LINEARNE DIFERENCIALNE ENA ˇ CBE 2. REDA IN NIHANJE

UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOˇ SKA FAKULTETA

DIPLOMSKO DELO

RAZIJA KURSPAHI ´ C

UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOˇ SKA FAKULTETA

Studijski program: Matematika in raˇˇ cunalniˇstvo

LINEARNE DIFERENCIALNE ENA ˇ CBE 2. REDA IN NIHANJE

DIPLOMSKO DELO

Mentor: izr. prof. dr. Marko Slapar Kandidatka:

Somentor: asist. dr. Tadej Starˇciˇc Razija Kurspahi´c

Ljubljana, 2016

Zahvala

Zahvaljujem se mentorju prof. dr. Marku Slaparju in somentorju asist. dr. Tadeju Starˇciˇcu za vso podporo, nasvete in strokovno pomoˇc pri pisanju diplomskega dela.

Najlepˇsa hvala za vso razlago, pripombe, predloge, skrb in spodbudne besede. Za- hvaljujem se tudi svoji druˇzini in vsem drugim, ki ste me podpirali in spodbujali v ˇcasu ˇstudija.

Hvala!

Povzetek

V prvem delu diplomskega dela obravnavamo sploˇsno teorijo linearnih diferenci- alnih enaˇcb 2. reda in sistemov linearnih diferencialnih enaˇcb 1. reda. V primeru konstantnih koeficientov predstavimo naˇcine analitiˇcnega reˇsevanja diferencialnih enaˇcb. Drugi del diplomskega dela obravnava uporabnost in praktiˇcno rabo linear- nih diferencialnih enaˇcb 2. reda s konstantnimi koeficienti na primeru vzmetnega nihanja, kjer s pomoˇcjo znanih fizikalnih zakonov izpeljemo diferencialne enaˇcbe in nato uporabimo postopke za reˇsevanje le-teh. Zakljuˇcimo s primerom skloplje- nega nihanja, ko imamo povezanih veˇc vzmetnih nihal, kjer se reˇsevanja lotimo z uporabo linearnega sistema diferencialnih enaˇcb 1. reda.

Kljuˇcne besede: linearna diferencialna enaˇcba 2. reda, sistem linearnih diferen- cialnih enaˇcb 1. reda, nihanje, vzmetno nihanje, sklopljeno nihanje

Abstract

In the first part of this diploma thesis we discuss the general theory on linear differential equations of second order and systems of linear differential equation of first order. For constant coefficients, we present analytical methods of solving differential equations. The second part of diploma thesis focuses on usability and practical use of linear differential equations of second order with constant coeffici- ents in case of spring oscillation, where we first deduce differential equations using well-known laws of physics and then use procedures for solving these equations.

We conclude with a case of coupled oscillation, which connects several springs. In order to solve the case of coupled oscillation, we use a linear system of differential equations of first order.

Keywords: linear differential equation second order, system linear differential equations first order, oscillations, spring oscillatio, coupled oscillators

Kazalo

Poglavje 1. Uvod 1

Poglavje 2. Linearna diferencialna enaˇcba 2. reda 4 2.1. Eksistenca in enoloˇcnost reˇsitve linearne diferencialne enaˇcbe 2. reda 6 2.1.1. Homogena linearna diferencialna enaˇcba 2. reda 7 2.1.2. Nehomogena linearna diferencialna enaˇcba 2. reda 12 2.2. Reˇsevanje linearne diferencialne enaˇcbe 2. reda s konstantnimi

koeficienti 13

2.2.1. Reˇsevanje homogene linearne diferencialne enaˇcbe 2. reda s

konstantnimi koeficienti 13

2.2.2. Reˇsevanje nehomogene linearne diferencialne enaˇcbe 2. reda s

konstantnimi koeficienti 16

Poglavje 3. Linearni sistem diferencialnih enaˇcb 1. reda 21 3.1. Reˇsevanje homogenega linearnega sitema s konstantnimi koeficienti 25 3.2. Reˇsevanje nehomogenega linearnega sitema s konstantnimi koeficienti 31

3.2.1. Metoda variacije konstant 32

Poglavje 4. Primeri uporabe diferencialnih enaˇcb pri nihanju 35

4.1. Vzmetno nihalo 35

4.1.1. Neduˇseno nihanje 38

4.1.2. Duˇseno nihanje 40

4.1.3. Vsiljeno nihanje 43

4.2. Sklopljena nihala 52

Poglavje 5. Zakljuˇcek 58

Literatura 59

POGLAVJE 1

Uvod

Pri uporabi matematike v naravoslovnih vedah pogosto naletimo na enaˇcbe, pri katerih poleg neznane funkcije nastopajo tudi odvodi neznane funkcije. Takim enaˇcbam reˇcemo diferencialne enaˇcbe. Diferencialne enaˇcbe so orodja za opisova- nje in napovedovanje zveznih sprememb, pogostokrat opisujejo nek fizikalni proces, zato jim reˇcemo matematiˇcni model procesa. Z njimi obravnavamo eksponentne in druge oblike rasti, modeliramo razne pojave v naravi in tudi drugje. Osrednji cilj tega diplomskega dela je podrobna obravnava linearne diferencialne enaˇcbe 2.

reda s konstantnimi koeficienti in prikaz njene uporabnosti. Linearne diferencialne enaˇcbe drugega reda so kljuˇcnega pomena pri prouˇcevanju diferencialnih enaˇcb iz dveh glavnih razlogov. Prvi je ta, da imajo linearne diferencialne enaˇcbe bogato teorijo, ki je osnova pri ˇstevilnih sistematiˇcnih metodah reˇsevanja. Znaten del te teorije je razumljiv na dokaj osnovni matematiˇcni ravni. Drug razlog za ˇstudij linearnih diferencialnih enaˇcb 2. reda je, da so kljuˇcnega pomena za vsako resno preiskavo s klasiˇcnega podroˇcja matematiˇcne fizike. Ta ne more iti zelo daleˇc v razvoju mehanike tekoˇcin, toplotne prevodnosti, nihanja ali elektromagnetnega pojava brez ugotovitev, da je potrebno reˇsiti diferencialne enaˇcbe drugega reda.

Pomembno podroˇcje uporabe je tudi podroˇcje mehanskih nihanj. Tak primer so, gibanje telesa z doloˇceno maso na nihajni vzmeti, mehansko nihanje in ˇstevilni drugi fizikalni primeri, ki jih lahko le opiˇsemo z reˇsitvijo zaˇcetnega problema line- arne diferencialne enaˇcbe 2.reda s konstantnimi koeficienti

y⁰⁰+py⁰+qy =f(x), y(0) =y₀, y⁰(0) =y₀⁰. (1) To kaˇze na temeljno osnovno razmerje med matematiko in fiziko: veliko fizikalnih problemov lahko vsebuje enak matematiˇcni model. Ko enkrat vemo, kako reˇsiti zaˇcetni problem (1), je treba le ustrezno interpretirati konstante p, q ter funkciji y inf, da dobimo reˇsitev razliˇcnih fizikalnih problemov.

Tako bomo v prvem delu diplomskega dela podrobno opisali linearne dife- rencialne enaˇcbe 2. reda s konstantnimi koeficienti in tudi sistem linearnih dife- rencialnih enaˇcb 1. reda, kajti vsako linearno diferencialno enaˇcbo 2. reda lahko nadomestimo s sistemom enaˇcb 1. reda. Prikazali bomo postopek reˇsevanja, kako poiˇsˇcemo sploˇsno reˇsitev in tudi reˇsitev zaˇcetnega problema, kakˇsne so reˇsitve teh diferencialnih enaˇcb in koliko jih je. Drugi del diplomskega dela pa bo popolnoma

fizikalno orientiran. Linearna diferencialna enaˇcba 2. reda s konstantnimi koefici- enti ima namreˇc izjemen fizikalni pomen, ker opisuje stanje linearnega nihanja, tako se namreˇc imenuje mehanski sistem, karakteriziran s fizikalno koliˇcino y, ki kot funkcija ˇcasa zadoˇsˇca enaˇcbi (1). [7] Kot primer, bomo postopke za reˇsevanje linearnih diferencialnih enaˇcb 2.reda s konstantnimi koeficienti uporabili pri opisu gibanja drobnega telesa, obeˇsenega na koncu vijaˇcne vzmeti. Zakljuˇcili bomo s primerom, ko imamo sklopljenih veˇc vzmetnih nihal, kjer se bomo lotili reˇsevanja naloge, kot bi reˇsevali linearni sistem diferencialnih enaˇcb 1. reda. Zaradi laˇzje predstave bomo teorijo podkrepili s slikami primerov, izrisanih s pomoˇcjo pro- gramskega orodja GeoGebra. Z interpretacijo rezultata pa tako pridemo do reˇsitve zastavljenega problema v realnem svetu.

V nadaljevanju uvodnega dela bomo predstavili nekaj sploˇsnih pojmov, po- membnih za razumevanje diferencialnih enaˇcb, ki jih bomo v diplomskem delu obravnavali. Tu so definicije osnovnih pojmov povzete po [4] in [5].

Funkcijska enaˇcba, v kateri nastopajo odvodi ali diferenciali neznane funkcije, se imenuje diferencialna enaˇcba. Ce je v diferencialni enaˇˇ cbi neznana funkcija odvisna od ene same spremenljivke, je diferencialna enaˇcba navadna. Kadar pa je neznana funkcija odvisna od veˇc spremenljivk, je diferencialna enaˇcba parcialna.

Primer 1.1. Enaˇcba y⁰⁰⁰+ay⁰ +by² = cosx je navadna diferencialna enaˇcba.

Enaˇcba 3y_∂x^∂2z2 +x_∂y^∂z = 0 pa parcialna diferencialna enaˇcba.

Stopnja najviˇsjega odvoda, ki nastopa v diferencialni enaˇcbi, se imenuje red enaˇcbe. ˇCe v enaˇcbi nastopajo poleg prvega odvoda tudi viˇsji odvodi, npr. do vkljuˇcno reda n, potem to enaˇcbo imenujemo diferencialna enaˇcba n-tega reda.

Definicija 1.2. Sploˇsno diferencialno enaˇcbo reda n zapiˇsemo v obliki F(x, y, y⁰, y⁰⁰, . . . , y⁽ⁿ⁾) = 0, (2) kjer je n ∈N, D⊂Rⁿ⁺² odprta mnoˇzica inF :D→R zvezna funkcija.

Zapis (2) je implicitna oblika diferencialne enaˇcbe. Diferencialno enaˇcbo pa pogo- stokrat vidimo zapisano v eksplicitni obliki

y⁽ⁿ⁾=F(x, y, y⁰, y⁰⁰, . . . , y⁽ⁿ⁻¹⁾), kjer je F zvezna funkcija n+ 1 spremenljivk.

Diferencialna enaˇcba (2) je linearna, ˇce nastopajo neznana funkcija y in njeni odvodi y⁰, y⁰⁰, . . . , y⁽ⁿ⁾ linearno. V nasprotnem primeru je diferencialna enaˇcba nelinearna.

Definicija 1.3. Funkcija f = f(x) je na nekem intervalu I reˇsitev zgornje enaˇcbe (2), ˇce za vse x∈I velja

F(x, f(x), f⁰(x), f⁰⁰(x), . . . , f⁽ⁿ⁾(x)) = 0.

Konstante v reˇsitvi diferencialne enaˇcbe se imenujejo parametri. Pravimo, da reˇsitve diferencialne enaˇcben-tega reda sestavljajon-parametriˇcno druˇzinon-krat zvezno odvedljivih funkcij. Druˇzino reˇsitev, s pomoˇcjo katere lahko pri pravilnem izboru parametrov dobimo katerokoli reˇsitev enaˇcbe, imenujemo sploˇsna reˇsitev diferencialne enaˇcbe. Za konkretno vrednost konstant dobimo partikularno reˇsitev diferencialne enaˇcbe.

Obiˇcajno zahtevamo, da reˇsitev diferencialne enaˇcbe v zaˇcetni toˇckix₀ zadoˇsˇca danim vrednostim

y(x0) = y0, y⁰(x0) =y⁰₀, . . . , y⁽ⁿ⁻¹⁾(x0) =y⁽ⁿ⁻¹⁾₀ , ki jih imenujemo zaˇcetni pogoji, nalogo pa Cauchyeva naloga.

POGLAVJE 2

Linearna diferencialna enaˇ cba 2. reda

Rdeˇca nit tega diplomskega dela so linearne diferencialne enaˇcbe 2.reda. Le-te bomo v tem poglavju podrobneje opisali, tako kot je to v praksi pri vsakem ma- tematiˇcnem delu z definicijami, trditvami, izreki in nekaj dokazi. Pri posamezni obliki diferencialne enaˇcbe bomo podali potek reˇsevanja, izpeljali formule ter teo- rijo sproti podkrepili s primeri. Poleg glavnega vira [1] je pri pisanju in oblikovanju tega poglavja uporabljena literatura [4], [5] in [8].

Preden se posvetimo linearnim diferencialnim enaˇcbam 2. reda, si za uvod v to poglavje poglejmo linearne diferencialne enaˇcbe 1. reda.

Diferencialne enaˇcbe prvega reda imajo obliko y⁰ =f(x, y),

kjer jef neka podana zvezna funkcija, definirana na neprazni odprti mnoˇzici D⊂ R².

Definicija 2.1. Linearna diferencialna enaˇcba 1. reda je oblike

y⁰+q(x)y=f(x), (3)

q in f sta dani zvezni funkciji spremenljivke x na intervaluI ⊆R.

Za enaˇcbo (3) reˇcemo, da je nehomogena, ˇce je f(x) 6= 0, in homogena, ˇce je f(x) = 0, za vsak x.

Opomba 2.2. Tokrat izraz homogena izhaja iz podobnosti z linearnimi sistemi (algebrajskih) enaˇcb. Tam je linearni sistem Ax =b homogen, ˇce je desna stran enaka 0, b= 0.

Izrek 2.3. Sploˇsno reˇsitev nehomogene linearne diferencialne enaˇcbe dobimo tako, da k partikularni reˇsitvi te enaˇcbe priˇstejemo sploˇsno reˇsitev pripadajoˇce ho- mogene enaˇcbe.

Analogen dokaz tega izreka sledi v nadaljevanju pri diferencialnih enaˇcbah 2.

reda (glej dokaz izreka 2.16).

Vidimo, da ima homogena enaˇcba pri postopku reˇsevanja diferencialnih enaˇcb pomembno vlogo, kajti nehomogeno enaˇcbo (3) reˇsimo tako, da ji priredimo kar

homogeno enaˇcbo

y⁰+q(x)y= 0. (4)

Tako jo imenujemo, ker ima na levi strani enaka koeficienta, 1 pri odvodu in q(x) pri neznani funkciji, kot dana nehomogena enaˇcba (3).

Homogeno linearno enaˇcbo 1.reda (4) je lahko reˇsiti, saj sta v njej spremenljivki loˇcljivi

dy

dx +q(x)y = 0, ˇce jo pomnoˇzimo zdx in delimo z y, dobimo

dy

y +q(x)dx= 0.

To integriramo

lny+ Z

q(x)dx= lnC in odpravimo logaritme

y_h =Ce^−Rq(x)dx. (5)

Ta enoparametriˇcna druˇzina je sploˇsna reˇsitev homogene enaˇcbe (4), kjer je C poljubna konstanta.

Za reˇsevanje nehomogene enaˇcbe poznamo metodo variacije konstant, ki jo bomo uporabili in podrobneje opisali pri linearnih enaˇcbah 2. reda in linearnih sistemih prvega reda. Ta pravi, da reˇsitev enaˇcbe (3) iˇsˇcemo z izrazom iste oblike, kakor je (5), kjer C ni veˇc konstanta, temveˇc neznana funkcija spremenljivke x.

Tedaj je

y_p =C(x)e^−Rq(x)dx

nastavek za partikularno reˇsitev. Funkcijoy_p odvajamo, vstavimo v enaˇcbo (3) in s poenostavitvijo dobimo

C(x) = Z

f(x)e^Rq(x)dx. Partikularna reˇsitev linearne diferencialne enaˇcbe je tako

y_p =Z

f(x)e^Rq(x)dxdx

e^−Rq(x)dx. (6)

Izrek 2.4. Sploˇsna reˇsitev nehomogene linearne diferencialne enaˇcbe 1. reda je torej vsota (5) in (6)

y= C+

Z

f(x)e^Rq(x)dxdx

e^−Rq(x)dx, kjer je C poljubna konstanta.

Sedaj se posvetimo naˇsi osrednji temi: linearnim diferencialnim enaˇcbam 2.

reda.

Diferencialne enaˇcbe 2. reda imajo obliko y⁰⁰=f(x, y, y⁰), kjer je f neka podana zvezna funkcija.

Definicija 2.5. Linearna diferencialna enaˇcba 2. reda je enaˇcba oblike y⁰⁰+p(x)y⁰+q(x)y=f(x). (7) kjer so p(x), q(x) in f(x) zvezne funkcije spremenljivke x na intervalu I ⊆ R in niso odvisne od y,y(x) je neznana funkcija.

Ce je funkcijaˇ f(x) = 0 za vsex, pravimo, da je homogena linearna diferenci- alna enaˇcba. Enaˇcba

y⁰⁰+p(x)y⁰+q(x)y= 0 (8) je enaˇcbi (7) prirejena homogena enaˇcba. ˇCe jef(x) neniˇcelna funkcija, se imenuje (7) nehomogena linearna diferencialna enaˇcba.

2.1. Eksistenca in enoloˇcnost reˇsitve linearne diferencialne enaˇcbe 2.

reda

Postopek reˇsevanja diferencialnih enaˇcb imenujemo integracija diferencialne enaˇcbe. Vseh diferencialnih enaˇcb ne znamo reˇsiti analitiˇcno (z integracijo), zato je toliko bolj pomembno, da vsaj naˇcelno vemo, ali reˇsitev obstaja, je ena sama ali jih je veˇc, ali nobena. V nekaterih primerih celo obstaja za diferencialno enaˇcbo tudi reˇsitev, ki je ne moremo dobiti iz sploˇsne reˇsitve, taka reˇsitev se imenuje singularna reˇsitev. Pri praktiˇcnih problemih, ki jih opisujemo z diferencialnimi enaˇcbami, nas obiˇcajno sploˇsna reˇsitev sploh ne zanima, ˇzelimo dobiti le neko partikularno reˇsitev, to pa dobimo tako, da problemu dodamo zaˇcetne pogoje, ki nam bodo omogoˇcili izraˇcun natanko doloˇcenih vrednosti integracijskih konstant.

Izkaˇze se, da moramo pri navadnih diferencialnih enaˇcbah podati toliko zaˇcetnih pogojev, kolikor je red enaˇcbe.

Da bi reˇsili zaˇcetni problem linearne diferencialne enaˇcbe 2. reda za funkcijo y(x), pomeni reˇsitiy(x) za specifiˇcen problem glede na podane prvotne oz. zaˇcetne pogoje

y(x₀) =y₀, y⁰(x₀) =y₀⁰.

V primeru harmoniˇcnega nihanja to pomeni, da se zaˇcne gibanje pri x₀ = 0 v zaˇcetnem poloˇzajuy(x₀) = y₀ z zaˇcetno hitrostjoy⁰(x₀) = y₀⁰.

Izrek2.6.(Eksistenca in enoliˇcnost reˇsitve). Naj bodop,qinf zvezne funkcije na odprtem intervalu I in x₀ ∈I. Potem ima enaˇcba

y⁰⁰+p(x)y⁰+q(x)y=f(x)

natanko eno reˇsitev, definirano na celemI, ki ustreza zaˇcetnima pogojemay(x₀) = y₀, y⁰(x₀) =y₀⁰, za neka y₀, y₀⁰ ∈R.

Za dokaz izreka glej vir [8]. Eksistenˇcni izrek za sisteme zagotavlja tudi ek- sistenco reˇsitve linearne diferencialne enaˇcbe n-tega reda. Linearne diferencialne enaˇcben-tega reda pa imajo podobne lastnosti kot linearne enaˇcbe 2.reda in tudi dokazi so analogni.

Poleg problema zaˇcetnih vrednosti imamo lahko problem robnih vrednosti, kjer mora za diferencialno enaˇcbo 2. reda partikularna reˇsitev zadoˇsˇcati pogojema, ki sta npr. podana v dveh toˇckah y(x₁) = A, y(x₂) = B. Za razliko od problema zaˇcetnih vrednosti, ko v vsakem primeru dobimo eno samo reˇsitev, ima naloga ob robnih pogojih lahko eno, pa tudi neskonˇcno ali nobene partikularne reˇsitve.

Primer 2.7. Enaˇcba y⁰⁰+y = 0 ima reˇsitev y = C₁cosx+C₂sinx. Reˇsitev robnega problema y(0) = y(π) = 0 je funkcija y = C₂sinx, ker je C₂ poljubna konstanta, torej je reˇsitev neskonˇcno mnogo.

2.1.1. Homogena linearna diferencialna enaˇcba 2. reda. Kako poiskati kakˇsno partikularno reˇsitev, bomo obravnavali kasneje, sedaj bomo navedli kljuˇcne izreke, ki govorijo o samih reˇsitvah homogene linearne diferencialne enaˇcbe 2.reda.

Izrek 2.8. Ce staˇ y₁ in y₂ reˇsitvi homogene enaˇcbe (8), C₁, C₂ pa poljubni konstanti, je linearna kombinacija

y=C₁y₁+C₂y₂ tudi reˇsitev homogene enaˇcbe.

Dokaz. Naj bostay₁ iny₂ reˇsitvi linearne diferencialne enaˇcbe, torej velja y₁⁰⁰+p(x)y₁⁰+q(x)y₁ = 0,

y200

+p(x)y20

+q(x)y2 = 0.

Prvo enaˇcbo nato pomnoˇzimo s C₁, drugo pa sC₂ in ju seˇstejemo. Dobimo (C₁y₁+C₂y₂)⁰⁰+p(x)(C₁y₁+C₂y₂)⁰+q(x)(C₁y₁+C₂y₂) = 0,

kar nam pove, da je y = C₁y₁ +C₂y₂ reˇsitev homogene linearne diferencialne

enaˇcbe.

Definicija 2.9. Naj bosta y₁, y₂ reˇsitvi homogene enaˇcbe (8). Determinanta W(y₁, y₂)(x) =

y₁(x) y₂(x) y₁⁰(x) y₂⁰(x)

=y₁(x)y₂⁰(x)−y₂(x)y₁⁰(x) se imenuje determinanta Wronskega.

Izrek 2.10. (Abel-Liouvillov izrek). Naj bosta y₁ in y₂ reˇsitvi homogene dife- rencialne enaˇcbe y⁰⁰+p(x)y⁰+q(x)y= 0. Tedaj je

W(y₁, y₂)(x) =W(y₁, y₂)(x₀)e⁻

Rx x0p(t)dt

, x₀ ∈I.

Dokaz. Naj bostay₁ iny₂ reˇsitvi homogene enaˇcbe y₁⁰⁰+p(x)y₁⁰+q(x)y₁ = 0, y₂⁰⁰+p(x)y₂⁰+q(x)y₂ = 0.

Prvo enaˇcbo pomnoˇzimo z y₂, drugo pa zy₁ in ju odˇstejemo. Dobimo (y₁⁰⁰y₂ −y₂⁰⁰y₁) +p(x)(y₁⁰y₂−y₂⁰y₁) = 0,

kar pa je enako

−W⁰(y₁, y₂)−p(x)W(y₁, y₂) = 0.

Iz tega sledi

W⁰(y₁, y₂)

W(y₁, y₂) =−p(x) in

W(y₁, y₂)(x) =Ce^−Rp(x)dx. Ce hoˇˇ cemo poudariti neko zaˇcetno toˇcko, lahko piˇsemo

W(y₁, y₂)(x) = Ce⁻

Rx x0p(t)dt

.

Izrek 2.11. Naj bosta y1 in y2 reˇsitvi homogene linearne diferencialne enaˇcbe y⁰⁰ +p(x)y⁰ +q(x)y = 0 na I. Funkciji y₁ in y₂ sta linearno neodvisni natanko tedaj, ko je W(y₁, y₂)(x)6= 0 za vsak x∈I.

Dokaz. Vemo da, ˇce sta y₁ in y₂ linearno odvisni, je W(y₁, y₂) = 0, za vsak x∈I. Denimo, da jeW(y₁, y₂)(x₀) = 0. Potem obstajata ˇsteviliC₁ inC₂, ki nista obe enaki 0

C₁y₁(x₀) +C₂y₂(x₀) = 0, C₁y₁⁰(x₀) +C₂y₂⁰(x₀) = 0.

Zapiˇsimo z matriko

y₁(x₀) y₂(x₀) y₁⁰(x₀) y₂⁰(x₀)

C₁ C₂

= 0.

Definirajmo y = C₁y₁ +C₂y₂, ker je enaˇcba linearna, je tudi y reˇsitev enaˇcbe y⁰⁰ +p(x)y⁰ +q(x)y = 0, y(x₀) = 0, y⁰(x₀) = 0. Po Eksistenˇcnem izreku 2.6, ki pravi, da je reˇsitev natanko ena, je y = 0 za vsak x ∈I in tako C₁y₁ +C₂y₂ = 0 za vsakx∈I. Iz tega sledi, da stay₁ in y₂ linearno odvisni.

Posledica 2.12. Ce jeˇ W(y₁, y₂)(x₀) = 0 za nek x₀ ∈ I, je W(y₁, y₂)(x) = 0 za vsak x∈I in reˇsitvi sta linearno odvisni.

Izrek 2.13. Sploˇsna reˇsitev homogene linearne enaˇcbe drugega reda je mnoˇzica vseh linearnih kombinacij dveh njenih linearno neodvisnih partikularnih reˇsitev.

Ta izrek je koristen, ker pravi, da, ˇce poznamo dve partikularni linearni neod- visni reˇsitvi, potem poznamo vsako reˇsitev.

Dokaz. Naj boy₁reˇsitev, ki zadoˇsˇca zaˇcetnima pogojemay₁(x₀) = 1,y₁⁰(x₀) = 0 in y₂ naj zadoˇsˇca pogojema y₂(x₀) = 0, y₂⁰(x₀) = 1. Obstoj reˇsitev y₁ in y₂ za- gotavlja Eksistenˇcni izrek 2.6. Njuna determinanta Wronskega v toˇcki x₀ je

W(y₁, y₂)(x₀) =

1 0 0 1

= 1 in iz Izreka 2.10 sledi

W(y₁, y₂)(x) = 1e⁻

Rx x0p(t)dt

,

kar pomeni, da sta linearno neodvisni. Na ta naˇcin lahko zapiˇsemo katerokoli reˇsitev enaˇcbe.

Poiˇsˇcimo C₁ in C₂, tako da je y₁(x₀) y₂(x₀)

y₁⁰(x₀) y₂⁰(x₀)

C₁ C₂

=

y(x₀) y⁰(x₀)

.

Definirajmo y₀ = C₁y₁ +C₂y₂, ker je enaˇcba linearna, je y₀ reˇsitev enaˇcbe y⁰⁰+ p(x)y⁰ +q(x) = 0. Sledi, da je reˇsitev, ki ustreza zaˇcetnima pogojema y₀(x₀) = y(x₀), y₀⁰(x₀) = y⁰(x₀) zaradi enoliˇcnosti reˇsitve Cauchyeve naloge enaka

y=y₀ =C₁y₁+C₂y₂.

Trditev 2.14. Ce poznamo eno neniˇˇ celno reˇsitev y₁ homogene diferencialne enaˇcbe2.reda, lahko poiˇsˇcemo drugo neodvisno reˇsitevy₂(x) =y₁(x)R _e⁻

Rx x0p(t)dt

(y1(x))² dx (Liouvillova formula) z nastavkom y₂(x) = u(x)y₁(x), kjer je u(x) neznana funk- cija.

Dokaz. Naj bo

y₂ =uy₁, dvakrat odvajamo

y₂⁰ = uy₁⁰+u⁰y₁,

y₂⁰⁰ = uy₁⁰⁰+ 2u⁰y₁⁰+u⁰⁰y₁ in vstavimo v enaˇcbo (8)

y₁u⁰⁰+ (p(x)y₁+ 2y₁⁰)u⁰+ (y₁⁰⁰+p(x)y₁⁰+q(x)y₁)u= 0.

Dobimo linearno diferencialno enaˇcbo 2.reda za u, v kateri une nastopa (le u⁰ in u⁰⁰), kajti po predpostavki jey₁⁰⁰+p(x)y₁⁰+q(x)y₁ = 0,in tako dobimo enaˇcbo, ki ji lahko zniˇzamo red za ena s pomoˇcjo uvedbe nove spremenljivke. Izberemo, da je u⁰ =z,in delimo z y₁. Dobimo

z⁰+

p+ 2y₁⁰ y₁

z = 0, linearno enaˇcbo 1. reda zaz. Reˇsimo

z = e^−Rp(x)dx (y₁)²

in spremenimo nazaj v prvotno obliko, tako da je z =u⁰. Dobimo drugo reˇsitev y₂(x) =y₁(x)

Z e⁻

Rx x0p(t)dt

(y₁(x))² dx.

Primer 2.15. Preveri, da je dana funkcija y1(x) = ^sin_x^x, x 6= 0, reˇsitev homo- gene diferencialne enaˇcbe xy⁰⁰+ 2y⁰ +xy= 0 in poiˇsˇci ˇse drugo reˇsitev.

Pokaˇzimo, da je y₁(x) reˇsitev podane diferencialne enaˇcbe. Dvakrat odvajamo funkcijo

y₁⁰(x) = cosx·x−sinx

x² = cosx

x −sinx x² , y₁⁰⁰(x) = −sinx·x−cosx

x² − cosx·x²−2x·sinx x⁴

in vstavimo v diferencialno enaˇcbo x −sinx·x−cosx

x² −cosx·x²−2x·sinx x⁴

!

+ 2 cosx

x −sinx x²

!

+xsinx x = 0.

Dobimo

−sinx−2cosx

x + 2sinx

x² + 2cosx

x −2sinx

x² + sinx= 0.

Drugo reˇsitev poiˇsˇcemo z nastavkom

y₂(x) = sinx x u(x), tedaj je

y₂⁰(x) = sinx x

!0

u(x) + sinx x u⁰(x), y200

(x) = sinx x

!⁰⁰

u(x) + sinx x

!⁰

u⁰(x) + sinx x

!⁰

u⁰(x) + sinx x u⁰⁰(x).

Vstavimo v enaˇcbo in s poenostavitvijo dobimo

u⁰⁰(x) sinx+u⁰(x)2 cosx= 0.

Zniˇzamo red za ena s pomoˇcjo uvedbe nove spremenljivke u⁰(x) =z(x), z⁰(x) sinx+z(x)2 cosx= 0,

kar je enako

z⁰(x)

z(x) =−2 cosx sinx .

Integriramo in uvedemo novo spremenljivko t = sinx, iz tega sledi, da je dt = cosxdx. Zapiˇsemo

lnz = −2 Z dt

t , lnz = −2 ln(t) +C in

lnz =−2 ln(sinx) +C.

Enaˇcbo antilogaritmiramo in dobimo

z = (sinx)⁻²C.

V nadaljevanju integriramo, da lahko izraˇcunamo funkcijo u(x) u=

Z

C(sinx)⁻²dx.

Ce imamo integral racionalne funkcije, v katerem nastopa sinˇ x ali cosx, lahko uvedemo univerzalno substitucijo

t = tan x

2

. Funkcijo sinus in kosinus moramo izraziti s t, to je

sinx= 2 sinx 2

cosx 2

=

2 sin

x 2

cos

x 2

sin² x

2

cos²

x 2

= 2t 1 +t²,

cosx= cos² x

2

−sin² x

2

=

cos²

x 2

−sin²

x 2

sin²

x 2

cos²

x 2

= 1−t² 1 +t². Doloˇcimo zvezo med dx indt, ker je t= tan(^x₂) je x= 2 arctan(t) in

dx= 2dt 1 +t².

Sledi

u =

Z 2t 1 +t²

!−2

2dt 1 +t²

=

Z 1 +t²

2t² dt=C

Z 1

2t²dt+1 2

Z dt

!

= 1

2 t− 1 t

!

= 1

2C tanx 2

− 1 tan ^x₂

! . Druga reˇsitev je tako

y₂(x) = 1

2Csinx

x tanx 2

− 1 tan ^x₂

! .

Iskanje dveh linearno neodvisnih reˇsitev homogene enaˇcbe z nekonstantnimi koeficienti je v sploˇsnem zahtevno, razen iskanja reˇsitve z razvojem. Zato se bomo v nadaljevanju osredotoˇcili samo na reˇsevanje linearnih diferencialnih enaˇcb 2.reda s konstantnimi koeficienti, kajti partikularno reˇsitev nehomogene enaˇcbe poiˇsˇcemo, ko ˇze poznamo nek bazni sistemy₁,y₂reˇsitev prirejene homogene enaˇcbe, in potem lahko sploˇsno reˇsitev zapiˇsemo brez teˇzav.

2.1.2. Nehomogena linearna diferencialna enaˇcba 2. reda. Kako poiˇsˇce- mo reˇsitev nehomogene diferencialne enaˇcbe (7), si poglejmo z naslednjim izrekom.

Izrek 2.16. Naj bo y_p partikularna reˇsitev nehomogene linearne diferencialne enaˇcbe drugega reda, y₁ in y₂ pa neodvisni reˇsitvi prirejene homogene enaˇcbe in C₁, C₂ ∈R. Mnoˇzica funkcij

y=y_p+C₁y₁+C₂y₂, je sploˇsna reˇsitev nehomogene enaˇcbe.

Dokaz. Privzemimo, da velja

y_p⁰⁰+p(x)y_p⁰ +q(x)y_p = f(x), y₁⁰⁰+p(x)y₁⁰ +q(x)y₁ = 0,

y₂⁰⁰+p(x)y₂⁰ +q(x)y₂ = 0. (9) Naj bostaC₁ inC₂ katerikoli realni ˇstevili in

y=y_p+C₁y₁+C₂y₂, potem je

y⁰ =y_p⁰+C₁y₁⁰+C₂y₂⁰, y⁰⁰ =y_p⁰⁰+C₁y₁⁰⁰+C₂y₂⁰⁰

in zato

y⁰⁰+p(x)y⁰+q(x)y = [y_p⁰⁰+p(x)y_p+q(x)y_p] +C₁[y₁⁰⁰+p(x)y₁+q(x)y₁] + C₂[y₂⁰⁰+p(x)y₂ +q(x)y₂].

Zaradi (9) je izraz v prvem oglatem oklepaju enak f(x), izraza v drugih dveh oglatih oklepajih pa enaka 0. Dobimo

y⁰⁰+p(x)y⁰+q(x)y=f(x)

in funkcija y je reˇsitev nehomogene enaˇcbe (7). Ker sta v njej konstanti C₁ inC₂ poljubni, funkciji y₁ in y₂ linearno neodvisni, je mnoˇzica funkcijy_p+C₁y₁+C₂y₂

res sploˇsna reˇsitev nehomogene enaˇcbe.

2.2. Reˇsevanje linearne diferencialne enaˇcbe 2. reda s konstantnimi koeficienti

Oglejmo si postopek reˇsevanja linearne diferencialne enaˇcbe 2.reda s konstan- tnimi koeficienti

y⁰⁰(x) +py⁰(x) +qy(x) =f(x), (10) kjer stap, q ∈Rinf znana zvezna funkcija neodvisne spremenljivkexna intervalu I ⊆ R. Z Izrekom 2.16 smo zapisali, da je sploˇsna reˇsitev diferencialne enaˇcbe enaka vsoti sploˇsne reˇsitve pripadajoˇce homogene enaˇcbe in partikularne reˇsitve.

2.2.1. Reˇsevanje homogene linearne diferencialne enaˇcbe 2. reda s konstantnimi koeficienti. Reˇsitev homogene diferencialne enaˇcbe

y⁰⁰(x) +py⁰(x) +qy(x) = 0 (11) poiˇsˇcemo z nastavkomy=e^λx, kjer je λ parameter, ki ga je potrebno ˇse poiskati.

Nastavek dvakrat odvajamo y⁰ = λe^λx, y⁰⁰ = λ²e^λx vstavimo v enaˇcbo (11) in dobimo

(λ²+pλ+q)e^λx= 0. (12)

Eksponentna funkcija ni nikoli enaka 0, zato je

λ²+pλ+q = 0. (13)

Tako smo dobili za parameter λ algebrsko enaˇcbo druge stopnje. Enaˇcba (13) je dani diferencialni enaˇcbi (11) prirejena karakteristiˇcna enaˇcba, kajti vidimo, da imata enake koeficiente. Funkcija y = e^λx je reˇsitev diferencialne enaˇcbe (11), ˇce je λ reˇsitev prirejene karakteristiˇcne enaˇcbe (13).

Dobljena karakteristiˇcna enaˇcba ima tako dve niˇcli (korena), ki ju oznaˇcimo z λ₁, λ₂. Karakteristiˇcna enaˇcba (13) ima v odvisnosti od njenih korenov tri moˇznosti. Oglejmo si jih in pokaˇzimo, kako se pri vsaki od njih izrazi sploˇsna reˇsitev enaˇcbe (11):

• Kadar ima karakteristiˇcna enaˇcba dve razliˇcni niˇcli λ₁ 6= λ₂, linearno neodvisni reˇsitvi enaˇcbe zapiˇsemo kot

y₁ =e^λ1x in y₂ =e^λ2x in sploˇsno reˇsitev homogene enaˇcbe (11) v obliki

y_h =C₁y₁(x) +C₂y₂(x) = C₁e^λ1x+C₂e^λ2x.

Primer 2.17. Poiˇsˇci sploˇsno reˇsitev enaˇcbe y⁰⁰−6y⁰+ 8y= 0.

Karakteristiˇcna enaˇcba je

λ²−6λ+ 8 = 0.

Korena sta

λ₁ = 2 in λ₂ = 4.

Sploˇsna reˇsitev homogene enaˇcbe je y_h =C₁e^2x+C₂e^4x.

• Kadar ima karakteristiˇcna enaˇcba dvojno niˇcloλ₁ =λ₂,linearno neodvisni reˇsitvi enaˇcbe zapiˇsemo kot

y1 =e^λ1x in y2 =xe^λ1x.

Preden zapiˇsemo sploˇsno reˇsitev homogene enaˇcbe, preverimo, da je y₂ res njena reˇsitev. Dvakrat odvajamo

y₂⁰ =xλ₁e^λ1x+e^λ1x, y₂⁰⁰=xλ₁²e^λ1x+ 2λ₁e^λ1x, vstavimo v homogeno enaˇcbo in dobimo

xe^λ1x(λ₁²+pλ₁+q) + (2λ₁+p)e^λ1x = 0.

V tej enaˇcbi sta oba izraza v oklepajih enaka 0, prvi zato, ker jeλ1 koren karakteristiˇcne enaˇcbe (13), drugi pa, ker je korenλ1 dvojen in zato enak

−^p₂. S tem smo pokazali, da je y₂ res reˇsitev enaˇcbe (11). V tem primeru bi lahko drugo neodvisno reˇsitev izraˇcunali tudi s pomoˇcjo Trditve 2.14.

Sploˇsno reˇsitev homogene enaˇcbe lahko zapiˇsemo kot yh =C1e^λ1x+C2xe^λ1x.

Primer 2.18. Poiˇsˇci sploˇsno reˇsitev enaˇcbe y⁰⁰−14y⁰+ 49y= 0.

Karakteristiˇcni polinom

λ²−6λ+ 9 = 0 ima dvojni koren

λ₁ = 7 in λ₂ = 7.

Sploˇsna reˇsitev homogene enaˇcbe je

y_h =C₁e^7x+C₂xe^7x.

• Kadar ima karakteristiˇcna enaˇcba za niˇcli konjugirano kompleksni par λ₁ =α+iβ in λ₂ =α−iβ,

kjer staα, β ∈R. Linearno neodvisni reˇsitvi homogene enaˇcbe sta y₁ =e^(α+iβ)x in y₂ =e^(α−iβ)x.

Sploˇsno reˇsitev homogene enaˇcbe izpeljemo na sledeˇc naˇcin y_h = C₁e^λ1x+C₂e^λ2x =C₁e^(α+iβ)x+C₂e^(α−iβ)x

= C₁e^αx(cosβx+isinβx) +C₂e^αx(cosβx−isinβx)

= e^αx[(C₁+C₂) cosβx+i(C₁−C₂) sinβx],

kjer oznaˇcimo s Cf₁ = C₁ + C₂ in fC₂ = i(C₁ − C₂). Sploˇsno reˇsitev homogene enaˇcbe zapiˇsemo kot

y_h =Cf₁e^αxcosβx+Cf₂e^αxsinβx.

S primerno transformacijo C=

q Cf1

2+Cf2

2, fC1 =Ccosδ in Cf2 =Csinδ, lahko reˇsitev zapiˇsemo tudi v obliki

yh =Ce^αxcos(βx−δ).

Ta oblika reˇsitve opisuje kosinusno valovanje s kotno frekvencoβ in faznim zamikom δ.

Primer 2.19. Poiˇsˇci sploˇsno reˇsitev diferencialne enaˇcbey⁰⁰+y⁰+y= 0.

Karakteristiˇcni polinom

λ²+λ+ 1 = 0 nima realnih korenov. Korena sta

λ₁ =−1 2 +i

√3

2 in λ₂ =−1 2 −i

√3 2 . Sploˇsna reˇsitev homogene enaˇcbe je

y_h =C₁e^−12xcos

√3

2 x+C₂e^−12xsin

√3 2 x.

2.2.2. Reˇsevanje nehomogene linearne diferencialne enaˇcbe 2. reda s konstantnimi koeficienti. Nadaljujmo obravnavo linearne diferencialne enaˇcbe 2. reda s konstantnimi koeficienti in reˇsimo ˇse nehomogeno enaˇcbo (10). Ko je enkrat homogena enaˇcba (11) reˇsena, je vedno mogoˇce najti pripadajoˇco reˇsitev nehomogeni enaˇcbi (10) ali jo nenazadnje izraziti z integrali.

Partikularno reˇsitev lahko poiˇsˇcemo na dva naˇcina ali pa jo preprosto uganemo.

Prvi naˇcin je z nastavkom, ˇce je f(x) lepa funkcija, drugi naˇcin, ki ga lahko upo- rabimo pri poljubni funkciji na desni strani, je metoda variacije konstant.

Metoda nedoloˇcenih koeficientov (z nastavkom). Ce je desna stran ne-ˇ homogene linearne diferencialne enaˇcbe oz. funkcija f(x) podana kot vsota ali produkt polinomskih, eksponentnih in trigonometriˇcnih funkcij (oznaka v tabeli s f_i(x), i = 1, ..., n), lahko uporabimo metodo za vsako izmed funkcij f_i posebej, nato pa dobljene partikularne reˇsitve zdruˇzimo. Vse reˇsitve f_i so definirane na intervalu I ⊆R, kjer je f zvezna funkcija.

Poglejmo si primer, ko jef(x) = f₁(x) +f₂(x) v enaˇcbi (10) vsota dveh funkcij, potem poiˇsˇcemo partikularno reˇsitev diferencialne enaˇcbe za vsako posebej. Vsota dveh bo tako iskana partikularna reˇsitev. ˇCe je

y₁⁰⁰+py₁⁰+qy₁ =f₁(x), y₂⁰⁰+py₂⁰+qy₂ =f₂(x) in enaˇcbi seˇstejemo, dobimo

(y₁+y₂)⁰⁰+p(y₁+y₂)⁰+q(y₁+y₂) = f₁(x) +f₂(x),

kar dokazuje naˇso trditev, da je vsota dveh funkcij iskana partikularna reˇsitev.

Nastavke v odvisnosti od desne strani in korenov karakteristiˇcnega polinoma imamo podane v spodnji tabeli.

f_i(x) Nastavek

Pn(x) =aoxⁿ+a1xⁿ⁻¹+...+an x^s(Aoxⁿ+A1xⁿ⁻¹+...+An) P_n(x)e^αx x^s(A_oxⁿ+A₁xⁿ⁻¹+...+A_n)e^αx

P_n(x)e^αxsinβx x^s(A_oxⁿ+A₁xⁿ⁻¹+...+A_n)e^αxcosβx cosβx +(B_oxⁿ+B₁xⁿ⁻¹+...+B_n)e^αxsinβx

Tabela 1 Predlagani nastavki za partikularno reˇsitev

P_n(x) je polinom stopnjen. Ss oznaˇcimo veˇckratnost ˇstevilaα kot korena karak- teristiˇcne enaˇcbe (13), privzamemo, da je s = 0, ˇce α ni karakteristiˇcni koren te enaˇcbe. V primeru, da je α enostaven koren (λ₁ = α ali λ₂ = α), je s = 1, in ˇce je α dvojni koren (λ₁ =λ₂ =α), je s = 2. Kompleksno konjugirani ˇstevili λ in ¯λ imata kot korena karakteristiˇcne enaˇcbe (13) isto veˇckratnost, namreˇc s = 0 (ˇce nista korena) ali s= 1, ˇce sta enostavna korena.

Primer 2.20. Poiˇsˇci sploˇsno reˇsitev nehomogene diferencialne enaˇcbe y⁰⁰+ 2y⁰+ 2y=x.

Enaˇcbi prirejena homogena enaˇcba je oblike y⁰⁰+ 2y⁰+ 2y= 0 in karakteristiˇcni polinom je

λ²+ 2λ+ 2 = 0.

Njegovi niˇcli sta

λ₁ =−1 +i in λ₂ =−1−i.

Sploˇsna reˇsitev homogene enaˇcbe je zato

y_h =C₁e^−xcosx+C₂e^−xsinx.

Partikularno reˇsitevy_p poiˇsˇcemo z nastavkomy_p =A₀x+A₁, saj je na desni strani te enaˇcbe polinom stopnje 1.

Sledi

yp00

+ 2yp0

+ 2yp = (A0x+A1)⁰⁰+ 2(A0x+A1)⁰+ 2(A0x+A1)

= 2A0+ 2A0x+ 2A1 = 2A0x+ 2(A0+A1)

= 1x+ 0 =x, odtod dobimo sistem enaˇcb

2A₀ = 1, 2(A₀+A₁) = 0 in partikularno reˇsitev

yp = x 2 − 1

2. Sploˇsna reˇsitev nehomogene enaˇcbe je tako

y=C1e^−xcosx+C2e^−xsinx+x 2 −1

2.

Metoda variacije konstant. To metodo lahko uporabimo pri sploˇsni linearni di- ferencialni enaˇcbi. Ni nujno, da ima enaˇcba konstantne koeficiente. V tem primeru gre za to, da kot obiˇcajno najprej izraˇcunamo sploˇsno reˇsitev ustrezne homogene enaˇcbe. Nato v tej sploˇsni reˇsitvi homogene enaˇcbe nadomestimo konstante s funk- cijami, ki jih doloˇcimo tako, da dobimo partikularno reˇsitev nehomogene enaˇcbe.

Naj bo

y⁰⁰+py⁰+qy=f(x) (14)

enaˇcba, katere partikularno reˇsitev iˇsˇcemo, in naj bosta y₁ in y₂ dve linearno neodvisni reˇsitvi homogene enaˇcbe (11). Sploˇsna reˇsitev homogene enaˇcbe je torej linearna kombinacija

y_h =C₁y₁(x) +C₂y₂(x).

Partikularno reˇsitev nehomogene enaˇcbe poiˇsˇcemo z nastavkom

y_p(x) =C₁(x)y₁(x) +C₂(x)y₂(x), (15) kjer smo konstanti v sploˇsni reˇsitvi homogene enaˇcbe nadomestili z neznanima funkcijama C₁(x) in C₂(x). V nadaljevanju bomo neznani funkcijiC₁(x) in C₂(x) izbrali tako, da bo y_p reˇsitev nehomogene enaˇcbe. Upoˇstevamo, da velja

C₁⁰(x)y₁(x) +C₂⁰(x)y₂(x) = 0. (16) Izraˇcunajmo najprej odvod

yp0

(x) = C10

(x)y1(x) +C1(x)y10

(x) +C20

(x)y2(x) +C2(x)y20

(x), potem dobimo

yp0

(x) =C1(x)y10

(x) +C2(x)y20

(x). (17)

Po tej poenostavitvi izraˇcunajmo ˇse drugi odvod

y_p⁰⁰(x) =C₁⁰(x)y₁⁰(x) +C₁(x)y₁⁰⁰(x) +C₂⁰(x)y₂⁰(x) +C₂(x)y₂⁰⁰(x). (18) Vstavimo odvoda (17) in (18) v enaˇcbo (14) in dobimo

C₁(x)[y₁⁰⁰(x) +py₁⁰(x) +qy₁(x)]

+ C2(x)[y200

(x) +py20

(x) +qy2(x)]

+ C₁⁰(x)y₁⁰(x) +C₂⁰(x)y₂⁰(x) =f(x).

V tej enaˇcbi sta izraza v oglatih oklepajih enaka 0, saj upoˇstevamo, da sta y₁ in y₂ reˇsitvi homogene enaˇcbe. Tako dobimo

C₁⁰(x)y₁⁰(x) +C₂⁰(x)y₂⁰(x) +C₁(x)·0 +C₂(x)·0 =f(x).

Spomnimo se ˇse zahteve (16), pa smo dobili sistem dveh enaˇcb C₁⁰(x)y₁(x) +C₂⁰(x)y₂(x) = 0,

C₁⁰(x)y₁⁰(x) +C₂⁰(x)y₂⁰(x) = f(x), (19) za odvoda neznanih funkcij C10

(x) in C20

(x).

Reˇsitev sistema lahko zapiˇsemo s pomoˇcjo Cramerjevega pravila, ˇce je deter- minanta sistema razliˇcna od 0. Cramerjevo pravilo za reˇsevanje sistema n enaˇcb z n neznankami se glasi: naj bo A kvadratna matrika reda n in naj bo detA6= 0.

Potem je sistem Ax = b enoliˇcno reˇsljiv in x_i = ^detA_detAⁱ, kjer je A_i matrika, ki jo dobimo iz A, tako da zamenjamo i-ti stolpec s stolpcem desnih strani b. Tu so elementi matrike funkcije y₁, y₂, y₁⁰, y₂⁰, determinanta sistema pa je determinanta Wronskega. V naˇsem primeru, ko smo izbrali dve linearno neodvisni reˇsitvi homo- gene enaˇcbe, je determinanta Wronskega

W(x) =

y₁(x) y₂(x) y₁⁰(x) y₂⁰(x)

6= 0, za vsakx.

Po Cramerjevem pravilu je potem sistem enoliˇcno reˇsljiv. Reˇsitvi sta C10

(x) =−y₂(x)f(x)

W(x) in C20

(x) = y₁(x)f(x) W(x) . Integriramo in dobimo

C₁(x) = −

Z y2(x)f(x)

W(x) dx in C₂(x) =

Z y1(x)f(x) W(x) dx.

Nastavek (15) dobi obliko y_p(x) =−y₁(x)

Z y₂(x)f(x)

W(x) dx+y₂(x)

Z y₁(x)f(x) W(x) dx.

Funkcija y_p(x), ki je s to formulo definirana na intervalu I, je partikularna reˇsitev enaˇcbe (14), kar lahko tudi preverimo, ˇce odvajamo enaˇcbo.

Ugotovljeno zapiˇsimo v izrek.

Izrek 2.21. Sploˇsna reˇsitev nehomogene linearne diferencialne enaˇcbe 2. reda ima obliko

y=y_h(x)+y_p(x) = C₁y₁(x)+C₂y₂(x)−y₁(x)

Z y2(x)f(x)

W(x) dx+y₂(x)

Z y1(x)f(x) W(x) dx.

Primer2.22. Poiˇsˇci reˇsitev nehomogene diferencialne enaˇcbey⁰⁰+ 2y⁰+ 2y=x z zaˇcetnima pogojema y(0) = 1 in y⁰(0) = 0.

Homogeno reˇsitev smo ˇze izraˇcunali v primeru 2.20, ta je y_h(x) =C₁e^−xcosx+C₂e^−xsinx.

Partikularno reˇsitev poiˇsˇcemo z metodo variacije konstant, kjer je nastavek (15) v tem primeru oblikey_p =C₁(x)e^−xcosx+C₂(x)e^−xsinx. Nastavek odvajamo in vstavimo v sistem (19)

C₁(x)⁰e^−xcosx+C₂(x)⁰e^−xsinx= 0,

C₁(x)⁰(−e^−xcosx−e^−xsinx) +C₂(x)⁰(−e^−xsinx+e^−xcosx) =x.

Izraˇcunamo determinanto Wronskega W(x) =

(e^−xcosx e^−xsinx

−e^−xcosx−e^−xsinx −e^−xsinx+e^−xcosx

= (e^−xcosx)(−e^−xsinx+e^−xcosx)−(e^−xsinx)(−e^−xcosx−e^−xsinx)

=e^−2x.

Uporabimo Cramerjevo pravilo za izraˇcun C₁ inC₂ : C₁(x)⁰ = −xe^−xsinx

e^−2x =−xe^xsinx,

integriramo in dobimo

C₁(x) = xe^x

2 (cosx−sinx)− e^x 2 cosx in

C2(x)⁰ = xe^−xcosx

e^−2x =xe^xcosx, kjer je

C₂(x) = xe^x

2 (cosx+ sinx)− e^x 2 sinx.

Partikularna reˇsitev je

y_p(x) = x 2 − 1

2.

Sploˇsna reˇsitev nehomogene diferencialne enaˇcbe je tako y(x) = C₁e^−xcosx+C₂e^−xsinx+ x

2 −1 2.

Reˇsimo sedaj Cauchyevo nalogo, saj imamo podana zaˇcetna pogoja y(0) = 1 in y⁰(0) = 0 :

Pri

y(0) = C₁e⁰cos 0 +C₂e⁰sin 0 + 0 2 −1

2 =C₁− 1 2 = 1, dobimo

C₁ = 3 2. Za izraˇcun y⁰(0) = 0 najprej y(x) odvajamo

y⁰(x) =

C₁e^−xcosx+C₂e^−xsinx+ x 2 − 1

2 0

= −3

2(−e^−x) cosx+3

2e^−x(−sinx) +C₂(−e^−x) sinx+C₂e^−xcosx+1 2. Sledi

y⁰(0) =−3

2 +C2+ 1 2 =−3

2+C2+ 1 2 = 0 in

C₂ = 1.

Reˇsitev zaˇcetnega problema (Cauchyeve naloge) je tako y(x) = 3

2e^−xcosx+e^−xsinx+x 2 − 1

2.

POGLAVJE 3

Linearni sistem diferencialnih enaˇ cb 1. reda

Do sedaj smo obravnavali reˇsevanje ene same diferencialne enaˇcbe. Kadar se spraˇsujemo po veˇc neznanih funkcijah, ki jih doloˇca veˇc diferencialnih enaˇcb, govorimo o sistemu diferencialnih enaˇcb. V tem poglavju bomo obravnavali sis- tem linearnih enaˇcb prvega reda, kjer nastopa veˇc nezanih funkcij iste neodvisne spremenljivke. Mi bomo oznaˇcili neodvisno spremenljivko z x in z y₁, y₂, . . . , y_n predstavili odvisne spremenljivke funkcije x. To poglavje je povzeto po [1], [4] in [8].

Definicija 3.1. Naj bodof₁, f₂, . . . , f_n funkcijen+ 1 spremenljivk, definirane na neprazni odprti mnoˇzici v Rⁿ⁺¹. Enaˇcbe

y₁⁰(x) = f₁(x, y₁, y₂, . . . , y_n), y₂⁰(x) = f₂(x, y₁, y₂, . . . , y_n),

...

y_n⁰(x) = f_n(x, y₁, y₂, . . . , y_n) (20) imenujemo sistem navadnih diferencialnih enaˇcb prvega reda zanneznanih funkcij y₁(x), y₂(x), . . . , y_n(x).

Sistem lahko krajˇse zapiˇsemo v vektorski obliki

~

y⁰ =f~(x, ~y), (21)

kjer je

~ y=







 y₁(x) y₂(x)

... y_n(x)









, f~(x, ~y) =









f₁(x, ~y) f₂(x, ~y)

... f_n(x, ~y)









inf₁, f₂, . . . , f_n komponente preslikave iz Rⁿ⁺¹ v Rⁿ.

Ce poleg tega zahtevamo ˇse, da funkcije zadoˇsˇˇ cajo pogojemy₁(x₀) =c₁, y₂(x₀) = c₂, . . . , y_n(x₀) =c_n, zapisano v vektorski obliki

~ y(x₀) =







 c₁ c₂ ... c_n









, (22)

dobimo sistem diferencialnih enaˇcb z zaˇcetnimi pogoji oz. Cauchyevo nalogo.

Izrek 3.2. Ce so funkcijeˇ f₁, f₂, . . . , f_n zvezne in zvezno parcialno odvedljive po vseh spremenljivkah y₁, y₂, . . . , y_n v neki okolici toˇcke (x₀, c₁, . . . , c_n) ∈ Rⁿ⁺¹, potem obstaja natanko ena reˇsitev ~y(x) danega sistema, ki je definirana za vse x dovolj blizu x₀ in zadoˇsˇca zaˇcetnemu pogoju (22).

Dokaz. Glej vir [5].

Sistem n diferencialnih enaˇcb 1. reda za y₁, y₂, . . . , y_n je linearen, ˇce v njem neznane funkcije in njihovi odvodi nastopajo linearno. Zapiˇsemo ga v naslednji obliki

y₁⁰ =a₁₁(x)y₁+a₁₂(x)y₂+. . .+a_1n(x)y_n+b₁(x) y20

=a21(x)y1+a22(x)y2+. . .+a2n(x)yn+b2(x) ...

yn0

=an1(x)y1 +an2(x)y2+. . .+ann(x)yn+bn(x) (23) funkcijea_ij(x) in b_i(x) so definirane in zvezne na intervalu I ⊂R.

Sistem bomo v nadaljevanju pisali v vektorski obliki

~y⁰ =A(x)~y+~b(x), (24)

kjer je ~y = (y₁, y₂, . . . , y_n)^T,(A(x))_ij =a_ij(x),~b(x) = (b₁(x), b₂(x), . . . , b_n(x))^T.Ceˇ je~b(x) = 0 za vse x, je sistem homogen in oblike

~

y⁰ =A(x)~y. (25)

Izrek 3.3. (Eksistenˇcni izrek). Naj bodo vsi koeficienti matrike A in vse kom- ponente vektorske funkcije ~b zvezne na I in x₀ ∈ I. Pri katerem koli zaˇcetnemu pogoju vx₀ ima sistem (24) natanko eno reˇsitev, definirano na celem I, ki zadoˇsˇca temu zaˇcetnemu pogoju. (22).

Dokaz. Parcialni odvodi linearne funkcije, podane z matriko, so kar elementi te matrike. Ti pa so zvezne funkcije po predpostavki izreka. Sistem torej ustreza

pogojema Izreka 3.2.

Vsako linearno diferencialno enaˇcbo (ali sistem) viˇsjega reda lahko nadome- stimo s sistemom enaˇcb 1. reda. Velja tudi obratno: sistem n-linearnih enaˇcb 1.

reda zan neznanih funkcij se lahko prevede na eno linearno enaˇcbo n-tega reda.

Enaˇcbo reda n

y⁽ⁿ⁾=f(x, y, y⁰, . . . , y⁽ⁿ⁻¹⁾), (26) nadomestimo zn enaˇcbami 1. reda. To naredimo tako, da uvedemo spremenljivke y₁ =y, y₂ =y⁰, y₃ =y⁰⁰, . . . , y_n=y⁽ⁿ⁻¹⁾. (27) Sistem enaˇcb, ki ga dobimo, je

y₁⁰ =y₂, y20

=y3, ... yn−10

=yn, (28)

skupaj z

y_n⁰ =f(x, y₁, y₂, . . . , y_n), kar je natanko sistem diferencialnih enaˇcb prvega reda (20).

Eksistenˇcni izrek 3.2 nam zagotavlja tudi eksistenco reˇsitve linearne enaˇcbe n-tega reda.

Trditev 3.4. Naj bosta ~y₁, ~y₂ reˇsitvi homogenega sistema enaˇcbe ~y⁰ =A(x)~y na I. Tedaj je za poljubni konstanti C₁ in C₂ tudi~y⁰ =C₁~y₁+C₂~y₂ reˇsitev enaˇcbe

~

y⁰ =A(x)~y na I ∈R.

Dokaz. Naj bosta~y₁ in~y₂ reˇsitvi homogenega sistema, torej velja

~

y₁⁰ = A(x)~y₁,

~

y₂⁰ = A(x)~y₂. Potem za poljubna C₁, C₂ ∈R velja

(C1~y1+C2~y2)⁰ =C1~y10

+C2~y20

=C1A(x)~y1+C2A(x)~y2 =A(x)(C1~y1+C2~y2).

Opomba 3.5. Prostor reˇsitev homogene enaˇcbe (25) je vektorski prostor.

Naj bodo ~y1, ~y2, . . . , ~yn reˇsitve homogenega sistema (25), pri ˇcemer ima vsaka izmed reˇsitev~y_j, j = 1,2, . . . , nza komponente odvedljive funkcije iz nekega inter- vala I ⊂R,

~ y_j(x) =







 y_1j(x) y_2j(x)

... y_nj(x)







 .