ctgx + 1 sin x + cos x 1 1 + m) 1 + sin x 1 &minus

Celotno besedilo

(1)Zbirka nalog za srednje šole: MATEMATIKA Ivan Pavliha, Marijan Prosen: GEOMETRIJA V RAVNINI Poglavje 20: Kotne funkcije ostrih kotov Str. 106, naloga 729. Preoblikuj v enočlenik in poenostavi a) 1 − sin 2 x + cos 2 x b) sin x tgx ctg 2 x d) sin. 2 cos 2 x − sin 2 x + 1 3 cos x sin x + cos x tgx i) tgx. ctgx + 1 sin x + cos x 1 1 + m) 1 + sin x 1 − sin x. j). cos −1 x − cos x sin x (1 − sin x)(1 + sin x) (1 + cos x)(1 − cos x). p). 1 + ctg 2 x 1 + tg 2 x. NA. o). e) (1 − sin x)(1 + sin −1 x). x − sin x. g) (sin x + cos x) 2 − (sin x − cos x) 2. f). l). c) cos x + sin x tgx. ND A. č) tgx + ctgx. −1. tgx − sin x cos x sin 2 x sin x + 2 sin x cos x k) 2 + cos x − 2 sin 2 x 1 + cos x sin x + n) sin x 1 + cos x cos x r) ctgx − sin x − sin −1 x. h). (2) tgx =. sin x cos x. (3) ctgx =. 1 cos 2 x. cos x sin x. (6) 1 + ctg 2 x =. TC. (5) 1 + tg 2 x =. ITA. Razlaga: Pri poenostvljanju izrazov s kotnimi funkcijami si pomagamo z zvezami: sin 2 x = 1 − cos 2 x (1a) (1) sin 2 x + cos 2 x = 1 cos 2 x = 1 − sin 2 x (1b) (4) tgx ctgx = 1. 1 sin 2 x. (7) sin 2 x = 2 sin x cos x. Enočlenik ima lahko samo koeficient, množenje in potenciranje.. SA. Upoštevamo tudi dogovore: sin 2 x = (sin x) 2 , tgx = tan x, ctgx = cot anx. Rešitve: a) 1 − sin 2 x + cos 2 x = cos 2 x + cos 2 x. = 2 cos 2 x. b) sin x tgx ctg 2 x = (to je že enočlenik, vendar ga lahko še poenostavimo) (2), (3). (okrajšam). sin x ⎛ cos x ⎞ = sin x ⎜ ⎟ cos x ⎝ sin x ⎠ sin x cos 2 x = sin x cos x sin 2 x = cos x. 2.

(2) sin x (2) cos x sin 2 x = cos x + cos x 2 cos x + sin 2 x = cos x 1 = = cos −1 x cos x. (1). sin x cos x (2), 3) + cos x sin x sin 2 x + cos 2 x = sin x cos x 1 2 = . sin x cos x 2 2 = 2 sin x cos x 2 = sin 2 x. č) tgx + ctgx = (1). ND A. c) cos x + sin x tgx = cos x + sin x.. (7). = 2 sin −1 (2 x). 1 − sin x sin x 1 − sin 2 x = sin x cos 2 x = sin x = ctgx cos x. (1b). ITA. (3). TC. 2 cos 2 x − sin 2 x + 1 = 3 cos x 2(1 − sin 2 x) − sin 2 x + 1 = 3 cos x 2 2 − 2 sin x − sin 2 x + 1 = 3 cos x 3 − 3 sin 2 x = 3 cos x 3(1 − sin 2 x) (1b) = 3 cos x cos 2 x = cos x = cos x. SA. f). e) (1 − sin x)(1 + sin −1 x) = (1 − sin x)(1 +. 1 sin x). sin x + 1 sin x (1 − sin x)(1 + sin x) = sin x 2 2 (a − b)(a + b) = a − b. NA. d) sin −1 x − sin x =. = (1 − sin x). 1 − sin 2 x sin x cos 2 x = sin x. = (1b) (3). = ctgx cos x. g) (sin x + cos x) 2 − (sin x − cos x) 2 =. = sin 2 x + 2 sin x cos x + cos 2 x − − (sin 2 x − 2 sin x cos x + cos 2 x) (1). = 1 + 2 sin x cos x − (1 − 2 sin x cos x) = 1 + 2 sin x cos x − 1 + 2 sin x cos x. (7). = 2.2 sin x cos x 2 sin 2 x.

(3) sin x sin 2 x = sin 2 x cos x sin x = = tgx cos x. (3). cos x + sin x sin x(sin x + cos x) 1 = sin −1 x = sin x. TC. =. 1 − cos x cos x − cos x cos x l) = sin x sin x 1 − cos 2 x cos x (1a) = sin x 1 sin 2 x sin x = (2) = sin x cos x cos x = tgx. SA. −1. sin x cos x sin x + sin x = sin x cos x 2 sin x cos x = sin x = 2 cos x. sin x cos x (2). sin x + 2 sin x cos x = 2 + cos x − 2 sin 2 x sin x(1 + 2 cos x) (1a) = 2 + cos x − 2(1 − cos 2 x) sin x(1 + 2 cos x) = 2 + cos x − 2 + 2 cos 2 x sin x(1 + 2 cos x) = cos x + 2 cos 2 x sin x(1 + 2 cos x) = cos x(1 + 2 cos x) sin x = tgx (2) = cos x 1 1 1 − sin x + 1 + sin x m) = + (1 + sin x)(1 − sin x) 1 + sin x 1 − sin x 2 (1b) = 1 − sin 2 x k). ITA. cos x +1 ctgx + 1 sin x j) = sin x + cox sin x + cos x cos x + sin x sin x = sin x + cos x 1. sin x + cos x. NA. (2). sin x + cos x tgx i) = tgx. ND A. sin x − sin x cos x tgx − sin x cos x cos x h) = sin 2 x sin 2 x sin x − sin x cos 2 x cos x = sin 2 x 1 sin x(1 − cos 2 x) (1a) = sin 2 x cos x. =. 2 cos 2 x. = 2 cos −2 x.

(4) n). 1 + cos x sin x + = sin x 1 + cos x (1 + cos x) 2 + sin 2 x 1 + 2 cos x + cos 2 x + sin 2 x = = = sin x(1 + cos x) sin x(1 + cos x) 2 + 2 cos x 2(1 + cos x) 2 = = = sin x(1 + cos x) sin x(1 + cos x) sin x. p). (1 − sin x)(1 + sin x) 1 − sin 2 x cos 2 x = = = ctg 2 x (1 + cos x)(1 − cos x) 1 − cos 2 x sin 2 x. 1 + ctg 2 x = 1 + tg 2 x =. (3). (6), (5). cos 2 x cos x = = ctgx sin 2 x sin x. (3). cos x cos x cos x cos x cos x − = − = −1 1 sin x sin x sin 2 x − 1 sin x − sin x sin x − sin x sin x sin x cos x cos x cos x sin x cos x − = + = sin x − (1 − sin 2 x) sin x cos 2 x. ITA. r) ctgx −. 1 sin 2 x 1 cos 2 x. NA. o). ND A. = 2 sin −1 x. cos x sin x cos 2 x + sin 2 x 1 2 2 + = = . = = sin x cos x sin x cos x sin x cos x 2 sin 2 x. TC. =. SA. = 2 sin −1 (2 x).

(5)