LAPLACEOVA TRANSFORMACIJA IN LINEARNE DIFERENCIALNE ENA ˇ CBE

PEDAGOˇ SKA FAKULTETA Pouˇ cevanje, Predmetno pouˇ cevanje

POLONA ˇ SENKINC

LAPLACEOVA TRANSFORMACIJA IN LINEARNE DIFERENCIALNE ENA ˇ CBE

MAGISTRSKO DELO

LJUBLJANA, 2018

PEDAGOˇ SKA FAKULTETA Pouˇ cevanje, Predmetno pouˇ cevanje

Fizika in matematika

POLONA ˇSENKINC

LAPLACEOVA TRANSFORMACIJA IN LINEARNE DIFERENCIALNE ENA ˇ CBE

MAGISTRSKO DELO

Mentor: izr. prof. dr. MARKO SLAPAR

LJUBLJANA, 2018

Iskreno se zahvaljujem mentorju, izr. prof. dr. Marku Slaparju, za nasvete in strokovno pomoˇc ter ves trud, ˇcas in spodbudo pri nastajanju magistrskega dela.

Hvala druˇzini za vso podporo in pomoˇc, ter da ste vedno verjeli vame in mi stali ob strani.

Hvala tudi prijateljem in soˇsolcem za podporo, spodbudo in nepozabna ˇstudijska leta.

Hvala!

V magistrskem delu se bomo osredotoˇcili na Laplaceovo transformacijo in si po- gledali njeno uporabo. Na zaˇcetku bo na kratko predstavljeno ˇzivljenje in delo Pierra Simona Laplacea, po katerem so Laplaceove transformacije dobile ime. V nadaljevanju bo predstavljen nepravi integral, ki ga pozneje tudi uporabimo pri de- finiciji Laplaceove transformacije. Prikazani bodo primeri izraˇcunov transformacij za nekaj elementarnih funkcij, ki jih uporabljamo pri reˇsevanju konkretnih nalog.

Pri reˇsevanju zapletenejˇsih primerov so nam v pomoˇc lepe lastnosti Laplaceove transformacije, ki nam omogoˇcijo laˇzje reˇsevanje. Nekaj lastnosti bo predstavlje- nih v magistrskem delu. V nadaljevanju bo predstavljena stopniˇcasta funkcija, ki jo pogosto sreˇcamo tudi pri fiziki. Prav tako se pri fiziki velikokrat sreˇcamo z impulzno funkcijo, predvsem pri elektriˇcnem krogu in nihanju. Na koncu bo pred- vsem na primerih predstavljena uporaba Laplaceove transformacije pri reˇsevanju linearnih diferencialnih enaˇcb s konstantnimi koeficienti, pri diferencialni enaˇcbi nihanja z nezvezno silo in uporaba Laplaceove transformacije v fiziki, in sicer v elektriˇcnih vezjih in pri mehaniki.

Kljuˇcne besede: Laplaceova transformacija, nepravi integral, stopniˇcasta funk- cija, impulzna funkcija, diferencialna enaˇcba nihanja z nezvezno silo

In the master’s thesis, we discuss the use of Laplace transforms. Before we start with the mathematical aspect we briefly look at Laplace’s history, that is his work and life in general. We continue by presenting improper integral, which we later use in the definition of the Laplace transforms. For some elementary functions we present examples of transformation calculations, frequently needed when solving some specific problems. It turns out that Laplace transforms have some nice properties which are useful when solving some difficult problems presented in the thesis. Furthermore, we take a look at the step function, often used in physics, and examine the impulse function used in physics when discussing the electric circuit or oscillation. In the end we, mostly through examples, look at the use of the Laplace transforms when solving linear differential equations with constant coefficients. We also consider its use in differential equation with discontinuous force function and in physics when discussing electric circuit or mechanics.

Key Words: Laplace transform, improper integral, step function, impulse func- tion, differential equation with discontinuous forcing function

1 Uvod 1

2 Pierre Simon Laplace 3

3 Laplaceova transformacija 6

3.1 Nepravi integral . . . 6

3.2 Definicija Laplaceove transformacije . . . 8

3.3 Laplaceove transformacije elementarnih funkcij . . . 10

3.4 Lastnosti Laplaceove transformacije . . . 16

3.5 Inverzna Laplaceova transformacija . . . 24

3.6 Stopniˇcasta funkcija . . . 27

3.7 Impulzna funkcija . . . 31

4 Uporaba Laplaceove transformacije 36 4.1 Reˇsevanje linearnih diferencialnih enaˇcb s konstantnimi koeficienti . 36 4.2 Diferencialna enaˇcba nihanja z nezvezno silo . . . 38

4.3 Diferencialna enaˇcba z impulzno funkcijo . . . 42

4.4 Uporaba v fiziki . . . 44

4.4.1 Uporaba v elektriˇcnih vezjih . . . 44

4.4.2 Uporaba v mehaniki . . . 47

Slika 1: Pierre Simon Laplace . . . 3

Slika 2: Koraki reˇsevanja enaˇcbe . . . 8

Slika 3: Obmoˇcje integracije . . . 24

Slika 4: Graf stopniˇcaste funkcije . . . 28

Slika 5: Graf obratne stopniˇcaste funkcije . . . 28

Slika 6: Graf funkcije f(t) . . . 29

Slika 7: Graf funkcij f(t) in njen premik . . . 30

Slika 8: Graf impulzne funkcije . . . 32

Slika 9: Graf funkcije y . . . 41

Slika 10: Graf funkcije y . . . 43

Slika 11: Elektriˇcno vezje . . . 44

Slika 12: Elektriˇcno vezje primera 24 . . . 46

Slika 13: Primer iz mehanike . . . 47

1 Uvod

Transformacija je operacija, s pomoˇcjo katere doloˇcen problem preoblikujemo tako, da ga laˇzje reˇsimo. Na transformacije naletimo tudi pri zelo enostavnih problemih, na primer pri mnoˇzenju dveh rimskih ˇstevil V I in XIV, pri ˇcemer ˇzelimo imeti rezultat ravno tako zapisan z rimskimi ˇstevilkami. Raˇcunanje z rimskimi ˇstevili ni ravno enostavno, zato najprej ti dve ˇstevili transformiramo v arabski zapis, kjer je V I enako 6 in XIV enako 14. Sedaj znamo izraˇcunati produkt teh dveh ˇstevil, ki je 84. Tako smo dobili reˇsitev transformiranega problema, preostane pa nam ˇse zapis reˇsitve z rimskimi ˇstevili, to je enako LXXXIV. Zadnjemu koraku reˇcemo inverzna transformacija.

Laplaceova transformacija je ena izmed integralskih transformacij, ki jih v sploˇsnem zapiˇsemo z relacijo

F(s) = Z β

α

K(s, t)f(t)dt,

kjer so K(s, t) podana funkcija (jedro transformacije), α in β pa meji integrala.

S pomoˇcjo te relacije transformiramo funkcijo f, ki je obiˇcajno ne znamo reˇsiti, v algebraiˇcno funkcijoF, ki jo znamo reˇsiti. Reˇsitev za funkcijo f dobimo tako, da na reˇsitvi za funkcijoF izvedemo inverzno transformacijo.

Razliˇcne integralske transformacije so definirane s pomoˇcjo razliˇcnih funkcij oziroma jeder transformacij. Jedro Laplaceove transformacije je definirano kot K(s, t) =e^−st. Laplaceova transformacija, ki jo oznaˇcimo z L{f(t)} ali s F(s), je definirana kot

L{f(t)}=F(s) = Z ∞

0

e^−stf(t)dt

na obmoˇcju, kjer integral konvergira. Njena obratna transformacija pa je defini- rana kot

L⁻¹{F(s)}=f(t), kjer F(s) =L{f(t)}.

Laplaceovo transformacijo najveˇckrat uporabljamo pri reˇsevanju zaˇcetnih nalog, kjer so funkcije f razliˇcnih oblik – lahko so podane v obliki stopniˇcaste funkcije, impulzne funkcije ali kot funkcije nihanja z nezvezno silo. Takˇsne funkcije pogosto sreˇcamo pri reˇsevanju fizikalnih problemov, predvsem v elektriˇcnih vezjih in pri

mehaniki. Pri reˇsevanju diferencialnih enaˇcb, kjer je funkcijaf nezvezna, je upo- raba Laplaceove transformacije najenostavnejˇsi in najlaˇzji postopek, s pomoˇcjo katerega pridemo do reˇsitve danega problema.

Glavni viri poglavja so [2], [5] in [8].

2 Pierre Simon Laplace

Pierre Simon Laplace se je rodil 23. marca 1749 v vasici Beaumont-en-Auge v Normandiji oˇcetu Pierru in materi Marie-Anne. Oˇce in mati sta imela v lasti kmetijo, ˇcesar se je Laplace v otroˇstvu sramoval.

Slika 1: Pierre Simon Laplace; vir [15]

S sedmimi leti je zaˇcel obiskovati benediktinsko ˇsolo v domaˇcem kraju. Laplaceov oˇce je priˇcakoval, da se bo Laplace v ˇzivljenju posvetil cerkvi ali vojski, tako kot veˇcina njegovih sovrstnikov. Laplace je ˇsolanje nadaljeval na univerzi v Caenu, kjer se je vpisal na ˇstudij teologije. Tekom ˇstudija teologije je odkril svojo nadarjenost za matematiko in ljubezen do nje, za kar sta zasluˇzna njegova profesorja Gadbled in Le Canu.

Pri devetnajstih letih je opustil ˇstudij teologije in se podal v Pariz. Tam se je z dobrimi priporoˇcili, ki mu jih je napisal Le Canu, obrnil na Jeana d’Alemberta, ki se za priporoˇcila ni zanimal. Kljub temu je kmalu uvidel Laplaceovo nadarjenost za matematiko in ga podprl. Kmalu je Laplace postal profesor matematike na Ecole Militaire, kjer je od leta 1769 do 1776 mlade pouˇceval geometrijo, trigonometrijo,

statiko in osnove analize.

V tem ˇcasu je zaˇcel pisati in objavljati svoje znanstvene ˇclanke. Leta 1770 je napisal ˇclanka o maksimalnih in minimalnih krivinah ter o diferencialnih enaˇcbah, ki pa nista bila natisnjena. Prvi ˇclanek v tiskani obliki je bil o integralnem raˇcunu leta 1771. Laplace je ˇzelel svoj matematiˇcni ugled in sloves ˇse bolj izgraditi, kar mu je uspelo leta 1773, ko je bil po dveh neuspeˇsnih kandidaturah izvoljen v Akademijo znanosti.

Laplace je s svojimi deli pomembno prispeval k razumevanju diferencialnih enaˇcb, preuˇceval je tudi teorijo verjetnosti in uporabo matematiˇcne astronomije, v sklopu katere je objavil nekaj ˇstudij, na primer o naklonu planetarnih orbit in gibanju planetov.

Konec 18. stoletja je Laplace priˇsel do pomembnih spoznanj, predvsem na po- droˇcju matematiˇcne astronomije, postal pomemben in vpliven znanstvenik, raz- glaˇsen pa je bil tudi za enega vodilnih moˇz na Akademiji znanosti.

V tem obdobju je Laplace sodeloval tudi z drugimi znanstveniki. Skupaj s kemikom Lavoisierjem sta se lotila fizikalno-kemiˇcnih problemov toplote, pokazala pa sta tudi, da je dihanje oblika izgorevanja. Kasneje je Laplace sodeloval tudi z Lagrangejem, s katerim sta si kljub nasprotovanjem predala veliko koristnih idej.

Poleg vseh znanstvenih doseˇzkov se je leta 1788 poroˇcil z Marie-Charlotte de Courty de Romanges. V zakonu sta se jima rodila sin, Charles-´Emile, in hˇci, Sophie-Suzanne.

Leta 1790 je Laplace postal ˇclan odbora Akademije znanosti za standardiziranje merskega sistema. Skupaj z drugimi znanstveniki je Laplace predlagal desetiˇsko dolˇzinsko razdelitev metra. Poleg tega mu je izziv predstavljalo tudi oblikovanje novega koledarja, kjer je bilo treba uvesti in upoˇstevati prestopna leta.

Leta 1793 se je Laplace z druˇzino izselil iz Pariza, saj je takratna oblast vse bolj zatirala znanstvenke. Nazaj v Pariz se je vrnil ˇcez eno leto, ko je padla diktatura.

Takrat je zaˇcel sodelovati pri prenovitvi ˇsolskega sistema in znanosti.

Leta 1796 je objavil prvo od petih knjig dela Exposition du systeme du monde (Sistem sveta), v kateri opisuje navidezno gibanje nebesnih teles in gibanje morja.

V drugi knjigi (1799) opisuje pravo gibanje planetov in drugih nesbesnih teles.

Tretja knjiga (1808) predstavlja zakone gibanja, ˇcetrta pa vsebuje povzetke s po- droˇcja gravitacijske mehanike. V peti knjigi (1824) je Laplace podal zgodovinski

prikaz astronomije, vkljuˇcevala je tudi njegovo nebularno hipotezo. Delo Expo- sition du systeme du monde je bilo napisano kot nematematiˇcni uvod v njegovo najpomembnejˇse delo –Trait´e de M´ecanique C´eleste.

Med letoma 1799 in 1825 je objavil pet knjig M´ecanique C´eleste, v katerih je povzel rezultate, pridobljene z matematiˇcnim razvojem in uporabo gravitacijskega zakona. V tem delu je Laplace predstavil sploˇsne zakone ravnoteˇzja, gibanje trdnih snovi in tekoˇcin ter zakone gravitacije in gibanje teˇziˇsˇcne toˇcke teles v sonˇcnem sistemu.

Leta 1812 je objavil delo Th´eorie Analytique des Probabilit´es (Analitiˇcna teo- rija verjetnosti), v katerem se je posvetil raˇcunanju verjetnosti tako ˇzivljenjskih (umrljivost, priˇcakovana ˇzivljenjska doba) kot tudi pravnih zadev. Kasnejˇse izdaje vsebujejo tudi dodatke, ki upoˇstevajo uporabo verjetnosti pri napakah pri opazo- vanju, doloˇcevanju mas planetov, metodi triangulacije v geodeziji in podobno. V naslednji izdaji Analitiˇcne teorije verjetnosti leta 1814 je dodal poljuden ˇclanek Essai philosophique sur les probabilit´es. To je bilo najbolj brano Laplaceovo delo.

Laplace je umrl 5. marca 1827 v Parizu.

Poglavje je povzeto po [12], [13] in [14].

3 Laplaceova transformacija

3.1 Nepravi integral

Laplaceova transformacija je definirana s pomoˇcjo nepravega integrala, zato si najprej poglejmo, kako je definiran nepravi integral.

Nepravi integral nad neomejenim intervalom je definiran kot limita integrala nad omejenim intervalom, kar lahko zapiˇsemo kot

Z ∞ a

f(t)dt= lim

A→∞

Z A a

f(t)dt, (1)

kjer je A pozitivno realno ˇstevilo. ˇCe integral RA

a f(t)dt obstaja za vsak A > a in ˇ

ce limita, ko gre A → ∞, obstaja, reˇcemo, da ta integral konvergira k vrednosti limite. V nasprotnem primeru pa reˇcemo, da integral divergira ali pa sploh ne obstaja.

Preden obravnavamo obstoj integrala R∞

a f(t)dt, definirajmo ˇse nekaj osnovnih pojmov, ki nam bodo kasneje pomagali pri razumevanju.

Za funkcijof(t) reˇcemo, da jeodsekoma zveznana intervaluα≤t ≤β, ˇce lahko interval razdelimo na konˇcno ˇstevilo toˇck α = t₀ < t₁ < · · · < t_n = β, da velja naslednje:

1. funkcija f je zvezna na vsakem odprtem podintervalu ti−1 < t < ti, 2. obstajajo limite lim_x→t⁺

i f(x) in lim_x→t⁻

i f(x).

Z drugimi besedami lahko reˇcemo, da je funkcija f odsekoma zvezna na intervalu α ≤ t ≤ β, ˇce je zvezna, razen v konˇcnem ˇstevilu nezveznih skokov. Ce jeˇ f odsekoma zvezna na α ≤ t ≤ β za vsak β > α, potem lahko reˇcemo, da je f odsekoma zvezna na t≥α.

Integral odsekoma zvezne funkcije na konˇcnem intervalu je vsota integralov na podintervalih, ki so omejeni z doloˇcenimi toˇckami, kar v sploˇsnem zapiˇsemo kot

Z β α

f(t)dt= Z t1

α

f(t)dt+ Z t2

t1

f(t)dt+ Z β

t2

f(t)dt.

Torej, ˇce je f odsekoma zvezna funkcija na intervalu a≤t ≤A, potem integral RA

a f(t)dt obstaja. Velja tudi, ˇce je f odsekoma zvezna funkcija za t ≥ a, potem

integral RA

a f(t)dt obstaja za vsak A > a. Kljub temu pa zveznost po delih ni dovolj za zagotovitev konvergence nepravega integralaR∞

a f(t)dt.

Ce funkcijeˇ f ne moremo enostavno integrirati v sklopu elementarnih funkcij, potem se je nekoliko teˇzje zanaˇsati na definicijo konvergentnosti zaR∞

a f(t)dt. Zato si pri ugotavljanju konvergentnosti oziroma divergentnosti nepravega integrala raje pomagamo s spodaj zapisanim primerjalnim izrekom, ki ga na tem mestu ne bomo dokazovali.

Izrek 1. Naj bo f odsekoma zvezna funkcija za t ≥ a in |f(t)| ≤g(t) za t ≥ M, kjer je M pozitivna konstanta. ˇCe integral R∞

M g(t) konvergira, potem tudi integral R∞

a f(t) konvergira. V nasprotnem primeru, ˇce je f(t)≥g(t)≥0 za t≥M in ˇce integral R∞

M g(t) divergira, potem tudi integral R∞

a f(t) divergira.

Primer 1. Izraˇcunajmo vrednost nepravega integralaR∞ 0

dx 1+x². Uporabimo zvezo (1) in dobimo

Z ∞ 0

dx

1 +x² = lim

A→∞

Z A 0

dx 1 +x² =

= lim

A→∞arctanx

A 0

=

= lim

A→∞arctanA= π 2. Primer 2. Poglejmo si ˇse nepravi integral R∞

1 dx

x. Uporabimo zvezo (1) in dobimo

Z ∞ 1

dx

x = lim

A→∞

Z A 0

1 xdx=

= lim

A→∞lnx

A 1=

= lim

A→∞lnA=∞.

Vidimo, da je limita danega integrala neskonˇcna, torej ta integral divergira.

Opomba: Ce jeˇ a >0, potem integral R∞ a

1

x^pdx konvergira za p >1 in divergira zap≤1.

Glavna vira poglavja sta [2] in [3].

3.2 Definicija Laplaceove transformacije

Laplaceova transformacija je ena izmed integralskih transformacij, ki jih pogosto uporabljamo pri reˇsevanju linearnih diferencialnih enaˇcb. V sploˇsnem je integralska transformacija oblike

F(s) = Z β

α

K(s, t)f(t)dt, (2)

kjer je K(s, t) dana funkcija, ki ji reˇcemo jedro transformacije, in sta α inβ meji integracije. Pri tem sta lahko tudi α = −∞ ali β = ∞ ali oboje. Relacija (2) transformira funkcijo f v drugo funkcijo F, ki ji reˇcemo transformiranka funkcije f.

Integralska transformacija je koristna, ˇce nam omogoˇca, da nek zapleteni pro- blem, ki ga ne znamo reˇsiti, preoblikujemo v enostavnejˇsega, ki ga znamo reˇsiti.

Oblikujemo lahko nekakˇsen krog korakov, ki nam pomagajo priti do konˇcne reˇsitve.

Zapleten problem za funkcijo f preoblikujemo s pomoˇcjo integralske transforma- cije v enostavnejˇsi problem za funkcijo F. Nato poiˇsˇcemo reˇsitev za funkcijo F, sledi pa ˇse inverzna transformacija reˇsitve za funkcijoF. Tako pridemo do reˇsitve za funkcijo f. Ta krog korakov si lahko ogledamo na sliki 2.

Slika 2: Koraki reˇsevanja diferencialne enaˇcbe s pomoˇcjo transformacije

Poznamo veˇc vrst integralskih transformacij. Te so na primer Abelova, Fourier- jeva, Hanklova, Hilbertova, Jacobijeva, Legendrova Mellinova in Laplaceova, kateri se bomo posebej posvetili.

Poglejmo si, kako je definirana Laplaceova transformacija.

Definicija 1. Naj bo f(t) dana funkcija za t ≥ 0. Laplaceovo transformacijo zapiˇsemo kot

L{f(t)}=F(s) = Z ∞

0

e^−stf(t)dt. (3)

Kot lahko opazimo, je jedro pri Laplaceovi transformaciji enako K(s, t) = e^−st. Laplaceovo transformacijo torej uporabimo pri iskanju reˇsitev linearnih diferen- cialnih enaˇcb s konstantnimi koeficienti, ki temeljijo na eksponentni funkciji. V sploˇsnem je parameter s kompleksno ˇstevilo, kar pa za nas ne bo pomembno.

Izrek 2. Predpostavimo, da za funkcijo f velja naslednje:

1. funkcija f je za vsak pozitiven A odsekoma zvezna na intervalu 0≤t≤A, 2. za t ≥M velja |f(t)| ≤Ke^at, kjer so K, a in M realne konstante, K in M

nujno pozitivni.

Potem Laplaceova transformacija, kot je definirana z relacijo (3), obstaja za s > a.

Dokaz. Ce ˇˇ zelimo pokazati, da zapisana Laplaceova transformacija, definirana z relacijo (3), obstaja zas > a, moramo dokazati, da integral v enaˇcbi (3) konvergira zas > a. Razdelimo nepravi integral na dva dela, dobimo

Z ∞ 0

e^−stf(t)dt= Z M

0

e^−stf(t)dt+ Z ∞

M

e^−stf(t)dt.

Integral RM

0 e^−stf(t)dt obstaja na podlagi prve hipoteze v tem izreku. Torej je obstoj funkcije F(s) odvisen od konvergence integrala R∞

M e^−stf(t)dt. Na podlagi druge hipoteze iz izreka 2 lahko za t ≥M zapiˇsemo

|e^−stf(t)| ≤Ke^−ste^at =Ke^(a−s)t. Po izreku 1 vemo, da F(s) obstaja pod pogojem, da R∞

M e^(a−s)tdt konvergira.

Z ∞ M

e^(a−s)tdt = lim

A→∞

Z A M

e^(a−s)tdt =

= lim

A→∞

e^(a−s)t a−s

A

0

=

= lim

A→∞

1

a−s e^(a−s)A−1 .

Poglejmo si, ali integral konvergira za razliˇcne vrednosti a −s. Za a −s > 0 oziroma s < a integral divergira, saj gre v tem primeru limita v neskonˇcnost. Za a−s = 0 oziroma s = a je f(t) konstantna funkcija z vrednostjo 1 in integral ponovno divergira. Za a− s < 0 oziroma s > a je vrednost limite −_a−s¹ , kar pomeni, da integral konvergira. S tem smo dokazali izrek 2.

3.3 Laplaceove transformacije elementarnih funkcij

V naslednjih primerih si poglejmo Laplaceove transformacije nekaterih elementar- nih funkcij.

Primer 3. Poiˇsˇcimo Laplaceovo transformacijo za funkcijof(t) = 1, t≥0.

L{1} = Z ∞

0

e^−st =− lim

A→∞

e^−st s

A

0

L{1} = 1

s, s >0.

Primer 4. Poglejmo si ˇse transformacijo funkcije f(t) =e^at, t≥0.

L{e^at} = Z ∞

0

e^ate^−stdt= Z ∞

0

e^−(s−a)tdt.

Po izraˇcunu integrala dobimo

L{e^at}= 1

s−a, s > a.

Primer 5. Poiˇsˇcimo Laplaceovo transformacijo za funkcijo tⁿ, kjer je n pozitivno ˇstevilo.

Po definiciji 1 lahko zapiˇsemo

L{tⁿ}=F(s) = Z ∞

0

e^−sttⁿdt

= lim

A→∞

Z A 0

e^−sttⁿdt.

Pri nadaljnjem raˇcunanju si bomo pomagali z integracijo po delih, kar zapiˇsemo kot

Z

udv=uv − Z

vdu.

Spremenljivki u in dv sta v naˇsem primeru enaki u = tⁿ in dv = e^−stdt. Sedaj ˇ

zelimo dobiti ˇse spremenljivki du in v. Pri tem si pomagamo z odvajanjem prve in integriranjem druge spremenljivke. Dobimo

u=tⁿ dv=e^−stdt du=ntⁿ⁻¹dt v =−¹_se^−st.

Z upoˇstevanjem integracije po delih in tako doloˇcenih spremenljivk lahko zapiˇsemo F(s) = lim

A→∞

−tⁿe^−st s

A

0

+n s

Z A 0

tⁿ⁻¹e^−stdt

= n

s Z ∞

0

tⁿ⁻¹e^−stdt.

Opazimo, da dobljene funkcije ne znamo neposredno integrirati, torej si bomo ponovno pomagali z integracijo po delih, kjer uporabimo naslednje substitucije

u=tⁿ⁻¹ dv=e^−stdt

du= (n−1)tⁿ⁻²dt v =−¹_se^−st. Dobimo

F(s) = n s

−tⁿ⁻¹e^−st s

∞

0

+n−1 s

Z ∞ 0

tⁿ⁻²e^−stdt

= n

s · n−1 s

Z ∞ 0

tⁿ⁻²e^−stdt.

Po n-korakih dobimo naslednje F(s) = n

s · n−1 s · · · 2

s · 1 s

Z ∞ 0

t⁰e^−stdt

= n!

sⁿ

−1 se^−st

∞

0

= n!

sⁿ 1

s

.

Reˇsitev naˇsega primera je

L{tⁿ}= n!

sⁿ⁺¹, s >0.

Primer 6. Poglejmo si, kakˇsni sta Laplaceovi transformaciji funkcij sinatin cosat.

Najprej si poglejmo transformacijo za funkcijo sinat. Po definiciji 1 lahko zapiˇsemo

L{sinat}=F(s) = Z ∞

0

e^−stsinatdt

= lim

A→∞

Z A 0

e^−stsinatdt.

Pomagamo si z integracijo po delih, kjer uporabimo naslednje substitucije

u=e^−st dv = sinatdt du=−se^−stdt v =−¹_acosat.

Dobimo

F(s) = lim

A→∞

− e^−stcosat a

A

0

− s a

Z A 0

e^−stcosatdt

= 1

a − s a

Z ∞ 0

e^−stcosat.

Pri reˇsevanju integrala si ponovno pomagamo z integracijo po delih in naslednjimi substitucijami

u=e^−st dv= cosatdt du =−se^−stdt v = ¹_asinat.

Uporabimo substitucije in dobimo F(s) = 1

a − s a

− e^−stsinat a

∞

0

+ s a

Z ∞ 0

e^−stsinatdt

= 1

a − s a

s a

Z ∞ 0

e^−stsinatdt

= 1

a − s² a²

Z ∞ 0

e^−stsinatdt.

Opazimo, da je funkcija, ki naj bi jo integrirali, ravno enaka kot funkcijaF(s), ki smo jo po definiciji zapisali na zaˇcetku. Zato lahko zapiˇsemo

F(s) = 1 a − s²

a²F(s).

Zgornjo enaˇcbo preuredimo in dobimo reˇsitev L{sinat}= a

a²+s², s >0.

Na enak naˇcin lahko izraˇcunamo tudi Laplaceovo transformacijo za funkcijo cosat. Na tem mestu celotnega postopka ne bomo ponovno zapisali, ampak po- damo samo reˇsitev Laplaceove transformacije za funkcijo cosat:

L{cosat}= s

a²+s², s >0.

Primer 7. Izraˇcunajmo Laplaceovi transformaciji za hiperboliˇcni funkciji coshat in sinhat.

Pri izraˇcunu teh dveh Laplaceovih transformacij postopamo na enak naˇcin kot v zgornjem primeru. Poglejmo si izraˇcun za funkcijo coshat.

Po definiciji lahko zapiˇsemo

L{coshat}=F(s) = Z ∞

0

e^−stcoshatdt

= lim

A→∞

Z A 0

e^−stcoshatdt.

S pomoˇcjo integracije po delih dobimo F(s) = lim

A→∞

e^−stsinhat a

A

0

+s a

Z A 0

e^−stsinhatdt

= s a

Z ∞ 0

e^−stsinhatdt.

Ponovno si pomagamo z integracijo po delih in zapiˇsemo F(s) = s

a

e^−stcoshat a

∞

0

+ s a

Z ∞ 0

e^−stcoshatdt

= s a

− 1 a + s

a Z ∞

0

e^−stcoshatdt

F(s) = − s a² + s²

a²F(s).

Enaˇcbo nekoliko preuredimo in dobimo Laplaceovo transformacijo za funkcijo coshat

L{coshat}= s

s² −a², s >|a|.

Na enak naˇcin izraˇcunamo tudi Laplaceovo transformacijo za funkcijo sinhat.

Dobimo

L{sinhat}= a

s² −a², s >|a|.

Primer 8. Izraˇcunajmo Laplaceovo transformacijo za funkcijo tⁿe^at. Po definiciji 1 zapiˇsemo

L{tⁿe^at}=F(s) = Z ∞

0

e^−(s−a)ttⁿdt

= lim

A→∞

Z A 0

e^−(s−a)ttⁿdt.

S pomoˇcjo integracije po delih in z uporabo substitucij

u=tⁿ dv=e^−(s−a)tdt du=ntⁿ⁻¹dt v =−_(s−a)¹ e^−(s−a)t dobimo

F(s) = lim

A→∞

− tⁿe^−(s−a)t (s−a)

A

0

+ n

(s−a) Z A

0

tⁿ⁻¹e^−(s−a)tdt

= n

(s−a) Z ∞

0

tⁿ⁻¹e^−(s−a)tdt.

Integracijo po delih uporabimon-krat in dobimo

F(s) = n

(s−a)· n−1

(s−a) · · · 2

(s−a)· 1 (s−a)

Z ∞ 0

t⁰e^−(s−a)tdt

= n!

(s−a)ⁿ

− 1

(s−a)e^−(s−a)t

∞

0

= n!

(s−a)ⁿ 1

(s−a)

.

Reˇsitev naˇsega primera je

L{tⁿe^at}= n!

(s−a)ⁿ⁺¹, s > a.

Primer 9. Poglejmo si primer, kjer imamo kombinacijo dveh osnovnih funkcij.

Izraˇcunajmo Laplaceovi transformaciji funkcije^atsinbt ine^atcosbt.

Po definiciji 1 zapiˇsemo

L{e^atsinbt}=F(s) = Z ∞

0

e^−ste^atsinbtdt

= lim

A→∞

Z A 0

e^−(s−a)tsinbtdt.

Pomagamo si z integracijo po delih in naslednjimi substitucijami u=e^−(s−a)t dv= sinbtdt du=−(s−a)e^−(s−a)tdt v =−¹_b cosbt.

Zapiˇsemo

F(s) = lim

A→∞

−e^−(s−a)tcosbt b

A

0

− (s−a) b

Z A 0

e^−(s−a)tcosbtdt

= 1

b −(s−a) b

Z ∞ 0

e^−(s−a)tcosbtdt.

Ponovno uporabimo integracijo po delih in dobimo F(s) = 1

b − (s−a) b

e^−(s−a)tsinbt b

∞

0

+(s−a) b

Z ∞ 0

e^−(s−a)tsinbtdt

= 1

b − (s−a) b

(s−a) b

Z ∞ 0

e^−(s−a)tsinbt

F(s) = 1

b − (s−a)² b² F(s).

Enaˇcbo nekoliko preuredimo in dobimo L{e^atsinbt}= b

(s−a)²+b², s > a.

Na enak naˇcin postopamo pri raˇcunanju Laplaceove transformacije za funkcijo e^atcosbtin dobimo

L{e^atcosbt}= s−a

(s−a)²+b², s > a.

Vsi omenjeni primeri Laplaceovih transformacij elementarnih funkcij so zbrani in zapisani v spodnji tabeli.

f(t) =L⁻¹{F(s)} F(s) =L{f(t)}

1. 1 ¹_s, s >0

2. e^at _s−a¹ , s > a

3. tⁿ, n = pozitivno ˇstevilo _sn+1^n! , s >0

4. sinat _s2+a^{a 2}, s >0

5. cosat _s2+a^{s 2}, s >0

6. sinhat _s2−a^{a 2}, s >|a|

7. coshat _s2−a^{s 2}, s >|a|

8. tⁿe^at, n= pozitivno ˇstevilo _(s−a)^n!n+1, s > a

9. e^atsinbt _(s−a)^b2+b², s > a

10. e^atcosbt _(s−a)^s−a2+b², s > a

Tabela 1: Laplaceove transformacije elementarnih funkcij Temeljni viri poglavja so [2], [7] in [18].

3.4 Lastnosti Laplaceove transformacije

1. Linearnost

Izrek 3. Naj bostac₁ inc₂ konstanti terf₁(t)inf₂(t)funkciji z Laplaceovima transformacijama F₁(s) in F₂(s). Potem je

L{c₁f₁(t) +c₂f₂(t)}=c₁L{f₁(t)}+c₂L{f₂(t)}. (4)

Dokaz. Naj bo L{f₁(t)} = F₁(s) = R∞

0 e^−stf₁(t)dt in L{f₂(t)} = F₂(s) = R∞

0 e^−stf₂(t)dt.

Ce staˇ c1 in c2 konstanti, potem je L{c₁f₁(t) +c₂f₂(t)} =

Z ∞ 0

e^−st{c₁f₁(t) +c₂f₂(t)}=

= c₁ Z ∞

0

e^−stf₁(t)dt+c₂ Z ∞

0

e^−stf₂(t)dt=

= c₁L{f₁(t)}+c₂L{f₂(t)}.

Primer 10. Poiˇsˇcimo Laplaceovo transformacijo za funkcijof(t) = 3t+ 5.

L{3t+ 5} = L{3t}+L{5}=

= 3L{t}+ 5L{1}=

= 3

s² +5 s =

= 3 + 5s s²

2. Mnoˇzenje z eksponentno funkcijo

Izrek 4. Naj bo f(t) funkcija z Laplaceovo transformacijo F(s). Potem je Laplaceova transformacija za funkcijo e^atf(t), kjer je a realen, enaka

F(s−a).

Obratno velja, ˇce je f(t) = L⁻¹{F(s)}, potem je e^atf(t) =L⁻¹{F(s−a)}.

Dokaz. Po definiciji vemo, da je F(s) = R∞

0 e^−stf(t)dt. Iz tega sledi L{e^atf(t)} =

Z ∞ 0

e^−st e^atf(t) dt

= Z ∞

0

e^−(s−a)tf(t)dt

= F(s−a).

Primer 11. Poiˇsˇcimo Laplaceovo transformacijo za funkcijof(t) = e^−3tcos 5t.

Vemo, da je L{cosωt}= _s2+ω^{s 2}.

L{e^−3tcos 5t} = s−(−3) (s−(−3))²+ 5² =

= s+ 3

(s+ 3)²+ 25

Primer 12. Poiˇsˇcimo funkcijo g(t), katere transformacija je

G(s) = 1

s²−6s+ 10.

Imenovalec zapiˇsemo tako, da dobimo popolni kvadrat

G(s) = 1

(s−3)²+ 1 =F(s−3),

kjer je F(s) = (s² + 1)⁻¹. Iz tabele 1 vemo, da velja L⁻¹{F(s)} = sint, iz izreka 4 pa sledi

g(t) = L⁻¹{F(s−3)}=e^3tsint.

3. Pomik originala

Izrek 5. Naj bosta f(t) funkcija z Laplaceovo transformacijo F(s) in a ne- negativno realno ˇstevilo. Potem je Laplaceova transformacija funkcije g(t) =







f(t−a), t > a 0, t < a

enaka L{g(t)}=e^−asF(s).

Obratno, ˇce je L{f(t)}=F(s), potem velja L{f(t−a)}=e^−asF(s).

Dokaz. Naj bo g(t) =f(t−a), kjer je a >0. Sledi L{g(t)} =

Z ∞ 0

e^−stg(t)dt = Z ∞

0

e^−stf(t−a)dt=

= Z a

0

e^−stf(t−a)dt+ Z ∞

a

e^−stf(t−a)dt =

= Z ∞

a

e^−stf(t−a)dt.

Zgornja enakost velja, saj jef(t−a) enako niˇc na obmoˇcju 0< t < a. Sedaj uporabimo substitucijo u=t−a in dobimo

L{g(t)} = Z ∞

0

e^−s(u+a)f(u)du=

= e^−as Z ∞

0

e^−suf(u)du=

= e^−asF(s).

Obrat pa dokaˇzemo tako, da na obeh straneh zgornje enaˇcbe uporabimo inverzno Laplaceovo transformacijo.

Primer 13. Naj bo f(t) =







0, t < a in a >0 1, t≥a >0

. To je ravno primer stopniˇcaste funkcije, kar lahko zapiˇsemo tudi kot f(t) = u(t −a), kjer je a >0.

Iz tabel vemo, da velja L{u(t)}= ¹_s. Dobimo L{f(t)}=L{u(t−a)}= e^−as

s . 4. Laplaceova transformacija odvodov

Izrek 6. Naj bo f(t) zvezna funkcija za vsak Ain velja f(t)≤e^at za t > M. Njen odvod f⁰(t) = ^df(t)_dt pa naj bo odsekoma zvezen. Potem za s > a velja

L{f⁰(t)}=sL{f(t)} −f(0). (5) Dokaz. Po definiciji lahko zapiˇsemo

L

df(t) dt

= Z ∞

0

e^−stdf(t) dt dt.

Pomagamo si z integracijo po delih, kjer uporabimo naslednje substitucije

u=e^−st dv = ^df_dtdt du=−se^−stdt v =f(t) in dobimo

L

df(t) dt

=e^−stf(t)

∞ 0 −

Z ∞ 0

(−s)e^stf(t)dt.

V prvem delu izraza opazimo, da je vrednost na zgornji meji enaka 0. Tako nam ostane

L

df(t) dt

=−f(0) +s Z ∞

0

e^stf(t) = sL{f(t)} −f(0).

Primer 14. Dana je funkcija f(t) =e^at. Izraˇcunajmo Laplaceovo transfor- macijo funkcijeLdf(t)

dt .

Iz izraza (5) vidimo, da moramo najprej izraˇcunati Laplaceovo transformacijo dane funkcije in njeno vrednost v toˇcki 0. Dobimo:

L{f(t)}=L{e^at}= 1

s−a in f(0) = 1.

Reˇsitev naˇsega primera je L

ae^at = sL

e^at −f(0)

= s

s−a −1

= s−s+a

s−a = a s−a.

Po izreku o linearnosti pa lahko dani primer reˇsimo tudi na takˇsen naˇcin:

L

ae^at = aL e^at

= a· 1

s−a = a s−a.

Zgornjo lastnost lahko razˇsirimo tudi na viˇsje odvode. Poglejmo si najprej Laplaceovo transformacijo za drugi odvod. V enaˇcbi

L dg

dt

=sL{g} −g(0)

naj bo g(t) = ^df_dt. Zgornjo enaˇcbo lahko prepiˇsemo v naslednjo obliko L

d²f dt²

=sL df

dt

− df dt(0),

kjer je ^df_dt(0) vrednost ^df(t)_dt v toˇcki t = 0. S pomoˇcjo prejˇsnjega izreka lahko zapiˇsemo

L{f⁰⁰(t)} = sL{f⁰(t)} −f⁰(0) =

= s

sL{f(t)} −f(0)

−f⁰(0)

L{f⁰⁰(t)} = s²L{f(t)} −sf(0)−f⁰(0). (6) Izrek 7. Naj bodo funkcijef, f⁰, . . . , f⁽ⁿ⁻¹⁾ zvezne in funkcija f⁽ⁿ⁾ odsekoma zvezna na intervalu0≤t≤A. Naj bodoK,ainM konstante, za katere velja

|f(t)| ≤ Ke^at, |f⁰(t)| ≤ Ke^at, . . . , |f⁽ⁿ⁻¹⁾(t)| ≤ Ke^at za t≥ M. Laplaceova transformacija za viˇsji odvod, kjer velja s > a, je oblike

L{f⁽ⁿ⁾(t)}=sⁿL{f(t)} −sⁿ⁻¹f(0)−. . .−sf⁽ⁿ⁻²⁾(0)−f⁽ⁿ⁻¹⁾(0). (7) Primer 15. Poglejmo si Laplaceovo transformacijoL{f⁰⁰(t)}, kjer je

f(t) = sinωtza t >0 in realno ˇstevilo ω.

Po izreku veljaL{f⁰⁰(t)}=s²L{f(t)}−sf(0)−f⁰(0). Izraˇcunajmo naslednje:

f⁰⁰(t) = −ω²sinωt, L{sinωt} = ω

s²+ω², f(0) = 0, f⁰(0) = ωcosωt

t=0=ω.

Reˇsitev naˇsega primera je

L{−ω²sinωt}= s²ω

s²+ω² −s·0−ω =− ω³ s²+ω².

Laplaceovo transformacijo za drugi odvod funkcije f(t) lahko zapiˇsemo tudi s pomoˇcjo izreka o linearnosti. Dobimo

L{−ω²sinωt} = −ω²L{sinωt}

= −ω²· ω

s²+ω² =− ω³ s²+ω².

5. Laplaceova transformacija integralov Izrek 8. Naj bof(t)zvezna funkcija ing(t) =Rt

0 f(u)dudoloˇcen integral, pri ˇcemer naj veljaf(t)≤e^at in g(t)≤e^at za vsakt > M za nekM. Laplaceova transformacija doloˇcenega integrala je naslednje oblike

L Z t

0

f(u)du

= 1

sL{f(t)}.

Dokaz. Naj bo g(t) =Rt

0 f(u)du. Iz tega sledi, da je g(0) = 0 in ^dg(t)_dt =f(t).

Po izrazu (5) vemo, da velja L

dg(t) dt

=sL{g(t)} −g(0) L{f(t)}=sL

Z t 0

f(u)du

.

Ko enaˇcbo nekoliko preuredimo, dobimo L

Z t 0

f(u)du

= 1

sL{f(t)}.

Primer 16. Izraˇcunajmo Laplaceovo transformacijo funkcijef(t) = ωRt

0 sinωudu.

Po zgornjem izreku lahko zapiˇsemo L

ω

Z t 0

sinωudu

= ωL Z t

0

sinωudu

=

= ω

sL{sinωtdt}=

= ω

s · ω s²+ω² =

= ω²

s(s²+ω²). Funkcijo f(t) lahko zapiˇsemo tudi kot f(t) = 1−cosωt.

6. Sprememba razmerja

Izrek 9. Naj bof(t)funkcija, za katero veljaL{f(t)}=F(s), in apozitivna konstanta, neodvisna od t in s. Potem velja

L

f t

a

=aF(as).

Dokaz. Za laˇzje razumevanje vpeljimo novi spremenljivki τ = _a^t in σ =as, ki ju uporabimo v integralski definiciji transformacije

F(σ) = Z ∞

0

f(τ)e^−στdτ.

Sedaj zamenjamo spremenljivke in dobimo F(as) =

Z ∞ 0

f t

a

e^−ast/ad t

a

.

a je konstanta, zato lahko zgornji izraz nekoliko problikujemo in dobimo aF(as) =

Z ∞ 0

f t

a

e^−stdt

oziroma

aF(as) = L

f t

a

.

Primer 17. Za dano funkcijo f(t) = e^−50tcos 10²t, kjer t oznaˇcuje ˇcas v sekundah, s pomoˇcjo tabele 1 poiˇsˇcimo ustrezno transformacijo. Nato pa ˇse s pomoˇcjo zgornjega izreka poiˇsˇcimo transformacijo, da bo ˇcas izraˇzen v milisekundah.

Iz tabele 1 razberemo, da nam bo v pomoˇc transformacija iz devete vrstice.

Transformacija za dano funkcijo je torej naslednje oblike L{e^−50tcos 10²t}= s+ 50

(s+ 50)²+ 10⁴.

Po zgornjem izreku vemo, da je a= 10³, ker ˇzelimo ˇcas izraziti v milisekun- dah. Funkcijo lahko zapiˇsemo v naslednji obliki

g(t) = e^−50t/103cos10²t 10³ =

= e^−50t/103cos 10⁻¹t.

Ponovno s pomoˇcjo relacije iz devete vrstice v tabeli 1 zapiˇsemo transforma- cijo za funkcijog(t). Dobimo

L{e^−50t/103cos 10⁻¹t} = s+ ₁₀⁵⁰3

s+ ₁₀⁵⁰3

2

+

10² 10³

2

= s+ 0,05 (s+ 0,05)²+ 0,1. 7. Konvolucija

Funkcijo h(t) = R∞

0 f(v)g(t −v)dv imenujemo konvolucija funkcij f(t) in g(t) in jo zapiˇsemo kot f(t)∗g(t). V primeru simetriˇcne konvolucije lahko zapiˇsemo h(t) = f(t)∗g(t) =g(t)∗f(t).

Izrek 10. Ce imata funkcijiˇ f(t) in g(t) Laplaceovi transformaciji F(s) in G(s), potem je produkt F(s)G(s) Laplaceova transformacija funkcije h(t) = R∞

0 f(v)g(t−v)dv.

Dokaz. Po definiciji lahko zapiˇsemo F(s)G(s) =

Z ∞ 0

e^−svf(v)dv Z ∞

0

e^−sug(u)du

= Z ∞

0

Z ∞ 0

e^−s(v+u)f(v)g(u)dvdu.

Fiksirajmo v in naj bo t = v +u, torej dt = du. Pri u = 0 je t = v in pri u=∞je t =∞. To uporabimo v zgornjem zapisu in dobimo

F(s)G(s) = Z ∞

0

Z ∞ v

e^−stf(v)g(t−v)dtdv.

Sedaj pa ˇzelimo obmoˇcja integracij ravno obrniti. Integracijo glede na t, ki poteka od v do∞, zamenjamo z integracijo po v, ki poteka od 0 do t. Tako lahko zapiˇsemo

F(s)G(s) = Z ∞

0

Z t 0

e^−stf(v)g(t−v)dvdt

= Z ∞

0

e^−st Z t

0

f(v)g(t−v)dv

dt

= Z ∞

0

e^−sth(t)dt,

Slika 3: Graft(v), ki prikazuje obmoˇcje integracije

kjer je

h(t) = Z t

0

f(v)g(t−v)dv.

Glavna vira poglavja sta [2] in [17].

3.5 Inverzna Laplaceova transformacija

Inverzna Laplaceova transformacija je definirana s predpisom L⁻¹{F(s)}=f(t),

kjer je F(s) =L{f(t)}. Operatorju L⁻¹ reˇcemo inverzni Laplaceov operator. Da je inverzna Laplaceova transformacija res dobro definirana, nam pove naslednji izrek. Dokaz je dostopen v viru [11].

Izrek 11. Naj bosta f in g eksponentni in odsekoma zvezni funkciji na intervalu [0,∞). ˇCe je L{f(t)} = L{g(t)} za s > a, potem je f(t) = g(t) za t ≥ 0, razen mogoˇce v toˇckah nezveznosti.

Inverzna Laplaceova transformacija ima prav tako kot Laplaceova transformacija lepe lastnosti, a na tem mestu ne bomo ponovno naˇstevali vseh. Poglejmo si le, kako je z linearnostjo pri inverzni transformaciji.

Inverzno Laplaceovo transformacijo F(s) predstavimo kot vsoto posameznih iz- razov

F(s) = F₁(s) +F₂(s) + · · · +F_n(s).

Predvidevamo, da velja f₁(t) =L⁻¹{F₁(s)}, . . . , f_n(t) =L⁻¹{F_n(s)}. Potem ima funkcija

f(t) = f1(t) +f2(t) + · · · +fn(t)

Laplaceovo transformacijoF(s). Po lastnosti o enoliˇcnosti vemo, da nima nobena druga funkcija f enake transformacije. Zato lahko inverzno transformacijo za funkcijo f(t) zapiˇsemo kot

L⁻¹{F(s)}=L⁻¹{F1(s)}+ · · · +L⁻¹{Fn(s)}.

Inverzno Laplaceovo transformacijo uporabljamo predvsem pri problemih, kjer imamo podano transformacijo F(s), zanima pa nas, kakˇsna je bila prvotna funk- cija f(t). Pogosto na inverzno transformacijo naletimo pri reˇsevanju fizikalnih problemov, kjer najprej s pomoˇcjo Laplaceove transformacije transformiramo dife- rencialno enaˇcbo y(t) v algebraiˇcno enaˇcbo in poiˇsˇcemo njeno reˇsitev Y(s). Nato pa s pomoˇcjo inverzne transformacije reˇsitveY(s) poiˇsˇcemo reˇsitev funkcijey(t).

Inverzno Laplaceovo transformacijo lahko poiˇsˇcemo na veˇc naˇcinov. Na tem me- stu si poglejmo dva enostavna naˇcina za iskanje inverzne Laplaceove transformacije racionalnih funkcij oblike

Y(s) = Ansⁿ+An−1sⁿ⁻¹+· · ·+A1s+A0

B_ms^m+Bm−1s^m−1+· · ·+B₁s+B₀, kjer so A_i inB_i realni koeficienti,m in n pa pozitivni celi ˇstevili.

V primerih zelo enostavnih funkcij si pri iskanju inverzne transformacije poma- gamo s tabelo 1. Ob pogledu na tabelo opazimo, da so v drugem stolpcu zapisane transformacije funkcij iz prvega stolpca. Ko pa pogledamo obratno, vidimo, da so funkcije v prvem stolpcu ravno inverzne transformacije funkcij iz drugega stolpca.

Primer 18. Poglejmo si inverzno Laplaceovo transformacijo funkcijeF(s) = _s−3⁴ +

5 s²+25.

Pri takˇsnih enostavnejˇsih funkcijah si pri iskanju inverzne transformacije poma- gamo s tabelo. Opazimo, da je prvi del funkcije podobne oblike kot funkcija v drugi vrstici tabele 1, inverzno transformacijo za drugi del pa razberemo iz ˇcetrte vrstice tabele 1 in dobimo reˇsitev

y(t) = 4e^3t+ sin 5t.

Pri nekoliko kompleksnejˇsih funkcijah, katerih inverzne transformacije ne mo- remo razbrati iz tabele, si pomagamo s parcialnimi ulomki. S pomoˇcjo parcialnih ulomkov funkcijo razdelimo na veˇc enostavnejˇsih delov, katerih inverzno transfor- macijo lahko razberemo iz tabele.

Primer 19. Poiˇsˇcimo funkcijo f(t), ˇce je njena transformacija enaka F(s) = _(s−6)(s^4+15s2+11).

Tokrat imamo nekoliko kompleksnejˇso funkcijo, katere inverzne transformacije ne moremo razbrati iz tabele, zato jo najprej razpiˇsemo na parcialne ulomke. Dobimo

F(s) = A

s−6 +Bs+C s²+ 11

= A(s²+ 11) + (Bs+C)(s−6) (s−6)(s²+ 11) . Imenovalec zmoˇzimo in dobimo

4 + 15s= (A+B)s²+ (−6B+C)s+ (11A−6C).

Koeficienti pred spremenljivkami s² ter s in konstantni ˇclen morajo biti na obeh straneh enaki, torej lahko zapiˇsemo

A+B = 0,

−6B+C = 15, 11A−6C = 4.

Iz zapisanega sistema enaˇcb izraˇcunamo koeficiente in dobimo A = 2, B = −2 in

C = 3. Sedaj lahko zapiˇsemo funkcijo v obliki F(s) = 2

s−6+ 3−2s s²+ 11

= 2· 1

s−6 −2· s

s²+ 11 + 3· 1 s²+ 11

= 2· 1

s−6 −2· s

s²+ 11 + 3

√11 ·

√11 s²+ 11

Funkcijo imamo zapisano v enostavnejˇsi obliki, torej nam preostane ˇse to, da pogledamo v tabelo 1, s katerimi inverznimi transformacijami se ujemajo ulomki, in lahko zapiˇsemo konˇcno reˇsitev

f(t) = 2· L⁻¹ 1

s−6

−2· L⁻¹ s

s²+ 11

+ 3

√11· L⁻¹ √

11 s²+ 11

= 2e^6t−2 cos√

11t+ 3√ 11 11 sin√

11t.

Temeljni viri poglavja so [2], [4], [11] in [17].

3.6 Stopniˇ casta funkcija

V praksi, pri reˇsevanju primerov, velikokat naletimo tudi na linearne diferencialne enaˇcbe z nezvezno funkcijo ali impulzivno nezvezno silo. Na takˇsne primere enaˇcb naletimo pri reˇsevanju nalog, ki vkljuˇcujejo raˇcunanje toka v elektriˇcnih krogih, saj zaˇcne tok teˇci v trenutku, ko sklenemo tokokrog, in se ustavi v trenutku, ko tokokrog prekinemo. Za laˇzje delo z enaˇcbami, ki imajo nezvezni skok, vpeljemo funkcijo, imenovanoenotska stopniˇcasta funkcijaaliHeavisidova funkcija. Enotsko stopniˇcasto funkcijo oznaˇcimo z u_c in jo definiramo kot

uc(t) =







0, t < c, 1, t ≥c,

c≥0. (8)

Na sliki 4 je prikazan graf enotske stopniˇcaste funkcije.

Iz zapisane defincije enotske stopniˇcaste funkcije lahko razberemo, da ima funk- cijauc(t) v toˇcki t=cvrednost enako 1, kar je razvidno tudi iz grafa. V nekaterih virih lahko zasledimo tudi, da zapiˇsejo vrednost funkcijeu_c(t) v toˇcki t=cenako 0,5. Vendar pa za odsekoma zvezne funkcije, kot je funkcijau_c, vrednost v nezvezni toˇcki obiˇcajno ni pomembna. Stopniˇcasta funkcija oziroma stopnica je lahko tudi

Slika 4: Graf enotske stopniˇcaste funkcije

Slika 5: Graf enotske obratne stopniˇcaste funkcije

negativna. Na sliki 5 lahko vidimo graf obratne stopniˇcaste funkcije y= 1−u_c(t), v tem primeru pa je vrednost funkcije 1−u_c(t) v toˇckit =c enaka 0.

Primer 20. Za dano funkcijo f(t) nariˇsimo pripadajoˇci graf in jo zapiˇsimo s pomoˇcjo enotske stopniˇcaste funkcije.

f(t) =



















−2, 0≤t <3, 6, 3≤t <8, 1, 8≤t <10, 4, t≥10.

Najprej nariˇsimo graf dane funkcije.

Sedaj nam preostane ˇse zapis funkcije s pomoˇcjo enotske stopniˇcaste funkcije.

Slika 6: Graf stopniˇcaste funkcije f(t)

Zaˇcnimo s funkcijof₁(t) = −2, ki ustreza funkcijif(t) na intervalu [0,3). Funkcija v toˇcki t = 3 skoˇci za 8 enot navzgor, kar lahko skupaj s prvo funkcijo zapiˇsemo kot f2(t) = −2 + 8u3(t), kar ustreza funkciji f(t) na intervalu [0,8). V tretjem koraku funkcija v toˇcki t = 8 skoˇci za 5 enot navzdol. Z upoˇstevanjem prejˇsnjih zapisov funkcij dobimof₃(t) =−2+8u₃(t)−5u₈(t). Tako zapisana funkcija ustreza funkciji f(t) na intervalu [0,10). Na koncu nam preostane ˇse zadnji skok v toˇcki t= 10, in sicer za 3 enote navzgor. Tako lahko zapiˇsemo celo funkcijo v naslednji obliki

f(t) =−2 + 8u₃(t)−5u₈(t) + 3u₁₀(t).

Za stopniˇcasto funkcijo znamo enostavno doloˇciti Laplaceovo transformacijo:

L{u_c(t)} = Z ∞

0

e^−stu_c(t)dt.

Zgornji integral lahko razpiˇsemo kot L{u_c(t)} =

Z c 0

e^−stu_c(t)dt+ Z ∞

c

e^−stu_c(t)dt.

Po definiciji stopniˇcaste funkcije (8) pa vemo, da je vrednost prvega integrala enaka 0, saj je vrednost funkcije u_c(t) na intervalu [0, c) enaka 0. Pri drugem intervalu pa je vrednost funkcije uc(t) enaka 1, zato lahko zapiˇsemo

L{u_c(t)} = Z ∞

c

e^−stu_c(t)dt

= Z ∞

c

e^−stdt

L{u_c(t)} = e^−cs

s , s >0.

Za dano funkcijo f, ki je definirana za t ≥ 0, velikokrat obravnavamo tudi podobno funkcijo g(t), ki je definirana kot

g(t) =







0, t < c, f(t−c), t≥c.

Zapisana funkcijag(t) predstavlja prenos funkcijef za razdaljocv pozitivni smeri spremenljivke t. Tako definirano funkcijo g(t) lahko zapiˇsemo v nekoliko drugaˇcni obliki s pomoˇcjo enotske stopniˇcaste funkcije

g(t) =u_c(t)f(t−c).

Na sliki 7 si lahko grafiˇcno pogledamo, kaj predstavlja funkcija g(t).

Slika 7: Grafa funkcije f(t) (leva slika) in g(t) - njenega premika za razdaljo c (desna slika)

Poglavje je povzeto po [1], [2] in [6].

3.7 Impulzna funkcija

Pri reˇsevanju problemov velikokrat naletimo na dogodke impulzivne narave. Vsak- danji primer takˇsnega dogodka je bliskanje. Bliskanje oziroma strela ima zelo veliko energije, ki se sprosti v zelo kratkem ˇcasu. ˇSolska primera tega pojava sta napetost in sila, ki delujeta z zelo veliko amplitudo v kratkem ˇcasovnem intervalu. Te pro- bleme obiˇcajno zapiˇsemo s pomoˇcjo diferencialne enaˇcbe oblikeay⁰⁰+by⁰+cy=g(t), kjer je funkcija g(t) zelo velika v kratkem ˇcasovnem intervalu t0−τ < t < t0+τ, drugaˇce pa je enaka 0. Integral I(τ), ki ga definiramo kot

I(τ) = Z t0+τ

t0−τ

g(t)dt, (9)

predstavlja mero moˇci, s katero deluje funkcija. V mehaniˇcnem sistemu, kjer je g(t) sila, je integral I(τ) skupni impulz sile g(t), ki deluje na ˇcasovnem intervalu (t₀ −τ, t₀ +τ). Podobno je tudi pri elektriˇcnem krogu. ˇCe y predstavlja tok v elektriˇcnem krogu ing(t) ˇcasovni odvod napetosti, potem integralI(τ) predstavlja celotno napetost v krogu v ˇcasovnem intervalu (t0−τ, t0+τ).

V posebnem primeru predpostavimo, da je t₀ enak niˇc in funkcija g(t) podana kot

g(t) =d_τ(t) =







1

2τ, −τ < t < τ, 0, t ≤τ ali t≥τ,

(10)

kjer jeτ majhna pozitivna konstanta. Glede na definicijo funkcijedτ(t) in enaˇcbo (9) sledi, da je vrednost integrala vedno enaka I(τ) = 1, ne glede na vrednost τ, do- kler τ 6= 0. Idealna impulzna funkcija traja zelo kratek ˇcas. Naˇso funkcijo d_τ idealiziramo tako, da ˇcasovni interval krajˇsamo, torej τ →0, kot prikazuje graf na sliki 8.

Poglejmo si, kaj dobimo z limitiranjem funkcije d_τ(t) in integrala I(τ), ko gre τ →0. Pri limitiranju funcijed_τ(t) dobimo

τ→0limd_τ(t) = 0, t 6= 0.

Ce jeˇ I(τ) = 1 za vsak τ 6= 0, sledi

τ→0limI(τ) = 1.

Slika 8: Graf impulzne funkcije d_τ(t), ko gre τ →0

S pomoˇcjo teh dveh limit lahko definiramo idealno enotsko impulzno δ-funkcijo.

Idealna enotska impulzivna funkcija ima ob ˇcasu t = 0 impulz z amplitudo ena, za vse ostale vrednosti t pa je enaka niˇc. δ-funkcijo definiramo z naslednjima lastnostma

δ(t) = 0, t6= 0;

Z ∞

−∞

δ(t)dt = 1.

Tako zapisana funkcija δ(t) ustreza pojavom, kjer se enotski impulz zgodi ob ˇcasu t= 0. Ko pa se enotski impulz zgodi ob nekem drugem ˇcasut=t₀, lahko zapiˇsemo bolj sploˇsno funkcijo, imenovanoDiracova delta funkcija. V osnovi je funkcija zelo

podobna δ-funkciji, le da se impulz zgodi ob drugem ˇcasu, kar zapiˇsemo kot

δ(t−t₀) = 0, t 6=t₀; (11)

Z ∞

−∞

δ(t−t₀)dt = 1. (12)

Opomba: δ-funkcija dejansko ni funkcija, ampak mera, za katero veljajo zgornje lastnosti.

δ-funkcija ne ustreza pogojem iz izreka 2, ampak lahko kljub temu definiramo Laplaceovo transformacijo te funkcije. Ker je funkcijaδ(t) definirana na nek naˇcin kot limita funkcije d_τ(t), ko gre τ →0, definiramo Laplaceovo transformacijo δ(t) kot limito transformacije funkcijedτ(t). Domnevamo, da veljat0 >0, in definiramo L{δ(t−t₀)} z enaˇcbo

L{δ(t−t0)}= lim

τ→0L{dτ(t−t0)}. (13)

Pri oceni limite v enaˇcbi (13) opazimo, da ˇce τ < t₀, kar dejansko mora veljati, ker τ → 0, potem je t₀ −τ > 0. Dokler je d_τ(t−t₀) neniˇceln samo na intervalu (t0−τ, t0+τ), imamo

L{d_τ(t−t₀)} = Z ∞

0

e^−std_τ(t−t₀)dt

=

Z t0+τ t0−τ

e^−std_τ(t−t₀)dt.

Upoˇstevajmo definicijo funkcijedτ(t−t0) iz enaˇcbe (10) in dobimo L{d_τ(t−t₀)} = 1

2τ

Z t0+τ t0−τ

e^−stdt= 1 2τ ·

−1 s

e^−st

t0+τ

t0−τ

= − 1

2sτ

e^−s(t0+τ)−e^{−s(t0−τ)}

= 1

2sτe^−st0

e^sτ−e^−sτ .

Vemo, da velja ^esτ−e₂^−sτ = sinhsτ, zato lahko zapiˇsemo L{d_τ(t−t₀)}= sinhsτ

sτ e^−st0.

Kvocient ^sinh_sτ^sτ na desni strani enaˇcbe je nedoloˇcen, ko greτ →0, ampak s pomoˇcjo L’Hospitalovega pravila lahko izraˇcunamo to limito.