2. TEORETIČNI DEL
2.5. Optične leče
2.5.1. Lom svetlobe
Svetloba se širi s hitrostjo 3 ∙ 108 m
s, a to velja le v vakumu. V vseh ostalih snoveh se širi počasneje. Lomni količnik snovi – 𝑛, je lastnost neke snovi in je definiran kot razmerje med hitrostjo svetlobe v vakumu in v snovi. Pri prehodu svetlobe skozi mejo dveh snovi z različnima lomnima količnikoma se deloma od meje odbije, del pa se lomi, pri čemer velja lomni zakon:
17
𝑛1sin 𝛼 = 𝑛2sin 𝛽 , (25) pri tem pa je 𝑛1 lomni količnik prve, 𝑛2 pa druge snovi in 𝛼 vpadni kot, 𝛽 pa lomni kot svetlobe (Slika 13). Če velja 𝑛1 > 𝑛2, potem je 𝛼 < 𝛽 in se žarek lomi stran od vpadne pravokotnice. Če velja obratno, se žarek lomi proti vpadni pravokotnici. Vpadna pravokotnica je normala na ploskev meje med obema snovema v točki prehoda svetlobe (Strnad, 1992).
Slika 13: Lom svetlobnega žarka pri prehodu med dvema snovema z različnima lomnima količnikoma.
V tem primeru velja 𝑛1< 𝑛2.
2.5.1.1. Disperzija
Lomni količnik je le približno konstanten, saj se spreminja v odvisnosti od barve svetlobe.
Hitrost svetlobe v istem sredstvu je torej odvisna od njene valovne dolžine. V steklu velja, da je lomni količnik svetlobe s krajšo valovno dolžino večji. V vidnem spektru svetlobe je lomni kot modre svetlobe večji od lomnega kota rdeče svetlobe. Pojav, ki nastane zaradi tega, je tudi mavrica (Drevenšek Olenik, 2015).
Nasprotno od loma svetlobe pri gravitacijskem lečenju odklonski kot žarkov svetlobe po prehodu mimo gravitacijske leče ni odvisen od valovne dolžine svetlobe (Bartelmann in Narayan, 1997). Ta neodvisnost je pomembna, saj astronomi prav preko tega ugotovijo, da je razlog za opaženo posvetlitev izvora lahko le gravitacijsko lečenje.
18 2.5.2. Optična leča
Leča je optična naprava, ki izkorišča zakone loma svetlobe, zaradi katerega za lečo nastane realna ali navidezna slika opazovanega predmeta. Izdelana je iz stekla oziroma druge prozorne snovi. Lomni količnik stekla je 𝑛𝑠 ≈ 1,52 – odvisno od vrste stekla (Drevenšek Olenik, 2015). Najbolj običajna leča, ki za seboj zbere svetlobo kot gravitacijska leča, je konveksna leča. Leča, ki svetlobo razprši, je konkavna leča (prav tam).
2.5.2.1. Plankonveksna leča
Plankonveksna leča je leča, katere ena površina je ravna, druga pa ima obliko krogelnega izseka s krivinskim polmerom 𝑟. Pri tem je optična os pravokotna na ravno ploskev in je središče ukrivljene ploskve, njena lastnost pa je, da se z zasukom okoli te osi geometrija in zakonitosti leče ne spremenijo. Žarek, ki leži na optični osi, po prehodu skozi lečo ne spremeni svoje smeri.
Slika 14: Lom svetlobnega žarka pri prehodu skozi plankonveksno lečo
Slika 14 prikazuje lom z optično osjo vzporednega svetlobnega žarka pri prehodu skozi plankonveksno lečo. Pri tem se žarek lomi le enkrat, pri prehodu iz steklene leče v zrak.
Pri tem vpadna pravokotnica sovpada s krivinskim polmerom 𝑟, kot med vpadnim žarkom in krivinskim polmerom pa je ravno vpadni kot 𝛼. Razdaljo med točko prehoda žarka med sredstvoma in optično osjo označimo z 𝑏. Vidimo, da velja:
𝑏 = 𝑟 sin 𝛼 . (26)
Če zgornjo enačbo vstavimo v enačbo (25), dobimo zvezo med lomnim kotom svetlobe 𝛽 in oddaljenostjo svetlobnega žarka pri prehodu med sredstvoma:
19 sin 𝛽 ≈ 𝛽 =𝑛𝑠𝑏
𝑟 . (27)
Lomni kot svetlobnega žarka je torej za majhne kote premosorazmeren z oddaljenostjo od optične osi leče, kar je ravno nasprotno kot pri gravitacijski leči, kjer je odklonski kot obratno sorazmeren od razdalje do leče.
Žarki, ki so vzporedni optični osi in ležijo blizu nje, se po zgornji enačbi lomijo tako, da se sekajo vsi v skupni točki (Slika 15), ki jo imenujemo gorišče – 𝐹.
Slika 15: Po prehodu skozi plankonveksno lečo se vzporedni žarki sekajo v skupni točki – gorišču (http://www.artemis-uk.org/Figures/lens.gif)
2.5.3. Z gravitacijskim lečenjem primerljiva optična leča
Za prikaz, da je odklon kota svetlobnih žarkov obratno sorazmeren z oddaljenostjo od središča leče, torej potrebujemo primerno obliko leče. Z optično osjo vzporedni žarki, ki padejo na mejo med steklom in zrakom, se morajo čim bolj odkloniti, tem bolj so blizu optični osi. Ploskev, kjer svetloba prehaja iz zraka v steklo, naj je pravokotna na smer vpadnih žarkov, saj se tako žarki tam ne lomijo.
2.5.3.1. Oblika leče
Ena ploskev leče je torej ravna, druga pa mora imeti primerno obliko za odklon žarkov, primerljiv s tistim pri gravitacijski leči. Izkaže se, da je za simulacijo odklona pri točkasti gravitacijski leči profil, pri katerem se debelina leče spreminja logaritemsko (Icke, 1980).
20
Slika 16: Lom svetlobnega žarka pri prehodu skozi lečo s primernim profilom
Slika 16 prikazuje lom z optično osjo vzporednega svetlobnega žarka pri prehodu skozi tako lečo. Pri tem se žarek lomi le enkrat. Debelina leče 𝑎 se spreminja tako, da velja 𝑎(𝑏) = − ln 𝑏, spreminjanje debeline leče pa je enako odvodu:
Velja tudi:
Kotu 𝛾 suplementarni kot je skladen z vpadnim kotom 𝛼, zanj pa velja zveza:
Za majhne kote 𝛼 lahko zapišemo:
Če zgornjo zvezo vstavimo v enačbo (25) in upoštevamo približke za majhne kote, dobimo sorazmerje med lomnim kotom svetlobe 𝛽 in oddaljenostjo svetlobnega žarka pri prehodu med sredstvoma:
sin 𝛽 ≈ 𝛽 =𝑛𝑠
𝑏 . (32)
Lomni kot svetlobnega žarka je torej za majhne kote obratno sorazmeren z oddaljenostjo 𝑏, podobno kot pri gravitacijski leči.
𝑑𝑎
21
Z dodatnimi parametri lahko simuliramo točno določeno gravitacijsko lečo, enačba se glasi (Icke, 1980):
𝑎 = 2𝑅
𝑛 − 1𝑙𝑜𝑔𝑏𝑜
𝑏 , (33)
Pri čemer je 𝑎 debelina leče, 𝑅 Schwarzschildov radij, 𝑛 lomni količnik snovi, iz katere je leča, 𝑏𝑜 pa maksimalni polmer leče.
Slika 17: Logaritemska krivulja (𝑦 = − 𝑙𝑛 𝑥) in stranski profil polovice dna vinskega kozarca imata primerljivo obliko.
(https://jesford.github.io/materials/FalboKenkel96.pdf)
Izdelava take leče bi bila zahtevna. Dovolj dober približek takega profila najdemo pri dnu vinskega kozarca (Falbo Kenkel in Lohre, 1996). Slika 17 prikazuje primerjavo logaritemske krivulje s profilom dna vinskega kozarca. Imamo pecelj, ki ima do neke minimalne razdalje od osi logaritemsko obliko. Podobno kot gravitacijska leča v naravi ni točkasta, tudi pecelj kozarca ni neskončno tanek in to omejuje eksperimentalni model.
2.5.3.2. Dno vinskega kozarca
Vinski kozarec je v celoti izdelan iz stekla, njegovo dno se iz okroglega podstavka oži do ozkega peclja. Zaradi ravne ploskve na eni in krive na drugi strani (Slika 18) deluje zaradi lomnega zakona kot optična leča. Optična os je pravokotna na ravno ploskev in poteka vzdolž peclja kozarca.
22
Slika 18: Oblika dna vinskega kozarca s strani. Spodnja stran je ravna, zgornja pa je približek logaritemske krivulje.
(http://url.sio.si/7EP)
Lomni kot svetlobnega žarka, ki je vzporeden z optično osjo je obratno sorazmeren z oddaljenostjo 𝑏. To pomeni, da se žarki, bližje optični osi, odklonijo bolj kot žarki, ki so od optične osi bolj oddaljeni. Slika 19 prikazuje potek žarkov, ki se sicer sekajo med seboj, a ne v skupni točki. Leča je zbiralna, a žarkov ne seka v skupni točki.
Slika 19: Pot žarkov skozi dno vinskega kozarca (http://www.artemis-uk.org/Figures/wine.gif)
23
3. PRAKTIČNI DEL
3.1. Izdelava optične leče
Pred izvajanjem poskusov moramo izdelati optično lečo. Kot je omenjeno v teoretičnem delu, je za model optične leče, ki sliko opazovanega objekta preslika podobno kot gravitacijska leča, primerno dno vinskega kozarca. Preden se lotimo izdelave, si izberemo kozarec, ki je cilindrično simetričen in katerega spodnja ploskev je povsem ravna. Veliko vinskih kozarcev ima iz več razlogov spodnjo ploskev vbočeno, takšna oblika pa žarke pri prehodu iz zraka v steklo razprši, posledično so lomni koti pri prehodu iz stekla v zrak manjši.
Pecelj kozarca prečno razpolovimo s primežem, pri tem se primerno zaščitimo pred morebitnimi steklenimi delci, še posebej oči. Če je del peclja na dnu vinskega kozarca daljši od približno enega centimetra, ga skrajšamo tako, da ga zdrobimo s pomočjo klešč.
Ker je tedaj ta del leče oster in zato nevaren za uporabo, nanj zalepimo črn lepilni trak.
Lepilni trak hkrati skrije središčni del leče, kjer bi v primeru gravitacijskega lečenja ležala zvezda, galaksija ali jata galaksij.
Slika 20: Dno vinskega kozarca, predelano v optično lečo, ki jo uporabljamo pri poskusih. Spodnja ploskev je ravna.
24
3.2. Poskusi na papirju
Pojave, ki jih ustvarja gravitacijska leča, lahko opazimo že tako, da primerno oblikovano optično lečo položimo tik pred opazovani objekt, še bolje pa na fotografijo, sliko ali risbo objekta na ravni površini – na primer na papirju. Za predstavitev osnovnih zakonitosti izberemo primerne objekte, pri sliki katerih lahko jasno vidimo razliko v legi, obliki, velikosti in številu. Objekt na papirju opazujemo z vrha navzdol tako, da smo z očmi vedno točno nad središčem leče.
Ko povezujemo opažanja poskusa z razumevanjem, kaj se dogaja s prostorom ob prisotnosti telesa z maso, moramo razložiti, kateri element predstavlja določen objekt v sistemu gravitacijske leče. Vlogo opazovalca prevzamejo naše oči, gravitacijsko lečo pa pripomoček, katerega izdelava je opisana zgoraj. Izvor svetlobe predstavlja vse tisto, kar je narisano na papirju. Ob tem si moramo predstavljati, da gledamo v prostor, podobno kot gledamo nočno nebo, ki je dvodimenzionalna slika večdimenzionalnega vesolja.
3.2.1. Pripomočki
Poleg cenovno dostopne, doma izdelane leče potrebujemo za izvajanje poskusov še papir (črtni, karirasti, brezčrtni), ravnilo in črn flomaster ali svinčnik. Pri svojem delu sem za slike, vsebovane v diplomskem delu, uporabila še fotoaparat s primernimi nastavitvami za slikanje od blizu.
Slika 21: Pripomočki za poskuse iz poglavja 3.2.
25
3.2.2. Črtni in karirasti papir – ukrivljanje prostora
Na začetku je smiselno skozi lečo pogledati, kako ta ukrivi ravne črte, s čimer lahko ponazorimo ukrivljanje nam domačega Evklidskega prostora. Pri črtnem papirju postavimo lečo tako, da je njeno središče med dvema vodoravnima črtama. Opazimo lahko, da se ena črta odkloni nad ena pa pod središče leče. Sosednje črte, ki so od središča leče bolj oddaljene, so manj ukrivljene. Razliko v ukrivljenosti lahko še bolje ponazorimo, če so črte med seboj manj oddaljene, zato uporabimo črtni papir z bolj gostimi črtami ali preprosto že obstoječim črtam narišemo dodatne, med seboj enako oddaljene vzporednice.
Slika 22 a, b in c: Leča na treh listih črtnega papirja, katerih črte so med seboj različno razmaknjene.
Pri slikah b in c lepše opazimo razliko v ukrivljenosti glede na oddaljenost od središča leče.
Za ukrivljanje svetlobe v dveh dimenzijah uporabimo karirasti papir, tedaj lahko bolje opazujemo deformacijo slike tudi levo in desno od središča leče, kvadratki se popačijo.
Ko lečo premikamo po papirju, vidimo, da se slika ravnih črt tem bolj ukrivi, čim bližje je središču leče.
Slika 23: Pogled na karirast list papirja skozi lečo. Vidimo popačitev oblike kvadratkov.
Pri opazovanju, kako se popači »raven prostor«, smo predvsem pozorni na to, kako se zaradi leče spremeni lega objekta, zato je zanimivo narisati na črte črne pikice s premerom
26
okoli milimetra7. Črte na karirastem papirju so nam ob tem v pomoč, da si lažje predstavljamo, kje bi pikica ležala, če je ne bi opazovali skozi lečo.
Slika 24: Kariraste črte so nam v pomoč, da si predstavljamo, kje bi pikice ležale brez leče. Pikice so nad središčem leče.
3.2.3. Popačitev objekta
Na papir narišemo črno piko s premerom okoli 0,5 cm, ki nam predstavlja izvor svetlobe v vesolju. Čez postavimo lečo tako, da je – gledano z vrha – pika skoraj pri robu leče.
Tam je objekt enak kot, če ga gledamo brez leče. Lečo (in svoje oči) počasi premikamo tako, da središče leče približujemo črni piki. Opazimo, da postaja pika vedno bolj eliptične oblike.
Slika 25 a in b: Črna pika ob robu leče in bližje središču. Pri sliki b lahko opazimo popačitev pike, saj je ta eliptične oblike.
7 Tako majhne zato, da nas pri opazovanju ne moti drug pojav zaradi gravitacijskega lečenja – popačitev oblike objekta.
27 3.2.4. Večkratna slika in svetleči lok
Ko sta črna pika in središče leče dovolj blizu, vidimo, da se poleg deformirane slike pike na nasprotni strani glede na središče leče pojavi še ena manjša črna pika. Nekaj svetlobe, ki se odbije od črne pike, pride torej v naše oči po eni strani mimo središča leče, nekaj pa po drugi. Z dodatnim približevanjem središča leče črni piki se obe sliki oblikujeta v loka.
To lahko primerjamo s pojavom svetlečih lokov pri gravitacijskem lečenju.
Slika 26 a in b: Na sliki a se poleg popačene slike zgoraj desno pojavi še ena manjša slika spodaj desno. Na sliki b je slika popačena v obliko loka
3.2.5. Einsteinov obroč
V primeru, ko so na isti premici naše oči, središče leče in črna pika, je slika pike v obliki obroča okoli središča leče. Tako optično iluzijo lahko primerjamo z nastankom Einsteinovega obroča. Če lečo počasi dvignemo nad papir, se obroču poveča radij.
Slika 27: Oči, središče leče in črna pika so poravnani na isti premici. Nastane Einsteinov obroč okoli središča leče.
28 3.2.6. Ukrivljanje poti svetlobnih žarkov
Ker je delovanje gravitacijske leče krogelno simetrično, lahko s pomočjo našega pripomočka ponazorimo tudi ukrivljanje svetlobnih žarkov, ki jih seva izvor. Pozorni smo na to, da pri primerjanju z lečenjem v vesolju tokrat pojav opazujemo s strani. Na levo stran papirja narišemo točkast vir svetlobe in okoli njega svetlobne žarke, ki jih ta izseva.
Ti naj so dolgi približno 2 cm, odvisno od oblike leče. Ko proti narisanemu izvoru svetlobe približamo lečo, opazimo, da se začnejo žarki odklanjati stran od središča leče.
Ko lečo še malo bolj približamo narisanemu izvoru, se začnejo narisani žarki na drugi strani središča leče odklanjati drug proti drugemu. Sklepamo lahko, da bi se žarki po prehodu mimo leče nadaljevali v ravni liniji in se paroma sekali v skupni točki.
Slika 28: Ponazoritev ukrivljanja ravnih žarkov, ki prihajajo od točkastega telesa.
3.3. Poskusi z laserjem
Poskusi z laserjem imajo to prednost, da dejansko imamo objekt, ki je izvor svetlobe, s primernimi pripomočki pa lahko celo opazujemo pot svetlobnega curka od izvora do opazovalca.
3.3.1. Pripomočki
Pri poskusih, opisanih v nadaljevanju, poleg doma izdelane leče potrebujemo še stojalo zanjo, da jo primerno pritrdimo, saj je pri izvajanju bolj primerno, da je leča fiksna, premikamo pa opazovalca in laser. Kot izvor svetlobe je tokrat najbolje uporabiti laser s
29
svetlobnim curkom, sama sem uporabila laserski kazalnik z rdečim curkom svetlobe, ki ga uporabljamo pri PowerPoint predstavitvah. S fotoaparatom ne ujamemo le slik, nastalih pri prehodu svetlobe skozi lečo, temveč se še zavarujemo pred direktnim gledanjem svetlobnega curka. Pri poskusu iz poglavja 3.3.2. potrebujemo sredstvo, na katerem se bo svetlobni curek sipal in ga bomo lahko opazili. Sama sem dim, ki nastane pri gorenju papirja, ujela v prozorno škatlo.
Slika 29: Pripomočki za poskuse iz poglavja 3.3
3.3.2. Prikaz odklona curka laserja
Na razdalji nekaj decimetrov od ravne površine (zidu, omare, table) postavimo laser in ga prižgemo. Označimo mesto na zidu, kamor laser sveti. Nato med ravno površino in laser postavimo lečo. Opazimo, da se laserska pika premakne. Sklepamo, da svetlobni curek od izvora do ravne površine ne potuje več v ravni liniji. Da bi spremembo v smeri opazili, uporabimo dimno pripravo, na katere delcih se svetloba sipa. Opazimo lom svetlobnega curka po prehodu skozi lečo.
Slika 30: Po prehodu z optično osjo vzporednega žarka skozi lečo, se žarek odkloni proti optični osi.
30
3.3.3. Prikaz odvisnosti lomnega kota od razdalje od središča leče
Odvisnost lomnega kota od razdalje do središča leče lahko najlepše pokažemo tako, da skozi lečo hkrati posvetimo z več vzporednimi curki svetlobe, ki se razlikujejo po tem, kako daleč od središča leče se pri prehodu skoznjo lomijo. Vidimo, da se žarki, ki so središču bližje, lomijo bolj kot tisti, ki so od središča bolj oddaljeni.
Slika 31 a b in c: Idealno bi bilo hkrati opazovati tri vzporedne laserske curke, ki bi na različnih oddaljenostih od središča leče vpadali na mejno ploskev leče. Sama sem posnela tri zaporedne
fotografije z enim laserskim curkom.
3.3.4. Večkratne slike, svetleči lok in Einsteinov obroč
Ta del poskusov je precej podoben tistemu v poglavju 3.2. Tokrat na lečo svetimo z laserjem. Nanjo najprej posvetimo na robu, potem pa se približujemo njenemu središču.
Na nasprotni strani leče ujamemo sliko s pomočjo fotoaparata. Pri približevanju svetlobnega curka središču svetlobe zaporedoma opazimo dvojno sliko, svetleči lok in v samem središču leče Einsteinov obroč. Še bolj varno za oči je, da uporabimo LED lučko.
3.4. Druge primerne ponazoritve gravitacijskega lečenja
Podobne zakonitosti kot pri lečah imamo tudi pri zrcalih, ki delujejo po principu odbojnega zakona. Tako pri lečah kot pri zrcalih velja 1
𝑓= 1
𝑎+1
𝑏, pri čemer je 𝑎 razdalja od leče oziroma zrcala do objekta, 𝑏 od leče oziroma zrcala do nastale slike, 𝑓 pa goriščna razdalja leče oziroma zrcala. Pri odboju se žarki po odbojnem zakonu od zrcala odbijejo ko pri lečah prehajajo skozi lečo.
31
Slika 32: Doma izdelano zrcalo s primerno oblikovano ploskvijo – odlitek dna vinskega kozarca.
Največja pomanjkljivost zrcala je nekoliko zmečkana površina, čemur se težko izognemo.
Ob pravilno oblikovanem zrcalu lahko opazujemo odbojni kot žarka, ki je tem večji, čim manjša je razdalja do središča zrcala – do neke razdalje 𝑏 od središča zrcala. Zrcalo ima v prerezu obliko logaritemske krivulje – izpeljava je v prilogi, torej sem ga izdelala tako, da sem obliko dna vinskega kozarca oblekla v aluminijasto folijo (Slika 32). Ob tem sem se trudila folijo čim manj zmečkati.
Slika 33 a in b: Kot odklona curka je na sliki a večji, saj na doma izdelano zrcalo svetimo z z optično osjo vzporednim curkom, katerega mesto odboja je bližje središču zrcala.
Takšna ponazoritev se mi zdi manj primerna, saj težje poiščemo podobnosti in vzporednice z gravitacijskim lečenjem, saj se pri zrcalih svetloba odbije nazaj, kar predstavlja še eno veliko razliko več pri pojasnjevanju8.
Podobno kot steklo je prozorna snov tudi voda, njen lomni količnik je 𝑛𝑣 = 1,33. Vrtinec vode, ki nastane ob odtekanju vode skozi odprtino (na primer v umivalniku), tvori njena površina obliko, katere prerez bi lahko kvalitativno primerjali z logaritemsko krivuljo.
Slika 34 prikazuje prečni prerez ploskve (Andersen, idr., 2003).
8 Le v primerih črnih lukenj se zgodi, da se fotoni, ki potujejo od izvora svetlobe, ob črni luknji zaokrožijo in potujejo nazaj do opazovalca, ki leži med izvorom in črno luknjo (Giordano, idr., 2016).
32
Slika 34: Prerez profila vode pri odtekanju skozi odprtino. Zelena krivulja prikazuje profil brez upoštevanja površinske napetosti, pri rdeči krivulji je ta upoštevana.
(https://ai2-s2-public.s3.amazonaws.com/figures/2017-08-08/5544d521bcf632d938e96571ade3927ebc2e917c/4-Figure4-1.png)
33
4. SKLEP IN ZAKLJUČEK
V svojem diplomskem delu sem se najprej seznanila s pojavom gravitacijskega lečenja tako, da sem raziskala zgodovinske teoretične in empirične začetke fizikov na tem področju. Čeprav so imeli svoje teorije o ukrivljanju svetlobe že prej, se je velik preskok zgodil z Einsteinovimi izpeljavami v novi teoriji. Prva odkritja gravitacijskih leč in vseh fenomenov, povezanih s tem, so odprla nova vprašanja, ki so jih in jih še vedno rešujejo kozmologi in astrofiziki, ob tem pa jim je v veliko pomoč razvoj tehnologije v smislu tako shranjevanja in organiziranja baze podatkov, iskanje vzorcev v meritvah kot tudi natančnejših merilnih instrumentov.
V svojih izpeljavah sem želela ilustrirati idejo ukrivljanja svetlobe, kar povzroči nastanek zanimivih pojavov pri opazovanju vesolja, pri tem pa se izognila zapletenim enačbam, ki jih veleva splošna teorija relativnosti. Poleg tega sem prikazala približno postavitev sistema gravitacijskega lečenja, izpeljala nekatere zanimive kote, pri katerih nastanejo pojavi, kot so večkratne slike ali Einsteinov obroč. Slednjega sem skušala bralcu še bolj približati s konkretnimi zgledi. V nadaljevanju sem na hitro povzela tudi značilnosti loma svetlobe pri prehodu skozi lečo in izpeljala obliko leče, s katero bi lahko demonstrirali pojav iz vesolja tudi v našem okolju.
Praktični del temelji na poskusih, ki jih izvajamo s pomočjo preproste in cenovno ugodne
Praktični del temelji na poskusih, ki jih izvajamo s pomočjo preproste in cenovno ugodne