UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOˇ SKA FAKULTETA
Studijski program: Dvopredmetni uˇˇ citelj
Rozalija Greˇsak
Mentor: izr. prof. dr. Marko Slapar
Konstrukcija realnih ˇ stevil DIPLOMSKO DELO
Ljubljana, 2013
Povzetek
V diplomskem delu sta opisani dve standardni vpeljavi realnih ˇstevil, to je vpe- ljava s pomoˇcjo Dedekindovih rezov in vpeljava z metriˇcno napolnitvijo racionalnih ˇstevil. ˇZe racionalna ˇstevila so linearno urejen komutativen obseg, zato najprej naˇstejemo aksiome v linearno urejenem komutativnem obsegu. Nato si ogledamo Dedekindov aksiom, ki velja le za realna ˇstevila in tako loˇci med realnimi in ra- cionalnimi ˇstevili. V diplomskem delu je dokazanih nekaj teh aksiomov. Poleg tega pa dokaˇzemo ˇse izrek o enoliˇcnosti realnih ˇstevil, ki pove, da je mnoˇzica, ki zadosti aksiomom za linearno urejen komutativni obseg, do izomorfizma natanˇcno ena sama.
Ker sta ti dve vpeljavi precej zapleteni, si na koncu ogledamo ˇse naˇcin, kako razloˇziti vpeljavo realnih ˇstevil dijakom v srednjih ˇsolah.
Kljuˇcne besede: realna ˇstevila, vpeljava realnih ˇstevil, Dedekindovi rezi, me- triˇcna napolnitev racionalnih ˇstevil, linearno urejen komutativni obseg, izrek o enoliˇcnosti realnih ˇstevil, aksiomi v linearno urejenem komutativnem obsegu
Abstract
In this thesis, there are described two standard constructions of the real numbers, these are the construction of real numbers via Dedekind cuts and the construction with metric fill of the rational numbers. Rational numbers are already a linearly ordered commutative field, so we first list the axioms of a linearly ordered commu- tative field. Then we take a look to the Dedekind’s axiom, which only applies to real numbers and distinguishes between real and rational numbers. In thesis, there are proven some of these axioms. Beside that we prove the uniqueness theorem, which says that the set that satisfies axioms in linearly ordered commutative field, is unique up to isomorphism.
Because these two constructions are quite complicated, we end thesis with method, how to explain construction of the real numbers to the secondary school students.
Keywords: real numbers, construction of the real numbers, Dedekind cuts, metric fill of the rational numbers, linearly ordered commutative field, the uniqueness theorem, axioms in linearly ordered commutative field
Kazalo
Poglavje 1. Uvod 1
Poglavje 2. Linearno urejen komutativni obseg 4
2.1. Aksiomi v linearno urejenem komutativnem obsegu 4
2.2. Izrek o enoliˇcnosti realnih ˇstevil 7
Poglavje 3. Vpeljava realnih ˇstevil s pomoˇcjo Dedekindovih rezov 9
3.1. Operacije v mnoˇzici rezov 10
3.2. Vloˇzitev racionalnih ˇstevil v mnoˇzico rezov 12
3.3. Aksiomi v mnoˇzici rezov 13
Poglavje 4. Vpeljava realnih ˇstevil z metriˇcno napolnitvijo racionalnih ˇstevil 17 4.1. Operacije v kvocientni mnoˇzici Q-Cauchyjevih zaporedij 18 4.2. Vloˇzitev racionalnih ˇstevil v kvocientno mnoˇzico Q-Cauchyjevih
zaporedij 19
4.3. Aksiomi v mnoˇzici Q-Cauchyjevih zaporedij 20 Poglavje 5. Kako vpeljavo realnih ˇstevil razloˇziti srednjeˇsolcem? 22
Literatura 24
POGLAVJE 1
Uvod
Racionalna ˇstevila lahko vpeljemo preprosto – definiramo jih kot kvocientno mnoˇzico parov celih ˇstevil (a, b), kjer b 6= 0 (to so ulomki), pri ˇcemer dva ulomka (a, b) in (c, d) predstavljata isto racionalno ˇstevilo, ˇce je ad = bc. Realnih ˇstevil pa ne moremo vpeljati tako preprosto. Obstajata dve standardni vpeljavi realnih ˇstevil: prek Dedekindovih rezov in kot metriˇcna napolnitev racionalnih ˇstevil. V svojem diplomskem delu bom raziskala in predstavila ta dva naˇcina.
Preden zaˇcnemo z vpeljavo, pa pojasnimo, zakaj sploh vpeljemo realna ˇstevila.
Oglejmo si ˇstevilsko premico. Na njej lahko oznaˇcimo vsako celo ˇstevilo, s prepro- sto geometrijsko konstrukcijo pa lahko na njej upodobimo tudi vsako racionalno ˇstevilo.
Slika 1. Upodobitev celih ˇstevil
Slika 2. Upodobitev racionalnih ˇstevil
Kmalu pa ugotovimo, da na ˇstevilski premici obstajajo ˇstevila, ki niso niti cela niti racionalna. Tako ˇstevilo je na primer √
2, ki ga dobimo kot dolˇzino diagonale v kvadratu s stranico 1.
Slika 3. ˇStevilo √
2 na ˇstevilski premici
Zakaj √
2 ni racionalno ˇstevilo?
Pokaˇzimo to s protislovjem. ˇCe bi √
2 bilo racionalno ˇstevilo, bi ga lahko zapisali kot ulomek ab, kjer b 6= 0 in sta a inb tuji ˇstevili. Torej
√ 2 = a
b 2 = a2
b2 a2 = 2b2.
Torej je a sodo ˇstevilo, saj je njegov kvadrat deljiv z 2. Zato lahko piˇsemo tudi a= 2k.Sledi
(2k)2 = 2b2 4k2 = 2b2.
Zdaj izrazimo b2 in dobimo b2 = 2k2, torej je tudi b sodo ˇstevilo. Priˇsli smo v protislovje s predpostavko, da je ulomek ab okrajˇsan. Torej res velja, da √
2 ni racionalno ˇstevilo. ([5])
Na podoben problem manjkajoˇcih ˇstevil naletimo tudi pri iskanju natanˇcne zgornje meje mnoˇzice. ˇSe prej pa pojasnimo, kaj je to.
Definicija 1.1. Ce obstaja natanˇˇ cna zgornja meja ali supremum sup(A) neke mnoˇzice A ⊂ Q, je to ˇstevilo a, za katero velja, da je x ≤ a za vsak x ∈ A in za vsak b < a obstaja x∈A, da je x > b.
Ce jeˇ Ana primer mnoˇzica vseh nepozitivnih racionalnih ˇstevil, potem je njena natanˇcna zgornja meja 0. V tem primeru je zgornja meja element mnoˇzice raci- onalnih ˇstevil. Lahko pa se zgodi, da natanˇcna zgornja meja mnoˇzice, ki vsebuje samo racionalna ˇstevila, ne obstaja znotraj mnoˇzice racionalnih ˇstevil. Poiˇsˇcimo na primer natanˇcno zgornjo mejo mnoˇzice vseh pozitivnih racionalnih ˇstevil, za katera velja, da je njihov kvadrat manjˇsi od 2, torej
A={x∈Q;x >0, x2 <2}.
Pokaˇzimo, da je natanˇcna zgornja meja teh ˇstevil√
2, ki pa ga v racionalnih ˇstevilih ni.
i) Mnoˇzica A je neprazna, saj vsebuje vsaj 1 (12 = 1<2).
ii) Mnoˇzica A ima zagotovo zgornjo mejo, saj hitro najdemo tak x, za katerega zgornji pogoj ne drˇzi. To je na primerx= 2,sajx2 = 4 6<2.Ena izmed zgornjih mej je torej 2, vendar ni nujno natanˇcna.
iii) Vsako pozitivno ˇstevilo a, za katero je a2 > 2, je zgornja meja mnoˇzice A. Ceˇ vzamemo x∈ A, je x2 <2< a2, torej x < a. Obenem pa velja tudi, da nobeno pozitivno ˇstevilo a, za katero je a2 < 2, ne more biti zgornja meja za A. Da bomo to pokazali, vzemimo a2 <2 in
q= 2a+ 2
a+ 2 =a+2−a2 a+ 2 > a.
Potem je
q2−2 = 4a2 + 8a+ 4 a2+ 4a+ 4 −2
= 4a2+ 8a+ 4−2a2 −8a−8 a2+ 4a+ 4
= 2a2−4 a2+ 4a+ 4
= 2(a2−2) (a+ 2)2
<0,
saj je 2(a2−2) <0. Torej q2−2 < 0 in q2 < 2, zato q ∈ A. Ker pa je q > a, potem a ni zgornja meja.
Ce torej natanˇˇ cna zgornja mejaM obstaja, potem mora zanjo veljati (supA)2 =M2 = 2.
Ce bi ˇˇ ze poznali realna ˇstevila, bi veljalo M = √
2. ˇZe zgoraj pa smo pokazali, da √
2 ni racionalno ˇstevilo. Torej mnoˇzica A nima natanˇcne zgornje meje, ˇce se omejimo samo na racionalna ˇstevila.
Vidimo, da z vpeljavo racionalnih ˇstevil nismo zajeli vseh ˇstevil. Da bo mate- matiˇcna analiza uporabna v fiziki, geometriji in drugod, vpeljemo realna ˇstevila, s katerimi bomo zajeli vsa ˇstevila, ki se pojavijo na ˇstevilski premici. ([2])
POGLAVJE 2
Linearno urejen komutativni obseg
2.1. Aksiomi v linearno urejenem komutativnem obsegu
Za ˇstevila (razliˇcno definirana) veljajo doloˇcene lastnosti. Glede na to, katere lastnosti oziroma aksiomi veljajo za neko mnoˇzico ˇstevil, ima ta mnoˇzica razliˇcna poimenovanja. Spodaj so naˇsteti aksiomi, ki morajo veljati za realna ˇstevila.
• Aksiomi za seˇstevanje
A1. komutativnost seˇstevanja (a+b =b+a)
A2. asociativnost seˇstevanja ((a+b) +c=a+ (b+c)) A3. nevtralni element za seˇstevanje (a+ 0 =a)
A4. obratni element za seˇstevanje (a+ (−a) = 0)
• Aksiomi za mnoˇzenje
A5. komutativnost mnoˇzenja (a·b=b·a)
A6. asociativnost mnoˇzenja ((a·b)·c=a·(b·c)) A7. enota za mnoˇzenje (a·1 =a)
A8. inverzni element za mnoˇzenje (a· 1a = 1, a6= 0)
• Povezava med seˇstevanjem in mnoˇzenjem A9. 06= 1
A10. distributivnost ((a+b)·c=a·c+b·c))
Ce za neko mnoˇˇ zico veljajo aksiomi A1 do A4, potem to mnoˇzico imenujemo komutativna grupa za seˇstevanje. Ce poleg teh veljajo ˇse aksiomi A5 do A10,ˇ takrat pa mnoˇzico imenujemo komutativni obseg ali polje. Vsi ti aksiomi veljajo za racionalna ˇstevila, torej so racionalna ˇstevila (in tudi realna) polje.
• Aksiomi urejenosti
A11. antisimetriˇcnost (ˇce a≤b in b≤a, potem a=b) A12. tranzitivnost (ˇcea ≤b inb ≤c⇒a≤c)
A13. stroga sovisnost (za ∀a, bveljaa ≤b alib ≤a)
• Povezava med urejenostjo ter seˇstevanjem in mnoˇzenjem A14. ˇce a≤b, je a+c≤b+c za∀c≥0
A15. ˇce a≤b, je a·c≤b·c za∀c≥0
ˇStevila v mnoˇzici, kjer veljajo aksiomi urejenosti, si lahko predstavljamo urejena v vrsto. Ce za neko mnoˇˇ zico veljajo vsi zgoraj naˇsteti aksiomi, jo imenujemo linearno urejen komutativni obseg ali polje. Racionalna ˇstevila (in kmalu bomo ugotovili, da tudi realna) so linearno urejen komutativni obseg. ([5])
Izkaˇze se, da je vsaka mnoˇzica, v kateri veljajo aksiomi od A1 do A15, izomorfna
mnoˇzici racionalnih ˇstevil Q, torej je mnoˇzica racionalnih ˇstevil do izomorfizma natanˇcno ena sama. Oglejmo si formalnejˇso trditev in dokaz tega dejstva.
Trditev 2.1. Naj bo K linearno urejeno polje (torej zanj veljajo aksiomi od A1 do A15). Potem K vsebuje obseg Q(K), ki je izomorfen obsegu Q. Q(K) je najmanjˇsi podobseg v K, tj. za vsak podobseg v K velja, da vsebuje Q(K).
Dokaz. Q(K) = {p·1q·1K
K;p, q ∈ Z, q 6= 0}, kjer je 1K enota za mnoˇzenje v K. Pokaˇzimo, da je Q(K) izomorfen Q. Najti moramo homomorfizem f, ki je bijektiven in slika iz prve mnoˇzice v drugo.
f :Q→Q(K) definiramo kot f(pq) = p·1q·1K
K. f je homomorfizem, saj velja f(p1
q1 +p2 q2) =
=f(p1q2+p2q1
q1q2 )
= (p1q2+p2q1)·1K (q1q2)·1K
= (p1 q1
+p2 q2
)·1K
= p1
q1 ·1K+p2 q2 ·1K
=f(p1
q1) +f(p2 q2)
in podobno lahko pokaˇzemo tudi za operacijo mnoˇzenja.
Pokaˇzimo zdaj, da je f injektivna.
f(p
q) = f(p0
q0)⇔ p·1K q·1K
= p0·1K q0·1K
⇒pq0 ·1K =p0q·1K ⇔(pq0−p0q)·1K = 0.
Ker jeK linearno urejeno polje, je 1K >0K in zato 1K+ 1K >1K >0K. . . n·1K >
0K za vsakn ∈N.Zato je
(pq0−p0q)·1K = 0⇔pq0−p0q= 0 ⇔pq0 =p0q⇔ p q = p0
q0.
Torej je f injektivna. Preslikava f je tudi surjektivna, saj za y ∈ Q(K) vedno obstaja tak x∈Qda je f(x) = y.
Ker smo med mnoˇzicamaQinQ(K) naˇsli izomorfizem, je torej mnoˇzica racionalnih ˇstevil do izomorfizma natanˇcno ena sama. Vsak podobseg L v K je avtomatiˇcno
linearno urejen, zato bo Q(K) vsebovan v L.
Mnoˇzice, ki v zgornji trditvi ustrezajo slikam N in Z, oznaˇcimo z N(K) in Z(K). Velja N(K)⊂Z(K)⊂Q(K).
Nobeden od zgoraj naˇstetih aksiomov ne loˇci racionalnih ˇstevil od realnih, saj vsi veljajo tako za prva kot za druga ˇstevila. Obstajati mora torej kakˇsna lastnost, ki velja samo za realna ˇstevila, za racionalna pa ne.
Da nekaterih ˇstevil v racionalnih ˇstevilih nismo zajeli, smo ugotovili tudi s pomoˇcjo iskanja natanˇcnih zgornjih mej. Dedekindov aksiom se navezuje na ta problem, dopolni obstojeˇci seznam aksiomov in velja za realna ˇstevila, za racionalna pa ne.
S pomoˇcjo tega aksioma lahko definiramo sistem ˇstevil, ki napolni celo ˇstevilsko os. Dedekindov aksiom zato lahko imenujemo tudi aksiom polnosti. Ker za zdaj ˇse nismo definirali mnoˇzice realnih ˇstevil, bomo tej mnoˇzici rekli kar kolobar K.
A16 (Dedekindov aksiom): Vsaka neprazna navzgor omejena mnoˇzica v kolo- barju K ima natanˇcno zgornjo mejo.
Preden pa nadaljujemo, si oglejmo ˇse nekaj definicij in trditev, ki podprejo dejstvo, da je Dedekindov aksiom dovolj za vpeljavo realnih ˇstevil.
Trditev 2.2. Ce linearno urejeno poljeˇ K zadoˇsˇca A16, je N(K) neomejena v K.
Dokaz. Recimo, da je N(K) omejena. Potem obstaja natanˇcna zgornja meja zaN(K).Oznaˇcimo jo za.Potem za vsakn ∈Nveljan·1K ≤a.Ker jeanatanˇcna zgornja meja, mora veljati, da ˇce jo malo zmanjˇsamo, to ne bo veˇc zgornja meja.
Torej obstaja tak m·1K, m∈K, da veljam·1K > a−1 in zato (m+ 1)·1K > a.
Se pravi, da smo naˇsli ˇstevilo iz N(K), ki je veˇcje a, kar pa je v protislovju s predpostavko, da je a natanˇcna zgornja meja. Torej je N(K) res neomejena v
K.
Trditev 2.3. Ceˇ K zadoˇsˇca A16, za vsak a >0∈K obstaja n∈N, da velja 1
n ·1k< a.
Dokaz. Ce to ne velja, jeˇ n·1K < 1a za vsakn, kar pa je v nasprotju z zgornjo
trditvijo, ki pravi, da N(K) ni omejena.
Trditev 2.4. Za vsak a < b∈K obstaja r ∈Q(K), da velja a < r < b.
Dokaz. Naj bontak, da je n1·1K < b−a,in naj bop∈Ntak, da je np·1K > a, medtem ko je p−1n ·1K ≤a.Tak pobstaja, saj bi drugaˇce veljalo p·(1n·1K)< aza vsak p∈N,kar pa je v nasprotju s trditvijo 2. Torej smo naˇslir = np ·1K in velja
a < r < b.
Definicija 2.5 (Arhimedska lastnost). Linearno urejen obsegK je Arhimed- ski, ˇce za vsaka a < b∈K obstaja r∈Q(K), da jea < r < b.
Opomba2.6. Ce v neki mnoˇˇ zici veljajo aksiomi od A1 do A16, je to Arhimedski linearno urejen obseg.
2.2. Izrek o enoliˇcnosti realnih ˇstevil Podajmo najprej definicijo za mnoˇzico realnih ˇstevil.
Definicija 2.7. Realna ˇstevila R so do izomorfizma natanˇcno unikatno line- arno urejeno polje, ki zadosti tudi Dedekindovemu aksiomu. ([7])
Izrek 2.8. Ce obsegaˇ K in L oba zadoˇsˇcata aksiomom od A1 do A16, sta K in L (urejenostno) izomorfna.
Dokaz. Zopet moramo poiskati izomorfizemf,ki slika iz ene mnoˇzice v drugo.
f :K →L lahko najprej definiramo na Q(K) kot f(p
q ·1K) = p q ·1L.
Podobno kot zgoraj, lahko hitro pokaˇzemo, da je f izomorfizem med Q(K) in Q(L).
Zaa ∈K zdaj definiramo
f(a) := sup{f(r), r∈Q(K), r≤a}.
Mnoˇzica, v kateri iˇsˇcemo supremum, je torej navzgor omejena in ima neko zgornjo mejo.
Pokaˇzimo najprej, da je f homomorfizem.
Najprej moramo pokazati, da velja f(a+b) = f(a) +f(b). Ce jeˇ t ∈ {f(r), r ∈ Q(K), r≤a+b}, potem je t=f(s) za neki s < a+b.Zaradi arhimedske lastnosti obstaja nekis1 ∈K med a ina+ (s−a−b), definirajmo pa ˇse s2 =s−s1. Torej smo naˇsli s =s1 +s2, kjer je s1 < a in s2 < b. Torej je t = f(s) = f(s1) +f(s2).
To je oˇcitno manj kot f(a) + f(b), saj f(a) > f(s1) in f(b) > f(s2). Torej f(a) +f(b)≥f(a+b).
Ce jeˇ f(a) +f(b)> f(a+b),potem obstajac∈L,da jef(a) +f(b)> c > f(a+b).
Obstajata tudic1, c2 ∈L,tako daf(a)> c1,f(b)> c2 inc=c1+c2.Potem obstaja racionalno ˇstevilo u < f(a) +f(b)−c in tako lahko nac1 gledamo kot na najviˇsji veˇckratnik ˇstevilau, ki je manjˇsi oda. Ampak potem jef−1(c1) +f−1(c2)< a+b, torej f(a +b) > f(f−1(c1) +f−1(c2)) = c1 +c2 = c. Priˇsli smo v protislovje s predpostavko, da je c > f(a+b). Torej velja f(a+b) =f(a) +f(b).
Da homomorfizem velja tudi za operacijo mnoˇzenja, torej f(a·b) = f(a)·f(b), pokaˇzemo na zelo podoben naˇcin kot pri seˇstevanju, le da + spremenimo v mnoˇzenje in – v deljenje.
Zdaj, ko smo pokazali, da je f homomorfizem, moramo pokazati ˇse, da je f bijek- cija.
Poglejmo najprej, ˇce obstaja inverz funkcije f. Definirajmo χ : L → K, ki ima predpis χ(a) = sup{f−1(q);q ∈ L, q < a}. Torej je χ(q) = f−1(q) za q ∈ L. Tako dobimo
f(χ(a)) = sup{f(r);r ∈K, r <sup{f−1(q);q∈L, q < a}}= sup(S).
Za vsako racionalno ˇstevilo r ∈ L;r < a obstaja r1 ∈L, da je r < r1 < a. Potem je f−1(r1) ∈ {f−1(q);q ∈ L, q < a}, torej r < sup{f−1(q);q ∈ L, q < a}, torej r ∈ S. Prav tako za vsako ˇstevilo r ∈ L, kjer r > a, najdemo r 6∈ S. Torej, ˇce je sup(S)< a, najdemo ˇstevilo q∈S, kjer je sup(S)< q < a, kjer je a zgornja meja za S. Torej vidimo, da je a = sup(S). Zaradi simetrije ugotovimo, da za a ∈ K veljaχ(f(a)) =a.
Ker smo naˇsli inverz, mora biti f bijektivna, torej je res izomorfizem in s tem je izrek dokazan. Dokaz izreka sem povzela po ([7])
POGLAVJE 3
Vpeljava realnih ˇ stevil s pomoˇ cjo Dedekindovih rezov
Izkaˇze se, da ˇstevila na ˇstevilski premici lahko definiramo kot tako imenovane Dedekindove reze. Kot bomo videli, lahko s tako definiranimi ˇstevili zadostimo vsem aksiomom in s tem dokaˇzemo obstoj realnih ˇstevil. Poglavje sem deloma povzela po ([4]) in ([2]), kjer pa je veˇcina trditev navedenih brez natanˇcnih doka- zov.
Definicija3.1. Dedekindov rez je mnoˇzica racionalnih ˇstevilA⊂Q, za katero velja:
(i) A6=∅ in A6=Q,
(ii) ˇcep∈A inq < p, potem je q∈A,
(iii) ˇcep∈ A, potem obstaja tudi nek r ∈A, da je p < r (A torej ne vsebuje najveˇcjega ˇstevila).
Primera rezov sta niˇcelni rez
0∗ :={r ∈Q;r <0}
inenotski rez
1∗ :={r∈Q;r <1}.
Opomba 3.2. Reze, ki so definirani kot a∗ = {r ∈ Q;r < a}, kjer je a ∈ Q, obiˇcajno zapisujemo z malo tiskano ˇcrko in zvezdico. Med rezi pa so tudi preostala manjkajoˇca ˇstevila, ki jih ne najdemo v racionalnih ˇstevilih. Oznaka za poljuben rez je velika tiskana ˇcrka.
Zdaj lahko realna ˇstevila definiramo s pomoˇcjo rezov.
Definicija3.3. Mnoˇzica realnih ˇstevilRje mnoˇzica vseh Dedekindovih rezov.
Ker so ˇstevila zdaj definirana nekoliko drugaˇce, se spremeni tudi naˇcin seˇstevanja, mnoˇzenja in relacija ≤. Definirati moramo take operacije, da bo veljalo
(Q,+,·,≤)⊂(R,⊕,,),
torej da bodo na nek naˇcin sovpadale z ˇze obstojeˇcimi v smislu linearno urejenih obsegov. Preveriti moramo tudi, ˇce velja Q⊂R.
3.1. Operacije v mnoˇzici rezov
Linearna urejenost. Tako kot pri racionalnih ˇstevilih tudi pri rezih velja, da za poljubna dva reza (oziroma pri racionalnih ˇstevilih za poljubni dve racionalni ˇstevili) A in B velja natanko ena izmed naslednjih relacij: A < B, A = B ali A > B.
Definicija 3.4. Naj bosta A in B dva reza. Za ta dva reza velja A B natanko tedaj, ko je A⊂B. ([4])
Pozitivni rez je rez A, za katerega velja A 0∗, pri ˇcemer je 0∗ niˇcelni rez, to je mnoˇzica vseh negativnih racionalnih ˇstevil.
Seˇstevanje. Vsoto dveh rezov definiramo preprosto kot vsoto mnoˇzic.
Definicija 3.5. Vsota rezov AinB, ki jo oznaˇcimo z A⊕B, je mnoˇzica vseh vsot racionalnih ˇstevil obliker+s, kjer je r∈A ins ∈B, torej
A⊕B ={r+s;r∈A, s∈B}.
Pri tem je ⊕ seˇstevanje dveh rezov, + pa ’obiˇcajno’ seˇstevanje, torej v bistvu seˇstevanje dveh racionalnih ˇstevil.
Mnoˇzenje. Oglejmo si najprej mnoˇzenje pozitivnih rezov.
Definicija 3.6. Naj bosta A inB pozitivna reza. Produkt AB je mnoˇzica takihp∈Q, da je p≤rsza neka r ∈A, s∈B, r >0, s >0.
Ker pa se ne sreˇcujemo le s pozitivnimi rezi, moramo definirati tudi mnoˇzenje rezov v sploˇsnem. ˇSe prej pa si oglejmo definicijo obratnega reza −A k rezu A:
−A:={p∈Q;p+q <0 za vsak q ∈A}.
Pri dokazih naslednjih nekaj trditev bomo sledili [1].
Trditev 3.7. Ce jeˇ A rez, je −A tudi rez.
Dokaz. Pokazati moramo, da za −A veljajo toˇcke (i)-(iii) iz definicije rezov.
Naj bo x ∈ Q tak, da x /∈ A, torej x > r za vsak r ∈ A. Potem je −x+r < 0 za vsak r∈ A in je zato −x∈ −A. Mnoˇzica −A torej ni prazna. Vzemimo sedaj poljuben r∈A. Neko racionalno ˇstevilo−r+q zagotovo ni v mnoˇzici −A, saj je r+ (−r+ 1) = 1>0. Torej A6=Q.S tem smo dokazali toˇcko (i). Vzemimo sedaj poljubens∈ −Aint < s. Ker jes+r <0 za vsakr ∈A,je tudit+r < s+r <0 za vsak r ∈ A in je zato t ∈ −A. To dokaˇze toˇcko (ii). Pokaˇzimo sedaj ˇse (iii).
Predpostavimo, da obstajas ∈ −A, tako das+x /∈ −Aza vsako strogo pozitivno racionalno ˇstevilo x. To pomeni, da obstaja r ∈ A, da je r+ (s+x)≥ 0 in zato (r+x) +s ≥0 za vsak pozitiven racionalen x. Ker je s ∈ −A, mora zato veljati, dar+x /∈A za vsak pozitiven racionalen x, kar privede do protislovja, saj toˇcka
(iii) velja za rez A.
Trditev 3.8. Ce jeˇ A rez, potem velja −(−A) =A.
Dokaz. Ker vemo, da je −A obratni rez reza A, velja (−A) + A = 0. Ceˇ namestoA piˇsemo −A, potem velja tudi−(−A) + (−A) = 0.
Imamo
A+ (−A) = 0 =−(−A) + (−A)
⇒A+ (−A) +A=−(−A) + (−A) +A
⇒A=−(−A).
Zakaj taka definicija za obratni element?
Poglejmo si na primer rez A = {r ∈ Q;r ≤ 2}. Obratni element tega reza je rez −A = {r ∈ Q;r ≤ −2} (podobno kot priˇcakujemo pri racionalnih ˇstevilih).
Vendar ˇce bi za −A vzeli kar mnoˇzico −{r ∈ Q;r ≤ 2}, (− v smislu mnoˇzic) bi dobili mnoˇzico {r ∈ Q : r ≥ −2}, ki pa niti ne zadoˇsˇca aksiomom reza. Zato je treba obratni element definirati nekoliko drugaˇce. Izkaˇze se, da nam ravno zgornja definicija da reˇsitev, ki smo jo ˇzeleli.
Slika 4. Rez –A
Zdaj si lahko ogledamo definicijo za mnoˇzenje poljubnih rezov.
Definicija 3.9. Mnoˇzenje poljubnih rezov A, B definiramo takole:
AB =
(−A)(−B), ˇce je A≺0∗ inB ≺0∗,
−((−A)B), ˇce je A≺0∗ inB 0∗,
−(A(−B)), ˇce je A0∗ inB ≺0∗ in A0∗ = 0∗A= 0∗.
Prepriˇcati se moramo, da so tako definirane operacije dobro definirane na mnoˇzici rezov. Predvsem moramo pokazati, da sta tako vsota kot produkt dveh rezov zopet rez.
Preverimo naprej operacijo seˇstevanja.
(i) Vzemimor0 ∈Ains0 ∈B. Potem jer0+s0 ∈A+B, torejA+B 6=∅. Pokazati moramo ˇse, daA+B 6=Q.Vzamemo nekit ∈Q, za katerega veljat 6∈Aint6∈B.
Torej je t zgornja meja za A inB. Zdaj veljar0+s0 ∈A+B < t+t6∈A+B.
Ker pa je t+t∈Q, to pomeni, daA+B 6=Q.
(ii) Vzemimo nek p∈A+B inq < p. Kerp∈A+B, veljap≤r+s;r ∈A, s∈B.
q=p+ (q−p) q=r+s+ (q−p)
q =r+ (s+ (q−p))∈A+B, sajr ∈A, s+ (q−p)∈B, ker q−p <0.
(iii) Vzemimo nekir+s∈A+B.Ker r∈A in jeA rez, obstaja nekir0 ∈A;r0 > r.
Obstaja tudi s0 ∈B; s0 > s. Tako r0+s0 ∈A+B in velja tudi r0+s0 > r+s.
Pokaˇzimo ˇse, da je mnoˇzica rezov zaprta tudi za mnoˇzenje. Iz definicije sledi, da je dovolj, da lastnosti (i)-(iii) preverimo za produkt dveh pozitivnih rezov. Naj bosta torej A, B 0∗.
(i) Ker sta A in B pozitivna reza, obstajata p > 0, q > 0, p ∈ A, q ∈ B, torej p·q >0 in zato 0∈A·B,torejA·B 6=∅.Pokaˇzimo ˇse, daA·B 6=Q.Obstajata neki a 6∈ A in b 6∈ B, torej a > p za vsak p ∈ A in b > q za vsak q ∈ B. Sledi a·b > p·q za vsak p ∈ A in vsak q ∈ B. Torej smo naˇsli a·b 6∈ A·B, zato A·B 6=Q.
(ii) Naj bo r ∈A·B, torej r < p·q za p∈A inq ∈ B. Ce je nekiˇ s < r, potem je s < p·q, torej je s∈A·B.
(iii) Vzemimo nek r·s ∈ A·B. Ker r ∈ A in je A rez, obstaja neki r0 ∈A; r0 > r.
Obstaja tudi s0 ∈B; s0 > s. Tako r0·s0 ∈A·B in velja tudi r0·s0 > r·s.
3.2. Vloˇzitev racionalnih ˇstevil v mnoˇzico rezov
Racionalna ˇstevila Q lahko preprosto razumemo kot podmnoˇzico rezov, tako da za vsak a∈Q definiramo rez
a∗ ={r ∈Q;r < a}.
Torej velja N⊂Z⊂Q⊂R.
Slika 5. Rez 1∗, obarvan rdeˇce
Poglejmo sedaj, da se operaciji seˇstevanja in mnoˇzenja naQ in na podmnoˇzici rezov, ki pripada racionalnim ˇstevilom, ujemata.
Trditev 3.10. (a+b)∗ =a∗⊕b∗ za a, b∈Q.
Dokaz. Naj bodo a∗ ={r ∈Q;r < a}, b∗ ={s ∈Q;s < b} ina∗⊕b∗ ={t ∈ Q;t < a+b}.
(⇒) : Dokazati ˇzelimo (a+b)∗ ⊂ a∗ ⊕b∗. Ker r+s ∈ Q, velja r+s < a+b, ˇce r < a in s < b. Torej je (a+b)∗ res podmnoˇzica a∗⊕b∗.
(⇐) : Dokazati ˇzelimo a∗ ⊕b∗ ⊂ (a+b)∗. Naj bo t ∈ Q, t < a+b. Pokazati moramo, dat lahko zapiˇsemo kot t=r+s; r∈Q, s∈Q inr < a, s < b.
s =r−δ
| {z }
<r
+ s−r
| {z }
<q(kers<r+q)
+δ
Kaj je δ? ˇCe za δ vzamemo δ= q−(s−r)2 , s tem niˇcesar ne pokvarimo.
Torej s lahko zapiˇsemo kot
s =r−q−(s−r) 2
| {z }
x
+s−r+q−(s−r) 2
| {z }
y
.
S tem smo dokazali, da veljaa∗⊕b∗ ⊂a∗+b∗. Podobno bi lahko dokazali
Trditev 3.11. (a·b)∗ =a∗b∗ za a, b∈Q.
Poglejmo ˇse, da se na Q in podmnoˇzici rezov, ki pripadaQ, ujemata operaciji urejenosti.
Trditev 3.12. a ≤b ⇔a∗ b∗ za a, b∈Q
Dokaz. Ce zaˇ a in b velja a 6≤ b, potem obstaja racionalno ˇstevilo p;p ∈ b∗, p6∈a∗.Rez a∗ po definiciji ne more vsebovati ˇstevil, veˇcjih od p, b∗ pa vsebuje vsa ˇstevila, manjˇsa od p. Torej jea∗ ⊂b∗, toreja∗ ≺b∗.([7]) Ker smo videli, da se operacije na Q in na pripadajoˇci podmnoˇzici rezov uje- majo, bomo od sedaj dalje namesto ⊕, in pisali kar +,· in≤.
3.3. Aksiomi v mnoˇzici rezov
Zdaj, ko smo definirali vse potrebne operacije na mnoˇzici rezov, moramo preve- riti, ˇce mnoˇzica s temi operacijami zadosti vsem aksiomom, ki veljajo za racionalna ˇstevila, in Dedekindovemu aksiomu. Kot bomo videli, marsikateri aksiom pri rezih velja zato, ker enaki aksiomi veljajo ˇze v racionalnih ˇstevilih.
Naj bostaA in B reza.
Aksiomi za seˇstevanje.
A1. komutativnost seˇstevanja: A+B ={r+s;r ∈ A, s ∈ B} = {s+r;s ∈ B, r ∈ A}=B+A.
A2. asociativnost seˇstevanja: (A+B) +C = {(r+s) +t;r ∈ A, s ∈ B, t ∈ C} = {r+ (s+t);r ∈A, s ∈B, t∈C}=A+ (B+C).
A3. nevtralni element za seˇstevanje: To je prej omenjeni rez 0∗, saj velja A+ 0∗ = {r+s;r∈A, s <0}={r;r ∈A}=A.
A4. obratni element za seˇstevanje: To je obratni rez −A, kar je oˇcitno iz definicije.
Aksiomi za mnoˇzenje.
Veljavnost aksiomov A5 in A6 pokaˇzemo podobno kot A1 in A2. Prav tako hitro vidimo, da je enota za mnoˇzenje ravno rez 1∗. Inverzni element za mnoˇzenje pa je definiran spodaj.
A8. inverzni element za mnoˇzenje: ˇCe je rez A pozitiven, potem je inverzni element 1
A ={q∈Q+;∃p > q : 1
p 6∈A} ∪ {q ∈Q;q≤0}.
Ce je A negativen, pa jeˇ A1 = −(−A1 ) in v tem primeru velja A·(A1) = (−A)· (−A1) = (−A·−A1 ) = 1∗. ([7])
Povezava med seˇstevanjem in mnoˇzenjem.
A9. 0 6= 1 : 0 in 1 ∈ Q. Ker ta neenakost velja v racionalnih ˇstevilih, oˇcitno velja tudi v realnih.
A10. distributivnost: Oglejmo si pozitivne reze A, B in C. V tem primeru je enakost A · (B +C) = A · B +A · C precej enostavno dokazati. Pokaˇzimo najprej A·(B +C) ⊆ A·B +A·C. Naj bo p ∈ A·(B+C). Potem je bodisi p ≤ 0 in tako velja p ∈ A·B +A·C, bodisi ga lahko zapiˇsemo kot q·(r+s), kjer je q > 0 in r +s > 0 ter q ∈ A, r ∈ B, s ∈ C. Vemo, da q·r ∈ A ·B in q·s ∈A·C (to je vedno res, razen v primeru, ko je r ≤0 ali s ≤0), odtod pa sledi q·(r+s)∈A·B+A·C.
Pokaˇzimo ˇseA·B+A·C ⊆A·(B+C). Vsakp∈A·B+A·C lahko zapiˇsemo kot p1+p2,kjer jep1 ∈A·B inp2 ∈A·C.Ce jeˇ p≤0, jepoˇcitno v A·(B+C), saj je A·(B+C) pozitiven rez. Predpostavimo torej, da jep > 0. Ce jeˇ p1 ≤0, potem mora biti p2 > 0 in p2 lahko zapiˇsemo kot p2 = q·r, kjer je q ∈ A in r ∈C.Sledi
p < q·(0 +r),
| {z }
∈A·(B+C)
kot smo ˇzeleli. Podobno bi pokazali ˇse za primer, ko je p2 ≤ 0. Ce pa staˇ p1, p2 > 0, potem je p1 = q1·r in p2 = q2 ·r, kjer q1, q2 ∈ A, r ∈ B, s ∈ C in q1, q2, r, s > 0. Zdaj vzamemo q = max{q1, q2} in vidimo, da je q·(r+s) > p element v rezuA+(B+C),zato velja tudip∈A+(B+C).Torej distributivnost za pozitivne reze res velja. ([7])
Izkaˇze se, da distributivnost velja tudi za poljubna druga ˇstevila.
Aksiomi urejenosti.
A11. antisimetriˇcnost: Vzemimo reza A in B, za katera velja A ≤ B in B ≤ A. To pomeni, da A⊆B inB ⊆A, kar pa velja samo v primeru, ko je A=B.
A12. tranzitivnost: Vzemimo tri reze A, B in C. ˇCe velja A≤B inB ≤C, sledi, da je A ⊆B inB ⊆C, iz ˇcesar sledi A ⊆C, torej A≤C.
Slika 6. Tranzitivnost rezov
A13. stroga sovisnost: Iz definicije rezov sledi, da za dva reza A in B velja bodisi A ⊆B bodisiB ⊆A, zato velja tudi A≤B oziroma B ≤A.
Povezava med urejenostjo ter seˇstevanjem in mnoˇzenjem.
A14. Dokazati ˇzelimo, da ˇce za reza A in B veljaA < B, potem velja tudi A+C <
B +C za vsak rez C. Naj bosta A in B reza in naj velja A < B. Ce je nekiˇ p ∈ A+C, ga lahko zapiˇsemo kot p = p1 +p2, kjer je p1 ∈ A in p2 ∈ C. Ker velja A < B, velja tudi p1 ∈ B, torej p1 +p2 ∈ B +C. Sledi A+C < B+C.
([7])
A15. Dokazujemo naslednje: ˇCeA≤B,jeA·C≤B·C za∀C≥0∗, pri ˇcemer soA, B inC rezi. Vzemimo torej rezeA ≤B inC >0∗. ˇCeA <0∗ inB >0∗, potem je A·C < 0∗ < B·C, kot smo ˇzeleli. ˇCe A, B > 0, potem je dokaz zelo podoben dokazu aksioma A14 in neenakost zopet velja. ˇCe pa sta A, B < 0∗, potem na obeh straneh odˇstejemo A+B in dobimo −B <−A. Potem neenaˇcbo na obeh straneh pomnoˇzimo sC in dobimo (−B)·C < (−A)·C oziroma A·C ≤B·C, ˇ
ce na obeh straneh neenaˇcbe priˇstejemo A·C +B ·C. Zadnja moˇznost, torej A > 0∗ in B < 0∗ pa se ne more zgoditi, saj smo privzeli, da je A ≤ B. Tako smo torej pokazali veljavnost aksioma v vseh primerih.([7])
Dedekindov aksiom.
A16. Dokaz tega aksioma nam pove, da je mnoˇzica Dedekindovih rezov res primerna za vpeljavo realnih ˇstevil in da smo z njo zajeli vsa moˇzna ˇstevila na ˇstevilski premici.
Vzemimo neko neprazno navzgor omejeno mnoˇzico rezov v R in jo oznaˇcimo z M. Definirajmo unijo takih mnoˇzic: C = ∪A∈MA. Najprej bomo pokazali, da je C rez, nato pa, da smo z definiranjem mnoˇzice C v bistvu naˇsli natanˇcno zgornjo mejo mnoˇzice M.
Za dokaz, da je C rez, moramo preveriti veljavnost vseh treh alinej iz definicije za reze:
(i) Da je M 6= ∅, smo doloˇcili ˇze pri definiciji mnoˇzice M. Torej obstaja A∈M. KerA⊂C, potem tudiC 6=∅. Ker je M po predpostavki navzgor omejena, potem obstaja tak rezN, da velja A≤N za vsakA ∈M. Ker je C =∪A∈MA, je potemC ⊆N. Ker je N rez in za reze velja, da niso enaki celi mnoˇzici Q, tudi za C veljaC 6=Q.
(ii) Vzemimo r ∈ C. Potem obstaja nek A ∈ M, da je r ∈ A. Za vsak s < r velja, da je s ∈ A, zato velja tudi s ∈ C. Torej velja, da so vsa ˇstevila, manjˇsa od nekega ˇstevila, za katero vemo, da je v C, tudi v C.
(iii) Za neki r ∈ C obstaja neki A ∈ M, da je r ∈ A. ˇCe je s ∈ A in s > r, potem jes ∈C. Torej, ˇce je r∈C, obstaja tudi neki s∈C, da veljar < s.
To pomeni, da je C mnoˇzica, ki ne vsebuje najveˇcjega ˇstevila.
C je torej res rez, saj nam je uspelo pokazati, da veljajo vse tri alineje.
Pokaˇzimo ˇse, da je C natanˇcna zgornja meja mnoˇzice M.
Recimo, da C malo zmanjˇsamo na poljuben D, D < C. D je tako prava pod- mnoˇzica vC. VC obstaja s∈C, da veljas6∈D. Obstaja tudi neki A∈M, da velja s ∈ A. Torej velja D < A, zato D ne more biti zgornja meja za M. C je zato najmanjˇsa zgornja meja za M, torej C = supM. ([2])
ˇStevila, definirana kot Dedekindovi rezi torej izpolnjujejo vseh 16 aksiomov, ki so potrebni za vpeljavo realnih ˇstevil. S tem smo pokazali, da so Dedekindovi rezi ustrezna definicija za realna ˇstevila.
POGLAVJE 4
Vpeljava realnih ˇ stevil z metriˇ cno napolnitvijo racionalnih ˇ stevil
Najprej si poglejmo, kaj je metrika in kaj metriˇcni prostor. Definicije smo veˇcinoma povzeli po [9] in [3].
Definicija 4.1. Naj boM poljubna neprazna mnoˇzica. Metrika naM je taka funkcija d dveh spremenljivk x, y naM, ki ustreza naslednjim pogojem:
• d(x, y)≥0 za vsak par x, y ∈M (to je nenegativnost),
• d(x, y) = 0⇔x=y,
• d(x, y) =d(y, x) za vsak parx, y ∈M (to je simetriˇcnost),
• d(x, z) ≤ d(x, y) +d(y, z) za vsake tri x, y, z ∈ M (to je trikotniˇska nee- nakost).
Definicija 4.2. (Neprazno) mnoˇzico M skupaj z (izbrano) metriko d na M (torej par (M, d)) imenujemo metriˇcni prostor. ([9], str. 19)
Ni teˇzko pokazati, da so racionalna ˇstevila metriˇcni prostor z metrikod(x, y) =
|y−x|.Funkcijadnam na ˇstevilski premici poda razdaljo med dvema racionalnima ˇsteviloma.
V metriˇcnih prostorih pa najdemo tako imenovana zaporedja. Oglejmo si nekaj definicij.
Definicija4.3. (Neskonˇcno) zaporedje v mnoˇziciM (ali zaporedje toˇck mnoˇzice M) je (poljubna) preslikava N →M.
Obiˇcajno je mnoˇzica N kar N, ˇclene zaporedja pa naˇstevamo kot a1, a2, a3, ...
Zaporedje lahko podamo s formalnim zapisom {an}∞n=1, zaradi boljˇse nazornosti pa bomo pisali tudi (an).
Definicija4.4. Steviloˇ ajelimita zaporedja {an}∞n=1,ˇce za vsakε >0 obstaja n0 ∈ N, da velja |an −a| < ε za vsak n ≥ n0. Piˇsemo a = limn→∞an. Ce imaˇ zaporedje limito, reˇcemo, da je konvergentno, ˇce limite nima, pa je divergentno.
Ker predpostavljamo, da realnih ˇstevil ˇse ne poznamo, lahko zaporedja gradimo na mnoˇzici racionalnih ˇstevil.
Definicija4.5. Zaporedje{an}∞n=1, ki slika izNvQ,imenujemoQ-konvergentno zaporedje, ˇce obstaja L∈Q,tako da za vsakε∈Q+ obstaja n0 ∈N,tako da velja
n > n0 ⇒ |an−L|< ε.
Definicija 4.6. Zaporedje {an}∞n=1 je Cauchyjevo, ˇce za vsak ε > 0 obstaja tak n0 ∈N, da je |an−am|< ε za vsaka m, n≥n0.
Definicija4.7. Zaporedje{an}∞n=1, ki slika izNvQ,imenujemoQ-Cauchyjevo zaporedje,ˇce za vsak ε ∈Q+ obstaja n0 ∈N, tako da velja
n, m > n0 ⇒ |an−am|< ε.
Poljubno Q- Cauchyjevo zaporedje lahko konvergira k nekemu racionalnemu ˇstevilu, lahko pa se zgodi tudi, da ”ˇstevila”, okrog katerega se gostijo ˇcleni zapo- redja, ni v racionalnih ˇstevilih. Kot primer si lahko ogledamo zaporedje (an) = (1 +n1)n, katerega limita jee. Torej v metriˇcnem prostoru racionalnih ˇstevil neka- tere toˇcke manjkajo. Prostor, ki mu dodamo ˇse te manjkajoˇce toˇcke, imenujemo poln.
Definicija 4.8. Metriˇcni prostor je poln, ˇce je v njem vsako Cauchyjevo za- poredje konvergentno.
Definicija 4.9. Napolnitev metriˇcnega prostora M je poln metriˇcni prostor M, ki vsebujeM kot gost podprostor.
Izkaˇze se, da je R, ki jo bomo zgradili na podlagi Q-Cauchyjevih zaporedij, napolnitev metriˇcnega prostora Q pri obiˇcajni metriki.
Naˇsa ideja je, da si vsakoQ-Cauchyjevo zaporedje predstavljamo kot realno ˇstevilo, h kateremu konvergira. Edini problem, ki pri tem nastane, je, da lahko veˇc razliˇcnih zaporedij potem predstavlja enako ˇstevilo. Oglejmo si ta problem na preprostem primeru. Imamo zaporedjian = n+1n inbn= 1. Obe zaporedji imata limito 1, torej predstavljata enako ˇstevilo.
Zato reˇcemo, da sta Q- Cauchyjevi zaporedji, ki imata enako limito, ekvivalentni.
Formalno to zapiˇsemo z naslednjo definicijo.
Definicija 4.10. Dve Q- Cauchyjevi zaporedji (sn) in (tn) sta ekvivalentni natanko tedaj, ko |sn−tn| Q− konvergira k 0. Obiˇcajno v matematiˇcnem jeziku ekvivalenco zaporedij oznaˇcimo kot (sn)∼(tn).
Mnoˇzico realnih ˇstevil R lahko zdaj predstavimo tudi s pomoˇcjo Cauchyjevih zaporedij.
Definicija 4.11. R je mnoˇzica ekvivalenˇcnih razredov Q- Cauchyjevih zapo- redij. Z drugimi besedami, R ={[sn]}, pri ˇcemer je [sn] ={(tn)∈C; (tn)∼(sn)}
ekvivalenˇcni razred zaporedja (sn), C pa mnoˇzica Q- Cauchyjevih zaporedij.
4.1. Operacije v kvocientni mnoˇzici Q-Cauchyjevih zaporedij Tudi v tem primeru moramo na novo definirati operacije, ki se pojavljajo pri tako definiranih ˇstevilih.
Linearna urejenost. Preden definiramo relacijo linearne urejenosti, povejmo ˇse, kaj je mnoˇzica R+.
Definicija 4.12. R+ ⊂ R je mnoˇzica x ∈ R, tako da x = [cn], kjer je cn za neko Q- Cauchyjevo zaporedje (cn), ki je sestavljeno iz nenegativnih ˇstevil, in x6= [0] = 0.
Definicija4.13.Naj bosta [an] in [bn] dva ekvivalenˇcna razredaQ-Cauchyjevih zaporedij. [an][bn] velja natanko tedaj, ko je [an]−[bn] = [an−bn]∈R+∪ {0}.
Seˇstevanje.
Definicija 4.14. Vsota ekvivalenˇcnih razredov [sn] in [tn] je ekvivalenˇcni ra- zred vsote (sn +tn), ki je oˇcitno Q- Cauchyjevo zaporedje. Torej [sn]⊕[tn] = [sn+tn].
Velja (sn+tn)∼(s0n+t0n),za sn, s0n∈[sn] in tn, t0n∈[tn], saj
|(sn+tn)−(s0n+t0n)|=|(sn+s0n)−(tn+t0n)| →0.
S tem smo pokazali, da sta (sn +tn) in (s0n+t0n) ekvivalentna. Torej je vsota poljubnih dveh zaporedij iz dveh ekvivalenˇcnih razredov vedno enaka ne glede na izbiro zaporedja iz ekvivalenˇcnega razreda.([3])
Mnoˇzenje.
Definicija 4.15. Zmnoˇzek ekvivalenˇcnih razredov [sn] in [tn], [sn][tn], je [sn·tn].
Velja (sn·tn)∼(s0n·t0n), za sn, s0n ∈[sn] in tn, t0n∈[tn],saj
|(sn·tn)−(s0n·t0n)|
=|sn·tn−sn·t0n+sn·t0n−s0n·t0n| ≤ |sn·tn−sn·t0n|+|sn·t0n−s0n·t0n|
=|sn| · |tn−t0n|
| {z }
→0
+|t0n| · |sn−s0n|
| {z }
→0
| {z }
→0
.
Pri tem smo uporabili, da so Q-Cauchyjeva zaporedja omejena v Q. ([8])
4.2. Vloˇzitev racionalnih ˇstevil v kvocientno mnoˇzico Q-Cauchyjevih zaporedij
• Q⊂R
Premisliti moramo, ˇce s to definicijo ˇstevil zajamemo tudi ˇstevila, ki jih poznamo ˇ
ze od prej. Za vsako racionalno ˇstevilo moramo najti vsaj eno Q- Cauchyjevo zaporedje. Seveda jih lahko obstaja ˇse veˇc, ampak to ni pomembno, saj vsa zaporedja z enako limito spadajo v isti ekvivalenˇcni razred in tako predstavljajo isto ˇstevilo.
Vzemimo neko racionalno ˇstevilo ab;a, b ∈ Z, b 6= 0. Njegovo Q- Cauchyjevo zaporedje je lahko konstantno zaporedje sn = ab, torej zaporedje enakih ˇclenov
a
b,ab,ab, ...Torej lahko za vsako racionalno ˇstevilo najdemo Cauchyjevo zaporedje, ki konvergira k temu ˇstevilu in zato velja N⊂Z⊂Q⊂R.
• Dokaˇzemo lahko tudi [an] + [bn] = [an]⊕[bn], [an]·[bn] = [an][bn] in [an] ≤ [bn]⇔[an][bn] za [an],[bn]∈Q.
4.3. Aksiomi v mnoˇzici Q-Cauchyjevih zaporedij
Podobno kot pri vpeljavi realnih ˇstevil z Dedekindovi rezi, moramo tudi pri tej preveriti, ˇce veljajo vsi aksiomi od A1 do A16. Veˇcina aksiomov je za dokazovanje precej preprosta, zato se bomo osredotoˇcili le na Dedekindov aksiom.
Ta aksiom bomo dokazali s pomoˇcjo bisekcije. Vzemimo neko mnoˇzico S ⊂ R, ki je navzgor omejena z y ∈ R, in neki x ∈ S. Dokaˇzemo lahko, da je vsako Q- Cauchyjevo zaporedje omejeno z nekaj racionalnimi ˇstevili, torej lahko najdemo neka a1, b1 ∈ Q, kjer je ekvivalenˇcni razred [a1], ki ga lahko predstavimo z (a1), manjˇsi od x, in ekvivalenˇcni razred [b1], ki ga lahko predstavimo z (b1), veˇcji kot y. Torej [a1] ni zgornja meja, [b1] pa je zgornja meja mnoˇzice S. Recimo, da smo naˇsli zaporedja
a1 ≤a2 ≤...≤bn ≤bn−1 ≤...≤b1,
kjer [aj] zaj = 1,2, ..., nni zgornja meja mnoˇziceS,[bj] pa je. Naj bocn = (an+b2 n), torej an < cn < bn. Ce je ekvivalenˇˇ cni razred [cn] konstantnega zaporedja (cn) zgornja meja mnoˇzice S,velja an+1=an inbn+1 =cn. Drugaˇce pa je an+1 =cn in bn+1 =bn.Tako smo definirali monotoni zaporedji (an) in (bn) in izkaˇze se, da sta toQ-Cauchyjevi zaporedji, saj velja
n, m > N ⇒ |an−am|< b1−a1 2N in
|bn−bm|< b1−a1 2N . ˇSe veˇc, za
n > N ⇒bn−an=|bn−an|< b1−a1 2N ,
iz ˇcesar po definiciji za ekvivalentni zaporedji sledi [an] ∼ [bn]. Zdaj pa bi radi dokazali, da je [bn] = supS.
Vzemimoz ∈S in naj boz >[bn].Potem za nek w∈Q veljaz >[w]>[bn].Am- pak potem za neka N, w > bN, pri katerih obe konstantni zaporedji predstavljata zgornji meji mnoˇzice S,pridemo v protislovje z dejstvom, da z >[w].Torej je [bn] res zgornja meja mnoˇzice S.
Recimo zdaj, da je z ∈R zgornja meja mnoˇzice S in z < [bn]. Potem je z < [an] in za nek w ∈ Q velja z < [w] <[an]. Najdemo tak N, da w < an in vidimo, da [w] ne more biti zgornja meja za S, torej tak z ne obstaja. Torej je [bn] natanˇcna zgornja meja kot smo ˇzeleli. ([3])
S tem smo pokazali, da mnoˇzico realnih ˇstevil Rlahko definiramo tudi z metriˇcno napolnitvijo racionalnih ˇstevil.
POGLAVJE 5
Kako vpeljavo realnih ˇ stevil razloˇ ziti srednjeˇ solcem?
V tem poglavju se bom naslonila na ˇclanek [6]. Razlaga o vpeljavi realnih ˇstevil je primerna za tiste, ki jih matematika zanima in so na tem podroˇcju nadarjeni.
Avtor priporoˇca, da zaˇcnemo z vpeljavo mnoˇzice naravnih, nato celih in racionalnih ˇstevil. Na prvi pogled je videti, kot da drugih ˇstevil ni. Potem si ogledamo merjenje razdalj na ˇstevilski premici. Vsako izmerjeno razdaljo bi radi predstavili z nekim ˇstevilom, razdalja med 0 in 1 pa nam sluˇzi kot enota. Izkaˇze se, da vseh razdalj ne moremo predstaviti z racionalnimi ˇstevili. Kot smo omenili ˇze zgoraj, je ena izmed teh √
2.
Vsako toˇcko T, ki je ne najdemo v racionalnih ˇstevilih, lahko predstavimo kot neskonˇcno decimalno ˇstevilo. V ˇclanku je opisan postopek, kako lahko to naredimo.
Seveda lahko tudi vsako racionalno ˇstevilo predstavimo kot neskonˇcno decimalno ˇstevilo, saj lahko v vsakem primeru dodamo neskonˇcno niˇcel. Tako je recimo 15 = 0,20000000... Vemo, da imajo racionalna ˇstevila bodisi konˇcen bodisi periodiˇcen decimalni zapis. Na ˇstevilski premici pa so tudi ˇstevila, katerih decimalni zapis ni niˇc od tega. Tako je na primer ˇstevilo
1,01001000100001000001...
Takim ˇstevilom pravimo iracionalna ˇstevila.
Realna ˇstevila, ki so unija racionalnih in iracionalnih ˇstevil, lahko torej definiramo kot mnoˇzico decimalnih ˇstevil. Problem pa je v tem, da lahko razliˇcna decimalna zapisa predstavljata enako ˇstevilo. Za primer lahko vzamemo ˇstevilo 1,000... in 0,999...Ze v osnovni ˇsoli smo se nauˇˇ cili raˇcunati s periodiˇcnimi decimalnimi ˇstevili-
x= 0,999...
10x= 9,999...
in potem odˇstejemo
9x= 9, od koder sledi
x= 1.
Biti moramo torej zelo pozorni, saj imajo nekatera ˇstevila veˇc decimalnih zapisov.
Poleg te teˇzave pa se pojavijo ˇse druge. Kako bomo seˇstevali in mnoˇzili neskonˇcna decimalna ˇstevila? Tako postopoma pridemo do spoznanja, da so decimalna ˇstevila sicer zelo razumljiva na zaˇcetku konstrukcije realnih ˇstevil, kmalu pa se zadeve
zapletejo. Zato raje uporabljamo zgornji dve standardni vpeljavi, avtor predlaga vpeljavo z Dedekindovimi rezi.
Literatura
[1] Andersen, B. Set Theory and the Construction of Numbers, Dostopno prek: uwec.edu/andersrn/sets.htm
[2] Brojan, M. in Globevnik, J. (2008). Analiza 1. Ljubljana: Druˇstvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije.
[3] Dahl, J. 104 - Construction ofRviaQ-Cauchy sequences.
Dostopno prek: math.berkeley.edu/~jdahl/104/104QCauchy(4.9.2013).
[4] Rudin, W. (1976). Principles of Mathematical Analysis. Singapore: McGraw-Hill, Inc.
[5] Slapar, M. (2012). Zapiski predavanj iz osnov matematiˇcne analize. Ljubljana: Narodna univerzitetna knjiˇznica.
Dostopno prek: http://hrast.pef.uni-lj.si/~slaparma/OMA.pdf(4.9.2013).
[6] ˇSemrl, P. (2008). O realnih ˇstevilih, v: Obzornik za matematiko in fiziko, 55, ˇst. 2, str. 64 - 76.
[7] van de Bult, F. (2009). The definition of the real numbers.
Dostopno prek: http://math.caltech.edu/~ma108a/defreals.pdf(4.9.2013).
[8] van Wyk, L. Reals.
Dostopno na: http://educ.jmu.edu/~vanwykla/courses/315/315_10.pdf(4.9.2013).
[9] Vrabec, J. (1990). Metriˇcni prostori. Ljubljana: Druˇstvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije.
