Univerza v Ljubljani Pedagoška fakulteta
Oddelek za matematiko in računalništvo
Marko Razpet
FILON IZ BIZANCA
Študijsko gradivo Zgodovina matematike
Ljubljana, marec 2022
Vsebina
Seznam slik 3
Predgovor 4
Kdo je bil Filon iz Bizanca? 4
Filonova dela 8
Filonova premica 12
Filonova premica v primeru pravega kota 13
Opis in razlaga poskusa iz Pnevmatike 21
Filonova Artilerija 22
Viri 28
Seznam slik
1 Pomembni grški učenjaki. . . 5
2 Filon iz Bizanca. . . 6
3 Bizanc in Halkedon. . . 7
4 Filonova premica. . . 12
5 Filonova premica, krožnica in hiperbola. . . 13
6 Filonova premica v koordinatnem sistemu. . . 14
7 Filonova premica, krožnica in hiperbola. . . 16
8 Filonova premica in srednji geometrijski sorazmernici. . . 16
9 Filonova premica in podvojitev kocke. . . 17
10 Apolonij iz Perge. . . 17
11 Apolonijevo reševanje. . . 18
12 Heron iz Aleksandrije. . . 18
13 Heronovo reševanje. . . 19
14 Filonovo reševanje. . . 19
15 Kocka in podvojena kocka. . . 20
16 Problem lestve. . . 20
17 Problem hodnikov. . . 21
18 Filonov poskus. . . 22
19 Torzijska snopa, srce vojaške metalne naprave. . . 25
20 Model katapulta. . . 27
Predgovor
V antiki je živelo nekaj ljudi, ki v razvoj matematike niso prispevali prav veliko, a se jih je kljub temu vredno spomniti. V pričujočem gradivu bomo spoznali Filona iz Bizanca, ki je bil za današnje pojme vojaški in- ženir, lahko pa rečemo, da je bil tudi fizik in pisatelj. Pri svojem delu je naletel na nekatere matematične probleme in jih dokaj uspešno rešil. Po njem se v matematiki imenuje Filonova premica, ki jo bomo obravnavali v gradivu. Filonova premica je v zvezi s starodavnim problemom podvojitve kocke, pa tudi z nekaterimi ekstremalnimi problemi. O antičnih klasičnih problemih je večnapisanega na primer v [5, 6, 7, 8].
Kdo je bil Filon iz Bizanca?
Filon iz Bizanca (280–220 pr. n. št.), tudi Filon Bizantinski ali Filon Mehanik, po grškoΦίλων ὁ ΒυζάντιοςaliΦίλων Μηχανικός, je bil sodobnik Evklida, Aristarha, Arhimeda, Eratostena in Apolonija (slika 1). Njegova podoba, ki jo uporabljajo tudi drugi avtorji, ki opisujejo Filonovo življenje in delo, je na sliki 2. Najnujnejše o Filonu lahko preberemo v [1].
Filon se je rodil v Bizancu, starodavnem mestu na evropski strani mor- ske ožine Bosporja, južno od Zlatega roga. Bizanc,Βυζάντιον, so ustanovili kolonisti iz Megare, Argosa in Korinta leta 667 pr. n. št. Ime je dobil po Bizasu iz Megare, grško Βύζαςali pa tudi Βύζαντας. Na nasprotni, malo- azijski strani Bosporja, je bilo mesto Halkedon, Χαλκεδών ali Καλχεδών, ustanovljen že leta 685 pr. n. št. kot kolonija Megare. Ironično so ga imenovali tudi kraj slepcev, ker so Megarci spregledali, da je na drugi strani Bosporja ugodnejša lega za novo kolonijo. Mineral kalcedon, drob-
Slika 1. Pomembni grški učenjaki.
nokristalna vrsta kremena, je dobil ime po tem mestu.
Preden so nameravali ustanoviti Bizanc, so bili v veliki dilemi, kje. Kot je bila navada pri Grkih v kočljivih odločitvah, so napotili odposlanstvo v Apolonovo preročišče v znamenitih Delfih, Δελφοί, in vprašali boga, kje naj ustanovijo Bizanc. Svečenica Pitija,Πυθία, jim je odgovorila:
ἀντὶ τοῦ τόπου τῶν τυφλῶν.Nasproti kraja slepcev.
To je seveda pomenilo nasproti Halkedona.
Beseda τυφλός v Pitijinem odgovoru nam je domača, pomeni namreč slep. Poznamo jo zaradi besedetiflopedagog, kar pomenipedagog za zelo
Slika 2. Filon iz Bizanca.
slabovidne in slepe. Srednji del te besede izhaja iz samostalnikaπαῖς, ge- nitiv παιδός, kar pomeni otrok, zadnji del pa iz glagolaἄγω, kar pomeni vodim, ženem. V stari Grčiji je namrečsuženj vodil otroka v šolo.
Bizanc je odigral pomembno vlogo v zgodovini in evropski narodi so ga poimenovali in zapisali vsak malo drugače, na primer: Βυζάντιον, Byzan- tium (lat., ang., nz.), Bizant (hr.), Bizantijum (bos.), Byzantion (češ., šve.), Bizancjum (pol.), Bizanti (alb.), Byzanz (nem.), Bisanzio (ita.), Bizanţ(rom.), Bizancio (šp.), Bizâncio (prt.), Byzance (fra.),Vizantion(mak., blg., srb.), Vizanti(rus.),Vzant(ukr.),Vzanty(blr.). Včetrtem stoletju naše- ga štetja je Bizanc postal središče vzhodnega dela Rimskega ali Bizantin- skega cesarstva. Po cesarju Konstantinu Velikem, ki je vladal od 25. julija 306 do 22. maja 337, je Bizanc dobil ime Konstantinopel, Konstantinovo mesto,Κωνσταντινούπολις. Po turški zasedbi leta 1453 je mesto dobilo ime Kostantiniyye, v moderni turški republiki pa leta 1930 Istanbul, turško
Slika 3. Bizanc in Halkedon.
İstanbul. Razlika med I inİoziroma med ı in i je v turščini v izgovorjavi.
Črka i s piko je blizu našemu i, ı brez pike pa polglasniku. Glavno mesto moderne Turčije je leta 1923 postala Ankara, ki se je pred tem imeno- vala Angora, v stari grščini pa῎Αγκυρα. Ime Istanbul izhaja iz grške fraze εἰς τὲν πόλιν, kar pomeni v mestu. Slovenci Istanbul pogosto imenujemo Carigrad.
O Filonovem življenju je malo znanega. Vemo samo to, da je deloval kot mnogi drugi učenjaki tistihčasov v Muzejonu v Aleksandriji,᾿Αλεξάνδρεια, v Egiptu. Mesto je ustanovil Aleksander Veliki (356–323 pr. n. št.),
᾿Αλέξανδρος ὁ Μέγας. Ptolemajci so v Aleksandriji v 3. stoletju pr. n.
št. ustanovili Muzejon, Μουσεῖον, posvečen muzam, ki se postal slavno helenistično znanstveno središče, ki je vključevalo visoko šolo, znanstveni inštitut in bogato knjižnico. Morda se je Filon tu srečal celo z Arhimedom iz Sirakuz (287–212 pr. n. št),᾿Αρχιμήδης ὁ Συρακούσιος.
Prav tako je znano, da je bil Filon nekaj časa tudi na otoku Rodosu,
῾Ρόδος, kjer so izdelovali neki katapult. V starem veku je bil katapult os-
novna vojaška mehanska metalna vzvodna naprava. Z enokrakim kata- pultom so lahko metali v boju na nasprotnike kamenje, predvsem pri oble- ganju mest in utrdb. Z dvokrakim katapultom pa so izstreljevali kamnite krogle, puščice, kopja ali posebne koničasto oblikovane izstrelke. Metanje oziroma izstreljevanje s katapultom je baziralo na elastičnih in torzijskih napetosti izbranih materialov: lesa, vrvi, živalskih kit, kovine.
Filon je bil zagotovo mlajši od Ktezibija iz Aleksandrije (284–221 pr. n.
št.),Κτησίβιος ὁ ᾿Αλεξανδρεύς. Večkrat ga je namrečcitiral v svojih delih. Je pa bil starejši od Vitruvija (1. stoletje pr. n. št.) (Marcus Vitruvius Pollio), ki je citiral Filona. Zaradi nekega odlomka, v katerem Filon kot očividec opisuje neki Ktezibijev poskus, velja za njegovega neposrednega učenca, na podlagi tega pa je njegovo delovanje na splošno datirano nekako na koncu 3. stoletja pr. n. št. Pravijo pa, da ni mogoče izključiti, da je Filonov opis poskusa povzet iz nekega drugega vira. Filon iz Bizanca je verjetno umrl v Aleksandriji.
Filona iz Bizanca ne smemo zamenjevati s Filonom in Aleksandrije (15/10 pr. n. št–40 n. št),Φίλων ὁ ᾿Αλεξανδρεύς, latiniziranoPhilo Alexan- drinus ali Philo Iudæus, ki je bil vpliven judovski filozof in teolog, naj- pomembnejši mislec helenističnega judovstva.
Filonova dela
Filonovo glavno delo jePriročnik mehanike,Μηχανικὴ σύνταξις, v devetih knjigah, od katerih so se ohranile četrta, peta, sedma in osma (v nadalje- vanju v krepkem tisku). Beseda knjiga tu ne pomeni knjigo v današnjem smislu, ampak zvitek iz papirusa.
1. Uvod v matematiko —εἰσαγωγή
Izgubljen je uvod z osnovnimi matematičnimi podatki o delu. Med drugim je vseboval Filonov predlog rešitve antičnega problema po- dvojitve kocke, ki ga je ohranil matematik in neoplatonist Evtokij iz Aškalona (480–520), Εὐτόκιος ὁ ᾿Ασκαλωνίτης, in verjetno tudi alter- nativne dokaze nekaterih trditev v Evklidovih Elementih.
2. Vzvodi —μοχλικά
Knjiga o vzvodih je izgubljena. Menijo, da je morda vsebovala teo- retično obravnavo mehanike.
3. Gradnja pristanišč—λιμενοποιικά Tudi ta knjiga velja za izgubljeno.
4. Artilerija—βελοποιικά
Pod artilerijo v antiki je treba razumeti razne metalne naprave, v glavnem katapulte. Knjiga je ohranjena v izvirnem grškem besedilu in je eden glavnih virov o helenistični artileriji, zlasti o razvoju torzij- skih vojaških metalnih naprav, ki so izkoriščale torzijsko elastičnost snopov elastičnih vlaken. Filon med drugim opisuje eksperimen- talno delo, na podlagi katerega je ugotovil, da je premer snopa vlaken sorazmeren kubičnemu korenu teže izstrelka, ki je bil izstreljen na določeno razdaljo. To razmerje je verjetno izvor Filonovega zani- manja za problem podvojitve kocke (računanje kubičnih korenov).
Na koncu besedila Filon opisuje vojaško metalno napravo s kovin- skimi vzmetmi, pa tudi tako z valji in bati ter katapult, ki ga je videl na otoku Rodosu.
Artilerija je v sodobnem pomenu beseda, ki izraža celotnost vojaških strojev in priprav, pa tudi topništvo kot tako, lahko pa tudi rod kopenske vojske oziroma vedo, ki se z vsem tem ukvarja: Beseda izvira iz starofrancoske besedeartillier, kar pomenioskrbovati s stro- ji. Knjigo v grščini in nemščini najdemo v delu [3].
5. Pnevmatika—πνευματικά
Obstaja arabski prevod v petinšestdesetih poglavjih, v katerih je opi- sanih prav toliko metalnih naprav. Prvih enaindvajset poglavij je prav tako prevedenih iz latinskih rokopisov in se zdijo manj poškodo- vana kot naslednja. Opisujejo predvsem demonstracijske eksperi- mentalne naprave, ki so uporabne za prikaz različnih pojavov, vključ- no s tistimi, ki se nanašajo na sifonsko načelo. Za ponazoritev toplot- nega raztezanja zraka je predstavljena naprava, ki bi jo dandanes imenovali termoskop, osnova za zračni termometer. Zadnji del arab- skega besedila je posvečen gospodarsko uporabnim aplikacijam, kot so vodna kolesa in naprave za dvigovanje vode. Francoski in arabski prevod knjige je na razpolago v [9].
Kot vidimo, se današnji pomen besede pnevmatika nekoliko raz- likuje od tistega v antiki. Osnova izhaja iz besede πνεῦμα, kar med drugim pomenidih, piš, zrak, sapa.
6. Gradnja avtomatov —αὐτοματοποιητικά
Delo je izgubljeno, vendar je zelo zanimiv odlomek, prepisan iz is- toimenskega dela Herona iz Aleksandrije (1. stoletje),῞Ηρων ὁ ᾿Αλε- ξανδρεύς. Opisuje igro, ki jo izvajajo avtomati. Med predstavo je bilo mogoče videti delfine, ki plavajo v morju, brodolom in strelo, ki je
udarila v podobo Ajaksa in ga prisilila izginiti.
7. Gradnja utrdb—παρασκευαστικά
Knjiga predstavlja za tistečase najzgodnejšo in najobsežnejšo študijo o gradnji utrdb. V starem, tu in tam pa tudi še v srednjem veku so se pogosto vojskovala kraljestva, pa tudi posamezna mesta. Zato so gradili obsežna obzidja in vojaške postojanke v obliki utrdb.
8. Obleganje in obramba mest—πολιορκητικά
Delo obravnava zaščito med obleganjem ter oblegovalne naprave in tehnike. Filon se zavzema za prisotnost zdravnikov in njihovih po- močnikov pri vojaških akcijah zaradi hitre pomoči ranjencem in za njihovo oskrbo. Obleganje mest je bil v starem in srednjem veku standardni način, da so prisilili nasprotnika v vdajo.
9. O pismih —περὶ ἐπιστολῶν
Delo je izvirna študija o pisanju tajnih, šifriranih ali celo nevidnih pisem. Znan je za današnje pojme preprost način šifriranja, imeno- van skitala ali skitalon, σκυτάλη, σκύταλον. Trak so spiralno navili na prizmatično palico, nanj napisali sporočilo in ga odvili s palice.
Trak s sporočilom so odposlali, prejemnik pa je trak navil na enako prizmatično palico in je lahko prebral sporočilo.
To so bili začetki kriptografije. Beseda kriptografija izvira iz dveh grških: κρυπτόςpomeniskrit, tajen, skriven,γράφωpapišem.
Razdelitev Priročnika mehanike na devet knjig je nastala šele po Filonovi smrti.
Filonova premica
Dan je kot XOY, ki leži med 0 in π, in v njegovi notranjosti točka P. Filonova premica točkeP v kotu XOY je premica skozi P, ki seka kraka kota v točkahAinBtako, da je razdalja∣AB∣minimalna.
Slika 4. Filonova premica.
Problem se da rešiti analitično z iskanjem ekstrema neke funkcije. Pri reševanju naletimo na kubično enačbo, katere realni koeficienti se izražajo s kotom ∠XOY in z razdaljama točke P od krakov OX in OY. Izkaže se, da za točko Q, ki je pravokotna projekcija vrha O kota na Filonovo premico, velja enakost∣AP∣=∣BQ∣.Če jeSsredišče daljiceOP, potem velja
∣AS∣=∣BS∣. Točka Q je presečišče veje hiperbole H, ki poteka skozi P in ima za asimptoti krakaOX inOY, ter krožnice skoziOinP s središčem v točkiS.
Filonove premice se v splošnem ne da konstruirati z neoznačenim rav- nilom in šestilom. Pravimo, da Filonova premica ni konstruktibilna. Prob- lem vodi do kubične enačbe z realnimi koeficienti, katere rešitve se izražajo s kubičnimi koreni, ki niso konstruktibilni. Pač pa se jo da določiti s po-
Slika 5. Filonova premica, krožnica in hiperbola.
močjo hiperbole, ki pa ni konstrukcijski element. Približno se Filonovo premico da načrtati,če uporabimo njene zgoraj navedene lastnosti. To so že znali izkoristiti Filon iz Bizanca, Apolonij iz Perge in Heron iz Aleksan- drije. Kasneje bomo njihove metode pojasnili za primer, ko je kot∠XOY pravi.
S Filonovo premico, ki reši konkreten ekstremalni problem, rešimo tudi problema lestve in hodnikov, kot bomo spoznali v nadaljevanju za primer pravega kota. Navsezadnje lahko s Filonovo premico rešimo staro- davni problem podvojitve kocke. Nerešljivost tega problema samo z neoz- načenim ravnilom in šestilom so matematiki dokazali šele v 19. stoletju.
Filonova premica v primeru pravega kota
Do Filonove premice za primer pravega kota hitro pridemo, zahvaljujoč Renéju Descartesu, z metodami ravninske analitične geometrije.
Vpeljemo pravokoten kartezični koordinatni sistem Oxy. Postavimo
Slika 6. Filonova premica v koordinatnem sistemu.
P(a,b),A(a+ξ,0). Premica skoziAinP ima enačbo:
y=−b
ξ(x−ξ−a). Osy preseka v točkiB(0,b(1+a/ξ)).
Izračun minimuma dolžine D daljice AB poteka po standardni poti.
Najprej izrazimo kvadrat razdalje:
D2=∣AB∣2=(a+ξ)2+b2(1+a/ξ)2. Nato zapišemo potreben pogoj za njegov lokalni ekstrem:
dD2
dξ =2(a+ξ)−2ab2a+ξ
ξ3 =2(a+ξ)ξ3−ab2 ξ3 =0.
Edina smiselna stacionarna točka funkcijeξ↦D2(ξ)jeξ= 3
√
ab2, s katero izrazimo koordinate točkAinB:
A(a+
√3
ab2,0), B(0,b+
√3
a2b).
Koordinate zapišemo v prikladnejši obliki A(3
√a(
√3
a2+
√3
b2),0), B(0, 3
√ b(
√3
b2+
√3
a2),
iz katere takoj sledi minimalna razdalja
∣AB∣=
√ (
√3
a2+
√3
b2)3. V posebnem primerua=bdobimo∣AB∣=2a√
2. Iz drugega odvoda d2D2
dξ2 =2(ξ4+2ab2ξ+3a2b2) ξ4
se takoj vidi, da ima funkcija ξ ↦D2(ξ) v stacionarni točki res lokalni minimum.
Enačba Filonove premice skozi točko P(a,b) najprej izrazimo v seg- mentni obliki, odpravimo ulomke in dobimo:
x3
√
b+y√3 a=
√3
ab(
√3
a2+
√3
b2). Njen smerni koeficient pa jek=−3
√
b/a. Normala nanjo skozi koordinatno izhodišče ima enačbo
y=x3
√ a/b.
Filonova premica in ta normala se sekata v točki Q(
√3
ab2, 3
√ a2b).
Točke O,P in Q ležijo na krožnici, ki ima središče S v razpolovišču daljiceOP in premer
√
a2+b2. TočkiP inQležita na hiperbolixy=ab. Ab- scisa točkeQ je karξ= 3
√
ab2. Zato je∣AP∣=∣QB∣. Preprost račun pokaže, da je tudi∣SA∣=∣SB∣. Ordinata točkeQjeη= 3
√
a2b. Velja relacija a
η =η ξ =ξ
b.
Torej staηinξsrednji geometrijski sorazmernici zaainb.
Zaa=2bjeξ=b√3
2, kar pomeni, da ima kocka z robomξdvakrat večjo prostornino kot kocka z robomb.
Slika 7. Filonova premica, krožnica in hiperbola.
Slika 8. Filonova premica in srednji geometrijski sorazmernici.
Apolonij iz Perge (240–190 pr.n.št.),᾿Απολλώνιος ὁ Περγαῖος, in Heron iz Aleksandrije (10–70), ῞Ηρων ὁ ᾿Αλεξανδρεύς, sta reševala problem po- dvojitve kocke podobno kot Filon iz Bizanca. Apolonij se je vpisal v zgodo- vino matematike predvsem zaradi dela o stožnicah, ki jih je opredelil kot ravninske preseke dvojnega stožca. Heron pa je znan po svojih izumih na področju mehanike in naprav na paro, razpravljal pa je tudi o zraku in svetlobi. Razvil je tudi znano Heronovo formulo za ploščino trikotnika,če poznamo vse tri njegove stranice.
Slika 9. Filonova premica in podvojitev kocke.
Slika 10. Apolonij iz Perge.
Apolonijevo reševanje je potekalo takole. Krožnico skozi A′ in B′ s središčem v S je spreminjal, dokler ni dosegel poteka tetive A′B′ skozi P. Tedaj jeA′=AinB′=Bterξ= 3
√
ab2inη= 3
√
a2b(slika 11).
Podobno poteka Heronovo reševanje. Premico skoziP je vrtel okoliP, dokler ni dosegel pogoja∣A′S∣=∣B′S∣. Tedaj jeA′=AinB′=Bterξ= 3
√ ab2 inη= 3
√
a2b(slika 13).
Nazadnje si oglejmo še Filonovo reševanje. Premico skozi P je vrtel okoli P, dokler ni dosegel enakosti ∣A′P∣=∣B′Q′∣. Tedaj je A′ =A, B′ =B
Slika 11. Apolonijevo reševanje.
Slika 12. Heron iz Aleksandrije.
in Q′=Q ter ξ= 3
√
ab2 in η= 3
√
a2b (slika 14). Opis reševanja najdemo v Filonovem deluβελοποιικά.
Pri vseh treh je treba vzetia=2b, da s tem rešimo problem podvojitve ali duplikacije kocke, v grščini διπλασιασμὸς τοῦ κύβου. Kocka z robom b ima prostornino V1 =b3, podvojena kocka ima rob b√3
2 in prostornino V2=2b3=2V1.
Problem lestvesprašuje po dolžini najkrajše lestve, ki je uprta v tla in naslonjena na steno prek ob steno prislonjene omare globine a in višine
Slika 13. Heronovo reševanje.
Slika 14. Filonovo reševanje.
b. Očitno je rešitev dolžina`min odseka Filonove premice za pravi kot in točko, ki jo predstavlja v prostor segajoči zgornjo rob omare v stranskem risu (slika 16).
Kot vemo, je ta dolžina
`min=
√ (
√3
a2+
√3
b2)3.
Podoben je problem hodnikov. Dva hodnika širinain b prehajata en v drugega pod pravim kotom (slika 17). Koliko sme biti največ dolga
Slika 15. Kocka in podvojena kocka.
Slika 16. Problem lestve.
tanka ravna letvica, da jo lahko neovirano prenesemo iz enega hodnika v drugega? Pri tem mora biti letvica neprestano vzporedna s tlemi.
Podoben je problem potoka širine a, ki se pravokotno pridruži reki širine b, in je treba tanek plavajoči hlod iz potoka splaviti neovirano v reko. Vprašanje je, kako dolg sme biti hlod.
To je naloga št. 1587 v zbirki [2]. Odgovor je spet
`max=
√ (
√3
a2+
√3
b2)3.
Problem se lahko na fakultetah, ki imajo v programu osnove mate- matične analize, rešuje na vajah.
Slika 17. Problem hodnikov.
Težji kot problem lestve jeproblem kavča. Kakšne smejo biti dimenzije kavča, da ga lahko neovirano prenesemo iz enega hodnika v drug hodnik, ki en v drugega prehajata pod pravim kotom?
Opis in razlaga poskusa iz Pnevmatike
V Filonovi Pnevmatiki, ki se je ohranila v arabskem prevodu, najdemo več poskusov z zrakom in vodo ter celo vrsto naprav, ki delujejo na zrak in vodo. Oglejmo si znan poskus, ki ga še dandanašnji obravnavajo že učbeniki fizike za osnovno šolo.
Iz besedila razberemo, da Filon še ni poznal principa gorenja, kljub temu pa je poskus v okviru takratnega znanja dobro, znanstveno razložil.
Dokazano je, da ne more biti prostora, ki bi bil prazen zraka ali katerega koli drugega telesa. V posodo nalijte vodo; na sredino posode postavite nekaj podobnega svečniku in nanj postavite baklo; na to baklo obrnite amforo, katere odprtina se približa vodi; bakla naj stoji na sredini amfore.
Nekajčasa pustite tako; videli boste, da se voda v posodi dviguje proti am-
fori. To se lahko zgodi le iz razloga, ki smo ga navedli, saj zrak, ki je ujet v amfori, zaradi prisotnosti plamena izgine, se izčrpa in odide, ne more pa obstajati skupaj z njim; ko se zrak zaradi gibanja ognja raztopi, voda naraste sorazmerno z izginjajočim zrakom. To je podobno tistemu, kar smo videli v sifonu; zrak izgine, raztopljen v ognju, zato se voda dvigne in napolni prostor, ki je postal prazen(slika 18).
Slika 18. Filonov poskus.
Kljub nekoliko napačni razlagi pa je treba priznati, da je Filon vedel, da je nevidni zrak snov, ki zavzema prostor. Najbrž je k njegovim iznajdbam veliko pripomogel inženir, izumitelj in matematik Ktezibij iz Aleksandrije (285–222 pr. n. št.),Κτησίβιος ὁ ᾿Αλεξανδρεύς, ki je napisal knjigoO pnev- matiki,Περὶ τῶν πνευματικῶν.
Filonova Artilerija
Vojaške naprave, katapulte, za metanje kamenja, kopij, puščic in v ta na- men posebej izdelanih predmetov so verjetno poznali že Asirci, Babilonci, Egipčani in Feničani. Znano pa je, da so jih uporabljali Makedonci včasu vladanja Filipa II. in Aleksandra Velikega. Uporaba se je nato nadalje- vala v obdobju helenizma in rimske nadvlade, pa tudi še kasneje. Vojaške
naprave so služile v neposrednih bojih, pri obleganju mest in utrdb, pa tudi pri njihovi obrambi. Katapulti so bili različnih velikosti. Nekatere manjše se je dalo prenašati ali prevažati na vozovih, večji so bili na last- nih kolesih in se jih je prav tako dalo prevažati. Nameščali so jih tudi na ladjah, za obrambo mest pa na obzidjih. O artileriji v antiki je veliko napisanega v diplomskem delu [4].
Filonova Artilerija natančno obravnava katapulte. Besedakatapult iz- haja iz grškeκαταπέλτης. Baje ta beseda izvira izπέλτη, kar pomeni v obliki polmeseca izdelan majhen lahek lesen ščit, prevlečen z usnjem, in pred- loga κατά, ki med drugim pomeni dol, skozi. Katapult je v tem smislu razdiralec ščitov. Pomeni paπέλτηtudisulica, kol.
Glede na gradnjo in velikost so Grki katapulte poimenovali z različ- nimi besedami. Filon uporablja besedi palinton, παλίντονον, za dvokraki metalec, inevtiton,εὐθύτονον, prav tako za dvokraki metalec. Razlika je v obliki krakov. Gastrafet,γαστραφέτης, je bil metalec, ki ga je strelec napel z naslonitvijo na trebuh. Naprava spominja na nekakšen samostrel. Težko je razlikovati, kaj je pri tem grškega in kaj rimskega. Rimljani so me- talce razvijali naprej. Tako poznamo besede litoboloziromapetrobol,λι- θοβόλος, πετροβόλος, ki označujeta metalca kamenja oziroma skal,heiroba- listro,χειροβαλλίστρα, kar pomeni ročni metalec. Dva metalca so Rimljani poimenovali po živalih: škorpion,scorpio,σκορπίος, inonager. Onager je sicer sirski polosel (Equus hemionus hemippus), orožje onager pa je rimski oblegovalni katapult, ki je pri izstrelitvi s svojim zadnjim delom poskočil kot omenjena žival.
Rimljani so za dvokraki katapult uporabljali latinsko besedoballista, ki izhaja iz grške besede βαλλίστρα, ki je izpeljana iz glagola βάλλω, kar pomenimečem, lučam, izstrelim.
Filonova Artilerija je na srečo ohranjena v grščini. Oglejmo si natančno le njen začetek (glej [3]):
᾿ΕΚ ΤΩΝ ΦΙΛΩΝΟΣ ΒΕΛΟΠΟΙΙΚΩΝ ΛΟΓΟΣ Δ.
Αʹ. Φίλων ᾿Αρίστωνι χαίρειν· τὸ μὲν ἀνώτερον ἀποσταλὲν πρὸς σὲ βιβλίον περιεῖχεν ἡμῖν τὰ λιμενοποιικά· νῦν δὲ καθήκει λέγειν, καθότι τὴν ἐξ ἀρχῆς διάταξιν ἐποιησάμεθα πρὸς σέ, περὶ τῶν βελοποιικῶν, ὑπὸ δέ τινῶν ὀργανο- ποιικῶν καλουμένων. Εἰ μὲν οὖν συνέβαινεν ὁμοίᾳ μεθόδῳ κεχρῆσθαι πάντας τοὺς πρότερον πεπραγματευμένους περὶ τοῦ μέρους τούτου, τάχα ἂν οὐθενὸς ἄλλου προσεδεόμεθα πλὴν τοῦ τὰς συντάξεις τῶν ὀργάνων ὁμολόγους οὔσας ἐμφανίζειν. ᾿Επεὶ δὲ διηνεγμένους ὁρῶμεν οὐ μόνον ἐν ταῖς πρὸς ἄλληλα τῶν μερῶν ἀναλογίαις, ἀλλὰ καὶ ἐν τῷ πρώτῳ καὶ ἡγουμένῳ στοιχείῳ, λέγω δὲ τῷ τὸν τόνον μέλλοντι δέχεσθαι τρήματι, καλῶς ἔχον ἐστὶν περὶ μὲν τῶν ἀρχαίων παρεῖναι, τὰς δὲ τῶν ὕστερον παραδεδομένας μεθόδους περὶ τῆς καθόλου τέχνης δυναμένας ἐπὶ τῶν ἔργων τὰ δέοντα ποιήσειν ταύτας ἐμφανίζειν.
IZ FILONOVEGA DELA ARTILERIJA 4. KNJIGA
Filon pozdravlja Aristona. Moja, Tebi prej posvečena knjiga, je obrav- navala gradnjo pristanišč. Sedaj moram razpravljati o gradnji topov1oziro- ma o gradnji vojaških naprav, kakor nekateri to imenujejo, po osnutku, ki sem Ti ga predložil na začetku. Če bi vsi tisti, ki so prej obravnavali to zvrst2, uporabljali enako metodo, nam pačne bi bilo treba naprej navajati ničesar razen ustroja topov. Tu pa pripomnimo, da se ne razlikujejo drug od drugega le v razmerjih delov, ampak tudi v prvi in osnovni zadevi,
1gradnji katapultov
2zvrst mehanike
mislim v izvrtini, ki mora držati napenjalnik. Zato je dobro, da ne upo- števamo starih avtorjev in uporabimo metode mlajših, ki jih na splošno posredujejo v tehniki, in ki so v stanju, da postanejo primerne za zahteve dela.
V nadaljevanju Filon podrobno opisuje vsak del vojaške naprave. Pose- bej se posveča tistemu delu, v katerem zbrana torzijska energija pripomore k dometu naprave. To je torzijski snop vlaken,τόνος(slika 19). Snop je bil narejen iz živalskih kit ali vrvi.
Slika 19. Torzijska snopa, srce vojaške metalne naprave.
Filon je eksperimentalno dognal, da je premer snopa vlaken sorazmeren kubičnemu korenu teže izstrelka, ki je bil izstreljen na določeno razdaljo.
Po navadi so streljali pod kotom 45○. Tu izvira Filonovo zanimanje za računanje kubičnega korena in problem podvojitve kocke.
Težo izstrelkov navaja Filon v minah, premer snopa pa v palcih. Ena aleksandrijska mina, μνᾶ, je ustrezala 529 g. Večja utežna enota je bila talent, τάλαντον, ki je bil enakovreden 60 min. En palec, δάκτυλος, je v antiki ustrezal 1,85 cm.
Če jemmasa izstrelka,dpa premer snopa, potem je po Filonu pri istem dometu d =k√3
m. Za masim1 in m2, ki ustrezata premeromad1 ind2 je
potem
d2
d1
= 3
√m2
m1
.
Filon navaja rezultate, katerim dodajamo še točne vrednosti glede na prvo meritev.
po Filonu izračunano zap. št. m[min] d [palcev] d [palcev]
1 10 11 11
2 15 12 34 12,59
3 20 14 13,86
4 30 15 34 15,86
5 50 18 34 18,81
6 60 21 19,99
7 150 25 27,13
8 180 27 28,83
Prvih pet vrstic kaže kar dobro ujemanje, zadnji tri pa nekoliko slabše.
Vojaška metalna naprava s snopom debeline 11 palcev bi torej kamen z maso 10 min izstrelil enako daleč kot kot bi izstrelila naprava s snopom debeline 14 palcev kamen z maso 20 min.
Filon naravna števila označuje z velikimi grškimi črkami, čeznje pa napišečrto:
IA=11,IB=12,I∆=14,IE=15,IH =18,KA=21,KE=25,KZ=27.
Grki so števila označevali sčrkami, ker je bil vrstni redčrk v njihovem alfabetu že ustaljen:
enice od 1 do 9 s
Αʹ, Βʹ, Γʹ, Δʹ, Εʹ, Ϛʹ, Ζʹ, Ηʹ, Θʹ;
desetice od 10 do 90 s
Ιʹ, Κʹ, Λʹ, Μʹ, Νʹ, Ξʹ, Οʹ, Πʹ, Ϙʹ;
stotice od 100 do 900 s:
Ρʹ, Σʹ, Τʹ, Υʹ, Φʹ, Χʹ, Ψʹ, Ωʹ, Ϡʹ.
Število 6 so označevali s črkodigama, to je s ϝ oziroma sϜ, pa tudi s črkostigma, to je sϛoziroma sϚ.
Število 90 so označevali sčrkokopa, to je sϙoziroma sϘ, število 900 s črkosampi, to je sϡoziroma sϠ.
Filon uporablja tudi ulomek 3/4 v obliki vsote 3/4=1/2+1/4. Včasih ga zapiše z besedamaἡμίσυς τέταρτος, včasih s simbolomL∆. ZLje označil eno polovico.
Arheologi so našli precej ostankov antičnih metalnih naprav, kamni- tih krogel in izstrelkov, tudi v Sloveniji, in sicer v Celju. Izdelali pa so tudi replike teh orožij na podlagi Filonovih, Heronovih in Vetruvijevih opisov. Naprave so tudi testirali in ugotovili, da je njihov skrajni domet okoli 400 m.
Slika 20. Model katapulta.
Viri
[1] I. Asimov, Biografska enciklopedija znanosti in tehnike, Tehniška za- ložba Slovenije, Ljubljana, 1978.
[2] B. P. Demidoviq: Sbornik zadaq i upraneni po matema- tiqeskomu analizu,Nauka, Moskva, 1956.
[3] H. Diels, E. Schramm,Philons Belopoiika: viertes Buch der Mechanik, Verlag der Akademie der Wissenschaften, Berlin, 1919.
[4] M. Franca, Artilerija v antiki, diplomsko delo, UL FDV, Ljubljana 2016.
[5] H. Hischer, Die drei klasischen Probleme der Antike, Franzbecker, Hildesheim, 2018.
[6] U. C. Merzbach, C. B. Boyer, A History of Mathematics, John Wiley &
Sons, Hoboken, New Jersey, 2011.
[7] B. von Pape, Von Eudoxus zu Uhlhorn, Books on Demand, Norderst- edt, 2019.
[8] D. Uhlhorn,Entdeckungen in der höhern Geometrie, theoretisch und practisch abgehandelt, Schulze’sche Buchhandlung, Oldenburg, 1809.
[9] D. de Vaux, Le livre des appareils pneumatiques et des machines hy- drauliques par Philon de Byzance, Libraire C. Klincksieck, Paris, 1902.
©(2022) Marko Razpet
