba 2.3. Naj bovvektor vR^ds koordinatamiv = (v₁, v₂, . . . , v_d)v standardni bazi. (Evklidska) dolžina vektorja v je podana s predpisom

∥v∥=√

v·v =

√︂

v²₁+v²₂+· · ·+v_d²,

kjer operacija · označuje skalarni produkt. Če sta P in Q točki v R^d, podani s krajevnima vektorjema v inw, potem izračunamo (evklidsko) razdaljo medP inQ z ∥w−v∥.

Definicija 2.4. Naj boI ⊆Rodprt interval in a∈I. Naj bor :I →R^d vektorska funkcija. Pravimo, da je r zvezna v točki a, če limita, ko se t približuje a, obstaja in je enaka

limt→ar(t) = r(a).

Pravimo, da je r zvezna, če je zvezna v vsaki točki intervala I.

Zgornji definiciji sta zgolj prenešeni iz skalarnih na vektorske funkcije, vendar se zaradi uporabe evklidske dolžine sprva zdita težje razumljivi, kot sta v resnici. Z naslednjo trditvijo bomo pokazali, da lahko obravnavo zveznosti vektorskih funkcij prevedemo na obravnavo zveznosti skalarnih komponentnih funkcij.

Trditev 2.5. Naj bo a ∈ R in r : D ⊆ R → R^d, t ↦→ r(t) = (r₁(t), r₂(t), . . . , r_d(t)), vektorska funkcija, ki je definirana v neki okolici točke a, razen morda v točki a. Za vektor w = (w₁, w₂, . . . , w_d)∈R^d velja, da jelimt→ar(t) =w natanko tedaj, ko je limt→ar_i(t) =w_i za i= 1,2, . . . , d.

Dokaz. Denimo, da velja limt→ar(t) = w. Naj bo ε > 0 poljubno realno število in δ > 0 tak, da zadošča definiciji limite vektorske funkcije. Iz definicije Evklidske razdalje vemo, da je ∥r(t)−w∥ ≥ |r_i(t)−w_i| za i = 1,2, . . . , d. To pomeni, da iz

|t−a| < δ sledi |r_i(t)−w_i| < ε, kar je ravno definicija limite limt→ar_i(t) = w_i, za i= 1,2, . . . , d.

Predpostavimo sedaj, da velja limt→ar_i(t) = w_i za i = 1,2, . . . , d. Naj bo ε > 0 poljubno pozitivno realno število. Po predpostavki in definiciji limite obstajajo taka pozitivna realna števila δ_i, da velja |r_i(t)−w_i| < ^√ε

d, čim je |t−a| < δ_i. Če z δ označimo število min(δ₁, δ₂, . . . , δ_d), potem vidimo, da pogoj |t−a|< δ implicira

∥r(t)−w∥=√︁

|r₁(t)−w₁|²+|r₂(t)−w₂|²+· · ·+|r_d(t)−w_d|²

<

√︃ε² d +ε²

d +· · ·+ε² d =ε,

kar je ravno definicija limite limt→ar(t) =w. □

Trditev 2.5 nam pove, da je za zveznost vektorske funkcije dovolj obravnavnavati zveznost njenih komponentnih funkcij. Problem smo tako prevedli na obravnavo realnih skalarnih funkcij in se s tem izognili računanju z vektorji. S tem premisle- kom in zgornjimi definicijami imamo zadostno podlago, da matematično pravilno opredelimo izraz parametrizacije prostorskih krivulj.

Definicija 2.6. Parametrizacija krivulje v R^d je zvezna vektorska funkcija r :I → R^d, kjer je I ⊆ R interval. Če je d = 3, imenujemo r parametrizacija prostorske krivulje. Spremenljivko iz intervalaI imenujemo parameter.

Slika 1. Vijačnica.

Primer 2.7. Vijačnica je primer prostorske krivulje, ki se ovija okoli vertikalnega valja in pleza s konstantno hitrostjo. Parametrizacija vijačnice je

r(t) = (acost, asint, b t),

kjer sta a in b realni konstanti. Na sliki 1 je podan primer vijačnice s predpisom r(t) = (cost,sint, t)za t∈[0,4π]. Naj opozorim, da to isto krivuljo lahko parame- triziramo s predpisom g(u) = (cos(ωu),sin(ωu), ωu) za u ∈ [0,4π/ω], pri čemer je

ω poljubno pozitivno realno število. ♢

Pri formalni obravnavi krivulj moramo biti pazljivi, kajti krivulja in parametriza- cija krivulje ne pomenita iste stvari. Krivulja je množica točk, podana s parametri- zacijo r. Kot smo videli v primeru 2.7, pa se lahko zgodi, da različni parametrizaciji opisujeta isto krivuljo. Da primer ni zgolj izjema, nam pove naslednja definicija.

Definicija 2.8. Imamo dano parametrizacijo r : I ⊆ R → R³. S C označimo sliko preslikave r. Naj bo J ⊆ R in g surjektivna zvezna preslikava iz J na I. S predpisom h = r◦g definiramo novo vektorsko funkcijo h : J → R. Preslikavi h pravimo reparametrizacija, njena slika pa je ponovno množica C.

Opomba 2.9. Če v definiciji ne bi zahtevali surjektivnosti preslikaveg, bi se lahko zgodilo, da bi bila slika h prava podmnožica C. V tem primeru h običajno ne imenujemo reparametrizacija, saj ne predstavlja iste krivulje kot r.

V nadaljevanju se bomo ukvarjali le s parametrično podanimi krivuljami, zato bomo dostikrat parametrizacijo r imenovali kar parametrično podana krivulja ali še krajše krivulja. Spoznali bomo lastnosti, ki so neodvisne od parametrizacije.

2.1. Geometrijske lastnosti prostorske krivulje. Veda, ki se ukvarja z obrav- navo krivulj, se imenuje diferencialna geometrija. Bolj natančno je diferencialna geometrija krivulj veja geometrije, ki preučuje gladke parametrično podane krivu- lje, tj. krivulje, ki so neskončnokrat zvezno odvedljive, z metodami diferencialov in integralov. To pomeni, da je pri obravnavi krivulj izjemnega pomena njihova pa- rametrizacija, saj se nekatere lastnosti, kot je dolžina krivulje, izračunajo z njenim odvajanjem in integriranjem. V prejšnjem poglavju smo spoznali, da ima lahko ista krivulja različne parametrizacije. To vodi do zaključkov, da so nekatere lastnosti krivulj odvisne od parametrizacije. Več o njih si lahko preberete v knjigi [6]. V tej nalogi se bomo posvetili predvsem lastnostim, ki so od parametrizacije neodvisne in jih drugače imenujemo geometrijske lastnosti.

2.1.1. Tangenta na krivuljo. Denimo, da poznamo gibanje togega telesa v prostoru.

Do sedaj smo spoznali, da vsako tako gibanje lahko opišemo z neko prostorsko krivuljo r. Natančneje si poglejmo objekt ob poljubnem času t₀. Če poznamo celotno trajektorijo, potem poznamo smer premika pri opazovanem času. Zdi se nam, da bo ta smer neodvisna od parametrizacije r. Izkaže se, da imamo prav.

Da bi razmišlanje prevedli v matematični zapis, si za začetek poglejmo sliko 2, ki prikazuje položaj opazovanega objekta ob časih t0 in t1, pri čemer je t1 > t0. S slike razberemo, da vektor v =r(t1)−r(t0)ponazarja približek smeri premika. Če v delimo s časom, ki ga je objekt potreboval za premik iz r(t0) v r(t1), dobimo približek hitrostnega vektorja pri parametru t₀:

1

t₁−t₀ (r(t₁)−r(t₀)).

Z manjšanjem razlike medt₀ int₁ bo približek vedno boljši. Nadomestimot₁ st₀+h, pri čemer je h neničelno realno število, ki ponazarja čas premika med opazovanima legama. Da bi dobili natančno vrednost vektorja hitrosti, je torej potrebno izračunati

Slika 2. Položaj objekta, ki potuje po krivulji r, ob časih t₀ in t₁. (če obstaja) naslednjo limito:

r^′(t₀) = lim

h→0

1

h (r(t₀ +h)−r(t₀)).

S pomočjo trditve 2.5 lahko računanje limite prevedemo na računanje limite kom- ponentnih funkcij parametrizacije. Z drugimi besedami nam to pove, da bo zgornja limita obstajala natanko tedaj, ko bodo v točkit₀ odvedljive komponentne funkcije, kajti limita zadošča definiciji odvoda funkcije [6, trditev 1.7].

Definicija 2.10. Naj bo I ⊆ R in r : I → R³, t ↦→ r(t) = (x(t), y(t), z(t)), vektorska funkcija. Pravimo, da je preslikava r odvedljiva pri parametru t₀, če so pri tem parametru odvedljive x, y in z. Odvod r pri parametru t₀ zapišemo po komponentah:

r^′(t₀) = (x^′(t₀), y^′(t₀), z^′(t₀)).

Naj bo J skupna domena funkcij x^′, y^′ in z^′. Vektorsko funkcijo r^′ : J → R³, t ↦→r^′(t) = (x^′(t), y^′(t), z^′(t)), imenujemo hodograf krivuljer.

Naj bodox, y, z :I →Rodvedljive skalarne funkcije int₀ ∈Ipoljuben parameter.

Vektor r^′(t₀) = (x^′(t₀), y^′(t₀), z^′(t₀)) imenujemo tangentni vektor oziroma vektor hitrosti. Podoben razmislek kot zgoraj bi lahko naredili na hodografu vektorske funkcije r in definirali drugi odvod s predpisom

r^′′(t) = (x^′′(t), y^′′(t), z^′′(t)).

Če v preslikavo vstavimo poljuben parameter iz domene, dobljeni vektor imenujemo vektor pospeška. Ker je priročno delati z ortonormiranimi vektorji, si poglejmo naslednjo definicijo.

Definicija 2.11. Parametrično podana krivulja r :I ⊆R→R^d je regularna, če je r^′(t) ̸= 0 za vse t ∈ I. Če je r regularna parametrično podana krivulja, lahko za vsak t ∈I definiramoenotski tangentni vektor t(t) s predpisom

(1) t(t) = r^′(t)

∥r^′(t)∥.

Opomba 2.12. Če je r regularna krivulja, je enotski tangentni vektor definiran na celemI. Tako lahko govorimo o vektorski funkciji enotskega tangentnega vektorja, ki je podana s predpisom (1). Pojem vektorske funkcije bomo opuščali in tej preslikavi enostavno rekli enotski tangentni vektor.

Poglejmo si, kako se spremeni enotski tangentni vektor pri reparametrizaciji re- gularne parametrizacije prostorske krivulje r : I ⊆ R → R³. Naj bo h = r ◦ φ poljubna reparametrizacija, kjer jeφ:J ⊆R→I bijektivna funkcija. Če je u₀ ∈J parameter pri katerem je φ odvedljiva int₀ =φ(u₀), potem velja

(r◦φ)^′(u0) = r^′(φ(u0))φ^′(u0) in ∥(r◦φ)^′(u0)∥=|φ^′(u0)| ∥r^′(t0)∥.

Pri parametru u ∈ J, kjer poleg odvedljivosti funkcije φ velja še, da je φ^′(u) ̸= 0, velja

(2) h^′(u)

∥h^′(u)∥ = φ^′(u)

|φ^′(u)|

r^′(φ(u))

∥r^′(φ(u))∥,

kjer je φ^′(u)/|φ^′(u)| enak ±1. Velja ponoviti, da mora za obstoj in dobro defi- niranost desne strani enačbe (2) veljati φ^′(u) ̸= 0. Pravimo, da je, za regularno parametrizacijo krivulje r : I ⊆ R → R³ in bijektivno funkcijo φ : J ⊆ R → I, reparametrizacija h=r◦φ regularna, če za vsak parameter u iz intervalaJ odvod φ^′(u) obstaja in je različen on 0. Pravimo, da regularna reparametrizacija ohranja smer, če velja φ^′(u)>0za vsak u∈J.

Pri obravnavi prostorskih krivulj se je zaradi obstoja enotskega tangentnega vek- torja smiselno omejiti na obravnavo regularnih parametrizacij. Prav tako se je smi- selno omejiti na obravnavo regularnih reparametrizacij, ki ohranjajo smer, saj želimo poleg obstoja enotskega tangentnega vektorja ohraniti tudi smer parametrizacije. S temi omejitvami iz enačbe (2) sledi, da je enotski tangentni vektor neodvisen od parametrizacije.

2.1.2. Spremljajoči trieder krivulje. Naj bo r : I ⊆ R → R³ dvakrat zvezno odve- dljiva regularna prostorska krivulja podana s predpisom r(t) = (x(t), y(t), z(t)). Po premisleku iz razdelka 2.1.1 vemo, da lahko krivulji v vsaki točki določimo enotski tangentni vektor s predpisom (1). Ker je vektort(t)enotski, po definiciji skalarnega produkta velja t(t)·t(t) = 1 za vsakt ∈I. Če je todvedljiva, potem velja

(t(t)·t(t))^′ = 2t^′(t)·t(t) = 0.

Enakost t^′(t)·t(t) = 0 geometrijsko pomeni, da je vektor t^′(t) pravokoten na t(t).

Predpostavimo, da velja t^′(t) ̸= 0 in definirajmo vektor glavne normalne n(t) na krivulji pri parametru t s predpisom

(3) n(t) = t^′(t)

∥t^′(t)∥.

Ker v definiciji tangentnega vektorja nastopa odvod krivulje r, moramo za obstoj normalnega vektorja zahtevati dvakratno odvedljivost r.

Za regularno krivuljo, kjer t in n obstajata, lahko paru (t,n) dodamo še vektor binormale b(t), določen s predpisom

(4) b=t×n.

Vektorja glavne normale in binormale ležita v ravnini, katere normalni vektor je tangenta. Tej ravnini pravimo normalna ravnina. Če pa si pogledamo podrobneje, smo v vsaki točki na krivulji, neodvisno od parametrizacije, določili ortonormirano ogrodje, tj. ogrodje, katerega vektorji so med sabo pravokotni in enotski, ki mu pravimo spremljajoči trieder.

Definicija 2.13. Naj bor :I ⊆R→R³regularna prostorska krivulja, ki je dvakrat zvezno odvedljiva in za katero velja, da jet^′(t)̸= 0 za vsakt∈I. Trojica vektorskih funkcij (t,n,b)se imenuje Frenetovo ogrodje prostorske krivulje r.

Slika 3. Frenetovo ogrodje na prostorski krivulji.

Primer 2.14. Slika 3 ilustrira primer Frenetovega ogrodja na prostorski krivulji, podani s parametrizacijo

r(t) = ((1−cost) cost,(1−cost) sint,sint) za t∈[0,2π].

Na sliki je z rdečo barvo prikazan enotski tangentni vektort, z rumeno vektor glavne normalenin z modro vektor binormaleb. Vektorji so zaradi preglednosti pomnoženi s faktorjem 0,4. V tem primeru je zanimivo videti, kako se blizu parametra t = 0 vektorja ninbhitro zavrtita okoli tangente. V nadaljevanju bomo spoznali funkciji fleksijske in torzijske ukrivljenosti, ki merita spremembe vektorja t in posledično

spremembe b in n. ♢

Odvod krivuljer lahko na drug način zapišemo kot produkt skalarne funkcije, t. i.

parametrične hitrosti

(5) σ(t) = ∥r^′(t)∥=√︁

(x^′(t))²+ (y^′(t))²+ (z^′(t))², in enotskega tangentnega vektorja v obliki

(6) r^′(t) = σ(t)t(t).

Denimo, da t^′(t) obstaja. Potem drugi odvod krivulje r dobimo tako, da odvajamo enačbo (6):

(7) r^′′(t) = σ^′(t)t(t) +σ(t)t^′(t).

Po definiciji vektorja glavne normale vemo, da je t^′(t) vzporeden n(t). To nam omogoča vpeljavo definicije fleksijske ukrivljenosti prostorske krivulje na naslednji način.

Definicija 2.15. Naj bor :I ⊆R→R³regularna parametrično podana krivulja, ki je dvakrat zvezno odvedljiva in ima povsod definirano Frenetovo ogrodje. Fleksijska ukrivljenost ali upognjenost prostorske krivulje r je preslikava κ : I → [0,∞), ki zadošča enačbi

(8) t^′ =σ κn.

Zapis fleksijske ukrivljenosti, kot rešitev enačbe, nam zagotavlja neodvisnost od parametrizacije. Vendar nam taka definicija ne ponuja eksaktnega predpisa upognje- nosti za poljubno krivuljo r. Tako želimo zapisati formulacijo κ z izrazi, v katerih nastopajo le krivulja r in njeni odvodi. Za začetek izračunajmo odvod tangentnega vektorja:

t^′ = (︃ r^′

∥r^′∥ )︃′

= r^′′∥r^′∥ −r^′(∥r^′∥)^′

∥r^′∥² = r^′′∥r^′∥²−r^′(r^′ ·r^′′)

∥r^′∥³ . Pri tem smo upoštevali, da je

(∥r^′∥)^′ =(︂√

r^′·r^′)︂^′

= 1

2∥r^′∥⁻¹(r^′′·r^′+r^′·r^′′) = r^′·r^′′

∥r^′∥ .

Z upoštevanjem pravil za vektorski produkt oziroma natančneje za trojni vektorski produkt, ki pravi

(9) (a×b)×c= (a·c)b−(b·c)a, lahko odvod enotskega tangentnega vektorja zapišemo kot

t^′ = (r^′×r^′′)×r^′

∥r^′∥³ .

Naravnost iz predpisa za vektor glavne normale (3) in ravnokar izračunanega pred- pisa za odvod enotskega tangentnega vektorja sledi, da je

(10) n= (r^′×r^′′)×r^′

∥r^′×r^′′∥ ∥r^′∥.

Prav tako lahko z upoštevanjem zapisa za vektor binormale (4) izrazimo predpis

(11) b= r^′×r^′′

∥r^′×r^′′∥.

Naposled lahko iz (8) izrazimo tudi zapis za upognjenost krivulje r, v katerem nastopa le parametrizacija in njeni odvodi

(12) κ= ∥r^′×r^′′∥

∥r^′∥³ .

Iz definicije vektorja binormale (4) opazimo, da bi v primeru, ko je vektor binor- male konstanten, tj. b^′(t) ≡ 0, vektorja t(t) in n(t) v vsaki točki krivulje ležala v ravnini, katere normala je ta konstantni vektor. To bi pomenilo, da je r pravza- prav ravninska krivulja. Torej bomo za preučevanje ukrivljenosti krivulje v prostoru preučevali spremembo vektorja b(t).

Z odvajanjem (4) in upoštevanjem, da je odvod tangentnega vektorja vzporeden vektorju glavne normale, dobimo

b^′ =t×n^′.

Po istem premisleku, kot smo ga storili za tangentni vektor, ugotovimo, da je odvod vektorja glavne normale n^′ pravokoten na n. To pomeni, da n^′ leži v ravnini, ki jo tvorita vektorja b in t. Torej obstajata taki zvezni funkciji α, β : I → R, da velja n^′ =αt+βb. Posledično lahko zapišemo

b^′ =t×(αt+βb) = αt×t+βt×b=−βn.

Iz tega lahko razberemo, da je odvod enotskega binormalnega vektorja vzporeden vektorju glavne normale.

Definicija 2.16. Naj bo r :I ⊆R→ R³ regularna parametrično podana krivulja, ki je trikrat zvezno odvedljiva in ima povsod definirano Frenetovo ogrodje. Torzijsko ukrivljenost alizvitost τ :I →R definiramo tako, da zadošča enačbi

(13) b^′ =−σ τ n.

Podobno kot smo to storili v definiciji fleksijske ukrivljenosti smo, da zagotovimo neodvisnost od parametrizacije krivulje, torzijsko ukrivljenost definirali kot rešitev enačbe (13). V tem zapisu |στ| ponazarja magnitudo oziroma velikost vektorja b^′.

Spomnimo se, da sta vektorja glavne normale in tangentni vektor ortogonalna.

To lahko zapišemo s skalarnim produktom n·t= 0. Enačbo odvajamo in dobimo n^′·t+n·t^′ = 0,

n^′·t+n·(σ κn) = 0, n^′·t=−σ κ.

Podoben razmislek velja, če upoštevamo, da sta vektorja glavne normale in binor- male pravokotna. Tako dobimo

n^′·b =σ τ.

Odvod vektorja glavne normale lahko torej zapišemo kot n^′ =−σ κt+σ τb.

S pomočjo izpeljanih formul lahko zvitost krivulje zapišemo s parametrizacijo krivuljer, kot smo to storili za fleksijsko ukrivljenost. Zato si poglejmo tretji odvod krivulje, ki ga dobimo z odvajanjem (7):

r^′′′ =σ^′′t+ 2σ^′t^′+σt^′′

=σ^′′t+ 2σ^′σ κn+σ(σ κn)^′

=σ^′′t+(︁

3σ^′σ κ+σ²κ^′)︁

n+σ²κn^′

=σ^′′t+(︁

3σ^′σ κ+σ²κ^′)︁

n+σ³κ(−κt+τb)

=(︁

σ^′′−σ³κ²)︁

t+(︁

3σ^′σ κ+σ²κ^′)︁

n+σ³κ τb.

Če ta izraz skalarno pomnožimo z binormalo, dobimo b·r^′′′ = σ³κ τ, od koder z upoštevanjem (12) in (11) izrazimo formulo zaτ, v kateri nastopa le parametrizacija krivulje:

(14) τ(t) = (r^′(t)×r^′′(t))·r^′′′(t)

∥r^′(t)×r^′′(t)∥² .

Če je krivulja ravninska, potem r^′(t), r^′′(t) in r^′′′(t) ne morejo biti linearno ne- odvisni, zato je τ(t) ≡ 0. Denimo sedaj, da je torzijska ukrivljenost povsod enaka nič. Iz (13) potem sledi, da je b^′(t) ≡ 0, kar pomeni, da je vektor binormale b(t) konstanten. Po zgornjem premisleku sledi, da je krivulja r ravninska. S tem smo dokazali naslednjo opombo.

Opomba 2.17. Torzijska ukrivljenost krivulje r je konstantno enaka nič natanko tedaj, ko je krivulja r ravninska.

V nadaljevanju se bomo ukvarjali s polinomskimi krivuljami. To so krivulje, pri katerih je parametrizacija polinomska. Natančneje, komponente vektorske funkcije, ki določa parametrizacijo, so polinomi.

2.2. Prostorske krivulje s pitagorejskim hodografom (PH krivulje). Spo- znali bomo družino prostorskih polinomskih krivulj, ki zadoščajo tako imenovanemu pitagorejskemu pogoju. Družina teh krivulj je v računalniško podprtem geometrij- skem oblikovanju izjemno uporabna, saj pogoj za PH krivuljo zagotavlja, da ima vsaka krivulja iz te družine tangento izraženo z racionalno funkcijo. Racionalne oblike pa so v računalniškem modeliranju zelo zaželene, saj omogočajo učinkovite izračune.

Definicija 2.18. Naj bo r : I ⊆ R → R³ polinomska krivulja. Pravimo, da je r prostorska krivulja s pitagorejskim hodografom (PH krivulja), če lahko vsoto kva- dratov komponent njenega hodografa zapišemo s kvadratom primernega polinoma σ:

(15) (x^′(t))²+ (y^′(t))²+ (z^′(t))² =σ²(t).

Opomba 2.19. Pogoj iz definicije nam pove, da komponente krivulje r^′ tvorijo pitagorejski četverec, od koder tudi izvira ime družine.

V poglavju 3.2 si bomo pogledali naravno konstrukcijo PH krivulj s pomočjo kvaternionov, sedaj pa se posvetimo osnovnim lastnostim in prednostim, ki jih te krivulje ponujajo. Prvi poskusi karakterizacije prostorskih PH krivulj so izhajali iz znanja o PH krivuljah v R² in so domnevali obliko

x^′(t) =h(t)[︁

u²(t)−v²(t)−w²(t)]︁

, y^′(t) = 2h(t)u(t)v(t),

z^′(t) = 2h(t)u(t)w(t) (16)

za realne polinome h,u, v inw, pri čemer jeσ =|h|(u² +v²+w²). Izkaže se, da je zgornji pogoj le zadosten, ni pa tudi potreben pogoj, da hodograf r^′ = (x^′, y^′, z^′) zadošča pitagorejskemu pogoju. Na primer, hodograf

x^′(t) = (1−t)², y^′(t) = t², z^′(t) = 1, zadošča (15) s σ(t) = √

2 (t²−t+ 1), vendar zlahka preverimo, da ga ni mogoče zapisati v obliki (16) [3].

Zadosten in potreben pogoj za pitagorejski hodograf je bil odkrit povsem na- ključno. Pri iskanju racionalnega izražanja krivulj in ploskev na enotski sferi je bil dokazan naslednji izrek [4, izrek 21.1].

Izrek 2.20. Če so α, β, γ in δ tuji realni polinomi, ki zadoščajo pitagorejskemu pogoju

(17) α²(t) +β²(t) +γ²(t) =δ²(t),

jih je mogoče izraziti z drugimi realnimi polinomi a, b, c in d v obliki α(t) = a²(t) +b²(t)−c²(t)−d²(t),

β(t) = 2 [a(t)d(t) +b(t)c(t)], γ(t) = 2 [b(t)d(t)−a(t)c(t)], δ(t) = a²(t) +b²(t) +c²(t) +d²(t).

(18)

Opomba 2.21. Polinomi α, β, γ in δ so tuji, če nimajo skupnih (kompleksnih) ničel. To pomeni, da je polinom, ki je njihov največji skupni deljitelj, konstanten.

Opomba 2.22. Zapis realnih polinomov v (18) ni enoličen, saj lahko permutiramo zapise za α,β, γ in a,b, c, d.

Dokaz. Za začetek preuredimo pogoj (17) vβ²(t) +γ²(t) =δ²(t)−α²(t). To enačbo lahko razstavimo na

(19) [β(t) +iγ(t)] [β(t)−iγ(t)] = [δ(t)−α(t)] [δ(t) +α(t)],

pri čemer je i imaginarna enota. Z w(t) označimo največji skupni delitelj β(t) in γ(t). Sedaj ločimo dva primera.

i) Najprej si poglejmo primer, ko jew(t)konstanten. Iz osnovnega izreka algebre in predpostavke, da staβ(t)inγ(t)realna polinoma, sledi, da kompleksna polinoma β(t) +iγ(t)in β(t)−iγ(t)nimata skupnih ničel. Iz česar sledi, da nimata realnih ničel. Po njuni konstrukciji pa vemo tudi, da so ničle enega konjugirane ničle dru- gega. Medtem sta polinoma δ(t)−α(t) inδ(t) +α(t)realna in ju zaradi tega lahko razstavimo v kompleksno konjugirane pare linearnih faktorjev, pri čemer je en člen vsakega para iz β(t) + iγ(t), drugi pa iz β(t)−iγ(t). Poenostavljeno povedano, polinome lahko zapišemo kot

(20) β(t) +iγ(t) =f(t)g(t) in β(t)−iγ(t) =f(t)g(t), kjer sta f in g taka kompleksna polinoma, da velja

(21) δ(t)−α(t) =f(t)f(t) in δ(t) +α(t) =g(t)g(t),

polinoma f(t) in g(t) pa sta njuni konjugaciji. Ta polinoma lahko z realnim in imaginarnim delom zapišemo v obliki

f(t) = √

2 (c(t) +id(t)) in g(t) =√

2 (b(t) +ia(t)),

kjer so a, b, c, d realni polinomi. Če te polinome vstavimo v enačbi (20) in (21), nam ti enačbi podata iskane izraze (18) kot rešitve za α,β, γ inδ.

ii) V primeru, ko w(t) ni konstanten, iz enačbe (19) opazimo, da je w²(t) faktor natanko enega od δ(t)−α(t)aliδ(t) +α(t). To velja zato, ker bi skupna ničlaβ(t), γ(t), δ(t)−α(t) in δ(t) +α(t) implicirala, da polinomi α, β, γ in δ niso tuji. Če delimo β(t) +iγ(t) in β(t)−iγ(t) z w(t) in enega od δ(t)−α(t) ali δ(t) +α(t) z

w²(t), problem prevedemo na prejšnjega. □

Denimo, da so komponente hodografax^′,y^′,z^′ inσmed sabo tuji realni polinomi.

Izrek 2.20 pravi, da se hodograf take prostorske PH krivulje izraža v obliki x^′(t) =a²(t) +b²(t)−c²(t)−d²(t),

y^′(t) = 2 [a(t)d(t) +b(t)c(t)], z^′(t) = 2 [−a(t)c(t) +b(t)d(t)]

(22)

s parametrično hitrostjo

(23) σ(t) = a²(t) +b²(t) +c²(t) +d²(t),

kjer soa,b,cindprimerni realni polinomi. Za komponente hodografa s skupnim fak- torjem w(t) definirajmo tuje polinome x˜^′, y˜^′, z˜^′ inσ˜, ki zadoščajo x^′(t) =w(t)x˜^′(t), y^′(t) = w(t)y˜^′(t), z^′(t) = w(t)z˜^′(t) inσ(t) = w(t)σ˜(t). Ker x˜^′, y˜^′, z˜^′ in σ˜ zadoščajo

pogojem iz izreka, lahko zapišemo x^′(t) =w(t)[︂

a

˜²(t) +b˜²(t)−˜c²(t)−d˜²(t)]︂

, y^′(t) = 2w(t)[︂

a˜(t)d˜(t) +b˜(t)˜(t)c ]︂

, z^′(t) = 2w(t)[︂

−a˜(t)c˜(t) +˜(t)b d˜(t)]︂

, σ(t) =w(t)[︂

a

˜²(t) +b˜²(t) +˜c²(t) +d˜²(t)]︂

(24)

za primerne polinome a˜,˜b, ˜cin d˜. Čeprav se bomo v nadaljevanju naloge posvetili preučevanju PH krivulj z zapisom (22), lahko enake sklepe pokažemo tudi za PH krivulje s predpisom iz (24) [3].

Parametrizacijo prostorske PH krivulje r dobimo z integriranjem hodografa, ki je podan s predpisom (22):

r(t) =

∫︂ t 0

(x^′(ξ), y^′(ξ), z^′(ξ)) dξ+c.

Pri tem je c ∈ R³ konstantni vektor. Če z n označimo največjo stopnjo realnih polinomov a,b, cind, lahko preverimo, da je PH krivulja stopnje 2n+ 1. Opazimo tudi, da je tangentni vektor prostorske PH krivulje r, ki je določena s hodografom iz (22), racionalna vektorska funkcija parametra krivulje, katere predpis je podan z realnimi polinomi a, b,c, d v obliki

t= r^′

∥r^′∥ = (a²+b²−c²−d²,2 (a d+b c), 2 (−a c+b d))

σ ,

kjer je σ parametrična hitrost (23). Podoben sklep bi si želeli narediti za vektorja glavne normale in binormale, vendar se izkaže, da slednjih dveh v splošnem ni mo- goče izraziti z racionalnima vektorskima funkcijama. V definiciji normalenkot tudi binormale b vidimo, da sta odvisni od vrednosti ∥r^′ ×r^′′∥, ki jo lahko izrazimo v obliki

∥r^′×r^′′∥² = (y^′z^′′−y^′′z^′)²+ (z^′x^′′−z^′′x^′)² + (x^′y^′′−x^′′y^′)². Z nekaj računanja to enačbo reduciramo na produkt

∥r^′×r^′′∥² =σ²ρ, pri čemer je ρ polinom, podan s predpisom

ρ= 4[︂

(a c^′−a^′c)² + (a d^′−a^′d)²+ (b c^′−b^′c)²

+ (b d^′−b^′d)²+ 2 (a b^′−a^′b) (c d^′−c^′d)]︂

.

Izraza (10) in (11) za vektorja glavne normale n in binormale b PH krivulje v imenovalcu vsebujeta√

ρ. Ker lahko s primerno izbiro realnih polinomov a,b,cind konstruiramo primer PH krivulje, kjer predpisa za vektorjab inn ne moremo zapi- sati v racionalni obliki, ta predpisa v splošnem nista racionalna. Podoben razmislek velja za fleksijsko ukrivljenost (12) PH krivulje, ki jo lahko zapišemo kotκ=√

ρ/σ². To pomeni, da Frenetovo ogrodje v splošnem ni racionalno niti na PH krivuljah [4].

3. Kvaternioni

V procesu šolanja se postopoma srečujemo z zaporedjem številskih množic N⊂Z⊂Q⊂R⊂C,

kjer je vsak člen izredno pomemben, a v nekem smislu nepopoln, kar je matematike vodilo do odkritij njihovih naslednikov. K odkritju kvaternionov so zato v veliki meri prispevala kompleksna števila, katere je preučevalo veliko matematikov. Še posebej pomemben je bil irski matematik Sir William Rowan Hamilton (1805–1865), ki je opazil, da je kompleksna števila mogoče interpretirati kot točke v ravnini. Idejo je želel razširiti v trirazsežen prostor. Točke v prostoru je možno predstaviti s koordinatami kot trojice števil, za katere je vedel, kako se seštevajo, vendar je veliko časa namenil problemu množenja. Kasneje se je izkazalo, da je taka množica števil nemogoča, saj števila niso zaprta za množenje, tj. produkt števil iz množice ni nujno število iste oblike. Vendar Hamilton nad idejo razširitve ni obupal. Nekega ponedeljkovega jutra v oktobru leta 1843 se je Hamiltonu pri sprehodu z ženo po Dublinu porodila ideja o štirirazsežni razširitvi kompleksnih števil oblike

a+bi+cj+dk.

Pri tem so a, b, cin d realna števila, i, j ink pa imaginarne komponente, za katere velja

(25) i² =j² =k² =i j k=−1,

iz česar lahko enostavno izpeljemo naslednje zveze:

i j=−j i=k, j k=−k j=i, k i=−i k=j.

Hamilton je ta števila poimenoval kvaternioni. Zveze med imaginarnimi komponen- tami v (25) zagotavljajo, da je množica kvaternionov zaprta za množenje [2].

Imaginarne komponente i, j in k identificiramo z vektorji v R³, ki sestavljajo standardno ortonormirano bazo vektorskega prostora R³. Tako lahko kvaternione alternativno zapišemo kot par (s,v), kjer s ∈ R imenujemo skalarni ter v ∈ R³ vektorski del kvaterniona. S tem zapisom lahko množico vseh kvaternionov zapišemo kot

H={(a₀,a)|a₀ ∈R in a= (a₁, a₂, a₃)∈R³}.

Kvaternione, ki imajo skalarni del enak nič, imenujemočisti kvaternioni in jih iden- tificiramo z vektorji v R³. Če na množici H definiramo množenje in seštevanje s predpisoma

(a₀,a) + (b₀,b) = (a₀+b₀,a+b),

(a₀,a)·(b₀,b) = (a₀b₀−a·b, a₀b+b₀a+a×b),

lahko enostavno preverimo, da je množica H skupaj z operacijama seštevanja in množenja algebra. Pri tem smo z · in × v definiciji množenja označili skalarni in vektorski produkt [7].

Opomba 3.1. Za razumevanje naloge ni potrebno vedeti, kaj je algebra, vendar si lahko bralec več o tem prebere v knjigi [2, poglavje 1], kjer so natančno opredeljene osnovne algebrske strukture.

Ker množico kvaternionov dojemamo kot razširitev množice kompleksnih števil, bodo nekateri pojmi na kvaternionih direktno prenešeni iz kompleksnih števil. Tako si poglejmo naslednje definicije, ki so natančno formulirane v [2, poglavje 2.3.].

Definicija 3.2. Naj bo A = (a₀,a) ∈ H. Konjugiran kvaternion A je podan s predpisom

A= (a₀,−a).

Neposredni račun pokaže, da je produkt

AA=AA=a²₀+∥a∥² =a²₀+a²₁ +a²₂+a²₃

realno število, ki je enako 0 le tedaj, ko je A = 0. To pomeni, da je vsak neničeln kvaternion A obrnljiv, kajti njegov inverz je

(26) A⁻¹ = 1

AAA.

Prav tako bi lahko z neposrednim računom, kot je to storjeno v [5, str. 28], preverili, da pri konjugaciji produkta poljubnih kvaternionov A in U velja

A U =U A.

Definicija 3.3. Naj bo A ∈ H kvaternion. Normo kvaterniona označimo z ∥·∥ in jo izračunamo s predpisom

∥A∥=√︁

AA=

√︂

a²₀+∥a∥² =

√︂

a²₀+a²₁+a²₂+a²₃. Kvaternion, katerega norma je enaka ena, imenujemo enotski kvaternion.

Pri računanju norme produkta dveh poljubnih kvaternionov A inU se izkaže, da je ta enak produktu norm teh kvaternionov:

∥A U ∥² =A U A U

=A U U A

=A ∥U ∥²A

=A A ∥U ∥²

=∥A∥²∥U ∥².

Opazimo lahko, da je predpis za inverz kvaterniona v (26) mogoče izraziti z njegovo normo

A⁻¹ = 1

∥A∥²A.

3.1. Prostorske rotacije s kvaternioni. V tem poglavju si bomo pogledali, kako opisati rotacije vektorjev v evklidskem prostoru R³ s pomočjo kvaternionov, pri čemer bomo sledili [7]. Vprašanje pa je, kako bomo s števili, ki živijo v prostoruR⁴, spreminjali vrednosti vektorjev v R³?

Naj bo A poljuben enotski kvaternion, ki ga zapišemo kot vsoto skalarnega dela a₀ ∈R in vektorskega dela a= (a₁, a₂, a₃)∈R³ s predpisom

A=a0+a=a0+a1i+a2j+a3k,

kjer so i, jink vektorji iz standardne ortonormirane baze prostora R³. Po definiciji norme kvaterniona vemo, da velja

a²₀+∥a∥² = 1.

Spomnimo se, da za poljuben θ∈R veljacos²θ+ sin²θ= 1. To pomeni, da obstaja θ₀ ∈R, za katerega je

cos²θ₀ =a²₀, sin²θ₀ =∥a∥².

Iz znanja trigonometričnih funkcij vemo celo, da obstaja enoličen θ ∈ [0,2π], za katerega sta cos^θ₂ = a₀ in sin^θ₂ = ∥a∥. To pomeni, da lahko enotski kvaternion izrazimo s kotom θ/2 in enotskim vektorjem u=a/∥a∥:

A = cosθ

2+usinθ 2.

Z uporabo enotskega kvaterniona A definiramo operator LA na vektorjih v ∈ R³ s predpisom

LA(v) =AvA

= (a₀,a)·(0,v)·(a₀,−a)

= (−a·v, a₀v+a×v)·(a₀,−a)

=(︁

0,(a·v)a+a²₀v+a₀(a×v)−a₀(v×a)−(a×v)×a)︁

=(︁

0,(a·v)a+a²₀v+ 2a₀(a×v) + (a·v)a− ∥a∥²v)︁

=(︁

0,(︁

a²₀− ∥a∥²)︁

v+ 2 (a·v)a+ 2a0(a×v))︁

=(︁

a²₀− ∥a∥²)︁

v+ 2 (a·v)a+ 2a0(a×v),

kjer smo upoštevali definicijo množenja kvaternionov, formulo za trojni vektorski produkt (9) in ugotovitev, da lahko poljuben vektor v iz prostora R³ identificiramo s čistim kvaternionom V = (0,v). Ker je iz zapisa preslikave LA(v) razvidno, da je slika operatorja vektor iz prostora R³, lahko pišemo LA : R³ → R³. Vzemimo poljuben vektor v ∈R³ in si poglejmo, kako operator vpliva na njegovo dolžino:

∥LA(v)∥=∥AvA∥=∥A∥∥v∥∥A∥= 1· ∥v∥ ·1 = ∥v∥.

Pri tem smo upoštevali, da je norma produkta kvaternionov enaka produktu njihovih norm. Vidimo, da dolžina vektorja ostane nespremenjena. S tem opažanjem lahko domnevamo, da je LA operator rotacije, kar bomo pokazali z naslednjim izrekom.

Opomba 3.4. Operator L_A je po definiciji linearen, kar pomeni, da za poljubna vektorja v,w ∈R³ in poljuben skalar k ∈Rvelja

LA(kv+w) =A(kv+w)A=kAvA+AwA =kLA(v) +LA(w).

Izrek 3.5. Za vsak enotski kvaternion

(27) A =a₀+a = cosθ

2+usinθ 2

operator LA : R³ → R³, v ↦→ LA(v) = AvA, geometrijsko interpretiramo kot rotacijo, ki poljuben vektor v zavrti za kot θ okoli osi u.

Pred dokazom izreka si poglejmo trditev, ki jo najdemo v [6, trditev 1.13.].

Trditev 3.6. Naj bosta x,y ∈ R³ poljubna vektorja, kjer je ∥y∥ ̸= 0. Obstaja enoličen zapis vektorja x kot vsote vektorjev

x=x∥+x⊥,

kjer je x∥ vzporeden y, vektor x⊥ pa je na y pravokoten.

Dokaz. Dokazati moramo, da obstaja enolična vrednost λ∈R, za katero vektorja x∥ =λ y

∥y∥ in x⊥ =x−x∥

ustrezata vektorjema iz leme. Ker je očitno vektor x_∥ vzporeden vektorju y, bo λ določena s pogojem, da je x⊥ pravokoten na y:

0 =x⊥·y

= (︃

x− λ

∥y∥y )︃

·y

=x·y− λ

∥y∥y·y

=x·y−λ∥y∥.

Enolična rešitev je torej λ = ^x·y_∥y∥. □

Dokaz izreka 3.5. Naj bo A poljuben enotski kvaternion s predpisom (27) inv po- ljuben vektor iz R³. Po trditvi 3.6 lahko vektor v zapišemo kot vsoto v = q+n, kjer je q ∈R³ vektor, ki je vzporeden a, in n∈ R³ vektor, ki je na a pravokoten.

Spomnimo se, da je rotacija za kot θ okoli rotacijske osi taka operacija, ki ohranja vektorje, ki ležijo na osi, vektorje, ki so na os pravokotni, pa preslika tako, da je med originalom in njegovo sliko kot θ [5]. Pokazali bomo, da se pri preslikavi z operatorjem LA komponenta q ohrani, medtem ko se komponenta n zavrti za kot θ okoli osi rotacije, ki jo predstavlja vektoru. Ker je operator linearen bomo s tem pokazali, da je slika AvA rotacija vektorja v okoliu za kotθ.

Z uporabo dejstva, da je vektor q vzporeden vektorju a, dobimo zapis q = ka, kjer je k ∈R. Če sedaj ta vektor vstavimo v preslikavo LA, dobimo

LA(q) = AqA

=A(ka)A

=(︁

a²₀− ∥a∥²)︁

(ka) + 2 (a·ka)a+ 2a₀(a×ka)

=k(︁

a²₀+∥a∥²)︁

a

=ka

=q.

Ker je vektor q poljuben, saj je poljuben vektorv, smo tako pokazali, da operator LA vse vektorje, ki so vzporedni osi u, ohranja. Pokazati moramo še, da vektorje pravokotne na os zavrti za kotθ. V ta namen si poglejmo, kako operator slika vektor n:

LA(n) = (︁

a²₀− ∥a∥²)︁

n+ 2 (a·n)a+ 2a₀(a×n)

=(︁

a²₀− ∥a∥²)︁

n+ 2a₀(a×n)

=(︁

a²₀− ∥a∥²)︁

n+ 2a₀∥a∥(u×n). Če označimo n_⊥ =u×n, lahko zadnjo enačbo prepišemo v

LA(n) = (︁

a²₀− ∥a∥²)︁

n+ 2a₀∥a∥n⊥. Preverimo lahko, da imata n⊥ in n enaki dolžini:

(28) ∥n⊥∥=∥n×u∥=∥n∥ · ∥u∥sinπ

2 =∥n∥.

Vektor LA(n)lahko zapišemo v obliki LA(n) =

(︃

cos² θ

2−sin² θ 2

)︃

n+ (︃

2 cosθ 2sinθ

2 )︃

n⊥

= cosθn+ sinθn⊥,

pri čemer uporabimo alternativni zapis kvaterniona z uporabo trigonometričnih funkcij. Nastali vektor je rotacija vektorja n v ravnini, ki jo razpenjata vektorja n inn⊥, za kot θ. Ta vektor pa je očitno pravokoten na os rotacijske osi, ki jo definira vektor u. S tem smo pokazali, da operator poljuben vektor, ki je pravokoten na os u, rotira za kotθ, s čimer je dokazan izrek. Slika 4 prikazuje, kako operatorLA slika

Slika 4. Rotacija vektorja v =q+nz operatorjem LA.

vektor n oziroma splošneje vektor v =q+n. □

3.2. Predstavitev prostorskih PH krivulj s kvaternioni. Spoznali bomo al- ternativen zapis PH krivulj s pomočjo kvaternionov, kot je to opisano v [3].

V razdelku 2.2 smo spoznali, da lahko hodograf poljubne prostorske PH krivulje zapišemo s pomočjo realnih polinomov a, b, c in d s predpisom (22). Po deljenju omenjenih predpisov z △=a²+b²+c²+d², te sestavljajo prvi stolpec matrike (29) U = 1

△

⎡

⎣

a²+b²−c²−d² 2 (−a d+b c) 2 (a c+b d) 2 (a d+b c) a²−b²+c²−d² 2 (−a b+c d) 2 (b d−a c) 2 (a b+c d) a² −b²−c²+d²

⎤

⎦.

Z množenjem zlahka preverimo, da matrika zadošča zvezi U U^T = U^TU = I, kjer je U^T transponirana matrika U in I identiteta. To pomeni, da je matrika U or- togonalna. Pri ortogonalnih matrikih so stolpci in vrstice ortonormirani vektorji.

Za matriko U velja celo, da je njena determinanta enaka ena. Take matrike ime- nujemo specialne ortogonalne matrike, ki se kot linearne transformacije obnašajo kot rotacije. V prejšnjem poglavju pa smo spoznali, da lahko vsako rotacijo vektor- jev v R³ predstavimo s primernim enotskim kvaternionom U kot linearen operator LU :R³ →R³, v ↦→ UvU. To pomeni, da je prvi stolpec matrike U ravno slika LU(i) = UiU, kjer je i = (1,0,0) in U primeren enotski kvaternion. Preverimo

lahko, da za kvaternion oblike A =a+bi+cj+dk velja AiA= (a+bi+cj+dk)i (a−bi−cj−dk)

= (ai−b−ck+dj) (a−bi−cj−dk)

=(︁

a²+b²−c²−d²)︁

i+ 2 (a d+b c)j+ 2 (b d−a c)k. (30)

Ker velja tudi ∥A∥² =a²+b²+c²+d² =△, je U =A/∥A∥iskan enotski kvaternion, ki opisuje rotacije matrike U. S tem znanjem lahko hodograf PH krivulje podamo s kvaternionskim polinomom A(t) = a(t) +b(t)i+c(t)j+d(t)k v obliki

(31) r^′(t) =A(t)iA(t).

Enotski kvaternionski polinom U(t) = A(t)/∥A(t)∥ definira rotacijo v R³, iz česar sledi, da vektorske funkcije

(32) e₁(t) =U(t)iU(t), e₂(t) =U(t)jU(t), e₃(t) = U(t)kU(t)

predstavljajo t. i. Euler-Rodriguesovo ogrodje, ki je po konstrukciji racionalno. Po zgornjem premisleku sledi, da je to ogrodje kompaktno opisano s stolpci matrikeU. Definicija 3.7. Euler-Rodriguesovo ogrodje (e₁,e₂,e₃) prostorske PH krivulje r, določene s pogojemr^′(t) =A(t)iA(t)za izbran kvaternionski polinomA, je podano s predpisom

(33) e1(t) = A(t)iA(t)

∥A(t)∥² , e2(t) = A(t)jA(t)

∥A(t)∥² , e3(t) = A(t)kA(t)

∥A(t)∥² .

Za razliko od Frenetovega ogrodja, nam omejitev na obravnavo regularnih prostor- skih krivulj zagotavlja, da je Euler-Rodriguesovo ogrodje definirano v vsaki točki PH krivulje. Še več, če je r PH krivulja stopnje 2n+ 1, je Euler-Rodriguesovo ogrodje racionalno, s števcem in imenovalcem stopnje 2n.

Primer 3.8. Naj bo A(t) = 1 +ti+tk kvaternionski polinom, s katerim bomo konstruirali prostorsko PH krivuljo r in primerno Euler-Rodriguesovo ogrodje. Ho- dograf iskane prostorske krivulje dobimo iz enačbe (31):

r^′(t) = A(t)iA(t) =(︁

1,2t,2t²)︁

.

Z integriranjem hodografa in izbiror(0) = (0,0,0)tako dobimo ustrezno prostorsko krivuljo

r(t) = (︃

t, t²,2t³ 3

)︃

.

Iz parametrizacije vidimo, da smo konstruirali kubično PH krivuljo, saj je najve- čja stopnja komponentnih polinomov enaka 3. Po definiciji 3.7 izračunajmo Euler- Rodriguesovo ogrodje:

(e₁,e₂,e₃) (t) = 1 1 + 2t²

(︁(︁1,2t,2t²)︁

,(︁

−2t,1−2t²,2t)︁

,(︁

2t²,−2t,1)︁)︁

. Kot že omenjeno, lahko vektorske funkcije Euler-Rodriguesovega ogrodja kompaktno opišemo s stolpci specialne ortogonalne matrike U s predpisom (29):

U = 1

1 + 2t²

⎡

⎣

1 −2t 2t² 2t 1−2t² −2t 2t² 2t 1

⎤

⎦.

Primer je ilustriran na sliki 5, kjer je prikazana krivulja r in Euler-Rodriguesovo ogrodje, kjer smo z rumeno barvo označili vektor e₂ ter z modro vektor e₃, vektor

e₁ pa smo zaradi preglednosti slike izpustili. ♢

Slika 5. Euler-Rodriguesovo ogrodje na kubični PH krivulji.

4. Rotacijsko minimizirajoče ogrodje

Gibanje togega telesa je natančno opredeljeno z opisom gibanja ene točke na to- gem telesu, ponavadi je to težiščna točka, in orientacije v odvisnosti od časa. V poglavju 2 smo natančno opisali spreminjanje točk s pomočjo vektorskih funkcij, tokrat pa se bomo posvetili obravnavi opisa orientacije. Pri opisu orientacije si v splošnem pomagamo z ortogonalnim ogrodjem (f₁,f₂,f₃), podanim s trojico vek- torskih funkcij. Brez škode za splošnost se lahko omejimo na ortonormirana ogrodja, kar pomeni, da velja

∥f₁(t)∥=∥f₂(t)∥=∥f₃(t)∥= 1

za vsak parameter t iz domene. Ideja uporabe ogrodja za opis orientacije izhaja iz opisa gibanja togega telesa. Pri opisu gibanja na objektu izberemo točko, katere gibanje nato opišemo z vektorsko funkcijo. Če točki dodamo ortogonalno ogrodje, ki predstavlja orientacijo telesa, lahko opazujemo, kako se s časom obnašajo vektorske funkcije, ki predstavljajo to ogrodje. S tem v vsakem trenutku poznamo orientacijo telesa.

Pri obravnavi prostorskih krivulj se pogosto srečamo s Frenetovim ogrodjem, ki smo ga spoznali v poglavju 2. Sestavljajo ga enotski tangentni vektor t, vektor glavne normale n in vektor binormale b, ki so dani s predpisi (1), (10) in (11).

Čeprav je Frenetovo ogrodje velikokrat primerna izbira, ima nekatere neodpravljive pomankljivosti. Kot smo že omenili, v računalniško podprtem geometrijskem obli- kovanju stremimo k uporabi racionalnih funkcij, ki omogočajo učinkovite izračune.

V razdelku 2.2 smo videli, da preslikave, ki opisujejo Frenetovo ogrodje, v splošnem niso racionalne, tudi če za parametrizacijo r vzamemo polinomsko ali racionalno funkcijo. Druga pomankljivost je, da se kljub uporabi regularnih parametrizacij r, izkaže, da sta vektorja glavne normale in binormale nedefinirana v točkah, kjer je r^′(t)×r^′′(t) = 0. Še zadnja pomankljivost Frenetovega ogrodja, s katero se bomo ukvarjali tekom tega razdelka, pa je, da ima to ogrodje veliko nezaželenih rotacij okoli enotskega tangentnega vektorja t [4].

Definicija 4.1. Naj bo r :I ⊆ R → R³ prostorska krivulja in f₁,f₂,f₃ : I → R³ vektorske funkcije, ki sestavljajo ortonormirano ogrodje(f1,f2,f3)definirano vzdolž

krivulje. Ogrodje je pozitivno orientirano, če velja f₁(t)·(f₂(t)×f₃(t))>0

za vsak t ∈ I. Ogrodju, ki je pozitivno orientirano in za katerega je f₁ enotski tangentni vektor

f₁(t) = r^′(t)

∥r^′(t)∥, pravimo prikrojeno ogrodje.

Opomba 4.2. Obstaja neskončno različic prikrojenih ogrodij, pri katerih vektorja f₂ in f₃ ustrezata pogoju

f₁ =f₂×f₃.

Frenetovo ogrodje je primer prikrojenega ogrodja. Vsako drugo tako ogrodje je mogoče izraziti z rotacijama vektorjev f₂ in f₃ v normalni ravnini.

Naj bo (f₁,f₂,f₃) poljubno prikrojeno ogrodje. Spreminjanje ogrodja vzdolž krivulje merimo z odvodom vektorskih funkcij, ki sestavljajo opazovano ogrodje.

Ker te funkcije v vsaki točki tvorijo ortonormirano bazo v R³, lahko njihove odvod zapišemo v obliki

f₁^′ =a₁f₁+b₁f₂+c₁f₃, f₂^′ =a₂f₁+b₂f₂+c₂f₃, f₃^′ =a₃f₁+b₃f₂+c₃f₃, (34)

kjer so ai, bi in ci, i = 1,2,3, neznani parametri. Ob upoštevanju, da je norma vektorskih funkcij v vsaki točki enaka 1, dobimo enačbe fi·f_i^′ = 0 za i = 1,2,3.

Iz teh enačb, predpisov za odvode (34) in pravokotnosti vektorskih funkcij f₁, f₂ in f₃, kar lahko zapišemo kot

(35) f₁·f₂ =f₂·f₃ =f₃·f₁ = 0, sledi

f₁^′ ·f₁ =a₁f₁ ·f₁+b₁f₂·f₁+c₁f₃·f₁ =a₁ = 0.

Podobno pokažemo tudib₂ =c₃ = 0. Po drugi strani pa dobimo z odvajanjem enačb (35) pogoje:

f₁^′ ·f₂ +f₁·f₂^′ =b₁+a₂ = 0, f₂^′ ·f3 +f2·f₃^′ =c2+b3 = 0, f₃^′ ·f₁ +f₃·f₁^′ =a₃+c₁ = 0.

Ob upoštevanju teh pogojev označimo

ω₁ =f₂^′ ·f₃ =c₂ =−b₃, ω₂ =f₃^′ ·f₁ =a₃ =−c₁ in ω₃ =f₁^′ ·f₂ =b₁ =−a₂. S tem oznakam lahko odvode vektorskih funkcij v (34) zapišemo kot

(36) f₁^′ =ω₃f₂ −ω₂f₃, f₂^′ =−ω₃f₁+ω₁f₃, f₃^′ =ω₂f₁−ω₁f₂. Če sedaj definiramo vektor kotne hitrosti s predpisom

(37) ω =ω₁f₁ +ω₂f₂+ω₃f₃, lahko preverimo, da velja

ω×f1 =ω1f1×f1+ω2f2×f1+ω3f3×f1 =−ω2f3+ω3f2 =f₁^′,