GEOMETRIJE S 3D RA ˇ CUNALNIˇ SKIMI

(1)

PEDAGOˇ SKA FAKULTETA

POU ˇ CEVANJE: PREDMETNO POU ˇ CEVANJE

MANCA ROBLEK

U ˇ CINKOVITOST U ˇ CENJA PROSTORSKE

GEOMETRIJE S 3D RA ˇ CUNALNIˇ SKIMI

PROGRAMI

MAGISTRSKO DELO

Ljubljana, 2015

(2)

PEDAGOˇ SKA FAKULTETA

POU ˇ CEVANJE: PREDMETNO POU ˇ CEVANJE

Fizika - matematika

MANCA ROBLEK

U ˇ CINKOVITOST U ˇ CENJA PROSTORSKE

GEOMETRIJE S 3D RA ˇ CUNALNIˇ SKIMI

PROGRAMI

MAGISTRSKO DELO

Mentor: doc. dr. ZLATAN MAGAJNA

Ljubljana, 2015

(3)

Od samega zaˇ cetka ˇ solanja bi moral otrok doˇ zivljati radost odkrivanja.

(Alfred North Whitehead)

Moja velika ˇzelja je bila napisati magistrsko delo, ki bi sledilo zgornji misli.

To mi ne bi uspelo brez mentorja, doc. dr. Zlatana Magajne. Zahvaljujem se mu za vse nasvete, ideje ter usmerjanje pri izdelavi magistrskega dela.

Zahvalila bi se tudi svoji druˇzini, moˇzu Luku ter hˇcerki Eli, za vso podporo, potrpeˇzljivost in spodbudne besede.

Hvala!

(4)

V magistrskem delu opredeljujem prostorsko predstavo kot sposobnost premikanja, ustvarjanja in ohranjanja zgrajenih podob. Natanˇcneje obrav- navam tri elemente prostorske predstave, in sicer: prostorsko vizualizacijo, prostorske relacije ter miselne rotacije. V osnovni ˇsoli je prostorska predstava posebej pomembna pri obravnavi prostorske geometrij; praviloma si tu uˇcenci pomagajo z raznovrstnimi modeli teles. Raˇcunalniˇski programi za prostorsko geometrijo v osnovno ˇsolo ˇse niso dobro vpeljani. Kot primer tovrstnega naˇcina obravnave je v delu predstavljena Gutierrezova metoda, ki sestoji iz treh korakov: rokovanja s konkretnimi objekti, manipulacije teles na raˇcunalniˇskem zaslonu ter branja in risanja skic na papir. Dokazano je, da raˇcunalniˇski programi za prostorsko geometrijo spodbujajo motivacijo uˇcencev za uˇcenje. Raˇcunalniˇske skice so vedno natanˇcne in zato pripravne za raziskovanje, uˇcenci lahko po razliˇcnih poteh doseˇzejo reˇsitve problema.

V okviru magistrskega dela sem tudi raziskala, v kolikˇsni meri si de- vetoˇsolci pri reˇsevanju prostorskih problemov znajo pomagati s skico, fiziˇcnim modelom ter raˇcunalniˇskim modelom. V raziskavi je sodelovalo 23 uˇcencev devetih razredov osnovne ˇsole, razdeljenih v dve skupini. V prvi skupini so imeli uˇcenci pri obravnavi piramid na voljo le fiziˇcne modele teles, v drugi skupini pa so imeli poleg fiziˇcnih modelov na voljo tudi raˇcunalniˇske modele v programu SketchUp. Izkazalo se je, da med skupinama v uspeˇsnosti reˇsevanja nalog prostorske geometrije ni bilo statistiˇcno pomembne razlike. Prav tako se niso pojavile razlike med spoloma uˇcencev ter skupinama uˇcencev glede na uˇcni uspeh. Pri pouku je bila veliko aktivnejˇsa skupina uˇcencev, ki je uporabljala SketchUp. Ti uˇcenci so bili za delo zelo motivirani, na zasta- vljena vpraˇsanja so vedno odgovarjali, prav tako so tudi sami zastavili veliko vpraˇsanj. Posebej zanimivo je bilo uˇcencem raziskovati prereze s pomoˇcjo SketchUpa.

KLJU ˇCNE BESEDE:

prostorska predstava, obravnava piramid, raˇcunalniˇski program SketchUp, raˇcunalniˇski modeli.

(5)

In the thesis spatial ability is considered as the ability to manipulate, ge- nerate and retain well-structured visual images. Three elements of spatial ability are presented in detail: spatial visualization, spatial relations and mental rotations. Spatial ability plays an important role in school mathematics when students learn about space geometry. Students use different manipulatives to help them through studying. Computer programs for spatial geometry are not yet introduced into learning process. As an example, Gutierrez method is described in the thesis. It consists of three steps: manipulation of real objects, manipulation of 3-dimensional representation on a computer screen, and reading or drawing plane representations on paper.

It is proved that computer programs for spatial geometry increase students motivation for learning, also computer diagrams are always precise and terms convenient for exploration. Students can also explore different ways to get the solution.

The aim of my pilot research is to investigate how much the ninth grade students rely on diagrams, real objects and computer models when dealing with spatial geometry problems. 23 ninth grade students, divided in two groups, participated in the research. Students in the first group only used real objects during learning about pyramids, whereas in the second group, students had next to real objects also available computer models made in program SketchUp. As a result no significant difference was obtained between the achivements of both groups in solving spatial geometry problems. Also, there was no significant influence of sex or grade in mathematics. During the learning process students who used program SketchUp were more active than others. They were motivated for work, they always answered questions and they also asked more questions during class. They especially enjoyed exploring plane sections with SketchUp.

KEYWORDS:

spatial skill, learning about pyramids, computer program SketchUp, digital diagrams.

(6)

(7)

UVOD 1

TEORETI ˇCNA IZHODIˇS ˇCA 3

1 PROSTORSKA PREDSTAVA . . . 3

1.1 ELEMENTI PROSTORSKE PREDSTAVE . . . 3

1.1.1 Prostorska vizualizacija . . . 4

1.1.2 Miselna rotacija . . . 5

1.1.3 Prostorske relacije . . . 7

1.1.4 Prostorska zaznava . . . 9

1.1.5 Prostorska orientacija . . . 9

1.2 RAZVOJ PROSTORSKE PREDSTAVE . . . 9

1.3 U ˇCENJE PROSTORSKE GEOMETRIJE . . . 10

2 RA ˇCUNALNIˇSKI PROGRAMI ZA PROSTORSKO GEOMETRIJO . . . 15

2.1 PREDSTAVITEV RA ˇCUNALNIˇSKEGA PROGRAMA SketchUp . . . 16

2.1.1 Predstavitev ukazov . . . 18

3 OBRAVNAVA PIRAMIDE S 3D RA ˇCUNALNIˇSKIM PROGRAMOM . . . 22

3.1 FIZI ˇCNI MODELI . . . 23

3.2 RA ˇCUNALNIˇSKI MODELI . . . 24

3.3 OBRAVNAVA PIRAMIDE . . . 26

3.3.1 1. ura: PIRAMIDA – opredelitev, opis, mreˇza 27 3.3.2 2. ura: Povrˇsina, prostornina piramide, PRA- VILNA 4-STRANA PIRAMIDA . . . 29

3.3.3 3. ura: PRAVILNA 4-STRANA PIRAMIDA – Pitagorov izrek . . . 32 3.3.4 4. ura: PRAVILNA 3-STRANA PIRAMIDA 34

i

(8)

3.3.5 5. ura: PRAVILNA 6-STRANA PIRAMIDA 36

3.3.6 6. ura: Utrjevanje znanja . . . 38

3.3.7 7. ura . . . 40

3.4 ZGLED PRIPRAVE U ˇCNE URE Z UPORABO 3D RA ˇCUNALNIˇSKEGA PROGRAMA . . . 40

EMPIRI ˇCNI DEL 47 1 OPREDELITEV RAZISKOVALNEGA PROBLEMA . . . 47

2 HIPOTEZE . . . 48

3 METODOLOGIJA . . . 50

3.1 METODA IN RAZISKOVALNI PRISTOP . . . 50

3.2 VZOREC . . . 50

3.3 OPIS POSTOPKA ZBIRANJA PODATKOV . . . 51

3.4 POSTOPEK OBDELAVE PODATKOV . . . 52

4 OPIS PREIZKUSOV . . . 53

4.1 PREDTEST . . . 53

4.2 POSTTEST . . . 59

5 ANALIZA REZULTATOV . . . 63

5.1 ANALIZA REZULTATOV PREDTESTA . . . 63

5.1.1 Rezultati predtesta po skupinah . . . 63

5.1.2 Rezultati predtesta po uˇcnem uspehu . . . 65

5.1.3 Rezultati predtesta po spolu . . . 67

5.2 ANALIZA REZULTATOV POSTTESTA . . . 70

5.2.1 Rezultati posttesta po skupinah . . . 70

5.2.2 Rezultati posttesta po uˇcnem uspehu . . . 73

5.2.3 Rezultati posttesta po spolu . . . 75

5.3 PREVERJANJE NI ˇCELNE HIPOTEZE 1 . . . 77

5.7 KOMENTAR K NALOGAM POSTTESTA . . . 87

5.7.1 Komentar k 2. nalogi posttesta . . . 87

5.8 KON ˇCNI KOMENTAR . . . 93

(9)

ZAKLJU ˇCEK 95

LITERATURA 97

PRILOGE 101

(10)

Slika 1 : Primer naloge iz testa Mental Cutting test (Tsutsumi, 2004) 5 Slika 2 : Primer naloge, ki zahteva sposobnost prostorske vizualizacije 5 Slika 3 : Primer naloge iz testa Purdue Visualization of Rotations

test (Bodner, Guay, 1997) . . . 6

Slika 4 : Primer naloge, ki zahteva sposobnost miselne rotacije. . . 7

Slika 5 : Primer naloge iz testa Surface development test (Surface development test, 2015) . . . 8

Slika 6 : Primer naloge, ki zahteva sposobnost prostorskih relacij. . 8

Slika 7 : Program Autodesk 123D Design . . . 16

Slika 8 : Program SketchUp . . . 17

Slika 9 : Pogovorno okno Layers v programu SketchUp . . . 18

Slika 10 : Uˇcni list z razlago osnovnih ukazov v programu SketchUp 19 Slika 11 : Razlaga pogovornega okna Layers v programu SketchUp . 20 Slika 12 : Sukanje ravnine v programu Sketch Up . . . 21

Slika 13 : Sukanje ravnine v aplikaciji 123D Design . . . 21

Slika 14 : ˇZica . . . 23

Slika 15 : Slamice . . . 23

Slika 16 : Pravilna 4-strana piramida . . . 24

Slika 17 : Pravilna 4-strana piramida z dodatkom za izraˇcune s Pi- tagorovim izrekom . . . 24

Slika 18 : Podrobna slika dodatka za izraˇcune s Pitagorovim izrekom pri pravilni 6-strani piramidi . . . 24

Slika 19 : Pravilna 4-strana piramida (program SketchUp) . . . 25 iv

(11)

Slika 20 : Pravilna 4-strana piramida: ogrodje in viˇsina (program

SketchUp) . . . 25

Slika 21 : Prikaz raziskovanja prerezov v programu SketchUp . . . . 26

Slika 22 : Prikaz znaˇcilnih trikotnikov v programu SketchUp . . . 26

Slika 23 : Steklena piramida v Louvru (Vir:http://museumchick.com/ images/old/6a0128765be845970c01348541fc9e970c-pi.jpg) . . . 42

Slika 24 : Eden od znaˇcilnih trikotnikov . . . 43

Slika 25 : Prerez pravilne 4-strane piramide z ravnino . . . 44

Slika 26 : Predtest – naloga 1 . . . 53

Slika 28 : Predtest – naloga 3 (izsek) . . . 54

Slika 34 : Posttest – naloga 2 (del I) . . . 60

Slika 35 : Posttest - naloga 3 (del I) . . . 61

Slika 36 : Posttest – naloga 4 (izsek) (del II) . . . 62

Slika 37 : Rezultati kontrolne in eksperimentalne skupine na predtestu 64 Slika 38 : Rezultati skupin s slabˇsim in boljˇsim uˇcnim uspehom na predtestu . . . 66

Slika 39 : Rezultati skupin uˇcencev po spolu na predtestu . . . 68

Slika 40 : Rezultati kontrolne in eksperimentalne skupine na posttestu 70 Slika 41 : Rezultati kontrolne in eksperimentalne skupine na delu I (brez modelov) . . . 71

Slika 42 : Rezultati kontrolne in eksperimentalne skupine na delu II (z modeli) . . . 72

Slika 43 : Rezultati skupin s slabˇsim in boljˇsim uˇcnim uspehom na posttestu . . . 74

Slika 44 : Rezultati skupin uˇcencev po spolu na posttestu . . . 76

(12)

Slika 45 : Ocenjene povpreˇcne vrednosti skupin uˇcencev na posttestu (na podlagi rezultatov predtesta) . . . 83 Slika 46 : Ocenjene povpreˇcne vrednosti skupin uˇcencev na posttestu

(na podlagi rezultatov predtesta) . . . 86

(13)

Tabela 1 : Shema obravnave piramid . . . 27 Tabela 2 : Primerjava strategij obravnave 1. ure v obeh skupinah . 28 Tabela 3 : Uporaba ponazoril 1. uro . . . 29 Tabela 4 : Primerjava strategij obravnave 2. ure v obeh skupinah . 30 Tabela 5 : Uporaba ponazoril 2. uro . . . 31 Tabela 6 : Primerjava strategij obravnave 3. ure v obeh skupinah . 32 Tabela 7 : Uporaba ponazoril 3. uro . . . 33 Tabela 8 : Primerjava strategij obravnave 4. ure v obeh skupinah . 34 Tabela 9 : Uporaba ponazoril 4. uro . . . 35 Tabela 10 : Primerjava strategij obravnave 5. ure v obeh skupinah . 37 Tabela 11 : Uporaba ponazoril 5. uro . . . 38 Tabela 12 : Primerjava strategij obravnave 6. ure v obeh skupinah . 39 Tabela 13 : Uporaba ponazoril 6. uro . . . 39 Tabela 14 : Podatki o uˇcni uri . . . 40 Tabela 15 : Struktura vzorca v raziskavi . . . 50 Tabela 16 : Rezultati kontrolne in eksperimentalne skupine na pred-

testu ter rezultati t-testa . . . 64 Tabela 17 : Rezultati po skupinah in po uˇcnem uspehu uˇcencev na

predtestu ter rezultati dvosmerne analize variance – ANOVA 66 Tabela 18 : Rezultati po skupinah in spolu na predtestu ter rezultati

dvosmerne analize variance – ANOVA . . . 68 Tabela 19 : Rezultati kontrolne in eksperimentalne skupine na post-

testu ter rezultati t-testa . . . 70 Tabela 20 : Rezultati kontrolne in eksperimentalne skupine na delu

I (brez modelov) ter rezultati t-testa . . . 71 vii

(14)

Tabela 21 : Rezultati kontrolne in eksperimentalne skupine na delu II (z modeli) ter rezultati t-testa . . . 72 Tabela 22 : Rezultati po skupinah in uˇcnem uspehu uˇcencev na po-

sttestu ter rezultati dvosmerne analize variance – ANOVA . 74 Tabela 23 : Rezultati po skupinah in spolu na posttestu ter rezultati

dvosmerne analize variance – ANOVA . . . 75 Tabela 24 : Rezultati kontrolne in eksperimentalne skupine na delu

I (brez modelov) . . . 78 Tabela 25 : Analiza kovariance – ANCOVA . . . 78 Tabela 26 : Rezultati kontrolne in eksperimentalne skupine na delu

II (z modeli) . . . 80 Tabela 27 : Analiza kovariance – ANCOVA . . . 80 Tabela 28 : Rezultati kontrolne in eksperimentalne skupine na post-

testu . . . 81 Tabela 29 : Analiza kovariance – ANCOVA . . . 81 Tabela 30 : Rezultati po skupinah in po uˇcnem uspehu uˇcencev na

posttestu . . . 82 Tabela 31 : Interakcija med faktorjema uˇcni uspeh in naˇcin pouˇcevanja 82 Tabela 32 : Vpliv faktorja uˇcni uspeh pri matematiki na doseˇzene

rezultate . . . 83 Tabela 33 : Vpliv faktorja naˇcin pouˇcevanja na doseˇzene rezultate . 83 Tabela 34 : Rezultati uˇcencev po skupinah in spolu na posttestu . . 84 Tabela 35 : Vpliv interakcije faktorjev spol uˇcencev in naˇcin pouˇcevanja 84 Tabela 36 : Vpliv faktorja spol uˇcencev na doseˇzene rezultate . . . . 85 Tabela 37 : Vpliv faktorja naˇcin pouˇcevanja na doseˇzene rezultate . 85 Tabela 38 : Struktura uˇcencev po spolu in uˇcnem uspehu . . . 86 Tabela 39 : Rezultati kontrolne in eksperimentalne skupine pri 2.

nalogi posttesta . . . 87 Tabela 40 : Rezultati kontrolne in eksperimentalne skupine pri 2.

nalogi (I) in pri 2. nalogi (II) . . . 88 Tabela 41 : Rezultati kontrolne in eksperimentalne skupine pri 3.

nalogi posttesta . . . 89

(15)

Tabela 42 : Rezultati kontrolne in eksperimentalne skupine pri 3.

nalogi (I) in pri 3. nalogi (II) . . . 89 Tabela 43 : Rezultati kontrolne in eksperimentalne skupine pri 4.

nalogi posttesta . . . 90 Tabela 44 : Rezultati kontrolne in eksperimentalne skupine pri 4.

nalogi (I) in pri 4. nalogi (II) . . . 90

(16)

(17)

Tartre (1990, v Erko¸c, Gec¨u, Erko¸c, 2013) prostorsko predstavo opredeli kot umsko sposobnost, povezano z razumevanjem, manipulacijo, reorganizacijo in vizualnim predstavljanjem informacij. Razvija se od rojstva, saj je svet, v katerem ˇzivimo, tridimenzionalen. Clements (1998) meni, da je sposobnost prostorske predstave ena od kljuˇcnih ˇclovekovih sposobnosti. ˇCeprav se prostorska predstava moˇcno izoblikuje ˇze do otrokovega 6. leta, je zelo pomembno, kako jo pouˇcujemo v ˇsoli. Gutierrez (1992) predlaga pouˇcevanje v treh korakih. Prvi je skoraj vedno prisoten v ˇsolah – rokovanje s konkretnimi objekti. Sledi korak, ki je v veˇcini primerov izpuˇsˇcen – manipulacija teles na raˇcunalniˇskem zaslonu. Raˇcunalniˇski programi ponujajo ogromno moˇznosti, kako predstaviti prostorsko geometrijo uˇcencem ter jo dopolniti z zanimivostmi. Zadnji korak je risanje in branje skic, ki je za uˇcence najteˇzji.

Prostorska predstava je ˇsiroko podroˇcje in med ˇsolanjem uˇcenci pri matematiki spoznajo majhen del – prostorsko geometrijo (prizma, valj, piramida, stoˇzec, krogla). V 9. razredu je predvidena obravnava piramide, na katero sem se v okviru empiriˇcnega dela osredotoˇcila. Po mnenju uˇcencev je to ena najteˇzjih snovi. Za boljˇse razumevanje mnogi avtorji priporoˇcajo uporabo raˇcunalniˇskih programov za 3D modeliranje. V raziskavi sem ˇzelela preveriti moˇznost uporabe programa SketchUp pri pouku. Pri pisanju magistrskega dela sem izhajala iz vpraˇsanja, koliko si pri svojih sposobnostih znajo uˇcenci pomagati s skico, fiziˇcnim modelom ter raˇcunalniˇskim modelom.

Drugi poudarek pa je na raziskavi uˇcne uˇcinkovitosti uˇcencev ob uporabi programa SketchUp.

Teoretiˇcna izhodiˇsˇca so razdeljena na tri poglavja: na prostorsko predstavo, raˇcunalniˇski program za prostorsko geometrijo in obravnavo piramide s 3D raˇcunalniˇskim programom. V prvem poglavju je opisana prostorska predstava, tema, na kateri temelji magistrsko delo. Ker prostorska predstava ni enoliˇcno opredeljena, je predstavljenih nekaj opredelitev ter delitev prostorske predstave na elemente. Pri prostorski vizualizaciji, prostorskih

1

(18)

relacijah ter miselni rotaciji je podrobno predstavljen eden izmed standardiziranih testov, ki preverja izbrani element, ter naloga iz preizkusa, izdelanega za potrebe raziskave, ki preverja sposobnost izbranega elementa. Sledi razde- lek o razvoju prostorske geometrije ter o poteku uˇcenja prostorske predstave.

Sledi poglavje, kjer je predstavljena izbira raˇcunalniˇskih programov ter opis raˇcunalniˇskega programa SketchUp, katerega smo uporabili pri obravnavi piramid. Zadnje poglavje je obravnava piramid s 3D raˇcunalniˇskimi programi, kjer so na zaˇcetku predstavljeni operativni cilji ter standardi znanja. Sledi predstavitev izdelave fiziˇcnih modelov in raˇcunalniˇskih skic, nato pa opis stra- tegije obravnave za vsako uro pouka. Na koncu je predstavljen zgled uˇcne ure obravnave piramide, kakrˇsno sem izvedla v okviru raziskovalnega dela.

V empiriˇcnem delu so na zaˇcetku predstavljeni raziskovalni problem, hipoteze in raziskovalna vpraˇsanja ter metodologija. Sledi opis merskih in- strumentov – preizkusov, ki so jih uˇcenci pisali pred obravnavo snovi in po njej. Empiriˇcni del se zakljuˇci z analizo rezultatov, ki ji sledi kratek povzetek ugotovitev in komentar.

(19)

1 PROSTORSKA PREDSTAVA

Prostorska predstava ni enoliˇcno opredeljena. Tartre (1990, v Erko¸c idr., 2013) opredeli prostorsko predstavo kot umsko sposobnost, povezano z razumevanjem, manipulacijo, reorganizacijo in predstavljanjem informacij, vizualno. Linn in Petersen (1985) ter Lohman (1996, v Erko¸c idr., 2013) jo opredelijo kot sposobnost premikanja, ustvarjanja, ohranjanja in skliceva- nja zgrajenih podob. Pri tem je potrebno poudariti, da gre za priklic telesa, gledanega iz razliˇcnih zornih kotov (Kurtulu¸s, Yolcu, 2013; Erko¸c idr., 2013). Kot je zapisano, prostorska predstava zajema premikanje objektov, tako objekta kot celote ali le posameznega dela (Kurtulu¸s in Yolcu, 2013;

Turgut in Uygan, 2014). Clements (1998) meni, da sposobnost prostorske predstavljivosti vkljuˇcuje tako manipulacijo kot tudi gradnjo mentalnih predstavitev objektov, transformacijo le-teh in razumevanje relacij med posameznimi elementi objekta ali med veˇc objekti.

Kveton, Jelinek in Voboril (2014) si prostorsko predstavo razlagajo kot proces, kjer mentalni posnetki odraˇzajo dejanske fiziˇcne predmete.

Tzuriel in Egozi (2010) menita, da je prostorska predstava ena od kljuˇcnih ˇclovekovih sposobnosti. Njeno pomembnost v vsakdanjem ˇzivljenju poudarjata tudi Linn in Petersen (1985). Clements (1998) dodaja, da je prostorska predstava kljuˇcna za interpretacijo ter razumevanje tako

geometrijskega kot realnega sveta.

1.1 ELEMENTI PROSTORSKE PREDSTAVE

Obstaja veˇc delitev prostorske predstave (po razliˇcnih kriterijih). Delitve so po veˇcini teˇzko natanˇcno opredeljive, zato se elementi pogosto prepletajo med seboj (Kveton idr., 2014).

3

(20)

Clements (1998) meni, da se prostorska predstava deli na prostorsko orientacijo in prostorsko vizualizacijo. Linn in Petersen (v Erko¸c idr., 2013) delita prostorsko predstavo na prostorsko zaznavo, miselno rotacijo in, tako kot Clements (1998), na prostorsko vizualizacijo. Maier (1994, v Kveton idr., 2014) deli prostorsko predstavo na prostorsko vizualizacijo, miselne rotacije, prostorske relacije, prostorsko zaznavo ter prostorsko orientacijo. Slednja delitev bo v nadaljevanju podrobneje predstavljena.

Podrobneje bom predstavila tri elemente prostorske predstave (Maier, 1994, v Kveton idr., 2014) – prostorsko vizualizacijo, miselne rotacije in prostorske relacije. Za vsak element prostorske predstave so izdelani ˇstevilni standardizirani testi, katere bom pri opisu tudi omenila. V okviru svoje raziskave sem izdelala naloge za merjenje posameznih elementov. Ob opisu elementov bo nekaj nalog tudi predstavljenih.

1.1.1 Prostorska vizualizacija

Maier (1994, v Kveton idr., 2014) opredeli prostorsko vizualizacijo kot sposobnost ustvariti mentalne podobe notranje konfiguracije teles ali spremembe oblike telesa. McGee (1979, v Kveton idr., 2914) sposobnost prostorske vizualizacije opredeli kot zmoˇznost mentalnega manipuliranja objekta. Linn in Petersen (1985, v Erko¸c idr., 2013) pa kot sposobnost mentalnega manipuliranja z danim objektom v tridimenzionalnem prostoru. Clements (1998) meni, da prostorska predstava zajema razumevanje ter predstavljanje mentalnih premikov dvo- ali tridimenzionalnih objektov. Prvi pogoj je zmoˇznost ustvariti mentalno sliko ter nato manipulirati z njo.

Primera standardiziranih testov, ki preverjajo sposobnost prostorske vizualizacije, sta Mental cutting test in Object aparature test. Posamezna naloga na testu Mental cutting test je sestavljena tako, da je narisano neko netipiˇcno telo ter ravnina, ki preseka dano telo. Dane so 4 moˇznosti, izmed katerih ena ustreza prerezu telesa in ravnine (Kveton idr., 2014). Linn in Petersen (1985) zapiˇseta, da so to naloge, ki vkljuˇcujejo zahtevne, v veˇc korakih izvedene premike v prostoru.

Slika 1 prikazuje primer naloge iz standardiziranega testaMental cutting test. Na sliki je z rdeˇco oznaˇceno, kje prereˇze ravnina telo, in obkroˇzena pravilna reˇsitev. Tega na testu seveda ni (Tsutsumi, 2004).

(21)

Slika 1: Primer naloge iz testaMental Cutting test (Tsutsumi, 2004) Na prostorsko vizualizacijo se nanaˇsa tudi spodnja naloga, ki sem jo izdelala in zastavila uˇcencem v okviru eksperimentalnega dela (Slika 2).

Slika 2: Primer naloge, ki zahteva sposobnost prostorske vizualizacije

1.1.2 Miselna rotacija

Maier (1994, v Kveton idr., 2014) opredeli miselno rotacijo kot sposobnost vrteti mentalne podobe likov in teles, De Lisi in Wolford (v Erko¸c idr., 2013) dodata, da je pomembno, da si zna ˇclovek predstavljati objekt tudi, ˇce ga obrnemo okrog ene od treh osi za doloˇceno ˇstevilo stopinj. Linn in

(22)

Petersen (1985) menita, da sposobnost vkljuˇcuje tudi hitrost in natanˇcnost spreminjanja mentalne slike pri vrtenju.

Shepard in Metzner (1971) sta izvedla raziskavo o zmoˇznosti izvajanja miselnih rotacij. Vse naloge na testu so bile podobne: udeleˇzenci so imeli na- risani dve telesi v prostoru in morali so doloˇciti, ali gre za isto telo. ˇZe v uvodu opozorita, da se pri nalogah, ki ugotavljajo sposobnost miselnega rotiranja, teˇzave pojavijo, ko si ljudje iz dvodimenzionalne slike ne morejo predstavljati tridimenzionalnega objekta. Ko enkrat osvojijo tridimenzionalno sliko, nalogo reˇsijo tako, da si skuˇsajo prvo telo predstavljati iz istega kota, kot je narisano drugo ali obratno. Raziskava je pokazala, da ˇcas reˇsevanja naloge linearno naraˇsˇca s kotom zasuka.

Primeri standardiziranih testov, ki ugotavljajo sposobnost miselnega rotiranja, so: Vandenbergerjev test 3D vizualizacije, Guayev test vizualizi- ranja rotacije inPurdue Visualization of Rotation Test (Kveton idr., 2014).

Navodilo nalog iz slednjega testa je sestavljeno na naslednji naˇcin: Predmet X je zasukan v Predmet X, kot je Predmet Y zasukan v... Izmed 5 prikazanih moˇznosti je ena pravilna. Primer naloge je na sliki 3. Test je sestavljen iz 20 nalog (Bodner, Guay, 1997).

Slika 3: Primer naloge iz testa Purdue Visualization of Rotations test (Bo- dner, Guay, 1997)

Na sliki 4 je naloga, ki sem jo izdelala in zastavila uˇcencem v okviru eksperimentalnega dela. Podobna je nalogam na Vandenbergerjevem testu 3D prostorske vizualizacije. Dana je slika telesa, sestavljenega iz veˇc enakih kock. Nato se predstavljene ˇstiri moˇznosti; od teh dve ustrezata danemu telesu.

(23)

Slika 4: Primer naloge, ki zahteva sposobnost miselne rotacije.

1.1.3 Prostorske relacije

Maier (1994, v Kveton idr., 2014) opredeli sposobnost prostorskih relacij kot razumevanje relacij med posameznimi elementi znotraj telesa ali med telesi.

Dva izmed standardiziranih testov, ki preverjata sposobnost prostorskih relacij, sta Surface development test inCube comparison test. Ideja slednjega je, da imamo narisano mreˇzo kocke z vzorci in ˇstiri kocke, pri ˇcemer le dve ustrezata dani mreˇzi (Kveton idr., 2014). Primer naloge je na spodnji sliki (Slika 5).

(24)

Slika 5: Primer naloge iz testaSurface development test (Surface development test, 2015)

Na sliki 6 je naloga, ki sem jo izdelala in zastavila uˇcencem v okviru eksperimentalnega dela. Imamo narisano neko telo in na njegovih robovih oznaˇcene toˇcke P, Q in R. Naloga spraˇsuje, ali je pri toˇcki Q pravi kot.

Slika 6: Primer naloge, ki zahteva sposobnost prostorskih relacij.

(25)

1.1.4 Prostorska zaznava

Maier (1994, v Kveton idr., 2014) opredeli prostorsko zaznavo kot sposobnost pravilno doloˇciti horizontalno ali vertikalno pozicijo predmeta kljub pomanjkljivi vidni informaciji. Nekatere naloge pa se nanaˇsajo na pravilno postavitev telesa ob upoˇstevanju teˇznosti. Linn in Petersen (1985, v Erko¸c idr., 2013) jo opredelita kot sposobnost doloˇciti prostorske relacije med telesi neodvisno od postavitve osebe, ki reˇsuje naloge.

Primera standardiziranih testov staRod and frame test inWater Level task (Kveton idr., 2014).

1.1.5 Prostorska orientacija

Maier (1994, v Kveton idr., 2014) opredeli prostorsko orientacijo kot sposobnost sebe orientirati v neki prostorski situaciji. McGee (1979, v Kveton idr., 2014) doda opredelitev, ki se nanaˇsa na telesa v prostoru. Sposobnost opredeli kot predstavljanje, kako so posamezni predmeti razporejeni v prostoru. Pri tem je pomemben zorni kot gledanja na predmete.

Primer standardiziranega testa jeChair Window test, ki sta ga izdelala Barratt in Fruchter (Kveton idr., 2014).

1.2 RAZVOJ PROSTORSKE PREDSTAVE

Oldknow in Tetlow(2008) menita, da veˇcino izkuˇsenj o tridimenzionalnem svetu dobimo v vsakdanjem ˇzivljenju – prek premikanja in dotikanja predmetov.

Piaget (v Clements, 1998) trdi, da prve zaznave o prostoru prejmemo kot otroci ˇze od rojstva dalje. Le-te potekajo prek raziskovanja in povezo- vanja med lastnostmi zaznanih predmetov. Clements (1998) poudarja, da ˇce ˇzelimo prostor razumeti, ga moramo veˇcˇcutno raziskati veˇc kot enkrat.

Pri tem aktivno pridobivanje izkuˇsenj ni vse. Pomemben faktor je tudi sta- rost. Clements (1998) pravi, da imamo s starostjo veˇc izkuˇsenj o prostoru in poslediˇcno boljˇso prostorsko predstavo.

Pri pridobivanju sposobnosti predstavljanja slike iz drugega zornega kota so pomembne tudi izkuˇsnje z gradnjo objektov, premikanje in risanje

(26)

le-teh. Otrokova slika objekta je odraz predstavitve objekta in ne zaznave.

Prav zaradi tega je pomembno veˇcˇcutno in veˇckratno raziskovanje. Miselne rotacije ter transformacije so zelo zahtevne. Otrok ima neko mentalno sliko in potem to sliko suka ter premika in jo primerja z drugimi mentalnimi slikami.

Ce se ujemajo, potem sklepa, da ima prav. Vendar njegova mentalna slikaˇ ni nujno pravilna (Clements, 1998).

Prostorska predstava se razvija v povezavi z drugimi ˇclovekovimi spo- sobnostmi. Tako je Battista (1990) dokazal pozitivno korelacijo med prostorsko predstavljivostjo ter govornim izraˇzanjem. Battista, Talsma in Wheatley (1982) pa so dokazali, da je sposobnost prostorske predstave pozitivno pove- zana z doseˇzki pri matematiki.

Do pubertete oba spola enako hitro pridobivata sposobnost prostorske predstave . V puberteti pa se pojavijo razlike: fantje hitreje razvijajo to sposobnost kot deklice. To je dokazalo kar nekaj raziskav. Moˇzen vzrok, da pride do razlik, so hormoni (Linn, Petersen, 1985).

1.3 U ˇ CENJE PROSTORSKE GEOMETRIJE

Oldknow in Tetlow (2008) zapiˇseta, da je prostorska predstava tako uˇcencev kot tudi uˇciteljev pogosto zelo ˇsibka. Veliko uˇciteljev poslediˇcno pouˇcuje prostorsko geometrijo z obˇcutkom negotovosti. Tudi Accascina in Rogora (2006);

Erko¸c idr. (2013) poudarijo, da je po mnenju uˇcencev prostorska geometrija ena najteˇzjih snovi. Deloma tudi zaradi tega, ker si iz uˇciteljevih skic ne morejo dobro predstavljati telesa. Poslediˇcno tudi prerisovanje iz table ni natanˇcno (Erko¸c idr., 2013).

Gutierrez (1992) meni, da bi morali prostorsko geometrijo pouˇcevati v treh korakih in sicer:

1. korak: rokovanje s konkretnimi objekti,

2. korak: manipulacija teles na raˇcunalniˇskem zaslonu, 3. korak: branje in risanje projekcij teles na papir.

(27)

1. Rokovanje s konkretnimi objekti

Durmu¸s in Karakirik (2006, v Erko¸c idr., 2013) opredelita rokovalne pripomoˇcke (manipulative) kot konkretne predmete, npr. kocke, palˇcke, geometrijska telesa itd., ki predstavljajo matematiˇcno, abstraktno idejo in je zaradi svoje konkretnosti uˇcencem laˇzje razumljiva ter predstavljiva. Po mnenju Accascina in Rogora (2006) so za dobro pouˇcevanje nujno potrebni pripomoˇcki, ki spodbujajo zanimanje uˇcencev. Preko njih lahko uˇcenci pre- izkuˇsajo svoje ideje.

Clements (1998); Erko¸c idr. (2013) svetujejo, naj uˇcenci pri uˇcenju prostorske geometrije rokujejo z modeli teles. Clements (1998) poudarja pomembnost aktivnega uˇcenja ne le pri sestavljanju ter tipanju teles, ampak tudi pri merjenju dolˇzin ter velikosti kotov. Pri aktivnostih mora uˇcitelj tako pri sebi kot tudi pri uˇcencih paziti na pravilno izraˇzanje (Clements, 1998).

Pri starosti 6 let zaˇcne otrok argumentirati svoje odloˇcitve in nato je naloga uˇcitelja, da to ˇcim bolj spodbuja (Clements, 1998).

Clements (1998) opozarja, da imajo uˇcenci v glavi ˇze “vgrajene” slike teles. Le-te so pridobili prek igranja. Teˇzava je v tem, ker so igraˇce pogosto oblike pravilnih teles ali pravilnih veˇckotnikov. Po Clementsu (1998) se kon- cept slike dokonˇcno razvije ˇze do 6. leta, zato je pomembno, da se otroku do tega leta pokaˇze veliko razliˇcnih primerov in protiprimerov teles. Razi- skovanje primerov naj poteka veˇcˇcutno. Pri primerih je potrebno uˇcencem zagotoviti ˇcim veˇcjo raznolikost, npr. malo zasukani, razliˇcna razmerja dolˇzin stranic. Pri protiprimerih je treba paziti, da se od primera razlikujejo le v eni spremenljivki.

Po raziskavi, ki so jo predstavili Christou, Pittalis, Mousoulides in Jones (2005), uporaba konkretnih 3D modelov pri pouˇcevanju geometrije ni dovolj. Ti ne predstavijo matematiˇcne ideje – vsaj ne uˇcencu. Zato moramo poseˇci po raˇcunalniˇskih programih.

2. Manipulacija teles na raˇcunalniˇskem zaslonu

Velik del uˇciteljev se ˇse vedno posluˇzuje tradicionalnega naˇcina uˇcenja, zato izpuˇsˇcajo drugi korak po Gutierrezu (1992) in gredo naprej na 3. korak. Miyazaki idr. (2012) opozarjajo, da je potreba po raˇcunalniˇskih programih velika. Svet, v katerem ˇzivimo, je tehnoloˇsko visoko razvit, zato je pomembno, da uˇcenci spoznajo uporabnost tehnologije tudi pri pouku

(28)

matematike. ˇZlikova in Vallo (2011) opozarjata, da je lahko prehod iz tradicionalnega na netradicionalno – sodobno uˇcenje za uˇcenca zelo teˇzak, zato je potrebna dobra podpora uˇcitelja. Oldknow in Tetlow (2008) menita, da je kljub temu, da je prehod teˇzak, za vsakega uˇcenca raˇcunalniˇski program izziv. Raˇcunalniˇski program uˇcencu omogoˇca, da sam ustvari problem, ki ga prek raˇcunalniˇskega programa potem reˇsi ali vsaj uspeˇsneje reˇsuje.

Clements in McMillan (v Erko¸c idr., 2013) definirata raˇcunalniˇske pro- grame kot virtualne pripomoˇcke, ki uporabnikom omogoˇcajo manipuliranje z objekti.

Miyazaki idr. (2012) so zapisali, da vidijo v 3D raˇcunalniˇskih programih velik potencial za razvoj kurikuluma. Lahko bi razˇsirili vsebine, ki vkljuˇcujejo prostorsko predstavo. V raˇcunalniˇskem programu lahko uˇcitelj in uˇcenci nariˇsejo telesa oziroma like natanko po definiciji, s ˇcimer bi dosegli njihovo boljˇse razumevanje. Ker nam raˇcunalniˇski programi omogoˇcajo manipulacijo z objekti bi lahko uˇcencem predstavili, kako lahko “pridemo” od enega objekta do drugega in bi s tem dosegli ˇsirˇse razumevanje matematiˇcnih vsebin in boljˇse povezovanje med njimi (Miyazaki idr, 2012).

Aktivnosti ob uporabi raˇcunalniˇskih programov bi bile zanimivejˇse.

Za uˇcence lahko npr. naredimo razne animacije, ki prikazujejo nastanek teles. Aktivnost raziskovanja bi bila bolj produktivna – slike v raˇcunalniˇskih programih so natanˇcnejˇse od tistih, ki jih uˇcitelj nariˇse na tablo. Poslediˇcno bi uˇcenci laˇze raziskovali lastnosti teles; ne bi priˇslo do nerazumevanj, ki izhajajo iz slabe skice telesa (Miyazaki idr., 2012).

Glavne prednosti raˇcunalniˇskih programov so:

- uporaba drsnikov,

- spreminjanje kota pogleda, - raziskovanje lastnosti telesa, - predstavitev zahtevnejˇsih tem,

- raziskovanje razliˇcnih poti do reˇsitve problema, - izpeljevanje formul,

- premikanje ˇcrt, likov, teles,

- risanje enakih ali podobnih objektov,

(29)

- zdruˇzevanje objektov,

- shranjevanje datotek za kasnejˇse delo

(Clements, 1998; Accascina, Rogora, 2006, ˇZlikova, Vallo, 2011).

Accascina in Rogora (2206) menita, da vse to prispeva k boljˇsemu razumevanju uˇcencev.

Yildiz in T¨uz¨un (2011, v Erko¸c idr., 2013) sta raziskala, koliko se je uˇcencem izboljˇsala prostorska predstava, ˇce so uporabljali konkretne modele oziroma ˇce so imeli na voljo raˇcunalniˇski program. Zakljuˇcek raziskave je bil, da se je uˇcencem, ki so imeli na voljo raˇcunalniˇski program, izboljˇsala sposobnost prostorske vizualizacije bolj kot uˇcencem, ki so imeli na voljo le konkretne modele. Pri sposobnosti miselnega rotiranja ni priˇslo do stati- stiˇcno pomembnih razlik. Obema skupinama uˇcencev se je moˇcno izboljˇsala sposobnost prostorske predstave. Pozitivne uˇcinke raˇcunalniˇskih pomagal sta v ˇstudiji razkrila tudi Turgut in Uygan (2014) ter Miyazaki idr. (2012).

Roberts in Stephans (v Erko¸c idr. 2013) ter De Lisi in Wolford (v Erko¸c idr., 2013) so raziskovali, kako raˇcunalnik vpliva na uˇcenˇcevo motivacijo. Uˇcencem, ki so uporabljali raˇcunalnik pri pouku, se je moˇcno poveˇcalo zanimanje za uˇcenje matematike. Do enakega zakljuˇcka so priˇsli tudi Miya- zaki idr. (2012). Pri tem so predvsem poudarili, da so uˇcenci bolje videli ter razumeli povezave med matematiko ter realnim svetom.

Christou idr. (2005) opozarjajo, da imajo raˇcunalniˇski programi mnogo prednosti, vendar moramo paziti, ker mnogi ne ustrezajo matematiˇcnim in uˇcnim standardom. Program npr. neustrezno prikazuje prostorsko globino in so poslediˇcno telesa videti kot zlepek likov.

Accascina in Rogora (2006) vidita eno od glavnih kritik uˇcenja prek 3D raˇcunalniˇskih programov v tem, da kljub temu da je raˇcunalniˇski program tridimenzionalen, rezultate spremljamo na dvodimenzionalnem zaslonu. Av- torja opozarjata, da pri tem lahko pride do nerazumevanj.

3. Branje in risanje projekcij teles na papir

Accascina in Rogora (2006) opozarjata, da pri projekciji na ravnino izgubimo doloˇcene informacije. Nekaterih objektov npr. niti ne moremo narisati – ravnine tako ponazarjamo s ˇstirikotniki. Posledica so nekatera nerazumevanja uˇcencev, npr. da je ravnina doloˇcena s 4 toˇckami.

(30)

Pri risanju skic je pomembno risati skice istega telesa iz veˇc zornih kotov. Tako uˇcenci dobijo globinsko sliko telesa. Skice namreˇc pri uˇcencih sproˇzijo veliko interpretacij, ki niso nujno pravilne (Accascina, Rogora, 2006).

Gutierrez (1992) opozarja, da so telesa v vzporedni projekciji najlepˇse vidna, vendar jo je mentalno najteˇze obdelati.

Pri risanju skic in pouˇcevanju je treba paziti na izbiro barv. Trstenjak (1996) meni, da so najboljˇse barvne kombinacije rdeˇca – zelena ter rumena – modra. Vsekakor se moramo izogibati rdeˇce – modri kombinaciji.

(31)

2 RA ˇ CUNALNIˇ SKI PROGRAMI ZA PROSTORSKO GEOMETRIJO

Na medmreˇzju najdemo veliko raˇcunalnikih programov, ki omogoˇcajo risanje ter manipulacijo teles na raˇcunalniˇskem zaslonu. Za potrebe empiriˇcnega dela sem potrebovala program, ki naj bi ga uˇcenci uporabljali za prikazovanje teles pri obravnavi piramid. Pri izbiri programa sem upoˇstevala naslednje kriterije:

- program naj bo prosto dostopen,

- program naj v osnovi ne nudi velikega ˇstevila ukazov, - program naj bo preprost za uˇcenje,

- program naj ima privlaˇcen izgled.

Predvsem sem se odloˇcala med programoma Autodesk 123D Design in SketchUp. Oba programa sta prosto dostopna in si jih lahko uporabnik naloˇzi na raˇcunalnik prek spletne strani ponudnika. Autodesk 123D Design je zelo privlaˇcen program; izbira ukazov je ravno pravˇsnja za pouˇcevanje v razredu. Slabost programa pa je, da v programu ne moremo izbrati posameznih ploskev ali robov telesa za naknadno oblikovanje. To je bil glavni razlog, da sem se odloˇcila za program SketchUp.

123D Design je Autodeskov program. Podjetje Autodesk nudi mnogo programov in aplikacij za konstruiranje, animiranje, izdelovanje tehniˇcnih risb ipd.

Aplikacija 123D Design ukaze predstavlja s sliko, zato lahko takoj vidimo, ˇcemu je ukaz namenjen. Ukazi so razdeljeni v dva sklopa. Prvi sklop ukazov je na zgornjem robu. Namenjen je konstrukciji teles in likov ter njihovemu oblikovanju. Drugi sklop ukazov je ob desnem robu. V tem sklopu so ukazi za upravljanje zaslona – smer pogleda, vidnost mreˇze, poveˇcava itd.

Pred programom SketchUp ima tudi to prednost, da ˇze vsebuje ukaze za izris osnovnih teles, npr. kocke, kvadra, valja itd. Zaslon v aplikaciji 123D Design je prikazan na sliki 7.

(32)

Slika 7: Program Autodesk 123D Design

2.1 PREDSTAVITEV RA ˇ CUNALNIˇ SKEGA PROGRAMA SketchUp

Program SketchUp ˇzeli biti uporabniku prijazen, zato poudarja vizualno privlaˇcnost, razumljivost prikaza in uporabnost. Zaradi tega je primeren za prvo sreˇcanje in poslediˇcno za uporabo pri pouku. Prav tako ima zelo dober in odziven forum, kjer dobijo uporabniki hitre ter natanˇcne odgovore.

Program promovirajo tudi kot orodje, s katerim lahko vsakdo izrazi svoje prostorske zamisli. Mnogo ljudi ne zna ubesediti problema oziroma situacije, vendar ga znajo zelo dobro skicirati v programu. Tako drugim predstavijo problem in ga lahko prek programa tudi reˇsijo (SketchUp, 2013).

Za laˇzji zaˇcetek v SketchUpu je na njihovi spletni strani objavljenih nekaj video posnetkov za poznavanje osnovnih ukazov. Ogromno posnetkov za uˇcenje programa, reˇsitev problemov, izdelanih slik, najdemo tudi na spletnem portalu YouTube (SketchUp, 2013).

Uporabniki programa so arhitekti, notranji in zunanji oblikovalci, gradbeniki, inˇzenirji, uˇcitelji itd. Program SketchUp ima dve razliˇcici: Sketch - Up Make in SketchUp Pro. Prva je prosto dostopna in nudi manjˇse ˇstevilo ukazov, SketchUp Pro pa je zmogljivejˇsa razliˇcica, za katero je treba kupiti licenco. Za potrebe obravnave v ˇsoli povsem zadostuje razliˇcica SketchUp Make (SketchUp, 2013).

(33)

SketchUp Make ˇze v osnovi nudi veliko ˇstevilo ukazov. ˇCe pa ˇzelimo nabor ukazov dopolniti, se lahko obrnemo na SketchUp Extension Wareho- use. Prevedeno bi to pomenilo skladiˇsˇce dodatkov. Na to spletno mesto lahko vsak naloˇzi sestavljene ukaze (makroje). S sestavljanjem ukazov, lahko npr.

neposredno v dokument vstavimo piramido. Zanjo potrebujemo minimalno 5 ukazov. Nekateri dodatki v “skladiˇsˇcu” so plaˇcljivi (SketchUp Extension Warehouse, 2014).

V slovenskih osnovnih ˇsolah uporabljajo program SketchUp pri pred- metu tehnika in tehnologija, kjer lahko uˇcenci z njim konstruirajo predmete, hiˇse itd. Prav tako pa je uporaben pri pouˇcevanju matematike, predvsem pri obravnavi prostorske geometrije.

Na sliki 8 lahko vidimo zaˇcetno stran programa.

Slika 8: Program SketchUp

Za program SketchUp sem se odloˇcila predvsem iz dveh razlogov:

1. Program uporabnikom omogoˇca, da izberejo posamezne ploskve, robove ali skupino robov ter upravljajo le z njimi. Izbrane elemente lahko preoblikujemo, izbriˇsemo, obarvamo.

(34)

2. Program omogoˇca delo s plastmi (layers), kot je razvidno iz pogovornega okna (Slika 9).

Slika 9: Pogovorno okno Layers v programu SketchUp

S pomoˇcjo pogovornega okna Entity Info lahko posamezni element dodamo na doloˇceno plast. Uˇcenci prek pogovornega okna Layers izberejo, katere objekte ˇzelijo videti na modelu in katerih ne. Tako sem lahko vse lastnosti piramide predstavila na enem samem modelu oziroma v enem dokumentu.

Prva stran v programu (Slika 8) je oblikovana tako, da je ravnina xy obarvana s sivo, prostor pa je belo-siv. ˇZe to da uˇcencem obˇcutek globine.

K temu prispevajo tudi narisane osix, y inz. Osi so obarvane vsaka z drugo barvo, kar olajˇsa prepoznavanje posameznih osi.

2.1.1 Predstavitev ukazov

Za potrebe obravnave prostorske geometrije pri matematiki v osnovni ˇsoli povsem zadostuje razliˇcica programa SketchUp Make.

Preprosto uporabo programa bom ilustrirala z ukazi, ki so jih v okviru eksperimentalnega dela moje naloge uporabljali uˇcenci pri obravnavi piramid.

Preden smo zaˇceli z obravnavo piramid, je vsak uˇcenec dobil list, na katerem so bili predstavljeni potrebni ukazi ter razlaga pogovornega okna Layers.

Uˇcencem sem predstavila le tiste ukaze, ki smo jih potrebovali pri obravnavi.

Poudarek je bil na dveh ukazih: ukazu Orbit ter ukazu Pan. Pri preuˇcevanju presekov telesa z ravnino smo uporabljali ukaz Move. S pomoˇcjo ukaza Orbit

(35)

lahko ”pogledamo”na telo iz vseh smeri, saj ukaz “vrti zaslon”. S pomoˇcjo ukaza Pan pa se premikamo po ravnini zaslona. Razlago ukazov so imeli uˇcenci zapisano na listih, kot je prikazano na sliki 10.

Slika 10: Uˇcni list z razlago osnovnih ukazov v programu SketchUp

Pri obravnavi posamezne piramide so imeli uˇcenci odprt le en dokument, zato sem uˇcence nauˇcila uporabe pogovornega okna Layers (Slika 11).

Layer0 je osnovna plast, na kateri sem izdelala model piramide. Zaradi tega je bilo nujno, da je Layer0 vedno oznaˇcen – vedno je moral biti viden. Sledile so zapisane plasti, npr. Mreˇza, Ogliˇsˇca, Viˇsina itd. Poleg imena plasti je kvadratek, katerega lahko obkljukamo ali ne – odvisno od tega, ali ˇzelimo to plast videti ali ne. Program je narejen tako, da se plasti ne morejo prekrivati med sabo, torej neki element ne more biti hkrati na dveh plasteh. To je lahko nerodno, ˇse posebej ko smo obravnavali znaˇcilne trikotnike v piramidi.

(36)

Slika 11: Razlaga pogovornega okna Layers v programu SketchUp

Pomanjkljivost programa SketchUp je, da je postavljanje ravnin v prostoru zahtevno v dveh ozirih. Prviˇc, ravnino (section plane) lahko posta- vimo le na ˇze obstojeˇco ploskev kakega telesa. Drugiˇc, premikanje ravnine v prostoru je dokaj zahtevno. Premikanje v smeri pravokotno na postavljeno ploskev je sicer enostavno, ˇce pa ˇzelimo ravnino zasukati okoli kake premice v tej ravnini, je to izredno teˇzko. Sama logika za ukazom je tako zahtevna, uˇcencem med obravnavo ne bi uspelo usvojiti. Poslediˇcno uˇcenci niso mogli raziskovati prerezov posamezne piramide s poljubno ravnino. Uˇcencem sem zato predhodno postavila ravnine v prostor in potem so preseke piramide z njim vzporednimi ravninami preuˇcevali s pomoˇcjo ukaza Move. Zasuki in premiki ravnine oz. pravokotnika, ki ponazarja ravnino, so zelo enostavni v Autodeskovi aplikaciji 123D Design.

Na slikah 12 in 13 vidimo razliko v zasnovi ukaza za zasuk ravnine. V programu SketchUp imamo kotomer, s katerim lahko sukamo ravnino okoli premice, ki je pravokotna na ravnino kotomera in poteka skozi izhodiˇsˇce kotomera. Vendar je treba najprej doloˇciti ravnino, potem pa se sukamo glede na izbrano ravnino. Poloˇzaj kotomera je teˇzko pravilno doloˇciti. To je neprimerno zahtevnejˇse kot pri aplikaciji Autodesk 123D Design, ki ima na sferi, ki je postavljena na srediˇsˇce ploskve, oznaˇcene tri osi. ˇCe kliknemo krog na eni izmed osi, lahko zelo enostavno zasukamo ravnino.

(37)

Slika 12: Sukanje ravnine v programu

Sketch Up Slika 13: Sukanje ravnine v aplikaciji 123D Design

(38)

3 OBRAVNAVA PIRAMIDE S 3D

RA ˇ CUNALNIˇ SKIM PROGRAMOM

Uˇcni naˇcrt za matematiko predvideva v 9. razredu 128 ur pouka matematike; od tega 50 ur za temo Geometrija in merjenje. Znotraj te je predvidena obravnava piramid. Za njihovo obravnavo je priporoˇcenih 8 ur (ˇZakelj idr., 2011).

Po uˇcnem naˇcrtu za matematiko morajo uˇcenci pri obravnavi piramid doseˇci naslednje operativne cilje (ˇZakelj idr., 2011).

Uˇcenci:

- izdelajo model piramide in nariˇsejo njeno mreˇzo,

- izraˇcunajo ploˇsˇcino plaˇsˇca, povrˇsino in prostornino piramide (di- rektne in indirektne naloge),

- uporabljajo obrazce za izraˇcun povrˇsine in prostornine piramide ter za raˇcunanje neznanih koliˇcin,

- uporabljajo Pitagorov izrek pri reˇsevanju nalog.

(ˇZakelj idr., 2011, str. 44, 45)

Standard znanja predpisanega o piramidi je le en: uˇcenec uporablja formule ravninske in prostorske geometrije pri reˇsevanju problemov. Mini- malni standard znanja pri poglavju piramide je prav tako le eden: uˇcenec prepozna, opiˇse in skicira geometrijska telesa (ˇZakelj idr., 2011).

V didaktiˇcnih priporoˇcilih uˇcnega naˇcrta so zapisani napotki za uˇcenje.

Tako kot je ˇze napisano, so pri pouˇcevanju nujno potrebni fiziˇcni modeli.

Uˇcitelj naj naˇcrtuje aktivnosti uˇcencev s fiziˇcnimi modeli, saj ti izboljˇsajo ravninsko in prostorsko predstavo. ˇCe je le moˇzno, naj bodo modeli dostopni vsakemu uˇcencu. Pri opisovanju piramid je pomembno, da se uporabljajo pravilni izrazi. Uˇcence naj se navaja na risanje skic, preko katerih bodo lahko razbrali podatke, potrebne za reˇsevanje problemskih nalog (ˇZakelj idr., 2011).

V okviru eksperimentalnega dela sem izvedla raziskavo, kjer sem pouˇcevala piramide. Obravnava je trajala 7 ˇsolskih ur. Pri skupini, ki je uporabljala SketchUp, je pouˇcevanje potekalo v raˇcunalniˇski uˇcilnici.

(39)

Cilj magistrskega dela je raziskati, koliko si devetoˇsolci pomagajo s skico, fiziˇcnim modelom in raˇcunalniˇsko skico. Da to lahko ˇcim bolje preverimo, mora vsak uˇcenec ali pa vsaj vsak par uˇcencev dobiti svoj fiziˇcni model oziroma raˇcunalnik, na katerem je model telesa. V raˇcunalniˇski uˇcilnici je bil par uˇcencev na enem raˇcunalniku.

V prvih dveh podpoglavjih bodo predstavljeni modeli, ki smo jih uporabljali pri obravnavi, ter potek njihove izdelave, nato sledi potek obravnave piramid, kjer je predstavljena uˇcna strategija vsake ˇsolske ure. V zadnjem podpoglavju je predstavljen zgled uˇcne priprave obravnave pravilne 4-strane piramide – Pitagorov izrek z uporabo raˇcunalniˇskega programa SketchUp.

3.1 FIZI ˇ CNI MODELI

Ker v ˇsoli niso imeli zadosti modelov, sem jih naredila sama. Prva ideja je bila s pomoˇcjo palˇck za raˇznjiˇce in fimo mase, vendar se modeli niso obnesli.

Ko se je fimo masa posuˇsila, se palˇcke in masa niso veˇc drˇzali skupaj. Potem sem poskusila s piˇstolo z vroˇcim lepilom in palˇckami. To je bolje drˇzalo, vendar je bilo modele zelo teˇzko delati, ker se lepilo poˇcasi hladi. Modele piramid sem nato naredila s pomoˇcjo tanke, upogibljive ˇzice ter slamic (Sliki 14 in 15).

Slika 14: ˇZica Slika 15: Slamice

Model je narejen iz enega kosa ˇzice ter iz slamic razliˇcnih barv zaradi laˇzje komunikacije pri pouku (Slika 16).

Za obravnavo Pitagorovega izreka v piramidah sem naredila posebne dodatke, ki jih je moˇzno naknadno vstaviti v model piramide. Uˇcenci na zaˇcetku obravnave vsake od piramid niso imeli vstavljenih dodatkov v model;

ko pa smo zaˇceli z obravnavo Pitagorovega izreka, smo jih vstavili. Dodatek je viden na sliki 17 in na sliki 18.

(40)

Slika 16: Pravilna 4-strana piramida

Slika 17: Pravilna 4-strana piramida z dodatkom za izraˇcune s Pitagorovim izrekom

Slika 18: Podrobna slika dodatka za izraˇcune s Pitagorovim izrekom pri pravilni 6-strani piramidi

Naˇcrt za izdelavo piramid sem naˇsla na spletni strani (Pyramid build straw).

3.2 RA ˇ CUNALNIˇ SKI MODELI

Raˇcunalniˇske modele sem naredila v programu SketchUp. Pri izdelavi modelov sem ˇzelela, da bi imeli za vsako pravilno piramido uˇcenci odprt le en dokument. Pri tem sem si pomagala s pogovornim oknom Layers.

(41)

Preden sem zaˇcela risati model, sem odprla pogovorni okni Entity Info ter Layers. S pomoˇcjo prvega sem izbrani element vstavila v posamezno plast oziroma layer. ˇZelela sem imeti naslednje plasti: ogliˇsˇca, mreˇza, ogrodje, viˇsina, stranske viˇsine ter dva znaˇcilna prereza.

Model piramide sem zaˇcela risati s pomoˇcjo ukaza, katerega sem dobila na spletni strani Extension Warehouse. Ukaz z imenom 3D Shapes/Pyramid je deloval tako, da se je po kliku pokazalo pogovorno okno, kamor si vtipkal ˇzeleni polmer oˇcrtane kroˇznice osnovne ploskve, viˇsino piramide ter ˇstevilo stranic osnovne ploskve. Ko sem narisala telo, sem dodala ogliˇsˇca, narisala mreˇzo ter dodala dve znaˇcilni prerezni ravnini. Posamezne elemente sem nato dodala izbrani plasti oziroma v layer. V pogovornem oknu Layer so nato uˇcenci lahko sami obkljukali oziroma odkljukali, kaj naj bi bilo prikazano.

Na sliki 19 je predstavljen model pravilne 4-strane piramide, na sliki 20 pa, kako so si uˇcenci lahko izbrali le ogliˇsˇca ter robove modela. Na sliki 21 je prikazano, kako ravnina preseka piramido. S pomoˇcjo prereznih ravnin smo z uˇcenci preuˇcevali prerezne oblike.

Slika 19: Pravilna 4-strana piramida (program SketchUp)

Slika 20: Pravilna 4-strana piramida:

ogrodje in viˇsina (program SketchUp)

(42)

Slika 21: Prikaz raziskovanja prerezov v programu SketchUp

Za obravnavo Pitagorovega izreka v piramidi sem naredila dodatni dokument. V tem dokumentu je bil poudarek le na znaˇcilnih trikotnikih, zato so imeli uˇcenci v pogovornem oknu Layers na izbiro le-te (Slika 22).

Slika 22: Prikaz znaˇcilnih trikotnikov v programu SketchUp

3.3 OBRAVNAVA PIRAMIDE

V tabeli 1 je predstavljena shema obravnave piramid. V razdelkih sledi predstavitev strukture obravnave za vsako posamezno uro. ˇCe se je strategija obravnave med skupinama razlikovala, je bila zapisana vsaka strategija v svojem stolpcu. Kjer pa je bila strategija v skupinah enaka, je bilo zapisano v skupni vrstici.

Za posamezno uro je bila predstavljena tabela ponazoril, ki jih je uporabljala posamezna skupina. Pri tem je treba opozoriti, da je skupina, ki

(43)

je uporabljala SketchUp, pri pouku uporabljala tudi fiziˇcne modele, katere je uporabljala druga skupina. Veˇcina fiziˇcnih modelov je ˇziˇcnatih, pri tistih, ki niso, je v oklepaju zapisano, za kakˇsno obliko modela gre.

Tabela 1: Shema obravnave piramid Ura Opis ure

1. ura - Pisanje preizkusa

- Piramida: osnovni pojmi, mreˇza 2. ura - Povrˇsina in prostornina piramide

- Pravilna 4-strana piramida (osnovni pojmi, mreˇza, povrˇsina, prostornina)

3. ura Pravilna 4-strana piramida (uporaba Pitagorovega izreka) 4. ura Pravilna 3-strana piramida (osnovni pojmi, mreˇza,

povrˇsina, prostornina, uporaba Pitagorovega izreka) 5. ura Pravilna 6-strana piramida (osnovni pojmi, mreˇza,

povrˇsina, prostornina, uporaba Pitagorovega izreka) 6. ura Utrjevanje

7. ura Pisanje preizkusa

3.3.1 1. ura: PIRAMIDA – opredelitev, opis, mreˇza

Prvih 30 minut ure je bilo namenjenih reˇsevanju preizkusa.

CILJI:

- Spoznati piramido in pojme: ogliˇsˇce, vrh, osnovni rob, stranski rob, osnovna ploskev, stranska ploskev, telesna viˇsina, viˇsina stranske ploskve, plaˇsˇc,

(44)

- vse pojme prikazati na modelu, - vedeti, kdaj je piramida pravilna, - vedeti, kdaj je piramida enakoroba,

- razlikovati med pokonˇcno in poˇsevno piramido, - spoznati pojem mreˇza piramide.

STRATEGIJA OBRAVNAVE:

Tabela 2: Primerjava strategij obravnave 1. ure v obeh skupinah

Skupina, ki ni uporabljala SketchUpa

Skupina, ki je uporabljala SketchUp

Obravnavo piramid sem sestavila kot potovanje po krajih, v katerih sem naˇsla primer zgradbe v obliki piramide.

Ko uˇcenci zakljuˇcijo z reˇsevanjem preizkusa, dobi vsak uˇcenec svoj model 4-strane piramide. Mo- del je podoben spomeniku v kraju Blagnac v Franciji. Preko modela opiˇsemo telo, poimenujemo in pokaˇzemo osnovne pojme ter spoznamo pojem mreˇze, katero nariˇsemo v zvezke. Pri poteku se sklicujem na znanje, ki so ga uˇcenci pridobili pri prizmah in valju. Nato si pogledamo ˇse raz- vrstitev piramid – pravilne piramide, enakorobe piramide, po- konˇcne in poˇsevne piramide.

Preostanek ure je namenjen spo- znavanju programa SketchUp.

Uˇcenci s programom v ˇsoli ˇse niso imeli stika. Vsak uˇcenec dobi listek, na katerem je napi- san ukaz, slika ukaza, bliˇznjica do ukaza ter njegov opis. Na listku so le ukazi, ki jih potrebujemo pri obravnavi. Uˇcenci program spoznajo prek datoteke Piramida, kjer imajo narisano 4-strano piramido.

Uˇcence spodbujam, naj si piramido pogledajo iz razliˇcnih zornih kotov. Medtem na piramidi pokaˇzemo ter opiˇsemo osnovne pojme.

(45)

Tabela 3: Uporaba ponazoril 1. uro Skupina, ki ni uporabljala

SketchUpa

Fiziˇcni modeli: Fiziˇcni modeli:

4-strana piramida 4-strana piramida

Mreˇza 4-strane piramide (ploskovni)

Raˇcunalniˇski modeli:

Piramida

3.3.2 2. ura: Povrˇsina, prostornina piramide, PRAVILNA 4- STRANA PIRAMIDA

CILJI:

- Opredeliti povrˇsino piramide,

- spoznati sploˇsni obrazec za raˇcunanje povrˇsine piramide, - opredeliti prostornino piramide,

- spoznati sploˇsni obrazec za raˇcunanje prostornine piramide, - iz danih podatkov: O, pl, v izraˇcunati P in V posamezne piramide, - opisati pravilno 4-strano piramido,

- narisati mreˇzo pravilne 4-strane piramide, - skicirati pravilno 4-strano piramido,

- zapisati obrazec za raˇcunanje ploˇsˇcine osnovne ploskve, ploˇsˇcine plaˇsˇca, povrˇsine telesa in prostornine pravilne 4-strane piramide, - izraˇcunati ploˇsˇcino osnovne ploskve, ploˇsˇcino plaˇsˇca, povrˇsino in

prostornino pravilne 4-strane piramide.

(46)

Prvih 15 minut ˇsolske ure name- nimo opredelitvi povrˇsine in prostornine piramide. Pri opredelitvi povrˇsine se spraˇsujemo po koliˇcini potrebnega papirja, ˇce bi ˇzeleli piramido zaviti v papir. Uˇcenci temo poveˇzejo z znanjem, ki so ga pridobili pri prizmi in valju.

Uˇcenci odprejo datoteko Pira- mida in obkljukajo plasti tako, da vidimo mreˇzo piramide. Pogle- damo like, iz katerih je sestavljena piramida in opredelimo pojem povrˇsine piramide ter zapiˇsemo obrazec.

Pri opredelitvi prostornine piramide razdelim uˇcence v tri skupine. Vsaka skupina dobi karto- nasti model piramide in prizme.

Omenjeni telesi imata skladni viˇsini in skladni osnovni ploskvi.

Prva skupina je dobila pravilno 3- strano prizmo in piramido, druga pravilno 4-strano prizmo in piramido in tretja skupina pravilno 6- strano prizmo in piramido. Vse tri prizme so imele eno stransko ploskev prozorne barve. Uˇcenci so dobili 3 razliˇcne barve peska.

Nato so morali v piramido do vrha natresti pesek in ga stre- sti v prizmo. Postopek pona- vljajo, dokler prizma ni polna. S pomoˇcjo eksperimenta izpeljemo obrazec za izraˇcun prostornine piramide.

Pri opredelitvi prostornine piramide uˇcenci odprejo dokument Piramida in prizma. V dokumentu imajo modele pravilnih 3-, 4- in 6-stranih prizem in piramid, ki imajo paroma skladne viˇsine in paroma skladne osnovne ploskve. V pogovornem oknu En- tity Info odˇcitamo prostornine teles. Iz danih podatkov uˇcenci razberejo, da je prostornina piramide 3-krat manjˇsa od prostornine prizme. Zapiˇsemo obrazec za izraˇcun prostornine.

(47)

Na tablo frontalno reˇsimo nalogo, kjer uˇcenci uporabijo obrazca za izraˇcun povrˇsine in prostornine piramide.

Pri obravnavi pravilne 4-strane piramide se najprej ustavimo v Parizu, pri znaˇcilni stekleni piramidi, vhodu v muzej Lou- vre. S pomoˇcjo fiziˇcnega modela opiˇsemo piramido in jo skiciramo v zvezek. Nato nariˇsemo ˇse mreˇzo. Na zaˇcetku ure smo izpe- ljali sploˇsna obrazca za povrˇsino in prostornino piramide, sedaj jih zapiˇsemo za primer pravilne 4-strane piramide. Na koncu ure izraˇcunamo prostornino in povrˇsino piramide v Parizu.

Pri obravnavi pravilne 4-strane piramide uˇcenci odprejo datoteko s tem imenom. Pri opisovanju piramide si pomagamo s pogovornim oknom Layers in nato piramido skiciramo v zvezke. Pri opisovanju piramide si pomagamo tudi s fiziˇcnimi modeli. Risanje mreˇze je enostavno, ker jo imajo uˇcenci narisano na raˇcunalniˇski skici. S pomoˇcjo mreˇze izpeljemo obrazec za izraˇcun povrˇsine in prostornine. Na koncu ure reˇsimo enostavno nalogo, ki obravnava pravilno 4-strano piramido.

SketchUpa

4-strana piramida 4-strana piramida

Pravilna 3-strana piramida in pravilna 3-strana prizma

(ploskovni)

Piramida

Pravilna 4-strana piramida Piramida in prizma

(48)

Mreˇza pravilne 4-strane piramide

(ploskovni) Pravilna 4-strana piramida

3.3.3 3. ura: PRAVILNA 4-STRANA PIRAMIDA – Pitagorov izrek

CILJI:

- Uporabiti Pitagorov izrek pri pravilni 4-strani piramidi, - raziskovanje prerezov pravilne 4-strane piramide.

Vsak uˇcenec dobi model pravilne 4-strane piramide, v kateri je nameˇsˇcen dodatek za Pitagorov izrek. Za zaˇcetek ponovimo Pita- gorov izrek v pravokotnem trikotniku. Ko opazujemo trikotnike v modelih, uˇcence spodbudim, da poiˇsˇcejo, kje je pravi kot. Pri tem si pomagamo s kosom papirja, in sicer tako, da ga poloˇzimo na ravnino izbranega trikotnika. Triko- tnik uˇcenci laˇze vidijo, saj si ga postavijo tako, da gledajo pravokotno nanj.

Z uˇcenci odpremo datoteko Pra- vilna 4-strana piramida – Znaˇcilni trikotniki. S pomoˇcjo pogovornega okna Layers si pogledamo vsak znaˇcilni trikotnik posebej. Poudarek je na pogledu iz razliˇcnih zornih kotov. Z uˇcenci enostavno preverimo, ali so trikotniki res pravokotni. Ker si nekateri uˇcenci ne znajo dobro predstavljati raˇcunalniˇske skice, trikotnike poiˇsˇcemo tudi na fiziˇcnem modelu.

(49)

Uˇcenci dobijo uˇcne liste, na katerih so 3 skice piramid. Na vsaki oznaˇcimo en znaˇcilni trikotnik. Trikotniku oznaˇcimo stranice, ga nariˇsemo pod skico piramide in zapiˇsemo Pitagorov izrek.

Nato skupaj reˇsimo 2 nalogi, kjer pri reˇsevanju uporabimo Pitago- rov izrek.

Uˇcenci dobijo uˇcni list, na katerem so tri skice piramid. Na vsaki oznaˇcimo znaˇcilni trikotnik, mu oznaˇcimo stranice, trikotnik nariˇsemo pod skico piramide in zapiˇsemo Pitagorov izrek. Na tablo, frontalno, reˇsimo nalogo, kjer uporabimo znanje Pitagoro- vega izreka v piramidah.

S pomoˇcjo lista, ki je predsta- vljal ravnino, si pogledamo prereze pravilne 4-strane piramide. Z listom je zelo teˇzko lepo prikazati prereze, zato se osredotoˇcim na laˇzje primere, da lahko vsi uˇcenci spremljajo potek.

Uˇcenci odprejo datoteko Pravilna 4-strana piramida. V datoteki preuˇcujemo dva znaˇcilna prereza, ki sta bila vkljuˇcena v pogovorno okno Layers. Diskusija teˇce predvsem o obliki prereza; kako moramo postaviti prerezno ravnino, da dobimo doloˇceno obliko;

najveˇc koliko kotnik lahko dobimo kot prerez.

SketchUpa

Pravilna 4-strana piramida Pravilna 4-strana piramida Dodatki za Pitagorov izrek Dodatki za Pitagorov izrek

Pravilna 4-strana piramida Pravilna 4-strana piramida – znaˇcilni trikotniki

(50)

3.3.4 4. ura: PRAVILNA 3-STRANA PIRAMIDA

CILJI:

- Opisati pravilno 3-strano piramido, - narisati mreˇzo pravilne 3-strane piramide, - skicirati pravilno 3-strano piramido,

prostornino pravilne 3-strane piramide, - opisati pravilni ˇcetverec,

- skicirati pravilni ˇcetverec,

- uporabiti Pitagorov izrek pri pravilni 3-strani piramidi.

Uro zaˇcnemo z zgodbo zgradbe v obliki pravilne 3-strane piramide, katero bodo morda nekoˇc posta- vili v New Orleansu. Piramido opiˇsemo prek slik zgradbe in s pomoˇcjo modela iz slamic. Skico piramide in njeno mreˇzo nato nariˇsemo v zvezek ter oznaˇcimo osnovne pojme.

Uˇcenci na zaˇcetku ure odprejo datoteko Pravilna 3-strana piramida. S pomoˇcjo raˇcunalniˇske skice smo opisali piramido in jo skicirali v zvezke. Na skici oznaˇcimo osnovne pojme. S pomoˇcjo pogovornega okna La- yers si pogledamo mreˇzo piramide in jo nariˇsemo v zvezke.

(51)

Pri izpeljavi obrazcev za povrˇsino in prostornino piramide izha- jamo iz sploˇsnih obrazcev za piramido. Nato si na modelu pogledamo, kakˇsne oblike so doloˇcene ploskve ter se spomnimo obrazca za izraˇcun ploˇsˇcine doloˇcenega lika. Zapiˇsemo obrazca za povrˇsino in prostornino piramide.

Pri vpeljavi Pitagorovega izreka uˇcenci nimajo toliko teˇzav kot pri pravilni 4-strani piramidi, ker so znaˇcilni trikotniki enako postavljeni na telesu. Nekaj teˇzav priˇcakujem pri delitvi viˇsin osnovne ploskve. Uˇcenci dobijo uˇcni list s skicami 3 piramid, na katerih oznaˇcimo pravokotne trikotnike ter zapiˇsemo Pitagorov izrek.

Sledi motivacijska naloga – raziskovanje prerezov. Pogledamo si dva znaˇcilna prereza s pomoˇcjo pogovornega okna Layers. Na raˇcunalniˇski skici si pogledamo prereze, nato uˇcenci dobijo nalogo, kjer morajo z listom, ki ponazarja ravnino, pokazati na fiziˇcnem modelu, kako naj bo postavljena ravnina, da dobimo enak prerez kot na raˇcunalniˇski skici. Osredotoˇcimo se predvsem na prereze, ki imajo ˇcim veˇcje ˇstevilo ogliˇsˇc.

Na koncu ure reˇsimo dve nalogi. Prva naloga je na primeru pravilnega ˇcetverca ali tetraedra.

Tako se spoznamo s tem tele- som ter zapiˇsemo njegovo defini- cijo. Druga naloga je o pravilni 3-strani piramidi, pri kateri smo morali uporabiti Pitagorov izrek.

Pri izpeljavi Pitagorovega izreka odpremo datoteko Pravilna 3- strana piramida – znaˇcilni trikotniki. Pogledamo si vse tri znaˇcilne trikotnike ter jih oznaˇcimo na uˇcnih listih, katere dobijo uˇcenci. Pod vsakim triko- tnikom zapiˇsemo Pitagorov izrek.

SketchUpa

Pravilna 3-strana piramida Pravilna 3-strana piramida

(52)

Mreˇza pravilne 3-strane piramide

(ploskovni) Dodatki za Pitagorov izrek

Dodatki za Pitagorov izrek

Pravilna 3-strana piramida Pravilna 3-strana piramida – znaˇcilni trikotniki

3.3.5 5. ura: PRAVILNA 6-STRANA PIRAMIDA

CILJI:

- Opisati pravilno 6-strano piramido, - narisati mreˇzo pravilne 6-strane piramide, - skicirati pravilno 6-strano piramido,

prostornino pravilne 6-strane piramide,

- prepoznati razliˇcne pravokotne trikotnike pri pravilni 6-strani piramidi ter zapisati njihove stranice,

- uporaba Pitagorovega izreka pri pravilni 6-strani piramidi.

(53)

Uro zaˇcnemo s primerom zgradbe v obliki pravilne 6-strane piramide – zapora na angleˇskem podeˇzelju.

Vsak uˇcenec dobi svoj model piramide. S pomoˇcjo modela in slik zapora piramido opiˇsemo. Piramido in njeno mreˇzo nariˇsemo v zvezke.

Uˇcenci na zaˇcetku ure odprejo datoteko Pravilna 6-strana piramida. S pomoˇcjo raˇcunalniˇske skice opiˇsemo piramido in skiciramo v zvezke. Na skici oznaˇcimo osnovne pojme. S pomoˇcjo pogovornega okna Layers si pogledamo mreˇzo piramide in jo nariˇsemo v zvezke.

Pri izpeljavi obrazcev za povrˇsino in prostornino ni bilo teˇzav.

Ploˇsˇcino pravilnega 6-kotnika ponovimo pri risanju mreˇze.

Pri vpeljavi Pitagorovega izreka uˇcence razdelim v pare; vsak uˇcenec dobi svoj uˇcni list, na katerem so tri skice piramide. Nato mora vsak par uˇcencev na vsaki skici oznaˇciti znaˇcilni trikotnik ter zapisati Pitagorov izrek. Reˇsitve nato skupaj preverimo.

Sledi motivacijska naloga – raziskovanje prerezov. Pogledamo si dva znaˇcilna prereza s pomoˇcjo pogovornega okna Layers. Na raˇcunalniˇski skici si pogledamo prerez. Nato uˇcenci dobijo nalogo, naj z listom, ki ponazarja ravnino, pokaˇzejo, kako mora biti postavljena ravnina na fiziˇcnem modelu, da dobimo enak prerez kot na raˇcunalniˇski skici.

Na koncu ure reˇsimo nalogo, kjer ponovimo Pitagorov izrek.

Pri izpeljavi Pitagorovega izreka uˇcenci odprejo datoteko Pravilna 6-strana piramida – znaˇcilni trikotniki. Pogledamo si znaˇcilne trikotnike na raˇcunalniˇskih skicah in jih oznaˇcimo na uˇcnih listih, katere dobijo uˇcenci. Pod vsakim triko- tnikom zapiˇsemo Pitagorov izrek.

(54)

Na koncu ure frontalno reˇsimo nalogo, pri kateri uporabimo Pitago- rov izrek v pravilni 6-strani piramidi.

SketchUpa

Pravilna 6-strana piramida Pravilna 6-strana piramida Mreˇza pravilne 6-strane piramide

(ploskovni) Dodatki za Pitagorov izrek

Dodatki za Pitagorov izrek

Pravilna 6-strana piramida Pravilna 6-strana piramida - znaˇcilni trikotniki

3.3.6 6. ura: Utrjevanje znanja

CILJI:

- Preverjanje stopnje doseganja ciljev pri obravnavi piramid.

(55)

Uˇcenci dobijo uˇcni list. Vsak uˇcenec ima na mizi celoten nabor fiziˇcnih modelov piramid, preko katerih je potekala obravnava.

Pri vsaki nalogi posebej preverimo, za katero piramido gre.

Na modelu pokaˇzemo, katere podatke imamo dane in katere moramo izraˇcunati.

Uˇcenci dobijo uˇcni list. Pri reˇsevanju imajo na voljo le raˇcunalniˇske modele, katere smo obravnavali. Na raˇcunalniˇskem modelu pogledamo, katere podatke imamo dane in katere moramo izraˇcunati.

Uˇcenci imajo dodatno nalogo s podroˇcja prerezov piramid. Pri nalogi imajo v navodilu zapisano, kakˇsna naj bo oblika prereza.

Nato poiˇsˇcejo dano obliko tako na raˇcunalniˇski skici kot tudi na fiziˇcnem modelu s pomoˇcjo lista, ki ponazarja ravnino.

SketchUpa

Fiziˇcni modeli: Raˇcunalniˇski modeli:

4-strana piramida Piramida

Pravilna 4-strana piramida Pravilna 4-strana piramida Dodatki za Pitagorov izrek Pravilna 4-strana piramida –

znaˇcilni trikotniki

(56)

3.3.7 7. ura

Uˇcenci obeh skupin celo ˇsolsko uro piˇsejo preizkus.

3.4 ZGLED PRIPRAVE U ˇ CNE URE Z UPORABO 3D RA ˇ CUNALNIˇ SKEGA PROGRAMA

V tem razdelku vam bom podrobneje predstavila uˇcno uro matematike ob uporabi raˇcunalniˇskega programa SketchUp. Uˇcno uro sem izvedla v okviru empiriˇcnega dela magistrske naloge.

Pouˇcevanje je potekalo v raˇcunalniˇski uˇcilnici. Par uˇcencev je imel svoj raˇcunalnik. Uˇcenci so imeli poleg raˇcunalnika med uro na voljo tudi fiziˇcne modele. Kot je dejal Gutierrez (1992), je najbolj uˇcinkovito pouˇcevanje sprva ob rokovanju s fiziˇcnimi modeli, nato ob manipulaciji teles na raˇcunalni - ˇskem zaslonu, zadnji korak pa je risanje in branje skic.

Podatki o uˇcni uri so predstavljeni v tabeli 14.

Tabela 14: Podatki o uˇcni uri

Datum 17. 4. 2015

Razred 9. AB - Skupina, ki je uporabljala SketchUp Solaˇ OˇS Simona Jenka Kranj