Enačba gravitacijske leče

Pri pojavu gravitacijskega lečenja vidimo položaj izvora svetlobe na nebu drugje, kot se ta dejansko nahaja. S pomočjo zgoraj dobljenega odklonskega kota tira fotonov lahko glede na navidezni položaj izvora svetlobe določimo njegov pravi položaj.

Slika 9 prikazuje poenostavljeno geometrijo primera gravitacijskega lečenja izvora svetlobe. Razdalje med izvorom svetlobe, lečo in opazovalcem so navadno v primerjavi z velikostjo leče zelo velike, zato lahko predpostavimo, da sta izvor in leča točkasta. Pri skoraj vseh astronomskih situacijah so koti 𝜃, 𝛽 in 𝛾 precej majhni, zato lahko za kot 𝜃 upoštevamo enačbo (12) (Wambsganss, 1998).

Razberemo (Slika 10), da velja:

ℎ = ℎ₁+ ℎ₂ . (14)

Označeni koti so dovolj majhni, da lahko upoštevamo približke tan 𝛽 ≈ 𝛽, tan 𝛾 ≈ 𝛾 in tan 𝛿 ≈ 𝛿. Tako lahko enačbo (14) zapišemo kot:

𝛿 𝐷_𝑂𝐼 = 𝜃𝐷_𝐿𝐼+ 𝛽𝐷_𝑂𝐼 , (15)

iz nje pa lahko izrazimo kot 𝛽

𝛽 = 𝛿 −𝐷_𝐿𝐼

𝐷_𝑂𝐼𝜃 . (16)

Slika 9: Ponazoritev sistema gravitacijske leče. Sliki objekta, ki ju vidi opazovalec, nastaneta v smeri tangente na krivuljo žarkov svetlobe v točki opazovanja.

12 Razdaljo 𝑏 lahko zapišemo kot:

𝑏 = 𝛿𝐷_𝑂𝐿 . (17)

Slika 10: Poenostavljen prikaz razdalj in kotov med objekti pri sistemu gravitacijske leče, iz katerega izpeljemo, kje se glede na sliko izvora ta dejansko nahaja. Prikazana je le ena slika izvora, ki nastane

pri lečenju.

Če zgornjo enakost vstavimo v enačbo (16) in upoštevamo enačbo (12), dobimo kot med središčem gravitacijske leče, opazovalcem in dejanskim položajem izvora svetlobe:

𝛽 = 𝛿 − 𝐷_𝐿𝐼

𝐷_𝑂𝐿𝐷_𝑂𝐼∙4𝐺𝑀

𝑐²𝛿 . (18)

Za določitev dejanskega položaja opazovanega objekta, ki oddaja svetlobo, moramo torej izmeriti kot δ, poznati pa moramo še razdaljo do gravitacijske leče in do opazovanega objekta.

2.4.1. Merjenje razdalje do objekta

Astronomi se pri merjenju razdalj do astronomskih objektov poslužujejo več metod, te so odvisne predvsem od njihove oddaljenosti od mesta opazovanja (Dolenc, 2002).

Najkrajše razdalje določajo z radarskimi meritvami, razdalje do bližnjih zvezd pa s pomočjo paralakse. Za bolj oddaljene kopice je primerna tehnika določanja razdalje

13

merjenje navidezne magnitude objekta in primerjanje te z že izdelanim H-R diagramom⁵, na katerem so zvezde, katerih oddaljenost je znana. Nekatere zvezde iz drugih galaksij utripajo, imenujemo jih kefeide, perioda utripanja pa je povezana z njihovim izsevom, preko katerega nato izračunajo razdaljo (Dolenc, 2002). Za še bolj oddaljene objekte je uporabna tehnika z merjenjem rdečega premika.

2.4.1.1. Merjenje razdalje z rdečim premikom

Že v začetku 20. stoletja so ugotovili, da je spekter svetlobe oddaljenih galaksij pomaknjen proti večjim valovnim dolžinam od pričakovanih. Pojav imenujemo rdeči premik in ga opazimo, ker se telo od nas oddaljuje, pri tem pa se valovna dolžina sprejete svetlobe podaljša. Podobno spremembo v valovni dolžini opazimo pri Dopplerjevem pojavu. Rdeči premik označimo z 𝑧 in ga izračunamo po enačbi:

𝑧 =𝜆 − 𝜆′

𝜆 , (19)

pri čemer je 𝜆 valovna dolžina, ki jo zaznamo mi kot opazovalci, 𝜆′ pa valovna dolžina, ki jo je izseval oddaljeni objekt.

Hubble (1929) je s svojim zakonom razglasil, da je rdeči premik tem večji, čim bolj je galaksija oddaljena, kar pomeni, da se z oddaljenostjo veča hitrost, s katero se oddaljuje.

Če z 𝑑 označimo oddaljenost galaksije, z 𝑣 pa njeno hitrost, se Hubblov zakon se glasi:

𝑣 = 𝐻₀ 𝑑 , (20)

pri čemer je 𝐻₀ Hubblova konstanta⁶ (Strnad, 2008).

Pri merjenju razdalj je torej pomembno upoštevati rdeči premik, ki je posledica širjenja prostora med trenutkom izsevanja svetlobe na izvoru in trenutkom, ko ta svetloba pride do opazovalca in jo ta zazna.

5 H-R diagram je graf, kjer je na eni osi podatek o temperaturi na površju zvezde, na drugi pa njena magnituda. Zvezde na glavni veji imajo to lastnost, da je magnituda zvezde čim večja, tem višja temperatura je na njeni površini (Dolenc, 2002).

6 Pove, za koliko ^𝑘𝑚_𝑠 se poveča hitrost oddaljevanja med dvema telesoma v vesolju, ko se oddaljenost poveča za 1 Mpc = 3,26 ∙ 10⁶ sv. let.

14 2.4.2. Nastanek več slik objekta

Če enačbo (18) množimo z 𝛿 in jo preoblikujemo, dobimo kvadratno enačbo, ki ima dve rešitvi, kar pomeni, da vidimo sliko objekta pod dvema različnima kotoma 𝛿, torej vidimo dve sliki.

Pri točkasti masi ima vsak izvor svetlobe dvojno sliko. Vsaka nastane na nasprotni strani glede na izvor, gledano z mesta opazovalca (Bartelmann in Narayan, 1997). V dejanskih opazovanjih objektov se večkrat zgodi, da je slik objektov še več, kar je posledica dejstva, da navadno gravitacijske leče ne predstavlja le ena masivna krogla oziroma točka (kot smo to privzeli pri izpeljavi) temveč je to galaksija, katere masna porazdelitev ni sferno simetrična (Maoz, 2007). Svetloba lahko na primer od opazovanega izvora do opazovalca potuje tudi skozi galaksijo. Razdalja 𝑏 je tam krajša, hkrati pa k odklonu svetlobe prispeva le tisti del mase galaksije, ki leži znotraj te razdalje. Masa je premo sorazmerna z 𝑏³, kar pomeni, da je odklon svetlobnega žarka po enačbi (12) manjši. V primerih, ko se svetloba po prehodu skozi galaksijo lomi tako, da pride ravno do opazovalca, ta vidi dodatno sliko ali slike.

Slika 11 prikazuje povečanje ploščine slik glede na ploščino izvora. V radialni smeri se slika glede na izvor poveča s faktorjem ^𝑑𝛿

𝑑𝛽, v tangencialni smeri pa z ^𝛿

𝛽. Razmerje med ploščino slike in izvora je zato:

𝑝_{𝑠𝑙𝑖𝑘𝑒}

𝑝_{𝑖𝑧𝑣𝑜𝑟𝑎} = 𝛿 𝑑𝛿

𝛽 𝑑𝛽 . (23)

Kot je bilo omenjeno v poglavju 2.2.3., je v istem razmerju povečana tudi magnituda opazovanega objekta (Maoz, 2007).

15

Slika 11: Ploščina izvora in obeh slik, ki nastaneta zaradi gravitacijske leče.

2.4.3. Pogoj za Einsteinov obroč

Poseben primer obravnavamo, ko so položaji izvor svetlobe, središče gravitacijske leče in opazovalec kolinearni. Tedaj je 𝛽 = 0, zato lahko enačbo (11) zapišemo kot:

𝛿_𝐸 = √4𝐺𝑀

𝑐² ∙ 𝐷_𝐿𝐼

𝐷_𝑂𝐿𝐷_𝑂𝐼 . (24)

Nastane obročasta slika objekta, pri tem pa je 𝛿_𝐸 kotni polmer obroča (Slika 12).

Imenujemo ga Einsteinov radij, sliko opazovanega objekta pa Einsteinov obroč oz.

Einsteinov prstan.

Slika 12: Položaj sistema gravitacijske leče pri nastanku Einsteinovega obroča. Z rdečo je označen Einsteinov radij.

16

2.4.3.1. Izračunani primeri Einsteinovega obroča

Izračunamo lahko, kje bi se moral nahajati opazovalec, da bi leta 1919 ob Sončevem mrku opazil Einsteinov obroč s polmerom 1,8′′ tedaj opazovane zvezde Kappa Tauri v ozvezdju Bika (Kappa Tauri, 2018). Seveda bi moral biti postavljen na zveznici, ki poteka skozi gravitacijsko lečo in izvor svetlobe. Razdaljo od opazovalca do Sonca lahko dobimo iz enačbe (24). Izračun je v prilogi 1, razdalja pa meri

𝐷_𝑂𝐿 = 7,9 ∙ 10¹³ m .

Ta bi pomenila, da bi Einsteinov obroč tistega dne bilo moč opaziti nekje desetkratni razdalji Plutona v afeliju, ko je od Sonca oddaljen 7,4 ∙ 10¹² m.

V isti prilogi je tudi izračun, kolikšen bi bil zaradi gravitacije Sonca najmanjši Einsteinov radij zaradi razsežnosti Sonca. Dobimo rezultat:

𝛿_𝐸 = 16^′ ,

kar pa je več kot lahko masa Sonca ukloni svetlobni žarek do Zemlje.

Izračunan je še primer Einsteinovega obroča, ki ga na Zemlji lahko vidimo. Ukrivljanje žarkov povzroči oddaljena galaksija.