GRAVITACIJSKEGA LEČENJA S PREPROSTIM MODELOM

UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA

KELLI KOGOJ

PONAZORITEV

GRAVITACIJSKEGA LEČENJA S PREPROSTIM MODELOM

DIPLOMSKO DELO

LJUBLJANA, 2018

UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA

DVOPREDMETNI UČITELJ

KELLI KOGOJ

Mentor: prof. dr. TOMAŽ ZWITTER

PONAZORITEV

GRAVITACIJSKEGA LEČENJA S PREPROSTIM MODELOM

DIPLOMSKO DELO

LJUBLJANA, 2018

ZAHVALA

Iskrena hvala mentorju prof. dr. Tomažu Zwittru, da me je vzel pod svoje mentorstvo in mi priskočil na pomoč vsakič, ko je bilo to potrebno.

Hvala moji celotni družini, vsak je na svoj način prispeval, da je bilo diplomsko delo napisano pravočasno.

Pa še prijateljem, ki so mi stali ob strani.

I

POVZETEK

V diplomski nalogi predstavljam pojav gravitacijskega lečenja. Najprej zapišem nekaj zgodovinskih ključnih dogodkov, ki so zanj spodbudili zanimanje. Nato opišem glavne značilnosti in v okviru Newtonove mehanike izpeljem enačbo za odklon svetlobnih žarkov ter zvezo med položajem objektov v vesolju in kotom, kjer opazovani objekt vidimo. Predstavim lomni zakon in plankonveksno lečo ter jo primerjam z lečo, ki bi lahko ponazorila gravitacijsko lečenje. Za slednjo izpeljem, kakšen prečni prerez mora imeti. V praktičnem delu predstavim poskuse, s katerimi bi lahko ponazorili obnašanje žarkov svetlobe in nastanek slik, kot to velja za gravitacijsko lečenje.

Ključne besede: Gravitacijsko lečenje, ukrivljanje svetlobe, leča, optika

II

ABSTRACT

My diploma thesis presents the astrophysics phenomen gravitational lensing. Firstly, first historical events of the phenomen are described. Secondly, some main characteristics of gravitational lensing are explained. By Newton's model of gravitation I derive the equation for deflection of light ray and the connection between objects' position and the position of the source image. I present the law of refraction and I compare plano-convex lens with lens that is used to show the characteristics of gravitational lensing. The shape of that lens is also derived. In the last part, I prepare some experiments with right shaped lens to introduce the phenomen.

Keywords: Gravitational Lensing, Deflection of Light, Lens, Optics

III

KAZALO VSEBINE

1. UVOD ... 1

2. TEORETIČNI DEL ... 2

2.1. Odkritje pojava gravitacijskega lečenja ... 2

2.1.1. Odkritje večkratnih slik objekta ... 3

2.2. Opis pojava... 4

2.2.1. Sistem gravitacijske leče ... 5

2.2.2. Premik slike objekta ... 5

2.2.3. Povečanje magnitude ... 5

2.2.4. Časovni zamik ... 6

2.2.5. Vrste gravitacijskega lečenja ... 6

2.3. Odklon delca v gravitacijskem polju... 7

2.3.1. Odklon delca z maso v gravitacijskem polju ... 8

2.3.2. Odklon fotona v gravitacijskem polju ... 10

2.4. Enačba gravitacijske leče ... 11

2.4.1. Merjenje razdalje do objekta ... 12

2.4.2. Nastanek več slik objekta ... 14

2.4.3. Pogoj za Einsteinov obroč ... 15

2.5. Optične leče ... 16

2.5.1. Lom svetlobe ... 16

2.5.2. Optična leča ... 18

2.5.3. Z gravitacijskim lečenjem primerljiva optična leča ... 19

3. PRAKTIČNI DEL ... 23

3.1. Izdelava optične leče ... 23

3.2. Poskusi na papirju ... 24

IV

3.2.1. Pripomočki ... 24

3.2.2. Črtni in karirasti papir – ukrivljanje prostora ... 25

3.2.3. Popačitev objekta ... 26

3.2.4. Večkratna slika in svetleči lok ... 27

3.2.5. Einsteinov obroč ... 27

3.2.6. Ukrivljanje poti svetlobnih žarkov ... 28

3.3. Poskusi z laserjem ... 28

3.3.1. Pripomočki ... 28

3.3.2. Prikaz odklona curka laserja ... 29

3.3.3. Prikaz odvisnosti lomnega kota od razdalje od središča leče ... 30

3.3.4. Večkratne slike, svetleči lok in Einsteinov obroč ... 30

3.4. Druge primerne ponazoritve gravitacijskega lečenja ... 30

4. SKLEP IN ZAKLJUČEK ... 33

5. VIRI IN LITERATURA ... 35

V

KAZALO SLIK

Slika 1: Objava o meritvah v medijih iz leta 1919, z zvezdico je označena dejanska

pozicija zvezde, s konico puščice pa pozicija ob Sončevem mrku. ... 2

Slika 2: Prvi Einsteinov obroč MG1131+0456. V središču je bližnja galaksija, ki deluje kot leča, okoli nje deformirana slika galaksije v ozadju. ... 4

Slika 3: Posnetek jate galaksij Abell 2218 je teleskop Hubble ujel januarja 2000. Podolgovate svetleče pike in loki niso objekti v vesolju, temveč popačene slike objektov, ki so navidezno za jato galaksij, zaradi gravitacijskega lečenja. ... 4

Slika 4: Zaradi gravitacijske leče med opazovalcem in izvorom se pot svetlobe ukrivi. Opazovalec zato vidi navidezno sliko izvora. ... 5

Slika 5: Primer gravitacijskega mikrolečenja. S šestih opazovalnih postaj (6 barv) so v približno enem dnevu zaznali povečanje magnitude in tako odkrili planet OGLE-2005- BLG-390Lb. ... 7

Slika 6: Delec pred prehodom mimo telesa z maso M... 8

Slika 7 : Delec po prehodu mimo telesa z maso M ... 8

Slika 8: Odklonski kot svetlobe θ, ki ga lahko izrazimo s hitrostma v x in y smeri ... 10

Slika 9: Ponazoritev sistema gravitacijske leče. Sliki objekta, ki ju vidi opazovalec, nastaneta v smeri tangente na krivuljo žarkov svetlobe v točki opazovanja. ... 11

Slika 10: Poenostavljen prikaz razdalj in kotov med objekti pri sistemu gravitacijske leče, iz katerega izpeljemo, kje se glede na sliko izvora ta dejansko nahaja. Prikazana je le ena slika izvora, ki nastane pri lečenju. ... 12

Slika 11: Ploščina izvora in obeh slik, ki nastaneta zaradi gravitacijske leče. ... 15

Slika 12: Položaj sistema gravitacijske leče pri nastanku Einsteinovega obroča. Z rdečo je označen Einsteinov radij. ... 15

Slika 13: Lom svetlobnega žarka pri prehodu med dvema snovema z različnima lomnima količnikoma. V tem primeru velja n1 < n2. ... 17

Slika 14: Lom svetlobnega žarka pri prehodu skozi plankonveksno lečo ... 18

Slika 15: Po prehodu skozi plankonveksno lečo se vzporedni žarki sekajo v skupni točki – gorišču ... 19

Slika 16: Lom svetlobnega žarka pri prehodu skozi lečo s primernim profilom ... 20

Slika 17: Logaritemska krivulja (y = -lnx) in stranski profil polovice dna vinskega kozarca imata primerljivo obliko. ... 21

VI

Slika 18: Oblika dna vinskega kozarca s strani. Spodnja stran je ravna, zgornja pa je približek logaritemske krivulje. ... 22 Slika 19: Pot žarkov skozi dno vinskega kozarca. ... 22 Slika 20: Dno vinskega kozarca, predelano v optično lečo, ki jo uporabljamo pri poskusih.

Spodnja ploskev je ravna. ... 23 Slika 21: Pripomočki za poskuse iz poglavja 3.2. ... 24 Slika 22 a, b in c: Leča na treh listih črtnega papirja, katerih črte so med seboj različno razmaknjene. Pri slikah b in c lepše opazimo razliko v ukrivljenosti glede na oddaljenost od središča leče. ... 25 Slika 23: Pogled na karirast list papirja skozi lečo. Vidimo popačitev oblike kvadratkov.

... 25 Slika 24: Kariraste črte so nam v pomoč, da si predstavljamo, kje bi pikice ležale brez leče. Pikice so nad središčem leče. ... 26 Slika 25 a in b: Črna pika ob robu leče in bližje središču. Pri sliki b lahko opazimo popačitev pike, saj je ta eliptične oblike. ... 26 Slika 26 a in b: Na sliki a se poleg popačene slike zgoraj desno pojavi še ena manjša slika spodaj desno. Na sliki b je slika popačena v obliko loka ... 27 Slika 27: Oči, središče leče in črna pika so poravnani na isti premici. Nastane Einsteinov obroč okoli središča leče. ... 27 Slika 28: Ponazoritev ukrivljanja ravnih žarkov, ki prihajajo od točkastega telesa. ... 28 Slika 29: Pripomočki za poskuse iz poglavja 3.3 ... 29 Slika 30: Po prehodu z optično osjo vzporednega žarka skozi lečo, se žarek odkloni proti optični osi. ... 29 Slika 31 a b in c: Idealno bi bilo hkrati opazovati tri vzporedne laserske curke, ki bi na različnih oddaljenostih od središča leče vpadali na mejno ploskev leče. Sama sem posnela tri zaporedne fotografije z enim laserskim curkom. ... 30 Slika 32: Doma izdelano zrcalo s primerno oblikovano ploskvijo – odlitek dna vinskega kozarca. Največja pomanjkljivost zrcala je nekoliko zmečkana površina, čemur se težko izognemo. ... 31 Slika 33 a in b: Kot odklona curka je na sliki a večji, saj na doma izdelano zrcalo svetimo z z optično osjo vzporednim curkom, katerega mesto odboja je bližje središču zrcala. . 31 Slika 34: Prerez profila vode pri odtekanju skozi odprtino. Zelena krivulja prikazuje profil brez upoštevanja površinske napetosti, pri rdeči krivulji je ta upoštevana. ... 32

1

1. UVOD

V naravi človeka je, da si želi raziskati in razumeti vse okoli sebe. Eno izmed področij, ki močno kliče po razlagi opazovanega, je zagotovo vesolje. Astrofizika je veda, ki to, kar opazimo v vesolju, skuša razložiti s pomočjo fizikalnih zakonov. Na njihovih temeljih se s pomočjo zbranih informacij in meritev izoblikuje model, ki ga nato novi podatki potrjujejo ali ovržejo. Dober model oziroma teorija ima zato tudi moč napovedovanja.

Ena izmed napovedi Einsteinove splošne teorije relativnosti je bila, da masivna telesa ukrivljajo prostor v svoji okolici. Leta 1919 so z opazovanjem in meritvami to prvič potrdili, pojav ukrivljanja svetlobe zaradi vpliva gravitacije masivnega telesa pa poimenovali gravitacijsko lečenje. Ime izhaja iz podobne lastnosti ukrivljanja poti svetlobe pri steklenih lečah. V astronomiji in kozmologiji so zakonitosti gravitacijskega lečenja izredno uporabne in jih s pridom izkoriščajo za opazovanje zelo oddaljenih objektov v vesolju, iskanju in proučevanju črnih lukenj ter temne snovi, ki jih zaradi nizkega sevanja drugače težko zaznajo, je tudi primeren pripomoček za odkrivanje planetov izven našega Osončja.

V svojem diplomskem delu želim najprej opisati teoretične in eksperimentalne začetke fizikov in astronomov, predstaviti nekaj konkretnih primerov gravitacijskega lečenja, ki so jih opazili v vesolju. Nato se bom osredotočila na teoretično izpeljavo nekaterih fizikalnih zakonitosti, ki jih morajo astronomi upoštevati pri svojih izračunih, modelih in teorijah. Izpeljave so v veliki meri približki dejanskih zapletenih enačb, ki veljajo, saj so vse narejene v okviru klasične fizike in se izogibajo veliko bolj zapletene splošne teorije relativnosti, vseeno pa dovolj dobro prikažejo idejo pojava gravitacijskega lečenja.

V veliki meri nam je pri pojasnjevanju neznanega pojava v pomoč vizualni prikaz, zato se v praktičnem delu ukvarjam s poskusi, ki demonstrirajo podobne optične iluzije in pojave, kot jih opazimo pri lečenju svetlobe zaradi vpliva močne gravitacije. V pomoč nam je lomni zakon in poznavanje zakonitosti preslikav skozi optične leče, saj lahko s primerno oblikovano lečo dosežemo podobne slike opazovanega objekta, kot bi jih videli, če bi zrli proti objektom v vesolju in bi nam na poti stalo masivno telo.

2

2. TEORETIČNI DEL

2.1. Odkritje pojava gravitacijskega lečenja

Ukrivljanje žarkov svetlobe so predvidevali še pred Einsteinovo splošno teorijo relativnosti. Soldner je leta 1804 z Newtonovo mehaniko izračunal odklonski kot žarkov pri prehodu mimo Sonca, pri tem pa predpostavil, da so gradniki svetlobe masivni delci (Bartelmann in Narayan, 1997). Kasneje je Einstein problem rešil z enačbami splošne teorije relativnosti in odkril, da je odklonski kot dvakrat večji od rezultata Soldnerja, razlog za to pa je ukrivljenost prostora, ki je neločljivo povezan s časom. Po tem izračunu naj bi se svetlobni žarek tik ob površju Sonca zaradi njegove gravitacije odklonil za 1,8 ločne sekunde.

Teoretično napoved so leta 1919 potrdili z meritvami ob popolnem Sončevem mrku¹. Pri zvezdah, ki so tedaj navidezno ležale v okolici Sonca, so opazili premik glede na položaj istih zvezd pol leta kasneje (Zwitter, 2002). Eksperimentalna meritev je bila obenem tudi trden dokaz za pravilnost Einsteinove teorije, katere ena izmed napovedi je bila ukrivljanje štiridimenzionalnega prostora-časa.

Slika 1: Objava o meritvah v medijih iz leta 1919, z zvezdico je označena dejanska pozicija zvezde, s konico puščice pa pozicija ob Sončevem mrku.

(http://url.sio.si/7ES)

1 Takratna meritev je zaradi oteženega merjenja majhnih kotov odstopala, vseeno so zgodbo pograbili mediji in tako povzdignili Einsteinovo teorijo. Kasneje so bile meritve precej natančnejše in so se s teoretičnim izračunom ujemale (Maoz, 2007).

3 2.1.1. Odkritje večkratnih slik objekta

Leta 1920 je Eddington izračunal, da obstaja pod določenimi pogoji med virom svetlobe in opazovalcem več poti svetlobnih žarkov. To bi pomenilo večkratno sliko istega objekta. Leta 1936 je Einstein prišel do zaključka, da je ta fenomen pri opazovanju zvezd skoraj nemogoče opaziti, saj naj bi bil kot med slikama premajhen. Zwicky je leto kasneje ugotovil, da so galaksije dovolj masivne in z gravitacijskim lečenjem svetlobne žarke odklonijo toliko, da je razliko v legi mogoče videti. Hkrati je napovedal ojačenje svetlosti objekta, kar bi omogočilo odkrivanje oddaljenih objektov, ki jih brez gravitacijskega lečenja ne bi bilo mogoče odkriti (Bartelmann in Narayan, 1997). Vse njihove ugotovitve so razložene v nadaljevanju diplomskega dela.

2.1.1.1. Prva opažena večkratna slika objekta

Leta 1979 so odkrili dva blizu ležeča kvazarja², ki sta si bila praktično identična, saj sta imela enak izsev, spekter in relativni rdeči premik. Izkazalo se je, da gre za primer gravitacijskega lečenja, opazovana kvazarja pa sta bila v resnici en objekt, čigar sliki sta se pojavili zaradi gravitacijskega lečenja svetlobe na eliptični galaksiji med kvazarjem in Zemljo, ki so jo poimenovali 𝑄0957 + 561 (Romaniello, 2013).

2.1.1.2. Einsteinov obroč

Einsteinov obroč je posledica gravitacijskega lečenja, kjer izvor svetlobe vidimo kot obroč. Pojavi se ob pravilni poravnavi opazovalca, gravitacijske leče in izvora svetlobe, ki ga opazujemo. Prvo, skoraj popolno obročasto sliko objekta, so odkrili leta 1988, ko so na enem izmed posnetkov radijskih valov opazili svetlo obročasto strukturo (Slika 2).

Pri tem je bilo podanih več različnih razlag za pojav, vse, razen gravitacijskega lečenja, so bile ovržene. Ob nepopolni poravnavi pride do drugega pojava – svetleči lok, kjer je viden le del obroča. Prva dva primera lokov so zabeležili leta 1987, ko so navidezno okoli jate galaksij A370 opazili podolgovate ukrivljene objekte (Burke, idr., 1988).

2 Kvazar je aktivno galaktično jedro, oddaja nekaj tisočkrat več energije od navadnih galaksij (Quasar, 2018).

4

Slika 2: Prvi Einsteinov obroč MG1131+0456. V središču je bližnja galaksija, ki deluje kot leča, okoli nje deformirana slika galaksije v ozadju.

(https://player.slideplayer.com/17/5344190/data/images/img7.jpg)

2.2. Opis pojava

Gravitacijsko lečenje ali gravitacijsko fokusiranje je pojav, ko masivno telo, ki ga obdaja gravitacijsko polje, ukrivlja štiridimenzionalen prostor v svoji okolici. Zaradi tega se proti središču masnega telesa ukrivlja tudi pot elektromagnetnega valovanja (Gravitational Lens, 2018). Tako se svetlobni žarki, ki jih oddaja oddaljeni opazovani objekt, na svoji poti pred masivnim telesom sprva med seboj razpršijo, nato pa na nasprotni strani masivnega telesa spet zbirajo. Pojavi se navidezna slika opazovanega objekta, katerega lega, oblika in velikost slike se razlikujejo od objekta samega (Slika 3). Zaradi pojava se poveča tudi magnituda opazovanega objekta (Wambsganss, 1998).

Slika 3: Posnetek jate galaksij Abell 2218 je teleskop Hubble ujel januarja 2000. Podolgovate svetleče pike in loki niso objekti v vesolju, temveč popačene slike objektov, ki so navidezno za jato galaksij,

zaradi gravitacijskega lečenja.

(http://url.sio.si/7ER)

5 2.2.1. Sistem gravitacijske leče

Sistem, kjer se pojavi gravitacijsko lečenje, sestavljajo izvor - objekt ki oddaja elektromagnetno valovanje (svetlobo), gravitacijska leča, ki s svojim gravitacijskim poljem krivi prostor okoli sebe in ukrivlja pot elektromagnetnega valovanja (svetlobe), ter opazovalec, ki opazuje navidezno sliko oziroma slike izvora (Slika 4).

Slika 4: Zaradi gravitacijske leče med opazovalcem in izvorom se pot svetlobe ukrivi. Opazovalec zato vidi navidezno sliko izvora.

2.2.2. Premik slike objekta

Zaradi ukrivljanja svetlobe se ta od izvora svetlobe do opazovalca ne širi premočrtno.

Opazovalec vidi sliko tam, kjer bi objekt bil, če bi to veljalo. Objekt se zato pojavi v smeri tangente na krivuljo žarka v točki opazovanja (Slika 4). Izvora svetlobe na mestu, kjer dejansko je, opazovalec seveda ne vidi.

2.2.3. Povečanje magnitude

Gravitacijsko lečenje ohranja površinsko svetlost opazovanega objekta, a poveča kotno velikost objekta, kar pomeni, da se poveča magnituda objekta. Izrazimo jo lahko kot razmerje med kotno velikostjo slike in kotno velikostjo objekta (Bartelmann in Narayan, 1996). Gravitacijska leča tako deluje kot kozmološki teleskop, s katerim lahko zaradi povečanja magnitude detektirajo objekte, ki jih drugače ne bi mogli.

6 2.2.4. Časovni zamik

Svetloba od izvora pri obhodu gravitacijske leče do opazovalca ne potuje vedno po eni sami poti – zaradi česar nastane več slik objekta. Ker različne poti navadno niso enako dolge, pride do časovnega zamika med slikami. To pomeni, da pri opazovanju različnih slik istega objekta astronomi prepoznajo enake vzorce, le časovno zamaknjene. Red velikosti časovnega zamika je od nekaj mesecev do nekaj desetletij (Meneghetti, 2016).

2.2.5. Vrste gravitacijskega lečenja

Glede na medsebojni položaj med izvorom, gravitacijsko lečo in opazovalcem ter glede na lastnosti gravitacijske leče ločimo tri vrste gravitacijskega lečenja: močno lečenje, šibko lečenje in mikrolečenje (Jetzer, idr., 2006).

2.2.5.1. Močno lečenje

Gravitacijska leča leži na ali skoraj na zveznici med oddaljenim izvorom svetlobe in opazovalcem. Hkrati je dovolj masivna (galaksije, jate galaksij), da povzroči velike odklonske kote svetlobnih žarkov, izvor svetlobe– navadno kvazar, galaksija, jata galaksij ali supernova – pa je dovolj blizu leče, da žarki potujejo po več različnih poteh do opazovalca (Giordano, idr., 2016). To posledično pomeni večkratne slike izvora, ki so med seboj navadno oddaljene nekaj ločnih sekund (Jetzer, idr., 2006). Pojavijo se fenomeni, kot so loki galaksij, Einsteinovi križi in obroči (Gravitational Lens, 2018).

2.2.5.2. Šibko lečenje

V tem primeru je gravitacijska leča nekoliko bolj oddaljena od zveznice med izvorom in opazovalcem (Strnad, 2008). Značilno je za manj masivne objekte, ki delujejo kot gravitacijske leče, kot so oddaljene galaksije. Nastane le ena slika objekta, spremembe lege, velikosti in deformacije slike izvora svetlobe iz ozadja leče pa so manjše, zato jih astronomi detektirajo s statistično analizo večjega števila meritev, kar nam omogoča napredek tehnologije – razvoj CCD kamer in računalnikov (Jetzer, idr, 2006).

7 2.2.5.3. Mikrolečenje

Na mikrolečenje lahko gledamo kot verzijo močnega lečenja, kjer se pojavijo večkratne slike, med katerimi pa je le majhen kot, le nekaj mili kotnih sekund, kar je težko zaznavno.

Pojavi se pri gravitacijskih lečah z manjšo maso (zvezde ali planeti), pri tem pa so razdalje med opazovanim izvorom in gravitacijsko lečo relativno velike (Jetzer, idr., 2006). Pri tem pojavu gravitacijska leča prečka zveznico med izvorom svetlobe in opazovalcem, pri čemer se pojavi sprememba svetlosti oz. magnitude izvora v nekem časovnem obdobju.

Na tem principu temelji iskanje planetov izven našega Osončja. (Gaudi, 2010).

Slika 5: Primer gravitacijskega mikrolečenja. S šestih opazovalnih postaj (6 barv) so v približno enem dnevu zaznali povečanje magnitude in tako odkrili planet OGLE-2005-BLG-390Lb.

(http://url.sio.si/7EQ)

2.3. Odklon delca v gravitacijskem polju

Izpeljava kota odklona tira svetlobe v ukrivljenem prostor-času je zahteven teoretični problem, saj zahteva reševanje enačb v splošni teoriji relativnosti. V grobem približku lahko problem z Newtonovo mehaniko ponazorimo z delcem, ki se giblje mimo tega istega telesa z maso. Delcu z maso 𝑚 se podobno kot svetlobi ukrivi tir zaradi vpliva gravitacije telesa z maso 𝑀 (Golli, 2017).

8

2.3.1. Odklon delca z maso v gravitacijskem polju

Pri izpeljavi odklonskega kota 𝜃, t.j. kota med smerjo tira delca pred in po prehodu mimo telesa z maso 𝑀, postavimo izhodišče koordinatnega sistema v središče telesa z maso 𝑀.

Os 𝑥 postavimo tako, da se delec v veliki oddaljenosti od telesa giblje v smeri 𝑥 s hitrostjo 𝑣_𝑥 (Slika 6). Delec se pri prehodu mimo telesa temu približa največ na razdalji 𝑏 od njegovega središča. Po prehodu se mu zaradi privlačne sile gravitacije tir odkloni tako, da se delec giblje tudi v smeri osi 𝑦 s hitrostjo 𝑣_𝑦 (Slika 7).

Slika 6: Delec pred prehodom mimo telesa z maso 𝑀

Slika 7 : Delec po prehodu mimo telesa z maso 𝑀

Pri prehodu se v smeri 𝑥 delcu hitrost 𝑣_𝑥skoraj ne spremeni, v smeri 𝑦 po izreku o gibalni količini v klasični mehaniki velja:

𝑚∆𝑣_𝑦 = 𝑚𝑣_𝑦 = ∫ 𝐹_𝑦 𝑑𝑡

∞

−∞

, (1)

saj na delec deluje komponenta gravitacijske sile:

9 F_y =GMm

r² ∙b

r , (2)

pri čemer je 𝐺 gravitacijska konstanta³, 𝑟 pa razdalja od središča telesa z maso 𝑀 do delca z maso 𝑚. Delec se na svoji poti telesu z maso 𝑀 najbolj približa na razdalji 𝑏.

Razdaljo 𝑟 lahko zaradi poenostavitve kasnejše integracije zapišemo kot:

𝑟 = 𝑏

𝑐𝑜𝑠𝛼 . (3)

Z upoštevanjem enačb (2) in (3) se enačba (1) zapiše kot:

𝑚𝑣_𝑦 = ∫𝐺𝑀𝑚 cos³α b² 𝑑𝑡

∞

−∞

. (4)

Enačbo želimo integrirati po kotu α, zato vstavimo še enakost

𝑑𝑡 =𝑑𝑥

𝑣_𝑥 = −𝑏𝑑(tan 𝛼) 𝑣_𝑥 = −𝑏

𝑣_𝑥 𝑑𝛼

cos²𝛼, (5)

integriramo pa v mejah od ^𝜋

2 do −^𝜋

2. Sledi:

𝑚𝑣_𝑦 = ∫ 𝐺𝑀𝑚 cos³α b²

−𝜋 2

𝜋 2

(−𝑏 𝑣_𝑥

𝑑𝛼

cos²𝛼) . (6)

Enačbo pred integriranjem poenostavimo v:

𝑚𝑣_𝑦 = 𝐺𝑀𝑚 b 𝑣_𝑥 ∫

𝜋 2

−𝜋 2

𝑐𝑜𝑠𝛼 𝑑𝛼 , (7)

po integriranju pa dobimo rezultat

𝑚𝑣_𝑦 =2𝐺𝑀𝑚

b 𝑣_𝑥 . (8)

Vidimo, da odklonski kot ni odvisen od mase delca 𝑚, saj se nam pojavi na obeh straneh enačbe. Odklonski kot θ dobimo iz razmerja hitrosti

𝑡𝑎𝑛θ= 𝑣_𝑦

𝑣_𝑥 . (9)

Ker gre pri odklonu za majhne kote θ, lahko zvezo poenostavimo s približkom θ≈ 𝑡𝑎𝑛θ= 𝑣_𝑦

𝑣_𝑥 . (10)

3Vrednost gravitacijske konstante: 𝐺 ≈ 6,7 ∙ 10^{−11 𝑚3}

𝑘𝑔 𝑠²

10 Enačbo (8) vstavimo v zgornjo enačbo ter dobimo

θ≈ 2𝐺𝑀

𝑏 𝑣_𝑥² . (11)

Slika 8: Odklonski kot svetlobe 𝜃, ki ga lahko izrazimo s hitrostma v 𝑥 in 𝑦 smeri

2.3.2. Odklon fotona v gravitacijskem polju

Izpeljavo bi lahko zaradi neodvisnosti od mase upoštevali tudi pri fotonih, ki so brez mase. Ker pa gre pri izpeljavi z masnim delcem za hitrost, ki je mnogo manjša od svetlobne hitrosti 𝑐, bi morali problem reševati z enačbami splošne teorije relativnosti, ki upošteva dejstvo, da je svetlobna hitrost⁴ najvišja možna. Popolnoma pravilna enačba odklona svetlobe v okolici telesa z maso je enačba (11), popravljena za faktor 2:

θ=4𝐺𝑀

𝑏 𝑐² . (12)

Če v dobljeno enačbo vstavimo maso in radij Sonca (𝑀 = 2,0 ∙ 10³⁰ kg, 𝑏 = 𝑅_𝑆 = 7,0 ∙ 10⁸ m), dobimo rezultat, ki ga je napovedal Einstein:

θ_S= 1,8′′ .

2.3.2.1. Najmanjša razdalja, na kateri se žarek približa središču gravitacijske leče

Odklonski kot θ iz enačbe (12) lahko drugače izrazimo še kot:

θ=2𝑅

𝑏 , (13)

pri čemer z 𝑅 označimo Schwarzschildov radij. Z njim je določeno, do katere razdalje se žarek lahko najbolj približa središču objekta, katerega gravitacija povzroča gravitacijsko lečenje. Če bi se masa objekta zbrala na manjšem polmeru od svojega

4 Hitrost svetlobe v vakumu je 𝑐 ≈ 3 ∙ 10^8𝑚_𝑠

11

Schwarzschildovega radija, bi objekt postal črna luknja, iz katere zaradi gravitacije ne more noben signal. Schwarzschildov radij Sonca je 2,96 km (Icke, 1980).

2.4. Enačba gravitacijske leče

Pri pojavu gravitacijskega lečenja vidimo položaj izvora svetlobe na nebu drugje, kot se ta dejansko nahaja. S pomočjo zgoraj dobljenega odklonskega kota tira fotonov lahko glede na navidezni položaj izvora svetlobe določimo njegov pravi položaj.

Slika 9 prikazuje poenostavljeno geometrijo primera gravitacijskega lečenja izvora svetlobe. Razdalje med izvorom svetlobe, lečo in opazovalcem so navadno v primerjavi z velikostjo leče zelo velike, zato lahko predpostavimo, da sta izvor in leča točkasta. Pri skoraj vseh astronomskih situacijah so koti 𝜃, 𝛽 in 𝛾 precej majhni, zato lahko za kot 𝜃 upoštevamo enačbo (12) (Wambsganss, 1998).

Razberemo (Slika 10), da velja:

ℎ = ℎ₁+ ℎ₂ . (14)

Označeni koti so dovolj majhni, da lahko upoštevamo približke tan 𝛽 ≈ 𝛽, tan 𝛾 ≈ 𝛾 in tan 𝛿 ≈ 𝛿. Tako lahko enačbo (14) zapišemo kot:

𝛿 𝐷_𝑂𝐼 = 𝜃𝐷_𝐿𝐼+ 𝛽𝐷_𝑂𝐼 , (15)

iz nje pa lahko izrazimo kot 𝛽

𝛽 = 𝛿 −𝐷_𝐿𝐼

𝐷_𝑂𝐼𝜃 . (16)

Slika 9: Ponazoritev sistema gravitacijske leče. Sliki objekta, ki ju vidi opazovalec, nastaneta v smeri tangente na krivuljo žarkov svetlobe v točki opazovanja.

12 Razdaljo 𝑏 lahko zapišemo kot:

𝑏 = 𝛿𝐷_𝑂𝐿 . (17)

Slika 10: Poenostavljen prikaz razdalj in kotov med objekti pri sistemu gravitacijske leče, iz katerega izpeljemo, kje se glede na sliko izvora ta dejansko nahaja. Prikazana je le ena slika izvora, ki nastane

pri lečenju.

Če zgornjo enakost vstavimo v enačbo (16) in upoštevamo enačbo (12), dobimo kot med središčem gravitacijske leče, opazovalcem in dejanskim položajem izvora svetlobe:

𝛽 = 𝛿 − 𝐷_𝐿𝐼

𝐷_𝑂𝐿𝐷_𝑂𝐼∙4𝐺𝑀

𝑐²𝛿 . (18)

Za določitev dejanskega položaja opazovanega objekta, ki oddaja svetlobo, moramo torej izmeriti kot δ, poznati pa moramo še razdaljo do gravitacijske leče in do opazovanega objekta.

2.4.1. Merjenje razdalje do objekta

Astronomi se pri merjenju razdalj do astronomskih objektov poslužujejo več metod, te so odvisne predvsem od njihove oddaljenosti od mesta opazovanja (Dolenc, 2002).

Najkrajše razdalje določajo z radarskimi meritvami, razdalje do bližnjih zvezd pa s pomočjo paralakse. Za bolj oddaljene kopice je primerna tehnika določanja razdalje

13

merjenje navidezne magnitude objekta in primerjanje te z že izdelanim H-R diagramom⁵, na katerem so zvezde, katerih oddaljenost je znana. Nekatere zvezde iz drugih galaksij utripajo, imenujemo jih kefeide, perioda utripanja pa je povezana z njihovim izsevom, preko katerega nato izračunajo razdaljo (Dolenc, 2002). Za še bolj oddaljene objekte je uporabna tehnika z merjenjem rdečega premika.

2.4.1.1. Merjenje razdalje z rdečim premikom

Že v začetku 20. stoletja so ugotovili, da je spekter svetlobe oddaljenih galaksij pomaknjen proti večjim valovnim dolžinam od pričakovanih. Pojav imenujemo rdeči premik in ga opazimo, ker se telo od nas oddaljuje, pri tem pa se valovna dolžina sprejete svetlobe podaljša. Podobno spremembo v valovni dolžini opazimo pri Dopplerjevem pojavu. Rdeči premik označimo z 𝑧 in ga izračunamo po enačbi:

𝑧 =𝜆 − 𝜆′

𝜆 , (19)

pri čemer je 𝜆 valovna dolžina, ki jo zaznamo mi kot opazovalci, 𝜆′ pa valovna dolžina, ki jo je izseval oddaljeni objekt.

Hubble (1929) je s svojim zakonom razglasil, da je rdeči premik tem večji, čim bolj je galaksija oddaljena, kar pomeni, da se z oddaljenostjo veča hitrost, s katero se oddaljuje.

Če z 𝑑 označimo oddaljenost galaksije, z 𝑣 pa njeno hitrost, se Hubblov zakon se glasi:

𝑣 = 𝐻₀ 𝑑 , (20)

pri čemer je 𝐻₀ Hubblova konstanta⁶ (Strnad, 2008).

Pri merjenju razdalj je torej pomembno upoštevati rdeči premik, ki je posledica širjenja prostora med trenutkom izsevanja svetlobe na izvoru in trenutkom, ko ta svetloba pride do opazovalca in jo ta zazna.

5 H-R diagram je graf, kjer je na eni osi podatek o temperaturi na površju zvezde, na drugi pa njena magnituda. Zvezde na glavni veji imajo to lastnost, da je magnituda zvezde čim večja, tem višja temperatura je na njeni površini (Dolenc, 2002).

6 Pove, za koliko ^𝑘𝑚_𝑠 se poveča hitrost oddaljevanja med dvema telesoma v vesolju, ko se oddaljenost poveča za 1 Mpc = 3,26 ∙ 10⁶ sv. let.

14 2.4.2. Nastanek več slik objekta

Če enačbo (18) množimo z 𝛿 in jo preoblikujemo, dobimo kvadratno enačbo, ki ima dve rešitvi, kar pomeni, da vidimo sliko objekta pod dvema različnima kotoma 𝛿, torej vidimo dve sliki.

0 = 𝛿²− 𝛽𝛿 − 𝐷_𝐿𝐼

𝐷_𝑂𝐿𝐷_𝑂𝐼∙4𝐺𝑀

𝑐² (21)

𝛿_1,2 = ¹₂[𝛽 ± √𝛽²+ 4 𝐷_𝐿𝐼

𝐷_𝑂𝐿𝐷_𝑂𝐼∙4𝐺𝑀 𝑐² ]

(22)

Pri točkasti masi ima vsak izvor svetlobe dvojno sliko. Vsaka nastane na nasprotni strani glede na izvor, gledano z mesta opazovalca (Bartelmann in Narayan, 1997). V dejanskih opazovanjih objektov se večkrat zgodi, da je slik objektov še več, kar je posledica dejstva, da navadno gravitacijske leče ne predstavlja le ena masivna krogla oziroma točka (kot smo to privzeli pri izpeljavi) temveč je to galaksija, katere masna porazdelitev ni sferno simetrična (Maoz, 2007). Svetloba lahko na primer od opazovanega izvora do opazovalca potuje tudi skozi galaksijo. Razdalja 𝑏 je tam krajša, hkrati pa k odklonu svetlobe prispeva le tisti del mase galaksije, ki leži znotraj te razdalje. Masa je premo sorazmerna z 𝑏³, kar pomeni, da je odklon svetlobnega žarka po enačbi (12) manjši. V primerih, ko se svetloba po prehodu skozi galaksijo lomi tako, da pride ravno do opazovalca, ta vidi dodatno sliko ali slike.

Slika 11 prikazuje povečanje ploščine slik glede na ploščino izvora. V radialni smeri se slika glede na izvor poveča s faktorjem ^𝑑𝛿

𝑑𝛽, v tangencialni smeri pa z ^𝛿

𝛽. Razmerje med ploščino slike in izvora je zato:

𝑝_{𝑠𝑙𝑖𝑘𝑒}

𝑝_{𝑖𝑧𝑣𝑜𝑟𝑎} = 𝛿 𝑑𝛿

𝛽 𝑑𝛽 . (23)

Kot je bilo omenjeno v poglavju 2.2.3., je v istem razmerju povečana tudi magnituda opazovanega objekta (Maoz, 2007).

15

Slika 11: Ploščina izvora in obeh slik, ki nastaneta zaradi gravitacijske leče.

2.4.3. Pogoj za Einsteinov obroč

Poseben primer obravnavamo, ko so položaji izvor svetlobe, središče gravitacijske leče in opazovalec kolinearni. Tedaj je 𝛽 = 0, zato lahko enačbo (11) zapišemo kot:

𝛿_𝐸 = √4𝐺𝑀

𝑐² ∙ 𝐷_𝐿𝐼

𝐷_𝑂𝐿𝐷_𝑂𝐼 . (24)

Nastane obročasta slika objekta, pri tem pa je 𝛿_𝐸 kotni polmer obroča (Slika 12).

Imenujemo ga Einsteinov radij, sliko opazovanega objekta pa Einsteinov obroč oz.

Einsteinov prstan.

Slika 12: Položaj sistema gravitacijske leče pri nastanku Einsteinovega obroča. Z rdečo je označen Einsteinov radij.

16

2.4.3.1. Izračunani primeri Einsteinovega obroča

Izračunamo lahko, kje bi se moral nahajati opazovalec, da bi leta 1919 ob Sončevem mrku opazil Einsteinov obroč s polmerom 1,8′′ tedaj opazovane zvezde Kappa Tauri v ozvezdju Bika (Kappa Tauri, 2018). Seveda bi moral biti postavljen na zveznici, ki poteka skozi gravitacijsko lečo in izvor svetlobe. Razdaljo od opazovalca do Sonca lahko dobimo iz enačbe (24). Izračun je v prilogi 1, razdalja pa meri

𝐷_𝑂𝐿 = 7,9 ∙ 10¹³ m .

Ta bi pomenila, da bi Einsteinov obroč tistega dne bilo moč opaziti nekje desetkratni razdalji Plutona v afeliju, ko je od Sonca oddaljen 7,4 ∙ 10¹² m.

V isti prilogi je tudi izračun, kolikšen bi bil zaradi gravitacije Sonca najmanjši Einsteinov radij zaradi razsežnosti Sonca. Dobimo rezultat:

𝛿_𝐸 = 16^′ ,

kar pa je več kot lahko masa Sonca ukloni svetlobni žarek do Zemlje.

Izračunan je še primer Einsteinovega obroča, ki ga na Zemlji lahko vidimo. Ukrivljanje žarkov povzroči oddaljena galaksija.

2.5. Optične leče

V vsakdanjem življenju imamo več izkušenj s spreminjanjem smeri svetlobe pri optičnih lečah pri geometrijski optiki, kjer se svetlobni žarki lomijo zaradi prehoda svetlobe med dvema sredstvoma iz različnih snovi.

2.5.1. Lom svetlobe

Svetloba se širi s hitrostjo 3 ∙ 10^{8 m}

s, a to velja le v vakumu. V vseh ostalih snoveh se širi počasneje. Lomni količnik snovi – 𝑛, je lastnost neke snovi in je definiran kot razmerje med hitrostjo svetlobe v vakumu in v snovi. Pri prehodu svetlobe skozi mejo dveh snovi z različnima lomnima količnikoma se deloma od meje odbije, del pa se lomi, pri čemer velja lomni zakon:

17

𝑛₁sin 𝛼 = 𝑛₂sin 𝛽 , (25) pri tem pa je 𝑛₁ lomni količnik prve, 𝑛₂ pa druge snovi in 𝛼 vpadni kot, 𝛽 pa lomni kot svetlobe (Slika 13). Če velja 𝑛₁ > 𝑛₂, potem je 𝛼 < 𝛽 in se žarek lomi stran od vpadne pravokotnice. Če velja obratno, se žarek lomi proti vpadni pravokotnici. Vpadna pravokotnica je normala na ploskev meje med obema snovema v točki prehoda svetlobe (Strnad, 1992).

Slika 13: Lom svetlobnega žarka pri prehodu med dvema snovema z različnima lomnima količnikoma.

V tem primeru velja 𝑛1< 𝑛2.

2.5.1.1. Disperzija

Lomni količnik je le približno konstanten, saj se spreminja v odvisnosti od barve svetlobe.

Hitrost svetlobe v istem sredstvu je torej odvisna od njene valovne dolžine. V steklu velja, da je lomni količnik svetlobe s krajšo valovno dolžino večji. V vidnem spektru svetlobe je lomni kot modre svetlobe večji od lomnega kota rdeče svetlobe. Pojav, ki nastane zaradi tega, je tudi mavrica (Drevenšek Olenik, 2015).

Nasprotno od loma svetlobe pri gravitacijskem lečenju odklonski kot žarkov svetlobe po prehodu mimo gravitacijske leče ni odvisen od valovne dolžine svetlobe (Bartelmann in Narayan, 1997). Ta neodvisnost je pomembna, saj astronomi prav preko tega ugotovijo, da je razlog za opaženo posvetlitev izvora lahko le gravitacijsko lečenje.

18 2.5.2. Optična leča

Leča je optična naprava, ki izkorišča zakone loma svetlobe, zaradi katerega za lečo nastane realna ali navidezna slika opazovanega predmeta. Izdelana je iz stekla oziroma druge prozorne snovi. Lomni količnik stekla je 𝑛_𝑠 ≈ 1,52 – odvisno od vrste stekla (Drevenšek Olenik, 2015). Najbolj običajna leča, ki za seboj zbere svetlobo kot gravitacijska leča, je konveksna leča. Leča, ki svetlobo razprši, je konkavna leča (prav tam).

2.5.2.1. Plankonveksna leča

Plankonveksna leča je leča, katere ena površina je ravna, druga pa ima obliko krogelnega izseka s krivinskim polmerom 𝑟. Pri tem je optična os pravokotna na ravno ploskev in je središče ukrivljene ploskve, njena lastnost pa je, da se z zasukom okoli te osi geometrija in zakonitosti leče ne spremenijo. Žarek, ki leži na optični osi, po prehodu skozi lečo ne spremeni svoje smeri.

Slika 14: Lom svetlobnega žarka pri prehodu skozi plankonveksno lečo

Slika 14 prikazuje lom z optično osjo vzporednega svetlobnega žarka pri prehodu skozi plankonveksno lečo. Pri tem se žarek lomi le enkrat, pri prehodu iz steklene leče v zrak.

Pri tem vpadna pravokotnica sovpada s krivinskim polmerom 𝑟, kot med vpadnim žarkom in krivinskim polmerom pa je ravno vpadni kot 𝛼. Razdaljo med točko prehoda žarka med sredstvoma in optično osjo označimo z 𝑏. Vidimo, da velja:

𝑏 = 𝑟 sin 𝛼 . (26)

Če zgornjo enačbo vstavimo v enačbo (25), dobimo zvezo med lomnim kotom svetlobe 𝛽 in oddaljenostjo svetlobnega žarka pri prehodu med sredstvoma:

19 sin 𝛽 ≈ 𝛽 =𝑛_𝑠𝑏

𝑟 . (27)

Lomni kot svetlobnega žarka je torej za majhne kote premosorazmeren z oddaljenostjo od optične osi leče, kar je ravno nasprotno kot pri gravitacijski leči, kjer je odklonski kot obratno sorazmeren od razdalje do leče.

Žarki, ki so vzporedni optični osi in ležijo blizu nje, se po zgornji enačbi lomijo tako, da se sekajo vsi v skupni točki (Slika 15), ki jo imenujemo gorišče – 𝐹.

Slika 15: Po prehodu skozi plankonveksno lečo se vzporedni žarki sekajo v skupni točki – gorišču (http://www.artemis-uk.org/Figures/lens.gif)

2.5.3. Z gravitacijskim lečenjem primerljiva optična leča

Za prikaz, da je odklon kota svetlobnih žarkov obratno sorazmeren z oddaljenostjo od središča leče, torej potrebujemo primerno obliko leče. Z optično osjo vzporedni žarki, ki padejo na mejo med steklom in zrakom, se morajo čim bolj odkloniti, tem bolj so blizu optični osi. Ploskev, kjer svetloba prehaja iz zraka v steklo, naj je pravokotna na smer vpadnih žarkov, saj se tako žarki tam ne lomijo.

2.5.3.1. Oblika leče

Ena ploskev leče je torej ravna, druga pa mora imeti primerno obliko za odklon žarkov, primerljiv s tistim pri gravitacijski leči. Izkaže se, da je za simulacijo odklona pri točkasti gravitacijski leči profil, pri katerem se debelina leče spreminja logaritemsko (Icke, 1980).

20

Slika 16: Lom svetlobnega žarka pri prehodu skozi lečo s primernim profilom

Slika 16 prikazuje lom z optično osjo vzporednega svetlobnega žarka pri prehodu skozi tako lečo. Pri tem se žarek lomi le enkrat. Debelina leče 𝑎 se spreminja tako, da velja 𝑎(𝑏) = − ln 𝑏, spreminjanje debeline leče pa je enako odvodu:

Velja tudi:

Kotu 𝛾 suplementarni kot je skladen z vpadnim kotom 𝛼, zanj pa velja zveza:

Za majhne kote 𝛼 lahko zapišemo:

Če zgornjo zvezo vstavimo v enačbo (25) in upoštevamo približke za majhne kote, dobimo sorazmerje med lomnim kotom svetlobe 𝛽 in oddaljenostjo svetlobnega žarka pri prehodu med sredstvoma:

sin 𝛽 ≈ 𝛽 =𝑛_𝑠

𝑏 . (32)

Lomni kot svetlobnega žarka je torej za majhne kote obratno sorazmeren z oddaljenostjo 𝑏, podobno kot pri gravitacijski leči.

𝑑𝑎

𝑑𝑏 = −1

𝑏 . (28)

tan 𝛾 = −1

𝑏 . (29)

tan 𝛼 = −tan 𝛾 =1

𝑏 . (30)

𝛼 ≈ tan 𝛼 =1

𝑏 . (31)

21

Z dodatnimi parametri lahko simuliramo točno določeno gravitacijsko lečo, enačba se glasi (Icke, 1980):

𝑎 = 2𝑅

𝑛 − 1𝑙𝑜𝑔𝑏_𝑜

𝑏 , (33)

Pri čemer je 𝑎 debelina leče, 𝑅 Schwarzschildov radij, 𝑛 lomni količnik snovi, iz katere je leča, 𝑏_𝑜 pa maksimalni polmer leče.

Slika 17: Logaritemska krivulja (𝑦 = − 𝑙𝑛 𝑥) in stranski profil polovice dna vinskega kozarca imata primerljivo obliko.

(https://jesford.github.io/materials/FalboKenkel96.pdf)

Izdelava take leče bi bila zahtevna. Dovolj dober približek takega profila najdemo pri dnu vinskega kozarca (Falbo Kenkel in Lohre, 1996). Slika 17 prikazuje primerjavo logaritemske krivulje s profilom dna vinskega kozarca. Imamo pecelj, ki ima do neke minimalne razdalje od osi logaritemsko obliko. Podobno kot gravitacijska leča v naravi ni točkasta, tudi pecelj kozarca ni neskončno tanek in to omejuje eksperimentalni model.

2.5.3.2. Dno vinskega kozarca

Vinski kozarec je v celoti izdelan iz stekla, njegovo dno se iz okroglega podstavka oži do ozkega peclja. Zaradi ravne ploskve na eni in krive na drugi strani (Slika 18) deluje zaradi lomnega zakona kot optična leča. Optična os je pravokotna na ravno ploskev in poteka vzdolž peclja kozarca.

22

Slika 18: Oblika dna vinskega kozarca s strani. Spodnja stran je ravna, zgornja pa je približek logaritemske krivulje.

(http://url.sio.si/7EP)

Lomni kot svetlobnega žarka, ki je vzporeden z optično osjo je obratno sorazmeren z oddaljenostjo 𝑏. To pomeni, da se žarki, bližje optični osi, odklonijo bolj kot žarki, ki so od optične osi bolj oddaljeni. Slika 19 prikazuje potek žarkov, ki se sicer sekajo med seboj, a ne v skupni točki. Leča je zbiralna, a žarkov ne seka v skupni točki.

Slika 19: Pot žarkov skozi dno vinskega kozarca (http://www.artemis-uk.org/Figures/wine.gif)

23

3. PRAKTIČNI DEL

3.1. Izdelava optične leče

Pred izvajanjem poskusov moramo izdelati optično lečo. Kot je omenjeno v teoretičnem delu, je za model optične leče, ki sliko opazovanega objekta preslika podobno kot gravitacijska leča, primerno dno vinskega kozarca. Preden se lotimo izdelave, si izberemo kozarec, ki je cilindrično simetričen in katerega spodnja ploskev je povsem ravna. Veliko vinskih kozarcev ima iz več razlogov spodnjo ploskev vbočeno, takšna oblika pa žarke pri prehodu iz zraka v steklo razprši, posledično so lomni koti pri prehodu iz stekla v zrak manjši.

Pecelj kozarca prečno razpolovimo s primežem, pri tem se primerno zaščitimo pred morebitnimi steklenimi delci, še posebej oči. Če je del peclja na dnu vinskega kozarca daljši od približno enega centimetra, ga skrajšamo tako, da ga zdrobimo s pomočjo klešč.

Ker je tedaj ta del leče oster in zato nevaren za uporabo, nanj zalepimo črn lepilni trak.

Lepilni trak hkrati skrije središčni del leče, kjer bi v primeru gravitacijskega lečenja ležala zvezda, galaksija ali jata galaksij.

Slika 20: Dno vinskega kozarca, predelano v optično lečo, ki jo uporabljamo pri poskusih. Spodnja ploskev je ravna.

24

3.2. Poskusi na papirju

Pojave, ki jih ustvarja gravitacijska leča, lahko opazimo že tako, da primerno oblikovano optično lečo položimo tik pred opazovani objekt, še bolje pa na fotografijo, sliko ali risbo objekta na ravni površini – na primer na papirju. Za predstavitev osnovnih zakonitosti izberemo primerne objekte, pri sliki katerih lahko jasno vidimo razliko v legi, obliki, velikosti in številu. Objekt na papirju opazujemo z vrha navzdol tako, da smo z očmi vedno točno nad središčem leče.

Ko povezujemo opažanja poskusa z razumevanjem, kaj se dogaja s prostorom ob prisotnosti telesa z maso, moramo razložiti, kateri element predstavlja določen objekt v sistemu gravitacijske leče. Vlogo opazovalca prevzamejo naše oči, gravitacijsko lečo pa pripomoček, katerega izdelava je opisana zgoraj. Izvor svetlobe predstavlja vse tisto, kar je narisano na papirju. Ob tem si moramo predstavljati, da gledamo v prostor, podobno kot gledamo nočno nebo, ki je dvodimenzionalna slika večdimenzionalnega vesolja.

3.2.1. Pripomočki

Poleg cenovno dostopne, doma izdelane leče potrebujemo za izvajanje poskusov še papir (črtni, karirasti, brezčrtni), ravnilo in črn flomaster ali svinčnik. Pri svojem delu sem za slike, vsebovane v diplomskem delu, uporabila še fotoaparat s primernimi nastavitvami za slikanje od blizu.

Slika 21: Pripomočki za poskuse iz poglavja 3.2.

25

3.2.2. Črtni in karirasti papir – ukrivljanje prostora

Na začetku je smiselno skozi lečo pogledati, kako ta ukrivi ravne črte, s čimer lahko ponazorimo ukrivljanje nam domačega Evklidskega prostora. Pri črtnem papirju postavimo lečo tako, da je njeno središče med dvema vodoravnima črtama. Opazimo lahko, da se ena črta odkloni nad ena pa pod središče leče. Sosednje črte, ki so od središča leče bolj oddaljene, so manj ukrivljene. Razliko v ukrivljenosti lahko še bolje ponazorimo, če so črte med seboj manj oddaljene, zato uporabimo črtni papir z bolj gostimi črtami ali preprosto že obstoječim črtam narišemo dodatne, med seboj enako oddaljene vzporednice.

Slika 22 a, b in c: Leča na treh listih črtnega papirja, katerih črte so med seboj različno razmaknjene.

Pri slikah b in c lepše opazimo razliko v ukrivljenosti glede na oddaljenost od središča leče.

Za ukrivljanje svetlobe v dveh dimenzijah uporabimo karirasti papir, tedaj lahko bolje opazujemo deformacijo slike tudi levo in desno od središča leče, kvadratki se popačijo.

Ko lečo premikamo po papirju, vidimo, da se slika ravnih črt tem bolj ukrivi, čim bližje je središču leče.

Slika 23: Pogled na karirast list papirja skozi lečo. Vidimo popačitev oblike kvadratkov.

Pri opazovanju, kako se popači »raven prostor«, smo predvsem pozorni na to, kako se zaradi leče spremeni lega objekta, zato je zanimivo narisati na črte črne pikice s premerom

26

okoli milimetra⁷. Črte na karirastem papirju so nam ob tem v pomoč, da si lažje predstavljamo, kje bi pikica ležala, če je ne bi opazovali skozi lečo.

Slika 24: Kariraste črte so nam v pomoč, da si predstavljamo, kje bi pikice ležale brez leče. Pikice so nad središčem leče.

3.2.3. Popačitev objekta

Na papir narišemo črno piko s premerom okoli 0,5 cm, ki nam predstavlja izvor svetlobe v vesolju. Čez postavimo lečo tako, da je – gledano z vrha – pika skoraj pri robu leče.

Tam je objekt enak kot, če ga gledamo brez leče. Lečo (in svoje oči) počasi premikamo tako, da središče leče približujemo črni piki. Opazimo, da postaja pika vedno bolj eliptične oblike.

Slika 25 a in b: Črna pika ob robu leče in bližje središču. Pri sliki b lahko opazimo popačitev pike, saj je ta eliptične oblike.

7 Tako majhne zato, da nas pri opazovanju ne moti drug pojav zaradi gravitacijskega lečenja – popačitev oblike objekta.

27 3.2.4. Večkratna slika in svetleči lok

Ko sta črna pika in središče leče dovolj blizu, vidimo, da se poleg deformirane slike pike na nasprotni strani glede na središče leče pojavi še ena manjša črna pika. Nekaj svetlobe, ki se odbije od črne pike, pride torej v naše oči po eni strani mimo središča leče, nekaj pa po drugi. Z dodatnim približevanjem središča leče črni piki se obe sliki oblikujeta v loka.

To lahko primerjamo s pojavom svetlečih lokov pri gravitacijskem lečenju.

Slika 26 a in b: Na sliki a se poleg popačene slike zgoraj desno pojavi še ena manjša slika spodaj desno. Na sliki b je slika popačena v obliko loka

3.2.5. Einsteinov obroč

V primeru, ko so na isti premici naše oči, središče leče in črna pika, je slika pike v obliki obroča okoli središča leče. Tako optično iluzijo lahko primerjamo z nastankom Einsteinovega obroča. Če lečo počasi dvignemo nad papir, se obroču poveča radij.

Slika 27: Oči, središče leče in črna pika so poravnani na isti premici. Nastane Einsteinov obroč okoli središča leče.

28 3.2.6. Ukrivljanje poti svetlobnih žarkov

Ker je delovanje gravitacijske leče krogelno simetrično, lahko s pomočjo našega pripomočka ponazorimo tudi ukrivljanje svetlobnih žarkov, ki jih seva izvor. Pozorni smo na to, da pri primerjanju z lečenjem v vesolju tokrat pojav opazujemo s strani. Na levo stran papirja narišemo točkast vir svetlobe in okoli njega svetlobne žarke, ki jih ta izseva.

Ti naj so dolgi približno 2 cm, odvisno od oblike leče. Ko proti narisanemu izvoru svetlobe približamo lečo, opazimo, da se začnejo žarki odklanjati stran od središča leče.

Ko lečo še malo bolj približamo narisanemu izvoru, se začnejo narisani žarki na drugi strani središča leče odklanjati drug proti drugemu. Sklepamo lahko, da bi se žarki po prehodu mimo leče nadaljevali v ravni liniji in se paroma sekali v skupni točki.

Slika 28: Ponazoritev ukrivljanja ravnih žarkov, ki prihajajo od točkastega telesa.

3.3. Poskusi z laserjem

Poskusi z laserjem imajo to prednost, da dejansko imamo objekt, ki je izvor svetlobe, s primernimi pripomočki pa lahko celo opazujemo pot svetlobnega curka od izvora do opazovalca.

3.3.1. Pripomočki

Pri poskusih, opisanih v nadaljevanju, poleg doma izdelane leče potrebujemo še stojalo zanjo, da jo primerno pritrdimo, saj je pri izvajanju bolj primerno, da je leča fiksna, premikamo pa opazovalca in laser. Kot izvor svetlobe je tokrat najbolje uporabiti laser s

29

svetlobnim curkom, sama sem uporabila laserski kazalnik z rdečim curkom svetlobe, ki ga uporabljamo pri PowerPoint predstavitvah. S fotoaparatom ne ujamemo le slik, nastalih pri prehodu svetlobe skozi lečo, temveč se še zavarujemo pred direktnim gledanjem svetlobnega curka. Pri poskusu iz poglavja 3.3.2. potrebujemo sredstvo, na katerem se bo svetlobni curek sipal in ga bomo lahko opazili. Sama sem dim, ki nastane pri gorenju papirja, ujela v prozorno škatlo.

Slika 29: Pripomočki za poskuse iz poglavja 3.3

3.3.2. Prikaz odklona curka laserja

Na razdalji nekaj decimetrov od ravne površine (zidu, omare, table) postavimo laser in ga prižgemo. Označimo mesto na zidu, kamor laser sveti. Nato med ravno površino in laser postavimo lečo. Opazimo, da se laserska pika premakne. Sklepamo, da svetlobni curek od izvora do ravne površine ne potuje več v ravni liniji. Da bi spremembo v smeri opazili, uporabimo dimno pripravo, na katere delcih se svetloba sipa. Opazimo lom svetlobnega curka po prehodu skozi lečo.

Slika 30: Po prehodu z optično osjo vzporednega žarka skozi lečo, se žarek odkloni proti optični osi.

30

3.3.3. Prikaz odvisnosti lomnega kota od razdalje od središča leče

Odvisnost lomnega kota od razdalje do središča leče lahko najlepše pokažemo tako, da skozi lečo hkrati posvetimo z več vzporednimi curki svetlobe, ki se razlikujejo po tem, kako daleč od središča leče se pri prehodu skoznjo lomijo. Vidimo, da se žarki, ki so središču bližje, lomijo bolj kot tisti, ki so od središča bolj oddaljeni.

Slika 31 a b in c: Idealno bi bilo hkrati opazovati tri vzporedne laserske curke, ki bi na različnih oddaljenostih od središča leče vpadali na mejno ploskev leče. Sama sem posnela tri zaporedne

fotografije z enim laserskim curkom.

3.3.4. Večkratne slike, svetleči lok in Einsteinov obroč

Ta del poskusov je precej podoben tistemu v poglavju 3.2. Tokrat na lečo svetimo z laserjem. Nanjo najprej posvetimo na robu, potem pa se približujemo njenemu središču.

Na nasprotni strani leče ujamemo sliko s pomočjo fotoaparata. Pri približevanju svetlobnega curka središču svetlobe zaporedoma opazimo dvojno sliko, svetleči lok in v samem središču leče Einsteinov obroč. Še bolj varno za oči je, da uporabimo LED lučko.

3.4. Druge primerne ponazoritve gravitacijskega lečenja

Podobne zakonitosti kot pri lečah imamo tudi pri zrcalih, ki delujejo po principu odbojnega zakona. Tako pri lečah kot pri zrcalih velja ¹

𝑓= ¹

𝑎+¹

𝑏, pri čemer je 𝑎 razdalja od leče oziroma zrcala do objekta, 𝑏 od leče oziroma zrcala do nastale slike, 𝑓 pa goriščna razdalja leče oziroma zrcala. Pri odboju se žarki po odbojnem zakonu od zrcala odbijejo ko pri lečah prehajajo skozi lečo.

31

Slika 32: Doma izdelano zrcalo s primerno oblikovano ploskvijo – odlitek dna vinskega kozarca.

Največja pomanjkljivost zrcala je nekoliko zmečkana površina, čemur se težko izognemo.

Ob pravilno oblikovanem zrcalu lahko opazujemo odbojni kot žarka, ki je tem večji, čim manjša je razdalja do središča zrcala – do neke razdalje 𝑏 od središča zrcala. Zrcalo ima v prerezu obliko logaritemske krivulje – izpeljava je v prilogi, torej sem ga izdelala tako, da sem obliko dna vinskega kozarca oblekla v aluminijasto folijo (Slika 32). Ob tem sem se trudila folijo čim manj zmečkati.

Slika 33 a in b: Kot odklona curka je na sliki a večji, saj na doma izdelano zrcalo svetimo z z optično osjo vzporednim curkom, katerega mesto odboja je bližje središču zrcala.

Takšna ponazoritev se mi zdi manj primerna, saj težje poiščemo podobnosti in vzporednice z gravitacijskim lečenjem, saj se pri zrcalih svetloba odbije nazaj, kar predstavlja še eno veliko razliko več pri pojasnjevanju⁸.

Podobno kot steklo je prozorna snov tudi voda, njen lomni količnik je 𝑛_𝑣 = 1,33. Vrtinec vode, ki nastane ob odtekanju vode skozi odprtino (na primer v umivalniku), tvori njena površina obliko, katere prerez bi lahko kvalitativno primerjali z logaritemsko krivuljo.

Slika 34 prikazuje prečni prerez ploskve (Andersen, idr., 2003).

8 Le v primerih črnih lukenj se zgodi, da se fotoni, ki potujejo od izvora svetlobe, ob črni luknji zaokrožijo in potujejo nazaj do opazovalca, ki leži med izvorom in črno luknjo (Giordano, idr., 2016).

32

Slika 34: Prerez profila vode pri odtekanju skozi odprtino. Zelena krivulja prikazuje profil brez upoštevanja površinske napetosti, pri rdeči krivulji je ta upoštevana.

(https://ai2-s2-public.s3.amazonaws.com/figures/2017-08- 08/5544d521bcf632d938e96571ade3927ebc2e917c/4-Figure4-1.png)

33

4. SKLEP IN ZAKLJUČEK

V svojem diplomskem delu sem se najprej seznanila s pojavom gravitacijskega lečenja tako, da sem raziskala zgodovinske teoretične in empirične začetke fizikov na tem področju. Čeprav so imeli svoje teorije o ukrivljanju svetlobe že prej, se je velik preskok zgodil z Einsteinovimi izpeljavami v novi teoriji. Prva odkritja gravitacijskih leč in vseh fenomenov, povezanih s tem, so odprla nova vprašanja, ki so jih in jih še vedno rešujejo kozmologi in astrofiziki, ob tem pa jim je v veliko pomoč razvoj tehnologije v smislu tako shranjevanja in organiziranja baze podatkov, iskanje vzorcev v meritvah kot tudi natančnejših merilnih instrumentov.

V svojih izpeljavah sem želela ilustrirati idejo ukrivljanja svetlobe, kar povzroči nastanek zanimivih pojavov pri opazovanju vesolja, pri tem pa se izognila zapletenim enačbam, ki jih veleva splošna teorija relativnosti. Poleg tega sem prikazala približno postavitev sistema gravitacijskega lečenja, izpeljala nekatere zanimive kote, pri katerih nastanejo pojavi, kot so večkratne slike ali Einsteinov obroč. Slednjega sem skušala bralcu še bolj približati s konkretnimi zgledi. V nadaljevanju sem na hitro povzela tudi značilnosti loma svetlobe pri prehodu skozi lečo in izpeljala obliko leče, s katero bi lahko demonstrirali pojav iz vesolja tudi v našem okolju.

Praktični del temelji na poskusih, ki jih izvajamo s pomočjo preproste in cenovno ugodne leče, izdelane iz dna vinskega kozarca. Ti so lahko izvedeni z dodatnimi pripomočki, kot so papir, ravnilo in flomaster ali laser in fotoaparat. Ponazoritev ima mogoče nekatere pomanjkljivosti, saj nekaterih zakonitosti, kot so odvisnosti odklona od mase in razdalje, ne moremo pokazati, primerno pa lahko razložimo ukrivljanje prostora in odvisnost odklona svetlobnega žarka glede na mesto vpada svetlobe na lečo. Predvsem se mi zdi pomembno to, da lahko s pomočjo preproste leče opazimo dvakratno sliko istega objekta, svetleči lok, popačitev in Einsteinov obroč.

Z natančnimi didaktičnimi navodili menim, da bi poskuse lahko izvajali tudi učenci pri izbirnem predmetu astronomija, seveda s predhodno seznanitvijo s poenostavljenim teoretskim ozadjem pojava.

34

35

5. VIRI IN LITERATURA

1. Andersen, A P., Bohr, T., Stenum, B., Rasmussen, J. J., Lautrup, B. (2003).

Anatomy of a Bathtub Vortex. Pridobljeno 22.8.2018, http://orbit.dtu.dk/files/4820138/juul.pdf,

2. Bartelmann, M., Narayan, R. (1997). Lectures on Gravitational Lensing.

Pridobljeno 1.7.2018, https://xxx.lanl.gov/pdf/astro-ph/9606001v2,

3. Burke, B.F., Hewitt, J. N., Langston, G.I., Lawrence, C.R., Schneider, D.P., 4. Dolenc, S. (2002). Merjenje razdalj v astronomiji in kozmologiji. Pridobljeno

2.8.2018, https://kvarkadabra.net/2002/12/merjenje-razdalj/,

5. Drevenšek Olenik, I. (2015). Svetloba v poučevanju. Zapiski predavanj.

6. Falbo Kenkel, M., Lohre, J. (1996). Simple gravitational lens demonstrations. The Physics Teacher, 34, str. 555-557,

7. Gaudi, S. (2010) Exoplanetary Microlensing. Pridobljeno 6.7.2018, https://arxiv.org/abs/1002.0332,

8. Golli, B. (2017). Izbrana poglavja iz Osnov moderne fizike. Zapiski predavanj.

9. Gravitational Lens (2018). Pridobljeno 26.6.2018, https://en.wikipedia.org/wiki/Gravitational_lens,

10. Giordano, M., Ingrosso, G., Manni, L., Nucita, A. in Strafella, F. (2016). The Scales od Gravitational Lensing. Pridobljeno 27.7.2018,

https://arxiv.org/pdf/1604.06601.pdf,

11. Icke, V. (1980). Construction of a Gravitational Lens. American Journal of Physics, 48, str. 883-885

12. Jetzer, P., Kochanek, C., Meylan, G., North, P., Schneider, P., Wambsganss, J.

(2006). Gravitational Lensing: Strong, Weak and Micro. Berlin: Springer, 13. Kappa Tauri (2018). Pridobljeno 18.8.2018,

https://en.wikipedia.org/wiki/Kappa_Tauri,

14. Maoz, D. (2007). Astrophysics in a Nutshell. Princeton: Princeton University Press,

15. Meneghetti, M. (2016). Introduction to Gravitational Lensing – Lecture scripts.

Pridobljeno 6.7.2018, http://url.sio.si/7EN,

16. Quasar (2018). Pridobljeno 26.6.2018, https://en.wikipedia.org/wiki/Quasar,

36

17. Strnad, J. (1992). Fizika 2. del. Ljubljana: DMFA založništvo,

18. Strnad, J. (2008) Mala zgodovina vesolja. Ljubljana: DMFA založništvo,

Turner, E.L. (1988). Unusual radio source MG1131+0456: a possible Einstein ring. Nature, 333, str. 537-540,

19. Wambsganss, J. (1998). Gravitational lensing in Astronomy. Pridobljeno 2.7.2018, https://arxiv.org/pdf/astro-ph/9812021.pdf,

20. Zwitter, T. (2002). Pot skozi vesolje. Ljubljana: Modrijan.

Priloga 1: Računski primeri Einsteinovega radija

a) Izračun oddaljenosti opazovalca od Sonca ob Sončevem mrku, ki bi videl Einsteinov radij

Podatki:

- masa Sonca: 𝑀 = 2,0 ∙ 10³⁰ kg

- oddaljenost Sonca od Kappe Tauri: 𝐷_𝐿𝐼 = 154 sv. l. = 1,46 ∙ 10¹⁸ m - Einsteinov radij: 𝛿_𝐸 = 1,8^′′ = 8,7 ∙ 10⁻⁶ rad

- gravitacijska konstanta: 𝐺 = 6,7 ∙ 10^{−11 𝑚3}

𝑘𝑔 𝑠2

- hitrost svetlobe: 𝑐 = 3 ∙ 10^8𝑚_𝑠

Zanima nas oddaljenost od Sonca do opazovalca - 𝐷_𝑂𝐿. Privzamemo, da velja: 𝐷_𝑂𝐼 = 𝐷_𝑂𝐿+ 𝐷_𝐿𝐼, čeprav to v ukrivljenem prostoru v splošnem ne drži. Enakost vstavimo v enačbo (24):

𝛿_𝐸 = √4𝐺𝑀

𝑐² ∙ 𝐷_𝐿𝐼

(𝐷_𝑂𝐿+ 𝐷_𝐿𝐼) 𝐷_𝑂𝐿 , to pa preoblikujemo in dobimo kvadratno enačbo:

𝐷_𝑂𝐿²+ 𝐷_𝑂𝐿𝐷_𝐿𝐼−4𝐺𝑀𝐷_𝐿𝐼 𝛿_𝐸²𝑐² = 0 . Dobimo dve rešitvi:

𝐷_𝑂𝐿1,2 =

−𝐷_𝐿𝐼± √𝐷𝐿𝐼2+16𝐺𝑀𝐷_𝐿𝐼 𝛿_𝐸²𝑐²

2 .

Če v enačbo vstavimo podatke, dobimo:

𝐷_𝑂𝐿1 = 7,9 ∙ 10¹³ m 𝐷_𝑂𝐿2 = −1,5 ∙ 10¹⁸ m Obravnavamo le pozitivno rešitev.

b) Izračun Einsteinovega radija, vidnega z Zemlje Podatki:

- masa Sonca: 𝑀 = 2,0 ∙ 10³⁰ kg

- oddaljenost Sonca od Zemlje: 𝐷_𝑂𝐿 = 1,5 ∙ 10¹¹ m - polmer Sonca 𝑅_𝑆 = 7 ∙ 10⁸ m

Einsteinov radij izračunamo iz razmerja med polmerom Sonca in oddaljenostjo Sonca od Zemlje, kar je ravno tan 𝛿_𝐸. Dobimo rešitev:

tan 𝛿_𝐸 = 𝑅_𝑆

𝐷_𝑂𝐿 = 7 ∙ 10⁸ m

1,5 ∙ 10¹¹ m→ 𝛿_𝐸 = 16^′.

Rešitev nam pove najmanjši odklon, pri katerem bi bil za opazovalca na Zemlji Einsteinov obroč zaradi razsežnosti Sonca viden. Za tolikšen odklon bi morala biti po enačbi (12) masa Sonca:

𝑀 = 𝑅_𝑆 𝑐²𝛿_𝐸

4𝐺 = 1,1 ∙ 10³³ kg ,

kar za Sonce ne velja.

c) Primer Einsteinovega obroča, ki bi bil viden z Zemlje Podatki:

- masa galaksije: 𝑀 = 2,0 ∙ 10⁴² kg

- oddaljenost galaksije od Zemlje: 𝐷_𝑂𝐿 = 10²⁵ m - oddaljenost izvora svetlobe od Zemlje: 𝐷_𝑂𝐼 = 2 𝐷_𝑂𝐿 - gravitacijska konstanta: 𝐺 = 6,7 ∙ 10⁻¹¹_{𝑘𝑔 𝑠2}^𝑚3

- hitrost svetlobe: 𝑐 = 3 ∙ 10^8𝑚_𝑠

Podatke vstavimo v enačbo (24). Dobimo rezultat:

𝛿_𝐸 = 4^′′.

Priloga 2: Izpeljava odbojnega kota pri zrcalu

Odbojni zakon pravi, da je kot med odbojnim žarkom in vpadno pravokotnico skladen s kotom med vpadnim žarkom in vpadno pravokotnico.

Izpeljava za vpadni kot 𝛼 je identična kot v poglavju 2.5.3.1. Velja torej:

Odbojni kot je skladen s kotom 𝛼 (Slika 35). Za skupni odklon svetlobnega žarka 2𝛼 lahko zapišemo:

Za majhne kote lahko kvadratni člen zanemarimo. Sledi:

Končno lahko zapišemo zvezo:

torej je skupni odklon obratno sorazmeren z razdaljo 𝑏.

Slika 35: Odboj svetlobe na zrcalu s primernim profilom.

tan 𝛼 = −tan 𝛾 =1 𝑏 .

tan 2𝛼 = 2 tan 𝛼 1 − (tan 𝛼)² . tan 2𝛼 ≈ 2 tan 𝛼 ≈ 2𝛼 .

2𝛼 ≈2 𝑏 ,