MAGISTRSKO DELO MAGISTRSKI ŠTUDIJSKI PROGRAM DRUGE STOPNJE GEODEZIJA IN GEOINFORMATIKA Ljubljana, 2021

za gradbeništvo in geodezijo

MAGISTRSKO DELO

MAGISTRSKI ŠTUDIJSKI PROGRAM DRUGE STOPNJE GEODEZIJA IN GEOINFORMATIKA

Ljubljana, 2021

Hrbtna stran: 2021

BLAŽ PETOVAR

PRIMERJAVA RAZLIČNIH MODELOV GEOIDA NA OBMOČJU SLOVENIJE

PETOVAR BLAŽ

gradbeništvo in geodezijo

Kandidat/-ka:

BLAŽ PETOVAR

PRIMERJAVA RAZLIČNIH MODELOV GEOIDA NA OBMOČJU SLOVENIJE

Magistrsko delo št.:

COMPARISION OF VARIOUS GEOID MODELS IN SLOVENIA

Master Thesis No.:

Mentor/-ica: Predsednik komisije:

doc. dr. Miran Kuhar

Somentor/-ica:

doc. dr. Božo Koler, asist. Klemen Ritlop

Član komisije:

Ljubljana, ______________

STRAN ZA POPRAVKE

Stran z napako Vrstica z napako Namesto Naj bo

BIBLIOGRAFSKO–DOKUMENTACIJSKA STRAN IN IZVLEČEK

UDK: 528.2(043.3)

Avtor: Blaž Petovar, dipl. inž. geod. (UN) Mentor: doc. dr. Miran Kuhar

Somentorja: doc. dr. Božo Koler asist. Klemen Ritlop

Naslov: Primerjava različnih modelov geoida na območju Slovenije Tip dokumenta: Magistrsko delo

Obseg in oprema: 56 str., 6 pregl., 36 sl., 22 en.

Ključne besede: geoidna višina, geoid, višinski sistemi, plimovanje trdne Zemlje, SLOVRP_2016/Koper, EGG2015, EGM2008, XGM2019e

IZVLEČEK

V magistrskem delu analiziramo različne modele geoida in jih vrednotimo po kakovosti. V analizo vključimo globalne modele EGM2008, XGM2019e, GOCO06s in EIGEN-6S4, regionalna modela EGG2008 in EGG2015 ter državni model SLOAMG_2000 in državno višinsko referenčno ploskev SLO_VRP2016/Koper. Interpolirane vrednosti geoidnih višin iz različnih modelov primerjamo z geoidnimi višinami iz baze kontrolnih točk. Baza kontrolnih točk, ki jo predstavimo v delu, obsega več kot 1000 točk določenih v novem slovenskem višinskem sistemu SVS2010. Rezultate analize predstavimo numerično v obliki preglednic ter grafično v obliki kart potekov, razlik in odstopanj modelov geoida. Višinsko referenčno ploskev SLO_VRP2016/Koper analiziramo še z vidika natančnosti v odvisnosti od normalnih višin točk.

Obravnavamo tudi spremembe zaradi različnih modelov plimovanja trdne Zemlje ter njihov vpliv na višine v okviru višinskih sistemov SVS2010 in EVRF2019. V delu opišemo tudi teoretične osnove težnostnega polja Zemlje, normalnega težnostnega polja, višinskih sistemov in geoida ter različnih modelov geoida.

BIBLIOGRAPHIC-DOCUMENTALISTIC INFORMATION AND ABSTRACT

UDC: 528.2(043.3)

Author: Blaž Petovar, B.Sc. (UN)

Supervisor: Assist. Prof. Miran Kuhar, Ph.D.

Co-advisors: Assist. Prof. Božo Koler, Ph.D.

Assist. Klemen Ritlop

Title: Comparison of various geoid models in Slovenia Document type: Master Thesis

Scope and tools: 56 p., 6 tab., 36 fig., 22 eq.

Keywords: geoid height, geoid, height system, solid Earth tides, SLOVRP_2016/Koper, EGG2015, EGM2008, XGM2019e

ABSTRACT

In the master thesis we analyze different geoid models and evaluate them by quality. In the analysis we include global models EGM2008, XGM2019e, GOCO06s, EIGEN-6S4, regional models EGG2008, EGG2015, national model SLOAMG_2000 and height reference surface SLO_VRP2016/Koper. We compare interpolated values of geoid heights from different models with geoid heights retrieved from GNSS/leveling control points data set. The data set we use consists of more than 1000 points measured in the new Slovenian height reference system SVS2010. Results of the analysis are presented numerically and graphically in the form of charts and maps. We further analyze the height reference surface SLO_VRP2016/Koper in terms of residuals correlation to points' normal heights. In the end we also research the differences due to different solid Earth tides models and their effect on heights in the SVS2010 and EVRF2019 height systems. In the master thesis we also describe theoretical background about Earth's gravity field, normal gravity field, height systems, geoid and different geoid models.

ZAHVALA

Ob zaključku študija, ko prehajam v novo življenjsko obdobje, je prav, da se zahvalim tistim, ki so me spremljali na moji poti. Zahvaljujem se doc. dr. Miranu Kuharju za mentorstvo skozi celoten študij. Hvala, da ste me navdali z zanimanjem za fizikalno geodezijo in vedno imeli odgovore na moja mnoga vprašanja. Za koristne nasvete tekom izdelave magistrskega dela se zahvaljujem tudi somentorjema doc. dr. Božu Kolerju in asist. Klemenu Ritlopu. Za posredovane podatke in uporabne napotke se dodatno zahvaljujem še dr. Heinerju Denkerju.

Nenazadnje hvala tudi vsem drugim mentorjem na moji študijski poti.

Na tej poti nikoli nisem hodil sam. Robert, Alen, Žan, Maša, Klemen², brez vas ne bi šlo.Hvala vsem prijateljem s katerimi smo delili študijske klopi, zapiske in celovečerne debate. Veselim se nadaljevanja naše poti in izmenjave znanj.

8 in 24 hvala za motivacijo, za vedno!

Nazadnje še najpomembnejši. Največja zahvala gre mojim staršem in sestrama, ki so mi omogočili šolanje in mi vedno stali ob strani. Hvala, da ste me naučili razmišljati s svojo glavo.

Kati, ena stran ne bi bila dovolj, da se tebi zahvalim za vse, zato naj bo samo: Hvala ker si!

Ko hodiš, pojdi zmeraj do konca.

Spomladi do rožne cvetice, poleti do zrele pšenice, jeseni do polne police, pozimi do snežne kraljice, v knjigi do zadnje vrstice, v življenju do prave resnice, v sebi do rdečice čez eno in drugo lice.

A če ne prideš ne prvič, ne drugič do krova in pravega kova poskusi: vnovič in zopet in znova.

(Tone Pavček)

KAZALO VSEBINE

BIBLIOGRAFSKO–DOKUMENTACIJSKA STRAN IN IZVLEČEK ... II BIBLIOGRAPHIC-DOCUMENTALISTIC INFORMATION AND ABSTRACT... III ZAHVALA ... IV KAZALO VSEBINE... V KAZALO SLIK ... VII KAZALO PREGLEDNIC ... VIII UPORABLJENE KRATICE IN OKRAJŠAVE ... IX

1 UVOD ... 1

1.1 Struktura dela ... 2

2 TEORETIČNE OSNOVE ... 3

2.1 Težnostno polje Zemlje ... 3

2.2 Normalno težnostno polje in moteča težnost ... 7

2.3 Geoid ... 8

2.3.1 Prikaz ploskve v celični mreži ... 10

2.3.2 Globalni geopotencialni modeli ... 12

2.3.2.1 EGM96 ... 12

2.3.2.2 EGM2008 ... 12

2.3.2.3 GOCO06s ... 14

2.3.2.4 EIGEN-6S4 ... 15

2.3.2.5 XGM2019e ... 16

2.3.3 Regionalni modeli ... 17

2.3.3.1 EGG2008 ... 17

2.3.3.2 EGG2015 ... 18

2.3.4 Geoidi na območju Slovenije ... 20

2.3.4.1 SLOAMG_2000 ... 21

2.3.4.2 SLO_VRP2016/Koper ... 22

2.4 Višinski sistemi ... 24

2.4.1 Problem upoštevanja različnih modelov plimovanja trdne Zemlje ... 26

2.4.2 SVS2010 ... 28

2.4.3 EVRF2019... 28

2.4.4 Pogled v prihodnost višinskih sistemov ... 29

3 METODOLOGIJA VREDNOTENJA KAKOVOSTI GEOIDA ... 31

3.1 Opis baze točk ... 31

3.2 Opis postopkov vrednotenja in predstavitev programov ... 32

4 REZULTATI IN ANALIZA KAKOVOSTI ... 36

4.1 Analiza odstopanj globalnih modelov geoidov ... 36

4.2 Analiza odstopanj regionalnih modelov geoidov ... 40

4.3 Analiza odstopanj državnih modelov geoidov ... 43

4.4 Obravnava plimovanja trdne Zemlje ... 47

5 ZAKLJUČEK ... 50

VIRI IN LITERATURA ... 52

KAZALO SLIK

Slika 1: Gravitacijska sila, centrifugalna sila ter njuna rezultanta: sila teže (Kuhar, 1996, str.

14) ... 5

Slika 2: Prikaz ekvipotencialnih ploskev (angl. level surface) in težiščnic ... 6

Slika 3: Geoidna višina, anomalija težnosti in odklon navpičnice (kot med normalo n' in navpičnico n) ... 8

Slika 4: Karta odstopanj topografije morske gladine v cm, ustvarjena v okviru misije GOCE .. 9

Slika 5: Primer celične mreže z zapisom vrednosti v vozliščih mreže ... 11

Slika 6: Primer celične mreže z zapisom vrednosti v celicah mreže ... 11

Slika 7: Prikaz poteka globalnega geopotencialnega modela EGM2008 ... 13

Slika 8: Prikaz poteka ploskve modela EGM2008 na območju Slovenije... 13

Slika 9: Prikaz poteka ploskve modela GOCO06s na območju Slovenije ... 14

Slika 10: Prikaz poteka ploskve modela EIGEN-6S4 na območju Slovenije ... 15

Slika 11: Prikaz poteka ploskve modela XGM2019e na območju Slovenije ... 16

Slika 12: Prikaz poteka ploskve modela EGG2008 na območju Slovenije... 18

Slika 13: Prikaz poteka evropskega kvazigeoidnega modela EGG2015 ... 19

Slika 14: Prikaz poteka ploskve modela EGG2015 na območju Slovenije... 19

Slika 15: Prikaz poteka ploskve modela geoida SLOAMG_2000 na območju Slovenije ... 22

Slika 16: Prikaz poteka višinske referenčne ploskve SLO_VRP2016/Koper na območju Slovenije... 23

Slika 17:Višinski sistemi v uporabi(l. 2019) kot državni višinski sistemi evropskih državah. (Rdeča – normalne višine, rumena – ortometrične višine, zelena – normalne-ortometrične višine, modra – nepopravljene nivelirane višine) ... 25

Slika 18: Prikaz razporeditve kontrolnih točk GNSS/nivelman in točk vpetja SLO_VRP2016/Koper ... 31

Slika 19: Histogram porazdelitve točk v odvisnosti od normalne višine ... 32

Slika 20: Histogrami porazdelitve odstopanj za globalne modele geoidov... 37

Slika 21: Prikaz odstopanj modela EGM2008 na kontrolnih točkah ... 37

Slika 22: Prikaz odstopanj modela XGM2019e na kontrolnih točkah ... 38

Slika 23: Prikaz odstopanj modela GOCO06s na kontrolnih točkah ... 39

Slika 24: Prikaz odstopanj modela EIGEN-6S4 na kontrolnih točkah ... 39

Slika 25: Prikaz razlik modelov XGM2019e in GOCO06s ... 40

Slika 26: Histograma porazdelitve odstopanj za evropska modela kvazigeoidov ... 41

Slika 27: Prikaz odstopanj modela EGG2008 na kontrolnih točkah ... 41

Slika 28: Prikaz odstopanj modela EGG2015 na kontrolnih točkah ... 42

Slika 29: Prikaz razlik modelov EGG2015 in EGG2008 ... 42

Slika 30: Histograma porazdelitve odstopanj za državna modela (kvazi)geoidov ... 43

Slika 31: Prikaz odstopanj modela SLOAMG_2000 na kontrolnih točkah ... 44

Slika 32: Prikaz odstopanj višinske referenčne ploskve SLO_VRP2016/Koper na kontrolnih točkah ... 45

Slika 33: Prikaz razlik modelov SLO_VRP2016/Koper in SLOAMG_2000 ... 45

Slika 34: Graf absolutnih vrednosti odstopanj v odvisnosti od normalne višine točk za SLO_VRP2016/Koper ... 46

Slika 35: Prikaz vrednosti sprememb višin pri transformaciji iz SVS2010 v EVRF2019(»zero- tide«) ... 47

Slika 36: Prikaz vpliva plimovanja trdne Zemlje na višine pri prehodu iz »zero-tide« v »mean- tide« sistem obravnave ... 48

KAZALO PREGLEDNIC

Preglednica 1: Statistični kazalniki odstopanj za različne globalne modele geoidov ... 36 Preglednica 2: Statistični kazalniki odstopanj za evropska modela kvazigeoidov EGG2008 in EGG2015 ... 41 Preglednica 3: Statistični kazalniki odstopanj za državna modela SLOAMG_2000 in

SLO_VRP2016/Koper ... 43 Preglednica 4: Statistični kazalniki odstopanj za model SLOAMG_2000, v višinskem datumu Trst ... 44 Preglednica 5: Standardni odkloni odstopanj modela SLO_VRP2016/Koper, po višinskih kategorijah ... 46 Preglednica 6: Statistični kazalniki odstopanj za SLO_VRP2016/Koper s točkami

transformiranimi v EVRF2019 (»zero-tide« in »mean-tide«) ... 48

UPORABLJENE KRATICE IN OKRAJŠAVE

DMG - Digitalni Model Gostote DMR - Digitalni Model Reliefa DMV - Digitalni Model Višin

EGG - angl. European Gravimetric (Quasi)Geoid EGM - angl. Earth Gravitational Model

EIGEN - angl. European Improved Gravity model of the Earth by New techniques ETRS - angl. European Terrestrial Reference System

EVRF - angl. European Vertical Reference Frame FFT - angl. Fast Fourier Transform

GFZ - nem. Geo Forschungs Zentrum

GNSS - angl. Global Navigation Satellite System GOCO - angl. Gravity Observation Combination GPU - angl. Geopotential Unit

GRGS - fra. Groupe de Recherche de Géodésie Spatiale GURS - Geodetska uprava Republike Slovenije

IAG - angl. International Association of Geodesy

ICGEM - angl. International Centre for Global Earth Models IfE - nem. Institut für Erdmessung

ITRS - angl. International Terrestrial Reference System LEO - angl. Low-Earth Orbits

NASA - angl. National Aeronautics and Space Administration NGA - angl. National Geospatial Agency

RTK - angl. Real Time Kinematic SLR - angl. Satellite Laser Ranging

SRTM - angl. Shuttle Radar Topography Mission SVS2000 - Slovenski Višinski Sistem 2000 SVS2010 - Slovenski Višinski Sistem 2010

TDRSS - angl. Tracking and Data Relay Satellite System

Ta stran je namenoma prazna.

1 UVOD

Osnovna naloga geodezije je opisovanje in prikazovanje oblike in velikosti Zemlje ter prostora okoli nas. Glede na specifično nalogo, ki jo izvajamo, imamo na voljo različne načine zajema prostorskih podatkov. Na voljo so nam na primer metode klasične terestrične izmere, fotogrametrični zajem podatkov, izmera s pomočjo tehnologije GNSS (angl. Global Navigation Satellite System), lasersko skeniranje. Vsaka izmed njih ima svoje prednosti in slabosti, katere mora geodetski strokovnjak poznati za izbiro optimalne metode v dani situaciji. Razvoj tehnologije dandanes pa omogoča vedno večjo uporabnost izmere GNSS, tudi v primerih, ki so bili nekoč možni le s klasično terestrično izmero. Določitev koordinat z izmero GNSS deluje popolnoma po matematičnem principu. Za izračun položaja v horizontalni sestavini državnega koordinatnega sistema nam to omogoča relativno enostaven preračun, saj je horizontalni položaj definiran popolnoma geometrijsko. Določitev vertikalnega položaja pa je nekoliko kompleksnejša, saj moramo tukaj obvezno upoštevati tudi fizikalne lastnosti in težnostno polje Zemlje.

Rezultat izmere GNSS v višinskem smislu so višine nad referenčnim elipsoidom oziroma elipsoidne višine (ℎ), ki pa v praktičnih nalogah pogosto niso neposredno uporabne, saj niso povezane s težnostnim poljem. Za praktično uporabo moramo tako preiti iz geometrijsko definiranih elipsoidnih višin v višinski sistem, ki je definiran v težnostnem polju Zemlje. V sodobnih višinskih sistemih to povezavo običajno predstavlja višinska referenčna ploskev, za katero se običajno uporablja geoidna ploskev, ki fizikalno najboljše predstavlja fizično površje in težnostno polje Zemlje. Dobro določena geoidna ploskev je nujna za pridobitev kvalitetnih rezultatov z izmero GNSS. Končno nadmorsko višino (𝐻) dobimo kot razliko med elipsoidno višino pridobljeno iz opazovanj GNSS, in geoidno višino (𝑁), pridobljeno iz modela geoida:

𝐻 = ℎ − 𝑁 (1)

Geoid ima tako torej na eni strani vlogo fizikalne oblike Zemlje, na drugi strani pa služi kot referenčna ploskev za določitev nadmorskih višin. Pomen geoida je viden na različnih področjih (Kuhar, 2017): določanje geometrije površja Zemlje kot »teoretične oblike Zemlje«, višinski datum geodetske izmere, redukcija terestričnih geodetskih meritev na elipsoid, uporaba v višinomerstvu GNSS, povezava terestrične izmere z meritvami satelitske geodezije ter prehod med sistemi, raziskave v geodinamiki in geofiziki, oceanografske raziskave.

1.1 Struktura dela

Poglavja teoretičnih osnov predstavljajo pregled bistvenih lastnosti fizikalne geodezije, obravnave geoida in višinskih sistemov ter tako predstavljajo osnovo za izdelavo dela. Zaradi pomanjkanja literature v slovenskem jeziku s področja težnostnega polja Zemlje in obravnave geoida je v prvem delu predstavljeno nekaj teoretičnih izhodišč tudi s ciljem širjenja znanja. V nadaljevanju so predstavljene osnove gravitacijskega polja Zemlje, sledi obravnava gravitacijskega potenciala in njegova uporaba, kar nas pripelje do geoida – najpomembnejše ploskve za določitev nadmorskih višin v geodeziji. Predstavljena je klasična rešitev in rešitev po Molodenskem. V sledečem poglavju so predstavljene različne vrste modelov geoidov, predstavljeni so podatki za izračun in načini izračunov. Ker je geoid referenčna ploskev za višine, pregledamo tudi različne višinske sisteme, ki so nanj lahko vezani. V delu se na kratko dotaknemo še zgodovine modelov geoidov v Sloveniji, bolj podrobno pa sledijo opisi aktualnih rešitev. V ospredju dela je SLOvenska Višinska Referenčna Ploskev iz leta 2016, s kratico SLO_VRP2016/Koper, ki je del aktualnega državnega višinskega sistema SVS2010 (Slovenski višinski sistem 2010).

V drugem delu predstavimo bazo kontrolnih točk, metodologijo obravnave geoidov in rezultate analize kakovosti različnih modelov geoidov na območju Slovenije. Analizo razdelimo na tri dele, kjer posebej obravnavamo globalne modele, regionalne modele ter državne modele geoidov. V zadnjem poglavju analiziramo še vpliv uporabe različnih modelov plimovanja trdne Zemlje na določevanje višin.

2 TEORETIČNE OSNOVE

2.1 Težnostno polje Zemlje

Osnovna naloga geodezije je določanje oblike Zemlje in objektov na njej. Oblika Zemlje je tesno povezana z delovanjem težnostnega polja. Poznavanje težnostnega polja Zemlje je tako tesno povezano z geodezijo. Ker se vsa opazovanja v geodeziji izvajajo v Zemljinem težnostnem polju, je dobro poznavanje tega ključnega pomena za kvalitetno izvedbo geodetskih opazovanj. Z raziskavami težnostnega polja poleg ključnih informacij zakorektno obdelavo geodetskih opazovanj, pridobimo tudi informacije o notranji razporeditvi mas Zemlje.

Od tod izhaja povezava med vedama geodezije in geofizike.

Kot je že leta 1687 ugotovil angleški fizik Isaac Newton, med vsemi telesi z neko maso, v prostoru deluje gravitacijska sila. Ta je tako odvisna od mase teles (𝑚₁, 𝑚₂) in oddaljenosti (𝑙) med njimi. Bližje kot sta si dve telesi in večja kot je njuna masa, večja je gravitacijska sila, ki deluje med njima. Zveza med količinami je dana z gravitacijskim zakonom:

𝐹 = 𝐺 ∙𝑚₁𝑚₂ 𝑙²

(2)

V enačbi (2) 𝐺 predstavlja gravitacijsko konstanto, katere vrednost znaša 𝐺 = 6,67430 ∙ 10⁻¹¹ m³ kg⁻¹ s⁻². Gravitacijska konstanta je trenutno določena z relativno negotovostjo 22 ppm (2,2 ∙ 10⁻⁵), kar pomeni da je ena izmed najslabše določenih fundamentalnih konstant. Med razlogi za slabo natančnost določitve je tudi dejstvo, da je gravitacijska sila najšibkejša izmed štirih fundamentalnih sil vesolja (CODATA, 2020). Kot vidimo iz enačbe (2) je gravitacijska sila med telesi simetrična v obe smeri. Kljub temu pa običajno eno izmed teles imenujemo »masa, ki vsiljuje privlačnost« (angl. attracting mass) ter drugo telo »privlačevana masa« (angl. attracted mass). Telesa, pri katerih je njihova velikost majhna, gledano relativno glede na oddaljenost, lahko obravnavamo kot točkasta in enačbo gravitacijske privlačnosti (2) uporabimo direktno (npr. za izračun gravitacijske sile med astronomskimi telesi, kot so planeti). Telesa, ki ležijo v neposredni bližini pa v tem primeru ne moremo kategorizirati kot točkasta telesa. Na njihovo medsebojno privlačnost vplivajo tudi oblika, velikost in lega v prostoru. Skupno rezultanto privlačnosti med njimi izračunamo z deljenjem na diferencialno majhne dele ter izračunom seštevkov privlačnosti posameznih delov (Kuhar, 1996).

Ko opisujemo gravitacijsko silo v prostoru preidemo na vektorsko polje sile, ki ga v tem primeru imenujemo gravitacijsko polje. Le-to je posebno v tem, da je konservativno, če je stacionarno oziroma časovno neodvisno. Za konservativna polja velja, da so neodvisna od izbrane poti v prostoru, odvisna so le od začetne in končne točke poti. Če se telo giblje po zaprti poti, bo

opravljeno delo vedno nič, ne glede na pot, ki jo izbere. To pomeni, da lahko vsaki točki v polju pripišemo vrednost dela, ki ga bo potrebno opraviti, da telo premaknemo iz enotnega izhodišča v to točko (Vermeer, 2020). Iz vektorskega polja preidemo na skalarno polje, kar poenostavlja računanje. Namesto treh komponent vektorja imamo sedaj samo eno skalarno funkcijo. Tej funkciji rečemo gravitacijski potencial:

𝑉 = 𝐺 ∙𝑚 𝑙

(3)

Potencial v neki točki P nam fizikalno predstavlja negativno delo, ki ga mora opraviti gravitacijska sila na enoto mase, da prenese telo iz točke neskončne oddaljenosti (𝑉 = 0) v točko P. Enota za gravitacijski potencial je m² s⁻². Enačbo za izračun potenciala vzdolž Zemlje lahko zapišemo kot (Torge, 2001):

𝑉 = 𝐺 ∙ ∭ 𝑑𝑚

𝑍𝑒𝑚𝑙𝑗𝑎 𝑙

= 𝐺 ∙ ∭ 𝜌

𝑍𝑒𝑚𝑙𝑗𝑎𝑙

𝑑𝑣 (4)

Če bi bila funkcija gostote Zemlje 𝜌 = 𝜌(𝑟^′) povsem znana, bi tudi dejansko lahko uporabljali enačbo (4) za izračun potenciala na poljubni točki Zemlje. Ker pa je gostota znana le za nekatere zgornje sloje Zemlje, si z zgornjo enačbo lahko le malo pomagamo. Za rešitev problema moramo vključiti opazovanja gravitacijskega polja (Torge, 2001).

Za gravitacijski potencial lahko rečemo, da je enolična, omejena in zvezna funkcija v zunanjem prostoru Zemlje, ki se proti neskončnosti manjša proti 0 (recipročna razdalja 1/𝑙). Prav tako so prvi odvodi gravitacijskega potenciala zvezne, enolične in omejene funkcije v zunanjosti in notranjosti Zemlje. To pa ne velja več za druge odvode potenciala, ti vsebujejo diskontinuiteto zaradi velikega preskoka gostote na robni ploskvi med trdno Zemljo in atmosfero. Gravitacijski potencial znotraj Zemlje lahko zapišemo s Poissonovo diferencialno enačbo, zunaj Zemlje, kjer je 𝜌 = 0 pa z Laplaceovo diferencialno enačbo (Kuhar, 1996). Rešitev Laplaceove diferencialne enačbe so harmonične funkcije, te pa nam skupaj z robnimi vrednosti na površju Zemlje omogočajo določitev gravitacijskega potenciala v zunanjosti Zemlje. Tako nam ni potrebno poznati razporeditve gostote v notranjosti Zemlje.

Ker vemo, da Zemlja ni stacionarno telo, ampak se vrti okoli lastne osi Z s stalno obodno hitrostjo, deluje na točko P na površju tudi centrifugalna sila. Rotacija Zemlje torej prav tako vpliva na težnostno polje. Centrifugalna sila deluje pravokotno na os vrtenja Zemlje in je največja na ekvatorju ter se manjša proti poloma, kjer je enaka nič. Centrifugalno silo na telo z enotsko maso lahko zapišemo kot:

𝒇 = 𝜔²𝒑 (5)

kjer je 𝜔 kotna hitrost in 𝑝 = √𝑥²+ 𝑦² pravokotna razdalja od rotacijske osi Z. Tako kot pri gravitacijskem potencialu lahko zapišemo tudi centrifugalni potencial (Kuhar, 1996):

Φ =1

2𝜔²𝑝² (6)

Sedaj lahko zapišemo končno rezultanto (slika 1) delovanja obeh sil (gravitacijske in centrifugalne) na točko P na površju Zemlje, in sicer je to sila teže:

𝒈 = 𝑭 + 𝒇 (7)

Slika 1: Gravitacijska sila, centrifugalna sila ter njuna rezultanta: sila teže (Kuhar, 1996, str. 14) Smer sile teže je geodetom bolj znana kot smer težiščnice, velikost vektorja pa imenujemo kar težnost. Ta se fizikalno obravnava kot pospešek oziroma bolj znano težni pospešek. Enote, ki so v uporabi za težni pospešek so m s⁻², v geodeziji pa je poznana enota tudi Gal, ki je ime dobil po italijanskem fiziku Galileu Galileju. 1 Gal odraža vrednost 10⁻² m s⁻². Vrednost težnega pospeška na ekvatorju znaša 9,780 m s⁻², na polih pa 9,832 m s⁻². Dogovorjena srednja vrednost težnega pospeška na Zemlji znaša 9,806 m s⁻² (CODATA, 2020).

Glede na (7) lahko zapišemo tudi enačbo za težnostni potencial (𝑊), ki je vsota gravitacijskega potenciala (𝑉) in centrifugalnega potenciala (Φ) (Hoffman-Wellenhof, Moritz, 2005):

𝑊 = 𝑊(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑉 + Φ = 𝐺 ∙ ∭ 𝜌

𝑍𝑒𝑚𝑙𝑗𝑎𝑙

𝑑𝑣 +1

2𝜔²(𝑥²+ 𝑦²) (8) Obliko Zemlje lahko dobro prikažemo s ploskvami enakega težnostnega potenciala. Rečemo jim tudi nivojske ploskve težnostnega potenciala ali ekvipotencialne ploskve. Nivojske ploskve lahko zapišemo kot:

𝑊(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡. (9) Od tod poiščemo odvod težnostnega polja v dani smeri 𝑠, vektorska enota v smeri je podana:

𝒔 = (𝑑𝑥, 𝑑𝑦, 𝑑𝑧). Iz vektorske analize sledi, da je odvod polja (𝑑𝑊) v dani smeri enak skalarnemu produktu gradienta polja (grad𝑊) in vektorske enote v tej smeri (Kuhar, 1996). Če vektor 𝒔, v smeri ploskve, ponesemo po ekvipotencialni ploskvi, ostane potencial konstanten na celotni poti in je 𝑑𝑊 = 0 ter tako velja:

𝑑𝑊 = grad𝑊 ∙ 𝒔 = 𝒈 ∙ 𝒔 = 0 (10)

Ko je skalarni produkt dveh vektorjev enak 0, sta le ta vektorja ortogonalna. To nam potrdi dejstvo, da je vektor sile teže vedno pravokoten na ekvipotencialno ploskev (Hoffman- Wellenhof in Moritz, 2005). Vektor sile teže v vsaki točki predstavlja tangento na težiščnico, kot je prikazano na sliki 2, v točki P. Težiščnice so prostorske krivulje, ki vedno pod pravim kotom sekajo ekvipotencialne ploskve. Zaradi nepravilne oblike ekvipotencialnih ploskev ter različne razporeditve mas v notranjosti Zemlje so tudi težiščnice fleksijsko in torzijsko ukrivljene. V praktičnem smislu predstavljajo smer grezila horizontiranega instrumenta.

Ekvipotencialne ploskve niso vzporedne. Na mestih z manjšo težnostjo so razdalje med njimi večje, kjer je težnost večja, pa so razdalje med njimi manjše. Ena izmed ekvipotencialnih ploskev je tudi geoid (Torge, 2001). Geoid je ena izmed treh osnovnih ploskev v geodeziji, drugi dve sta fizično površje Zemlje ter rotacijski elipsoid.

Slika 2: Prikaz ekvipotencialnih ploskev (angl. level surface) in težiščnic (Hoffman-Wellenhof in Moritz, 2005, str. 47)

2.2 Normalno težnostno polje in moteča težnost

Zemljo v prvem približku običajno obravnavamo kot kroglo, v drugem pa že kot rotacijski elipsoid. Ta je primeren za matematično obravnavo in ima poleg tega, da predstavlja osnovo za horizontalne referenčne sisteme, tudi velik pomen pri obravnavi višinskih sistemov.

Uvedemo normalno težnostno polje, ki ga pripišemo referenčnemu elipsoidu z geometričnima parametroma: veliko polosjo 𝑎 ter sploščenostjo 𝑓, tema pa dodamo še fizikalna parametra:

skupno maso Zemlje in njene atmosfere 𝑀 ter kotno hitrost 𝜔. Tako vzpostavimo »normalno«

težnostno polje Zemlje, oziroma nivojski ali normalni elipsoid (Torge, 2001). Nivojski elipsoid je prav tako ekvipotencialna ploskev:

𝑈 = 𝑈(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡. (11)

Za obravnavo nivojskega elipsoida ne potrebujemo poznavanja razporeditve mas oziroma gostote v notranjosti Zemlje. Nivojski elipsoid sicer še ni končna rešitev problema določevanja zemeljskega težnostnega polja, saj je to podvrženo lokalnim spremembam. Vendar pa je nivojski elipsoid dovolj dober približek, ki nam olajša računanje dejanske težnosti. Omogoča nam, da majhne razlike med normalnim težnostnim poljem in dejanskim težnostnim poljem obravnavamo kot linearne (Kuhar, 1996). Zapišemo enačbo dejanskega težnostnega potenciala 𝑊 kot vsoto normalnega težnostnega potenciala 𝑈 in motečega potenciala oziroma anomalije potenciala 𝑇:

𝑊(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑈(𝑥, 𝑦, 𝑧) + 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) (12) Moteči potencial je prva anomalijska količina, ne moremo pa je neposredno izmeriti. Izmerimo lahko druge anomalijske komponente in iz njih izpeljemo vrednosti motečega potenciala.

Anomalijske komponente težnostnega polja so: geoidna višina 𝑁, anomalija težnosti 𝛥𝑔 in odklon navpičnice Θ (Slika 3). Geoidna višina predstavlja vertikalni premik med geoidom in nivojskim elipsoidom. Odklon navpičnice je prostorski kot med vektorjem normalne težnosti na elipsoid (normala) in vektorjem dejanske težnosti (navpičnica) na geoid. Anomalija težnosti pa predstavlja razliko med vrednostjo dejanskega težnega pospeška v točki na geoidu in normalnega težnega pospeška v točki na elipsoidu (Vermeer, 2020):

𝛥𝑔 = 𝑔 − 𝛾 (13)

V enačbi (13) se dejanski težni pospešek nanaša na geoid, dejanski težni pospešek pa merimo na fizični površini Zemlje, na različnih višinah in pogojih. Ker meritve kot take vsebujejo različne prostorske in časovne vplive so neprimerljive, vpeljati moramo redukcije na skupno ploskev, kar je običajno geoid. Redukcije delimo na izostazijske in neizostazijske (glede na to ali upoštevajo teorijo izostazije ali ne), upoštevamo pa jih z računanjem popravkov. Neizostazijski

popravki so: popravek prostega zraka, Bouguerov popravek, terenski popravek, popravek Poincarre – Praya, Helmertov kondezacijski popravek in Rudzkijev inverzni popravek.

Podrobneje jih v svojih delih opišeta Kuhar (1996) in Vermeer (2020).

Slika 3: Geoidna višina, anomalija težnosti in odklon navpičnice (kot med normalo n' in navpičnico n) (Kuhar, 2020, str. 52)

Anomalijske komponente težnostnega polja in moteči potencial poveže Brunsova enačba (Vermeer, 2020):

𝑁 =𝑇

𝛾 (14)

2.3 Geoid

Do sedaj smo že več krat omenili pojme geoid in geoidna višina brez podrobnejše razlage.

Gre za najpomembnejšo ploskev fizikalne geodezije, nekoliko podrobneje jo predstavimo v nadaljevanju. Kot smo že omenili je geoid ena izmed nivojskih ploskev težnostnega potenciala in se fizikalno najboljše prilega obliki Zemlje. Ploskev je C. F. Gauss definiral kot srednjo gladino svetovnih morij navidezno podaljšano tudi pod celinami (Hoffman-Wellenhof, Moritz, 2005). Kljub temu pa, tudi ko odstranimo vse periodične vplive na gladino morij, kot so plimovanje zaradi Sonca in Lune, vplivi različnega zračnega tlaka in vetrov ter sprememb morskih tokov, srednja gladina še vedno stalno ne sovpada popolnoma s potekom geoida.

Razlike so velikosti 1 do 2 metra. Skupku nepravilnosti, ki povzročajo odstopanje ploskve

geoida od srednje gladine morij, rečemo topografija morske gladine, prikazano na sliki 4 (Vermeer, 2020).

Slika 4: Karta odstopanj topografije morske gladine v cm, ustvarjena v okviru misije GOCE (vir:

http://www.esa.int/ESA_Multimedia/Images/2014/11/Mean_dynamic_topography)

Ploskev geoida je zaradi svoje ukrivljenosti in nepravilnosti neprimerna za geodetske izračune.

Je pa primerna za obravnavo težnostnega polja ter tako primerna in zgodovinsko uporabljena kot višinska referenčna ploskev. Z enačbo lahko geoid predstavimo kot (Hoffman-Wellenhof in Moritz, 2005):

𝑊 = 𝑊₀= 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡. (15)

Za popolno določitev geoida bi morali poznati tudi funkcijo razporeditve mas v notranjosti Zemlje, kar pa nam je v veliki meri neznanka. Geoid zato določamo na osnovi merjenih vrednosti anomalijskih komponent težnostnega polja na površju, ki so nato reducirane na nivojsko ploskev ter z upoštevanjem predpostavk o razporeditvi mas v notranjosti Zemlje. Ker se želimo predpostavkam o razporeditvi mas in posledičnih pogreškov čim bolj izogniti, predstavimo pojem kvazigeoida. Tega je v sredini 20. stoletja uvedel M. S. Molodenski, ki je celoten izračun »prestavil« iz geoida na fizično površino Zemlje, kjer se meritve tudi izvajajo.

S tem se znebimo potrebe po predpostavkah o razporeditvi mas v notranjosti Zemlje. Ploskev kvazigeoida pa postane referenčna ploskev, ki pa je le to in ne tudi ekvipotencialna ploskev.

Razdalja med referenčnim elipsoidom in ploskvijo tako postane kvazigeoidna višina oziroma

anomalija višine ζ. Višina točke na površju pa normalna višina (Kuhar et al., 2011). Na razdalji anomalije višine od fizične površine se definira tudi ploskev teluroida. Večina današnjih

»rešitev« za obravnavo zemeljskega površja uporablja model kvazigeoida. O pomembnosti ideje Molodenskega priča tudi nagovor priznanega avstrijskega geodeta in nekdanjega predsednika IAG (angl. International Association of Geodesy) Helmuta Moritza, ki je o njem dejal: »He is probably the only geodesist who would have deserved a Nobel Prize.« (Moritz in Yurkina, 2000, str. vii).

Geoid oziroma kvazigeoid v praktični uporabi potrebujemo za izračun geoidne oziroma kvazigeoidne višine v neki diskretni točki. To pridobimo iz modela (kvazi)geoida, ki ga imamo na voljo. Modeli so lahko izračunani na celotni površini Zemlje (globalni modeli), na območju neke regije (regionalni modeli), države (državni modeli) ali pa le na posameznem lokalnem območju. Pogosta načina predstavitve modela sta ali s sfernimi harmoničnimi koeficienti, kot je to običaj pri globalnih geopotencialnih modelih ali pa s celično mrežo, kot je praksa pri državnih modelih. Sam izračun geoida pa je odvisen od podatkov, ki jih imamo na voljo.

Običajno se uporablja kombinacija različnih vrst podatkov (Kuhar, 1996): meritve težnosti oziroma težnega pospeška, astronomska opazovanja, koordinate točk, določene z metodami satelitske geodezije, opazovanja do umetnih Zemljinih satelitov in med njimi ter meritve satelitske altimetrije.

Upoštevajoč kakšne podatke imamo na voljo obstaja več vrst določitve ploskve geoida.

Seveda pa je velikega pomena enakomerna razporeditev in visoka gostota opazovanj.

Pribičević (2001) metode izračuna geoida v grobem loči na tri skupine:

- terestrične metode (astrogeodetska metoda, gravimetrična metoda),

- satelitske metode (dinamične satelitske metode, satelitska altimetrija, tridimenzionalna satelitska določitev položaja),

- kombinirane metode (dinamične in gravimetrične metode, astrogravimetrični nivelman, kombinirana določite geoida s pomočjo vseh razpoložljivih podatkov – kolokacija po metodi najmanjših kvadratov).

2.3.1 Prikaz ploskve v celični mreži

Kot smo omenili že v prejšnjem poglavju, je eden najpogostejših načinov prikaza modela geoida prikaz v obliki celične mreže. V splošnem imamo dve vrsti celičnih mrež, ki se delita glede na položaj v mreži, na katerega se nanašajo podane vrednosti. Pri prvih so vrednosti zapisane v vozliščih same mreže. Te se večinoma uporabljajo za zapise diskretnih nizov točkastih podatkov. Takšne vrste so tudi celične mreže, s katerimi predstavimo ploskev geoida.

V vozliščih torej predstavimo vrednosti geoidne višine. Druga vrsta celičnih mrež so t. i.

pikselske mreže, kjer so vrednosti zapisane znotraj vsake posamezne celice v mreži. Takšne mreže se v glavnem uporabljajo za rastrske prikaze. Zaradi različnih položajev registracije vrednosti v mreži imata na enakem območju obe vrsti celičnih mrež različno število vrednosti v mreži (NCEI, 2021). Pri pikselskih mrežah se ustvari za en stolpec ter eno vrstico manj podatkov v nizu. Na slikah 5 in 6 prikažemo primer obeh mrež ter način zapisa vrednosti.

Slika 5: Primer celične mreže z zapisom vrednosti v vozliščih mreže (vir: NCEI, 2021)

Slika 6: Primer celične mreže z zapisom vrednosti v celicah mreže (vir: NCEI, 2021)

Celične mreže so sicer lahko pravilne ali nepravilne. Za prikaz geoidnih ploskev pa se v glavnem uporabljajo pravilne mreže koordinatnih linij. Pravilne velikosti celic nam omogočajo lažji računalniški zapis, saj vsakemu vozlišču posebej ni potrebno definirati koordinat. Na začetku definiramo le obseg območja in velikost koraka oziroma celice, nato pa je potreben le zaporeden zapis vrednosti geoidnih višin. Te si običajno sledijo v zaporedju od levega zgornjega vogala območja do desnega spodnjega vogala. Z velikostjo celice v mreži nato definiramo tudi ločljivost celične mreže (NCEI, 2021). Kadar pa želimo iz celične mreže pridobiti podatek o geodni višini na poljubnem položaju izvedemo postopek interpolacije.

Načina interpolacije vrednosti iz celične mreže sta na primer bilinearna interpolacija in bikubična interpolacija.

2.3.2 Globalni geopotencialni modeli

2.3.2.1 EGM96

EGM96 (angl. Earth Gravitational Model) je globalni geopotencialni model, izdelan na osnovi sfernih harmoničnih koeficientov do stopnje in reda 𝑛 = 𝑚 = 360. Izdelan je bil v sodelovanju ameriških agencij NGA (angl. National Geospatial Agency), NASA (angl. National Aeronautics and Space Administration) in univerze Ohio State. Skupen projekt je v izračun zajel mnoge nove gravitacijske podatke. V izračunu so bili uporabljeni podatki sledenja tirnic satelitov, s tehnikami SLR (angl. Satellite Laser Ranging), TDRSS (angl. Tracking and Data Relay Satellite System), GNSS, DORIS in Doppler. Anomalije težnosti so bile definirane v celični mreži 30' x 30' (kasneje izboljšane na 15' x 15'), izvedene so bile iz altimetrije misij ERS-1 ter GEOSAT (Lemoine et al., 1998). Pomemben del modela pa je predstavljala tudi izboljšana baza podatkov o terestričnih meritvah. Dodani so bili gravimetrični podatki iz mnogih novih izmer, predvsem pa v delih, kjer so bili podatki v preteklosti pomanjkljivi (Azija, nekdanja Sovjetska zveza, Afrika, Južna Amerika …). Prav tako so bili prvič v globalnem modelu uporabljeni tudi podatki iz Slovenije, vključenih je bilo 419 gravimetričnih točk (Prešeren, 1999). Natančnost iz EGM96 pridobljenih geoidnih višin je bila ocenjena na boljšo od enega metra, z izjemo podatkovno zelo pomanjkljivih območij (Lemoine et al., 1998). EGM96 je bil del referenčnega sistema WGS84 dokler ga ni leta 2008 zamenjal novejši globalni geopotencialni model EGM2008 (Pavlis et al., 2012).

2.3.2.2 EGM2008

EGM2008 je trenutno aktualni globalni geopotencialni model, izdelan leta 2008 v okviru NGA.

Gre za sferni harmonični model Zemljinega gravitacijskega potenciala, izračunan na podlagi metode najmanjših kvadratov iz podatkov gravitacijskega modela ITG-GRACE03S in anomalij težnosti, definiranih v globalni celični mreži dimenzije 5' x 5' (danes izboljšan v mrežo 1' x 1').

Določen je bil na osnovi terestričnih opazovanj, opazovanj satelitske altimetrije in dinamičnih satelitskih opazovanj ter dopolnjen s topografskimi podatki. Vrsta sfernih funkcij je razvita do stopnje in reda 𝑛 = 𝑚 = 2159. Analize natančnosti na predelih s kakovostnimi podatki težnosti kažejo natančnost med 5 in 10 cm. Takšne natančnosti so potrjene tudi v analizah na območju Slovenije (Pogarčič, 2014; Petovar, 2016). Glede na svojega predhodnika, tj. EGM96, kaže tri do šestkratno izboljšavo natančnosti. S takšno kakovostjo je prvi model zmožen uporabe v raznih aplikacijah na globalnem nivoju (Pavlis et al., 2012). Na slikah 7 in 8 prikažemo potek modela na globalnem nivoju in na območju Slovenije.

Slika 7: Prikaz poteka globalnega geopotencialnega modela EGM2008 (Kuhar, 2020, str. 106)

Slika 8: Prikaz poteka ploskve modela EGM2008 na območju Slovenije

2.3.2.3 GOCO06s

GOCO06s je zadnja različica globalnega geopotencialnega, modela izdelanega izključno iz satelitskih podatkov v okviru projekta GOCO (angl. Gravity Observation Combination). Projekt se izvaja v okviru konzorcija več univerz pod vodstvom Tehniške univerze v Münchnu. Namen je izdelava visoko kakovostnih geopotencialnih modelov na osnovi satelitskih opazovanj.

Model GOCO06s vsebuje več kot milijardo opazovanj, pridobljenih iz 19 satelitskih misij v časovnem obdobju 15 let. Ravno združevanje različnih satelitskih opazovanj je bilo ključno za izdelavo modela visoke natančnosti in čim boljše ločljivosti. Prednost takšnega modela je predvsem v zagotavljanju primerljive natančnosti po območju celotne Zemlje. V model vključene podatke lahko razdelimo v 4 skupine:

- SLR – laserska merjenja dolžin do 10 satelitov,

- LEO (angl. Low-Earth orbits) – opazovanja tirnic 9 satelitov v nizkih orbitah, - anomalije težnosti iz misije GRACE,

- podatki satelitske radiometrije iz misije GOCE.

Geopotencialni model je razvit do stopnje in reda koeficientov 𝑛 = 𝑚 = 300. Ocena natančnosti modela je bila opravljena na osnovi štirih baz točk GNSS/nivelman na različnih kontinentih. Natančnost se giblje med 3 in 9 cm (Kvas et al., 2021). Na sliki 9 prikažemo potek modela GOCO06s na območju Slovenije.

Slika 9: Prikaz poteka ploskve modela GOCO06s na območju Slovenije

2.3.2.4 EIGEN-6S4

Serija modelov EIGEN (angl. European Improved Gravity model of the Earth by New techniques) je produkt dolgoletnega sodelovanja nemškega raziskovalnega centra za geoznanosti GFZ (nem. GeoForschungsZentrum) Potsdam in francoskega centra za satelitsko geodezijo GRGS (fra. Groupe de Recherche de Géodésie Spatiale) Toulouse. Tako kot prej omenjeni GOCO06s je EIGEN-6S4 globalni geopotencialni model izračunan zgolj iz satelitskih podatkov. Globalni model je izračunan do stopnje in reda 𝑛 = 𝑚 = 300. Podatki, ki so uporabljeni v izračunu vsebujejo satelitsko radiometrijo iz misije GOCE, 10 letne podatke opazovanj iz misij GRACE ter 25 letna SLR opazovanja do satelitov LAGEOS. Vsa opazovanja so združena v sistem normalnih enačb in rešena z uporabo razcepa Choleskega (Förste et al., 2015). Model je zanimiv predvsem z vidika uporabe pri izračunu uradnega slovenskega modela SLOVRP_2016/Koper – uporabljen je bil za izračun dolgovalovnega vpliva v višinski referenčni ploskvi. Rešitve z njegovo uporabo so dale primerljive rezultate različicam, izračunanim z globalnim modelom EGM2008 (Omang, 2016). Na sliki 10 prikažemo potek modela EIGEN-6S4 na območju Slovenije.

Slika 10: Prikaz poteka ploskve modela EIGEN-6S4 na območju Slovenije

2.3.2.5 XGM2019e

XGM2019e je kombiniran globalni geopotencialni model, predstavljen v obliki sfernih koeficientov do stopnje in reda 𝑛 = 𝑚 = 5399, kar se odraža v ločljivosti modela 2' x 2' (približno 4 km). V času objave modela XGM2019e so ob EGM2008 obstajali le še trije drugi globalni geopotencialni modeli, ki so dosegali stopnjo in red razvoja sfernih koeficientov vsaj 2000. Vsi trije so kot vir podatkov uporabljali EGM2008. Z XGM2019e smo tako dobili alternativni model, ki je neodvisen od teh podatkov. Kot enega izmed virov podatkov za izračun uporablja tudi že opisani satelitski model GOCO06s, ki zagotavlja predvsem podatke za izračun dolgovalovnih struktur modela XGM2019e. Krajše valovne strukture so zagotovljene s terenskimi podatki gravimetrične izmere, ki so podani v obliki 15' celične mreže anomalij težnosti. Te podatke zagotavlja ameriški NGA. Mreža anomalij težnosti je dodatno zgoščena še s podatki modeliranimi iz globalnega topografskega modela EARTH2014. Na območjih oceanov so anomalije težnosti pridobljene iz podatkov satelitske altimetrije ločljivosti 1'.

Kombinacija različnih opazovanj je bila združena v sistemu normalnih enačb in izravnana po metodi najmanjših kvadratov. V postopku ocene natančnosti se je XGM2019e izkazal predvsem kot izredno homogen model, ki zagotavlja natančnost na nivoju nekaj centimetrov.

Izboljšanja modela so mogoča predvsem še na ravni večanja gostote podatkov gravimetričnih meritev na površju Zemlje (Zingerle et al., 2020). Na sliki 11 prikažemo potek modela XGM2019e na območju Slovenije.

Slika 11: Prikaz poteka ploskve modela XGM2019e na območju Slovenije

2.3.3 Regionalni modeli

2.3.3.1 EGG2008

Z izračuni evropskih geoidov in kvazigeoidov so na Inštitutu za geodezijo IfE (nem. Institut für Erdmessung) pričeli v osemdesetih letih prejšnjega stoletja. Od takrat so se kot pomembnejše rešitve na evropskem nivoju uveljavili trije modeli, in sicer EGG1997, EGG2008 ter EGG2015 (angl. European gravimetric (quasi)geoid). Projekti potekajo v sodelovanju z Mednarodnim združenjem za geodezijo (IAG).

Ob izračunu modela kvazigeoida EGG2008 je bil glavni cilj projekta predvsem vključitev novo pridobljenih podatkov v času od zadnje različice iz leta 1997. Izboljšave modela se kažejo predvsem v vključitvi podatkov takrat novejših geopotencialnih modelov, kot sta modela misij CHAMP in GRACE ter kasneje tudi končni EGM2008. Prav tako so bile pridobljene nove podatkovne baze gravimetričnih in topografskih podatkov iz večine evropskih držav, vključno s Slovenijo. Podatki so bili dopolnjeni še s kakovostnejšimi digitalnimi modeli višin (DMV).

Predvsem v vzhodni Evropi, kjer novejši DMV-ji niso bili na voljo, je te nadomestil svetovni model višin, izdelan v okvirju projekta SRTM (angl. Shuttle Radar Topography Mission).

Izračun kvazigeoidnega modela je bil izveden s tehniko »remove-restore« (Denker, 2013). Tak izračun sestoji iz treh korakov. V prvem koraku se odstrani (»remove«) vpliv topografskih mas in geopotencialnega modela iz podatkov. Tako pridobimo manjše vrednosti in bolj gladko ploskev, ki v drugem koraku lažje konvergira. Sledi numerični postopek, tj. integracija in reševanje Stokesove enačbe. V tretjem koraku znova povrnemo (»restore«) vpliv topografskih mas in geopotencialnega modela (Kuhar, 2017). Končni rezultat izračuna modela EGG2008 so kvazigeoidne višine v celični mreži 1' x 1', kar pomeni 28.080.000 določenih kvazigeodinih višin na območju Evrope. Podatki modela so javno dostopni le v celični mreži 10' x 15', za dostop do podatkov v celični mreži 1' x 1' je potrebna osebna komunikacija s skrbniki podatkov na IAG oziroma IfE. Slednje podatke smo pridobili in v analizah ter prikazih uporabili tudi mi.

Analize natančnosti modela na različnih območjih kažejo izboljšanje kakovosti od 25 % do 65 % glede na predhodno različico (Denker, 2013). Na sliki 12 prikažemo potek modela EGG2008 na območju Slovenije.

Slika 12: Prikaz poteka ploskve modela EGG2008 na območju Slovenije

2.3.3.2 EGG2015

EGG2015 je zadnja realizacija evropskega kvazigeoidnega modela. Izračunan je na osnovi gravimetričnih podatkov, satelitske altimetrije in gravitacijskega modela GOCO05s, ki je rezultat misij GOCE. Dopolnjen je še z digitalnimi modeli višin in topografskimi podatki. Izračun je bil izveden s tehniko »remove-restore« s pomočjo enorazsežne hitre Fourierove transformacije. Model se nanaša na elipsoid GRS80, vrednosti pa so kompatibilne z Evropskim višinskih referenčnim sestavom EVRF 2007 (angl. European Vertical Reference Frame 2007).

Rezultat modela so anomalije višin, podane v celični mreži velikosti 1' x 1', ki je definirana za območje od 25° do 85° severne geografske širine in od 50° zahodne do 70° vzhodne geografske dolžine. Kvazigeoidne višine modela znašajo od −48,58 m na skrajnem vzhodu območja do 67,94 m v Atlantskem oceanu, kot prikazuje slika 13. Izvedene analize natančnosti na različnih bazah točk GNSS/nivelman ocenjujejo natančnost modela na do 2 cm na manjših območjih ter do 4 cm na kontinentalnem nivoju (Denker, 2015). Na slikah 13 in 14 prikažemo potek modela EGG2015 na regionalnem nivoju Evrope in na območju Slovenije.

Slika 13: Prikaz poteka evropskega kvazigeoidnega modela EGG2015 (vir:

http://www.isgeoid.polimi.it/Geoid/Europe/europe2015_g.html)

Slika 14: Prikaz poteka ploskve modela EGG2015 na območju Slovenije

2.3.4 Geoidi na območju Slovenije

Prve meritve določitve geoida v Sloveniji segajo še v čase Avstro-Ogrske monarhije. Že v času pred prvo svetovno vojno je bil merjen geoidni profil na poldnevniku v Ljubljani, kar je bila celo prva takšna meritev v monarhiji. Z nastankom države Jugoslavije je delo na geoidu, gravimetrični izmeri in raziskavah težnostnega polja Zemlje izvajal Vojnogeografski inštitut v Beogradu. To je pomenilo, da je večina raziskav ostala nedostopnih javnosti, še posebej to velja za obdobje po drugi svetovni vojni (Kuhar, 1996).

Prva javno objavljena raziskava s področja težnostnega polja po drugi svetovni vojni je bila doktorska disertacija takratnega oficirja v Vojnogeografskem inštitutu A. Muminagića.

Raziskoval je predvsem problem orientacije jugoslovanske trigonometrične mreže, hkrati pa je izračunal tudi prvi relativni geoid na območju Jugoslavije. Rešitev je bila astrogeodetska, uporabljeni pa so bili podatki astronomskih meritev na 170 točkah. 360 geoidnih višin je izravnal po metodi pogojnih meritev. Glede na število podatkov, uporabljenih za tako veliko območje, rešitev obravnavamo kot približno. Vidi pa se že padec poteka ploskve v smeri proti jadranski obali (Muminagić, 1974, cit. po Kuhar, 1996).

V obdobju samostojne Slovenije, leta 1992, sta profesorja z Geodetske fakultete v Zagrebu K.

Čolić in T. Bašič s sodelavci izračunala astrogeodetski geoid za območje Slovenije in Hrvaške.

Izračun je bil del projekta Geodetske uprave Republike Slovenije z namenom določitve geoidnih točk v Sloveniji. Do takrat je bilo v Sloveniji le 7 uporabnih geoidnih točk. Izvedene so bile še obsežne astronomske meritve na 46 točkah astrogeodetske mreže v Sloveniji in 12 točkah na Hrvaškem. Natančnost določanja odklonov navpičnic je bila ± 0,5'', kar jih uvršča med najnatančnejše meritve te vrste (Čolić et al., 1992, cit. po Kuhar, 1996). V izračunu so bili uporabljeni podatki: vrednosti komponent odklona navpičnic na 11 točkah, dva digitalna modela reliefa in digitalni model gostote površinskih mas. Sam izračun je bil izveden z metodo

»remove-restore« z uporabo kolokacije po metodi najmanjših kvadratov. Deklarirana natančnost geoida je od 1 do 3 cm, realne ocene pa se gibljejo v okviru 10 cm (Kuhar, 1996;

Prešeren, 1999).

Omenimo še doktorsko disertacijo M. Kuharja (1996) z naslovom Raziskave ploskve geoida v Sloveniji, kjer je obravnavana vloga in pomen geoida v sodobni geodeziji in kjer so predstavljene mnoge teoretične osnove težnostnega polja in določanja geoida. Podrobno je obravnavana metoda določitve geoida s kolokacijo po metodi najmanjših kvadratov in določanje geoida na lokalnem nivoju. P. Prešeren (1999) v diplomski nalogi z naslovom

Različni modeli geoida na območju Slovenije obravnava že omenjeni geoid iz leta 1992, dodatno pa tudi prilagajanje starejšega globalnega geopotencialnega modela EGM96 in evropskega gravimetričnega kvazigeoida EGG97 na območju Slovenije. Natančnosti, ki jih dosegata, sta od 2 do 3 dm za prvega ter do 1 dm za drugega. V okviru naloge so izračunani tudi transformacijski parametri ploskev, kar je omogočalo vklop v državni višinski sistem.

2.3.4.1 SLOAMG_2000

V okviru doktorske disertacije B. Pribičevića iz leta 2000 je bil izračunan nov uradni model geoida z imenom SLOAMG_2000. Znova gre za kombinirano rešitev geoida, ki je bila izračunana s kolokacijo po metodi najmanjših kvadratov. Pri izračunu so bile uporabljene tri vrste informacij (Pribičević, 2001):

- dolgovalovne strukture Zemljinega težnostnega polja (globalni geopotencialni model EGM96),

- srednjevalovni del spektra Zemljinega težnostnega polja (opazovane komponente odklona navpičnice 𝜉 in 𝜂, anomalije težnosti 𝛥𝑔 in podatki o geoidnih višinah GNSS/nivelman),

- kratkovalovni in ultrakratkovalovni del spektra (digitalni model reliefa, DMR in digitalni model gostote površinskih mas, DMG).

V izračunu je bilo uporabljenih 99 točk z merjenimi odkloni navpičnic, 51 v Sloveniji, preostale na mejnih območjih. Uporabljenih je bilo tudi 4605 vrednosti anomalij težnosti razporejenih čez območje Slovenije in Hrvaške. Ploskev je bila vpeta v državni višinski datum na 163 točkah GNSS/nivelman. Za praktične namene je geoid podan v celični mreži velikosti 1' x 1,5', kar omogoča nadaljnjo interpolacijo geoidnih višin. Natančnost določitve ploskve je v okviru naloge ocenjena na od 2 do 3 cm, vendar kasnejše analize (Urbanč, 2008; Kuhar et al., 2011;

Pogarčič, 2014) natančnost ocenjujejo na do 10 cm. Na sliki 15 prikažemo potek modela SLOAMG_2000 na območju Slovenije.

Slika 15: Prikaz poteka ploskve modela geoida SLOAMG_2000 na območju Slovenije

2.3.4.2 SLO_VRP2016/Koper

V zadnjih letih se je v okviru projektov »Vzpostavljanje evropskega prostorskega referenčnega sistema v Sloveniji« in »Posodobitev prostorske podatkovne infrastrukture za zmanjšanje tveganj in posledic poplav« izračunal prvotno testni geoid in nato še uradna različica nove višinske referenčne ploskve SLO_VRP2016/Koper, ki predstavlja model kvazigeoida. Skupaj z novim slovenskim višinskim sistemom SVS2010 smo dobili tudi nov model kvazigeoida.

Model kvazigeoida je bil izračunan z enačbami Stokes/Molodensky, s tehniko FFT (angl. fast fourier transform). Opredeljen je kot gravimetrični model, izračunan pa je bil tudi na podlagi že omenjenega globalnega geopotencialnega modela EGM2008. V izračun so bili vključeni vsi obstoječi gravimetrični podatki, starejši iz časa SFRJ za območje Slovenije in Hrvaške, gravimetrični podatki z obmejnih območij Avstrije, Italije in Madžarske, podatki nove gravimetrične izmere osrednje Slovenije, kot tudi podatki osnovne gravimetrične mreže in podatki za reperje državne nivelmanske mreže 1. reda (Koler et al., 2019). Vklop modela kvazigeoida v nov višinski sistem je izveden na 66 točkah GNSS/nivelman, ki so enakomerno razporejene po območju Slovenije. Elipsoidne višine so določene na osnovi vsaj 36-urnih statičnih opazovanj GNSS, normalne višine pa z navezavo na državno nivelmansko mrežo 1.

reda. Podatki višinske referenčne ploskve so na voljo za območje od 45° do 47° severne geografske širine in od 13° do 17° vzhodne geografske dolžine. Podani so v obliki celične mreže velikosti 30'' x 45'', kar v naravi predstavlja stranico kvadrata dolgo približno 900 m.

Najmanjša kvazigeoidna višina na območju izračuna Slovenije znaša 42,16 m, največja 50,61 m in povprečna 46,16 m (Koler et al., 2019). Dosedanja ocena natančnosti določitve modela kvazigeoida znaša od 2 do 5 cm (Medved et al., 2020). Na sliki 16 prikažemo potek modela SLOVRP_2016/Koper na območju Slovenije.

Slika 16: Prikaz poteka višinske referenčne ploskve SLO_VRP2016/Koper na območju Slovenije

2.4 Višinski sistemi

Višine so tradicionalno določene z metodo izmere geometričnega nivelmana. Ta velja za najnatančnejšo metodo določitve višinskih razlik. Izmera poteka z nivelirjem, ki zagotavlja horizontalno vizuro med nivelmanskima latama spredaj in zadaj. Meritve z razlogom odprave različnih pogreškov izvajamo na način niveliranja iz sredine. Iz razlike odčitkov na lati zadaj in lati spredaj pridobimo višinsko razliko 𝛥ℎ med točkama. Zaradi nevzporednosti ekvipotencialnih ploskev je višinska razlika, dobljena z metodo geometričnega nivelmana, odvisna od poti niveliranja. Tako določene višine niso enolične, kar je v praksi nesprejemljivo.

Iz tega razloga so pri niveliranju visoke natančnosti višinske razlike pretvorjene v razlike potenciala:

𝛥𝑊 = −𝛥ℎ ∙ 𝑔 (16)

kjer 𝑔 predstavlja lokalno vrednost težnega pospeška, ki je lahko izmerjena ali izračunana glede na višinski sistem, ki je v uporabi. Seštevek razlik potencialov je vedno enak, ne glede na pot niveliranja (Vermeer, 2020).

Da v praksi torej definiramo višinski sistem, ki bo zanesljiv in dosegal zahteve uporabe, definiramo vrsto pogojev, ki naj bi jih tak sistem naj dosegal. Nekateri pogoji so medsebojno izključujoči, zato je znova zelo pomembno, da vemo, kdo so uporabniki in kakšne so zahteve do višinskega sistema. Pogoji so (Koler, Medved in Kuhar, 2007):

- višine točk morajo biti nedvoumno definirane in neodvisne od poti niveliranja,

- višine točk bi naj bile določene na osnovi meritev na površini Zemlje na podlagi čim manj hipotez (o porazdelitvi mas v notranjosti Zemlje),

- popravki merjenih višinskih razlik naj bodo tako majhni, da jih lahko pri nivelmanskih mrežah nižjega reda zanemarimo,

- točke, ki ležijo na isti nivojski ploskvi bi naj imele iste višine,

- višine točk bi naj bile določene v metrih, za njih pa bi obstajala geometrična razlaga.

Prav tako bi naj bile določene glede na referenčno ploskev s fizikalno razlago,

- zaradi razširjenosti tehnologije GNSS pa bi naj bile višine tudi enostavno povezljive z elipsoidnimi višinami.

Kot smo že omenili je osnova določitve nadmorskih višin tudi težnostni potencial, tako so osnova vseh fizikalno določenih višinskih sistemov geopotencialne višine. Geopotencialne višine prestavljajo vrednost potenciala v določeni točki, le ta pa se določi v enotah GPU (angl.

geopotential unit), vrednost 1 GPU je enaka 10 m²s^-2. Prav zaradi tega so neprimerne kot splošen višinski sistem, saj je za običajnega uporabnika izraz višine v enoti, drugačni od

metrov, preveč abstrakten. Da preidemo iz geopotencialnih višin na enote v metrih uporabimo fizikalno definirane nadmorske višine: dinamične, ortometrične oziroma normalne višine.

Dinamično višino dobimo, ko vrednost geopotencialne višine delimo s konstantno vrednostjo težnostnega pospeška na nivoju elipsoida. Vendar pa so tudi dinamične višine problematične, saj nimajo geometrične razlage. Njihovi popravki pa so lahko zelo veliki. Geopotencialne višine in dinamične višine so predvsem uporabne v specifičnih inženirskih nalogah (Koler, Medved in Kuhar, 2007).

Slika 17:Višinski sistemi v uporabi(l. 2019) kot državni višinski sistemi evropskih državah. (Rdeča – normalne višine, rumena – ortometrične višine, zelena – normalne-ortometrične višine, modra –

nepopravljene nivelirane višine) (vir: https://evrs.bkg.bund.de)

V okviru državnih višinskih sistemov so v uporabi običajno ortometrične višine, normalne višine ter normalne-ortometrične višine. Slika 17 prikazuje višinske sisteme trenutno (z letom 2019) v uporabi po posameznih evropskih državah. Ortometrična višina točke je definirana kot razdalja med geoidom in točko na površju Zemlje, merjena vzdolž ukrivljene težiščnice. Kar pa je zelo teoretična definicija višine, saj običajno ne moremo meriti znotraj Zemlje, kjer težiščnica

tudi poteka, prav tako robna ploskev geoida tam ne bi bila fizično vidna. Ortometrično višino izračunamo z deljenjem vrednosti geopotencialne višine v točki s srednjo vrednostjo težnega pospeška vzdolž težiščnice. Pri določitvi srednje vrednosti težnega pospeška vzdolž težiščnice se ne moremo izogniti predpostavkam o porazdelitvi mas v notranjosti Zemlje. V praksi ortometrične višine računamo s prištevanjem ortometričnega popravka niveliranim višinskim razlikam.

Da se izognemo predpostavkam o porazdelitvi mas v notranjosti Zemlje vpeljemo normalne višine, ki jih izračunamo z deljenjem geopotencialne višine s srednjo vrednostjo normalnega težnostnega pospeška vzdolž elipsoidne normale med normalnim elipsoidom ter teluroidom.

Ker pa ne želimo, da se višina točke konča v točki na teluroidu ampak v sami točki na površju Zemlje, izračun obrnemo ter normalne višine definiramo med točko na površju in novo definirano ploskvijo kvazigeoida (Vermeer, 2020). Med državnimi višinskimi sistemi se pojavijo tudi normalne-ortometrične višine, ki pa danes veljajo za zastarele. Uporabljale so se, ko so bile meritve težnosti dolgotrajne in drage, takrat se je merjenim višinskim razlikam prišteval popravek, kjer so bile namesto merjenega težnostnega pospeška uporabljene izračunane vrednosti normalnega težnostnega pospeška. Referenčna ploskev je tukaj normalna ničelna nivojska ploskev. Omenimo še elipsoidne višine, ki predstavljajo geometrično razdaljo med referenčnim elipsoidom in površjem Zemlje. Kot državni višinski sistem niso primerne, saj nimajo fizikalne osnove, se pa vedno več uporabljajo z razvojem tehnologije GNSS. Zato je zelo pomembna njihova povezljivost z državnim višinskim sistemom (Koler, Medved in Kuhar, 2007).

2.4.1 Problem upoštevanja različnih modelov plimovanja trdne Zemlje

S pojmom »plimovanje« običajno povezujemo pojav plimovanja morij in oceanov, kjer opazujemo spreminjanje višine morske gladine zaradi delovanja privlačne sile nebesnih teles.

Te pa ne vplivajo le na vodna telesa, ampak tudi na trdne zemeljske mase. Pojavu pravimo plimovanje trdne Zemlje in učinkuje na gravitacijsko polje Zemlje ter tako deformira Zemljo.

Največji vpliv povzroča privlačna sila Lune, ta je dva krat večji od vpliva Sonca. Vpliv preostalih nebesnih teles je zanemarljivo majhen. Podrobnejše preučevanje nam omogoča izdelavo modeliranja pojava, to pa potrebujemo pri redukciji geodetskih opazovanj, predvsem pri gravimetričnih meritvah in določanju položaja z izmero GNSS. Prav tako je plimovanje ključno pri obravnavanju različnih vrst koordinatnih sistemov in povezovanju horizontalnih terestričnih koordinatnih sistemov z višinskimi koordinatnimi sistemi. Modeliranje plimovanja trdne Zemlje je lažje kot modeliranje plimovanja oceanov, saj ni podvrženo tolikšnim prostorsko-časovnim spremembam. Hkrati pa je plimovanje oceanov odvisno tudi od razčlenjenosti obal, plimovanje

trdne Zemlje pa obravnavamo globalno. Plimovanje torej vpliva na spremembo težnega pospeška in oblike Zemlje. Spremembe težnega pospeška lahko znašajo tudi do 300 µGal, spremembe v višini točke pa tudi 40 cm (Pavlovčič Prešeren in Kuhar, 2016).

Plimovanje trdne Zemlje pri definicijah višinskih sistemov obravnavamo z dveh vidikov. Najprej kot direkten vpliv zunanjih nebesnih teles na spremembe težnostnega potenciala Zemlje, nato pa še kot indirektni vpliv, ki predstavlja Zemljin odziv na delovanje privlačnih sil nebesnih teles.

Z geodetskega vidika je pomembno ustrezno globalno obravnavanje direktnega ter indirektnega učinka. Različni koordinatni sistemi plimovanje trdne Zemlje obravnavajo na različne načine, zato je vpliv potrebno poznati in upoštevati. Pri modeliranju plimovanja trdne Zemlje pojav obravnavamo časovno odvisno. Delimo ga na časovno neodvisno komponento (stalno) ter časovno odvisno komponento (periodično). Problem plimovanja tako lahko obravnavamo na tri načine (Pavlovčič Prešeren in Kuhar, 2016):

- Vpliv plimovanja v celoti odstranimo (angl. tide-free). V tem primeru odstranimo tako direktni vpliv nebesnih teles (stalen in periodičen) kot tudi indirektni odziv Zemlje na vpliv. Računsko si to predstavljamo kot premik nebesnih teles v neskončno oddaljenost od Zemlje, tako njihov vpliv na zemeljski potencial postane ničen. Zaradi popolne odstranitve plimovanja v takih sistemih tudi precej spremenimo obliko Zemlje. Med

»tide-free« sisteme štejemo mednarodni terestrični referenčni sistem ITRS (angl.

International Terrestrial Reference System) ter izpeljane regionalne koordinatne sisteme, tudi ETRS89 (angl. European Terrestrial Reference System 1989).

- Odstranimo periodičen vpliv, stalen vpliv zunanjih sil pa ostane (angl. mean-tide). V tem primeru lahko sistem opišemo kot fizikalno skladen, saj nebesnih teles ne prestavljamo v neskončnost. V matematičnem smislu moramo razrešiti robni problem.

Mase, ki spreminjajo potencial se nahajajo tako znotraj kot zunaj Zemlje. Matematično nastane problem v obravnavanju Stokesove enačbe, te več ne moremo obravnavati v harmonični obliki. Potrebno je pojav modelirati posebej za območja na in zunaj Zemlje.

Z odstranitvijo periodičnega dela plimovanja pridemo do obravnave srednjega plimovanja.

- Odstranimo stalen vpliv in periodičen vpliv, vendar pa v tem primeru ostane indirekten stalen odziv Zemlje na zunanje sile (angl. zero-tide). V takšnem sistemu je gravitacijsko polje določeno le na osnovi Zemljinih mas in centrifugalne sile. Kot v primeru »tide- free«, pri obravnavi direktnega vpliva nebesna telesa postavimo v neskončnost. Pri obravnavi indirektnega vpliva pa tega ne storimo. Primer takšnega sistema je tudi EVRF2019.

2.4.2 SVS2010

V Sloveniji se je v letu 2018 z objavo uredbe v Uradnem listu pričel uporabljati nov višinski sistem, z imenom: Slovenski višinski sistem 2010 oziroma SVS2010 (Uredba, 2018). Uredba, poleg že omenjenega imena, predpisuje parametre višinskega dela vertikalne sestavine državnega prostorskega koordinatnega sistema, med katerimi so še določitev višinskega datuma: Koper, srednje epohe: 10. 10. 2010 ter uporabljenega sistema višin: normalne višine.

Z višinskim datumom Koper smo se tako navezali na srednji nivo morja, merjen na mareografski postaji v Kopru, in sicer na osnovi 18,6 letnih opazovanj. Nov višinski datum je tako velik dosežek, saj je bil v prejšnjem višinskem sistemu, SVS2000, višinski datum Trst, ki temelji le na enoletnih mareografskih opazovanjih. 18,6 letna opazovanja so nujna za popoln zajem precesijske periode Luninih vozlov. S prehodom smo prav tako prešli iz zastarelega sistema normalnih-ortometričnih višin na sistem normalnih višin (Slovenski višinski sistem 2010, 2020). Za zagotovitev kakovostnih podatkov je bila v okviru vzpostavitve novega višinskega sistema med leti 2006 in 2015 izmerjena tudi nova nivelmanska mreža 1. reda. Na večini reperjev pa je bila izvedena tudi gravimetrična izmera. To je bila osnova za izravnavo razlik geopotencialnih višin in izračun normalnih višin. Skupna dolžina nivelmanskih poligonov je znašala okoli 1960 km, vključenih pa je bilo 2036 reperjev. Dodatno so bile v mrežo vključene še navezave s sosednjimi državami. Razlike med starim (SVS2000) in novim višinskim sistemom (SVS2010) niso homogene po vsej državi. Na bazi 12750 reperjev znašajo razlike od 1,4 cm do 30,8 cm, povprečna razlika pa je 13,2 cm. Razlika med višinskim datumom Koper in Trst na vodomerni lati v Kopru znaša 15,5 cm, kar pomeni da je novo določena srednja gladina morja višja in višine na območju Slovenije nekoliko nižje kot v starem višinskem sistemu (Koler et al., 2019).

2.4.3 EVRF2019

V Evropi sta se že od petdesetih let prejšnjega stoletja, na podlagi političnih razmer, razvijala dva ločena projekta združitve višinskih sistemov, en za vzhodno in en za zahodno Evropo. Z izboljšanjem geopolitične klime v začetku devetdesetih let so se odprla vrata skupnemu višinskemu sistemu. Kot prva se je uveljavila evropska nivelmanska mreža (UELN), kasneje v začetku 21. stol. pa se je vzpostavil še evropski višinski referenčni sistem (EVRS) in njegova prva realizacija EVRF2000. Približno desetletje kasneje se je realiziral kot EVRF2007.

Trenutno pa še kot zadnja različica EVRF2019 (Sacher in Liebsch, 2019). Glede na prejšnjo realizacijo so tukaj prvič vključeni nivelmanski podatki: Rusije, Belorusije, Ukrajine in Severne Makedonije. Poleg tega pa je še 11 držav posodobilo ali ponovno izmerilo svoje nivelmanske