Teoretiˇcni del izpita iz matematike II za ˇstudente IˇSRM, 10. 7. 2018 1. (i) Napiˇsite gradient in Hessovo matriko funkcije f : R2 → R, f(x, y) = ax4−2bx2y2+cy2, kjer so a, b, cpozitivne konstante. Doloˇcite tudi vse ekstreme te funkcije.
2. Izpeljite diferencialno enaˇcbo druˇzine parabol y=cx2 (c∈R), nato napiˇsite diferencialno enaˇcbo ortogonalnih trajektorij na te parabole in jo reˇsite.
1
2
3. (i) Kako so definirane notranjost, rob in zaprtje podmnoˇziceA⊆Rn?
(ii) Doloˇcite notranjost in rob mnoˇziceA={(x, y, z)∈R3: 0≤x≤1, 0≤y≤ 2, 0≤z <3} \ {(0,0,0)}.
4. Izraˇcunajte Fourierovo vrsto funkcije f, periodiˇcne s periodo 2π, ki je na intervalu [−π, π) podana kotf(x) =x−π. Kam konvergira ta vrsta v posameznih toˇckah x∈R? Ali je konvergenca enakomerna?
