UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA
Specialna in rehabilitacijska pedagogika, Posebne razvojne in učne težave
MANCA VESENJAK
RAZVIJANJE OBČUTKA ZA ŠTEVILA IN KOLIČINE Z DIDAKTIČNO IGRO PRI PRVOŠOLCIH
MAGISTRSKO DELO
LJUBLJANA, 2021
UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA
Specialna in rehabilitacijska pedagogika, Posebne razvojne in učne težave
MANCA VESENJAK
RAZVIJANJE OBČUTKA ZA ŠTEVILA IN KOLIČINE Z DIDAKTIČNO IGRO PRI PRVOŠOLCIH
NUMBER SENSE DEVELOPMENT WITH DIDACTIC GAME FOR FIRST GRADERS
MAGISTRSKO DELO
Mentorica: izr. prof. dr. Marija Kavkler
LJUBLJANA, 2021
ZAHVALA
Za pomoč, usmeritve in strokovno podporo se iskreno zahvaljujem mentorici izr. prof.
dr. Mariji Kavkler. Zelo cenim vašo odzivnost, natančnost pri naslavljanju težav ter vse dobronamerne sugestije, ki so pripomogle k višji kakovosti pričujočega magistrskega dela.
Hvaležna sem sodelavkam Karmen, Andreji, Simoni in Luciji ter vsem prvošolčkom, ki so me skupaj s krtki prijazno sprejeli medse in mi omogočili izvedbo raziskave.
Babici Ivani, mami Maji, atu Marijanu, Matiju in Marjeti se zahvaljujem za neskončno število ur, ki ste jih namenili varovanju otrok; Mojci, Luku in Mitju pa za tehnično pomoč.
Tilen, Vita in Ruben – največja zahvala gre vam! Hvala vam za čas in vse logistične prilagoditve, ki jih naredili, da ste mi omogočili lažje dokončanje formalne izobrazbe.
IZVLEČEK
Občutek za števila in količine je dobro organiziran konceptualen okvir informacij o številih in količinah. Omogoča nam razumevanje števil, količin in odnosov med njimi ter reševanje problemov, ki jih ni mogoče rešiti s tradicionalnimi koncepti. Predstavlja osnovo za usvajanje matematičnega znanja ter spretnosti in pomembno vpliva na posameznikovo prihodnost. Zajema več komponent, večina otrok se principov in načel nauči zlahka. Učenci, ki imajo splošne učne težave, specifične učne težave ali primanjkljaje na posameznih področjih učenja, znižane ali mejne sposobnosti že za usvajanje osnovnih matematičnih veščin, potrebujejo več časa in podpore, usvajanje zahtevnejših miselnih postopkov, sledenje zahtevnejšim ali več načelom hkrati pa je zanje še težje. Občutek za števila in količine se najbolj naravno razvija ob neformalnem in nenamernem učenju. Kljub temu, da je občutek za števila in količine temelj vsega znanja, ki ga vzgojitelji in učitelji želijo posredovati, termina ni moč zaznati niti v Kurikulumu za vrtce niti v Učnem načrtu za matematiko. Zagotovo pa ima vzgojitelj oziroma učitelj znotraj okvirjev Kurikuluma oziroma Učnega načrta za matematiko dovolj priložnosti, da z otroki oziroma učenci razvija prav vse komponente občutka za števila in količine. Pri tem je zelo učinkovita učna metoda igra, saj preko nje otroci oziroma učenci dobijo priložnost, da brez strahu pred neuspehom zgradijo dobro podlago za učenje matematike.
Glavni raziskovalni problem, namen in doprinos nastajajočega magistrskega dela je bil izdelati in preizkusiti prvošolcem ustrezen didaktični pripomoček za razvijanje občutka za števila in količine, linearno igro krtov številski rov. V raziskavi sta sodelovala dva oddelka prvošolcev, 20 deklic in 25 dečkov. Oba oddelka smo testirali s preizkusom razvitosti občutka za števila in količine (Jašarević, 2016). Trije učenci iz testne skupine so imeli na predtestu opazno nižje dosežke, zato smo jih natančneje spremljali. Pri enem oddelku (testni skupini) je sledilo pettedensko razvijanje občutka za števila in količine s pomočjo avtorsko zasnovane didaktične igre krtov številski rov. S pomočjo preizkusa razvitosti občutka za števila in količine smo ugotovili stopnjo razvitosti občutka za števila in količine, s pomočjo igre krtov številski rov pa smo na pester način v največji meri skušali doseči kakovosten razvoj občutka za števila in količine. V oddelku so združeni učenci, ki izhajajo iz različnih okolij in imajo različno predznanje.
Vsem, še posebej pa učencem, ki imajo težave pri pridobivanju občutka za števila in količine, smo želeli omogočiti, da razvijejo dobre temelje matematičnega mišljenja in z znanjem ter izkušnjami nato pri pouku matematike ne zaostajajo za sošolci že v samem začetku. Neposredno po končanem pettedenskem obdobju razvijanja občutka za števila in količine z didaktično namizno igro krtov številski rov smo ponovili testiranje prvošolcev iz obeh oddelkov. Primerjali smo dosežke na preizkusu pri obeh oddelkih prvošolcev in tako evalvirali trening. Ugotavljali smo tudi razliko med rezultati predtesta in potesta pri dečkih in deklicah ter tako ugotovili, ali je didaktična igra tako na dečke kot na deklice vplivala spodbudno.
Analiza rezultatov po različnih kriterijih je pokazala, da ima igranje didaktične igre krtov
številski rov na razvoj občutka za števila in količine pozitiven vpliv. Učenci so z aktivnim sodelovanjem pri didaktični igri krtov številski rov napredovali na vseh petih področjih, ki jih opredeljuje preizkus razvitosti občutka za števila in količine (Jašarević, 2016), prav tako pa so napredovali pri izbiri strategij računanja. Na teoretičnem področju doprinos magistrskega dela predstavlja natančno opredeljen pojem občutek za števila in količine. Razložili smo vse komponente občutka za števila in količine in podobna poimenovanja povezali med seboj. Specialnim in rehabilitacijskim pedagogom, razrednim učiteljem, vzgojiteljem ter drugim šolskim in predšolskim strokovnim delavcem magistrsko delo z naborom aktivnosti za krepitev občutka za števila in količine pri prvošolcih v obliki didaktične igre krtov številski rov predstavlja oporo in vir idej pri snovanju specialnopedagoških učnih ur in matematičnih uric v vrtcu.
Ključne besede: občutek za števila in količine, prvošolci, učne težave, didaktična igra.
ABSTRACT
The number sense is a well-organized conceptualized frame of information about numbers and quantities. It enables us to understand numbers, quantities and relations among them as well as to solve mathematical problems that are impossible to solve by using traditional concepts. As it represents the basis for acquiring mathematical knowledge and skills, it may have a significant effect on a child's future. The number sense involves several components and most children find it easy to learn the basic principles. However; pupils with a general learning disability or specific learning difficulties need more time and support to gain basic mathematical skills, and have a far more difficult time understanding complex thinking procedures and following intricate concepts or more concepts simultaneously. The number sense develops most naturally in informal and unplanned learning. So, while the number sense is the basis for all future mathematical skills taught by teachers, the term is not featured anywhere in the kindergarten curriculum or the syllabus for mathematics. However, teachers can find many opportunities to include all the components of the number sense into learning. In this respect, educational games are essential, because by playing games, children or pupils get a chance to develop a solid basis for achieving mathematical fluency without fear of failure.
The main research problem, the purpose and the contribution of the emerging master's degree thesis is to be used as to create and test a linear game called ‘The mole’s number tunnel’, which was to be used as an educational tool for developing the number sense, suitable for Year 1 students. Two groups of Year 1 students, which included 20 girls and 25 boys, were involved in the study. Both groups were tested using the number sense assessment test (Jašarević, 2016). Three pupils in the test group had a significantly lower score on the pre-test, so they were observed more carefully. After the pre-test, one of the groups (the test group) participated in a five-week training programme of developing the number sense using ‘The mole’s number tunnel’
educational game. The game was used as a tool to develop the number sense of each participant.
Each group included pupils of different backgrounds and with different knowledge levels. The aim of the programme was to provide all students an opportunity to develop a good basis of mathematical thinking, and especially students who have difficulties with developing of the number sense, as this would help prevent them falling behind the group, especially in the beginning of their education. Immediately after the end of the five-week programme aimed at developing the number sense by using ‘The mole’s number tunnel’ game, the students from both groups, i. e. the test group and the control group, were re-tested and their results were compared to evaluate the training programme. We also looked for differences in the pre- and post-programme results in terms of gender. The results show that the educational game had a positive effect on the number sense of both boys and girls.
The analysis of the results using different criteria has showed a positive impact of
playing ‘The mole’s number tunnel’ educational game on the development of the number sense. With active participation in the game, Year 1 students progressed in all five areas of the number sense assessment test (Jašarević, 2016) as well as in their calculation strategies. The term ‘the number sense’ is defined in the theoretical part of the master’s degree thesis. All the components of the number sense are explained and similar terms are linked. A range of activities for enhancing the number sense in Year 1 were combined in ‘The mole's number tunnel’ educational game, which can be used as support and a source of ideas for special education teachers, primary school teachers, preschool teachers and other school and preschool teachers when planning mathematical lessons.
Key words: number sense, Year 1 students, learning dificulties, didactic game.
KAZALO VSEBINE
TEORETIČNA IZHODIŠČA ... 1
1 UVOD ... 1
2 OBČUTEK ZA ŠTEVILA IN KOLIČINE ... 3
2.1 Opredelitve pojma občutka za števila in količine... 4
2.2 Delitev pojma občutek za števila in količine ... 7
2.3 Razvoj občutka za števila in količine ... 8
2.3.1 Dejavniki, ki vplivajo na razvoj občutka za števila in količine ... 11
2.4 Razvoj pojma število ... 13
2.4.1 Težave pri pridobivanju pojma število ... 24
2.5 Značilne računske težave ... 25
2.6 Diagnosticiranje razvitosti občutka za števila in količine ... 26
2.6.1 Preizkus razvitosti občutka za števila in količine ... 27
3 FORMALNO IN NEFORMALNO RAZVIJANJE OBČUTKA ZA ŠTEVILA IN KOLIČINE ... 29
3.1 Razvojne značilnosti prvošolcev ... 29
3.2 Neformalno razvijanje občutka za števila in količine ... 31
3.3 Formalno razvijanje občutka za števila in količine v vrtcu ... 31
3.3.1 Analiza ciljev iz Kurikuluma za vrtce z vidika razvijanja občutka za števila in količine ... 32
3.3.2 Vloga vzgojitelja ... 33
3.4 Formalno razvijanje občutka za števila in količine v prvem razredu redne osnovne šole ... 33
3.4.1 Analiza ciljev iz Učnega načrta za matematiko z vidika razvijanja občutka za števila in količine ... 34
3.4.2 Didaktična priporočila za poučevanje matematike v prvem razredu ... 35
4 UČNE TEŽAVE ... 38
4.1 Specifične učne težave pri matematiki ... 40
4.2 Značilnosti učencev z učnimi težavami pri matematiki ... 41
4.3 Pomen kakovostnega poučevanja ... 43
5 IGRA ... 45
5.1 Definicija igre ... 46
5.2 Elementi igre ... 46
5.3 Klasifikacija igre ... 47
5.4 Didaktična igra ... 47
5.4.1 Namizna didaktična igra ... 49
5.4.2 Vloga učitelja pri didaktični igri ... 49
5.4.3 Vloga učenca pri didaktični igri ... 50
5.4.4 Didaktična igra krtov številski rov ... 50
EMPIRIČNI DEL ... 53
6 PROBLEM IN CILJI ... 53
6.1 Opredelitev problema ... 53
6.2 Cilji raziskovanja ... 53
7 RAZISKOVALNA VPRAŠANJA IN HIPOTEZE ... 55
7.1 Raziskovalna vprašanja ... 55
7.2 Hipoteze ... 55
8 METODE DELA ... 56
8.1 Opis vzorca ... 56
8.2 Merski instrumenti ... 57
8.2.1 Merske karakteristike preizkusa razvitosti občutka za števila in količine ... 57
8.3 Postopek zbiranja podatkov ... 57
8.4 Obdelava podatkov ... 58
8.5 Predstavitev treninga občutka za števila in količine z didaktično igro krtov številski rov pri prvošolcih ... 58
9 REZULTATI IN INTERPRETACIJA... 70
9.1 Rezultati in interpretacija preizkusa razvitosti občutka za števila in količine ... 70
9.1.1 Opis spremenljivk ... 70
9.1.2 Opisna statistika preizkusa razvitosti občutka za števila in količine po področjih ... 71
9.1.3 Interpretacija rezultatov preizkusa razvitosti občutka za števila in količine ... 72
9.1.4 Opisna statistika in interpretacija rezultatov glede na spol udeležencev ... 77
9.1.5 Opisna statistika in interpretacija rezultatov učencev z nizkimi dosežki na predtestu ... 79
10 PREVERJANJE IN ODGOVARJANJE NA RAZISKOVALNA VPRAŠANJA ... 83
11 PREVERJANJE POSTAVLJENIH HIPOTEZ ... 87
12 ZAKLJUČEK ... 91
13 SEZNAM UPORABLJENE LITERATURE ... 93
14 PRILOGE ... 101
KAZALO GRAFOV
Graf 1: Struktura vzorca glede na spol ... 56Graf 2: Struktura vzorca glede na starost ... 56
Graf 3: Prikaz doseženih točk po posameznih področjih na preizkusu razvitosti občutka za števila in količine na predtestu in potestu pri kontrolni skupini (KS) in testni skupini (TS), izraženo v odstotkih ... 76
Graf 4: Prikaz doseženih točk po posameznih področjih na preizkusu razvitosti občutka za števila in količine na predtestu in potestu pri dečkih in deklicah v testni skupini, izraženo v odstotkih ... 78
Graf 5: Prikaz doseženih točk treh učencev z najnižjimi dosežki na predtestu, izraženo v odstotnih točkah ... 80
Graf 6: Prikaz razlike v doseženih točkah na posameznih področjih na predtestu in potestu pri kontrolni skupini (KS) in testni skupini (TS), izraženo v
odstotkih ... 84
Graf 7: Prikaz razlike v doseženih točkah na posameznih področjih na predtestu in potestu pri dečkih in deklicah, izraženo v odstotkih ... 86
KAZALO PREGLEDNIC
Preglednica 1: Pregled komponent občutka za števila in količine iz različnih virov ... 6Preglednica 2: Primerjava delitve pojma občutka za števila in količine ... 7
Preglednica 3: Štiristopenjski razvojni model pridobivanja števil ... 14
Preglednica 4: Prikaz ene enote igre krtov številski rov ... 66
Preglednica 5: Opis spremenljivk ... 70
Preglednica 6: Opisna statistika preizkusa razvitosti občutka za števila za predtest (vnesli smo vrednosti za celoten vzorec na predtestu) ... 72
Preglednica 7: Povprečno število doseženih točk na predtestu in potestu pri posamezni ciljni skupini in za posamezno področje testiranja ... 72
Preglednica 8: Povprečno število doseženih točk na predtestu in potestu za posamezno področje testiranja pri deklicah in dečkih ... 77
Preglednica 9: Prikaz doseženih točk treh učencev z najnižjimi dosežki na predtestu ... 79
KAZALO SLIK
Slika 1: Linearna didaktična igra krtov številski rov... 52Slika 2: Ena enota linearne didaktične igre krtov številski rov ... 58
Slika 3: Didaktični pripomočki za igro krtov številski rov ... 61
Slika 4: Igra spomin s kartami enka ... 62
Slika 5: Prirejanje količine predmetov k ustreznemu številu ... 62
Slika 6: Dirka avtomobilov ... 62
Slika 7: Človek, ne jezi se ... 62
Slika 8: Merilne posode in različni predmeti oz. snovi ... 63
Slika 9: Kocke ... 63
Slika 10: Hišne številke, peščene ure, enake posodice z materiali, karte enka ... 64
Slika 11: Listi in pikapolonice, sladoled ... 64
Slika 12: Garaža ... 65
TEORETIČNA IZHODIŠČA 1 UVOD
Pojem »občutek za števila in količine« (ang. number sense) je pojem, ki ga je prvi predstavil Danzig (1987, v Sousa, 2008), a še ni enotno definiran. Občutek za števila in količine je dobro organiziran konceptualen okvir informacij o številih, ki človeku omogoča razumevanje števil in odnosov med števili ter reševanje problemov, ki jih ni mogoče rešiti z nekimi tradicionalnimi koncepti (Bobis, 1996, v Way, 2005, v Ančimer Aljaž idr., 2014). Občutek za števila in količine zajema več komponent, kot so na primer razumevanje (velikosti) količin in razmerij, oštevilčenje, razumevanje desetiškega sistema, uporaba števil in različnih oblik števil, algebrsko in geometrijsko mišljenje ter pojem enakosti (Faulkner idr., 2009, v Jašarević, 2016). Usvojenost prav vseh komponent je zelo pomembna in nujna za kasnejši napredek pri matematiki (Way, 2005, v Ančimer Aljaž idr., 2014), saj ima občutek za števila in količine namreč podoben vpliv na učenje matematike, kot ga ima fonološko zavedanje na branje (Gersten in Chard, 1999, v Ančimer Aljaž idr., 2014). V Sloveniji je pojem od leta 2014 zapisan v Kriterijih za opredelitev vrste in stopnje primanjkljajev, ovir oz. motenj otrok s posebnimi potrebami (Magajna idr., 2015) in je pod tem izrazom učiteljem manj znan.
Občutek za števila in količine je prirojen, a imajo zgodnje izkušnje zelo velik vpliv na razvoj le-tega (Jašarević, 2016). Področje matematike v vrtcu predvideva dejavnosti, s katerimi vzgojitelji otroka seznanjajo z matematiko v vsakodnevnem življenju, razvijajo matematično mišljenje, spretnosti ter matematično izražanje. Cilj izvajanja matematičnih vsebin v vrtcu je, da bi otroci matematiko doživljali kot prijetno izkušnjo (Bahovec in Cvetko, 2007). Otroci v svojem življenju uporabljajo števila, ki morajo biti v smiselnem kontekstu (Huges, 1986, v Manfreda Kolar, 2000). V predšolskem obdobju so najpogostejši nekonvencionalni načini ponazarjanja števil in količin kot na primer »roke umivamo toliko časa, kot traja pesmica Kuža pazi«; z vstopom v šolo pa močno naraste uporaba otroku tuje simbolne ponazoritve števil in količin, zato je prehod od konkretnega k simbolnemu zelo težak (Manfreda Kolar, 2000). Matematika je v šoli eden izmed temeljnih predmetov. Pouk vsebuje veliko informativnih, funkcionalno-formativnih in vzgojnih nalog, ki so pomembne za razvoj celovite osebnosti. Cilj pouka matematike v osnovni šoli je razvijanje matematičnih kompetenc, ki učencem omogočajo sposobnost uporabe matematičnega mišljenja za reševanje matematičnih in drugih vsakdanjih problemov (Žakelj, 2011).
Učenci z razvitim občutkom za števila in količine razvijejo razumevanje za števila in količine ter operacije, iščejo odnose med števili in operacijami, razumejo računske strategije in jih pravilno uporabljajo ter razumejo numerične in količinske situacije (Charles in Lobato, 2000, v Witzel idr., 2012, v Ančimer Aljaž idr., 2014). Učenci z manj razvitim občutkom za števila in količine pa so zaradi uporabe manj učinkovitih strategij pri reševanju matematičnih nalog počasnejši in manj uspešni, kar ob povečanju tempa in zahtevnosti vodi k odporu do matematike (Crean, 2012, v Ančimer Aljaž idr., 2014).
Učence z manj razvitim občutkom za števila in količine zato pogosto v višjih razredih
šolanja prepoznamo kot učence z učnimi težavami oziroma specifičnimi učnimi težavami (Magajna idr., 2008). V prvem razredu se formalno, strukturirano in na nacionalni ravni poenoteno razvijanje matematičnih veščin šele začne, poleg tega pa se nekatere komponente občutka za števila in količine razvijajo več let. V prvem triletju zato navadno govorimo o nižjih dosežkih posameznikov in ne o učnih težavah oziroma specifičnih učnih težavah. Kljub temu je zgodnja obravnava bistvenega pomena, saj je ravno takrat največ možnosti za učenje in ohranjanje naučenega, poleg tega pa tako posredujemo, še preden težave postanejo kronične in resnejše ter obenem ublažimo pojav čustvenih in vedenjskih težav. Te so pogosto posledica dolgotrajnega in pogostega doživljanja neuspehov in frustracij (Lago in DiPerna, 2010, v Jašarević, 2016). Primanjkljaji na posameznih področjih učenja vplivajo na kognitivno predelovanje besednih in nebesednih informacij (Magajna idr., 2008), zato je učenje osnovnih učnih veščin dolgotrajno (Košir, 2011, v Magajna in Velikonja, 2011). Učenci s šibko razvitim občutkom za števila in količine zaradi nerazumevanja snovi in uporabe neučinkovitih strategij ne vedo, kje začeti z računanjem, se ne znajdejo v številski vrsti, imajo težave pri usvajanju in pisanju novih pojmov in števil, zamenjajo desetice in enice ter podobna števila, naredijo mnogo napak pri prepisovanju, težave imajo na področju razvijanja novih pojmov, pomnjenju, procesu analize in sinteze itd. (Jelenc in Novljan, 2001). Kadar pri učencih daljši čas in kljub pomoči beležimo pojavljanje opisanih težav, je smiselno preveriti razvitost občutka za števila in količine. V tujini je dostopnih več testov, ti pa so oblikovani in prilagojeni za različne starostne skupine in preverjajo različna področja, saj osnovni pojem občutek za števila in količine še ni poenoten. Že Jašarevićeva (2016) ugotavlja, da v Sloveniji standardiziranega pripomočka za preverjanje razvitosti občutka za števila in količine še nimamo. Najbolj uporabna sta pripomočka preizkus razvitosti občutka za števila in količine (Jašarević, 2016) in preizkus razvitosti občutka za števila in količine za tretji razred (Jagodic, 2019), ki sta razvita na osnovi Presejalnega testa za odkrivanje razvitosti občutka za števila in količine (Jordan, Glutting in Dyson, 2012) in prilagojena starostnemu in razvojnemu obdobju predšolskih otrok oziroma tretješolcev.
V otroštvu otroci sprejemajo informacije in se iz njih učijo prilagajanja na okolje. V tem procesu ima igra osrednjo vlogo (Nemec in Kranjc, 2011). Igra je za otroke svobodna in neodtujena dejavnost, ki udeležencem povzroča veselje in občutek zadovoljstva, hkrati pa je za otroke silno resna zadeva (Bognar, 1987). Didaktične igre za razvijanje občutka za števila in količine delujejo enako spodbudno in učinkovito kot druge metode in omogočajo učiteljem, da učenca preko igre bolj motivirajo in vključijo v pouk matematike (Wang in Hung, 2010). Najbolj naraven način predstavljanja velikostnih odnosov je horizontalno usmerjena številska os, zato igranje linearnih iger pri predšolskih otrocih in učencih na začetku šolanja obogati matematične veščine.
Igranje linearnih iger deluje bolj spodbudno kot krožne igre in celo bolje kot druge aktivnosti, povezane s števili (Siegler in Ramani, 2009).
2 OBČUTEK ZA ŠTEVILA IN KOLIČINE
Občutek za števila in količine je razmeroma nov pojem na področju matematike in je zaradi svoje širine precej zahteven za opredelitev, med učitelji manj poznan in ni poenoten, zato zaenkrat za sam pojem obstaja veliko podobnih definicij.
Občutek za števila in količine je prirojen in se zaradi svoje pomembnosti za človeško preživetje z vsako novo generacijo človeštva ohranja in nadaljuje. Za pračloveka je bil dobro razvit občutek za števila in količine pomemben zato, da si je lažje in učinkovitejše pomagal pri iskanju hrane, ocenjevanju števila divjadi, njene hitrosti in velikosti (Sousa, 2008). V današnjem času pa je dokazano, da imajo ljudje z dobro razvitim občutkom za števila in količine dolgoročno boljše zaposlitvene možnosti in dober socialno- ekonomski status ter obratno – ljudje s šibko razvitim občutkom za števila in količine težje pridejo do dobre zaposlitve in posledično težje zagotovijo dober življenjski standard (Geary, 1994).
Občutek za števila in količine torej obstaja že od nekdaj, posebno v začetku raziskovanja tega področja pa je moč zaslediti tudi veliko različnih poimenovanj tega pojma. Še preden smo v matematičnem slovarju poznali besedno zvezo občutek za števila in količine, ga je Wirtz (1974, v Howden, 1989) imenoval »friendliness with numbers« ali »prijaznost s števili«, Howden (1989) pa ga je slikovito opisala skozi svojo izkušnjo v dveh razredih, ki ju je obiskala. Takole je zapisala:
»Najprej sem obiskala razred prvošolcev v soseski, kjer so živele družine z roba družbe in so tam pogosto prebivale le krajši čas. Otroke sem prosila, naj mi povedo prvo stvar, ki jim pride na misel, ko slišijo »štiriindvajset«. En deček je nemudoma dejal: »Dve dimi in štirje peniji!«1Naslednji je dejal: »Dve desetinski palici in štiri kocke z eno piko.«
Ostali odgovori so vključevali: »dva ducata jajc«, »štiri niklje in štiri penije«2, »en peni manj kot četrtina«3, »šest penijev manj kot tri dime«. Sledili so odgovori: »moj stric je imel v soboto rojstni dan in je zdaj star štiriindvajset«, »moja mama je bila štiriindvajset lansko leto«, »jaz bom star štiriindvajset čez devetnajst let« ter »en dan pred božičem«.
Nek učenec se je zazrl v starinsko tehtnico v kotu učilnice in rekel: »Štiriindvajset je, ko je kazalec na tehtnici skoraj na polovici med dvajset in trideset.« Majhna deklica je dejala: »Starejši brat se je zelo urezal in je potreboval sedemnajst šivov, da so rano zašili. To je skoraj štiriindvajset.« Ti učenci ne povezujejo le števil s svojimi lastnimi izkušnjami, temveč tako tudi razvijajo občutek za števila in količine.
Navdušena nad to izkušnjo sem nekaj dni kasneje obiskala tretješolce na drugi šoli.
To šolo sem izbrala, ker se nahaja v soseski strokovne skupnosti, ki ima do šole zelo visoka pričakovanja in ki se po dosežkih konsistentno uvršča med najboljših deset odstotkov pri standardiziranih preizkusih iz matematike v tretjem in petem razredu.
Zastavila sem jim enako vprašanje. Brez pomisleka je nekaj učencev takoj z rokami
1 T.j. dva kovanca po deset centov in štirje kovanci po en cent.
2 T.j. štiri kovanci po pet centov in štirje kovanci po en cent.
zapisalo število 24 v zrak, ostali pa so prikimali v potrditev. Z nekaj spodbudami je nek učenec našel število 24 na koledarju v učilnici, drugi pa dejal, da se število 24 pojavi na njegovi digitalni uri vsako uro enkrat. Učenci niso imeli nobenih spontanih reakcij kot učenci razredu, ki sem ga obiskala najprej.« (Povzeto po Howden, 1989, str. 6.) Zakaj so se učenci v razredih odzvali tako različno? Prva skupina učencev je očitno imela razvit poseben čut za števila in razvito »prijateljstvo s števili«; intuicijo, kako so števila povezana med sabo in v svetu. Avtorica zaključuje, da so učitelji in njihove poučevalne strategije imeli vpliv na to, kako so učenci števila zaznavali. (Howden, 1989.)
2.1 Opredelitve pojma občutka za števila in količine
Pojem »občutek za števila in količine« (ang. number sense) je pojem, ki ga je leta 1954 prvi predstavil Danzig. Občutek za števila in količine je opredelil kot sposobnost posameznika, da opazi spremembo v majhni množici elementov, ko se le-ta spremeni brez njegove vednosti (Danzig, 1987, v Sousa, 2008, v Jašarević, 2016). Ne glede na to, kako osnoven, pomemben in ključen je občutek za števila in količine pri poučevanju in ocenjevanju matematike (Faulkner, 2009), pojem še ni enotno definiran. V nadaljevanju bomo predstavili definicije občutka za števila in količine, ki so plod raziskovanja različnih avtorjev, komponente pa veljajo za učence v osnovni šoli, saj so tesno povezane s koncepti, ki jih morajo učenci usvojiti za uspešno sodelovanje pri formalnem pouku matematike (Jordan, Glutting in Raminieni, 2008, v Jašarević, 2016).
‒ Občutek za števila in količine je osnovno predstavljanje količin (Dehaene, 1997, v Jašarević, 2016).
‒ Občutek za števila in količine je sposobnost fleksibilne uporabe števil in količin (Andrews in Sayers, 2015, v Šuštaršič, 2020).
‒ Občutek za števila in količine se sklicuje na dobro organiziran konceptualen okvir informacij o številih, ki človeku omogoča razumevanje števil in odnosov med števili ter reševanje problemov, ki jih ni mogoče rešiti z nekimi tradicionalnimi koncepti (Bobis, 1996, v Way, 2005, v Ančimer Aljaž idr., 2014).
‒ Občutek za števila in količine je skupek idej, kot je na primer pomen števila, način predstavljanja števila, povezave med števili in sposobnosti za delo z njimi (Trafton and Thiessen, 1999, v Wilson Carboni, b. d., v Ančimer Aljaž idr., 2014).
‒ Občutek za števila in količine je znanje o številih, o njihovih medsebojnih odnosih ter o pomenu številskih konceptov (Gersten, Clarke, Jordan, Glutting in Dyson, 2012; Jordan in Levine, 2009, v Jašarević, 2016).
‒ Občutek za števila in količine predstavlja temelje za nadaljnje učenje formalnih matematičnih spretnosti in znanj v osnovni šoli (Jordan in Levine, 2009, v Jašarević, 2016).
‒ Občutek za števila in količine je človekovo splošno razumevanje števil in operacij in nagnjenost k uporabi tega razumevanja in fleksibilnih načinov za matematično ocenjevanje ter za razvoj uporabnih in učinkovitih strategij za obvladovanje matematičnih situacij (Reys idr., 1999, v Senguel, 2013, v
Jašarević, 2016).
‒ Občutek za števila in količine je temelj matematike in zajema učenčevo razumevanje števil, načinov predstavljanja števil, razmerij in odnosov med njimi in številskega sistema; razumevanje pomenov operacij in povezav med njimi ter fluentno računanje in smiselno ocenjevanje (Ameriški svet učiteljev matematike – The National Council of Teachers of Mathematics, 2000, v Jašarević, 2016).
‒ Občutek za števila in količine je nastajajoč konstrukt, ki vključuje učenčevo fluidnost in fleksibilnost s števili, sposobnost za opravljanje miselne matematike ter pogleda na svet in izvajanja primerjav (Berch, 1998, v Witzel idr., 2012, v Ančimer Aljaž idr., 2014).
‒ Občutek za števila in količine omogoča vse od razumevanja pomena števil do razvijanja strategij za reševanje kompleksnih matematičnih nalog. Z dobro razvitim občutkom za števila in količine lahko izvajamo preproste primerjave številčnosti skupin elementov, nato pa na podlagi tega znanja izumljamo postopke za reševanje računskih operacij (Berch, 2005, v Jašarević, 2016).
Jordan, Glutting in Dyson (2012) so za populacijo predšolskih otrok oziroma otrok, starih 3—6 let zapisali definicijo z natančno specificiranimi postavkami, ki ustrezajo razvojnim značilnostim omenjenega starostnega obdobja.
‒ Občutek za števila in količine vključuje medsebojno povezane veščine, ki vključujejo števila in računske operacije ter naslednje spretnosti: prepoznavanje manjših količin brez štetja; štetje najmanj petih predmetov v množici z zavedanjem, da zadnje izgovorjeno število predstavlja moč množice;
primerjanje manjših količin; razumevanje odnosov med števili; seštevanje in odštevanje s konkretnimi predmeti najmanj v obsegu do 5 (Jordan, Glutting in Dyson, 2012, v Jašarević, 2016).
Definicije se med seboj najbolj razlikujejo glede na to, kateri stroki pripada(jo) avtor(ji) opredelitve, saj učitelji in znanstveniki s področja matematike do koncepta pristopajo povsem iz druge perspektive kot kognitivni znanstveniki (Berch, 2005). Slednji občutek za števila in količine razumejo kot prirojeno biološko lastnost človeka, intuicijo glede količin, hitro in natančno zaznavanje oziroma prepoznavanje majhnih skupin elementov ter sposobnost štetja, primerjanja moči množic in razumevanja preprostih aritmetičnih nalog (Sousa, 2008, v Jašarević, 2016; Gersten idr., 2005, v Jašarević, 2016). Dehaene (1997, v Jašarević, 2016) je tako občutek za števila in količine opredelil zgolj kot osnovno predstavljanje količin, saj se po njegovih dognanjih le-ta s kognitivnim razvojem in poučevanjem poveže še z drugimi sistemi, ki nato omogočajo ostale zmožnosti. Znanstveniki z matematičnega področja so prispevali precej razširjene in bolj kompleksne opredelitve. Leta 1989 so komponente občutka za števila in količine identificirali v Nacionalnem svetu učiteljev Amerike. Opredelili so, da občutek za števila in količine zajema pomen števila, številske odnose, velikost števila, operacije, ki vključujejo števila in količine ter vse operacije s števili in s sklicevanjem na števila in količine. Obe znanstveni stroki lepo poveže znanstvenik Berch, ki je
strokovnjak s področja pedagoške psihologije in uporabnih razvojnih znanosti. Njegova natančnejša analiza vsebuje seznam lastnosti oziroma komponent, ki jih občutek za števila in količine zajema (prikazano v Preglednici 1). Dodaja, da nam občutek za števila in količine omogoča tudi integracijo znanja z namenom komunikacije, procesiranja in interpretacije informacij (Berch, 2005). Zelo izčrpni so tudi avtorji Cain idr. (2007, v Faulkner, 2009), ki kot komponente občutka za števila in količine smatrajo sedem zmožnosti (prikazano v preglednici 1) ter Andrews in Sayers s kolegi (2015), ki pod ta pojem zajamejo osem zmožnosti.
Preglednica 1: Pregled komponent občutka za števila in količine iz različnih virov Berch (2005) Faulkner idr. (2009) Andrews in Sayers idr.
(2015) zmožnost primerjanja moči
množic
razumevanje količin in razmerij
razlikovanje količin predmetov
/ / sistematično štetje
/ razumevanje velikosti
količin
zavedanje povezave med številom in količino
zmožnost miselnega predstavljanja številske vrste
/ razumevanje koncepta
števila zmožnost razumevanja
koncepta osnovne desetice
oštevilčenje, razumevanje desetiškega sistema
zavedanje številskih vzorcev
zmožnost prožne in tekoče rabe števil
uporaba števil in različnih oblik števil
razumevanje različnih reprezentacij števila zmožnost razvoja in
uporabe strategij za
reševanje aritmetičnih nalog
algebrsko in
geometrijsko mišljenje
preproste aritmetične spretnosti
zmožnost zavedanja oziroma občutljivosti pri natančnosti in ocenjevanju smiselnih računov in rezultatov
razumevanje enakosti ocenjevanje
zmožnost prepoznavanja napačnih rezultatov
/ /
(Berch, 2005, Faulkner idr., 2009, v Jašarević, 2016; Sayers, Andrews idr., 2015, v Jagodic, 2019).
V Preglednici 1 so prikazane tri sodobnejše opredelitve komponent občutka za števila in količine. V vsakem stolpcu so združene komponente avtorja oziroma avtorjev, ki so navedeni v zgornji celici. Komponente smo nato glede na sorodnost oziroma enakost (drugačno poimenovanje) pojmov uvrstiti v isto vrstico. Nekatere komponente so podrobneje predstavljene v poglavju Razvoj pojma števila.
Vse te veščine so zelo pomembne in nujne za kasnejši napredek pri matematiki (Way, 2005). Da lahko otroci razvijejo dober občutek za števila in količine, morajo razviti kar nekaj specifičnih sposobnosti, ki vključujejo fleksibilnost, sposobnost ocenjevanja, zavest o razmerjih, zavest o vzorcih in povezavah, določanje smiselnega rezultata, napovedovanje, miselno računanje in refleksijo (Anghileri, 2000, v Crean, 2012, v Ančimer Aljaž idr., 2014). Pri vsem naštetem ne gre za nabor znanj, ki bi se jih naučil v nekaj tednih ali nekaj, kar imajo le tisti, ki so dobri v matematiki, kot pogosto rečemo.
Občutek za števila in količine je del vsakodnevnega otroškega življenja, raste počasi in se razvija skozi čas. Učenci se naučijo reševanja matematičnega problemov s strategijami, ki jih razvijejo sami. Zato potrebujejo veliko grafičnih prikazov in iger (Wilson Carboni, b. d., v Ančimer Aljaž idr., 2014).
Pojem občutek za števila in količine je v Sloveniji od leta 2014 omenjen v Kriterijih za opredelitev vrste in stopnje primanjkljajev, ovir oziroma motenj otrok s posebnimi potrebami (Magajna idr., 2014, str. 26). Definiran je kot »sposobnost prepoznavanja pomena in razumevanja števil, odnosov med njimi ter njihove raznolike uporabe;
fleksibilna raba števil v vseh štirih aritmetičnih operacijah; uporaba in razumevanje števil v strategijah štetja in računanja; sposobnost razvoja strategij za reševanje kompleksnih matematičnih problemov; merjenje, ocenjevanje, prepoznavanje odnosa del-celota, itd.«
2.2 Delitev pojma občutek za števila in količine
Pri delitvi pojma občutka za števila in količine ponovno naletimo na neenotno poimenovanje in razliko v natančnosti opredeljevanja posameznih podpojmov. Za lažjo primerjavo je delitev občutka za števila in količine predstavljena v sledeči preglednici.
Preglednica 2: Primerjava delitve pojma občutka za števila in količine
Berch (2005) Sayers idr. (2016)
1 Perceptualni občutek za števila in količine ali občutek za števila in količine nižjega reda:
→ prirojen in biološko osnovan.
Predverbalni oz. notranji občutek za števila in količine:
→ pri vseh ljudeh prirojen,
✓ povezovanje številskih vrednosti z majhnimi količinami,
✓ razumevanje zaporedij znotraj majhnih količin,
✓ razumevanje primerjav količin v majhnem obsegu.
2 Konceptualni občutek za števila in količine:
→ preko matematičnih aktivnosti in učenja se razvije v predšolskem in šolskem obdobju.
Temeljni občutek za števila in količine:
→ številski koncepti, ki zahtevajo formalno poučevanje in se razvijejo v prvih letih šolanja:
Berch (2005) Sayers idr. (2016)
✓ pojmovanje števila kot reprezentacijo količin,
✓ pojmovanje števila kot fiksno mesto v zaporedju pri štetju.
3 / Funkcionalni občutek za števila in
količine:
✓ znanje o številih, odnosih in konceptih, ki naj bi ga imeli vsi odrasli ne ozirajoč se na poklic,
✓ predstavlja enega glavnih ciljev obveznega izobraževanja.
(Berch, 2005; Howell in Kemp, 2005, v Sayers idr., 2016, v Jagodic, 2019; Emerson in Batbie, 2010; Treffers 2008, v Jagodic, 2019; Griffin, 2004, v Andrews in Sayers, 2015;
Sayers in Andrews, 2015, v Jagodic, 2019.)
Opazimo lahko, da je Berchova delitev zelo osnovna, avtorji Andrews, Sayers in mnogi drugi pa jo nato bolj detajlno razdelajo in nadgradijo po vertikali. Delitev, narejena po vertikali, služi tudi kot dobra opora pri pregledu razvoja občutka za števila in količine.
Vrednost majhnih količin lahko razumemo kot vrednosti 1–3 (Antell in Keating, 1983, v Geary,1994) oziroma 1–4 (Nemec in Kranjc, 2011).
2.3 Razvoj občutka za števila in količine
Občutek za števila in količine je prirojen in biološko osnovan, kar potrjujejo študije mnogih raziskovalcev. Tako dečki kot deklice imajo identične primarne številske sposobnosti oziroma dedne zasnove zanje (Dehaene, 1997). Že enotedenski novorojenčki in nekajmesečni dojenčki so zmožni zaznati razliko v številčnosti prikazanih predmetov v obsegu do tri, torej ločiti skupino treh elementov od skupine dveh elementov (Antell in Keating, 1983, v Geary,1994; Starkey, 1980, Strauss in Curtis, 1981, Berger idr., 2006, v Sousa, 2008, v Jašarević, 2016). Avtorici Nemec in Kranjc (2011) majhen obseg pojmujeta manj definirano, in sicer kot obseg do 3 oziroma 4, med tem ko so rezultati drugih raziskav pokazali, da nekateri otroci zaznavajo razliko v moči množic celo v obsegu do števila 5 (Manfreda Kolar, 2006). Že dojenčki in malčki intuitivno in brez štetja takoj povežejo številske vrednosti z majhnimi količinami (Andrews in Sayers, 2015, v Jagodic, 2019), pri čemer ob rednem srečevanju s heterogenimi in homogenimi množicami heterogenost množice ne igra bistvene vloge pri določanju moči množice (Manfreda Kolar, 2006). V primeru da bo na začetku otrok prešteval samo homogene množice, bo v nadaljevanju mislil, da mora prešteti samo homogeni del heterogene množice (prav tam). Razmerje pri razločevanju različno velikih množic in količin se med razvojem zmanjšuje. Dojenčki pri starosti šestih mesecev so tako zmožni uspešno razločiti le večja razmerja, recimo množici 8 in 16 (kar je razmerje 1:2), odrasli pa lahko razločujejo tudi večje množice in količine ter
manjša razmerja med njimi, npr. 7:8 (Libertus in Brannon, 2010, Halberda idr., 2012, v Tosto, 2017). Otroci ločijo večje od manjšega, razumejo, da imajo več kroglic kot prej, če imajo v roki najprej eno kroglico in nato dobijo še eno. Razumejo torej, da določeno število predstavlja točno določeno količino/vrednost, da je število/količina del zaporedja in da ga je moč primerjati z ostalimi števili oziroma količinami (Andrews in Sayers, 2015; Nemec in Kranjc, 2011). Tega so zmožni kljub temu, da kognitivno še ne pojmujejo točno, kakšno količino predstavlja posamezno število (Wynn, 1992).
V tem času, ko otroci v predšolskem obdobju razvrščajo podobne predmete v skupine in urejene serije, se v njihovi zavesti pojavi pojem števila (Hohmann in Weikart, 2005).
Po dopolnjenem drugem letu starosti razumevanje, primerjave in zaporedje v obsegu majhnih številskih vrednosti nadgradijo s ponotranjenjem naslednjih dveh karakteristik števil: vsako naslednje število v zaporedju je večje od predhodnega števila ter števila se lahko na različne načine razstavi na več manjših števil.
Sklop razumevanja konceptov števil in štetja je sam po sebi dolgotrajen proces, saj poteka nekako med drugim in osmim letom starosti. Nekje v tem času postane narava razvoja občutka za števila krožna, saj štetje in poznavanje simbolov za števila podpirata razvoj konceptov občutka za števila in količine, čeprav sta obenem že sama po sebi komponenti občutka za števila in količine (Malofeeva, 2004, v Sayers in Andrews, 2014, v Jašarević, 2016). Med tretjim in četrtim letom, ko že poznajo imena za števila in količine, si lahko otroci miselno predstavljajo količino določenega števila oziroma število povežejo z določeno količino predmetov, praviloma v obsegu do deset (Wynn, 1992; Geary, 1994). V tem starostnem in razvojnem obdobju prepoznavajo in uporabljajo števila v več kontekstih, npr. za opis svoje ali sorojenčeve starosti, štetje in merjenje predmetov, odštevanje dni do pričakovanega dogodka itd. (Piaget, 1965, v Geary, 1994; Geary, Hoard in Hamson, 1999). Preko teh dejavnosti spoznavajo ordinalni vidik števila (predstavlja mesto v zaporedju števil), kardinalni vidik števila (predstavlja količino) in nominalni vidik števil (pomeni določanje števil). Ne glede na to, katero je njim največje poznano število, pa ocenijo vse večje množice s tem številom ali pa z »veliko« (Manfreda Kolar, 2006).
Ko je otrok star pet let, praviloma zna šteti do dvajset, pozna relativne velikosti števil do deset, nekateri pa obvladujejo tudi enostavno seštevanje in odštevanje z uporabo enostavnih pomagal. Na tem mestu govorimo o neformalnem razvijanju temeljnega občutka za števila in količine, ki zajema znanja, spretnosti in veščine, ki jih preko različnih aktivnosti nato v sklopu formalnega pouka učenci nadgradijo, utrjujejo in ponotranjijo (Geary, 1994; Sayers idr., 2016; Griffin idr., 1994, v Gersten in Chard, 1999; Nemec in Kranjc, 2011). Koncepti, spretnosti in veščine temeljnega občutka za števila in količine so: podvojitev števila, odvzemanje števil, razumevanje mestne vrednosti, sestavljanje in razdruževanje števil, razumevanje osnovnih aritmetičnih operacij ter razumevanje komutativnih, asociativnih in distributivnih lastnosti števil in uporabo teh principov za reševanje problemov (Gersten in Chard, 1999; Griffin idr., 1994, v Gersten in Chard, 1999; »The final report of the National mathematics advisory
panel«, 2008, v Jagodic, 2019). Med sedmim in osmim letom večina učencev še ne zna miselno seštevati in odštevati, pomagajo si z računanjem na prste, z dodajanjem po eno zaporedno število ali pa števila smiselno razdelijo na manjša in računajo z njimi.
Hitrost in natančnost računanja se nato v tretjem razredu povečata z obvladovanjem in avtomatizacijo poštevanke (Nemec in Krajnc, 2011). Šele ko je temeljni občutek za števila in količine ustrezno razvit, lahko učenec v polnosti razume pomen števil in možne načine uporabe le-teh za reševanje problemov ter jih zna glede na kontekst na različne načine predstaviti in uporabiti. Poleg tega imajo učenci z dobro razvitim temeljnim občutkom za števila in količine dober občutek za velikost števila in lahko hitro prepoznajo številske napake velikega obsega (Berch, 1988, v Gersten in Chard, 1999, v Ančimer Aljaž idr., 2014). Temeljno znanje nato ob pomoči formalnega šolanja in življenjskih izkušenj nadgrajujejo z usvajanjem in razumevanjem zahtevnejših konceptov, povezanih s števili – tako razvijemo funkcionalen občutek za števila in količine (Sayers idr., 2016).
Razvoju občutka za števila in količine moramo nedvomno nameniti veliko pozornosti in ga negovati z vso skrbnostjo, saj ima dobro razvit občutek za števila in količine na učenje matematike enak vpliv, kot ga ima fonološko zavedanje na branje (Gersten in Chard, 1999, v Ančimer Aljaž idr., 2014), kasneje pa tudi pomembno dolgoročno vpliva na posameznikovo življenje. Naš cilj je, da bi učenci razvili razumevanje za števila in količine ter operacije, iskali odnose med števili in operacijami, razumeli računske strategije in jih pravilno uporabljali ter razumeli numerične in količinske situacije. To so štiri lastnosti, ki se po mnenju avtorjev Charles in Lobato (2000, v Witzel idr., 2012, v Ančimer Aljaž idr., 2014) manifestirajo pri učencih z dobro razvitim občutkom za števila in količine. Učenci z dobro razvitim občutkom za števila in količine dobro razumejo pomen števil, imajo znotraj števil razvitih mnogo povezav, prepoznavajo relativne odnose med števili in so relativno učinkoviti pri operiranju s števili (Howden, 1989).
Čeprav je magistrsko delo osrediščeno na prvošolce, bomo zaradi pomembnosti občutka za števila in količine predstavili rezultate raziskave, ki so jo opravili med srednješolci v Maleziji. Avtorica Singh (2009) posreduje rezultate raziskave, kjer so s testom za ugotavljanje razvitosti občutka za števila in količine testirali 1756 učencev, starih med 13 in 16 let. Večina testiranih učencev je bila odličnjakov.
Rezultati so skrb vzbujajoči, saj potrjujejo, da ima veliko učencev med 13. in 16. letom težave z občutkom za števila in količine. Pravilnost odgovorov v testu za ugotavljanje občutka za števila in količine je zaskrbljujoče nizko še posebno zato, ker test vsebuje več nalog, ki preverjajo sam občutek za števila in količine in ne znanje računskih operacij. Učenci na testu niso napredovali po težavnostnih ravneh, temveč so ostali na isti ravni. Reys (1999, v Senguel, 2013) zato ugotavlja, da je kurikulum pri matematiki še vedno v nasprotju z razvojem občutka za števila in količine pri učencih.
Zanimivo je, da so se dečki na testu odrezali bolje od deklic. To sicer velja le za eno nivojsko skupino, pa vendar. Na splošno so dečki boljši v matematiki takrat, ko naloge zahtevajo dojemanje prostorskih odnosov, saj je občutek za števila ter računsko
operiranje sam po sebi težji za vizualno predstavljanje (Singh, 2009). Tudi Walden (1989, v Singh, 2009) je ugotovil, da so dečki boljši v primerih, kjer se zahteva dojemanje prostorskih odnosov, pri algebri pa prednjačijo deklice. Večina udeleženih v tej raziskavi nima slabega šolskega uspeha, veliko med njimi je odličnjakov. Tu se kaže razkorak med ocenami in rezultati na testu za ugotavljanje občutka za števila in količine. Razlog je verjetno v nepravilnem poučevanju, ki prevladuje v praksi (Singh, 2009). Čas, ki ga učitelji namenijo razvoju konceptualnega in proceduralnega znanja, ni uravnotežen, pogosto prevladuje slednje (Rittle-Johnson idr., 2001, v Jašarević, 2016). Ugotovili so, da so malezijski učenci dobri v računanju, ko enkrat razumejo postopke in z vajo postanejo samostojni (Singh, 2009).
Howden (1989) pravi, da se »občutek za števila razvija postopoma in kot posledica raziskovanja števil, ki jih z vizualizacijo v različnih okoliščinah vnašamo na načine, ki niso omejeni s tradicionalnimi algoritmi.« Razvoj občutka za števila zahteva vedoželjnost in zanimanje na vseh področjih, v vseh razredih. Učitelji morajo zagotoviti najbolj spodbudno učno okolje, razumeti morajo učenčevo trenutno stopnjo občutka za števila in količine ter se prepričati, da učenci razumejo matematične koncepte, procese in postopke, preden začnejo s številnimi vajami. Če učitelji nikoli ne ugotovijo, kaj učenci zmorejo in česa ne, jim ne morejo dati ustreznih nalog, ki bi jim bili učenci kos. Vedeti morajo, na katerem področju imajo učenci največ težav in poznati številne možnosti ter strategije, preko katerih jim lahko nudijo pomoč (Singh, 2009).
2.3.1 Dejavniki, ki vplivajo na razvoj občutka za števila in količine
Starost. Občutek za števila in količine oziroma posamezne komponente tega pojma se pri otroku razvijajo skozi čas in postopoma. Otrok naravno dane kompetence in prirojeno intuicijo počasi nadgrajuje od primarnih h kompleksnejšim in kulturno pogojenim in na tak način usvaja vedno bolj kompleksna matematična znanja (Geary, 1994).
Spol. Vpliv spola na razvitost občutka za števila in količine je še neraziskan, zato smo tudi to postavko vključili v raziskavo, ki je del magistrskega dela. Najbolj splošno je dognanje, da imajo tako dečki kot deklice identične primarne številske sposobnosti oziroma dedne zasnove zanje (Dehaene 2011, v Jašarević, 2016; Tosto idr., 2014, v Jagodic, 2019), vendar pa naj bi nato v različnih razvojnih obdobjih deklice in dečki različno napredovali. Jordan, Kaplan idr. (2007) po drugi strani splošno navajajo, da imajo dečki na splošno boljše razvit občutek za števila in količine. Walden (1989, v Singh, 2009) je ugotovil, da so dečki uspešnejši v primerih, kjer se zahteva sposobnost dojemanja prostorskih odnosov, deklice pa na področju algebre. Tudi v malezijski študiji so se dečki v eni nivojski skupini odrezali bolje od deklic (Singh, 2009).
Avtorji Demie (2001), Gorard idr. (2001), Strand (1999, v Aunio in Niemivirta, 2010) pa so bolj specifični in navajajo, da naj bi v obdobju 4—7 let deklice prekašale dečke na področju osnovne aritmetike. V starostnem obdobju 6—7 let, ko naj bi imeli otroci že izgrajeno miselno podobo številske vrste, so po ugotovitvah le dečki pripravljeni na
uporabo tega miselnega orodja (Schweiter idr., 2005, v Von Aster in Shalev, 2007). To pripisujejo dejstvu, da deklice že v osnovi raje izberejo jezikovno pogojene strategije, med tem ko dečki raje izberejo vizualno-prostorske ter funkcionalno-motorične strategije. Na splošno so dečki boljši v matematiki takrat, ko se zahtevajo sposobnosti zaznavanja prostorskih odnosov, saj je občutek za števila ter računsko operiranje sam po sebi težji za vizualno predstavljanje (Singh, 2009). Zanimivo je, da je Ameriški nacionalni svet učiteljev leta 2000 poudaril pomembnost formalnega poučevanja tako občutka za števila in količine, kot občutka za prostor (Kersh idr., 2008).
Starši. Starši imajo kot otrokovi skrbniki največji vpliv nanj. Starši na razvoj otrokovega občutka za števila in količine vplivajo po več poteh; dejavniki kot so dosežena stopnja izobrazbe, socialno-ekonomski status ter mnenja, pričakovanja glede otrokove izobrazbe in prepričanja o pomembnosti matematike, vplivajo na način odnosa in interakcije z otroki in posledično na to, kakšno okolje in podporo jim zagotavljajo pri razvoju občutka za števila in količine (Eccles, 1993, v Wigfield idr., 2007; Eccles, 2005).
Starši z višjo doseženo izobrazbo imajo višja pričakovanja glede otrokove uspešnosti in bolj pozitiven odnos do matematike kot starši z nižjo doseženo izobrazbo (Halle, 1997, v Bicer idr., 2013), otroku pa lahko zaradi (praviloma) boljšega socialno- ekonomskega statusa zagotavljajo več virov pomoči oziroma so jim tudi sami zmožni nuditi pomoč (Felix idr., 2008). Otroci staršev z višje doseženo izobrazbo so že v domačem okolju deležni številnih prednosti, saj jim starši pogosteje predstavljajo in omogočajo pridobivanje formalnih in neformalnih izkušenj na matematičnem področju.
Boljše izobraženi starši tako pogosteje uporabljajo matematični jezik, otrokom omogočajo udeležbo pri različnih dejavnostih, otroke izpostavljajo več učnim izkušnjam in oblikujejo spodbudno domače okolje. Za razliko od staršev, ki imajo doseženo nižjo izobrazbo in od otrok v prvi vrsti zahtevajo poslušnost, bodo izobraženi starši pri otrocih spodbujali intelektualno radovednost (Eccles, 2005). Med temi interakcijami otrokom posredujejo tudi lastna prepričanja o pomembnosti matematike.
Socialno-ekonomski status družine je drugi zelo pomemben dejavnik, ki je povezan s starši. V družinah, kjer je prva prioriteta golo preživetje, so starši prvenstveno usmerjeni k boju z nenehnimi finančnimi primanjkljaji in so zaradi tega pod velikim stresom. Zaradi obremenjenosti s financami imajo manj časa za otroke in niso usmerjeni na iskanje učnih izkušenj v vsakdanu, zato otroci nimajo spodbudnega okolja, niso izpostavljeni veliki količini izobraževalnih vsebin, poleg tega pa jim starši ne morejo omogočiti podpore in pomoči iz drugih virov (krožki, inštrukcije …). Zaradi lastne prikrajšanosti se tudi ne čutijo kompetentne, da bi otroku pomagali (Sarkey in Klein, 2008, v Ramani in Siegler, 2014; Singh, 2004, v Felix idr., 2008). Otrokom iz družin z nižjim socialno-ekonomskim statusom bi morale vzgojne in izobraževalne ustanove nuditi intenzivnejšo podporo pri razvijanju občutka za števila in količine, saj le na dobro utrjenem temeljnem znanju otrok lahko uspešno nadaljuje z usvajanjem matematičnih spretnosti (Jašarević, 2016; Jordan, Kaplan idr., 2007, v Jašarević, 2016).
2.4 Razvoj pojma število
Številsko in količinsko znanje se zdi na prvi pogled univerzalno, a je v resnici precej odvisno od izkušenj, kulture in kasneje tudi od šolskega sistema. Raziskave kažejo, da na že prirojen občutek za števila in količine spodbudno vpliva neformalno in formalno poučevanje tako pred vstopom v šolo (Gersten idr., 2005, v Jagodic, 2019) kot tudi v času šolanja. Dobra poučevalna praksa pri zgodnji obravnavi lahko zagotovi formalno krepitev občutka za števila in količine. Še posebno je to pomembno za učence, ki so na področju matematičnega abstraktnega mišljenja šibkejši. Pomembno je, da učence v času usvajanja teh najbolj osnovnih in temeljnih znanj spremljamo in preverjamo njihovo razumevanje ter njihovo razlago različnih strategij pri reševanju nalog. Za nadaljnji optimalni razvoj je nujno, da šola učencem v skladu z njihovim predznanjem omogoči izgrajevanje občutka za števila in količine od predštevilskih spretnosti, preko razvijanja sheme o številih, pa vse do reševanja aritmetičnih nalog seštevanja in odštevanja (Bird, b. d.; Griffin, 1998, v Gersten in Chard, 1999).
Z otrokovim razvojem se spreminja način oblikovanja pojmov pri otroku. Spreminja se kakovost oblikovanih pojmov, pa tudi odnosi med različnimi pojmi. Do sprememb prihaja tudi pri razvoju občutka za števila in količine, le-ta pa je tesno povezan z razvojem pojma števila.
Otrok sprva razvija predštevilske vsebine. Na tej stopnji razvoja pojma števila otrok predmete in pojave opazuje, razvršča, ureja, ustvarja vzorce in relacije med predmeti oziroma pojavi (Hodnik Čadež, 2002). Ko otrok predmete glede na skupne lastnosti razvršča v skupine in urejene serije (klasifikacija in seriacija), se v neki točki v njegovi zavesti prvič pojavi pojem števila. Poleg tega začne razumevati, da lahko dva niza predmetov priredi enega drugemu, razviti pa mora tudi občutek za ohranjanje (npr.
število testenin se samo po sebi ne spremeni, ne glede na to, da spremenijo obliko ali prostorsko razporeditev na krožniku). Tudi ko otrok to osvoji, pri velikih številih oziroma količinah še vedno pogosto zmaga videz nad ujemanjem in štetjem (Hohmann in Weikart, 2005, v Ančimer Aljaž idr., 2014). Otrok mora te temeljne postavke, na katerih se razvije uporaba števil, dobro razumeti in usvojiti, zato mora uriti svoje številske sposobnosti. Otroku moramo pustiti, da dela preproste in tudi očitno napačne sklepe o številih, saj ravno preko teh sklepov razvija občutek za števila in osnovo za logično mišljenje. Odrasli morajo v predšolskem obdobju podpirati tri ključne izkušnje s števili:
primerjanje števila stvari iz dveh nizov, da bi določili več, manj ali enako število, razvrščanje dveh nizov predmetov v razmerje eden na enega in štetje predmetov (Hohmann in Weikart, 2005, v Ančimer Aljaž idr., 2014).
Von Aster in Shalev (2007) sta raziskovala nevropsihološko ozadje pri otrocih z razvojno diskalkulijo in proces pridobivanja številk zajela v štiristopenjski razvojni model. Spodnja preglednica prikazuje razvojni model predstavitve števil, ki je hierarhično organiziran in bi lahko omogočil napovedovanje različnih poti patološkega razvoja.
Preglednica 3: Štiristopenjski razvojni model pridobivanja števil Kapaciteta
delovnega spomina
1. korak 2. korak 3. korak 4. korak
Kognitivna reprezentacija
Osnovni
velikostni sistem (kardinalnost)
∘∘∘∘∘∘∘
Konkretna količina
Verbalni številski sistem
/ena/ /dve/ … Imena števil
Arabski številski sistem
… 13, 14 … Števila
Miselna
številska vrsta (ordinalnost) 0-1-2-3-4-5-6 Spacialna podoba Sposobnosti Ocenjevanje,
primerjanje, prirejanje
Verbalno štetje, strategije štetja, iskanje dejstev
Pisno računanje, liha/soda števila
Približni izračuni, aritmetično mišljenje Razvojno
obdobje
Dojenček, malček
Predšolski otrok
Šolski otrok (Prirejeno po: Von Aster in Shalev, 2007.)
Prvi korak [∘∘∘]: predstavlja (podedovani) velikostni sistem, pri katerem otrok razume kardinalno velikost in spremljajoče funkcije, kot sta primerjanje, prirejanje in ocenjevanje. Ta otroku poda osnovni pomen števila in predstavlja prvo karakteristiko nekega števila, ki jo otrok spoznava. Usvojenost tega koraka je nujen predpogoj, da se otroci naučijo povezati zaznano število predmetov ali dogodkov.
Drugi korak [»tri«]: V drugem koraku se razvija jezikovni proces, v katerem otrok zaznano število predmetov ali dogodkov poveže z besedo.
Tretji korak [3]: Razvija se simbolizacija, otrok zaznano število predmetov ali dogodkov poveže s simbolom, v slovenskem prostoru uporabi torej arabske simbole.
Četrti korak [1-2-3-4-5]: Miselna številska vrsta. Usvojeni prvi trije koraki so predpogoj za razvoj miselne številske vrste. Umeščenost števila v miselno številsko vrsto je običajno predstavljena kot druga karakteristika nekega števila (Von Aster in Shalev, 2007).
Ko otroci razvijajo občutek za števila in količine, pomeni, da sčasoma razvijejo vse posamezne komponente tega pojma. Slabša razvitost vsake posamične komponente občutka za števila in količine predstavlja namreč tveganje, da se bo otrok kasneje pri učenju matematike srečal s težavami (Jagodic, 2019). Ob razlagi razvoja občutka za števila in količine bomo predstavili in razložili komponente občutka za števila in količine, ki so prvotno opredeljeni v Preglednici 1.
1) Primerjanje števila predmetov iz dveh nizov
Otroci začenjajo z razumevanjem števil preko primerjanja. Pogosto primerjajo števila v reprezentacijah: na svojih slikah, risbah in tudi na ilustracijah v knjigah. Kljub abstraktnosti pojma se radi primerjajo po starosti. Pri usvajanju primerjav potrebujejo veliko spodbud, podporo in pomoč. Pomembno je, da otrokom prisluhnemo pri spontanem primerjanju števil in pri primerjanju števil materialov. Odrasli moramo v tem obdobju sprejeti otrokove ugotovitve glede števil, tudi če so napačne. Prav tako je dobro, če se čim bolj izognemo komentiranju in dodajanju svojega znanja otrokovim izjavam. Otrok potrebuje čas, da bo lahko nekatere koncepte dobro razumel (Hohmann in Weikart, 2005). Gersten, Clarke, Haymond idr. (2011) uspešno primerjanje količin povezujejo z bolj razvitim razumevanjem števil in količin, spretnost pa je ključni predpogoj za uspešno miselno računanje in razumevanje mestnih vrednosti.
2) Razvrščanje dveh nizov predmetov v razmerje eden na enega
Ko otroci predmete prirejajo v pare, s tem pridobivajo fizične izkušnje z ekvivalencami.
To jim kasneje pomaga pri štetju, ker je pri tem pomembno, da se vsakemu predmetu priredi le eno število (Hohmann in Weikart, 2005, v Ančimer Aljaž idr., 2014). Za razumevanje ohranitve števila elementov množice otroku ni potrebno znati šteti. Dovolj je, da zna elemente ene množice prirejati elementom druge. Zato je potrebno otrokom pred štetjem ponuditi dejavnosti, pri katerih se ohranja moč množice in ne obratno (Ferbar, 1990). Otroci to velikokrat počnejo skozi igro, pri tem jih moramo spodbujati in jih dodatno povprašati o njihovem početju. Sem sodi razdeljevanje hrane med druge otroke ali igrače, deljenje pripomočkov, pripravljanje mize, kjer mora vsak dobiti en krožnik, eno žlico, vilice in nož, kozarec … (Hohmann in Weikart, 2005). Čeprav ni nujno, je priporočljivo, da se otroci še pred štetjem seznanijo tudi z zgledi operacij, ki spreminjajo moč množice. Pri dodajanju in odvzemanju gre za operaciji, ki spreminjata moč množice (Ferbar, 1990).
3) Štetje
Štetje lahko zajamemo v nekaj načelih. Ni še povsem jasno, ali morajo otroci ta načela razumeti, preden se naučijo šteti, ali se naučijo štetja v konkretnih situacijah (Nemec in Krajnc, 2011, v Ančimer Aljaž idr., 2014). Ferbar (1990) pravi, da šele ko otrok usvoji vsa ta načela, postane njegovo početje zares štetje, koncept pa v polnosti osvoji, ko tudi razume, da lahko šteje predmete, ki imajo različne lastnosti. Otrok mora vedeti, da je število elementov v neki množici neodvisno od lastnosti elementov (prav tam).
Ferbar (1990, v Ančimer Aljaž idr., 2014) navaja naslednja načela pri štetju:
‒ »Štetje je povratno enolično prirejanje«. Otrok se mora zavedati, da pri štetju nobenega elementa ne sme izpustiti in nobenega šteti dvakrat.
‒ »Naravna števila so urejena (načelo ordinalnosti)«. Otrok mora razumeti, da je števila potrebno — ne glede na vrsto ali razporeditev predmetov — naštevati vedno v enakem zaporedju.
‒ »Enako močnim množicam priredimo s štetjem isto število« (načelo kardinalnosti). Otrok mora s štetjem dvema množicama z enakim številom elementov prirediti isto število. Pri tem je pomembno, da otrok elemente množice prešteje in da ne gre le za primerjanje (npr. pike na dominah otrok primerja po enakih razporeditvah).
‒ »Neodvisnost od vrstnega reda«. Otroci okrog petega leta razumejo, da isti množici s štetjem priredimo vedno isto število, le-to pa ni odvisno od vrstnega reda elementov pri preštevanju.
‒ »Štejemo lahko vse, kar razločujemo (načelo abstraktnosti)«. Otroci morajo razumeti, da lahko štejemo vse — predmete, pojave in tudi bolj abstraktne pojme. Štetje temelji na relaciji različnosti, pri čemer ni potrebno ugotavljati podobnosti ali enakosti.
Že v fazi primerjanja in razvrščanja otroci pogosto uporabljajo števila, ki jih izgovarjajo bodisi naključno bodisi po vrsti (Ferbar, 1990). Pri tem že vedo, da obstajajo besede, ki jih uporabljamo za namen štetja in kljub morebitni nepravilni uporabi števil intuitivno že vedo, da pri štetju lahko posamezno število uporabijo samo enkrat ter da je vrstni red štetja pomemben (Gelman in Gallistel, 1978, v Geary, 1994, v Jašarević, 2016).
Pri tem pogosto zmotno mislimo, da že štejejo. Ko otrok elemente ene neurejene množice prireja elementom druge neurejene množice, krši načelo urejenosti, zato to početje še ni štetje. Pri štetju gre namreč za preslikavo neurejene množice v urejeno množico. Zato dajanje otrok v pare ali prirejanje ene skupine predmetov drugi skupini predmetov še ni štetje. Prav tako prirejanje elementov ene urejene množice elementom druge urejene množice še vedno ni štetje. Primer: otrok pet bonbonov poimenuje kot palec, kazalec, sredinec, prstanec in mezinec. Pri poimenovanju prstov na roki se beseda mezinec namreč nanaša le na najmanjši prst, ne pa na celotno množico pred tem poimenovanih prstov. Načelo povratne enoličnosti je največkrat kršeno pri izštevankah, saj pri tem, ko otrok govori izštevanko, ob vsakem obhodu igralcem priredi drugačen zlog (Ferbar, 1990, v Ančimer Aljaž idr., 2014).
Otroci so nad štetjem zelo navdušeni. Ko opazijo nekaj zanimivega, želijo to prešteti (Hofmann in Weikart, 2005). Otroci pogosto štejejo povsem pravilno že vsaj eno leto, preden usvojijo dejanske linearne predstave numeričnih velikosti (Le Corre idr., 2006, v Siegler in Ramani, 2009). Dickson idr. (1984, str. 194) učence, glede na njihovo fleksibilnost pri štetju, delijo v pet skupin:
1) »Perceptivni števci« — učenci potrebujejo za štetje objekte, zvoke, dejanja, nekaj, kar lahko štejejo.
2) »Figurativni števci« — učenci zmorejo sicer šteti miselno, a si še zmeraj predmete v mislih predstavljajo. Pri štetju pogosto delajo napake zaradi težav pri usklajevanju miselnih slik z informacijami.
3) »Motorični števci« — učenci zmorejo šteti motorične aktivnosti kot objekte, tako realne kot imaginarne. Pri štetju pretvorijo informacije v gib in štejejo gibe.
4) »Verbalni števci« — učenci zmorejo delati z besednimi sekvencami imen števil in ne potrebujejo več konkretne opore.
5) »Abstraktni števci« — učenci štejejo miselno, brez ponavljanja celotnih sekvenc imen števil.
V fazi usvajanja štetja je otrokom oziroma učencem potrebno priskrbeti različne nize predmetov, ki jih lahko štejejo, veliko možnosti za štetje pa je možno najti tudi v ustrezno opremljenem okolju. Vzgojitelj lahko skupaj z otroki naredi zbirke majhnih predmetov, ki jih otroci uporabljajo za preštevanje med igro. Veliko otrok rado prešteva takšne materiale, ki se spremenijo, medtem ko rokujejo z njimi, npr. zmočijo, umažejo, obarvajo. Dober primer dejavnosti so dodajanje testenin v vodo, štetje ubijanja jajc, potiskanje sadja in zelenjave v sokovnik … Obstaja tudi vedno več računalniških programov, kjer otroci s prijatelji razvijajo svoje veščine štetja. Pisanje številk se spontano razvija skozi igro z materiali s številkami, na primer s kalkulatorjem, z denarjem, z igralnimi kartami … Otroke pritegnejo tudi namizne igre, pri tem pa moramo biti pozorni, da jih ne omejujemo s svojimi pravili, ampak damo otroškim idejam prosto pot. Otroci morajo dobiti občutek, da so v svojem štetju slišani. Odrasli morajo sprejeti otrokovo številčno zaporedje ne glede na pravilnost. Otrok se bo naučil pravilnega zaporedja, ko bodo njegovi možgani tega sposobni. Nasploh se otroci radi pogovarjajo o številih in številskih problemih, odrasli naj se torej ne izogibajo vloge sogovornika v takšnih situacijah. Otroke je potrebno tudi spodbujati, če jih zanima pisanje številk (Hofmann in Weikart, 2005).
Zavedati se moramo, da pridejo otroci v šolo z že izoblikovanimi strategijami štetja.
V šoli postopno razvijejo bolj učinkovite strategije štetja naprej in nazaj ter strategije fleksibilnega štetja (Dickson idr., 1984). Kavkler (1994, 1996) poudarja, da so strategije štetja zelo pomembne, saj je od njih odvisen razvoj strategij računanja. Razvidna je povezava, da učenec, ki ima razvito boljšo strategijo štetja, tudi pri računanju izbira boljše strategije in je tako pri računanju hitrejši in učinkovitejši (prav tam). Strategije preštevanja, štetja in štetja nazaj lahko razdelimo v stopnje, kakor jih učenci uporabljajo v času razvoja le-teh.
Pri preštevanju predmetov učenec sprva (1) nima strategije, nato (2) prime in premakne vsak predmet, zatem se pri štetju (3) vsakega predmeta dotakne s prstom.
Višja nivoja strategije vključujeta (4) izvajanje aktivnosti s skupino predmetov ter (5) gledanje in preštevanje predmetov.
Pri štetju učenec začne s (1) serijskim štetjem, pri čemer besede niza v nediferencirane celote. Nato sledi stopnja (2) neprekinjenega besednega seznama, ko učenec recitira besede števil, pri čemer mora vedno začeti od začetka. Prekinjena vrsta predstavlja tretjo stopnjo (3), pri kateri je učenec že sposoben šteti od določenega števila naprej. Na stopnji (4) številčna vrsta besede, ki predstavljajo števila, dobijo bolj abstrakten pomen in učencu besede, ki predstavljajo števila, že same po sebi (brez preštevanja predmetov) predstavljajo numerične vrednosti. Zadnja stopnja predstavlja (5) dvosmerno vrsto, pri čemer je učenec zmožen z lahkoto producirati in fleksibilno uporabljati besede, ki predstavljajo števila, torej je zmožen štetja naprej in nazaj.
