UNIVERZA V LJUBLJANI FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Matematika  1. stopnja Ajda Lemut Vsote izjemnih enot Delo diplomskega seminarja Mentor: izr. prof. dr. David Dolºan Ljubljana, 2021

UNIVERZA V LJUBLJANI

FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Matematika 1. stopnja

Ajda Lemut Vsote izjemnih enot Delo diplomskega seminarja Mentor: izr. prof. dr. David Dolºan

Ljubljana, 2021

Kazalo

1. Uvod 4

2. Lastnosti izjemnih enot 4

3. Izjemne enote v kolobarju ostankov 6

3.1. ’tevilo izjemnih enot 8

3.2. ’tevilo predstavitev elementa kot vsote izjemnih enot 10 4. Izjemne enote v splo²nem komutativnem kon£nem kolobarju z enico 15

4.1. ’tevilo izjemnih enot 18

4.2. ’tevilo predstavitev elementa kot vsote izjemnih enot 24

Slovar strokovnih izrazov 30

Literatura 31

Vsote izjemnih enot Povzetek

Element u iz kolobarja je izjemna enota, £e sta u in 1−u enoti, torej £e sta u in 1−u obrnljiva. V delu se najprej posvetimo kolobarjem ostankovZn, nato pa sledi posplo²itev na poljubne kon£ne komutativne kolobarje z enico. V obeh primerih najprej dokaºemo formulo za izra£un ²tevila izjemnih enot, nato pa ²e formulo za izra£un ²tevila predstavitev poljubnega elementa iz kolobarja z vsoto k izjemnih enot.

Sums of exceptional units Abstract

Element u from some ring is an exceptional unit if both u and 1−u are units, so if both u and 1−u are invertible. In this work we rst focus on the residue class rings modulo n, and then generalize it to all nite commutative rings with identity.

In both cases, we rst prove the formula for calculating the number of exceptional units, and then the formula for calculating the number of representations of any element in the ring as the sum of k exceptional units.

Math. Subj. Class. (2020): 11B13, 11D45, 11T24, 11L05 Klju£ne besede: izjemne enote, kolobar ostankov, kon£ni kolobar Keywords: exceptional units, residue class ring, nite ring

1. Uvod

Naj bo R kon£en komutativen kolobar z enico. Element u∈R je enota (oziroma obrnljiv element), £e obstaja element v ∈ R, da je uv = 1. Z R^∗ ozna£imo grupo vseh enot. To je res multiplikativna grupa oziroma kar Abelova grupa. Res je zaprta za operacijo (iz osnov algebre vemo, da za obrnljiva x, y velja(x∗y)⁻¹ =y⁻¹∗x⁻¹), asociativnost, komutativnost in enico pa podeduje iz kolobarja. Enota u ∈ R^∗ je izjemna enota, £e je tudi1−uenota. ’e druga£e povedano, jeu∈R^∗ izjemna enota,

£e obstaja tak u^′ ∈ R^∗, da je u+u^′ = 1. Z R^∗∗ ozna£imo mnoºico vseh izjemnih enot, ki pa seveda ni grupa, ker ni zaprta za operacijo in nikoli ne vsebuje enice.

Ta pojem je leta 1969 vpeljal norve²ki matematik Trygve Nagell [11] v pomo£

pri re²evanju diofantskih ena£b, saj je veliko takih ena£b moºno poenostaviti do ena£b oblike ax+by = 1, kjer sta x in y enoti. V primeru a = b = 1 to pomeni iskanje izjemnih enot. Leta 1977 je nizozemski matematik Hendrik Willem Lenstra [8] uporabil izjemne enote v novi metodi, s katero lahko dokaºemo, da je ²tevilsko polje Evklidsko. Posledi£no so z nadgradnjo te metode Armin Leutbecher in Gerhard Niklsch v [9] ter Julien Houriet v [4] odkrili nekaj novih Evklidskih ²tevilskih polj.

Naslednje poglavje je namenjeno obravnavi lastnosti izjemnih enot. V tretjem poglavju sledi obravnava izjemnih enot v kolobarju ostankov, saj se je tam prvotno za£elo njihovo preu£evanje. Joshua Haringon in Lenny Jones [3], Josmir W. Sander [13, 14] ter Quan-Hui Yang in Qing-Qing Zhao [15] so v letih od 2009 do 2017 odkrili formulo za ²tevilo izjemnih enot v Zn in formulo za ²tevilo predstavitev poljubnega

²tevila c iz Zn kot vsote izjemnih enot. Celino Miguel [10], Su Hu in Min Sha so leta 2018 in 2019 formuli posplo²ili na poljubne kon£ne komutativne kolobarje, kar je opisano v £etrtem poglavju.

2. Lastnosti izjemnih enot

V tem poglavju si bomo ogledali osnovni deniciji dela, nato pa nekaj lastnosti.

Za laºjo predstavo novih pojmov bomo vse skupaj prikazali ²e s kak²nim zgledom.

Naj boRv tem poglavju poljuben komutativen kolobar z enico. Denirajmo najprej osnovna pojma.

Denicija 2.1. Element u ∈ R je enota, £e obstaja element v ∈ R, da je uv = 1. Grupo vseh enot ozna£imo z R^∗.

Opomba 2.2. Mnoºica vseh enotR^∗ je res grupa, kot smo to pojasnili ºe v uvodu.

Denicija 2.3. Enota u ∈ R^∗ je izjemna enota, £e je tudi 1−u enota. Mnoºico vseh izjemnih enot ozna£imo z R^∗∗.

Po deniciji je izjemna enota obrnljiv element. Od tod takoj opazimo, da R^∗∗ ne more vsebovati ni£le (identitete za se²tevanje). Prav tako R^∗∗ ne more vsebovati enice. Denimo, da lahko vsebuje enico. Potem je 1−1 = 0 obrnljiv element, kar je protislovje. Poglejmo si nova pojma na kraj²em zgledu.

Zgled 2.4. Naj boR=Z9. Iz osnovnega znanja algebre vemo, da so enote ravno vsa

²tevila tuja n= 9. Potem pa za vsak elementuiz grupe enot preverimo, ali je 1−u

²e vedno v tej grupi. V tem primeru tako dobimo grupo enot Z^∗9 ={1,2,4,5,7,8}

in mnoºico vseh izjemnih enot Z^∗∗9 ={2,5,8}. ♢ Ob kraj²em razmisleku hitro sledijo naslednje lastnosti, ki jih omeni Nagell v [11].

Lema 2.5. Naj bo E izjemna enota komutativnega kolobarja R z enico. Tedaj so tudi

(1) E⁻¹, (2) 1−E, (3) (1−E)⁻¹, (4) 1−E⁻¹ in (5) (1−E⁻¹)⁻¹

izjemne enote kolobarja R.

Dokaz. (1) Ker je E enota,E⁻¹ obstaja. O£itno je tudi E⁻¹ enota, saj jeE⁻¹E = 1 zaradi komutativnosti kolobarja R. Pokazati moramo ²e, da je E⁻¹ izjemna enota, torej da obstaja (1−E⁻¹)⁻¹. Ker je E izjemna enota, je 1−E enota, kar pomeni, da obstaja (1−E)⁻¹. Iskani inverz je torej (1−E⁻¹)⁻¹ = −E(1−E)⁻¹, saj je (1−E⁻¹)(−E)(1−E)⁻¹ = (−E+ 1)(1−E)⁻¹ = 1.

(2) Ker jeE izjemna enota, je1−E enota. Je tudi izjemna enota, saj je 1−(1− E) = E, ki je po predpostavki enota.

(3) Sledi direktno iz uporabe to£k 1 in 2.

(4) Najprej je E⁻¹ izjemna enota po to£ki 1, potem pa je 1−E⁻¹ izjemna enota po to£ki 2.

(5) Sledi direktno iz to£ke 2 in 4. □

Zgled 2.6. Poglejmo si to na na²em zgledu R =Z⁹ za E = 5: 5⁻¹ ≡2 (mod 9)

1−5≡5 (mod 9)

(1−5)⁻¹ ≡5⁻¹ (mod 9)≡2 (mod 9) 1−5⁻¹ ≡1−2 (mod 9)≡8 (mod 9)

(1−5⁻¹)⁻¹ ≡8⁻¹ (mod 9)≡8 (mod 9) ♢ Pojem izjemne enote je leta 1969 vpeljal norve²ki matematik Trygve Nagell [11]

v pomo£ pri re²evanju diofantskih ena£b. Opazujmo sedaj po [12] poseben primer diofantske ena£be x+y = 1. Predvsem nas zanima primer, ko re²itev i²£emo med obrnljivimi algebrai£nimi celimi ²tevili. Torej naj bo K poljubna kon£na raz²iritev Q. Tedaj so algebrai£na cela ²tevila O_K ni£le polinomov s celimi koecienti in vodilnim koecientom 1, ki so v K. Re²itve torej i²£emo med obrnljivimi elementi O_K. O£itno, £e je E izjemna enota iz O_K, potem je E + (1−E) = 1 ena re²itev take ena£be. Obratno, £e obrnljiva x in y re²ita to ena£bo, potem sta to izjemni enoti. Opazimo tudi, da £e x, y re²ita ena£bo, potem tudi para (x⁻¹,−yx⁻¹) ter (y⁻¹,−xy⁻¹) re²ita ena£bo. Izkaºe se, da so te tri re²itve razli£ne razen v dveh primerih. Pa si poglejmo vse moºnosti:

(x, y) = (x⁻¹,−yx⁻¹), (1)

(x, y) = (−yx⁻¹, x⁻¹), (2)

(x, y) = (y⁻¹,−xy⁻¹), (3)

(x, y) = (−xy⁻¹, y⁻¹), (4)

(x⁻¹,−yx⁻¹) = (y⁻¹,−xy⁻¹) in (5)

(x⁻¹,−yx⁻¹) = (−xy⁻¹, y⁻¹).

(6)

Prvi primer se lahko zgodi samo, ko je x = −1. Tedaj je y = 1−x = 2. Posebej obravnavamo ta primer. Tu dobimo ²e par (2⁻¹,2⁻¹), kar nam skupaj s parom (2,−1)da tri razli£ne re²itve ena£be. V drugem primeru dobimo

x=−yx⁻¹ in y=x⁻¹,

od koder sledix=−x⁻²in zatox³+1 = 0. To lahko razstavimo v(x+1)(x²−x+1) = 0, ker pa smo ºe posebej obravnavali primer x = −1, dobimo, da se drugi primer lahko zgodi, ko sta x, y ni£li polinoma x²−x+ 1. Zaradi simetrije se enako zgodi pri tretjem in £etrtem primeru. V petem primeru dobimo

x⁻¹ =y⁻¹ in −yx⁻¹ =−xy⁻¹,

od koder vidimo, da jex=y. Hkrati vemo, da jex= 1−yin zato je2x= 1 oziroma x=y = 2⁻¹. Torej vidimo, da smo pri²li do trojice iz prej obravnavanega primera.

Zadnji, ²esti pa se spet lahko zgodi samo, ko sta x, y ni£li polinoma x²−x+ 1. Res ena£bo x⁻¹ = −xy⁻¹ mnoºimo z xy in dobimo y = −x², hkrati pa je y = 1−x in torej res x² − x + 1 = 0. Podobno mnoºimo drugo enakost −yx⁻¹ = y⁻¹ z xy in dobimo x = −y² = −(1−x)² = −(1−2x+x²). Tako smo spet pri²li do ena£be x²−x+ 1 = 0. Torej, £eK ne vsebuje√

−3, tedaj x, y nista ni£li polinoma x² −x+ 1. To pa pomeni, da je ²tevilo vseh re²itev deljivo s tri. ƒe z n ozna£imo stopnjo raz²iritve K (n = [K : Q]) in z r rang grupe vseh enot (torej najmanj²e

²tevilo elementov, s katerimi je ta grupa generirana), potem imamo znano zgornjo oceno za ²tevilo vseh re²itev: ²tevilo vseh re²itev je kve£jemu 3·7^n+2r (dokazano v [2, trditev 1]). Na ²tevilo re²itev ena£be x+y = 1 lahko gledamo kot na ²tevilo predstavitev elementa 1 kot vsoti dveh izjemnih enot in £e to posplo²imo, dobimo ravno ²tevilo predstavitev elementa ckot vsote k izjemnih enot.

Ker smo v kolobarju, se lahko vpra²amo, ali je morda izjemna enota lahko delitelj ni£a. Hitro pridemo do odgovora, da to ni mogo£e, saj obrnljiv element nikoli ne more biti delitelj ni£a. Denimo, da je lahko, torej za obrnljiv x obstaja y ̸= 0, da je xy = 0. Ker je x obrnljiv, sledi (x⁻¹x)y = 0 in torejy = 0, kar je v nasprotju z izbiro y.

Iz obrnljivosti izjemnih enot sledi, da je glavni ideal, generiran z izjemno enoto E, enak kar celemu kolobarju R, v katerem se nahaja (tj. (E) = R). Torej so vsi glavni ideali generirani z izjemnimi enotami med seboj enaki, kar pomeni, da sta si poljubni dve izjemni enoti med seboj asociirani (tj. za poljubna E, F ∈ R^∗∗

obstajata q, r ∈R, da je E =qF inF =rE).

3. Izjemne enote v kolobarju ostankov

V tem poglavju se bomo osredoto£ili na nam najbliºje kolobarje, to so kolobarji ostankov. Dokazali bomo formulo za izra£un ²tevila izjemnih enot v poljubnem kolobarju ostankov, nato pa si bomo ogledali, na koliko na£inov lahko predstavimo poljuben element iz kolobarja kot vsote izjemnih enot. Naj bo sedajR =Zn. Tedaj jeZ^∗ngrupa vseh enot inZ^∗∗n mnoºica vseh izjemnih enot v kolobarju ostankov. Hitro vidimo, da niti Z^∗n niti Zn\Z^∗n ni zaprt za se²tevanje. To pa lahko vidimo tudi na naslednjem zgledu.

Zgled 3.1. Naj bo n = 15. Tedaj je

Z^∗15={1,2,4,7,8,11,13,14} in Z¹⁵\Z^∗15={0,3,5,6,9,10,12}.

Vidimo, da za 1,14 ∈ Z^∗15, 1 + 14 ≡ 0 (mod 15), ampak 0 ∈/ Z^∗15. Podobno za 3,5∈Z15\Z^∗15, 3 + 5≡8 (mod 15), ampak 8∈/ Z15\Z^∗15. ♢ Naj od sedaj naprejpves £as ozna£uje poljubno pra²tevilo. Smiselno se je vpra²ati, ali lahko morda izjemne enote v nepra²tevilskih kolobarjih ostankov Zⁿ dobimo s pomo£jo izjemnih enot pra²tevilskih kolobarjev iz pra²tevilskega razcepa ²tevila n. Pa si poglejmo to na zgledu.

Zgled 3.2. Poglejmo si, kaj dobimo za n = 3, 5, 7, 9 = 3², 25 = 5², 15 = 3·5 in 35 = 5·7.

Z^∗3 ={1,2}

Z^∗∗3 ={2}

Z^∗5 ={1,2,3,4}

Z^∗∗5 ={2,3,4}

Z^∗7 ={1,2,3,4,5,6}

Z^∗∗7 ={2,3,4,5,6}

Z^∗9 ={1,2,4,5,7,8}

Z^∗∗9 ={2,5,8}

Z^∗25 ={1,2,3,4,6,7,8,9,11,12,13,14,16,17,18,19,21,22,23,24}

Z^∗∗25 ={2,3,4,7,8,9,12,13,14,17,18,19,22,23,24}

Z^∗15 ={1,2,4,7,8,11,13,14}

Z^∗∗15 ={2,8,14}

Z^∗35 ={1,2,3,4,6,8,9,11,12,13,16,17,18,19,22,23,24,26,27,29,31,32,33,34}

Z^∗∗35 ={2,3,4,9,12,13,17,18,19,23,24,27,32,33,34} ♢ V splo²nem za n = p^α1q^α2, kjer sta p in q pra²tevili ter α₁ in α₂ naravni ²tevili, lahko dobimo izjemne enote s pomo£jo izjemnih enot v Zp in Zq na slede£ na£in.

Najprej pogledamo ²tevila v Z^∗∗p in jim pri²tevamo ve£kratnike p dokler lahko (tj.

do zadnjega ²tevila, ki ne presega n). Iz dobljenega seznama pre£rtamo ve£ratnike q (£e je p = q ta korak izpustimo). Na koncu pa pre£rtamo ²e vsa ²tevila, ki so v paru s pre£rtanimi (£e npr. pre£rtamo x, potem pre£rtamo ²e 1−x (mod n)).

Opomba 3.3. Enako dobimo, £e za£nemo z Z^∗∗q in nato pri²tevamo ve£kratnike q. Iz dobljenega seznama pa potem £rtamo ce£ratnike pin njihove pare.

Zgled 3.4. Naj bo n = 15 = 3·5. Najprej pogledamo izjemne enote v Z3: Z^∗∗3 ={2}.

Nato pri²tevamo 3in dobimo{2,5,8,11,14}. Edino ²tevilo deljivo s 5v tej mnoºici je 5, 1−5 ≡ 11 (mod 15), zato iz mnoºice pre£rtamo 5 in ²e 11. Ostane nam {2,8,14}, kar je res na²a mnoºica izjemnih enot. ♢ Premislimo, da je ta postopek res pravilen. Ko elementom z ∈Z^∗∗p pri²tevamo p, so dobljeni elementi ²e vedno tuji p. Njihovi pari 1−(z +kp) = (1−z)−kp ≡ (1−z)−kp+p^α1q^α2 (mod p^α1q^α2) = (1−z)+p(p^α1−1q^α2−k)so iz istega razloga tudi tujip. Nato odstranimo vse elemente deljive s q in njihove pare. S tem zagotovimo, da so vsi elementi in njihovi pari tuji tudi q. Torej so na ta na£in dobljeni elementi z tuji p in q in s tem tudi p·q, prav tako pa so tudi njihovi pari 1−z tuji p in q

in s tem spet tuji p·q. To so tudi vse izjemne enote, kar pa lahko preverimo tudi s formulo, ki jo bomo dokazali v naslednjem razdelku.

3.1. ’tevilo izjemnih enot. Znano je, da Eulerjeva funkcijaφ(n) = n∏︁

p|n(1−¹_p) predstavlja ²tevilo vseh obrnljivih elementov v Zⁿ oziroma φ(n) = |Z^∗n|. Nas pa zanima ²tevilo vseh izjemnih enot, tj. |Z_n^∗∗|. Leta 2010 sta Harrington in Jones [3]

dokazala naslednjo zvezo, ki pa sledi ºe iz Sandrovega izreka [13], kot bomo tudi mi pokazali v nadaljevanju.

Trditev 3.5. ’tevilo izjemnih enot v kolobarju ostankov Zn lahko izra£unamo z naslednjo formulo:

|Z^∗∗n |=n∏︂

p|n

(︃

1−2 p

)︃

.

Opomba 3.6. Iz zveze v trditvi je hitro razvidno, da izjemnih enot v kolobarju ostankov ni natanko tedaj, ko je n sodo ²tevilo ( |Z^∗∗n| = 0 ⇐⇒ n sodo). ƒe je n sodo ²tevilo, potem pra²tevilo 2deli n in v produktu dobimo ni£elni £len. Obratno je produkt ni£eln samo v primeru p= 2, ki pa pride v po²tev le, kadar2 deli n.

Lahko pa tudi druga£e premislimo, da Z2k res nima izjemnih enot. Iz osnovnega znanja algebre vemo, daZ^∗2k vsebuje vsa ²tevila tuja2k. Torej ne vsebuje nobenega sodega ²tevila. Naj bo torej x neki poljuben element iz Z^∗2k. Vemo, da je x liho

²tevilo. Torej ga lahko zapi²emo kotx= 2m+1. Potem je1−x= 1−2m−1 =−2m sodo ²tevilo in ne more biti v Z^∗2k in torej ne more biti izjemna enota. Poglejmo si trditev ²e na na²ih zgledih.

Zgled 3.7. Z uporabo formule iz trditve 3.5 dobimo

|Z^∗∗3 |= 3· (︃

1−2 3

)︃

= 1,

|Z^∗∗5 |= 5· (︃

1−2 5

)︃

= 3,

|Z^∗∗7 |= 7· (︃

1−2 7

)︃

= 5,

|Z^∗∗9 |= 9· (︃

1−2 3

)︃

= 3,

|Z^∗∗25|= 25· (︃

1− 2 5

)︃

= 15,

|Z^∗∗15|= 15· (︃

1− 2 5

)︃ (︃

1− 2 3

)︃

= 3 in

|Z^∗∗35|= 35· (︃

1− 2 5

)︃ (︃

1− 2 7

)︃

= 15.

Res vidimo, da se vsa izra£unana ²tevila izjemnih enot ujemajo s prej poiskanimi

izjemnimi enotami v zgledu 3.2. ♢

Za dokaz trditve bomo najprej vpeljali in dokazali Sandrov izrek [13], pred tem pa denirajmo ²e naslednji pojem.

Denicija 3.8. Funkcija f denirana na naravnih ²tevilih je multiplikativna, £e za vsaki dve tuji ²tevili a in b velja f(ab) =f(a)f(b).

Lema 3.9. Naj φ^∗(n, c) predstavlja ²tevilo vseh predstavitev elementa c iz Zn kot vsoti dveh enot. Tedaj je

φ^∗(n, c) =n∏︂

p|n p|c

(︃

1− 1 p

)︃

∏︂

p|n p∤c

(︃

1− 2 p

)︃

.

Dokaz. V dokazu najprej vpeljemo oznako φ^∗_pk(c) :=

{︄p^k(1− ¹_p), p|c p^k(1− ²_p), p∤c, nato pa za n =p^k₁¹· · ·p^k_r^r ²e

φ^∗_n(c) :=

r

∏︂

i=1

φ^∗

p^ki_i (c) = n∏︂

p|n p|c

(︃

1− 1 p

)︃

∏︂

p|n p∤c

(︃

1−2 p

)︃

.

Zaenkrat ²e ne vemo, da je to ravno ²tevilo predstavitev elementa kot vsoti dveh enot, zato ozna£imo iskano ²tevilo s s(n, c). Poglejmo si najprej multiplikativnost φ^∗_n(c). Dovolj je pokazati za n = n₁n₂, kjer sta si n₁ in n₂ tuji ²tevili. Postopek potem nadaljujemo na n₁ inn₂ dokler ne pridemo do pra²tevilskega razcepa ²tevila n. Fiksiramo ciz Zn in zapi²emo predstavitvi ²tevila v Zn1 in Zn2.

c^′₁+c^′₂ ≡c (mod n₁), kjer sta c^′₁, c^′₂ ∈Z^∗n1

c^′′₁ +c^′′₂ ≡c (mod n₂), kjer sta c^′′₁, c^′′₂ ∈Z^∗n2

Po kitajskem izreku o ostankih obstajata natanko ena c1 (mod n) inc2 (mod n)iz Zⁿ, da je

c_i ≡c^′_i (mod n₁),

ci ≡c^′′_i (mod n2) za i= 1,2, kjer so si c₁ in n ter c₂ inn tuji. Od tod sledi, da je

c₁+c₂ ≡c^′₁+c^′₂ ≡c (mod n₁), c₁+c₂ ≡c^′′₁+c^′′₂ ≡c (mod n₂).

To pa po kitajskem izreku o ostankih pomeni, da je c₁+c₂ ≡c (mod n).

S tem smo pokazali, da vsak par predstavitev c^′₁+c^′₂ (mod n1)inc^′′₁+c^′′₂ (mod n2) natanko dolo£a predstavitev c₁ +c₂ (mod n) v Zⁿ. Obratno iz vsake predstavitve c₁+c₂ (mod n)dobimo predstavitvi c^′₁+c^′₂ (mod n₁)in c^′′₁+c^′′₂ (mod n₂) tako, da nastavimo

c^′_i :=c_i (mod n₁) in

c^′′_i :=c_i (mod n₂).

Tako smo dobili bijekcijo med mnoºicama{(c₁, c₂)∈(Z^∗n)² :c₁+c₂ ≡c (mod n)}in {(c^′₁, c^′₂)∈(Z^∗n1)² :c^′₁+c^′₂ ≡c (mod n₁)}×{(c^′′₁, c^′′₂)∈(Z^∗n2)² :c^′′₁+c^′′₂ ≡c (mod n₂)}. Torej nam preostane pokazati, da je s(p^k, c) =φ^∗_pk(c). Lo£imo dva primera. Naj bo najprej p tak, da p | c. Vzemimo c₂ ∈ Z^∗_p^k. Ker p ∤ (c−c₂), obstaja natanko en c₁ ∈ Z^∗_p^k, da je c₁ ≡ c−c₂ (mod p^k). To pa pomeni, da je predstavitev c natanko

|Z^∗_p^k|. Po Eulerjevi formuli je to natanko p^k(1−¹_p) =φ^∗_pk(c).

Naj sedaj velja p ∤ c. Za 0 < c₂ < p^k, c₂ ∈ Z^∗_p^k in c₂ ≡ c (mod p) ena£ba c₁ ≡ c−c₂ (mod p^k) o£itno nima re²itve za c₁ ∈ Z^∗_p^k. Torej c₂ ̸≡ c (mod p). Spet obstaja natanko en c₁ ∈Z^∗_p^k, da je c₁ ≡c−c₂ (mod p^k). Torej

s(p^k, c) =|{0< c₂ < p^k :c₂ ∈Z^∗p^k, c₂ ̸≡c (mod p)}|

=|{0< c2 < p^k :c2 ∈Z^∗p^k}| − |{0< c2 < p^k :c2 ∈Z^∗p^k, c2 ≡c (mod p)}|

=|Z^∗p^k| − 1

p−1|Z^∗p^k|

=p^k (︃

1− 1 p

)︃

− 1

p−1p^k (︃

1− 1 p

)︃

=p^k (︃

1− 2 p

)︃

,

kjer smo za ²tevilo enot v Zp^k spet uporabili Eulerjevo funkcijo, hkrati pa vidimo, da ima c (mod p)natanko p−1 moºnih vrednosti, saj p∤c. □

Sedaj imamo dokaz trditve na dlani.

Dokaz trditve 3.5. Ker je enota u izjemna natanko tedaj, ko obstaja enota u^′, da je u +u^′ = 1, je ²tevilo vseh izjemnih enot v kolobarju ostankov ravno ²tevilo predstavitev ²tevila 1 kot vsoti dveh enot. To pa je po Sandrovem izreku ravno φ^∗(n,1) =n∏︁

p|n

(︂

1−²_p)︂

. □

3.2. ’tevilo predstavitev elementa kot vsote izjemnih enot. šelimo si polju- ben element iz kolobarja ostankov predstaviti z vsoto nekaj izjemnih enot. Deni- rajmo oznako, s katero bomo ozna£evali ²tevilo takih predstavitev.

Denicija 3.10. ’tevilo predstavitev elementa c ∈ Zn kot vsote k izjemnih enot ozna£imo s φ_k(n, c) = |{(x₁, x₂, . . . , x_k)∈(Z^∗∗n)^k :x₁+x₂+· · ·+x_k=c}|.

V deniciji ²tejemo urejene k-terice izjemnih enot, kar pomeni, da bo vrstni red

£lenov v vsoti pomemben. Tako na primer za k= 2 in dve razli£ni izjemni enotix, y

²tejemo x+y=cin y+x=cza dve razli£ni predstavitvi elementa c.

Leta 2017 sta kitajska matematika Yang in Zhao v [15] uspela dokazati naslednjo formulo.

Izrek 3.11. Naj bo c poljuben element iz Zn. Tedaj lahko ²tevilo predstavitev ele- menta cz vsoto k izjemnih enot izra£unamo z naslednjo formulo:

φ_k(n, c) = ∏︂

p^α|n p^α+1in∤n

(−1)^kp^αk−α−k

⎛

⎜

⎜

⎝ p

k

∑︂

j=0 j≡c (modp)

(︃k j

)︃

+ (2−p)^k−2^k

⎞

⎟

⎟

⎠ ,

kjer so p ustrezna pra²tevila in α ustrezna naravna ²tevila.

Zgled 3.12. Oglejmo si ²tevilo predstavitev elementa4kot vsoti dveh izjemnih enot v Z9. Od prej vemo Z^∗∗9 ={2,5,8}. Poglejmo kar vse moºnosti.

2 + 2≡4 (mod 9) 5 + 5≡1 (mod 9) 8 + 8≡7 (mod 9) 2 + 5≡5 + 2≡7 (mod 9) 2 + 8≡8 + 2≡1 (mod 9) 5 + 8≡8 + 5≡4 (mod 9) Torej pri£akujemo φ₂(9,4) = 3. In res s formulo dobimo

φ₂(9,4) = (−1)²·3^2·2−2−2 · (︃

3 (︃2

1 )︃

+ (2−3)² −2² )︃

= 1·(6 + 1−4) = 3. ♢

Opomba 3.13. Formula velja tudi v primeru, ko je n sodo ²tevilo. Ker smo ºe premislili, da v takem kolobarju ostankov izjemnih enot ni, ºelimo videti, da nam tudi formula da ni£ predstavitev. Ker je n sodo ²tevilo, dobimo £len v produktu s p= 2 in neko poljubno α. Tako dobimo £len:

(−1)^k2^αk−α−k

⎛

⎜

⎜

⎝ 2

k

∑︂

j=0 j≡c (mod 2)

(︃k j

)︃

+ (2−2)^k−2^k

⎞

⎟

⎟

⎠

= (−1)^k2^αk−α−k(︁

2·2^k−1−2^k)︁

= 0, kjer smo upo²tevali binomski izrek in enakost ∑︁k

j=0 jsod

(︁_k

j

)︁=∑︁k j=0 jlih

(︁_k

j

)︁ = 2^k−1. Res je 2^k = (1 + 1)^k =

(︃k 0

)︃

+ (︃k

1 )︃

+ (︃k

2 )︃

+· · ·+ (︃k

k )︃

in

0 = (1−1)^k= (︃k

0 )︃

− (︃k

1 )︃

+ (︃k

2 )︃

− · · ·+ (−1)^k (︃k

k )︃

.

ƒe ena£bi sedaj se²tejemo dobimo 2^k= 2

k

∑︂

j=0 jsod

(︃k j

)︃

,

£e pa ju od²tejemo dobimo ravno

2^k = 2

k

∑︂

j=0 jlih

(︃k j

)︃

.

Ker je torej en £len v produktu ni£eln, je tudi φk(n, c) = 0. Za dokaz izreka potrebujemo ²e dve lemi.

Lema 3.14. Za vsa k, n∈Nin c∈Zⁿje φ_k(n, c) multiplikativna v spremenljivkin. Torej, £e je n=p^α₁¹p^α₂²· · ·p^α_iⁱ enoli£en pra²tevilski razcep do vrstnega reda faktorjev natan£no, tedaj lahko φ_k(n, c) izra£unamo kot produkt ∏︁i

j=1φ_k(p^α_j^j, c).

Dokaz je analogen dokazu multiplikativnosti predstavitve elementa kot vsoti dveh enot, ki smo ga naredili v dokazu leme 3.9. Pa vseeno dokaºimo to lemo.

Dokaz. Dovolj je pokazati za n =n₁n₂, kjer sta si n₁ inn₂ tuji ²tevili. Fiksiramoc iz Zn in zapi²emo predstavitvi ²tevila v Zn1 inZn2:

c^′₁+c^′₂+· · ·+c^′_k ≡c (mod n₁), kjer so c^′₁, c^′₂, . . . , c^′_k∈Z^∗∗n1, c^′′₁ +c^′′₂+· · ·+c^′′_k ≡c (mod n₂), kjer so c^′′₁, c^′′₂, . . . , c^′′_k∈Z^∗∗n2.

Po kitajskem izreku o ostankih obstajajo enoli£ni c₁ (mod n), c₂ (mod n), . . . , c_k (mod n) izZⁿ, da je

c_i ≡c^′_i (mod n₁),

ci ≡c^′′_i (mod n2) zai= 1, . . . , k, kjer so si c_i in n tuji. Od tod sledi, da je

c₁+c₂+· · ·+c_k ≡c^′₁+c^′₂+· · ·+c^′_k≡c (mod n₁), c₁+c₂+· · ·+c_k ≡c^′′₁+c^′′₂ +· · ·+c^′′_k≡c (mod n₂).

To pa po kitajskem izreku o ostankih pomeni, da je c₁+c₂+· · ·+c_k≡c (mod n).

Torej vidimo, da vsak par predstavitevc^′₁+c^′₂+· · ·+c^′_k (mod n₁)inc^′′₁+c^′′₂+· · ·+c^′′_k (mod n₂) natanko dolo£a predstavitevc₁+c₂+· · ·+c_k (mod n)v Zn.

Obratno za vsako predstavitevc₁+c₂+· · ·+c_k (mod n)vZn dobimo predstavitvi c^′₁+c^′₂+· · ·+c^′_k (mod n₁)in c^′′₁ +c^′′₂ +· · ·+c^′′_k (mod n₂) tako, da nastavimo

c^′_i :=c_i (mod n₁) in

c^′′_i :=c_i (mod n₂).

Tako smo dobili bijekcijo med mnoºicama {(c1, c2, . . . , ck)∈(Z^∗∗n )^k :c1+c2+· · ·+ c_k ≡ c (mod n)} in {(c^′₁, c^′₂, . . . , c^′_k) ∈ (Z^∗∗n1)^k : c^′₁ +c^′₂+· · ·+c^′_k ≡ c (mod n₁)} × {(c^′′₁, c^′′₂, . . . , c^′′_k) ∈ (Z^∗∗n2)^k : c^′′₁ + c^′′₂ +· · · +c^′′_k ≡ c (mod n₂)} in s tem je dokaz

kon£an. □

Sedaj smo nekoliko poenostavili na² problem, vendar tu ²e nismo zaklju£ili. Pro- blem ºelimo poenostaviti do iskanja predstavitev elementa v pra²tevilskem poljuZ^p. Za to si poglejmo naslednjo lemo.

Lema 3.15. Za poljubno pra²tevilop velja za izra£un predstavitev elementa cizZp^α

kot vsote k izjemnih enot naslednja zveza:

φ_k(p^α, c) = p^{(k−1)(α−1)}φ_k(p, c).

Dokaz. Najprej lo£imo primer, ko jep= 2. Iz opombe 3.6 vemo, daZ2^α inZ2nimata izjemnih enot. To pa pomeni, da nimamo predstavitev elementa c z izjemnimi enotami. Torej je φk(p^α, c) = 0 in φk(p, c) = 0 in formula v tem primeru velja.

Poglejmo sedaj ²e primer, ko p̸= 2. Deniramo

S ={(x₁, x₂, . . . , x_k−1) :x₁, x₂, . . . , x_k−1 ∈Z^∗∗p in obstaja tak x_k ∈Z^∗∗p , da jex1+x2+· · ·+xk ≡c (mod p)}.

O£itno je mo£ te mnoºice |S|=φ_k(p, c). Denirajmo ²e

T ={(x₁+i₁p, x₂+i₂p, . . . , xk−1+ik−1p) : (x₁, x₂, . . . , xk−1)∈S in 0≤i₁, i₂, . . . , ik−1 ≤p^α−1−1}.

Vsak i_l izbiramo izmed p^α−1 ²tevil, torej je mo£ mnoºice T enaka

|T|= (p^α−1)^k−1|S|=p^{(α−1)(k−1)}φk(p, c).

Preostane nam pokazati ²e, da je φ_k(p^α, c) =|T|.

Pokaºimo najprej φ_k(p^α, c)≤ |T|. Vzemimo poljuben nabor (x^′₁, x^′₂, . . . , x^′_k), kjer je x^′_i ∈Z^∗∗p^α za vsak 1≤i≤k in za katerega velja

(7) x^′₁+x^′₂+· · ·+x^′_k≡c (mod p^α).

Tedaj je ((x^′₁)_p, . . . ,(x^′_k−1)_p) ∈ S, kjer (x)_p ozna£uje x (mod p). O£itno sledi, da je (x^′₁, . . . , x^′_k−1) ∈ T. Ker je x^′_k enoli£no dolo£en iz zveze (7), sledi ºeleno, tj.

φk(p^α, c)≤ |T|.

Dokaºimo ²e, da velja φ_k(p^α, c)≥ |T|. Za vsak (x^′₁, x^′₂, . . . , x^′_k−1)∈T je ((x^′₁)_p,(x^′₂)_p, . . . ,(x^′_k−1)_p)∈S.

Po deniciji mnoºice S pa obstaja natanko en x^′′_k ∈Z^∗∗p , da je (8) (x^′₁)_p + (x^′₂)_p+· · ·+ (x^′_k−1)_p+x^′′_k ≡c (mod p)

Hkrati obstaja natanko en x^′_k ∈ Zp^α, da (7) velja. šelimo pa, da je ta x^′_k ∈ Z^∗∗p^α. Zaradi (8) mora biti torej x^′_k ≡ x^′′_k (mod p). V Zp^α so vsi razen elementov 0, p, p², . . . , p^α−1 enote. Na² x^′_k lahko zapi²emo kot x^′′_k +l ·p in ker je x^′′_k izjemna enota v Zp, je torej x^′′_k ∈ {2,3, . . . , p−1}. Iz zapisa v vsoti in moºnih vrednosti

²tevila x^′_k opazimo, da to nikoli ne more biti eden od elementov0, p, . . . , p^α−1. Torej je x^′_k enota v Zp^α. Enak premislek uporabimo ²e, da je izjemna enota v Zp^α. Spet opazimo, da 1−x^′_k = 1−x^′′_k+l^′ ·p ne more biti noben od prej na²tetih elemen- tov. Torej je x^′_k ∈ Z^∗∗p^α. ƒe povzamemo torej za vsak (x^′₁, x^′₂, . . . , x^′_k−1)∈T obstaja x^′_k ∈Z^∗∗p^α, da velja (7), to pa pravzaprav pomeni φ_k(p^α, c)≥ |T|.

Skupaj smo tako res dobili

φ_k(p^α, c) =|T|=p^{(α−1)(k−1)}φ_k(p, c). □ Za dokaz glavnega izreka tega poglavja moramo sedaj izra£unati ²e φ_k(p, c). Dokaz izreka 3.11. Naj izraz e(x)v tem dokazu ozna£ujee^2πix. Spet lo£imo primer, ko je p = 2. Iz opombe 3.6 vemo, da izjemnih enot ni in je zato φ_k(p, c) = 0. Nadaljujemo dokaz za vsa pra²tevila p̸= 2. Po deniciji je

φk(p, c) =|{(x1, x2, . . . , xk)∈(Z^∗∗n)^k:x1+x2+· · ·+xk ≡c (mod p)}|.

Izjemne enote v Zp so ravno vsa ²tevila 2,3, . . . , p−1. Zato enostavno naredimo vsoto po vseh moºnih k-tericah. Potrebno se je domisliti ²e £lena, ki nam bo ²tel pravilne vsote. Izkaºe se, da spodnje ravno pre²teje ºeleno:

=

p−1

∑︂

x1=2 p−1

∑︂

x2=2

· · ·

p−1

∑︂

xk=2

1 p ·

p−1

∑︂

t=0

e

(︃(x₁+x₂+· · ·+x_k−c)t p

)︃

.

Premislimo, da je to res v redu. Ko bo vsota x1 +x2 +· · ·+xk enaka cmodulo p, bo argument celo ²tevilo, saj p deli (x₁+x₂ +· · ·+x_k−c). Za celo ²tevilo xpa je e(x) = e^2πix = 1. Torej dobimo vsoto p enic, ki jo nato ²e delimo s p. Ko pa vsota ne bo enaka c modulo p, pa dobimo vsoto vseh p-tih kompleksnih korenov enote, ki se ravno se²tejejo v 0. Res vemo, da je ω^p = 1, kjer je ω = e^2πixp . Hkrati pa je 1 +ω+· · ·+ω^p−1 = ^ω_ω−1^p−1 = 0. Naprej uporabimo denicijo e(x) in dejstvo, da je e(x+y) = e(x)e(y). Nato ²e menjamo vrstni red vsot in ker so to kon£ne vsote, s tem ni teºav:

= 1 p

p−1

∑︂

t=0

(︄_p−1

∑︂

x1=2

e (︃x₁t

p )︃)︄

· · · (︄_p−1

∑︂

xk=2

e (︃x_kt

p )︃)︄

e (︃−ct

p )︃

.

Opazimo, da imamo k enakih kon£nih vsot, kjer se razen v primeru t = 0 vsaka se²teje v −1−e(︂

t p

)︂, kjer smo spet uporabili dejstvo, da je vsota vseh p-tih kom- pleksnih korenov enote enaka ni£. ƒlen pri t= 0, ki je enak (p−2)^k, pa damo ven iz vsote in dobimo

= 1 p

(︄_p−1

∑︂

t=1

(︃

−1−e (︃t

p )︃)︃k

e (︃−ct

p )︃

+ (p−2)^k )︄

.

Sedaj uporabimo binomski izrek, kar nam da

= 1 p

(︄

(−1)^k

k

∑︂

j=0

(︃k j

)︃^p−1

∑︂

t=1

e

(︃t(j−c) p

)︃

+ (p−2)^k )︄

.

Nadalje iz vrste izpostavimo (−1)^k in vsoto razbijemo na dve vsoti:

= (−1)^k p

⎛

⎜

⎜

⎝

k

∑︂

j=0 j≡c (modp)

(︃k j

)︃

(p−1)−

⎛

⎜

⎜

⎝

k

∑︂

j=0 j̸≡c (modp)

(︃k j

)︃

⎞

⎟

⎟

⎠

+ (2−p)^k

⎞

⎟

⎟

⎠ .

Poglejmo, kaj nam dajo vsote v oklepajih. ƒe prvo vsoto mnoºimo s p−1, dobimo naslednje vsote:

⎛

⎜

⎜

⎝ p

k

∑︂

j=0 j≡c (modp)

(︃k j

)︃

−

k

∑︂

j=0 j≡c (modp)

(︃k j

)︃

−

k

∑︂

j=0 j̸≡c (modp)

(︃k j

)︃

+ (2−p)^k

⎞

⎟

⎟

⎠ .

Opazimo, da lahko drugi dve vsoti nazaj zdruºimo:

⎛

⎜

⎜

⎝ p

k

∑︂

j=0 j≡c (modp)

(︃k j

)︃

−

k

∑︂

j=0

(︃k j

)︃

+ (2−p)^k

⎞

⎟

⎟

⎠ .

Po binomskem izreku se²tejemo vsoto v(1+1)^k= 2^kin tako dobimo kon£en rezultat:

= (−1)^k p

⎛

⎜

⎜

⎝ p

k

∑︂

j=0 j≡c (modp)

(︃k j

)︃

+ (2−p)^k−2^k

⎞

⎟

⎟

⎠ .

Skupaj z lemama 3.14 in 3.15 sledi ºelena formula:

φ_k(n, c) = ∏︂

p^α|n p^α+1in∤n

(−1)^kp^αk−α−k

⎛

⎜

⎜

⎝ p

k

∑︂

j=0 j≡c (modp)

(︃k j

)︃

+ (2−p)^k−2^k

⎞

⎟

⎟

⎠

. □

4. Izjemne enote v splo²nem komutativnem kon£nem kolobarju z enico

V tem razdelku ºelimo posplo²iti formule iz prej²njega razdelka na poljubne kon£ne komutativne kolobarje z enico. ƒeprav formule izgledajo nekoliko bolj zapleteno, pa v dokazovanju postopamo z enakimi idejami. Naj bo torejR v tem poglavju kon£en komutativen kolobar z enico. Preden za£nemo s posplo²evanjem formul, si poglejmo naslednjo denicijo.

Denicija 4.1. Lokalni kolobar je kolobar z natanko enim maksimalnim idealom.

Spomnimo se, da je ideal I maksimalen v kolobarju R, £e I ̸= R in ne obstaja tak ideal J, da bi veljalo I ⊊ J ⊊ R. Maksimalni ideali ne vsebujejo enot in zato tudi enice, saj je edini ideal, ki vsebuje enoto, kar ves kolobar R. Tako lahko v lokalnih kolobarjih dobimo vse enote kot R\M, kjer je M edini maksimalen ideal.

Premislimo, da so res vsi elementix∈R\M enote. Ker je0∈M, jex̸= 0. Denimo, da ideal generiran z x ni cel R. Tedaj mora biti (x) ⊆M, kar pa ne more biti res.

Torej je (x) = R in zato obstaja y ∈ R, da je xy = 1, kar z drugimi besedami pomeni, da je xenota. Spomnimo se ²e, da je kvocientni kolobar R/I polje natanko tedaj, ko jeI maksimalen ideal. ƒe je torejRlokalni kolobar z edinim maksimalnim idealom M, je R/M polje. Za poljuben ideal J lokalnega kolobarja R, pa je R/J spet lokalni kolobar z maksimalnim idealom M/J.

Opomba 4.2. Vsa polja R so lokalni kolobarji, saj so to enostavni kolobarji, tj.

njihovi edini ideali so {0} in cel R. Edini maksimalni ideali polj so torej {0}. Poglejmo si nekaj primerov na kolobarjih ostankov.

Zgled 4.3. O£itno so vsi Zp (pje pra²tevilo) lokalni kolobarji, saj so polja. Kolobar Zpⁿ ima n+ 1 idealov

Zpⁿ, pZpⁿ, p²Zpⁿ, p³Zpⁿ, . . . , pⁿ⁻¹Zpⁿ, pⁿZpⁿ ={0},

vendar velja Z^pn ⊃ pZ^pn ⊃ p²Z^pn ⊃ p³Z^pn ⊃ · · · ⊃ pⁿ⁻¹Z^pn ⊃ pⁿZ^pn. Torej ima le en maksimalen ideal pZ^pn in je torej lokalen kolobar.

Kaj pa Z^pnqm, kjer sta p inq razli£ni pra²tevili ter n in m naravni ²tevili? Ideali kolobarja Z12 so

Z¹²,2Z¹²,3Z¹²,4Z¹²,6Z¹²,12Z¹² ={0}.

Od teh sta maksimalna2Z12 ={0,2,4,6,8,10}in3Z12={0,3,6,9}. Vidimo, daZ12

ni lokalen kolobar. Splo²neje sta maksimalna ideala kolobarja Zpⁿq^m ravno pZpⁿq^m

in qZpⁿq^m in tako to niso lokalni kolobarji. ♢

Sledi ²e primer lokalnega kolobarja, ki ni Zⁿ.

Zgled 4.4. Naj bo R =Z2[x]/(x²) ={ax+b :a, b∈Z2}. Njegov edini pravi ideal (torej netrivialen in ne cel R) je (x) = {0, x}. Res, saj je ideal generiran z 1 ali z 1 +x, ºe cel kolobar. Ideal generiran z 1 +x mora vsebovati x, saj je(1 +x)x=x, ker vsebujex, pa mora vsebovati tudi enico ((1 +x) +x= 1). Torej je (x)res edini netrivialen ideal in zato tudi njegov edini maksimalen ideal. ♢

Sedaj pa si poglejmo izrek, ki ga bomo potrebovali za posplo²itev formul.

Izrek 4.5. Vsak kon£en kolobar je izomorfen direktni vsoti lokalnih kolobarjev.

Opomba 4.6. Izrek obstaja v splo²nej²i obliki za artinske kolobarje, torej kolobarje, ki nimajo neskon£ne padajo£e verige idealov, vendar ºe ta izrek zado²£a na²im po- trebam.

Pred dokazom izreka si poglejmo ²e pojem, ki ga bomo potrebovali v dokazu.

Denicija 4.7. Jacobsonov radikal kolobarja Rje presek vseh maksimalnih idealov tega kolobarja. Ozna£imo ga z J(R).

Opomba 4.8. V primeru, da jeR lokalen kolobar, je torej njegov edini maksimalni ideal kar enak njegovemu Jacobsonovemu radikalu.

Oglejmo si Jacobsonov radikal na naslednjem zgledu.

Zgled 4.9. Maksimalna ideala kolobarja Z12 sta 2Z12 ={0,2,4,6,8,10} in 3Z12= {0,3,6,9}. Jacobsonov radikal pa je torejJ(Z12) = 2Z12∩3Z12 = 6Z12.

Splo²neje sta maksimalna ideala kolobarja Z^pnqm ravno pZ^pnqm inqZ^pnqm, Jacob-

sonov radikal pa J(Z^pnqm) = pqZ^pnqm. ♢

Lema 4.10. Jacobsonov radikal lahko zapi²emo kot

J(R) ={x∈R: 1−xy je enota za vsak y∈R}.

Dokaz. Naj boxelement iz Jacobsovega radikala J(R). Torej je vsebovan v vsakem maksimalnem idealuM kolobarjaR. Ker jeM+xR⊆M, sledi1∈/ M+xRin zato 1−xy /∈M za vsak y ∈R in vsak maksimalen ideal M. Obratno, £e 1∈/ M +xR za vsak maksimalen ideal M, potem x leºi v vseh maksimalnih idealih, saj je sicer M ⊊M +xR ⊊R, kar pa je v nasprotju z maksimalnostjo M. Ker je x v vsakem maksimalnem idealu, je po deniciji v J(R). Torej je x iz J(R) natanko tedaj, ko 1−xy /∈ M za noben maksimalen ideal M. Ker lahko vsak ideal generiran z neobrnljivim elementom raz²irimo do maksimalnega ideala sledi, da mora biti1−xy

enota. □

Lema 4.11. V kon£nih kolobarjih je Jacobsonov radikal nilpotenten.

Opomba 4.12. Splo²neje je Jacobsonov radikal vsakega artinskega kolobarja nil- potenten.

Dokaz. Ker je R kon£en kolobar, se padajo£a veriga idealov J(R) ⊇ J(R)² ⊇ · · · nekje ustali. Torej obstaja n, da je J(R)ⁿ=J(R)ⁿ⁺¹ =· · ·. Ozna£imo J(R)ⁿ =J. Vemo, da je J² =J. Pokazati ºelimo, da je J = 0. Pa recimo, da J ̸= 0. Ker je R

kon£en in J J neni£eln, obstaja minimalni levi ideal A ⊆ J, za katerega je J A ̸= 0 O£itno je J J ̸= 0 in £e je J najmanj²i tak, je A = J. V nasprotnem pa obstajajo manj²i ideali J ⊃ J₁ ⊃ J₂ ⊃ J₃ ⊃ · · ·. Zaradi kon£nosti kolobarja, se ta veriga ustali in tako dobimo ºeljen minimalni ideal A. Ker je J A ̸= 0 obstaja x iz A, za katerega jeJ x ̸= 0. Po deniciji ideala veljaJ x⊆A⊆J inJ(J x) =J²x=J x ̸= 0. Ker pa je A minimalen, je J x =A (sicer je A^′ = J x ⊂ A manj²i ideal za katerega je J A^′ ̸= 0) in torej obstaja y∈ J, da je yx=x oziroma x(1−y) = 0. Ampak ker je yiz J, je pravzaprav tudi iz J(R). Po prej²nji lemi mora biti torej1−y obrnljiv, kar pa pomeni, da je x= 0. Pri²li smo v nasprotje z izbiro x (J x ̸= 0). Torej je res

J = 0. □

Poglejmo si sedaj dve lemi in nato ²e dokaz izreka 4.5 iz [1, strani 3946].

Denicija 4.13. Ideala I in J kolobarja R sta si tuja, £e je I+J =R. Lema 4.14. Naj bodo I₁, . . . , I_n paroma tuji ideali kolobarja R. Tedaj je ⋂︁n

i=1I_j =

∏︁n i=1I_j.

Dokaz. Lemo je dovol dokazati za n = 2, saj preostanek sledi iz indukcije. Iz osnov algebre vemo, da sta I1I2 = {∑︁

ixiyi : xi ∈ I1, yi ∈ I2} in I1∩I2 = {r ∈ R : r ∈ I₁, r ∈ I₂} ideala v R. Ker sta I₁ in I₂ ideala, je prva implikacija I₁I₂ ⊆ I₁ ∩I₂ o£itna. Obratno, ker sta si ideala tuja, obstajata x∈ I₁ in y ∈I₂, da je 1 =x+y. Vzemimo sedaj r∈I₁∩I₂. Tedaj je

r =r·1 =rx+ry ∈I1I2. □

Lema 4.15. Naj bosta I in J tuja ideala in naj bom∈N. Tedaj sta tudi I^m in J^m tuja ideala.

Dokaz. Spet zado²£a pokazati lemo za m = 2. Po predpostavki obstaja x ∈ I in y∈J, da je 1 =x+y. Sedej dobimo

1 = 1·1 = (x+y)(x+y) =x²+y²+ 2xy.

ƒe je xy= 0, takoj sledi R =I²+J². ƒe paxy̸= 0, tedaj je

2(xy) = (1 + 1)xy= (2x+ 2y)xy= 2x²y+ 2xy² ∈I²+J². □ Dokaz izreka 4.5. Naj bodo P₁, . . . , P_n vsi maksimalni ideali kolobarja R. Jacobso- nov radikal je torej J(R) = ⋂︁n

i=1P_i. Zaradi njegove nilpotentnosti obstaja m₀, da velja J(R)^m0 ={0}. Sedaj deniramo homomorzem

Φ :R →R/P₁^m0 ⊕ · · · ⊕R/P_n^m0, Φ(r) = (r+P₁^m0, . . . , r+P_n^m0).

Ker so idealiP1, . . . , Pnmaksimalni, so si paroma tuji. Po lemi 4.15 pa so potem tudi ideali P_i^m0 inP_j^m0 paroma tuji. Zato je po posplo²enem kitajskem izreku o ostankih preslikava surjektivna [6, trditev 12.3.1], kar pomeni, da je Im(Φ) =R/P₁^m0⊕ · · · ⊕ R/P_n^m0. Po izreku o izomorzmu velja R/Ker(Φ) ∼= R/P₁^m0 ⊕ · · · ⊕R/P_n^m0 in ker je Ker(Φ) = ⋂︁n

i=1P_i^m0 = ∏︁n

i=1P_i^m0 = J(R)^mo = {0}, je R/Ker(Φ) ∼= R. Torej je R ∼=R/P₁^m0⊕· · ·⊕R/P_n^m0,R/P_i^m0 pa so res lokalni kolobarji z edinim maksimalnim

idealom P_i/P_i^m0. □

Sedaj lahkoRzapi²emo kotR =R₁⊕· · ·⊕R_n, kjer soR_ilokalni kolobarji, za vsak i = 1, . . . , n. Ozna£imo z M_i njihove edine maksimalne ideale in z m_i njihovo mo£.

Torej m_i =|M_i|. Potem jeR_i/M_i kvocientni kolobar z mo£joq_i (q_i =|R_i/M_i|). Ker je Mi maksimalen ideal, je torej Ri/Mi kon£no polje. Ta ima lahko karakteristiko

samo p, kjer je ppre²tevilo. Polje s karakteristikoppa je mo£ipⁿ, kjer jen naravno

²tevilo. Ugotovili smo torej, da je ²tevilo q_i potenca pra²tevila.

Zgled 4.16. Kolobar ostankov Z6 lahko zapi²emo kot Z2 ⊕Z3. Splo²neje lahko Zn

razpi²emo kot Z_p^k1

1 ⊕ · · · ⊕ Z_p^ki

i , kjer je n = p^k₁¹· · ·p^k_iⁱ pra²tevilski razcep n-ja. V primeru grup to vemo ºe po osnovnem izreku o kon£nih Abelovih grupah, tu pa smo

pokazali, da velja to tudi za kolobarje. ♢

Poglejmo si sedaj posplo²itve formul iz prej²njega poglavja.

4.1. ’tevilo izjemnih enot. Posplo²eno formulo za ²tevilo izjemnih enot v kon£- nem komutativnem kolobarju z enico sta leta 2019 izpeljala kitajska matematika Hu in Sha [5].

Trditev 4.17. Naj bo R kon£en komutativen kolobar z enico in naj bo R direktna vsota lokalnih kolobarjev R₁, . . . , R_n. Naj bodo M_i njihovi edini maksimalni ideali z mo£jo |M_i| = m_i in naj bo q_i = |R_i/M_i|. Tedaj ²tevilo njegovih izjemnih enot izra£unamo kot

|R^∗∗|=

n

∏︂

i=1

m_i(q_i−2).

Zgled 4.18. Oglejmo si izjemne enote kolobarja R = Z3[x, y]/(x², xy, y²) = {a+ bx+cy :a, b, c∈Z³}. Ker so ideali, ki kot generator vsebujejo konstanto, celR, nam preostane gledati ideale generirane z x in y. Tako vidimo, da je edini maksimalni ideal (x, y) = {ax +by : a, b ∈ Z³} (ideal generiran s tema dvema elementoma), torej je R ºe sam lokalni kolobar. Dobili smo torej

|R|= 3³ = 27, n= 1,m₁ =|(x, y)|= 3² = 9 inq₁ =|R/(x, y)|=|R|:|(x, y)|= 3.

Od tod izra£unamo

|R^∗∗|= 9(3−2) = 9.

R ima torej devet izjemnih enot in to so

R^∗∗={2,2 +x,2 + 2x,2 +y,2 + 2y,2 +x+y,2 + 2x+ 2y,2 + 2x+y,2 +x+ 2y}.

Izjemne enote zgoraj so dobljene z elementarnimi mnoºenji. Najprej poi²£emo vse enote, nato pa za vsako izmed njih preverimo, ali je to morda tudi izjemna enota.

Ker je postopek dolgotrajen ampak enostaven, ga zgoraj izpu²£am. ♢ Za dokaz trditve bomo postopali enako kot pri dokazovanju ²tevila izjemnih enot v kolobarjih ostankov. Najprej bomo torej dokazali formulo za ²tevilo predstavitev elementa kot vsote k enot iz [7].

4.1.1. ’tevilo predstavitev elementov kot vsote k enot. V tem podrazdelku se bomo posvetili pomoºni trditvi o ²tevilu predstavitev elementov kot vsote k enot, ki jo potrebujemo za dokaz trditve o ²tevilu vseh izjemnih enot.

Trditev 4.19. Naj φ^∗_k(R, c) predstavlja ²tevilo vseh predstavitev elementa c iz R kot vsote k enot in naj bo R ∼= R₁ ⊕ · · · ⊕R_n dekompozicija kolobarja na lokalne kolobarje. Naj bodo M_i njihovi edini maksimalni ideali z mo£jo |M_i|=m_i in naj bo q_i =|R_i/M_i|. Tedaj je

φ^∗_k(R, c) =

n

∏︂

i=1

m^k−1_i q⁻¹_i µ_k(R_i, c_i),