UM FNM, Oddelek za matematiko in ra£unalni²tvo Izpit pri predmetu Analiza II
15. 6. 2020
Navodila: Pripravi osebni dokument. Ugasni in odstrani mobilni telefon. Pi²i
£itljivo, vse odgovore natan£no utemelji in jih nedvoumno podaj. Dovoljena sta najve£ dva A4 lista s formulami in priro£nik, re²ene naloge so prepovedane. as re²evanja je 120 minut.
1. [20] Dokaºi, da za poljubni ²tevili a, b∈(e,∞) velja
blna−alnb ab
≤ ln(max{a, b})
(min{a, b})2 |b−a|.
2. [20] Izra£unaj (a) lim
x→0
(1 + 2x)1x −e2 sin(2x) , (b) lim
n→∞
1 n+√
n + 1
n+√
2n +. . .+ 1 n+√
n2−n + 1 2n
. 3. [20] Poi²£i vsa realna ²tevila a, za katera konvergira integral
Z ∞
0
xa x3a+ 1dx.
4. [20] Razi²£i konvergenco po to£kah in enakomerno konvergenco funkcijske- ga zaporedja (fn)n∈N, fn: [0,∞)→R,
fn(x) = xe−nx2.
5. [20] Funkcija f je podana s predpisom f(x) = √ 1
(3+2x−x2)5. Izra£unaj f(2020)(1).
