UNIVERZA V LJUBLJANI FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Matematika  1. stopnja Evgenija Burger Topolo²ki Radonov izrek Delo diplomskega seminarja Mentor: prof. dr. Petar Pave²i¢ Ljubljana, 2021

UNIVERZA V LJUBLJANI

FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Matematika 1. stopnja

Evgenija Burger

Topolo²ki Radonov izrek Delo diplomskega seminarja Mentor: prof. dr. Petar Pave²i¢

Ljubljana, 2021

Kazalo

1. Uvod 4

2. Radonov izrek 5

2.1. Geometrijski dokaz Radonovega izreka. 7

3. Topolo²ki Radonov izrek 12

3.1. Borsuk-Ulamov izrek 13

3.2. Prvi dokaz topolo²kega Radonovega izreka 18

3.3. Drugi dokaz topolo²kega Radonovega izreka 21

3.4. Moºna posplo²itev 24

4. Van Kampen-Floresov izrek 25

Slovar strokovnih izrazov 27

Literatura 27

Topolo²ki Radonov izrek Povzetek

Radonov izrek in njegova topolo²ka posplo²itev med sabo povezujeta pojme iz kom- binatorike, geometrije, algebre in topologije. Medtem ko lahko Radonov izrek eno- stavno dokaºemo z nekaj linearne algebre, sloni dokaz topolo²ke razli£ice na Borsuk- Ulamovem izreku, ki pa velja za enega pomembnej²ih eksisten£nih izrekov v topo- logiji.

Topological Radon Theorem Abstract

Radon's theorem and its topological generalization link together conncepts from combinatorics, geometry, algebra and topology. While Radon's theorem is easy to prove with the help of linear algebra, the proof of topological Radon's theorem requires the use of Borsuk-Ulam theorem, which is an existence theorem with great signicance in topology.

Math. Subj. Class. (2020): 55M20, 52A35

Klju£ne besede: topolo²ki Radonov izrek, Borsuk-Ulamov izrek, Van Kampen- Floresov izrek, simpleks

Keywords: topological Radon theorem, Borsuk-Ulam theorem, Van Kampen-Flo- res theorem, simplex

1. Uvod

V svojem diplomskem delu bom obravnavala topolo²ki Radonov izrek, ki pred- stavlja globoko posplo²itev povsem elementarnega Radonovega izreka. Slednji ima

²tevilne posledice v konveksni geometriji. Teorija konveksnih mnoºic obsega tako njihove geometrijske lastnosti kot tudi lastnosti konveksnih funkcij in se je za£ela hitreje razvijati v drugi polovici prej²njega stoletja. Konveksna analiza je podlaga za konveksno optimizacijo, ki pa se pojavlja na podro£jih kot so modeliranje, analiza podatkov, kontrolni sistemi in celo ekonomija in nance. V kategorijo uporabnih izrekov s podro£ja konveksnosti poleg Radonovega spadajo ²e ²tevilni drugi izreki.

Ve£ o nekaterih izrekih in njihovi uporabnosti je zapisano v £lanku [8]. Zanimivo je, da ima ve£ina izmed izrekov, ki jih sre£amo v podobnih £lankih, tudi svoje topolo²ke posplo²itve.

Obravnave izreka sem se lotila postopoma. V prvem delu diplomskega dela sem se posvetila klasi£ni obliki Radonovega izreka, ki v svojem bistvu odgovori na vpra²anje - koliko je najmanj²e ²tevilo to£k v prostoru, ki jh lahko razdelimo na dve disjunktni mnoºici tako, da se njuni konveksni ogrinja£i sekata. Odgovor nanj je podal J. Ra- don, ki je ta rezultat uporabil za dokaz bolj splo²nega Hellyjevega izreka. Izkaºe se, da je v Rⁿ tako najmanj²e ²tevilo n+ 2. Izrek se enostavno pokaºe s pomo£jo linearne algebre, z nekaj ve£ dela pa lahko do njega pridemo tudi geometrijsko. V ravnini to pomeni, da za tak²no particijo potrebujemo vsaj 4 to£ke. Bolj zanimivo je, £e si te to£ke predstavljamo na konkretnem primeru - na njih lahko gledamo kot na projekcije ogli²£ tetraedra na ravnino, konveksni ogrinja£i disjunktnih mnoºic v ravnini pa sta v tem primeru projekciji dveh disjunktnih stranic tetraedra. To je nekoliko manj elementaren na£in, s katerim lahko formuliramo Radonov izrek, z uvedbo pojmov simpleks in lice simpleksa pa ga lahko zapi²emo za poljubno razseºen prostor.

Na tem mestu pa naravno sledi vpra²anje - ali Radonov izrek ²e vedno velja, £e pro- jekcijo posplo²imo na poljubno zvezno preslikavo? Izkaºe se, da je odgovor pritrdilen in dokaz omenjene posplo²itve predstavlja tudi osrednji del diplomske naloge. V li- teraturi sem zasledila dva dokaza izreka in oba sta temeljila na enem pomembnej²ih in uporabnej²ih topolo²kih eksisten£nih izrekov - Borsuk-Ulamov izrek. Ta pravi, da lahko za poljubno zvezno preslikavo iz sfere, ki se nahaja v (n+ 1)-dimenzionalnem prostoru, v n razseºen prostor, najdemo par antipodnih to£k na sferi, ki se slikata v isto to£ko. V grobem lahko re£emo, da lahko najdemo par to£k na sferi, ki sta med sabo dovolj narazen, slikata pa se v isto to£ko.

Ker so dokazi Borsuk-Ulamovega izreka ali preobseºni ali pa zahtevajo ustrezno podlago, ki presega obseg diplomskega dela, bom izrek privzela. Pokazala pa bom nekaj ekvivalentnih razli£ic, katere nam bodo sluºile tudi pri dokazovanju topolo-

²kega Radonovega izreka, v njegovo uporabnost pa se bomo prepri£ali tudi skozi dokaz Brouwerjevega izreka o negibni to£ki, ki iz Borsuk-Ulamovega izreka sledi v nekaj vrsticah.

Ideja prvega dokaza topolo²kega Radonovega izreka, ki ga bom obravnavala, je, da Borsuk-Ulamov izrek enostavno prenesemo na topolo²ki Radonov izrek. ƒe se vrnemo na primer projekcije tetreadra na ravnino, lahko disjunktni stranici tetraedra razumemo kot mnoºici to£k, ki sta dovolj narazen, njuni sliki na ravnini pa se sekata.

To pa se sli²i precej podobno Borsuk-Ulamovem izreku. Prej se moramo seveda prepri£ati, da med sfero in simpleksom obstaja ustrezen homeomorzem, ki to£ke, ki so dovolj narazen na sferi, preslika v disjunktna lica simpleksa. Tudi drugi dokaz,

ki si ga bomo pogledali, bo temeljil na Borsuk-Ulamovem izreku, vendar se bomo pri njem izognili konstrukciji omenjenega hoemomorzma in se problema lotili s pomo£jo algebrai£ne topologije.

Na koncu si bomo pogledali ²e Van Kampen-Floresov izrek, ki odgovarja na vpra-

²anje, ki naravno sledi iz topolo²kega Radonovega izreka, hkrati pa ima zanimivo in presenetljivo posledico v kombinatoriki. Nasploh se Borsuk-Ulamov izrek in neka- tere njegove razli£ice ter posledice pogosto uporabljajo za re²evanje kombinatori£nih vpra²anj ali problemov iz diskretne matematike.

Slednje je tudi razlog, zakaj me je izbrana tema tako pritegnila. Tekom ²tu- dija so se namre£ razli£ni izreki iz topologije pojavljali pri skoraj vseh predmetih, predvsem pri kak²nih zahtevnej²ih dokazih in premislekih. Nisem pa ²e spoznala uporabe topolo²kih pristopov pri re²evanju navidez povsem kombinatori£nih pro- blemov. Za topolo²ki Radonov izrek sicer nisem zasledila drugih uporab, razen pri dokazu omenjenega Van Kampen-Floresovega izreku, sem pa med prebiranjem li- terature zasledila kar nekaj zanimivih (celo zabavnih) uporab Borsuk-Ulamovega izreka, vendar jih v nalogi ne bom predstavila.

2. Radonov izrek

V prvem delu naloge se posvetimo klasi£ni obliki Radonovega izreka, katero lahko zelo enostavno pokaºemo z nekaj linearne algebre. Za bolj²e razumevanje si bomo v nadaljevanju pogledali tudi geometrijski dokaz izreka, pri £emer pa bo potrebnih nekaj dodatnih premislekov.

Za za£etek vpeljimo nekatere osnovne pojme, ki jih bomo tekom diplomske naloge pogosto uporabljali. Pri tem si bomo pomagali z u£benikom [9]. V naslednjih denicijah bomo z V ozna£evali realen kon£norazseºen vektorski prostor.

Denicija 2.1. Razcep ali particija mnoºice X je razdelitev mnoºice na disjunktne podmnoºiceX1, X2, . . . , Xk, tako daX1∪X2∪· · ·∪Xk =X. Uporabili bomo oznako X =X₁ +X₂+· · ·+X_k.

Denicija 2.2. PodmnoºicaX vektorskega prostoraV je konveksna, £e za poljubni to£ki, ki leºita znotraj mnoºice, velja, da daljica, ki ju povezuje, v celoti leºi znotraj mnoºice. Najmanj²o konveksno mnoºico, ki vsebuje vse elemente podmnoºice X, imenujemo konveksna ogrinja£a mnoºice X. Ozna£imo jo z conv(X).

Denicija 2.3. Podmnoºica X vektorskega prostora V je ana, £e za poljubni to£ki, ki leºita znotraj mnoºice, velja, da premica, ki poteka skozi njiju, v celoti leºi znotraj mnoºice. Najmanj²o ano mnoºico, ki vsebuje vse elemente podmnoºiceX, imenujemo ana ogrinja£a mnoºice X. Ozna£imo jo z a(X).

Opomba 2.4. Namesto ana mnoºica pogosteje uporabljamo izraz an prostor, saj se lahko prepri£amo, da ima poljubna ana mnoºica X ⊂ V obliko vsote x₀ +W, kjer je x₀ ∈V vektor inW < V vektorski podprostor. ’e ve£ - £e velja X =x₀+W, velja tudi X =x+W za poljuben x∈X.

Primer 2.5. Naj bodoA, B inClinearno neodvisne to£ke vR³. Njihovo konveksno ogrinja£o predstavlja trikotnik, ki ga razpenjajo, njihova ana ogrinja£a pa je kar

cela ravnina, ki jo to£ke dolo£ajo. ♢

Denicija 2.6. Ana kombinacija to£k x₁, x₂, . . . , x_n ∈ V je linearna kombinacija α1x1+α2x2+· · ·+αnxn, kjer za koeciente α1, α2, . . . , αn velja, da se se²tejejo v1,

torej ∑︁n

i=1α_i = 1. Konveksna kombinacija to£k x₁, x₂, . . . , x_n ∈ V je primer ane kombinacije to£k, kjer za koecienteα₁, α₂, . . . , α_ndodatno velja, da so nenegativni.

Denicija 2.7. Pravimo, da so vektorji v₀, v₁, . . . , v_n ano neodvisni, £e so vektorji v₁−v₀, . . . , v_n−v₀ linearno neodvisni.

Ni teºko videti, da lahko ano ogrinja£o to£k x₁, x₂, . . . , x_n ∈ V eksplicitno izra- zimo kot mnoºico vseh anih kombinacij. Formalno to zapi²emo kot

a(X) = {︄ _n

∑︂

i=1

α_ix_i | x_i ∈X, α_i ∈R in

n

∑︂

i=1

α_i = 1 }︄

.

ƒe sox₁, x₂, . . . , x_n∈V ano neodvisne, lahko vsak element ane ogrinja£e zapi-

²emo na enoli£en na£in.

Podobno lahko konveksno ogrinja£o to£k x₁, x₂, . . . , x_n ∈ V eksplicitno izrazimo kot mnoºico vseh konveksnih kombinacij, kar formalno zapi²emo kot

conv(X) = {︄ _n

∑︂

i=1

α_ix_i | α_i ≥0 in

n

∑︂

i=1

α_i = 1 }︄

.

Denicija 2.8. Funkcija f: X ⊆Rⁿ →R^k je ana, £e za vsako ano kombinacijo elementov iz X, ki jo zapi²emo kot α_ix_i+· · ·+α_mx_m,velja:

f(α_ix_i+· · ·+α_mx_m) = α_if(x_i) +· · ·+α_mf(x_m)

Sedaj lahko zapi²emo in dokaºemo Radonov izrek v svoji osnovni obliki. Dokaz je deloma povzet po £lanku [2].

Izrek 2.9 (Radonov izrek). Vsaka podmnoºicaP ⊆Rⁿ z vsajn+2elementi dopu²£a razcep P = A + B, pri katerem imata konveksni ogrinja£i conv(A) in conv(B) neprazen presek.

Dokaz. Dokaºimo izrek s pomo£jo linearne algebre. Naj bo P = {p₁, . . . , p_n+2} mnoºica to£k v Rⁿ. ƒe to£ke iz mnoºice P, ki imajo n koordinat, zapi²emo kot stolpce matrike, na koncu pa dodamo ²e eno vrstico enic, dobimo matriko, ki opisuje linearni sistem ena£b:

n+2

∑︂

i=1

αi·pi = 0 in

n+2

∑︂

i=1

αi = 0.

ƒe sistem prepi²emo v matri£no obliko, dobimo sistem ena£b:

⎛

⎜

⎜

⎝

p₁ p₂ . . . p_n+2 1 1 . . . 1

⎞

⎟

⎟

⎠

⎛

⎜

⎜

⎜

⎜

⎝ α₁

....

....

α._n+2

⎞

⎟

⎟

⎟

⎟

⎠

=

⎛

⎜

⎜

⎝ 0..

... 0

⎞

⎟

⎟

⎠

Matrika sistema je velikosti (n + 1)×(n + 2). Njeno jedro je zato netrivialno in vsebuje re²itev za realna ²tevila α₁, . . . , α_n+2, ki niso vsa enaka ni£. ’e ve£, zaradi zadnje ena£be je gotovo nekaj vrednosti α_i strogo pozitivnih in nekaj strogo negativnih.

Mnoºico P lahko sedaj razdelimo na dve podmnoºici in sicer P⁺={p_i | α_i >0}

inP⁻ ={pi |αi ⩽0}, kjerαiozna£ujejo koeciente, ki zado²£ajo zgornjemu sistemu

ena£b. Mnoºici bosta gotovo neprazni, saj smo se prepri£ali, da ne morejo biti vsi koecienti enaki 0.

Denirajmo α=∑︁

αi>0α_i =−∑︁

αi⩽0α_i. in si oglejmo to£ko x= ∑︂

αi>0

α_i

α ·pi =−∑︂

αi⩽0

α_i α ·pi.

To£ka x po konstrukciji leºi v konveksnih ogrinja£ah mnoºic P⁺ in P⁻. Mnoºici sta disjunktni, presek njunih konveksnih ogrinja£ pa je neprazen, zato zado²£ata

izreku. □

2.1. Geometrijski dokaz Radonovega izreka. Klasi£no obliko Radonovega iz- reka si lahko dobro predstavljamo v niºjih dimenzijah. Oglejmo si primere v R¹,R² inR³, kjer imamo opravka z (vsaj)3,4 ali5to£kami v prostoru. Na osnovi teh pri- merov bomo v nadaljevanju konstruirali ²e geometrijski dokaz Radonovega izreka.

V primeru treh kolinearnih to£k je postopek enostaven - prvo mnoºico tvorimo iz to£k, ki sta si med sabo najbolj oddaljeni, drugo mnoºico pa predstavlja tretja to£ka. V preseku konveksnih ogrinja£ bo tako tretja to£ka.

Slika 1. Premislek za 3to£ke na premici.

Za vsaj 4 komplanarne to£ke govorimo o Radonovem izreku v ravnini. Z nekaj posku²anja ugotovimo, da lahko 4 to£ke na ravnino postavimo na dva na£ina, pri- kazana na sliki 2. Hitro lahko preverimo, da oba zado²£ata Radonovemu izreku. V prvem primeru leºi ena od to£k znotraj konveksne ogrinja£e preostalih treh in tako predstavlja presek dveh disjunktnih mnoºic. V drugem primeru pa to£ke razdelimo tako, da njuni konveksni ogrinja£i predstavljata dve daljici, ki se med sabo sekata.

Slika 2. Premislek za 4 to£ke v ravnini.

Zaklju£imo s premislekom za 5 to£k v prostoru, ki nam bo nakazal, kako bo v nadaljevanju potekal splo²ni geometrijski dokaz. Najprej lahko predpostavimo, da to£ke niso komplanarne ali celo kolinearne - oba primera smo namre£ ºe premislili.

Opazimo, da lahko izberemo tri izmed danih petih to£k, ozna£imo jih z A, B, C, tako, da sta preostali dve to£ki, ozna£imo ju z D, E, na nasprotnih straneh ravnine, ki jo to£keA, B, Crazpenjajo v prostoruR³. ƒe daljicaDE prebada trikotnikABC smo kon£ali. Sicer pa z X ozna£imo prese£i²£e daljice DE z ravnino, ki jo dolo£ajo to£ke A, B, C. Za £etverico A, B, C, X o£itno velja primer ravninskega Radonovega izreka, v smislu, da daljica med eno to£ko (naj bo to B) in X, seka daljico AC v neki to£ki, ki ji re£emoY. To£kaY o£itno leºi tako v trikotnikuBDE kot na daljici AC, torej mnoºici {B, D, E} in {A, C} sestavljata iskano particijo mnoºice petih to£k.

Slika 3. Premislek za5 to£k v prostoru.

Opomba 2.10. Pri zgornjem premisleku smo se precej sklicevali na o£itnost, kar v trirazseºnem prostoru ²e nekako gre, v vi²jih dimenzijah pa je potreben dokaz, ki se ga bomo lotili nekoliko kasneje. Opazimo tudi, da se z vi²anjem dimenzije pove£uje

²tevilo podprimerov, ki jih je potrebno obravnavati.

Preden formalno zapi²emo geometrijski dokaz Radonovega izreka, pri £emer bomo uporabili zgoraj opisano idejo, zopet vpeljimo nekaj pomembnih pojmov, ki jih bomo tekom diplomske naloge ve£krat uporabili.

Denicija 2.11. Naj bo V realen kon£norazseºen vektorski prostor in n ∈ N0.

ƒe so vektorji v₀, . . . , v_n ∈ V ano neodvisni, potem konveksno ogrinja£o mnoºice {v₀,· · · , v_n} v prostoru V imenujemo simpleks dimenzije n ali n-simpleks in ga ozna£imo z ∆_n:

∆_n= {︄_n+1

∑︂

i=1

α_iv_i ⃓

⃓ α_i ≥0 in

n+1

∑︂

i=1

α_i = 1 }︄

To£kev0, . . . , vnimenujemo ogli²£a simpleksa, koecientomαipa pravimo teºi²£ne koordinate simpleksa. To£ko s koordinatamiα1 =· · ·=αn = _n+1¹ imenujemo teºi²£e (ali baricenter) simpleksa.

Opomba 2.12. V literaturi se z ∆_n po navadi ozna£uje simpleks napet na standar- dnih baznih vektorjih v Rⁿ. Formalno to zapi²emo kot

∆_n = {︄_n+1

∑︂

i=1

α_ie_i ⃓

⃓ α_i ≥0 in

n+1

∑︂

i=1

α_i = 1 }︄

,

kjer e_i predstavljajo standardne vektorje s samimi ni£lami in enko na i-tem mestu.

Simpleks napet na poljubni mnoºici ano neodvisnih vektorjev je po navadi ozna£en kar z mnoºico njegovih ogli²£ (v₁, . . . , v_n+1). Vsi enako razseºni simpleksi so si med sabo seveda izomorfni.

Tekom diplomske naloge bomo govorili le o simpleksih, napetih na poljubni mno- ºici ano neodvisnih vektorjev. Zaradi ve£je preglednosti in enostavnosti zapisa bomo za njih uporabljali oznako, ki smo jo denirali v deniciji 2.11.

Denicija 2.13. Naj bo∆_nsimpleks inX mnoºica njegovih ogli²£. Naj boA⊆X. Konveksno ogrinja£o mnoºice A imenujemo lice simpleksa. V primeru, ko A ⊂ X, govorimo o pravem licu simpleksa. Unijo vseh pravih lic ozna£imo z ∂∆_n in jo imenujemo rob simpleksa.

Slika 4. 1-simpleks, 2-simpleks, 3-simpleks. Z oranºno so ozna£eni primeri njihovih lic, ki imajo lahko razli£ne dimenzije.

Pojem simpleksa bomo uporabili ºe pri dokazu naslednje leme, ki smo jo napove- dali v opombi 2.10.

Lema 2.14. Naj bo P mnoºica n+ 2 to£k, ki ano razpenjajo Rⁿ. Potem bodisi obstaja p ∈ P, ki leºi v konveksni ogrinja£i P − {p}, bodisi obstajata p, r ∈ P, ki leºita na nasprotnih straneh hiperravnine, ki jo dolo£a preostalih n to£k.

Dokaz. Naj bo P = {p₁, . . . , p_n+2} mnoºica n+ 2 to£k, ki razpenjajo Rⁿ. Ker je to£k n+ 2, lahko najdemo tako to£ko, da preostalih n+ 1 to£k ²e vedno razpenja prostorRⁿ. Brez ²kode za splo²nost je to to£ka pn+2. To£ko odstranimo iz mnoºice.

Konveksna ogrinja£a preostalih to£k tvori n-simpleks, ki ga ozna£imo z ∆n. Za i-to ogli²£e simpleksa p_i kjer i = 1, . . . n+ 1, dolo£a mnoºica P − {p_n+2, p_i} (n− 1)- razseºno hiperravnino, ki jo ozna£imo z S_i, hkrati pa njena konveksna ogrinja£a tvori (n−1)-simpleks, ki ga ozna£imo z ∆n−1 in ki leºi znotraj hiperravnineS_i.

Odstranjena to£ka p_n+2 ima enoli£no dolo£ene ane koordinate glede na to£ke p₁, . . . , p_n+1 in jo lahko zapi²emo kot p_n+2 =∑︁n+1

i=1 α_ip_i. ƒe so vse ane koordinate pozitivne in je njihova vsota 1, potem to£ka p_n+2 leºi znotraj njihove konveksne ogrinja£e in torej znotraj simpleksa ∆_n. ƒe je ena izmed koordinat negativna, na primer j-ta, potem pa sta to£ki p_n+2 in p_j na nasprotnih straneh hiperravnine S_j,

ki jo dolo£a preostalih n to£k. □

Oglejmo si zadnji premislek pri dokazu 2.1 na primeru v ravnini, ki je predstavljen na sliki 5. To£ko p₄, ki smo jo na za£etku odstranili iz mnoºice, lahko zapi²emo kot ano kombinacijo preostalih to£k p₄ = α₁p₁ + α₂p₂ +α₃p₃. Znotraj konveksne ogrinja£e to£k so vse ane koordinate pozitivne. ƒe se osredoto£imo na p₁ vidimo, da na nasprotni strani hiperravnine S₁ (v tem primeru kar premice skozi p₂ in p₃) ana koordinata za p₁ postane negativna. ƒe bi se to£ka p₄ nahajala v polprostoru na nasprotni straniS₁ bi torej to£kip₄inp₁leºali na nasprotnih straneh hiperravnine S1.

Slika 5. Prikaz ideje dokaza leme za n = 2.

Sedaj lahko s pomo£jo leme formalno zapi²emo ²e geometrijski dokaz, pri katerem si bomo pomagali z ravnokar pokazano lemo 2.14.

Geometrijski dokaz Radonovega izreka 2.9. Prepri£ali smo se, da Radonov izrek ve- lja v R¹, R² in celo v R³ zato predpostavimo, da velja za Rⁿ⁻¹ in dokazujemo, da velja tudi za Rⁿ.

Naj bo P ={p₁, . . . , p_n+2} mnoºica n+ 2 to£k. Brez ²kode za splo²nost predpo- stavimo, da to£ke razpenjajo Rⁿ, v nasprotnem primeru imamo namre£ opravka z Radonovim izrekom v niºjih dimenzijah. Kot v lemi 2.14 poi²£emo tako to£ko, da preostalihn+1to£k ²e vedno razpenjaRⁿ. Naj bo to to£kap_n+2. ƒep_n+2leºi znotraj konveksne ogrinja£e preostalih to£k smo kon£ali, saj mnoºici {p_n+2} in P − {p_n+2} predstavljata dve disjunktni podmnoºici katerih presek konveksnih ogrinja£ je ne- prazen. V nasprotnem primeru lahko najdemo to£ko p_i za nek i = 1, . . . , n+ 1, in hiperravnino S_i, denirano kot v lemi 2.14, tako da to£kip_n+2 in p_i leºita na njenih nasprotnih straneh.

Sqozna£imo prese£i²£e hiperravnine S_i in daljice, ki poteka skozi to£kip_n+2 inp_i. Formalno ga deniramo kotq =conv{p_n+2, p_i} ∩S_i. Prese£i²£e obstaja, saj se to£ki nahajata na nasprotnih straneh Si. ƒe je to£ka q ena izmed to£k iz mnoºiceP smo kon£ali, saj v tem primeru mnoºici{pn+2, pi}inP−{pn+2, pi}ustrezata Radonovemu izreku. Predpostavimo torej, da q /∈ P. Na hiperravnini S_i ⊆ Rⁿ⁻¹ imamo sedaj n+ 1 to£k in lahko uporabimo indukcijsko predpostavko. Naj bosta torej mnoºici P₁ in P₂ particiji mnoºice to£k na S_i, katerih konveksni ogrinja£i imata neprazen presek. Brez ²kode za splo²nost lahko predpostavimo, daq∈P₁. Iz denicijeqsledi, daq∈S_i in hkratiq ∈conv{p_n+2, p_i}. Particijo prvotne mnoºiceP tako sestavljata

mnoºici P₂ in(P₁+{p_n+2, p_i})\ {q}. □

S tem smo zaklju£ili geometrijski dokaz. Preden nadaljujemo si kot zanimivost poglejmo ²e dva primera izrekov, ki se skupaj z Radonovim izrekom pogosto upora- bljata v teoriji konveksnosti. Oba izreka in nekatere zanimivosti so opisane v £lanku [7].

Slika 6. Prikaz ideje geometrijskega dokaza za n= 3.

Izrek 2.15 (Hellyjev izrek). Naj bo K ={K₁, . . . , K_n} druºina konveksnih in kom- paktnih podmnoºic v R^d, kjer n ≥ d+ 1 . ƒe se katerihkoli d+ 1 mnoºic med sabo seka, potem se med sabo sekajo vse.

Hellyjev izrek je zanimivo izpostaviti, saj je J. Radon pokazal klasi£ni Radonov izrek 2.9 za namen dokazovanja Hellyjevega izreka.

Izrek 2.16 (Tverbergov izrek). Vsaka podmnoºica P ⊆ Rⁿ, ki vsebuje vsaj (r− 1)(n + 1) + 1 elementov, dopu²£a razcep P = P₁ +· · · +P_r, pri katerem imajo konveksne ogrinja£e mnoºic iz razcepa neprazen presek. Formalno to zapi²emo

∩^r_i=1conv(P_i)̸=∅.

Za r = 2 je Tverbergov izrek kar ekvivalenten Radonovemu. Pomembno ga je izpostaviti, ker ima tudi ta izrek globoko topolo²ko posplo²itev, pri dokazu katere se med drugim uporabi topolo²ki Radonov izrek.

Slika 7. Prikaz Tverbergovega izreka vR² za r= 3.

Vrnimo se na Radonov izrek in poglejmo nanj ²e nekoliko druga£e. Na poljubno mnoºico n + 2 to£k v Rⁿ lahko gledamo kot na linearno projekcijo nekega (n + 1)-razseºnega simpleksa v Rⁿ. Slika poljubnega lica simpleksa je v tem primeru konveksna ogrinja£a projekcij to£k v Rⁿ, ki sovpadajo z ogli²£i lica simpleksa. Sledi torej, da lahko Radonov izrek zapi²emo na druga£en na£in.

Izrek 2.17 (Radonov izrek). Pri vsaki linearni projekciji simpleksa ∆_n+1 na Rⁿ lahko najdemo dve disjunktni lici simpleksa, katerih sliki se sekata.

VR³ lahko lici, katerih sliki se sekata, poi²£emo zelo enostavno - z nekaj posku²a- nja ugotovimo, da lahko 3-simpleks (tetraeder) v ravnino projeciramo na 2na£ina.

V prvem primeru lahko ²tiri to£ke v ravnini razdelimo na dve mnoºici tako, da njuni konveksni ogrinja£i predstavljata daljici, ki se med sabo sekata. Disjunktni lici sim- pleksa, ki ju i²£emo, sta stranici, ki sovpadata z daljicama v ravnini. V drugem primeru pa imamo eno od to£k znotraj konveksne ogrinja£e preostalih treh. Lici v tem primeru imata razli£ne dimenzije - prvo je ogli²£e simpleksa, ki sovpada s to£ko znotraj konveksne ogrinja£e preostalih to£k. Drugo pa je dvorazseºno - tvori ga konveksna ogrinja£a ogli²£ simpleksa, ki sovpadajo s preostalimi tremi to£kami v ravnini.

Slika 8. Prikaz enega od primerov Radonovega izreka v R³.

Na skici 8 je prikazan eden od primerov disjunktnih lic tetraedra, katerih sliki v ravnini se sekata. V R³ si ²e lahko privo²£imo, da lici poi²£emo z nekaj posku²anja - ko najdemo ustrezno particijo v ravnini namre£ vemo, da bosta lici vsebovani v prasliki ustreznih mnoºic, kar iskanje nekoliko olaj²a. Sedaj si lahko postavimo vpra²anje - ali Radonov izrek ²e vedno drºi, £e namesto linearne projekcije vzamemo poljubno zvezno funkcjo?

3. Topolo²ki Radonov izrek

Do zdaj smo imeli opravka s precej elementarnimi pojmi in postopki iz linearne algebre. Precej smo si pomagali z geometrijo in risanjem primerov v niºjih dimenzi- jah, ki so sluºili kot ideja za izpeljavo postopkov v vi²jih dimenzijah. Pri linearnih projekcijah si to lahko privo²£imo, ker jih lahko - po doma£e povedano - opisujemo z ravnimi £rtami in so iz geometrijskega vidika zelo ugodne. Kaj pa se zgodi, ko te `ravne £rte' posplo²imo na poljubne zvezne preslikave? Izkaºe se, da Radonov izrek ²e vedno drºi, kar pa je vse prej kot o£itno. Medtem ko je dokaz klasi£nega Radonovega izreka temeljil na elementarni linearni algebri se dokaz posplo²itve Ra- donovega izreka na poljubne zvezne funkcije naslanja na veliko mo£nej²a in globlja matemati£na orodja, ki jih bomo spoznali v nadaljevanju.

Posplo²itev Radonovega izreka na zvezne funkcije se torej glasi:

Izrek 3.1 (Topolo²ki Radonov izrek). Za vsako zvezno preslikavo f: ∆_n+1 → Rⁿ obstaja par disjunktnih lic σ1 in σ2 simpleksa∆n+1, tako da f(σ1)∩f(σ2)̸=∅.

Disjunktni lici simpleksa, katerih sliki se sekata, lahko torej najdemo za poljubno zvezno preslikavo. Vrnimo se na primer v R³ - £e vzamemo poljubno zvezno presli- kavo iz tetraedra v ravnino bomo torej ²e vedno lahko na²li disjunktni lici tetraedra, katerih sliki se sekata.

V nadaljevanju si bomo pogledali dva dokaza topolo²kega Radonovega izreka. Prvi bo bolj topolo²ki in bo vklju£eval konstrukcijo ustreznega homeomorzma, medtem ko bo drugi spadal bolj pod podro£je algebrai£ne topologije. Oba dokaza bosta temeljila na Borsuk-Ulamovem izreku, ki je eden pomembnej²ih in uporabnej²ih izrekov algebrai£ne topologije in ima ve£ zanimivih posledic. Dokazi izreka, ki sem jih zasledila v knjigi [6], so ali preobseºni ali pa mo£no presegajo temo diplomskega dela, zato bomo izrek privzeli. Vseeno si lahko pogledamo nekaj ekvivalentnih trditev izreka, ki nam bodo pri²le prav pri drugem dokazu.

3.1. Borsuk-Ulamov izrek. Preden zapi²emo Borsuk-Ulamov izrek, se spomnimo nekaj osnovnih pojmov, ki jih bomo v nadaljevanju pogosto uporabljali.

Denicija 3.2. Uniji to£k vRⁿ, ki so od sredi²£ax₀ oddaljene za natankor, pravimo sfera v Rⁿ. Formalno jo deniramo kot mnoºico to£k

Sⁿ⁻¹(x₀, r) = {x∈Rⁿ | ∥x−x₀∥=r}.

ƒe je r= 1 in hkrati x₀ = 0, govorimo o enotski sferi in jo ozna£imo s Sⁿ⁻¹. Uniji to£k v Rⁿ, ki so od sredi²£a x₀ oddaljene za najve£ r, pa pravimo krogla in jo formalno deniramo kot

Bⁿ(x₀, r) = {x∈Rⁿ | ∥x−x₀∥ ≤r}.

ƒe je r= 1 in hkrati x₀ = 0, govorimo o enotski krogli in jo ozna£imo z Bⁿ. Opomba 3.3. Poljubno sfero v Rⁿ ozna£imo zSⁿ⁻¹(x₀, r), saj vemo, da je lokalno homeomorfna Rⁿ⁻¹.

Denicija 3.4. Naj bo X mnoºica to£k v Rⁿ, ki je simetri£na glede na izhodi²£e, kar pomeni, da iz x ∈ X sledi −x ∈ X. To£ki x, y ∈ X sta antipodni, £e velja y=−x.

Primer 3.5. Antipodni to£ki na sferi Sⁿ sta to£ki, ki leºita na njenih nasprotnih straneh in sta med sabo najbolj oddaljeni. ƒe sredi²£e sfere ne leºi v izhodi²£u moramo biti pazljivi, saj o antipodnosti govorimo le pri mnoºicah, ki so simetri£ne glede na izhodi²£e.

♢ Opomba 3.6. Denicijo antipodnosti bi lahko posplo²ili na mnoºice, ki so centralno simetri£ne - torej simetri£ne glede na sredi²£e mnoºice - vendar za razumevanje dokazov, ki jih bomo obravnavali v nadaljevanju, to ne bo potrebno, zato se bomo omejili na telesa, ki imajo sredi²£e v izhodi²£u.

Natan£neje - omejili se bomo na enotske sfere, ki jih po deniciji 3.2 ozna£imo s Sⁿ⁻¹, kjer n ozna£uje dimenzijo prostora.

Zapi²imo sedaj Borsuk-Ulamov izrek.

Izrek 3.7 (Borsuk-Ulamov izrek). Za poljubno zvezno preslikavo f: Sⁿ → Rⁿ ob- staja x∈Sⁿ, da velja f(x) =f(−x).

Z drugimi besedami lahko to povemo: za poljubno zvezno preslikavo iz sfereSⁿ v Rⁿ obstajata antipodni to£ki, torej to£ki na nasprotnih straneh sfere, ki se slikata v isto to£ko. Izrek nam v svojem bistvu pove, da ne le, da preslikava ni injektivna, tisti

`neinjektivni' del vedno vsebuje to£ki, ki sta med sabo na sferi najbolj oddaljeni.

Slika 9. Prikaz Borsuk-Ulamovega izreka za n = 1. Vir slike je knjiga [6].

Izrek lahko enostavno pokaºemo za n = 1. Dokaz si ogledamo na zanimivem primeru. Vzemimo preslikavof: S¹ →R, kjerS¹predstavlja ekvator Zemlje. Nanjo lahko gledamo kot preslikavo, ki vsaki to£ki na ekvatorju priredi temperaturo v tej to£ki. Lahko se strinjamo, da je to zvezna funkcija, ker to£ki, ki sta zelo blizu ne moreta imeti zelo razli£ne temprature. Vzemimo sedaj dve poljubni antipodni to£ki na ekvatorju. ƒe ti dve to£ki vrtimo okoli ekvatorja, se njuna temperatura zvezno spreminja. Denirajmo preslikavog(x) =f(x)−f(−x), ki predstavlja razliko temperatur antipodnih to£k. O£itno velja g(−x) = f(−x)−f(x) =−g(x). ƒe jef konstantna, bog ni£elna, sicer pa bog zaradi izreka o vmesni vrednosti morala imeti nekje ni£lo. Torej bo za nekx∈S¹ veljalo f(x) = f(−x)in Borsuk-Ulamov izrek je tako za n = 1 dokazan. V praksi to torej pomeni, da na ekvatorju vedno obstajata dve antipodni to£ki, ki imata enako temperaturo (ºal pa nam izrek ne pove, kako tidve to£ki poi²£emo).

Slika 10. Skica spreminjanja temperature okrog ekvatorja.

Naj bo sedaj f: S² → R² preslikava, ki to£ki na Zemlji priredi temperaturo in zra£ni pritisk. Po Borsuk-Ulamovem izreku torej vedno na zemlji obstajata to£ki, ki imata isto temperaturo in hkrati tudi zra£ni pritisk.

Ko sem sama prvi£ prebrala izrek, sem se spomnila na stereografsko projekcijo sfere na ravnino, ki smo jo omenili pri topologiji. Kljub temu, da s samim izre- kom nima veliko skupnega, se mi jo zdi zanimivo izpostaviti - z njo smo namre£

pokazali, da na Sⁿ lahko gledamo kot na Rⁿ, ki mu dodamo to£ko v neskon£no- sti. Stereografska projekcija je namre£ zvezna bijekcija med Sⁿ− {N} in Rⁿ kjer N = (0, . . . ,0,1)∈Sⁿ predstavlja vrhnjo to£ko sfere. Zapisali smo jo s predpisom:

f: Sⁿ− {N} →Rⁿ, tako daf(x1, . . . , xn+1) = 1

1−x_n+1(x1, . . . , xn+1) Njen inverz pa smo zapisali kot:

g: Rⁿ→Sⁿ− {N}, tako dag(y) =

(︃ 2y

∥y∥²+ 1,∥y∥²−1

∥y∥²+ 1 )︃

Ideja preslikave je, da sredi²£e sfere v (n+ 1)-dimenzionalnem prostoru postavimo v sredi²£e n-razseºne ravnine, nato pa skozi N na vrhu sfere vle£emo premice, ki tako sfero kot n-razseºen prostor sekajo v natanko eni to£ki. Prepri£ali smo se tudi, da je preslikava dobro denirana in zvezna. Prav tako je bijekcija.

Slika 11. Skica stereografske projekcije za n= 2.

Stereografska projekcija nam pove, da sta Sⁿ in Rⁿ sicer lokalno homeomorfna, vendar je na dlani, da nikakor ne moreta biti homeomorfna. To sledi ºe iz dejstva, da je Sⁿ kompakten, Rⁿ pa ne. Borsuk-Ulamov izrek nam pove ²e ve£: za vsako preslikavo iz Sⁿ v Rⁿ obstaja to£ka v zalogi vrednosti, katere praslika vsebuje par antipodnih to£k.

Kot sem ºe omenila, obstaja ve£ dokazov Borsuk-Ulamovega izreka. Tisti, ki bi bili primerni za mojo stopnjo znanja, so zelo obseºni, kraj²i dokazi pa zahtevajo veliko dodatnega teoreti£nega znanja, ki mo£no presega obseg teme diplomske na- loge. Izrek bomo zato v nadaljevanju privzeli. Vseeno pa si lahko pogledamo nekaj najenostavnej²ih ekvivalentnih razli£ic izreka. Med drugim nam bo ena izmed njih pri²la prav pri drugem dokazu topolo²kega Radonovega izreka. ’e prej pa zapi²imo formalno dencijo antipodnosti za preslikave.

Denicija 3.8. Preslikava f: Sⁿ → B ⊆ Rⁿ, za katero velja ∀x ∈ Sⁿ: f(−x) =

−f(x) je antipodna. Pravimo tudi, da preslikava f ohranja antipodnost to£k. Pre- slikava je antipodna na robu denicijskega obmo£ja, £e ohranja antipodnost to£k na robu denicijskega obmo£ja, torej ∀x∈∂Bⁿ: f(−x) =−f(x).

Opazimo lahko, da je antipodnost posplo²itev lihosti funkcij ene spremenljivke.

Izrek 3.9. Naslednje trditve so ekvivalentne:

(1) (Borsuk-Ulam) Za poljubno zvezno preslikavo f: Sⁿ → Rⁿ obstaja x ∈ Sⁿ, da velja f(x) =f(−x).

(2) Za vsako zvezno antipodno preslikavo f: Sⁿ → Rⁿ obstaja x ∈ Sⁿ, tako da f(x) = 0.

(3) Ne obstaja zvezna antipodna preslikava f: Sⁿ→Sⁿ⁻¹.

(4) Ne obstaja zvezna preslikava g: Bⁿ →Sⁿ⁻¹, ki je antipodna na robu.

Dokaz. (1)⇒(2)Naj bof: Sⁿ→Rⁿantipodna preslikava, torej∀x∈Sⁿ:f(−x) =

−f(x). Hkrati pa po (1) obstaja to£ka x tako da f(x) = f(−x). Za to to£ko torej velja f(x) = f(−x) =−f(x). Torej f(x) = 0.

(2) ⇒(1)Naj bof: Sⁿ →Rⁿpoljubna zvezna preslikava. Deniramog(x) =f(x)−

f(−x). Opazimo g(−x) = f(−x)−f(x) = −g(x) torej je g antipodna preslikava.

Po (2) obstaja to£ka y tako dag(y) = 0 in zato v tej to£ki velja f(y) =f(−y). (2) ⇒ (3) Naj bo f: Sⁿ → Sⁿ⁻¹ antipodna preslikava. ƒe kodomeno f raz²irimo naRⁿ potem f zado²£a predpostavkam iz (2), in mora imeti ni£lo. Vendar f naRⁿ ni£le nima, kar je v protislovju z (2). Sledi, da taka preslikava f ne obstaja.

(3) ⇒ (2) Denimo, da je f: Sⁿ → Rⁿ antipodna in nima ni£le. Potem lahko deniramo g: Sⁿ → Sⁿ⁻¹, tako da g(x) = _∥f(x)∥^f(x) . Potem je g o£itno antipodna, kar je v protislovju s (3). Sledi, da mora f imeti ni£lo.

(3) ⇒ (4) Denimo, da obstaja preslikava g: Bⁿ → Sⁿ⁻¹, ki je antipodna na robu.

Potem denirajmo preslikavo f(x₁, . . . , x_n+1) =

{︃ g(x₁, . . . , x_n)za x_n+1 ≥0

−g(−x1, . . . ,−xn) za xn+1 ≤0 Hitro se lahko prepri£amo, da velja

f(−x₁, . . . ,−x_n,−x_n+1) = −g(x₁, . . . , x_n) = −f(x₁, . . . , x_n+1), £e x_n+1 ≥0 in hkrati tudi

f(−x₁, . . . ,−x_n,−x_n+1) = −(−g(−x₁, . . . ,−x_n)) =−f(x₁, . . . , x_n+1), £e x_n+1 ≥0.

Sledi, da je f antipodna preslikava izSⁿ v Sⁿ⁻¹ kar je v protislovju s to£ko (3). (4) ⇒(3) Denimo, da obstaja antipodna preslikava f: Sⁿ→ Sⁿ⁻¹. Potem lahko deniramo preslikavo

g(x₁, . . . , x_n) =f(x₁, . . . , x_n,

√︂

1−x²₁− · · · −x²_n),

ki je antipodna na robu, kar je v protislovju s to£ko (4). □ Kot zanimivost si poglejmo uporabo Borsuk-Ulamovega izreka pri dokazu Bro- uwerjevega izreka o negibni to£ki.

3.1.1. Brouwerjev izrek o negibni to£ki. Brouwerjev izrek prav tako kot Borsuk- Ulamov izrek spada med temeljne izreke topologije evklidskih prostorov. Dokaz, ki sem ga na²la v enem od u£benikov za topologijo, se razteza £ez dobri dve strani.

Z eno od ekvivalenc Borsuk-Ulamovega izreka pa ga lahko zapi²emo v nekaj vrsticah, kar je opisano v knjigi [6]. ’e prej se spomnimo denicije negibne to£ke.

Denicija 3.10. To£ka x je negibna to£ka preslikave f, £e velja f(x) = x.

Izrek 3.11 (Brouwerjev izrek o negibni to£ki). Vsaka zvezna preslikava f: Bⁿ → Bⁿ, kjer n∈N, ima negibno to£ko.

Ena izmed ponazoritev izreka pravi - £e z ºlico preme²amo skodelico kave, bo ena izmed to£k na vrhnji plasti kave ostala na mestu. ’e ve£ - £e bomo to to£ko potem namenoma premaknili, se bo ena izmed preostalih to£k vrnila na svoje za£etno mesto.

Slika 12. Brouwerjev izrek za n= 2. Vir slike je £lanek [3].

Dokaz izreka 3.11. Naj bo f: Bⁿ → Bⁿ poljubna zvezna preslikava in denimo, da nima negibnih to£k. Denirali bomo preslikavo g: Bⁿ → Sⁿ⁻¹ tako, da je njena zoºitev na denicijsko obmo£je Sⁿ⁻¹ identiteta. Vzemimo to£ko x∈ intBⁿ in njeno sliko f(x). Za g(x) deniramo prese£i²£e sfere in premice, ki gre skozi tidve to£ki v smeri od f(x) proti x. Preslikava g je zvezna in po deniciji antipodna na robu in tako smo pri²li v protislovje z ekvivalenco (4) Borsuk-Ulamovega izreka 3.9. □ Pokazali smo torej, da Borsuk-Ulamov izrek implicira Brouwerjev izrek o negibni to£ki. Ali velja tudi obratno? Izkaºe se, da je implikacija v drugo smer nekoliko bolj komplicirana.

Pokaºemo lahko, da je Brouwerjev izrek ekvivalenten izreku, ki pravi, da ne ob- staja nobena retrakcija oblike g: Bⁿ → Sⁿ⁻¹. Implikacija v eno smer je kar enaka razmisleku, ki smo ga naredili v dokazu 3.1.1 - preslikava, ki smo jo konstruirali je namre£ retrakcija. Ko dokazujemo implikacijo v obratno smer predpostavimo, da retrakcija obstaja in poi²£emo protislovje z Brouwerjevim izrekom. ƒe retrakcijo komponiramo s preslikavof:Sⁿ⁻¹ →Sⁿ⁻¹, ki to£ke slika v antipodne to£ke, dobimo preslikavo f ◦g: Bⁿ→Sⁿ⁻¹ →Sⁿ⁻¹, ki nima negibnih to£k.

Ugotovili smo torej, da Brouwerjev izrek implicira izrek o neobstoju retrakcij.

Izkaºe se, da je ta izrek ekvivalenten Borsuk-Ulamovem izreku za lihe oziroma anti- podne preslikave, v splo²nem pa ne drºi nujno. Brouwerjev izrek tako ne implicira Borsuk-Ulamovega izreka, saj pri slednjem zahtevamo dolo£eno mero simetrije.

Slika 13. Skica preslikave za dokaz Brouwerjevega izreka iz Borsuk- Ulamovega izreka.

Vrnimo se na topolo²ki Radonov izrek. V nadaljevanju si bomo pogledali dva dokaza izreka. Oba bosta temeljila na Borsuk-Ulamovem izreku - prvi bo temeljil na njegovi osnovni obliki, drugi pa na eni od njegovih ekvivalenc iz izreka 3.9.

3.2. Prvi dokaz topolo²kega Radonovega izreka. Ideja prvega dokaza, opi- sanega v £lanku [4], ki si ga bomo pogledali, je v svojem bistvu povsem elemen- tarna. Na topolo²ki Radonov izrek lahko namre£ pogledamo kot na posebno razli-

£ico Borsuk-Ulamovega izreka. Namesto(n+1)-razseºne sfere imamo v denicijskem obmo£ju (n+ 1)-razseºen simpleks. Kar nam pove topolo²ki Radonov izrek, lahko torej na neformalen na£in interpretiramo kot izrek, ki to£ki, ki sta dovolj narazen na simpleksu, slika v isto to£ko v prostoru Rⁿ. To pa se sli²i zelo podobno Borsuk- Ulamovemu izreku. Ideja je ta, da preslikavo iz Radonovega izreka komponiramo s preslikavo, ki je homeomorzem med sfero in robom simpleksa ter hkrati poskrbi, da se to£ke, ki so dovolj narazen na sferi slikajo tudi `dovolj narazen' na simpleksu.

Potem bo topolo²ki Radonov izrek sledil takoj iz Borsuk-Ulamovega izreka.

Poi²£imo torej ustrezen homeomorzem med robom simpleksa in sfero, ki bo an- tipodne to£ke slikal `dovolj' dale£ na simpleks, kar bomo razumeli kot slikanje v disjunktni lici simpleksa.

Poljubnega homeomorzma brez zadnje zahteve ni teºko najti - lahko si recimo predstavljamo, da n-simpleks postavimo v notranjost sfere v n dimenzijah in ga enostavno `napihnemo'. Vendar pri tem se nam takoj pojavi vpra²anje - kako po- staviti simpleks v sfero? Moºnost, ki nam pride prva na pamet je, da identiciramo teºi²£e simpleksa s sredi²£em sfere. Skozi to to£ko potem vle£emo premice, ki tako sfero kot simpleks sekajo v dveh to£kah in dolo£ajo zvezno bijekcijo med objektoma.

Zapi²imo formalno kako bi taka preslikava s sfere na simpleks zgledala za n = 1, ko imamo opravka z enotsko kroºnico in trikotnikom v ravnini. To£ke na enotski kroºnici lahko opi²emo s kotom ϕ∈[0,2π], to£ke na robu simpleksa pa kot to£ke na konveksni ogranja£i ogli²£ simpleksa, ki jih v tem primeru ozna£imo z {v₁, v₂, v₃}.

(1) ϕ ↦→

⎧

⎨

⎩

3ϕ

2πv₁+ (1−^3ϕ_2π)v₂ 0≤ϕ≤ ^2π₃ (1−^3ϕ_2π)v₂+ (^3ϕ_2π −1)v₃ ^2π₃ ≤ϕ≤ ^4π₃ (3−^3ϕ_2π)v₂+ (^3ϕ_2π −2)v₁ ^4π₃ ≤ϕ≤2π

To je seveda le eden od primerov konstrukcije poljubne bijekcije. Tukaj smo kot, ki opi²e sfero, razdelili na tri enake dele, medtem ko bi ti deli med sabo lahko bili razli£ni - to je lahko odvisno od oblike simpleksa ali pa tega, na kak²en na£in simpleks postavimo v sfero. Sredi²£e sfere bi lahko identicirali tudi recimo s sredi²£em ene od stranic simpleksa. Glavna ideja pa je za vsak primer enaka - simpleks znotraj sfere

`enakomerno napihnemo'. S tem mislim na to, da nobenega dela sfere ali simpleksa ne stiskamo ali raztegujemo, temve£ enostavno za vsako to£ko na simpleksu poi²£emo natanko eno to£ko na sferi, ki se ji prilega.

Glede na sliko vidimo, da preslikava za n = 1 ne zado²£a izreku Borsuk-Ulam.

Neformalno lahko to razloºimo tako, da imata disjunktni lici trikotnika, ki sta lahko le ogli²£e in nasprotna stranica, zelo `razli£no ²tevilo' to£k - stranica se bo o£itno napihnila v veliko ve£ji del sfere, kot ogli²£e. Zato bodo obstajale antipodne to£ke, ki ne bodo ustrezale disjunktnim licom simpleksa.

To seveda ni bil formalen dokaz tega, da preslikava ni ustrezna. Smo pa s tem pokazali, da se je iskanja ustrezne preslikave potrebno lotiti bolj sistemati£no. Do nje bomo pri²li s pomo£jo naslednje leme.

Lema 3.12. Za vsak n ⩾ 0 obstaja zvezna funkcija λ_n: Sⁿ → ∂∆_n+1, da za vsak x∈Sⁿ, sliki λn(x) in λn(−x) leºita v disjunktnih licih ∂∆n+1.

Slika 14. Skica preslikave 1 in primer dveh antipodnih to£k na sferi, katerih sliki ne leºita na disjunktnih licih simpleksa.

Dokaz. Lemo dokaºemo induktivno. Za n= 0 je preslikava o£itna. Slikamo namre£

iz mnoºice to£k S⁰ ={−1,1}v mnoºico ∂∆1 =∂ conv{v1, v2}={v1, v2}.

Poglejmo si, kako bi zgledala preslikava za n = 1. I²£emo zvezno preslikavo s kroºnice (S¹) na trikotnik v ravnini (2-simpleks). ƒe razdelimo kroºnico na dva enaka polkroga in podobno naredimo za trikotnik, lahko dobimo ºeljeno preslikavo.

Ozna£imo z v₁, v₂, v₃ ogli²£a trikotnika in naj bo v₃ njegov vrh. Razpolovi²£e stra- nice, ki jo dolo£ata ogli²£i v₁ in v₂ ozna£imo z b₁. Opazimo, da je to ravno teºi²£e enodimenzonalnega simpleksa, dolo£enega s tema ogli²£ema. Premica skozi to£kiv₃ inb₁ trikotnik razdeli na dva enaka dela na katera lahko slikamo polkroga.Vzamemo levi polkrog in ga slikamo na levo polovico trikotnika. To storimo tako, kot prikazuje spodnja skica.

Slika 15. Skica dokaza za n= 1.

Polkroga torej najprej razdelimo na 4 enake dele, kot prikazuje slika 15. Zgornji del levega polkroga slikamo v ogli²£ev₃, drugi del slikamo na stranico, ki jo dolo£ata v₃ in v₁, tretji del slikamo v ogli²£ev₁, £etrti del pa slikamo na daljico medv₁ in b₁. Enako naredimo za desni polkrog.

Konstrukcijo nadaljujemo rekurzivno, zato predpostavimo, da smo ºe konstruirali λ_n: Sⁿ → ∂∆_n+1. I²£emo torej preslikavo λ_n+1: Sⁿ⁺¹ → ∂∆_n+2. Pomagamo si z naslednjimi mnoºicami, ki v primeru za n = 1 predstavljajo ravno polkroga. Za vsak y ∈Sⁿ⁻¹ deniramo

Gy = {︂

(y·cosϕ,sinϕ)| −π

2 ≤ϕ≤ π 2

}︂

.

To so namre£ mnoºice, ki jih bomo slikali na simpleks. Pomagali si bomo ²e s teºi²£em simpleksa ∆_n+1 vsebovanega v ∂∆_n+2, ki ga ozna£imo zb_n+1.

Naj bo y∈Sⁿ in ϕ∈[−^π₂,^π₂]. Preslikavo deniramo na naslednji na£in:

λ_n+1(y, ϕ) =

⎧

⎪⎪

⎨

⎪⎪

⎩

v_n+3 ^π₄ ≤ϕ≤ ^π₂

(1− ^4ϕ_π )·λn(y) + ^4ϕ_π ·vn+3 0≤ϕ ≤ ^π₄

λn(y) −^π₄ ≤ϕ≤0

−(1 + ^4ϕ_π)·b_n+1+ (2 + ^4ϕ_π )·λ_n −^π₂ ≤ϕ≤ −^π₄

Oglejmo si kako izgleda preslikava λ₂: S² → ∂∆₃, torej preslikava s sfere na tetraeder. Najprej ugotovimo, da so mnoºice G_y v tem primeru kar `poldnevniki' sfere. Zgornji del sfere odreºemo pri kotu ^π₄ in ga stisnemo v vrh tetraedra, ki ga ozna£imo z v₄. Del sfere med kotoma ^π₄ in 0preslikamo na pla²£ tetradra, del med kotoma0in−^π₄ pa na rob ploskve, ki jo dolo£ajo preostala ogli²£av₁, v₂inv₃. Ostane

²e spodnji del sfere, katerega slikamo na spodnjo ploskev tetraedra. Preslikavo si lahko v tem primeru predstavljamo kot slikanje poldnevnikov sfere na poldnevnike tetradra, kjer vrh tetraedra in njegov teºi²£e ena£imo s severnim in juºnim te£ajem sfere.

Slika 16. Skica primera za n = 2.

Dokazati je potrebno ²e, da za vsak y ∈Sⁿ, sliki λ_n(y, ϕ) in λ_n(−y,−ϕ) leºita v disjunktnih licih ∂∆_n+1. To£ke na Sⁿ so oblike (y, ϕ), kjer y ∈ Sⁿ⁻¹ in brez ²kode za splo²nost lahko predpostavimo, da ϕ∈[0,^π₂]. Obravnavamo dva primera:

(1) ϕ ∈ [^π₄,^π₂]: po konstrukciji preslikave velja, da λ_n+1(y, ϕ) = v_n+3 in hkrati λn+1(−y,−ϕ) =−(1 + ^4ϕ_π )bn+1+ (2 + ^4ϕ_π )λn ∈∆n+1. Mnoºici{v3} in ∆n+1

pa sta disjunktni.

(2) ϕ∈[0,^π₄]: po indukcijski predpostavki vemo, da obstajata disjunktni liciσ= conv(A)inτ =conv(B)∈∂∆n+1, ki vsebujetaλn(y)inλn(−y). Po deniciji λ_n+1(y, ϕ) opazimo, da λ_n+1(y, ϕ)∈ conv(A∪ {v_n+3}), ki predstavlja stoºec nad σ,λ_n+1(−y,−ϕ)∈τ ⊆∂∆_n+1, ki pa sta disjunktni.

□

Dejstvo, da ustrezna preslikava obstaja, je intuitivno precej jasno, vendar je sam zapis predpisa vseeno zahteval nekaj dela in ustreznih premislekov. S pomo£jo leme in Borsuk-Ulamovega izreka lahko topolo²ki Radonov izrek pokaºemo v nekaj vrsti- cah.

Dokaz topolo²kega Radonovega izreka 3.1. Naj bo f: ∆_n+1 → Rⁿ poljubna zvezna preslikava. Vzamemo kompozitum zveznih preslikavf inλ_niz leme. Kompozitum je zvezna preslikava, ki slika iz Sⁿ v Rⁿ. Po Borsuk-Ulamovem izreku obstaja x, tako daf◦λ_n(x) =f◦λ_n(−x). Hkrati pa po zgornji lemi obstajata disjunktni lici∂∆_n+1, ki vsako vsebuje λ_n(x) aliλ_n(−x), kar pomeni, da je presek slik teh disjunktnih lic

neprazen. □

S tem smo zaklju£ili prvi dokaz topolo²kega Radonovega izreka. Kot smo se pre- pri£ali, gre v dokazu za precej elementaren postopek. Pri tem ne smemo pozabiti, da smo se v veliki meri naslonili na Borsuk-Ulamov izrek, ki smo ga privzeli. Veljavnost tega izreka pa je vse prej kot o£itna.

Poglejmo si ²e drugi moºen dokaz topolo²kega Radonovega izreka.

3.3. Drugi dokaz topolo²kega Radonovega izreka. Dokaz lahko zapi²emo tudi na na£in, opisan v [2, poglavje 2.2], ki temelji na algebrai£ni topologiji in pri katerem se izognemo neposredni deniciji preslikave, ki smo jo opisali v lemi 3.12. Pred dokazom si poglejmo ²e nekaj denicij, ki jih bomo potrebovali.

Denicija 3.13. Naj bo G grupa in X poljubna neprazna mnoºica. Grupa G deluje na mnoºici X, £e obstaja preslikava G×X → X, ki vsakemu paru (g, x) priredi element g·x∈X, tako da veljata naslednja pogoja

(1) (gh)·x=g·(h·x) za vse g, h∈G in vse x∈X

(2) 1·x=x za vse x∈X, kjer z 1ozna£imo enoto grupe G.

Pravimo, daG deluje prosto, £e izg·x=xsledi g = 1. MnoºiciX na katero deluje grupa G pravimo G-mnoºica.

Opomba 3.14. Pri zgornji deniciji se nismo opredelili ali je preslikava f nujno zvezna ali ne. ƒe je zvezna, gre za zvezno delovanje, pri £emer mora biti X topo- lo²ki prostor in tudi grupa G mora imeti neko topologijo. Zvezno delovanje je v bistvu posplo²itev zgornje denicije, saj lahko na vsaki grupi deniramo diskretno topologijo, s £emer bomo imeli opravka tudi v nadaljevanju. ƒe je grupa G diskre- tna, je delovanje avtomati£no zvezno v prvem faktorju, zahtevati pa moramo tudi, da je za vsak element g ∈ G preslikava x → g·x zvezna. To v splo²nem sicer ne drºi, velja pa za identiteto ter za antipodno delovanje, opisano v primeru 3.15, kar bomo uporabili pri dokazu.

Primer 3.15. Poglejmo si delovanje dvoelementne multiplikativne grupeZ² na pro- stor Rⁿ, ki ga zax∈Rⁿ deniramo na naslednji na£in:

(−1)·x↦−→ −x Opazimo, da o£itno velja

(−1)·(−x)↦−→x.

To delovanje bomo kasneje uporabili v dokazu, zato je prav, da se prepri£amo v to, da so izpolnjeni vsi pogoji iz denicije delovanja 3.13, kljub temu, da gre za precej enostaven primer, pri katerem bo pregled lastnosti morda izgledal kot nepotrebna komplikacija.

(1) Za vse pare elementov iz grupe Z2 se prepri£ajmo, da velja prva lastnost.

(−1·(−1))·x= 1·x=x= (−1)·(−1·x) (−1·1)·x=−1·x=−x=−1·(1·x)

(1·1)·x= 1·x=x= 1·(1·x)

(2) Pravilnost druge lastnosti sledi iz same denicije delovanja.

1·x=x za vse x∈Rⁿ

Prav tako se lahko prepri£amo, da je delovanje za Rⁿ− {0} prosto, saj iz(g, x) =x sledi, da jeg = 1. GrupaZ² torej deluje prosto na tej mnoºici. V bistvu je delovanje prosto za vsako mnoºico X− {0}, ki je simetri£na glede na izhodi²£e, kar pomeni, da iz x∈ X sledi −x ∈X. Mnoºica, ki ustreza tem zahtevam, je recimo sfera, kar

nam bo pri²lo prav v nadaljevanju. ♢

Opomba 3.16. Iz denicije delovanja sledi, da velja 1·x↦−→x, zato tega posebej ne navajamo.

Denicija 3.17. Naj bo X neka simetri£na mnoºica, t.j. ∀x∈X je tudi −x∈X. Delovanju grupe Z2 na elemente mnoºice x∈X s predpisom

−1·x↦−→ −x pravimo antipodno delovanje.

Denicija 3.18. Naj bo G grupa in X, Y naj bosta G-mnoºici. Zvezna preslikava f: X →Y je G-preslikava, £e za vsakg ∈G in vsak x∈X veljaf(g·x) =g·f(x). Pravimo, da preslikava komutira z delovanjem grupe G na mnoºici X.

Primer 3.19. Teºje o antipodnem delovanju govorimo pri simpleksih, kjer nimamo to£ne denicije antipodnosti. V naslednjem dokazu bomo govorili o delovanju grupe Z2 na produkt simpleksov, zato se zopet prepri£ajmo, da je delovanje ustrezno.

Deniramo torej mnoºico P = ∆_n×∆_n, delovanje na njenih elementih (p, q) ∈ P pa deniramo s predpisom:

−1·(p, q)↦−→(q, p)

Obe lastnosti lahko hitro preverimo na enak na£in kot smo to naredili v prej²njem primeru. Prav tako se lahko prepri£amo, da je delovanje prosto za vse mnoºice P, ki ne vsebujejo to£k oblike (p, q). Uniji to£k take oblike pravimo tudi diagonala

mnoºice P. ♢

Sedaj imamo ustrezno podlago, da lahko nadaljujemo z drugim dokazom topolo-

²kega Radonovega izreka. Ideja dokaza bo konstrukcija preslikave, ki bo ob pred- postavki, da topolo²ki Radonov izrek ne velja, v protislovju z eno od ekvivalenc, ki smo jih spoznali v Borsuk-Ulamovem izreku 3.9.

Dokaz topolo²kega Radonovega izreka 3.1. Ozna£imo mnoºico ogli²£ simpleksa∆_n+1 z X_n+1 ={p₁, p₂, . . . , p_n+2}. Deniramo mnoºico parov ogli²£ simpleksa P tako, da iz mnoºice vseh parov ogli²£ izvzamemo tiste, za katere ne obstajata disjunktni lici simpleksa, ki bi vsebovali vsaka eno od ogli²£ iz para. Po doma£e lahko re£emo, da so v mnoºici P taki pari ogli²£, kjer sta ogli²£i iz para `dovolj narazen' med sabo,

kar razumemo kot to, da ju lahko lo£imo z dvema disjunktnima licema. Formalno to zapi²emo kot

P ={(x, y)∈∆_n+1×∆_n+1 | obstajata taki lici simpleksa σ_k, σ_l ⊂∆_n+1, da velja σ_k∩σ_l=∅, x∈σ_k, y ∈σ_l}.

GrupaZ2 ={−1,1}na mnoºiciP deluje prosto s predpisom, ki smo ga ºe spoznali v primeru 3.19 in ga zapi²emo kot:

−1·(x, y)↦−→(y, x)

Dokazovanja se lotimo s protislovjem, zato predpostavimo, da izrek ne velja. Lahko torej najdemo zvezno funkcijo f: ∆_n+1 →Rⁿ, tako da f(x)̸=f(y) za vse elemente (x, y) ∈ P. Po deniciji mnoºice P vemo, da x ̸=y ∀i, j. Potem lahko deniramo preslikavo g na naslednji na£in

g: (x, y)↦−→ f(x)−f(y)

∥f(x)−f(y)∥

Opazimo, da je g Z²-preslikava glede na antipodno delovanje na sferi.

Za sfero v n+ 1 dimenzijah uvedimo oznako

Sⁿ=S(Rⁿ⁺¹) = {(α₁, . . . , α_n+1)∈Rⁿ⁺¹|α²₁+· · ·+α²_n+1 = 1}.

Na sfero v Rⁿ⁺¹ lahko gledamo kot na sfero v hiperravnini prostora Rⁿ⁺². Tako hiperravnino, ki razpenja prostor razseºnosti n+ 1, deniramo na naslednji na£in:

W_n+2 ={(α₁, . . . , α_n+2)∈Rⁿ⁺²|α₁+· · ·+α_n+2 = 0} ⊂Rⁿ⁺². Sfero v hiperravnini pa zapi²emo:

S(W_n+2) ={(α₁, . . . , α_n+2)∈Rⁿ⁺²|α₁+· · ·+α_n+2 = 0, α²₁+· · ·+α²_n+2 = 1}.

S pomo£jo zapisanega deniramo preslikavo iz sfere Sⁿ v mnoºico P, pri £emer sfero gledamo v hiperravnini prostora Rⁿ⁺².

Preslikavo deniramo na naslednji na£in:

h:S(W_n+2)→P h: (α₁, . . . , α_n+2)↦−→

(︄

∑︂

αi≥0

α_i

αp_i,−∑︂

αi<0

α_i αp_i

)︄

kjer α =∑︁

αi≥0α_i =−∑︁

αi<0α_i.

Hitro se lahko prepri£amo, da je tako denirana preslikavahzvezna, saj je kompo- zitum zveznih preslikav. Prvo komponeto bi lahko zapisali kot vsoto po maksimumih na naslednji na£in ∑︁n+2

i=1

max{αi,0}

∑︁n+2

i=1 max{α_i,0}p_i. Maksimum zveznih funkcij pa je prav tako zvezna funkcija. Enako velja za drugo komponento.

Prav tako se lahko tudi prepri£amo, da je zaloga vrednosti res mnoºica P. Kot prvo o£itno obe komponenti vsaka zase leºita na simpleksu, saj sta konveksni kom- binaciji njegovih ogli²£. O£itno leºita vsaka v svojem licu, napetem na disjunktnih mnoºicah ogli²£ simpleksa, natan£neje:

h(α₁, . . . , α_n+2)∈conv{p_i |α_i ≥0} ×conv{p_i | α_i <0} ⊆∆_n+1×∆_n+1. Poglejmo si sedaj kompozitum preslikav g◦h: S(W_n+2)→Sⁿ⁻¹. Opazimo, da iz

g(h(α)) = g(x, y) = f(x)−f(y)

∥f(x)−f(y)∥

sledi

g(h(−α)) =g(y, x) = f(y)−f(x)

∥f(x)−f(y)∥ =− f(x)−f(y)

∥f(x)−f(y)∥.

Preslikava je torej antipodna in slika iz S(W_n+2) v Sⁿ⁻¹, kar pomeni, da je v protislovju z ekvivalenco (3)opisano v Borsuk-Ulamovem izreku 3.9, ki pravi, da ne obstaja zvezna antipodna preslikava iz Sⁿ v Sⁿ⁻¹. □ 3.4. Moºna posplo²itev. Zanimivo vpra²anje, ki si ga lahko postavimo je, ali lahko topolo²ki Radonov izrek kako posplo²imo na poljubne metri£ne ali topolo²ke prostore. Na vpra²anje bomo poskusili deloma odgovoriti - glede na to, da dokaz sloni na Borsuk-Ulamovem izreku se vpra²amo raje, ali lahko kako posplo²imo sle- dnjega.

Hitro lahko opazimo, da oblika Borsuk-Ulamovega izreka, ki smo jo zapisali v izreku 3.7, ne velja, £e posku²amo sferoS² nadomestiti s torusom v trodimenzional- nem prostoru. Zapi²imo to formalno.

Primer 3.20. Najprej se prepri£ajmo, da lahko na torus, ki ga ozna£imo s T², gledamo kot na produkt dveh enotskih kroºnic torejT² ≈S¹×S¹. Naj boT² torus, R naj bo njegov veliki polmer, r pa mali polmer.

h: S¹×S¹ →T²

h((x, y),(u, v)) = ((u+R)x,(u+R)y, rv)

Preslikava h je zvezna, saj je kompozitum zveznih preslikav, ki so sestavljene iz se²tevanja in mnoºenja. Njen inverz je preslikava g:

g: T² →S¹×S¹ g(a, b, c) =

(︃(︃ a

√a²+b², b

√a²+b² )︃

,(︂√

a²+b²−R, c r

)︂)︃

Tukaj smo upo²tevali, da imamo opravka s kroºnicami, katerih polmer je 1. Tudi g je kompozitum zveznih preslikav, zato je zvezna povsod kjer je denirana.

Slika 17. Torus kot produkt enotskih sfer. Vir slike je spletna stran [10].

Poi²£imo sedaj zvezno preslikavo iz torusa T² ≈ S¹ ×S¹ na ravnino R², ki ne zado²£a izreku. Dovolj bo ºe, £e pogledamo projekcijo p torusa na ravnino, ki to£ko navpi£no projecira na ravnino. Opazimo, da se to£ki, ki leºita druga pod drugo, slikata v isto to£ko na ravnini. Denimo da obstaja to£ka (X, Y) tako da p(X, Y) = (−X,−Y). To bi lahko veljalo le za to£ko0, ki pa ni element torusa. ♢

Kljub temu, da `strikten' Borsuk-Ulamov izrek za ta primer ne velja, se duh izreka vseeno ohrani. To£ke, ki se navpi£no projecirajo na ravnino so v nekem smislu dale£

na torusu in se slikajo v isto to£ko. Izkaºe se, da tudi v resnici obstaja posplo²itev izreka na kompaktne mnogoterosti, kar je podrobno opisano v £lanku [1, izrek 4.1].

Spomnimo se, da mnogoterost razumemo kot topolo²ki prostor, ki ima lokalno gledano evklidsko strukturo. Z oznako P X ozna£imo mnoºico poti, to je preslikav oblike t: [0,1] → X med vsemi to£kami iz mnoºice X, z oznako D(s) pa odprto okolico diagonale∆(X)⊂X×X, kamor spadajo elementi oblike(x, x)∈X×X, za katere je najkraj²i lok, ki ga ozna£imo zs ∈P X, med poljubnima to£kama enoli£no dolo£en.

Izrek 3.21 (Akopyan, Karasev, Volovikov). Naj bo X kompaktna mnogoterost di- menzije n in Y poljubna mnogoterost iste dimenzije. Naj bo f: X → Y poljubna zvezna funkcija sode stopnje. Za vsako preslikavo, ki dolo£a najkraj²o pot med to£- kama na mnogoterosti s: X ×X → P X, obstaja par to£k (x, y) ∈/ D(s) tako da f(x) =f(y).

ƒe za X vzamemo Sⁿ in za s najkraj²i lok na sferi, za okolico pa vzamemo D(s) =Sⁿ×Sⁿ− {pari antipodnih to£k} dobimo ravno Borsuk-Ulamov izrek. Pri tem smo si pomagali z okolicami najkraj²ega loka na sferi - to£ki sta `dovolj narazen,'

£e se nahajata izven okolice diagonale, ki jo sestavljajo to£ke (x, x) ∈ Sⁿ × Sⁿ. Zanimivo je, da naveden izrek sedaj drºi tudi za torus. Zapi²imo to formalno.

Primer 3.22. Torus opi²emo kot mnoºico oblikeT² ={(x, y)|x, y ∈S¹}. Oglejmo si mnoºico

D={((x, y),(x^′, y^′))∈T² ×T² | x^′ ̸=−x, y^′ ̸=−y}.

D o£itno vsebuje diagonalna elemente oblike ((x, y),(x, y))∈T²×T², iz £esar tudi sledi, da imamo na D najkraj²e (enoli£ne) poti med to£kami. Prav tako se lahko prepri£amo, da je D odprta. D lahko namre£ zapi²emo kot

D=T²×T²− {((x, y),(−x, y^′))∈T²×T²} − {((x, y),(x^′,−y))∈T² ×T²}.

Mnoºici, ki ju odT²×T² od²tejemo, sta obe zaprti v T²×T². Sledi, da je mnoºica D odprta okolica diagonale.

Za poljubno zvezno funkcijo sode stopnje f: T² → R² tedaj velja, da obstajata u, v, tako da (u, v) ∈/ D in f(u) =f(v). Natan£neje - obstajata (x, y),(x^′, y^′), tako da f(x, y) = f(x^′, y^′) in velja ali x^′ =−x aliy^′ =−y. ♢ S tem seveda nismo podali odgovora na vpra²anje posplo²itve Radonovega izreka, vendar problem na tem mestu pustimo odprt in se raje posvetimo ²e enemu vpra-

²anju v povezavi s topolo²kim Radonovim izrekom, s katerim bomo lahko pokazali povsem kombinatori£no trditev.

4. Van Kampen-Floresov izrek

Topolo²ki Radonov izrek je eksisten£ni izrek, kar pomeni, da nam zagotovi obstoj takih disjunktnih lic, katerih sliki se sekata, ne pove pa nam ni£esar o njihovih lastnostih ali pa o tem kako jih lahko poi²£emo. Eno izmed vpra²anj katerega si lahko zastavimo je, ali lahko kaj povemo o dimenziji lic, ki po izreku obstajata?

V splo²nem odgovora ne bomo podali, nam pa Van Kampen-Floresov izrek ponuja odgovor za dolo£en primer, obravnavan v £lanku [2, poglavje 2.3].