Osnove matematiˇcne analize

Osnove matematiˇ cne analize

Cetrti sklop izroˇ ˇ ckov

Fakulteta za raˇcunalniˇstvo in informatiko Univerza v Ljubljani

29. oktober 2020

1/11

Pravila za raˇ cunanje limit

Naj bo lim

n→∞

a

= a ∈ R in lim

n→∞

b

= b ∈ R (a, b 6= ±∞)!.

I pravilo vsote: lim

n→∞

(a

+ b

) = a + b I pravilo produkta: lim

n→∞

a

b

= ab

I pravilo deljenja: ˇ Ce je b

6= 0 za vsak (dovolj velik) n in b 6= 0, je

n→∞

lim a

b

= a b .

Izraˇcunaj naslednje limite:

n→∞lim αan za poljubenα∈R, lim

n→∞

(n+ 2)²

3n²+n+ 1, lim

n→∞

2ⁿ+ 6ⁿ 3ⁿ+ 6ⁿ⁺¹+ 1

3

.

Raˇ cunanje limit

Izrek (o sendviˇ cu)

Ce za vsak n ˇ ∈ N velja a

≤ b

≤ c

in lim

n→∞

a

= lim

n→∞

c

= a, je tudi

n→∞

lim b

= a.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 N

-1.0 -0.5 0.5 1.0 R

Izraˇcunaj naslednje limite:

n→∞lim sin(2n)

2ⁿ , lim

n→∞

cosn n² .

3/11

Pogoji za konvergenco monotonih zaporedij

Izrek (O konvergenci monotonih zaporedij)

I Naraˇsˇ cajoˇ ce zaporedje je konvergentno natanko takrat, kadar je navzgor omejeno.

I Padajoˇ ce zaporedje je konvergentno natanko takrat, kadar je navzdol omejeno

Izraˇcunaj limite naslednjih zaporedij 1.a0= 0, an=1

2(an−1+ 6), 2.b0= 2, bn+1=1

2

bn+ 2 bn

.

ˇ Stevilo e kot limita zaporedja

Izkaˇ ze se, da je zaporedje b

=

1 + 1

n

konvergentno, njegova limita pa je e.

Dokaz konvergencebn(neobvezen, za radovedne):

bnje naraˇsˇcajoˇce:

bn =

n

X

k=0

n k

! 1 n

k

=

n

X

k=0

n!

k!(n−k)!

1 n^k

=

n

X

k=0

1 k!

n(n−1)·(n−k+ 1) n·n· · · ·n = 1 +

n

X

k=1

1 k!

n n

n−1

n · · ·n−k+ 1 n

= 1 +

n

X

k=1

1 k!·1·

1−1

n 1−2 n

· · ·

1−k−1 n

5/11

ˇ Stevilo e kot limita zaporedja

Dobimo:

bn = 1 +

n

X

k=1

1 k!·1·

1−1

n 1−2 n

· · ·

1−k−1 n

bn+1 = 1 +

n+1

X

k=1

1 k!·1·

1− 1

n+ 1 1− 2 n+ 1

· · ·

1−k−1 n+ 1

Primerjava istoleˇznih koeficientov, tj. pri istihk-jih, pokaˇze, da je bn<bn+1.

bnje navzgor omejeno:

bn = 1 +

n

X

k=0

1 k!

n n

n−1

n · · ·n−k+ 1 n

< 1 +

n

X

k=1

1 k! <1 +

n

X

k=0

1

2^k = 1 + 1− ¹₂n+1

1−¹₂ = 3.

ˇ Stevilo e kot limita zaporedja

Iz konvergence zaporedja b

=

1 +

se da s pomoˇ cjo pravil za raˇ cunanje limit izpeljati konvergenco zaporedja

c

= 1 − 1

n

.

n→∞lim cn = lim

n→∞

1−1

n −n

= lim

n→∞

n−1 n

−n

= lim

n→∞

n n−1

n

= lim

n→∞

1 + 1

n−1 ⁿ⁻¹

1 + 1 n−1

= e·1 =e.

Pri funkcijah bomo videli, da velja celo

x→±∞

lim

1 + 1 x

= e . Odtod za k ∈ Z s substitucijo x =

sledi

n→∞

lim

1 + k n

= lim

x→sign (k)·∞

1 + 1

x

= e

.

7/11

Definicija potence pri realnem eksponentu

Naj bo a > 0 pozitivno ˇstevilo in r ∈ R realno ˇstevilo. Radi bi definirali a

?

I Ce jeˇ r∈N, potem jea^r =a·a·a

| {z }

r

.

I Ce jeˇ r∈Z\N, potem jea^r =1 a·1

a· · ·1 a

| {z }

−r

.

I Ce jeˇ r= ¹_n zan∈N, potem jea^r pozitivenx >0, ki zadoˇsˇcaxⁿ=a. Iz poglavja o korenih enote vemo, dax obstaja in je enoliˇcen. Brez korenov enote, bi dokaz obstoja in enoliˇcnosti zahteval delo.

I Ce jeˇ r= ^m_n zan∈Ninm∈Z, potem jea^r enoliˇcen pozitivenx >0, ki zadoˇsˇcaxⁿ=a^m.

I Ce jeˇ r∈R\Q, potem izberemo zaporedjern∈Qz limrn=rin definiramoa^r := lima^rn. Pokazati je treba, da desna limita res obstaja in je neodvisna od izbire zaporedjarn...delo.

Vrste

Vrsta je simboliˇ cna vsota:

a

+ a

+ a

+ · · · + a

+ · · · =

∞

X

n=0

a

.

Kje bomo pojem vrste potrebovali? Pri definiciji doloˇcenega integrala, pri razvoju funkcij v Taylorjevo vrsto (kljuˇcno orodje v numeriˇcni matematiki, da sploh lahko karkoli izraˇcunamo).

Kako smiselno definirati vsoto? Tako, da seˇstevamo konˇcno mnogo ˇclenov in ‘upamo’, da se sˇcasoma rezultat ‘ne spreminja veˇc kaj dosti’. Seveda se bo rezultat spreminjal, ˇce bomo priˇstevali neniˇcelne ˇclene, tako da pojem ‘ne spreminja veˇc kaj dosti’ nadomestimo z ‘se vse bolj pribliˇzuje neki vrednosti’.

Formalizirajmo zgornji premislek:

m-ta delna vsota vrste je enaka

S

= a

+ a

+ a

+ · · · + a

.

Opazimo, da lahko zaporedje delnih vsot tudi rekurzivno definiramo:

S

= a

, S

= S

+ a

.

9/11

Vrste

Vrsta

∞

X

n=0

a

je konvergentna, ˇ ce je konvergentno zaporedje delnih vsot S

. V tem primeru je njena vsota njena enaka limiti

zaporedja S

, tj.

∞

X

n=0

a

= lim

m→∞

S

= S.

Vrsti, ki ni konvergentna, pravimo divergentna.

Trditev (Potreben pogoj za konvergenco) Ce je vrsta ˇ

∞

X

n=0

a

konvergentna, potem velja lim

n→∞

a

= 0.

Obratno pa ne velja!

Analiziraj konvergenco naslednjih vrst:

∞

Xn,

∞

X1 n,

∞

X 1 2ⁿ,

∞

X 1 n(n+ 1).

Geometrijska vrsta

∞

X

n=0

q

= 1 + q + q

+ · · · + q

+ · · ·

I Konvergenca je odvisna od kvocienta q:

I konvergira, ˇce je|q|<1, I divergira, ˇce je|q| ≥1.

I Za |q| < 1 je

∞

X

n=0

q

= 1 + q + q

+ · · · + q

+ · · · = 1 1 − q

I P

n=M

a · q

= aq

+ aq

+ · · · + aq

+ · · · =

.

Izraˇcunajmo vsoti

∞

X

n=0

2ⁿ⁺¹ 3ⁿ in

∞

X

n=0

1 4ⁿ, .

11/11