POZITIVNA MERA IN INTEGRACIJA

UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOˇ SKA FAKULTETA Pouˇ cevanje: Predmetno pouˇ cevanje

MARUˇ SA TURK

POZITIVNA MERA IN INTEGRACIJA

MAGISTRSKO DELO

LJUBLJANA, 2017

UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOˇ SKA FAKULTETA Pouˇ cevanje: Predmetno pouˇ cevanje

Matematika in fizika

MARUˇ SA TURK

POZITIVNA MERA IN INTEGRACIJA

MAGISTRSKO DELO

Mentor: izr. prof. dr. MARKO SLAPAR Sometor: asist. dr. LUKA BOC THALER

Ljubljana, 2017

Zahvala

Hvala mentorju, izr. prof. dr. Marku Slaparju, za potrpeˇzljivost, strokovno vodenje in nasvete ter za vloˇzen trud in ˇcas v moje magistrsko delo.

Hvala mojim starˇsem in bratoma za podporo, skrb in pomoˇc v vseh letih izobraˇzevanja.

Hvala moji druˇzini, Niki in Marku, ker sta bila in ostaja moja najboljˇsa druˇzba na tej poti.

Povzetek V diplomskem delu smo se osredotoˇcili na vpeljavo Lebesguove mere na mnoˇzico realnih ˇstevil in vpeljali Lebesguov integral, ki odpravi doloˇcene teoretiˇcne pomanjkljivosti Riemannovega integrala. Lebesguov integral nam med drugim omogoˇci precej boljˇse razume- vanje osnovnega izreka integralskega raˇcuna. V magistrskem delu bomo obravnavali sploˇsno teorijo integracije pozitivne mere na nekem merljivem prostoru. Videli bomo, da lahko teorijo ˇstevilskih vrst med drugim razumemo kot teorijo integracije funkcij, definiranih na naravnih ˇstevilih z obiˇcajno diskretno mero. Prav tako bomo s pomoˇcjo Rieszovega izreka na nov naˇcin vpeljali Lebesgueovo mero. V zadnjem poglavju bomo vpeljali produktno mero.

Kljuˇcne besede: integracija, pozitivna mera, Borelove mnoˇzice,σ-algebra, Lebesguova mera, Rieszov reprezentacijski izrek, produktna mera.

AbstractIn the diploma thesis we focused on the introduction of Lebesgue measure on a set of real numbers and introduced the Lebesgue integral, which removes certain theoretical weaknes- ses of the Riemann integral. Lebesgue integrals also provied us with a better understanding of the fundamental theorem of calculus. In the master’s thesis we will deal with the general theory of integration of a positive measure in a measurable space. Among other things, we will be able to consider sums of number series as a theory of integration of functions defined on natural numbers with the usual counting measure. We will also use the Riesz representation theorem to give an alternative description of the Lebesgue measure. In the last chapter, product measures will be introduced.

Key words: integration, positive measure, Borel sets, σ-algebra, Lebesgue measure, Riesz representation, product measure.

Poglavje 1. Uvod 1

Poglavje 2. Topoloˇski prostori 3

1. Metriˇcni prostor 3

2. Topologija 6

3. Kompaktnost in lokalna kompaktnost 8

4. Hausdorffov prostor 10

Poglavje 3. Merljivi prostori 12

1. σ algebra 12

2. Merljive funkcije 14

3. Pozitivna mera 17

4. Enostavne funkcije 20

Poglavje 4. Integracija 22

1. Integral pozitivne enostavne funkcije 23

2. Integral pozitivne funkcije 26

3. Izrek o monotoni konvergenci 26

4. Integral kompleksne funkcije 30

5. Izrek o dominirajoˇci konvergenci 31

6. Vloga mnoˇzic z mero niˇc 33

Poglavje 5. Rieszov reprezentacijski izrek 36

1. Integral kot linearni funkcional 36

2. Rieszov reprezentacijski izrek 37

Poglavje 6. Produktni prostori 44

1. Produktna σ-algebra 44

2. Predmera 44

3. Produktna mera 45

4. Fubinijev izrek 47

Literatura 49

Kazalo

POGLAVJE 1

Uvod

Naj boF neka druˇzina podmnoˇzic mnoˇziceX, za katero velja, da je zaprta za komplemente in ˇstevne unije ter vsebuje mnoˇzico X. Tako druˇzino F imenujemo σ-algebra mnoˇzic. ˇCe imamo naF definirano preslikavo µ:F →[0,∞], za katero velja

µ(

∞

[

i=1

A_i) =

∞

X

i=1

µ(A_i)

za vsak nabor paroma disjunktih mnoˇzic A_i iz F, reˇcemo, da je (X,F, µ) merljiv prostor, µ pozitivna mera, mnoˇzicam v F pa reˇcemo merljive mnoˇzice. ([6, 10]).

V primeru, ko imamo merljiv prostor(X,F, µ), lahko definiramo merljive funkcije kot preslikave f :X →[−∞,∞], pri katerih so praslike odprtih mnoˇzic merljive mnoˇzice iz X.

V analizi je verjetno najpomembnejˇsi primer mere Lebesguova mera, ki jo lahko definiramo na podmnoˇzicah prostora Rⁿ. Lebesguova meram je definirana tako, da posploˇsi pojem volumna (ploˇsˇcine v dveh dimenzijah oziroma dolˇzine v ene dimenziji). Za n-dimenzionalno Lebesguovo mero veljata, poleg obiˇcajnih lastnosti za mero, ˇse naslednji dve lastnosti:

(1) Za vsak kvader K velja m(K) = V ol(K), kjer je V ol(K) obiˇcajni volumen kvadra, torej produkt dolˇzin njegovih stranic.

(2) Za vsako podmnoˇzico A iz Rⁿ, za katero je definirana Lebesguova mera, in za vsak vektorx∈Rⁿ, je translacijaA+xtudi Lebesguovo merljiva in veljam(A+x) = m(A).

Izkaˇze se, da obstaja ena sama maksimalno definirana n-dimenzionalna Lebesguova mera, ki pa ne more biti definirana na ˇcisto vseh podmnoˇzicahRⁿ. Zagotovo paσ-algebra, na kateri je mera definirana, vsebuje vse odprte (in tudi zaprte) podmnoˇziceRⁿ. Najmanjˇsi σ-algebri, ki vsebuje vse odprte in zato tudi zaprte podmnoˇzice, reˇcemo Borelova σ-algebra, njenim elementom pa Borelove mnoˇzice([9]). Lebesguovo mero obiˇcajno vpeljemo dokaj konstruktivno preko zunanje Lebesguove mere, ki je definirana na vseh podmnoˇzicahRⁿ, nato pa omejimo druˇzino mnoˇzic, tako da doseˇzemo ˇstevno aditivnost ([13]). Ker je Lebesguova mera med drugim definirana za vse odprte mnoˇzice, so vse zvezne funkcije Lebesguovo merljive.

Drugi pomemben primer mere je obiˇcajna diskretna mera na mnoˇzici naravnih ˇstevil, za katero velja µ(A) = #A, kjer je #A ∈ N∪ {0,∞} ˇstevilo toˇck v mnoˇzici A ⊂ N. V tem primeru je σ-algebra kar potenˇcna mnoˇzica P(N), merljive funkcije pa so vsa realna zaporedja.

Ce jeˇ (X,M, µ)merljiv prostor, lahko definiramo integral vsake pozitivne merljive funkcije naX kot supremum integralov enostavnih pozitivnih funkcij. ˇCe je za poljubno predznaˇceno merljivo

funkcijof absolutna vrednost|f|integrabilna (integral ima konˇcno vrednost), lahko definiramo integral R

f dµ.

V primeru Lebesguove mere m na Rⁿ integral R

f dm imenujemo Lebesguov integral, ki ga lahko razumemo kot nekakˇsno izboljˇsavo oziroma razˇsiritev obiˇcajnega Riemannovega integrala.

Medtem, ko so Riemannovo integrabilne natanko tiste omejene funkcije na mnoˇzicah s konˇcno mero, ki so zvezne skoraj povsod ([11, 1, 2]), pa so med omejenimi funkcijami na mnoˇzicah s konˇcno mero Lebesguovo integrabilne natanko vse omejene merljive funkcije. V primeru, ko oba integrala obstajata, sta seveda enaka. Lebesguov integral je zato bistvena posploˇsitev Riemannovega integrala.

V primeru obiˇcajne diskretne mere µ na naravnih ˇstevilih, je integral R

f dµ kar vsota vrste P∞

n=1f(n), pri ˇcemer so integrabilna natanko vsa absolutno konvergentna zaporedja {f(n)}.

Izreki o produktu neskonˇcnih vrst so v tem primeru zgolj poseben primer Fubinijevega izreka v teoriji abstraktne integracije ([9]).

Lebesguovo mero lahko dobimo tudi z uporabo Rieszovega reprezentacijskega izreka ([10]).

Vsak zvezen funkcional na zveznih funkcijah s kompaktnim nosilcem, definiranim na lokalno kompaktnem Hausdorffovem prostoru, lahko namreˇc predstavimo z integracijo glede na neko mero. Meri, ki pripada Riemannovemu integralu, gledanemu kot funkcionalu naC_c(Rⁿ), pripada ravno Lebesguova mera. Tako dobimo bolj abstraktno vpeljavo Lebesguove mere, za katero pa ni teˇzko pokazati, da se ujema z obiˇcajno definicijo Lebesguove mere preko zunanje mere.

POGLAVJE 2

Topoloˇ ski prostori

1. Metriˇcni prostor

Nekateri ˇstejejo za zaˇcetek topologije Euler-jev ˇclanek z originalnim naslovom Solutio proble- matis ad geometriam situs pertinentis iz leta 1736. Drugi menijo, da so znaˇcilni topoloˇski problemi in metode prviˇc predstavljeni v ˇclanku Analysis situs, ki ga je leta 1895 objavil H.

Poincare. Kakorkoli gledamo, je veja topologije dokaj mlada. S hitrim razvojem in pomemb- nim vsebinskim pomenom je postala neizogiben predmet vsakega ˇstudija matematike. Zaradi pojma zveznosti, ki ga lahko zgradimo brez sklicevanja na razdaljo, ima pomembno vlogo tudi pri vpeljavi mere. Preden definiramo topologijo, bomo definirali metriˇcni prostor, naˇsteli po- membne lastnosti, izreke in za laˇzjo predstavo tudi nekaj primerov. Zakaj bomo najprej vpeljali metriˇcni prostor, bo jasno malo kasneje.

Definicija 2.1. Metriˇcni prostor je neprazna mnoˇzica M skupaj s funkcijo razdalje d : M × M →R,da velja:

(1) 0≤d(x, y)<∞ za vse x iny∈M. (2) d(x, y) = 0 natanko tedaj, ko x=y.

(3) d(x, y) =d(y, x) za vse x iny ∈M.

(4) d(x, y)≤d(x, z) +d(z, y) za poljubne x, y inz ∈M.

Metriˇcni prostor M z metriko d oznaˇcimo z (M, d). Razdaljo med toˇckama x in y oznaˇcimo z d(x, y).

Lastnost (4) v zgornji definiciji imenujemo trikotniˇska neenakost.

Najbolj preprosti zgledi metriˇcnih prostorov, ki so nam tudi intuitivno najbliˇzje, so razdalje med toˇckama v R,R² inR³.

Primeri. Oglejmo si nekaj primerov.

(1) Funkcijad(x, y) =|x−y|,poda metriko na mnoˇzici realnih ˇstevil. Absolutna vrednost je vedno nenegativno ˇstevilo, s ˇcimer zadovolji lastnost (1). Edino ˇstevilo, ki je enako 0 v absolutni vrednosti, je 0. Iz tega sledi druga lastnost, da jed(x, y) = 0 natanko tedaj, kox−y = 0 oz. x=y. Tretjo lastnost dokaˇzemo z d(x, y) =|x−y| =| −(x−y)|=

|y−x| = d(y, x). Trikotniˇska neenakost sledi iz trikotniˇske neenakosti za absolutno

vrednost:

d(x, z) =|x−z|=|(x−y) + (y−z)| ≤ |x−y|+|y−z|=d(x, y) +d(y, z).

(2) Dokaˇzimo, da je preslikava definirana z d(x, y) =

( 1; x6=y, 0; x=y

metrika. Lastnosti (1),(2) sta zajeti ˇze v sami definciji preslikave. ˇCe je x6=y, je tudi y6=x; analogno tudi za x=y, zato d(x, y) = d(y, x). Dokazati moramo ˇse trikotniˇsko neenakost. Moˇznosti so tri:

◦ ali so vsi elementi med seboj razliˇcni,

◦ dva elementa sta enaka, tretji je razliˇcen,

◦ vsi trije elementi so enaki.

V prvi naˇsteti moˇznosti so vse tri razdalje enake 1 in zato je trikotniˇska neenakost 1 ≤ 1 + 1. V drugi je 0 ≤ 1 + 1 ali 1 = 1 + 0. V zadnji moˇznosti pa je trikotniˇska neenakost kar 0 = 0 + 0. Tako metriko imenujemo diskretna metrika.

(3) Naj bo N ⊂ M, kjer je N neprazna mnoˇzica in (M, d) metriˇcni prostor. Potem je (N, d|_N×N) zopet metriˇcni prostor. V nadaljevanju bomo v takih primerih zoˇzitev d|N×N zaradi enostavnosti pisali kar z d.

Nadaljevali bomo z definicijami nekaterih osnovnih pojmov v metriˇcnih prostorih.

Definicija 2.2. Naj bo (M, d) metriˇcni prostor, a∈M in r >0.Mnoˇzici K(a, r) ={x∈M|d(a, x)< r}

in

K(a, r) =¯ {x∈M|d(a, x)≤r}

sta po vrsti odprta krogla in zaprta krogla s srediˇsˇcem v a in polmeromr.

Definicija 2.3. Naj bo a ∈M.Okolica toˇcke a je vsaka podmnoˇzica metriˇcnega prostora M, ki vsebuje neko kroglo s srediˇsˇcem v a in pozitivnim radijem r.

Definicija 2.4. Naj bo (M, d) metriˇcni prostor in U ⊂M. Toˇckax∈U je notranja toˇcka, ˇce jeU okolica toˇckex. Toˇckax∈U^c je zunanja toˇcka glede naU,ˇce jeU^cokolica za x. Toˇcke, ki niso niti notranje niti zunanje, imenujemo robne toˇcke. Notranje toˇcke oznaˇcimo z intA, robne toˇcke pa z robA.

Vse notranje toˇcke so vedno v mnoˇzici, vse zunanje toˇcke pa vedno zunaj nje. Oˇcitno je, da ˇce z A^c oznaˇcimo komplement mnoˇzice A na cel metriˇcni prostor, velja:

◦ notranjost mnoˇzice A so zunanje toˇcke za A^c,

◦ zunanje toˇcke mnoˇzice A so notranjost mnoˇzice zaA^c,

◦ robne toˇcke mnoˇzice A so robne toˇcke mnoˇzice A^c.

Definicija 2.5. MnoˇzicaU ⊂M je odprta, ˇce so vse njene toˇcke notranje toˇcke. ˇCe U vsebuje vse svoje robne toˇcke, je zaprta.

Mnoˇzici ∅ inM sta tako odprti kot zaprti.

Primer. Naj bo metriˇcni prostor R z obiˇcajno metriko in A= [a, b]. Notranjost mnoˇzice A je (a, b), rob mnoˇzice A={a, b} in zunanjost je R\[a, b].

Naj bo A⊂ M. Potem velja, da je mnoˇzica A odprta mnoˇzica natanko tedaj, ko je A^c zaprta mnoˇzica. Analogno je tudi mnoˇzica Azaprta mnoˇzica natanko tedaj, ko jeA^c odprta mnoˇzica.

Velja namreˇc, da ˇce jeAneprazna odprta podmnoˇzica metriˇcnega prostoraM, ni nobena njena toˇcka robna. Zato so robne toˇcke mnoˇzice A, ki so hkrati tudi robne toˇcke mnoˇzice A^c, vse v komplementu. Mnoˇzica A^c zato vsebuje vse svoje robne toˇcke, torej je zaprta. Iz zaprtosti mnoˇzice A^c sledi, da je mnoˇzica A odprta, saj vsebuje le notranje toˇcke.

Vsaka odprta mnoˇzica v ravnini je unija neskonˇcno mnogo odprtih krogel. Iz tega sledi, da je unija odprtih mnoˇzic odprta. Analogno ne velja za preseke. Presek vseh odprtih krogel s srediˇsˇcem vxje mnoˇzica{x}.Enoelementna mnoˇzica je odprta natanko takrat, ko jexizolirana toˇcka, kot na primer pri diskretni metriki. Zato presek odprtih mnoˇzic ni nujno odprta mnoˇzica.

Medtem pa drˇzi, da je presek konˇcno mnogo odprtih mnoˇzic odprt.

Izrek 2.6. Naj bo (M, d) metriˇcni prostor inU druˇzina vseh odprtih mnoˇzic v M. Potem velja (1) ∅ ∈ U in M ∈ U,

(2) U, V ⊂ U ⇒U ∩V ∈ U,

(3) Naj bo {U_λ, λ∈Λ} ⊂ U poljubna druˇzina odprtih mnoˇzic. Potem je S

λU_λ ∈ U. Dokaz. (1) Sledi direktno iz definicije.

(2) ˇCe je x∈U∩V sledi, da obstaja r₁ >0, da veljaK(x, r₁)⊂U in obstaja tak r₂ >0, da jeK(x, r₂)⊂V. ˇCe r= min{r₁, r₂} ⇒K(x, r)⊂U ∩V.

(3) ˇCe x∈S

λU_λ sledi, da obstaja λ⊂Λ, da je x∈U_λ. Ker je U_λ odprta, obstaja r >0, da jeK(x, r)⊂Uλ in zato K(x, r)⊂S

λUλ.

Oglejmo si ˇse preslikave med metriˇcnimi prostori. Navedli bomo definicijo za zvezne preslikave.

Definicija 2.7. Funkcija f : (M₁, d₁)→(M₂, d₂) je zvezna v toˇcki x₁ ∈M₁, ˇce za vsak >0 obstaja takδ >0,da iz d(x₁, x₂)< δ sledi d(f(x₁), f(x₂))< .Funkcija je zvezna, ˇce je zvezna v vsaki toˇcki.

Opomba 2.8. Zgornjo definicijo bi lahko zapisali tudi brez omembe razdalje.

Funkcija f : (M₁, d₁)→(M₂, d₂) je zvezna v toˇcki x₁ ∈M₁, ˇce za vsako okolico V toˇcke f(x₁) obstaja okolica U toˇcke x₁, za katero je f(U)⊂V.

Zveznost celotne funkcije lahko definiramo brez omembe posameznih toˇck.

Trditev 2.9. Funkcija f : (M1, d1)→ (M2, d2) je zvezna natanko takrat, ko je praslika vsake odprte mnoˇzice odprta.

Dokaz. Naj bo f zvezna in V ⊂ M₂ neka odprta mnoˇzica. Za x ∈ f⁻¹(V) je f(x) ∈ V, zato obstaja odprta okolica U za x, da velja f(U) ⊂ V. Iz tega sledi, da je x notranja toˇcka f⁻¹(V). Ker smo izbrali poljubno toˇcko x, sklepamo, da so vse toˇcke f⁻¹(V) notranje, torej je f⁻¹(V) odprta.

Obratno: Naj bo praslika vsake odprte mnoˇzice odprta. Izberimo x ∈ M₁ in odprto okolico V zaf(x). V tem primeru je f⁻¹(V) odprta okolica za x, za katero velja f(f⁻¹(V)) ⊂ V, kar pomeni, da je f zvezna v toˇcki x.

2. Topologija

Razlog, da smo si tako obˇsirno ogledali metriˇcni prostor, so ravno odprte mnoˇzice in z njimi povezana zveznost. Zveznost lahko opredelimo, ko vemo, katere mnoˇzice so odprte. Topoloˇski prostor bo mnoˇzica, v kateri smo predpisali, katere podmnoˇzice ˇstejemo za odprte.

Kot smo videli, lahko zveznost definiramo s pomoˇcjo okolice in brez reference na razdaljo. Pri definiciji topologije, ki sledi, se lahko naveˇzemo na izrek 2.6.

Definicija 2.10. Druˇzina τ podmnoˇzic mnoˇzice X je topologija naX, ˇce za τ velja:

(1) ∅ ∈τ inM ∈τ,

(2) U, V ⊂τ ⇒U ∩V ∈τ,

(3) Naj bo {U_λ, λ∈Λ} ⊂τ poljubna druˇzina mnoˇzic iz τ. Potem je S

λU_λ ∈τ.

Topoloˇski prostor (X, τ) je mnoˇzica X, opremljena s topologijo τ.Elemente mnoˇzice τ imenu- jemo odprte mnoˇzice v X.

Definicija2.11. MnoˇzicaV v topoloˇskem prostoru (X, τ) je okolica toˇckex,ˇce obstaja odprta mnoˇzica U ⊂τ,da je x⊂U ⊂V.

Metriˇcni prostori so tudi topoloˇski prostori, pri ˇcemer vzamemo za topologijo vse odprte mnoˇzice. Topoloˇski prostori so tako na primer:

◦ premica: okolica toˇcke je na primer vsak interval, ki toˇcko vsebuje v svoji notranjosti

◦ ravnina: okolica toˇcke je na primer vsak krog, ki toˇcko vsebuje v svoji notranjosti.

◦ prostor: okolica toˇcke je na primer vsaka krogla, ki toˇcko vsebuje v svoji notranjosti.

Primeri. Oglejmo si nekaj primerov.

(1) Najmanjˇsa topologija je trivialna topologija. Topologija τ na mnoˇzici X vsebuje le elementa∅ in X.

(2) Nasprotna skrajnost zgornje topologije je diskretna topologija. τ je enaka potenˇcni mnoˇzici na X. Vsaka toˇcka x ∈ τ je hkrati odprta in zaprta. To je topologija, ki jo obiˇcajno vzamemo na naravnih in celih ˇstevilih.

(3) Poiˇsˇcimo vse topologije na mnoˇzici s tremi elementi. Imenujmo to mnoˇzicoX in njene elementex, y, z.

τ₁ = {∅, X,}; τ₂ = {∅, X,{x}}; τ₃ = {∅, X,{x, y}}; τ₄ = {∅, X,{x},{x, y}}; τ₅ = {∅, X,{x},{y, z}}; τ₆{∅, X,{x},{x, y},{x, z}}; τ₇ ={∅, X,{x},{y},{x, y}};

τ₈ ={∅, X,{x},{y},{x, y},{x, z}}; τ₉ ={∅, X,{x},{y},{z},{x, y},{x, z},{y, z}}.¹ (4) Pomembni primeri topoloˇskih prostorov so podmnoˇzice topoloˇskih prostorov. Naj bo

(X, τ) topoloˇski prostor inA⊂X poljubna neprazna podmnoˇzica vX. ˇCe definiramo τ_A = {U⁰ ⊂ A;U⁰ = A∩ U, U ∈ τ}, potem je (A, τ_A) topoloˇski prostor. Odprte mnoˇzice so natanko preseki z Aodprtih mnoˇzic v X. Taki topologiji reˇcemo relativna topologija na A, odprtim (ali zaprtim) mnoˇzicam vA pa relativno odprte (ali zaprte) mnoˇzice.

Definicija 2.12. Naj bof :X →Y funkcija med topoloˇskima prostoroma (X, τ_X) in (Y, τ_Y).

Funkcija f je zvezna v toˇcki x ∈ X, ˇce za vsako okolico V toˇcke f(x) v Y obstaja okolica U toˇckexvX, da jef(U)⊂V.Zato veljaU ⊂f⁻¹(V).Funkcijaf je zvezna, ˇce jef⁻¹(V) odprta v X za vsako odprto mnoˇzico V v Y.

Naslednja enostavna trditev povezuje lokalno in globalno definicijo zveznosti.

Trditev 2.13. Naj bosta X in Y topoloˇska prostora. Preslikava f : X → Y je zvezna, ˇce in samo ˇce je f zvezna ob vsaki toˇcki v X.

Dokaz. Naj bo xo ∈ X in f zvezna. Naj bo V poljubna okolica toˇcke f(x0) in V1 taka odprta mnoˇzica, da je f(x)∈V₁ ⊂V. Potem je U =f⁻¹(V₁) (odprta) okolica toˇcke x in velja f(U)⊂V.

Obratno predpostavimo, da je f zvezna v vsaki toˇcki in x ∈ X in V naj bo poljubna odprta mnoˇzica v Y. Za vsak x ∈ f⁻¹(V) obstaja odprta okolica Ux toˇcke x, da je f(Ux) ⊂ V, saj je V okolica toˇcke f(x). Ker je f⁻¹(V) = S

x∈f⁻¹(V)U_x in je unija odprtih mnoˇzic odprta, je

f⁻¹(V) odprta. Torej jef zvezna.

Poglejmo, da so zvezne preslikave zaprte za kompozitum.

1Naˇsteli smo samo bistveno razliˇcne topologije na mnoˇziciX.

Izrek 2.14. Naj bodo X, Y in Z topoloˇski prostori in naj bosta preslikavi f : X → Y in g :Y →Z zvezni. Potem je h=g◦f :X →Z zvezna.

Dokaz. Ce je mnoˇˇ zica V odprta v prostoru Z, potem je g⁻¹(V) odprta v Y in h⁻¹(V) = f⁻¹(g⁻¹(V)).

Ce jeˇ f zvezna sledi, da je h⁻¹(V) odprta, zato je hzvezna.

Sledijo definicije zaporedja, limite in kompaktnosti v topoloˇskem prostoru.

Definicija2.15. Zaporedje je preslikavaf :N→X. Obiˇcajno piˇsemox₁, x₂, x₃, ...ali{x_n}^∞_n=1. Definicija 2.16. x je limita zaporedja {x_n}_n=1 ⊂X.Piˇsemo

x= lim

n→∞x_n, ˇ

ce za vsako okolico U toˇcke x obstaja tak n₀,da je x_n⊂U za vsakn ≥n₀.

V primeru, ko za topoloˇski prostor vzamemo metriˇcni prostor (M, d) dobimo, da je a ∈ M limita zaporedja {a_n}n∈N natanko tedaj, ko za vsak >0 obstaja n₀ da za vsak n ≥n₀ velja d(a_n, a)< , kar je obiˇcajna definicija limite zaporedja v metriˇcnem prostoru.

3. Kompaktnost in lokalna kompaktnost

Definicija 2.17. Naj bo K ⊂X in {U_λ}_λ∈Λ druˇzina podmnoˇzic topoloˇskega prostora (X, τ).

Pravimo, da je{U_λ}λ∈Λpokritje mnoˇziceK,ˇce velja, da je mnoˇzicaK vsebovana vS

U_λ.Ce soˇ vse mnoˇziceU_λ odprte v X, reˇcemo, da je to odprto pokritje. Pokritje je konˇcno, ˇce je indeksna mnoˇzica Λ konˇcna.

Definicija 2.18. Naj boK ⊂X in{U_λ}λ∈Λ pokritje mnoˇzice K. ˇCe je Λ⁰ ⊂Λ in je {U_λ}λ∈Λ⁰

tudi pokritje mnoˇzice K, reˇcemo, da je {U_λ}λ∈Λ⁰ pod pokritje pokritja {U_λ}λ∈Λ.

Definicija 2.19. Naj bo K ⊂ X. Mnoˇzica K je kompaktna, ˇce za vsako odprto pokritje mnoˇzice K obstaja konˇcno podpokritje.

Ce gornja definicija velja v primeruˇ K =X, reˇcemo, da je topoloˇski prostor(X, τ) kompakten.

Neprazna mnoˇzicaK v topoloˇskem prostoru(X, τ)je kompaktna natanko tedaj, ko je topoloˇski prostor (K, τ_K) kompakten v relativni topologiji.

Oglejmo si, kako je s kompaktnostjo v metriˇcnem prostoru.

Izrek 2.20. MnoˇzicaK ⊂M v metriˇcnem prostoru (M, d)je kompaktna natanko tedaj, ko ima vsako zaporedje v K podzaporedje, ki v K konvergira.

Dokaz. Najprej bomo dokazali, da ˇce je mnoˇzica K kompaktna, potem sledi, da ima vsako zaporedje vK podzaporedje, ki je vK konvergentno. Predpostavimo, da je{a_n}tako zaporedje v K, ki nima konvergetnega podzaporedja, ki bi v K konvergiralo. Nobena toˇcka iz K torej ni

limita nobenega podzaporedja. Torej za vsak x∈K obstaja odprta okolica x∈Ux, da ima Ux

le konˇcno ˇclenov zaporedja{a_n}. {U_x}x∈K je odprto pokritje mnoˇzice K, torej obstaja konˇcno podpokritje: K ⊂ U_x1 ∪U_x2...∪U_xn. Torej je v K samo konˇcno ˇclenov zaporedja, kar nam da protislovje.

Obrat je nekoliko bolj zapleten. Bralec si lahko dokaz prebere v [14].

Primeri. Oglejmo si nekaj primerov.

(1) Mnoˇzica K ⊂Rⁿje kompaktna natanko tedaj, ko je zaprta in omejena (Heine-Borelov izrek).

(2) Vsaka podmnoˇzica K v topoloˇskem prostoru X s trivialno topologijo je kompaktna, ker ima vsako odprto pokritje lahko le dve mnoˇzici, ∅ inX.

(3) ˇCe imamo diskretno topologijo, je mnoˇzica K ⊂ X kompaktna natanko tedaj, ko vsebuje le konˇcno mnogo toˇck, ker je vsaka toˇcka odprta mnoˇzica.

(4) Mnoˇzica R ni kompakten prostor, saj pokritje {(−n, n)kn ∈ N} nima konˇcnega pod- pokritja. Podoben premislek pokaˇze, da noben neomejen metriˇcni prostor ne more biti kompakten, saj pokritje s kroglami K(x, n) za n ∈N nima konˇcnega podpokritja.

Izrek 2.21. Naj bo mnoˇzica K kompaktna in mnoˇzica F ⊂K zaprta v topoloˇskem prostoru X.

Potem je F kompaktna.

Dokaz. Ce jeˇ {V_α}odprto pokritje od F inW =F^c, potem jeW∪S

αV_α odprto pokritje K. Zato obstaja taka konˇcna podruˇzina {V_αi}, da velja

K ⊂W ∪V_α1 ∪...∪V_αn.

Iz tega sledi, daF ⊂V_α1 ∪...∪V_αn.

Ceprav v sploˇsnih topoloˇskih prostorih kompaktne mnoˇˇ zice niso nujno zaprte, to velja v me- triˇcnih prostorih.

Izrek 2.22. Naj bo mnoˇzicaK kompaktna podmnoˇzica v metriˇcnem prostoru (M, d). Potem je K zaprta.

Dokaz. Predpostavimo, da K ni zaprta. Potem obstaja a ∈ M\K, ki je robna toˇcka za K. Za vsako naravno ˇstevilo n lahko najdemo toˇcko a_n ∈ K, da je a_n ∈ K(a,1/n). Vsako zaporedje {a_n} ⊂K konvergira proti a6∈K, zato nobeno podzaporedje nima limite v K.

Da kompaktne mnoˇzice v sploˇsnem niso zaprte, lahko vidimo na preprostem primeru K ={a}, X ={a, b}s topologijoτ ={∅,{a},{a, b}}. Mnoˇzica{a}je kompaktna, saj je konˇcna, medtem ko{a}^c={b} ni odprta, zato{a} ni zaprta.

Definicija2.23. MnoˇzicaX je lokalno kompaktna, ˇce ima vsaka toˇcka vX kompaktno okolico.

Oˇcitno je, da je vsak kompaktni prostor lokalno kompakten. Ker so zaprte krogle v Rⁿ kom- paktne po Heine-Borelovem izreku, je prostor Rⁿ lokalno kompakten.

4. Hausdorffov prostor

Naj bo τ topologija na X, ter A in B neprazni podmnoˇzici mnoˇzice X. ˇCe obstajata, taki mnoˇzici U, V ∈ τ, za kateri je A ⊂ U, B ⊂ V in U ∩V =∅, reˇcemo, da topologija strogo loˇci mnoˇzici A in B.

Definicija 2.24. Prostor (X, τ) je Hausdorffov prostor, ˇceτ strogo loˇci vsaki dve razliˇcni toˇcki iz X oz. ˇce p, q ∈ X in p 6= q, potem ima p okolico U in q okolico V, tako da je njun presek prazna mnoˇzica.

Primeri. Oglejmo si nekaj primerov.

(1) Vsak metriˇcni prostor (M, d) ima Hausdorffovo lastnost. ˇCe je d = d(x, y) razdalja med razliˇcnima toˇckama x in y v M, potem odprti krogli K(x,^d₃) in K(y,^d₃) ostro loˇcita x in y.

(2) Prostor (X, τ) s trivialno topologijo ni Hausdorffov prostor, ˇce ima vsaj dve toˇcki, saj imamo vX le eno netrivialno odprto mnoˇzico.

(3) Prostor (X, τ) z diskretno topologijo je Hausdorffov prostor, saj je vsaka toˇcka ˇze okolica sama sebe.

Trditev 2.25. Prostor (X, τ) je Hausdorffov natanko tedaj, ko za vsakx∈X veljaT

U∈UU = {x}, kjer je U druˇzina vseh okolic x.

Dokaz. Predpostavimo najprej, da je X Hausdorffov in naj bo x ∈ X. Potem velja x∈T

U∈UU{x}, kjer jeU druˇzina vseh okolic toˇcke x. Naj bo y∈X,y 6=x. Potem obstajata odprti okoliciU zaxinV zay, da jeU∩V∅. Zato jeyzunanja toˇcka zaU iny6∈U in poslediˇcno y 6∈T

U∈UU. Pokaˇzimo ˇse obrat. Naj bosta x 6=y toˇcki iz X in naj velja T

U∈UU ={x}, kjer je U druˇzina vseh okolic x. Potem obstaja U okolica toˇcke x, da y 6∈ U, kar pomeni, da je y zunanja toˇcka za U. Poslediˇcno obstaja okolicaV toˇcke Y, da je U ∩V =∅.

Izrek 2.26. Naj bo X Hausdorffov prostor. Potem je vsaka konˇcna podmnoˇzica X zaprta.

Dokaz. Hausdorffov pogoj za loˇcljivost lahko ekvivalentno zapiˇsemo tudi s trditvijo: Naj bo x∈X poljuben in U druˇzina vseh okolic x. Potem velja T

U∈UU ={x}. Iz tega sledi, da je vsaka eno elementna mnoˇzica zaprta, saj je presek zaprtih mnoˇzic. Ker je unija konˇcno mnogo zaprtih mnoˇzic zaprta, so tudi vse konˇcne mnoˇzice zaprte.

Izrek 2.27. Naj boX Hausdorffov prostor. Potem je vsaka kompaktna podmnoˇzica vX zaprta.

Dokaz. Naj bo X Hausdorffov prostor in mnoˇzica K ⊂ X kompaktna. Poglejmo, da za vsak x∈K^c obstajata odprti mnoˇzici U in W, da velja

◦ x∈U,

◦ K ⊂W,

◦ U∩W =∅.

Naj bo y ∈ K poljubna toˇcka. Iz Hausdorffovega pogoja za loˇcljivost sledi, da obstajata disjunktni odprti mnoˇzici U_y in V_x, tako da x∈ U_x iny ∈V_z ter U_x∩V_y =∅. {V_y, y ∈K} je pokritje za K in ker je K kompaktna, obstajajo take toˇcke y₁, ...y_n ∈K, da velja

K ⊂Vy1 ∪...∪Vyn. Definiramo

U =Uq1 ∩...∩Uqn

in

W =V_q1 ∪...∪V_qn.

Mnoˇzici U in W sta odprti, saj sta konˇcna preseka odprtih mnoˇzic, in zadoˇsˇcata pogojem

izreka.

4.1. Urysohnova lema za lokalno kompaktne Hausdorffove prostore in razˇclenitev enote.

Izrek 2.28. Naj bo X lokalno kompakten Hausdorffov prostor in U odprta mnoˇzica. Za vsako kompaktno podmnoˇzico K ⊂ U v X obstaja zvezna funkcija ϕ : X → [0,1] s kompaktnim nosilcem, da velja:

(1) suppϕ⊂U.

(2) ϕ(x) = 1 za vsak x∈K.

Dokaz zgornjega izreka lahko najdemo v [10].

Izrek 2.29. Naj bo X lokalno kompakten Hausdorffov prostor in {U_i}ⁿ_i=1 odprto pokritje kom- paktne podmnoˇzice K ⊂X. Potem obstaja druˇzina zveznih preslikav ρ_i :X → [0,1], za katere je nosilec suppρ_i vsebovan v U_i za i= 1, ..., n in velja

ρ₁(x) +...ρ_n(x) = 1, ∀x∈K.

Dokaz. Vsaka toˇcka x ∈ K je v neki mnoˇzici Ui. Naj bo Vx odprta okolica toˇcke x s kompaktnim zaprtjem V_x ⊆U_i.Iz odprtega pokritja{V_x :x∈K}mnoˇzice K izberemo konˇcno podpokritje {V_xj :j = 1, ..., m}. Za vsak inaj boK_i unija tistih mnoˇzic V_xj, ki so vsebovane v U_i. Po izreku 2.28 obstaja taka funkcija δ_i, da je suppδ_i ⊂ U_i in je δ_i(x) = 1 za vsak x ∈ K_i. Ker mnoˇzice K_i pokrivajo K, je Pn

i=1δ_i(x) ≥ 1 za vsak x ∈ K. Po izreku 2.28 obstaja taka funkcija δ, da je suppδ ⊂ {x ∈ X : Pn

i=1δi(x) 6= 0} in je δ(x) = 1 za vsak x ∈ K. Naj bo δ₀ = 1−δ. Funkcija θ =Pn

i=0δ_i je povsod pozitivna, saj je δ₀(x) = 1 za vsak x, za katerega je Pn

i=1δ_i(x) = 0. Funkcije ϕ_i = ^δ_θⁱ (i= 1, ..., n) zadoˇsˇcajo zakljuˇcku izreka, saj jeϕ₀|K = 0 in zato Pn

i=1ϕ_i(x) =Pn

i=0δ_i(x)/θ(x) = 1 za vsak x∈K.

POGLAVJE 3

Merljivi prostori

1. σ algebra

Definicija 3.1. Druˇzina F podmnoˇzic mnoˇzice X je algebra na X, ˇce za F velja:

(1) Mnoˇzici ∅ in X sta elementa F.

(2) ˇCe jeE ∈ F, jeE^c ∈ F - zaprtost za komplemente.

(3) ˇCe so E₁, E₂, . . . , E_n∈ F je E₁∪E₂∪ · · · ∪E_n∈ F. Primeri. Oglejmo si nekaj primerov algeber.

(1) Za poljubno mnoˇzico X je druˇzina F ={∅, X} algebra naX.

(2) Za poljubno mnoˇzico X je potenˇcna mnoˇzica F =P(X) algebra na X.

(3) Naj bo X = {1,2,3,4,5} in naj bo A = {{1},{2}} druˇzina podmnoˇzic na X. Potem sta

F₁ ={∅,{1,2,3,4,5},{1},{2},{1,2},{3,4,5},{1,3,4,5},{2,3,4,5}}

in

F1 ={∅,{1,2,3,4,5},{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{4,5},{1,2,3}, {3,4,5},{1,4,5},{2,4,5},{1,3,4,5},{2,3,4,5},{1,2,4,5}}

dve med seboj razliˇcni algebri, ki vsebujeta A.

Definicija 3.2. Druˇzina F podmnoˇzic mnoˇzice X je σ-algebra naX, ˇce za F velja:

(1) Mnoˇzici ∅ in X sta elementa F.

(2) ˇCe jeE ∈ F, jeE^c ∈ F - zaprtost za komplemente.

(3) ˇCe so E1, E2, . . .∈ F je E1∪E2∪ · · · ∈ F.

Elemente druˇzine F imenujemo merljive mnoˇzice, mnoˇzico X, opremljeno z druˇzino F, pa merljiv prostor.

Opazimo, da se definiciji 3.1 in 3.2 razlikujeta samo pri zadnji lastnosti. Pri algebri zahtevamo le zaprtost za konˇcne preseke, medtem ko pri σ-algebri zahtevamo zaprtost za ˇstevne preseke.

Zato je vsaka σ-algebra avtomatiˇcno algebra. To sledi tudi iz dejstva, da lahko vsako konˇcno unijo mnoˇzic zapiˇsemo kot unijo ˇstevno mnogo mnoˇzic A₁∪A₂∪ ∅ ∪ ∅ · · · .

Primeri. Navedimo nekaj primerov.

(1) Na vsaki mnoˇzici seveda lahko vzamemo za σ-algebro kar potenˇcno mnoˇzico. V tem primeru so vse podmnoˇzice merljive. To je σ-algebra, ki jo obiˇcajno vzamemo na konˇcnih mnoˇzicah, ali na mnoˇzicah N oziroma Z.

(2) Naj bo X mnoˇzica, katere moˇc je veˇcja od moˇci mnoˇzice naravnih ˇstevil. Naj bo F druˇzina vseh takih podmnoˇzic E mnoˇziceX, da je vsaj ena od mnoˇzic E inE^c najveˇc ˇstevna. Poglejmo, da jeF σ-algebra.

Oˇcitno sta X ∈ F in ∅ ∈ F ter E^c ∈ F, ˇce je E ∈ F. Naj bo sedaj {E_n}n∈N

poljubno zaporedje mnoˇzic iz F. ˇCe so vse mnoˇzice najveˇc ˇstevne, potem je mnoˇzica E = S

n∈NE_n tudi najveˇc ˇstevna in zato je E ∈ F. V nasprotnem primeru je ena od E_m mnoˇzica neˇstevna,E_m^c pa je najveˇc ˇstevna mnoˇzica. Ker je

E^c= \

n∈N

E_n^c ⊂E_m^c,

je tudi mnoˇzica E^c najveˇc ˇstevna, torej je E ∈ F.

(3) Naj boX ={1,2,3, ...}inF ={E ⊂X :E je konˇcna ali E^c je konˇcna}.Enostavno je videti, da je F algebra na X. Ker je ∅ konˇcna, sta obe mnoˇzici ∅ in X ∈ F. Naj bosta E, F ∈ F. Ce sta obeˇ E in F konˇcni, je konˇcna tudi njuna unija. Poglejmo primer, ko vsaj ena izmed njiju ni konˇcna. Predpostavimo, da E ni konˇcna. Potem je (E ∪F)^c = E^c∩F^c ⊂ E^c. E^c je konˇcna, ker E ni, zato je (E∪F)^c konˇcna in je elementF. Ker je (E^c)^c=E,ˇce jeE ∈ F, je tudi njen komplement.

Vendar F ni σ-algebra, ker ˇstevna unija S∞

n=1{2n} ∈ F,/ medtem ko so vse mnoˇzice {2n} oˇcitno iz F.

(4) Naj bo X = {a, b, c} in F₁ = {{a},{b, c},∅, X}, F₂ = {{b},{a, c},∅, X}. Ceprav staˇ obe druˇzini σ-algebri, pa unija F₁∪ F₂ ni σ-algebra, saj {a} ∪ {b}={a, b}∈ F/ . Naj bo F σ-algebra na mnoˇzici X. Iz definicije sledi, da je F zaprta tudi za ˇstevne preseke, saj je

∞

\

n=1

A_n=

∞

[

n=1

A^c_n

!c

, in za poljubne komplemente, saj je

A\B =B^c∩A.

Izrek 3.3. Naj bo F σ-algebra na X in naj bo f :X →Y poljubna preslikava iz X v mnoˇzico Y. Naj bo S druˇzina vseh podmnoˇzic E ⊂Y, tako da f⁻¹(E)∈ F, potem je S σ-algebra na Y. Dokaz. Ker velja f⁻¹(Y) = X in f⁻¹(∅) = ∅, sta Y in ∅ v S. Ker je f⁻¹(Y −E) = X−f⁻¹(E), je E^c∈ S, ˇce je E ∈ S. Podobno je S zaprta za ˇstevne unije, saj je:

f⁻¹(E1∪E2∪...) = f⁻¹(E1)∪f⁻¹(E2)∪. . . .

Seveda vsaka druˇzina podmnoˇzic neke mnoˇzice X ˇse ni σ-algebra. Naslednji izrek definira najmanjˇso σ-algebro, ki jo lahko definiramo z vnaprej podano druˇzino podmnoˇzic.

Izrek 3.4. Naj bo A katera koli druˇzina podmnoˇzic mnoˇzice X. Obstaja najmanjˇsa σ-algebra σ(A) na X, tako da A ⊂σ(A). Tako σ-algebro imenujemo σ-algebra, generirana z A.

Dokaz. Naj bo Ω druˇzina vseh σ-algebr F na X, ki vsebujejo A. Ker je druˇzina vseh podmnoˇzic iz X, to jeP(X), taka σ-algebra, Ω ni prazna. Naj bo σ(A) presek vsehF ∈Ω,to je

σ(A) = \

F ∈Ω

F.

Jasno je, da A ⊂σ(A) inσ(A) leˇzi v vsaki σ-algebri na X, ki vsebuje A. Da konˇcamo dokaz, moramo pokazati ˇse, da jeσ(A) dejansko σ-algebra.

Ker sta ∅ in X vsebovana v vsaki σ-algebri iz Ω, sta vsebovani v preseku σ(A). Naj bo sedaj E ∈ σ(A). Potem je A ∈ F za vsak F ∈ Ω. Ker so F σ-algebre, je E^C ∈ F za vsak F ∈ Ω in zato v preseku σ(A). Poglejmo podobno, da je σ(A) zaprta za ˇstevne unije. Naj bodo A_n, n = 1,2, . . .poljubne podmnoˇziceσ(A). Potem so vseA_nvsebovane v vsakiσ-algebriF ∈Ω,in je zato tudi unijaS∞

n=1Anvsebovana v vsakiσ-algebriF ∈Ω ter zato tudi v presekuσ(A).

Opomba 3.5. Pomemben primer merljivih prostorov so same podmnoˇzice merljivega prostora.

Ce je namreˇˇ c (X,F) merljiv prostor in E ∈ F neprazna mnoˇzica, je F_E = {F ∩E;F ∈ F } σ-algebra naE in je (E,F_E) zato merljiv prostor.

Naj bo (X, τ) topoloˇski prostor. Po izreku 3.4, obstaja najmanjˇsa σ−algebra B na X, tako da B vsebuje vse odprte mnoˇzice τ na X. Elemente mnoˇzice B imenujemo Borelove mnoˇzice naX. Z drugimi besedami: Najmanjˇsa σ-algebra, ki vsebuje τ,je presek vseh tistih σ-algeber naX, ki vsebujejo druˇzino τ. Takoσ-algebro imenujemo Borelova σ-algebra na X.

Vsi intervali, odprte in zaprte mnoˇzice so Borelove mnoˇzice. To smo dokazali tudi v diplomski nalogi ([13]). Presek ˇstevne druˇzine odprtih mnoˇzic in unija ˇstevne druˇzine zaprtih mnoˇzic sta Borelovi mnoˇzici, ki ju imenujemo zaporedoma G_δ in F_σ. Notacija je Hausdorffova. ˇCrkiG in F sta bili uporabljeni za odprte in zaprte mnoˇzice, δ se nanaˇsa na preseke in σ na unije.

2. Merljive funkcije

Merljive funkcije v teoriji mere so analogne zveznim funkcijam v topologiji. Pri zveznih funkci- jah so praslike odprtih mnoˇzic odprte mnoˇzice, medtem ko pri merljivih funkcijah zahtevamo, da so praslike merljivih mnoˇzic merljive mnoˇzice.

Definicija 3.6. Naj bosta (X,A) in (Y,B) merljiva prostora. Preslikava f : X → Y je merljiva, ˇce je f⁻¹(B)∈ A za vsako mnoˇzico B ∈ B.

Ce je (X,ˇ A) merljiv prostor in (Y, τ) topoloˇski prostor, reˇcemo, da je f : X →Y merljiva, ˇce je praslika poljubne odprte mnoˇzice iz Y merljiva.

Opomba 3.7. Ce je (Y, τˇ ) topoloˇski prostor, potem je merljivost definirana tako, da na Y vzamemo Borelovo σ-algebro.

Merljivost funkcije je odvisna samo od σ-algerb. ˇCe ˇzelimo dokazati, da je funkcija merljiva, je dovolj, da preverimo merljivost inverzne slike mnoˇzic, ki generirajo σ-algebro na izbranem prostoru.

Izrek 3.8. Naj bodo(X,F) ,(Y,S)in(Z,T)merljivi prostori. ˇCe staf :X →Y in g :Y →Z merljivi, je preslikava h=g◦f :X →Z merljiva v X.

Dokaz. Ce je podmnoˇˇ zica V merljiva vZ, potem je g⁻¹(V) merljiva v Y in je h⁻¹(V) = f⁻¹(g⁻¹(V)).

Ker je f merljiva sledi, da jeh⁻¹(V) merljiva.

V posebnem primeru, ko je Y = [−∞,∞]lahko merljivost testiramo nekoliko bolj preprosto.

Izrek 3.9. Naj bo F σ-algebra na X. Naj bo f : X → [−∞,∞]. ˇCe je f⁻¹((a,∞]) ∈ F za vsak realni a, potem je f merljiva.

Zgornji izrek se velikokrat uporablja kot kriterij za merljivost realnih funkcij.

Dokaz. Naj bo S druˇzina vseh podmnoˇzic E ⊂ [−∞,∞], tako da f⁻¹(E)∈ F. Potem je po izreku 3.3 S σ-algebra. Izberimo tako realno ˇstevilo a_n < a, da velja a_n → a, ko n → ∞.

Ker

◦ je (a_n,∞]∈ S za vsakn,

◦ [−∞, a) = S∞

n=1[−∞, a_n] =S∞

n=1(a_n,∞]^c,

sledi, da je [−∞, a)∈ S.Enako velja za (a, b) = [−∞, b)∩(a,∞].Ker je vsaka odprta mnoˇzica v intervalu [−∞,∞] ˇstevna unija intervalov zgornjega tipa, S vsebuje vsako odprto mnoˇzico.

Zato je funkcija f merljiva.

Takˇsno karakterizacijo merljivosti lahko uporabimo za dokaz naslednje trditve.

Izrek 3.10. Ce so funkcijeˇ f_n:X →[−∞,∞] merljive za n = 1,2, . . . in g = sup

n≥1

fn, h= lim sup

n→∞

fn, potem sta funkciji g in h merljivi.

Dokaz. Zapiˇsemo lahko enakostg⁻¹((α,∞]) =S∞

n=1f_n⁻¹((α,∞]). Zato po izreku 3.9 vemo, da je funkcija g merljiva. Isti rezultat drˇzi seveda tudi za inf namesto sup in ker

h= inf

k≥1{sup

i≥k

}f_i,

sledi, da je tudi funkcija h merljiva.

Opomba 3.11. Naj bo (X,F) merljiv prostor in f : X → [−∞,∞] funkcija, za katero je {x∈X :f(x)≥r} ∈ F za vsakr∈Q.Potem jef merljiva funkcija, saj za vsak a∈Robstaja strogo padajoˇce zaporedje{r_n} racionalnih ˇstevil z limitoa. Torej je

f⁻¹((a,∞]) =

∞

[

n=1

f⁻¹([rn,∞]),

in ker je po predpostavki f⁻¹([r_n,∞]) ∈ F, je tudi f⁻¹((a,∞]) ∈ F. Po izreku 3.9 je zato f merljiva funkcija.

Primeri. Oglejmo si nekaj primerov merljivih funkcij.

(1) Naj bo (X,F) merljiv prostor. Vzemimo maksimalno σ-algebro F =P(X) in naj bo (Y,S) poljuben merljiv prostor. Potem je vsaka preslikava f :X →Y merljiva.

(2) ˇCe naX =Nvzamemo maksimalnoσ-algebroP(N) in jeY =RaliY =C, so merljive funkcije natanko realna ali kompleksna zaporedja.

(3) Trivialni primer je, ko jeF ={∅, X}trivialnaσ-algebra in je na primerY =R.Potem so merljive funkcije samo konstante.

Definicija 3.12. Naj bosta X in Y topoloˇska prostora. Preslikavo f : X → Y imenujemo Borelova preslikava, ˇce je f⁻¹(A) Borelova mnoˇzica za vsako odprto mnoˇzico A.

Opomba 3.13. Ker je najmanjˇsa σ-algebra na Y, ki vsebuje vse odprte mnoˇzice iz Y, ravno Borelova sigma algebra na Y, bi lahko Borelove preslikave med topoloˇskima prostoroma f : X →Y definirali kot merljive preslikave, kjer na obeh mnoˇzicahX inY zaσ-algebro vzamemo ravno Borelovo σ-algebro.

Ker so praslike odprtih mnoˇzic pri zveznih preslikavah odprte mnoˇzice, so zvezne preslikave med topoloˇskima prostoroma tudi Borelove preslikave. Zapiˇsimo to kot trditev.

Trditev 3.14. Naj bo f :X →Y zvezna preslikava med topoloˇskima prostoroma. Potem je f Borelova preslikava.

Ni pa teˇzko najti primera Borelove preslikave, ki ni zvezna. Oglejmo si na primer preslikavo f : R → R, definirano kot f(x) = 1, ˇce je x > 0 in f(x) = 0, ˇce je x ≤ 0. Praslika poljubne mnoˇzice iz R je ∅, R, (−∞,0], ali pa (0,∞). Ker so vse te mnoˇzice Borelove, je preslikava Borelova.

Naslednja dva izreka sledita neposredno iz izreka 3.8.

Izrek 3.15. Naj bo (X,F) merljiv prostor, Y in Z pa topoloˇska prostora. Naj bo preslikava f :X →Y merljiva, g :Y →Z pa Borelova. Potem je preslikavah=g◦f :X →Z merljiva.

Izrek 3.16. Naj bodo X, Y in Z topoloˇski prostori. Naj bosta preslikavi f : X → Y in g :Y →Z Borelovi. Potem je preslikava h=g ◦f :X →Z Borelova.

3. Pozitivna mera

Zgledi pozitivne mere, ki jih poznajo ˇze uˇcenci v osnovni ˇsoli, so pojmi dolˇzine, ploˇsˇcine in pro- stornine. Mi se bomo ukvarjali z bolj sploˇsno mero na merljivih prostorih. Veja v matematiki, ki bo za nas najbolj zanimiva, je teorija mere, ki je bila razvita v poznem 19. in zgodnjem 20.

stoletju. V teoriji integracije vpeljava mere omogoˇca definicijo integralov na prostorih, ki so sploˇsnejˇsi od podmnoˇzic evklidskega prostora.

Pozitivna mera je sistematiˇcni naˇcin prireditve pozitivnega ˇstevila podmnoˇzicam dane mnoˇzice.

Je preslikava, ki jo bomo oznaˇcevali s ˇcrkoµ,in ki (nekaterim) podmnoˇzicam mnoˇziceX priredi nenegativno realno ˇstevilo. Veljati morajo ˇse nekatere lastnosti, ki jih bomo definirali v naslednji definiciji.

Definicija3.17. Naj bo (X,F) merljiv prostor. Pozitivna meraµje preslikavaµ:F →[0,∞], ˇ

ce zanjo veljajo naslednje lastnosti:

◦ µ(∅) = 0,

◦ za vsakE ∈ F je µ(E)≥0,

◦ ˇce soEn, n = 1,2, ...paroma disjunktne podmnoˇziceF, velja: µ(S∞

i=1Ei) =P∞

i=1µ(Ei).

Trojico (X,F, µ) imenujemo prostor z mero.

Opomba 3.18. Naj bodo E₁, E₂, . . . , E_N disjunktne merljive mnoˇzice in vzemimo E_n = ∅ za n > N. Potem velja

µ(

N

[

i=1

E_i) =µ(

∞

[

i=1

E_i) =

∞

X

i=1

µ(E_i) =

N

X

i=1

µ(E_i).

Vsaka pozitivna mera je torej tudi konˇcno aditivna. Ce neka funkcijaˇ µ : F → [0,∞] na merljivem prostoru (X,F) zadoˇsˇca prvima dvema toˇckama iz definicije pozitivne mere, namesto tretje pa imamo ˇsibkejˇso konˇcno aditivnost, bomo taki funkciji reklikonˇcno aditivna.

Stevna oziroma konˇˇ cna aditivnost je pomemben koncept, ki ga moramo dobro razumeti. Zato jo interpretirajmo ˇse z besedami. Mera podmnoˇzice, ki jo lahko razstavimo na konˇcno ali ˇstevno ˇstevilo manjˇsih disjunktnih podmnoˇzic, je vsota mer teh manjˇsih podmnoˇzic. ˇCe torej merljivo mnoˇzico razreˇzemo na merljive kose, je vsota mer teh kosov enaka meri prvotne mnoˇzice. To se sklada z intuicijo, ki jo imamo na primer pri ploˇsˇcinah likov.

Primeri. Oglejmo si nekaj primerov prostorov z mero.

(1) ˇCe je (X,F, µ) prostor z mero inE ⊂Xmerljiva mnoˇzica, lahko naEdefiniramo mero µF_E, torej samo zoˇzimo definicijsko obmoˇcje mere µ na σ-algebro F_E = {E ∩F; F ∈ F }. To mero na E bomo zopet oznaˇcili kar zµ.

(2) Naj bo X konˇcna mnoˇzica in σ-algebra na X kar P(X). Takoimenovano mero ˇstetja preprosto definiramo tako, da preˇstejemo ˇstevilo toˇck v mnoˇzici. Za A⊂Xtorej lahko definiramoµ(A) = #A.

(3) Podobno lahko definiramo mero ˇstetja na poljubni mnoˇziciX z maksimalnoσ-algebro P(X), pri ˇcemer vzamemo #A=∞vsakiˇc, ko jeA neskonˇcna mnoˇzica. To je najpo- gosteje mera, ki jo vzamemo na mnoˇzici naravnih ali celih ˇstevil.

(4) Zelo znana in uporabna mera pri fiziki je tudi takoimenovana Diracova mera δ_x, kjer jex∈X neka toˇcka, zaσ-algebro pa zopet vzamemo kar potenˇcno mnoˇzico. Za vsako podmnoˇzico E ⊂X definiramo Diracovo mero s predpisom

δ_x(E) =χ_E(x) =

( 0, x /∈E, 1, x∈E.

(5) Na pravilno definiranih merljivih prostorih so zgledi pozitivnih mer nenegativne adi- tivne koliˇcine pri fiziki, npr. masa, energija..., ki zadoˇsˇcajo ohranitvenim zakonom.

Naj bo µ pozitivna mera na (X,F) in A ⊂ B ⊂ X merljivi mnoˇzici. Hitro vidimo, da je µ(A)≤µ(B), saj je

µ(A)≤µ(A) +µ(B\A) =µ(B).

Tej lastnosti vsake pozitivne mere reˇcemo monotonost. Opazimo lahko, da smo za dokaz mo- notonosti uporabili le konˇcno aditivnost. S pomoˇcjo te lastnosti lahko dokaˇzemo subaditivnost za poljubno pozitivno mero:

Trditev 3.19. Naj bo (X,F) merljiv prostor in E₁, E₂, E₃, ...ˇstevno zaporedje mnoˇzic iz F. Potem velja

µ ^∞

[

i

E_i

≤

∞

X

i=1

µ(E_i).

Dokaz. Opazimo, da jeE =S

iE_i unija zaporedja disjunktnih merljivih mnoˇzic. Zapisano drugaˇceE =E₁∪E₂\E₁∪E₃\(E₁∪E₂)∪. . .. Iz ˇstevne aditivnosti sledi, da lahko zapiˇsemo mero mnoˇzice E kot vsoto mer teh njenih podmnoˇzic

µ(E) = µ(E₁) +µ(E₂\E₁) +µ(E₃\(E₁∪E₂)) +· · · . Monotonost nam na koncu da

µ(E) =µ(E₁) +µ(E₂\E₁) +µ(E₃ \(E₁∪E₂)) +· · · ≤

∞

X

i=1

µ(E_i).

Trditev 3.20. Naj bo µ: F →[0,∞] pozitivna mera na merljivem prostoru (X,F) in E₁ ⊂ E2 ⊂E3 ⊂... naraˇsˇcajoˇce zaporedje mnoˇzic iz F. Potem velja

µ ^∞

[

n=1

E_n

= lim

n→∞µ(E_n). (1)

Dokaz. Z mnoˇzico E bomo oznaˇcili unijo S∞

n=1E_n. Opazimo, da je mnoˇzica E unija disjunktnih mnoˇzic. Unija prvih n mnoˇzic v tem zaporedju pa je E_n oz. µ(E_n) = µ(E₁) +

Pn−1

i=1 µ(E_i+1\E_i). Ker za meroµ velja ˇstevna aditivnost, sledi µ(E) = µ(E₁) +

∞

X

i=1

µ(E_i+1\E_i) = lim

n→∞

µ(E₁) +

n−1

X

i=1

µ(E_i+1\E_i)

= lim

n→∞µ(E_n).

Opomba 3.21. Lahko bi pokazali, da je konˇcno aditivna funkcija mera natanko tedaj, ko zadoˇsˇca pogoju (1).

Trditev 3.22. Naj bo (X,F) merljiv prostor z mero µ in (E_n) padajoˇce zaporedje mnoˇzic v F. Ce jeˇ µ(E₁)<∞, potem je

µ ^∞

\

n=1

E_n

= lim

n→∞µ(E_n). (2)

Dokaz. Zaporedje mnoˇzic E₁\E_n je naraˇsˇcajoˇce in E₁\\

n

E_n =E₁∩(\

n

E_n)^c=E₁ ∩[

n

E_n^c =[

n

(E₁\E_n).

Iz trditve 3.20 sledi µ(E₁)−µ(

∞

\

n=1

E_n) =µ(

∞

[

n=1

(E₁\E_n) = lim

n→∞µ(E₁\E_n) =µ(E₁)− lim

n→∞µ(E_n).

Ker je po predpostavki ˇstevilo µ(E₁) konˇcno, ga lahko odˇstejemo na obeh straneh zgornje

enaˇcbe in s tem je dokaz konˇcan.

Enakost v enaˇcbi(2)ne velja brez predpostavke, da ima vsaj ena mnoˇzica od mnoˇzicE_nkonˇcno mero. Primer: Naj bo µˇstevna mera na mnoˇzici {1,2,3, ...},naj boE_n ={n, n+ 1, n+ 2, ...}.

Zan = 1,2,3, ...je µ(E_n) =∞, vendar je njihov presek prazenT

E_n =∅.

3.1. Lebesguova mera. Najbolj pogosto omenjena in pomembna mera je Lebesguova mera na Rⁿ, ki jo ˇzelimo razumeti kot posploˇsitev volumna. V diplomskem delu ([13]) smo vpeljali Lebesguovo mero na R.Sedaj bomo skicirali vpeljavo Lebesguove mero na Rⁿ.Dokaze bomo opustili, saj so skoraj ekvivalentni tistim v diplomskem delu ([13]).

Mnoˇzici

I ={(x₁, x₂, . . . , x_n)∈Rⁿ, a_i ≤x_i ≤b_i},

kjer so za i= 1,2, . . . , n a₁ ≤b₂ realna ˇstevila, reˇcemo zaprt kvader. Definirajmo m(I) = (b₁−a₁)(b₂−a₂)· · ·(b_n−a_n).

Naj bo sedaj E ⊂Rⁿ poljubna mnoˇzica in naj bo m^∗(E) = inf

E⊂S Ik

∞

X

k=1

m(I_k),

kjer so I_k zaprti kvadri. Preslikavo m^∗ :P(Rⁿ) :→[0,∞]imenujemo zunanja Lebesguova mera na Rⁿ. ˇCeprav ima tako definirana preslikava kar nekaj smiselnih lastnosti, kot sta na primer

prva dva pogoja v definiciji mere, pa se izkaˇze, da moramo precej zoˇziti njeno definicijsko obmoˇcje, da bo postala ˇstevno aditivna. Definirajmo

L={E ∈ P(Rⁿ); m^∗(A) = m^∗(A∩E) +m^∗(A∩E^C) za vsakoA∈ P(Rⁿ)}.

Izkaˇze se, da je L σ-algebra in zoˇzitevm^∗ :L →[0,∞] mera, ki jo kar oznaˇcimo z m. Druˇzino L imenujemo Lebesguova σ-algebra, mero m pa Lebeguova mera.

Dodatno veljajo naslednje lastnosti

(1) Lebesguova mera kvadra se ujema z obiˇcajno prostornino kvadra.

(2) Za vsako Lebesguovo merljivo mnoˇzico E iz Rⁿ in za vsako toˇcko x0 ∈ Rⁿ je A+x0

:={x+x₀ :x∈A} Lebesguovo merljiva in velja m(A+x₀) =m(A).

(3) Naj bo mnoˇzicaEˇstevna. Potem jem(E) = 0, saj je vsaka toˇcka mnoˇziceE v kvadru z vsemi robovi dolgimi0.

(4) ˇCe jem^∗(E) = 0 je E merljiva in je m(E) = 0. Prav tako je vsaka F ⊂E merljiva in je m(F) = 0.

3.2. Borelova mera. Naj bo X topoloˇski prostor. Borelova mera je taka pozitivna mera, ki je definirana na Borelovih podmnoˇzicah v X. Na lokalno kompaktnih topoloˇskih prostorih za Borelovo mero pogosto zahtevamo ˇse regularnost.

Definicija 3.23. Borelova mera µ na lokalno kompaktnem Hausdorffovem prostoru X je re- gularna ˇce in samo ˇce

(1) µ(K)<∞za vsako kompaktno mnoˇzico K ⊂X.

(2) Za vsako Borelovo mnoˇzico E velja

µ(E) = inf{µ(V); E ⊆V, V odprta v X}.

(3) Velja

µ(E) = sup{µ(K); K ⊆E, K kompaktna v X}, ˇce jeE odprta mnoˇzica ali ˇce jeE Borelova mnoˇzica s konˇcno mero.

Ce velja samo lastnost (2), potem jeˇ µ naX zunanje regularna. ˇCe velja samo lastnost (3), je µna X notranje regularna.

4. Enostavne funkcije

Z enostavnimi funkcijami so matematiˇcno sklepanje, izreki in dokazi laˇzji, saj imajo doloˇcene lepe lastnosti. Zelo lahko je definirati integral zanje in preprosto aproksimirati bolj sploˇsne funkcije z zaporedjem enostavnih funkcij. Da jih bomo lahko definirali, moramo najprej defi- nirati karakteristiˇcno funkcijo.

Definicija 3.24. Naj bo E podmnoˇzica mnoˇzice X. Karakteristiˇcna funkcija mnoˇzice E je preslikava χ_E :X →R, definirana z

χ_E(x) =

( 1; ˇce x∈E, 0; ˇce x6∈E.

Ce jeˇ (X,F) merljiv prostor in je E merljiva mnoˇzica, je karakteristiˇcna funkcija χ_E merljiva funkcija.

Definicija 3.25. Naj bo (X,F) merljiv prostor in f :X →R funkcija. ˇCe obstajajo razliˇcna realna ˇstevila a₁, a₂, ...a_n in merljive mnoˇzice A₁, A₂, . . . , A_n, da je

s =

n

X

i=1

a_iχ_Ai, (3)

reˇcemo, da je s enostavna funkcija.

Taka reprezentacija enostavne funkcije s se imenuje kanoniˇcna reprezentacija in je seveda enoliˇcna. Za njo je znaˇcilno, da so mnoˇzice A_i paroma disjunktne. Jasno je, da je funkcija oblike (3) merljiva natanko tedaj, ko je vsaka mnoˇzica Ai merljiva. Zato so enostavne funkcije merljive.

Primer enostavnih funkcij so stopniˇcaste funkcije na realnih ˇstevilih. Funkcija s : I → R je stopniˇcasta funkcija na intervaluI ⊂R, ˇce je s oblike(3), kjer soAi ⊂I intervali. Hitro lahko vidimo, da vsaka enostavna funkcija na realnih ˇstevilih ni stopniˇcasta. Ponazorimo s primerom

s(x) = χ_Q(x) =

( 1; ˇce x∈Q, 0; ˇce x6∈Q.

Izrek 3.26. Naj bo f : X → [0,∞] merljiva. Obstajajo enostavne merljive funkcije s_n na X, tako da velja

(1) 0≤s₁ ≤s₂ ≤...≤f.

(2) s_n(x)→f(x), ko n→ ∞, za vsak x∈X.

Dokaz. Naj bo x_n = 2⁻ⁿ. Vsakemu pozitivnemu ˇstevilu n in vsakemu realnemu ˇstevilu a ustreza eno samo celo ˇstevilo k = kn(a), za katerega velja kxn ≤ a < (k+ 1)xn. Definirajmo funkcijo

y_n(a) =

( k_n(a)x_n; ˇce 0≤a < n n; ˇce n≤a ≤ ∞.

Potem je vsaka funkcija y_n Borelova funkcija na intervalu [0,∞], a−xn< yn(a)≤a 0≤a≤n,

0≤y₁ ≤y₂ ≤...≤a iny_n(a)→a,ko gre n→ ∞,za vsaka ∈[0,∞].Iz tega sledi, da funkcija sn =yn◦f zadovolji oba pogoja in je merljiva po pogoju 3.15 v izreku 3.16.

POGLAVJE 4

Integracija

V tem poglavju bomo pogledali, kako lahko definiramo integral merjive funkcije glede na po- ljubno pozitivno mero. Pred tem pa na kratko ponovimo, kako je definiran Riemannov integral.

Definicija 4.1. Naj bo f : [a, b] → R omejena funkcija. Interval [a, b] razdelimo na n- podintervalov s toˇckami a = x₀ < x₁ < ...xn−1 <_n= b in na vsakem podintervalu [xk−1, x_k] izberemo toˇcko ξ_k ∈ [xk−1, x_k]. Vsoto Pn

k=1f(ξ_k)(x_k −xk−1) imenujemo Riemannova vsota funkcije f prirejena delitvi D ={x₀, x₁, x₂, ...x_n} in izbiri toˇck ξ_k ∈ [xk−1,x_k]. Oznaˇcimo ϑ_k = x_k−x_k−1 in ϑ(D) = max_k=1,2...nϑ_k.

Definicija 4.2. Naj bof : [a, b]→Romejena funkcija. Riemannove vsote funkcije f na [a, b]

konvergirajo proti limiti I ∈R, ˇce za vsak >0 obstajaϑ >0, da je:

|

n

X

k=1

f(ξ_k)(x_k−x_k−1) =I|< , ˇ

ce bo le ϑ(D)< ϑ za D={x₀, x₁, ...x_n} in pri poljubni izbiri toˇck ξ_k ∈[xk−1, ...x_k].

Definicija 4.3. Naj bof : [a, b]→Romejena. ˇCe obstaja limitaI Riemannovih vsot funkcije f na [a, b], reˇcemo, da je f na [a, b] integrabilna in definiramo Riemannov integral

Z b

a

f(x)dx=I.

Ker so zvezne funkcije na kompaktnih intervalih enakomerno zvezne, lahko hitro dokaˇzemo, da so vse zvezne funkcije integrabilne. Bolj sploˇsno: Imamo Lebesguov izrek ([13]).

Izrek 4.4 (Lebesguov izrek). Omejena funkcija f : [a, b] → R je Riemannovo integrabilna natanko tedaj, ko ima mnoˇzica toˇck nezveznosti funkcije f Lebesguovo mero 0.

Riemannov integral je zelo uporaben, kadar imamo opravka z zveznimi funkcijami in tistimi nezveznimi funkcijami, ki nimajo ”preveˇc”toˇck nezveznosti. Kot vidimo iz zgornjega izreka, pa teˇzava nastopi, ˇce ima funkcija preveˇc toˇck nezveznosti. Kot primer take funkcije si oglejmo karakteristiˇcno funkcijo racionalnih ˇstevil χ_Q : [0,1]→R.

χ_Q(x) =

( 1; x∈Q, 0; x6∈Q.

Ker je funkcija χ_Q povsod nezvezna, po zgornjem izreku ni Riemannovo integrabilna na [0,1].

Seveda to lahko vidimo tudi direktno. Pri kateri koli delitvi intervala [0,1] lahko delilne toˇcke izberemo tako, da bo Riemannova vsota enaka0, ali pa tako, da bo Riemannova vsota enaka1.

Vseeno pa takoj opazimo, da je funkcijaχ_Q skoraj povsod enaka0, saj je neniˇcelna le na ˇstevni mnoˇzici. Zato bi bilo smiselno, da bi bil tudi njen integral enak 0. Problem lahko reˇsimo tako, da definiramo (Lebesguov) integral funkcije χ_Q kot

Z

[0,1]

χ_Q = 1·m(Q∩[0,1]) + 0·m([0,1]\Q) = 0.

Seveda lahko Riemannov integral posploˇsimo na funkcije veˇc spremenljivk. Na analogen naˇcin kot zgoraj, lahko najprej definiramo Riemannov integral za omejene funkcije, definirane na kompaktnih kvadrih v Rⁿ. Ce je funkcija definirana na bolj sploˇsni omejeni mnoˇˇ zici, pa jo najprej z 0 razˇsirimo, tako da bo definirana na nekem kvadru.

1. Integral pozitivne enostavne funkcije

Definicija 4.5. Naj bo (X,F, µ) prostor z mero in s : X → [0,∞) pozitivna enostavna funkcija s kanoniˇcno reprezentacijo

s=

n

X

i=1

a_iχ_Ai, . Potem definiramo integral s na X kot

Z

s(x)dµ=

n

X

i=1

a_iµ(A_i).

Ce je mnoˇˇ zica E ∈ F, definiramo Z

E

sdµ=

n

X

i=1

aiµ(Ai∩E). (4)

Pri tem upoˇstevamo, da je 0· ∞= 0 v primeru, ko je µ(E∩Ai) =∞.

Primeri. Oglejmo si nekaj primerov

(1) Naj bo funkcija f :R→R definirana tako kot f(x) =

( 1; x∈Q, 2; x6∈Q.

Funkcija f je enostavna funkcija s kanoniˇcno reprezentacijo f(x) =χ_Q+ 2χ_R\Q.

Integral funkcijef glede na Lebesguovo mero naR je enak ∞, saj je Z

f(x)dm= Z

(χ_Q+ 2χ_R\Q)dm

= 1·m(Q) + 2·m(R\Q)

= 1·0 + 2· ∞=∞.

Na mnoˇzici [0,1] je integral f enak Z

[0,1]

f(x)dm= Z

[0,1]

(χ_Q+ 2χ_R\Q)dm

= 1·m(Q∩[0,1]) + 2·m((R\Q)∩[0,1])

= 1·0 + 2·1 = 2.

(2) Zopet bomo izraˇcunali integral glede na Lebesguovo mero na R, tokrat funkciji s₁(x) = 2χ_[0,2](x) + 4χ_[1,3](x)

s₂(x) = 2χ_[0,1](x) + 6χ_[1,2](x) + 4χ_[2,3](x).

Gre za enaki enostavni funkciji z razliˇcno reprezentacijo, za kateri je kanoniˇcna repre- zentacija enaka

s(x) = 2χ_[0,1)(x) + 8χ{1}+ 6χ_(1,2)(x) + 10χ{2}+ 4χ_(2,3](x).

Ceprav smo v definiciji integrala enostavne funkcije uporabili kanoniˇˇ cno reprezentacijo, pa to ni potrebno, saj je

Z

s₁dm= 2·m([0,2]) + 4·m([1,3]) = 4 + 8 = 12, Z

s₂dm= 2·m([0,1]) + 6·m([1,2]) + 4·m([2,3]) = 2 + 6 + 4 = 12, in

Z

s dm= 2·m([0,1)) + 10·m({1}) + 6·m((1,2)) + 10·m({2}) + 4·m((2,3]) = 2 + 0 + 6 + 0 + 4 = 12.

(3) Naj bo sedaj X =N in za µ vzemimo obiˇcajno mero ˇstetja toˇck. Naj bo stopniˇcasta funkcija f : N → R definirana z f(n) = (−1)ⁿ. Naj bo S mnoˇzica sodih ˇstevil, L pa mnoˇzica lihih ˇstevil. Potem je f = χ_S −χ_L. Ta funkcija, sicer stopniˇcasta, nima zgolj pozitivnih vrednosti, tako da zaenkrat naˇsa definicija integrala tega primera ˇse ne zajema. Veˇcji problem kot to, je, da niti mnoˇzica sodih, niti mnoˇzica lihih ˇstevil nimata konˇcne mere. ˇCe bi namreˇc ˇzeleli razˇsiriti definicijo neposredno na ta primer, bi morali smiselno razumeti izrazµ(S)−µ(L) = ∞ − ∞. Pravzaprav bi ˇzeleli smiselno razumeti vsoto−1 + 1−1 + 1− · · · , za kar pa vemo, da je problematiˇcno.

Trditev 4.6. Naj bo s nenegativna enostavna funkcija na (X,F, µ). Predpis ϕ(A) =

Z

A

s dµ, kjer je A∈ F, doloˇca pozitivno mero na F.

Dokaz. Dokaˇzimo, da je ϕ(E) res pozitivna mera na F.Ker jeχ_∅ = 0, jeϕ(∅) = R

∅s dµ= R 0dµ = 0. Za dokaz ˇstevne aditivnosti funkcije ϕ pa naj bo Ak poljubno zaporedje paroma disjunktnih mnoˇzic iz F in A njihova unija. ˇCe je s =Pn

j=1c_jχ_Ej kanoniˇcni zapis enostavne