POMEN VODENEGA REŠEVANJA MATEMATIČNIH PROBLEMOV Z ŽIVLJENJSKO SITUACIJO V 4. RAZREDU

(1)

UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA

Poučevanje, Poučevanje na razredni stopnji

Klavdija Ogrinec

POMEN VODENEGA REŠEVANJA MATEMATIČNIH PROBLEMOV Z ŽIVLJENJSKO SITUACIJO V 4. RAZREDU

Magistrsko delo

Ljubljana, 2020

(2)

(3)

UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA

Poučevanje, Poučevanje na razredni stopnji

Klavdija Ogrinec

POMEN VODENEGA REŠEVANJA MATEMATIČNIH PROBLEMOV Z ŽIVLJENJSKO SITUACIJO V 4. RAZREDU

Magistrsko delo

Mentorica: izr. prof. dr. Vida Manfreda Kolar

Ljubljana, 2020

(4)

(5)

ZAHVALA

Iskreno se zahvaljujem mentorici, izr. prof. dr. Vidi Manfredi Kolar, za vso strokovno pomoč, nasvete, spodbude in hitro odzivnost pri pisanju magistrskega dela.

Zahvaljujem se ravnateljici, da je dovolila izvedbo raziskave na šoli. Hvala razredničarkama, ki sta me prijazno sprejeli v razred, ter hvala učencem, ki so sodelovali v raziskavi.

Najlepša hvala tudi vsem prijateljem za pomoč in spodbudne besede pri izdelavi magistrskega dela.

Posebna zahvala gre moji družini, ki me je podpirala v času študija, verjela vame in mi stala ob strani.

(6)

(7)

POVZETEK

Matematika ne obsega le proceduralnega in konceptualnega znanja, temveč tudi reševanje matematičnih problemov, preko katerih posameznik pridobiva novo znanje, povezuje že osvojene miselne strukture in spoznava različne strategije reševanja. Pomembno vlogo ima učitelj, ki učence motivira ter usmerja, poleg tega pa razvija pozitiven odnos do matematike.

Učiteljeva naloga je tudi izbor ustreznih problemskih situacij, pri tem pa ne sme pozabiti na matematične probleme iz vsakdanjega življenja, ki so učencem bližji in lažje razumljivi.

V teoretičnem delu magistrskega dela smo najprej pojasnili pojme problemski pouk, problemska situacija, problem in matematični problem. Natančneje smo predstavili različne klasifikacije matematičnih problemov in jih podprli z lastnimi primeri. Opisali smo pogoje uspešnega reševanja matematičnih problemov, opredelili faze reševanja po dveh avtorjih ter podrobno predstavili strategije reševanja problemov. Dotaknili smo se tudi vrste sklepanj, ki so pri reševanju matematičnih problemov prisotni, analizirali vključenost problemov v učni načrt za matematiko in na koncu teoretičnega dela opisali koncept realistične matematike.

Namen raziskave je bil ugotoviti pomen vodenega reševanja matematičnih problemov z življenjsko situacijo pri učencih 4. razreda. Zanimalo nas je, ali načrtno vodenje učencev pri reševanju matematičnih problemov vpliva na boljše dosežke. Z raziskavo smo poskušali ugotoviti, katere strategije reševanja problemov učenci uporabljajo in ali izbor strategije vpliva na uspešnost reševanja matematičnega problema. Raziskali smo tudi povezavo med učnim uspehom pri matematiki in uspehom pri reševanju matematičnih problemov.

Rezultati raziskave so pokazali, da učenci, ki so vključeni v načrtno vodenje reševanja problemov, dosegajo boljše rezultate pri reševanju matematičnih problemov z življenjsko situacijo kot učenci, ki niso deležni načrtnega vodenja. V rezultatih smo predstavili različne strategije reševanja problemov in ugotovili, da je od vrste matematičnega problema odvisno, ali je izbrana strategija učinkovita pri uspešnosti reševanja. Izkazalo se je tudi, da učenci z boljšim uspehom pri matematiki uspešneje rešujejo matematične probleme kot učenci s slabšim uspehom.

Raziskovanje na področju načrtnega vodenja učencev pri reševanju matematičnih problemov lahko pripomore k večjemu zavedanju učiteljev o pomembnosti vključevanja vsebin matematičnih problemov v redni pouk matematike.

Ključne besede: Matematični problem, življenjski matematični problem, strategije reševanja problema, realistična matematika

(8)

(9)

ABSTRACT

Mathematics includes not only procedural and conceptual knowledge, but is also about solving mathematical problems, through which an individual acquires new knowledge, connects already acquired mental structures and learns about different solving strategies. An important role is played by the teacher, who motivates and guides the students, and develops a positive attitude towards mathematics. The teacher's task is to select appropriate problem situations, while not forgetting about the mathematical problems from everyday life that are closer and easier for students to understand.

In the theoretical part of the master's thesis, we first explained the concepts of problem teaching, problem situation, problem and mathematical problem. We presented different classifications of mathematical problems in more detail and supported them with our own examples. We described the conditions for successful solving of mathematical problems, defined the stages of solving by two authors and presented problem solving strategies in detail. We also touched on the types of inferences present in solving mathematical problems, analyzed the inclusion of problems in the mathematics curriculum, and described the concept of realistic mathematics at the end of the theoretical part.

The purpose of the research was to determine the importance of guided solving of real-life mathematical problems in 4th grade students. We were interested in whether the planned guidance of students in solving mathematical problems yield better results. The research was used to find out which problem-solving strategies students use and whether the choice of strategy affects the success of solving a mathematical problem. We also investigated the relationship between learning success in mathematics and success in solving mathematical problems.

The results of the research showed that students who are involved in planned problem-solving management achieve better results in solving real-life mathematical problems than students who do not receive planned management. In the results, we presented different problem- solving strategies and found that the type of mathematical problem determines whether the chosen strategy is effective in solving problems. It has also been shown that students with better results in mathematics solve mathematical problems more successfully than students with poorer results.

Research in the field of planned guidance of students in solving mathematical problems can help to increase teachers' awareness of the importance of including the content of mathematical problems in regular mathematics lessons.

Key words: Mathematical problem, real-life mathematical problem, problem solving strategies, realistic mathematics

(10)

(11)

KAZALO VSEBINE

1 UVOD ... 1

I TEORETIČNI DEL ... 2

2 PROBLEMSKI POUK IN PROBLEMSKA SITUACIJA ... 2

2.1 PROBLEMSKI POUK ... 2

2.2 PROBLEMSKA SITUACIJA ... 2

3 DEFINIRANJE PROBLEMA ... 4

3.1 PROBLEM IN PROBLEM – VAJA ... 4

3.2 DIDAKTIČNA PROBLEMSKA NALOGA ... 5

4 MATEMATIČNI PROBLEM ... 6

4.1 KLASIFIKACIJA MATEMATIČNIH PROBLEMOV ... 7

4.1.1 KLASIFIKACIJA PO MAGAJNI ... 7

4.1.2 KLASIFIKACIJA PO MIALARETU ... 9

4.1.3 KLASIFIKACIJA PO FROBISHERJU ... 10

5 REŠEVANJE MATEMATIČNIH PROBLEMOV ... 11

5.1 POGOJI USPEŠNEGA REŠEVANJA PROBLEMOV ... 12

5.2 FAZE REŠEVANJA PROBLEMOV ... 14

5.2.1 FAZE REŠEVANJA PROBLEMOV PO POLYI ... 14

5.2.2 FAZE REŠEVANJA PROBLEMOV PO STRMČNIKU ... 16

6 STRATEGIJE REŠEVANJA PROBLEMOV ... 18

7 VRSTE SKLEPANJA PRI REŠEVANJU MATEMATIČNIH PROBLEMOV ... 23

7.1 INDUKTIVNO SKLEPANJE ... 23

7.2 DEDUKTIVNO SKLEPANJE ... 24

7.3 TRANSFORMACIJA ... 25

7.4 INTUICIJA ... 25

7.5 ANALOGIJA ... 25

8 MATEMATIČNI PROBLEMI V UČNEM NAČRTU ZA MATEMATIKO ... 26

9 REALISTIČNA MATEMATIKA ... 28

9.1 ZGODOVINA KONCEPTA REALISTIČNE MATEMATIKE ... 30

9.2 ZNAČILNOSTI KONCEPTA REALISTIČNE MATEMATIKE ... 30

9.3 VLOGA UČENCA IN UČITELJA PRI KONCEPTU REALISTIČNE MATEMATIKE ... 31

II EMPIRIČNI DEL ... 32

10 OPREDELITEV RAZISKOVALNEGA PROBLEMA ... 32

10.1 RAZISKOVALNA VPRAŠANJA IN HIPOTEZE ... 33

(12)

10.2 RAZISKOVALNI PRISTOP IN METODA ... 33

10.3 VZOREC OSEB ... 34

10.4 OPIS POSTOPKA ZBIRANJA PODATKOV ... 34

10.5 OPIS POSTOPKA OBDELAVE PODATKOV ... 35

11 REZULTATI IN INTERPRETACIJA ... 36

11.1 PRVI DEL RAZISKAVE – PRIMERJAVA ZAČETNEGA STANJA PRED IZVEDBO RAZISKAVE ... 36

11.2 DRUGI DEL RAZISKAVE – PEDAGOŠKI EKSPERIMENT ... 37

11.3 TRETJI DEL RAZISKAVE – ANALIZA KONČNEGA STANJA ... 55

12 SKLEP ... 77

13 LITERATURA IN VIRI ... 79

14 PRILOGE ... 82

14.1 PRILOGA 1: SOGLASJE STARŠEV ... 82

14.2 PRILOGA 2: PREIZKUS ZNANJA ... 83

(13)

KAZALO SLIK

Slika 1: Problemska situacija (Cotič, 1999, str. 11) ... 3

Slika 2: Primer problemske situacije in problemov ... 4

Slika 3: Klasifikacija matematičnih problemov ... 10

Slika 4: Magični kvadrat ... 26

Slika 5: Vertikalna in horizontalna matematizacija v procesu reševanja matematičnega problema ... 29

Slika 6: Postopek reševanja naloge 1. a pri 1. matematičnem problemu (1) ... 39

Slika 9: Postopek reševanja naloge 1. b pri 1. matematičnem problemu ... 40

Slika 10: Rešitev naloge 1. c pri 1. matematičnem problemu ... 40

Slika 11: Postopek reševanja 2. naloge pri 1. matematičnem problemu ... 40

Slika 12: Postopek reševanja 3. naloge pri 1. matematičnem problemu (1)... 41

Slika 13: Postopek reševanja 3. naloge pri 1. matematičnem problemu (2)... 41

Slika 17: Postopek reševanja naloge 1. b pri 2. matematičnem problemu (1) ... 44

Slika 21: Postopek reševanja naloge 1. a pri 3. matematičnem problemu ... 47

Slika 22: Postopek reševanja naloge 1. b pri 3. matematičnem problemu ... 47

Slika 23: Postopek reševanja naloge 1. c pri 3. matematičnem problemu ... 48

Slika 27: Tabelski zapis naloge 1. b pri 4. matematičnem problemu ... 50

Slika 28: Tabelski zapis naloge 1. c pri 4. matematičnem problemu ... 51

Slika 29: Tabelska slika pri 5. matematičnem problemu (1) ... 53

Slika 30: Tabelska slika pri 5. matematičnem problemu (2) ... 54

Slika 31: Pravilno rešen 1. matematični problem s strategijo reševanja v vzvratni smeri (1) ... 59

Slika 32: Pravilno rešen 1. matematični problem s strategijo reševanja v vzvratni smeri (2) ... 59

Slika 33: Nepravilno rešen 1. matematični problem s strategijo reševanja v vzvratni smeri ... 59

Slika 34: Pravilno rešen 1. matematični problem s strategijo reševanja v vzvratni smeri in s strategijo risanja ... 60

Slika 35: Nepravilno rešen 1. matematični problem s strategijo reševanja v vzvratni smeri in s strategijo risanja ... 60

Slika 36: Nepravilno rešen 1. matematični problem s strategijo računanja pri začetnem podatku (1) . 60 Slika 37: Nepravilno rešen 1. matematični problem s strategijo računanja pri začetnem podatku (2) . 61 Slika 38: Nepravilno rešen 1. matematični problem z uporabo nerazumljive strategije ... 61

Slika 39: Pravilno rešen 2. matematični problem s strategijo risanja (1) ... 62

Slika 41: Nepravilno rešen 2. matematični problem s strategijo risanja (1) ... 63

Slika 42: Nepravilno rešen 2. matematični problem s strategijo risanja (2) ... 63

Slika 43: Pravilno rešen 2. matematični problem s strategijo računanja ... 64

Slika 44: Nepravilno rešen 2. matematični problem s strategijo računanja ... 64

(14)

Slika 45: Pravilno rešen 2. matematični problem s strategijo risanja in strategijo računanja ... 64

Slika 46: Nepravilno rešen 2. matematični problem z uporabo nerazumljive strategije ... 65

Slika 47: Pravilno rešen 3. matematični problem s strategijo poskušanja z vmesnimi koraki (1) ... 66

Slika 48: Pravilno rešen 3. matematični problem s strategijo poskušanja z vmesnimi koraki (2) ... 67

Slika 49: Pravilno rešen 3. matematični problem s strategijo poskušanja z le končno rešitvijo ... 67

Slika 50: Pravilno rešen 3. matematični problem s strategijo poskušanja in strategijo ureditve podatkov v tabele oziroma preglednice ... 67

Slika 51: Pravilno rešen 3. matematični problem s strategijo risanja ... 68

Slika 52: Nepravilno rešen 3. matematični problem z uporabo nerazumljive strategije (1) ... 68

Slika 55: Pravilno rešen 4. matematični problem s strategijo računanja ... 70

Slika 56: Nepravilno rešen 4. matematični problem s strategijo računanja ... 70

KAZALO TABEL

Tabela 1: Sodelujoči učenci glede na spol ... 34

Tabela 2: Vrednost Kolmogorov-Smirnovega testa ... 36

Tabela 3: Povprečni rang in aritmetična sredina zaključnih ocen v eksperimentalni ter kontrolni skupini ... 36

Tabela 4: Vrednost testa Mann-Whitney ... 36

Tabela 5: Časovna razporeditev obravnave matematičnih problemov ... 37

Tabela 6: Uspešnost reševanja preizkusa znanja pri učencih eksperimentalne in kontrolne skupine ... 55

Tabela 7: Uspešnost reševanja preizkusa znanja pri učencih eksperimentalne in kontrolne skupine, ki imajo pri matematiki slabši učni uspeh ... 56

Tabela 8: Strategije reševanja 1. matematičnega problema ... 58

Tabela 12: Uspešnost reševanja 1. matematičnega problema ... 72

Tabela 16: Dosežki učencev eksperimentalne skupine pri reševanju preizkusov znanja ... 76

KAZALO GRAFOV

Graf 1: Sodelujoči učenci glede na spol ... 34

(15)

1

1 UVOD

Matematika je neopazno skrita povsod, na vsakem koraku, čeprav se tega pogosto sploh ne zavedamo. Vsakodnevno se srečujemo z raznovrstnimi izzivi in težavami, povezanimi z matematičnim svetom. Naš cilj je vedno usmerjen k iskanju ustrezne strategije oziroma poti reševanja, ki nas bo pripeljala do končne rešitve, pri tem pa uporabljamo različne miselne procese. Kot pravita Näveri in Laine (2013), se posameznik s težavo spopada takrat, ko zanj nove informacije povezuje v zanj nove strukture. Učenci se z matematičnimi problemi srečajo že v 1. razredu osnovne šole, vsako naslednje leto pa znanje nadgrajujejo. Na uspešnost reševanja matematičnih problemov poleg sposobnosti učenca, njegove motivacije in čustev, izkušenj ter procesnega znanja vpliva tudi kakovost učiteljevega dela. Cencič in Cencič (2002) poudarjata pomen učiteljevega pozitivnega odnosa do matematike, njegovo iznajdljivost ter zmožnost vodenja učencev pri reševanju. Poleg vsega naštetega pa ne smemo pozabiti tudi na učiteljev ustrezen in kakovosten izbor matematičnih problemov.

V teoretičnem delu bomo najprej pojasnili ključne pojme, in sicer problemski pouk, problemsko situacijo, problem in matematični problem. V nadaljevanju se bomo osredotočili na klasifikacije matematičnih problemov po treh različnih avtorjih, teorijo pa bomo podprli še z lastnimi primeri matematičnih problemov. Predstavili bomo proces reševanja problemov ter našteli in opisali pogoje, ki vplivajo na uspešnost reševanja. Opredelili bomo faze reševanja problemov po Polyi in slovenskem didaktiku Strmčniku. Podrobno bomo opisali osem različnih strategij reševanja. Reševanje problemov temelji na različnih vrstah matematičnih sklepanj, ki jih bomo v teoretičnem delu predstavili. Dotaknili se bomo tudi učnega načrta za matematiko ter analizirali, kdaj in v kolikšni meri se učenci z matematičnimi problemi srečajo na razredni stopnji. Na koncu bomo pozornost namenili še realistični matematiki. Opisali bomo zgodovino koncepta realistične matematike, našteli njene značilnosti in opredelili vlogo učenca in učitelja pri omenjenem konceptu.

V magistrskem delu smo raziskali, kakšen pomen ima vodeno reševanje matematičnih problemov z življenjsko situacijo v 4. razredu. Ugotavljali smo, ali načrtno vodenje učencev s strani učitelja prinaša boljše dosežke pri reševanju matematičnih problemov. Analizirali smo strategije reševanja, ob tem pa primerjali strategije eksperimentalne in kontrolne skupine.

Raziskovali smo, ali izbor strategije vpliva na uspešnost reševanja. Zanimalo nas je tudi, kakšna je povezava med učnim uspehom pri matematiki in dosežkom pri reševanju matematičnih problemov z življenjsko situacijo.

Raziskava je vsebovala kvantitativni in kvalitativni pristop raziskovanja. V raziskavo smo vključili 48 učencev četrtega razreda izbrane osnovne šole. Za zbiranje podatkov smo uporabili eksperiment in preizkus znanja. Z ugotovitvami raziskave želimo učitelje spodbuditi k večjemu vključevanju matematičnih problemov z življenjsko situacijo v pouk matematike.

(16)

2

I TEORETIČNI DEL

2 PROBLEMSKI POUK IN PROBLEMSKA SITUACIJA

2.1 PROBLEMSKI POUK

Temeljna značilnost problemskega pouka je problemskost, kar pomeni kompleksnost, protislovnost, nevralgičnost in težavnost. Problemskost je objektivna in subjektivna. Nastaja v povezovanju med objektivno zgradbo problemskega objekta in rešitvenimi sposobnostmi subjekta (Strmčnik, 2001).

Pouk, ki je usmerjen problemsko, predstavlja najvišjo obliko učenja in poučevanja, za katero je značilno učenje s samostojnim in ustvarjalnim iskanjem ter raziskovanjem. V središču pozornosti so učenci in njihovo problemsko učno delovanje, učiteljeva naloga pa je, da problemske učne situacije čim pogosteje vključuje v pouk. Problemsko zasnovane so lahko vse etape učne ure pa tudi vse oblike dela v razredu. Pouk bo uspešnejši, če bomo uvodni del učne ure, obravnavo nove učne snovi, utrjevanje in preverjanje zastavili problemsko. Pri tem moramo biti pozorni, da upoštevamo intelektualne in učne sposobnosti učencev, hkrati pa upoštevamo namen pouka. Če želimo, da učenci določene informacije in spoznanja reproducirajo, potem problemsko zasnovan pouk ni tako nujen. Ko pa gre za obravnavo kompleksne učne vsebine ali za usvajanje in urjenje novih spretnosti, je problemski pouk zelo dobrodošel. Kot pravi Strmčnik (2001), je treba vzgojno in izobraževalno vsebino, ki nastopata skupaj, čim bolj problemsko zasnovati, kjerkoli je le to mogoče.

Cencič in Cencič (2002) opozarjata, da ima problemski pouk poleg številnih prednosti tudi nekaj pomanjkljivosti. Pri pozitivnih vidikih problemsko usmerjenega pouka poudarita trajnejše in uporabnejše znanje, razvijanje samostojnosti in samokritičnosti, ne pozabita tudi na notranjo motivacijo za učenje. Kot pomanjkljivost navedeta počasnejše usvajanje novih znanj, katerih struktura je manj sistematična. Poudarita, da je problemski pouk manj primeren za učno šibkejše učence, za učitelja pa je zahtevnejše.

2.2 PROBLEMSKA SITUACIJA

V učnem procesu ima problemska situacija zelo velik vpliv. Strmčnik (1992) problemsko situacijo opredeljuje kot primarno ali elementarno podlago problema. Značilna je zapletenost, nasprotnost in protislovnost. »Gre za določeno problemsko danost, ki obstaja sama za sebe in po sebi, neodvisno od tega, ali se bo kdo z njo ukvarjal.« (Strmčnik, 1992, str. 39). Žakelj (2003) poudarja, da je glavni namen problemskih situacij razvijanje matematičnega razmišljanja, hkrati pa se razvijajo tudi kritično, analitično in ustvarjalno mišljenje. V nadaljevanju bomo na kratko opisali značilnosti omenjenih vrst mišljenja, ki jih bomo povzeli po Žakljevi (2003).

(17)

3

 KRITIČNO MIŠLJENJE

Pri reševanju problemskih situacij in nalog učenci pridobivajo najrazličnejše podatke ter dokaze. Pri tem je bistveno, da se naučijo sprejeti pomembne ugotovitve, hkrati pa oblikujejo kritično mnenje. Za problemske situacije je značilno, da do rešitve vodi več poti, ki pa jih lahko uporabimo za kritično razpravo o poteku reševanja.

 ANALITIČNO MIŠLJENJE

Za vsako problemsko situacijo velja določeno pravilo, ki ga je treba odkriti, da lahko problem uspešno rešimo. Da pridemo do tega pravila, moramo uporabiti različne matematične procese, kot so izračuni, analize podatkov, opazovanje vzorca, štetje itd. Ugotovljeno pravilo nas popelje do rešitve, ki pa jo moramo dobro utemeljiti.

 USTVARJALNO MIŠLJENJE

Z reševanjem problemskih situacij se odpira pot tudi k razvijanju ustvarjalnega mišljenja. Pri danem problemu se učenci sami odločijo, katere strategije reševanja bodo najbolj koristne in jih bodo uporabili.

Cotič (1999) opozarja, da je pomembno, da se učenec sreča s takimi problemskimi situacijami, s katerimi se bo zmožen spoprijeti, in so v območju njegove zavesti. Vsekakor pa mora imeti učenec tudi interes in željo, da se z njimi spoprime.

Učenec mora dati besedilu problema natančnejši matematični pomen, ki izhaja iz problemske situacije. V dani problemski situaciji lahko učenec oblikuje enega ali več problemov, poleg tega pa lahko vsak učenec oblikuje svoj problem (Cotič, 1999).

Zgoraj zapisane besede lahko prikažemo s spodnjim diagramom:

Slika 1: Problemska situacija (Cotič, 1999, str. 11)

(18)

4 PRIMER:

Slika 2: Primer problemske situacije in problemov

Na začetku šolanja naj bi osnovne matematične pojme gradili z izhajanjem iz konkretnih problemskih situacij. Te pa naj izvirajo iz realnih učenčevih izkušenj. Cotič (1999) pravi, da moramo biti pozorni, da je konkretna problemska situacija učencem res blizu in res konkretna.

Velikokrat se namreč zgodi, da učitelji dajo »konkreten« matematični problem, ki pa je v resnici učencem popolnoma neznan. Konkretna problemska situacija ni nujno, da se nanaša zgolj na vsakdanje življenje učenca, ampak je lahko povezana tudi s svetom fantazije ter imaginacije.

Cotič (1999) še dodaja, da ravno izhajanje iz učenčevega življenja prinese številne prednosti.

Učenec ima večjo motivacijo za reševanje problemske situacije, ki mu je znana. V reševanje vloži maksimalen trud in energijo. Povečata se radovednost in zanimanje za problem.

3 DEFINIRANJE PROBLEMA

3.1 PROBLEM IN PROBLEM – VAJA

V Slovarju slovenskega knjižnega jezika je problem definiran kot nekaj, kar je nejasno, neznano, nezaželeno in je treba rešiti (http://bos.zrc-sazu.si/sskj.html; 9. 3. 2019). Pehkonen, Näveri in Laine (2013) pravijo, da se posameznik s problemom spopada, ko mora za uspešno reševanje kombinirati in povezovati zanj nove informacije v zanj nove strukture. Jauševec (1987) zapiše, da o problemu govorimo takrat, ko se znajdemo v situaciji, ki nam ne ustreza, vendar nimamo sredstev, s katerimi bi to stanje razrešili. Nezaželeno začetno stanje, zaželeno končno stanje in ovira so tri komponente, ki določajo problem. Da preidemo iz neželenega začetnega stanja v želeno končno stanje oziroma od vprašanja k

(19)

5

odgovoru, moramo uporabiti različne miselne postopke, ki jih nekateri strokovnjaki imenujejo tudi iskalni postopki, spoznavna struktura ali hevristična struktura.

Cencič in Cencič (2002) in Cotič (1999) trdijo, da so kompleksne miselne aktivnosti glavna značilnost, ki ločujejo problem od problema – vaje. Medtem ko učenec pri reševanju problemov odkriva nove miselne poti in nove strategije reševanja, pri reševanju problema – vaje uporablja že naučene miselne postopke, ki jih hrani v spominu. Pri problemu – vaji nam je pot od začetnega do končnega stanja jasna. Vendar je odnos med problemom – vajo in problemom subjektivne narave. Cencič in Cencič (2002) opozarjata, da je za nekoga preprosta naloga lahko problem, saj ne pozna postopka reševanja oziroma ne pozna poti do rešitve. Za drugega pa je lahko zapletena naloga zgolj problem – vaja, ker ima usvojeno potrebno proceduralno znanje. Tudi Polya (1898) dodaja, da problem – vajo posameznik reši brez lastnih, inovativnih sposobnosti. Dovolj je že poznavanje splošne formule in vstavljanje podatkov vanj. Tovrstne rutinske naloge so pri pouku matematike nujne, vendar je treba učence navajati tudi na zahtevnejše tipe nalog. Od izkušenj in znanja učencev je odvisno, ali je to problem ali problem – vaja. Strmčnik (2001) pravi, da učenec določeno nalogo zazna kot problem takrat, ko začuti, da ima sam dovolj izkušenj in miselnih moči, da bo problemu kos, a hkrati tudi ve, da do končne rešitve ne bo prišel zgolj z obnovitvijo predznanja.

PRIMER:

Izračunaj površino pravokotnega vrta, ki ima eno stranico dolgo 20 m in drugo stranico dolgo 15 m.

MATEMATIČNI PROBLEM: Predpostavimo, da je učenec v neki novi situaciji. V tem primeru učenec še nima potrebnega proceduralnega znanja, torej še ne razpolaga s poznavanjem obrazca za izračun ploščine pravokotnika. Pri reševanju odkriva in spoznava nove poti, postopke reševanja. Nalogo začne reševati tako, da najprej nariše skico pravokotnega vrta in ga razdeli na kvadratke. Stranica kvadratka je dolga 1 m. S pomočjo skice izračuna površino vrta.

MATEMATIČNI PROBLEM – VAJA: Učenec izračuna površino pravokotnega vrta po znanem obrazcu a  b. Ima usvojeno potrebno proceduralno znanje.

3.2 DIDAKTIČNA PROBLEMSKA NALOGA

O didaktični problemski situaciji govorimo, ko sta problemska situacija in problem didaktično in metodično operacionalizirana v učne namene. Problemska naloga ima načrt in navodila, kako se je treba problema lotiti, vsebuje metodične napotke ter predvideva predznanje. Vsa ta opremljenost je toliko bolj pomembna pri individualnem reševanju težjega problema, predvsem pri učno šibkejših učencih (Strmčnik, 2001).

(20)

6 PRIMER:

Otroci Jan, Janja, Jaka, Jasna in Jernej so sedeli za okroglo mizo in jedli jabolka (glej sliko).

Jasni je ostalo še dvakrat toliko jabolk kot Jerneju. Jan je pojedel dvakrat toliko jabolk kot Janja. Kdo sedi poleg Jaka na njegovi desni strani?

1. Za boljšo predstavljivost pobarvaj cela jabolka z rdečo barvo in ogrizke jabolk z zeleno barvo.

2. V besedilu podčrtaj imena otrok, ki sedijo za mizo.

3. Nalogo začni z reševanjem pri podatku: »Jan je pojedel dvakrat toliko jabolk kot Janja.«

- Koliko jabolk je lahko pojedel Jan?

- Koliko jabolk je lahko pojedla Janja?

- V katerem primeru je Jan pojedel dvakrat toliko jabolk kot Janja?

- Zapiši imeni Jan in Janja v ustrezni kvadrat.

4. Nalogo nadaljuj pri naslednjem podatku: »Jasni je ostalo še dvakrat toliko jabolk kot Jerneju.«

 Koliko celih jabolk je še na vsakem krožniku?

- Zapiši imeni Jasna in Jernej v ustrezni kvadrat.

5. Zapiši ime Jaka v prazen kvadrat.

6. Poglej, kdo sedi desno od Jake.

4 MATEMATIČNI PROBLEM

Matematični problem lahko opredelimo kot situacijo, v kateri reševalec zazna smisel naloge, sprejme izziv za reševanje problema, vendar nima vnaprej znanje strategije reševanja oziroma je ne more priklicati iz spomina (Manfreda Kolar in Hodnik Čadež, 2011). Tudi Žakelj (2013) poudarja, da za matematični problem velja, da reševalec ne pozna poti reševanja problema, temveč sam išče reševalne strategije, ki ga bodo pripeljale do cilja. Matematičnega problema

(21)

7

posameznik ne more rešiti zgolj z uporabljanjem določenih procesov, ki jih je osvojil pri pouku. Dodaja tudi, da matematični problemi niso povezani samo z eno matematično vsebino.

Pri definiranju matematičnega problema lahko poudarimo tri ključne komponente. Prva komponenta je začetno stanje oziroma začetna situacija. Tu izvemo vsebino problema z vsemi pomembnimi informacijami. Naslednja komponenta je cilj, ki ga mora reševalec doseči. Tretja komponenta pa je pot od začetnega do končnega stanja, ki jo mora reševalec poiskati, da uspešno reši problem. Do končnega cilja ni nujno, da vodi zgolj ena pravilna pot, vendar je lahko teh več (Frobisher, 1996).

4.1 KLASIFIKACIJA MATEMATIČNIH PROBLEMOV

Poznamo več različnih delitev matematičnih problemov. Najprej bomo opisali delitev Magajne (2003), v nadaljevanju pa si bomo ogledali Mialaretovo (1969) in Frobisherjevo (1997) kategorizacijo problemov, ki bosta povzeti po Cotičevi (1999). Pri vsaki klasifikaciji bomo teorijo podkrepili še s svojim primerom.

4.1.1 KLASIFIKACIJA PO MAGAJNI

Magajna (2003) deli matematične probleme glede na naslednja merila:

 POT REŠEVANJA (rutinski in nerutinski matematični problemi)

Rutinski problemi reševalcu običajno ne povzročajo večjih težav, saj je pot vnaprej jasna bodisi zaradi same formulacije in vsebine naloge bodisi zaradi že znane poti reševanja. V kolikšni meri pa je neki problem za reševalca »rutinski«, je odvisno od njegovih izkušenj ter znanja.

PRIMER: Izračunaj, koliko je 5 ×8.

Pri nerutinskih problemih, ki so po navadi kompleksnejši od rutinskih problemov, ni vnaprej znanje poti reševanja. Reševalec potrebuje več znanja, iznajdljivosti in motivacije za uspešno reševanje.

PRIMER: Dokaži, da je število 936 deljivo s številom 3.

 DOLOČENOST CILJA (zaprt in odprt matematični problem)

Za zaprte probleme je značilno, da imajo jasno določena pravila reševanja in jasno opisano pričakovano rešitev.

PRIMER: Kolikšna je ploščina kvadrata s stranico 6 cm?

(22)

8

Odprti problemi nimajo točno določenega opisa poti in pravilnih rešitev (Marentič Požarnik, 2000). Pri reševanju odprtih problemov si reševalec sam postavi cilje in se jih trudi doseči (Magajna, 2003).

Primer: Razišči pravokotnike z obsegom 28 cm.

 DOLOČENOST IZHODIŠČNEGA STANJA (problemi z zadostnim številom podatkov, problemi z odvečnimi podatki, problemi z nekonsistentnimi podatki in problemi z nepopolnimi podatki)

Problemi z zadostnim številom podatkov imajo vse podatke, ki jih reševalec potrebuje za uspešno reševanje matematičnega problema.

PRIMER: Dedek ima dve vnukinji. Vsaki je dal 4 bombone in 3 lizike. Koliko bombonov in lizik je podaril dedek?

Za probleme z odvečnimi podatki je značilno, da se v nalogi pojavljajo tudi informacije, ki jih pri reševanju ne potrebujemo. Pomembno je, da reševalec prepozna neuporabnost danih podatkov in ga ne zmedejo.

PRIMER: V pravokotniku je ena stranica dolga 5 cm, druga stranica pa 8 cm. Obseg pravokotnika meri 26 cm. Kolikšna je ploščina pravokotnika?

Pri problemih z nekonsistentnimi podatki ima reševalec opravka s podatki, ki se med seboj ne ujemajo in so neskladni. Učence s tem navajamo, da mora podatke vedno natančno analizirati in preveriti, ali je med njimi logična povezava. Pomembno je, da vidimo, da se podatki med seboj ne ujemajo in da naloga ni rešljiva. Da učenci pri reševanju tovrstnih problemov niso preveč zmedeni, jim namignemo, da so v besedilu tudi protislovni podatki.

PRIMER: Urška je od tete dobila 20 čokoladic. Polovico jih je pojedla skupaj s prijateljico Nežo, 5 čokoladic je dala mami, 4 čokoladice sestri in 4 čokoladice bratu. Koliko čokoladic je ostalo Urški?

Problemi z nepopolnimi podatki so za reševalca težje rešljivi oziroma nerešljivi. Problemi ne vsebujejo zadostnega števila podatkov za reševanje problema. O tovrstnih problemih spregovorita tudi Cencič in Cencič (2002), ki ugotovita, da je takšnih problemov v vsakdanjem življenju največ. Če manjkajočih podatkov nikakor ne moremo najti, pomeni, da je problem nerešljiv. V nasprotnem primeru pa uporabimo različne načine iskanja informacij, npr. logične in računske operacije, podatke iz stvarnega sveta pa pridobimo z opazovanjem, anketiranjem, merjenjem, opazovanjem itd.

PRIMER: Mama Ivanka ima na kmetiji 5 krav, 3 prašiče, 2 zajca in nekaj kokoši. Koliko nog imajo vse živali skupaj?

 POMOČ PRI REŠEVANJU (vodeni in nevodeni matematični problemi)

Pri vodenih problemih je posameznik s podvprašanji v nalogi ali s pomočjo učitelja popeljan od izhodišča do cilja.

(23)

9

PRIMER: Nejc je med počitnicami bral knjigo, ki je imela 120 strani. V ponedeljek je prebral tretjino knjige. Drugi dan je prebral 30 strani. V sredo in četrtek je prebral enako število strani. Zadnji dan je prebral še zadnjih 10 strani. Koliko strani je Nejc prebral v sredo?

Nevodeni problemi ne vsebujejo pomožnih vprašanj ali pomoči učitelja.

PRIMER: Tine si želi v dveh dneh (ponedeljek in torek) naučiti deklamacijo pesmi. Pesem je sestavljena iz 4 kitic, vsaka kitica pa vsebuje 5 verzov. Da bo imel v torek dovolj časa za ponavljanje pesmi, si želi v ponedeljek naučiti več verzov kot naslednji dan. Koliko verzov naj se nauči Tine v ponedeljek in koliko v torek? Napiši vse možne rešitve.

4.1.2 KLASIFIKACIJA PO MIALARETU

Mialaret (1969) loči med tremi vrstami matematičnih problemov, in sicer:

 VODENI PROBLEMI

Pri vodenih problemih že samo besedilo določa vrstni red reševanja. Enostavni vodeni problem lahko rešimo samo z eno računsko operacijo, medtem ko sestavljeni vodeni problemi zahtevajo uporabo več različnih računskih operacij. Zahtevnost sestavljenih vodenih problemov lahko zmanjšamo tako, da problem razstavimo na podprobleme in zraven postavljamo številna podvprašanja (Cotič, 1999).

PRIMER: Urška je za rojstni dan dobila 10 evrov od tete, 15 evrov od strica in 20 evrov od babice. V trgovini si je kupila majico za 12 evrov in kratke hlače za 18 evrov. Koliko evrov ji je še ostalo?

 NEVODENI PROBLEMI

Nevodeni problemi so miselno zahtevnejši od vodenih. Učenec mora sam poiskati poti, ki ga bodo vodile do cilja. Pri tovrstnih problemih postopek reševanja ni pokazan v besedilu problema (Cotič, 1999).

PRIMER: Tina ima v hranilniku 60 evrov. V trgovini z oblačili si ogleduje majico za 10 evrov, pulover za 15 evrov, jopico za 18 evrov, kavbojke za 23 evrov, šal za 3 evre in rokavice za 4 evre. Ali lahko kupi Tina vse kose oblačil? Katere kose oblačil lahko kupi? Zapiši vse možne rešitve.

 NEPOPOLNI PROBLEMI

Nepopolni problemi imajo odprto pot do cilja in hkrati tudi sam cilj. S tovrstnimi problemi razvijamo samostojno razmišljanje učencev v novih situacijah. Učencem so motivacijsko veliko bolj zanimivi od klasičnih matematičnih problemov, poleg tega pa pozitivno vplivajo tudi na odnos učencev do matematike. Nepopolni problemi povezujejo matematiko z vsakdanjim življenjem (Cotič, 1999).

(24)

10

PRIMER: Naredite načrt za zaključno ekskurzijo. Določite tudi, koliko denarja mora prispevati vsak učenec, da se bo ekskurzija lahko izvedla.

4.1.3 KLASIFIKACIJA PO FROBISHERJU Frobisher (1997) deli probleme na:

 PROBLEMI Z ZAPRTO POTJO IN ZAPRTIM CILJEM

Problemi z zaprto potjo in zaprtim ciljem od učenca zahtevajo razumevanje in utrjevanje osnovnih matematičnih pojmov in konceptov (Cotič, 1999).

PRIMER: Jure je star 10 let. Njegova sestra Veronika je 4 leta mlajša. Koliko je stara Veronika?

 PROBLEMI Z ODPRTO POTJO IN ZAPRTIM CILJEM

Pri problemih z odprto potjo in zaprtim ciljem mora učenec sam poiskati strategijo reševanja.

Nekateri učenci uporabijo že naučeno strategijo, spet drugi pa problem rešijo po strategiji slučajnosti. Za reševanje tovrstnih problemov potrebuje učenec veliko nasvetov in izkušenj, da je sposoben izbrati in izpeljati ustrezno strategijo (Cotič, 1999).

PRIMER: Na geoplošči 3 × 3 oblikuj toliko različnih trikotnikov, kolikor jih lahko.

 PROBLEMI Z ODPRTO POTJO IN ODPRTIM CILJEM

Problem z odprto potjo in odprtim ciljem bi lahko poimenovali tudi problem – raziskava.

Učenci z reševanjem takih problemov pridobivajo znanje o obravnavanju problemskih situacij. Učenec se nauči samostojnega razmišljanja v novih situacijah (Cotič, 1999).

PRIMER: Raziskuj trikotnike na geoplošči 3 × 3.

Slika 3: Klasifikacija matematičnih problemov

(25)

11

Klasifikacije matematičnih problemov po različnih avtorjih so si med seboj različne, vendar tudi v marsičem podobne. Kot smo omenili že zgoraj, na vsak matematični problem ne moremo gledati kot na problem, ampak ga, glede na miselne aktivnosti pri posamezniku, lahko uvrščamo tudi med problem – vajo. Tako lahko rutinske matematične probleme, zaprte matematične probleme in vodene matematične probleme po Magajni uvrščamo med probleme – vajo. Tudi pri klasifikaciji problemov po Mialaretu spadajo vodeni matematični problemi v skupino problem – vaja, saj potrebuje reševalec za uspešno reševanje zgolj poznavanje različnih računskih operacij. Probleme z zaprto potjo in zaprtim ciljem, ki jih pri svoji delitvi omeni Frobisher, lahko ravno tako uvrščamo v skupino problem – vaja, saj je pot od začetka do konca jasna.

5 REŠEVANJE MATEMATIČNIH PROBLEMOV

Eden najpomembnejših procesov pri reševanju problemov, ki je temeljna metoda spoznavnega učenja, je posploševanje. Nekateri raziskovalci menijo, da je posploševanje najbolj pomemben proces v matematiki. Posploševanje temelji na tehtnem premisleku o posameznih primerih na osnovi premišljene hipoteze, na preverjanju te hipoteze in na koncu še na dokazovanju (Hodnik Čadež, Željko in Manfreda Kolar, 2014). O pomenu posploševanja oziroma generalizacije spregovorita tudi Novak in Rajh (1996), ki dodajata, da omenjeni proces zahteva sposobnost videnja globlje strukture problema. Če reševalec zna določen problem posplošiti (zastaviti splošno vprašanje), bo znal rešiti tudi vse posebne primere problema.

Reševanje problemov se začne z dekodiranjem, ko problem razčlenimo na elemente. Učenec kombinira že naučene principe v princip višjega reda in tako pride do rešitve, kar pa potem posploši na probleme istega tipa. Reševanje problemov zahteva od posameznika velik miselni napor, sistematičnost ter povezovanje že usvojenega znanja v nove celote (Cencič in Cencič, 2002). Ambrus (2014) še poudari, da pri reševanju problemov v ospredje postavimo vzdrževanje zastavljenega cilja in odstranjevanje nepotrebnih informacij za reševanje. V svojem delu opredeli tudi razliko med uspešnimi in manj uspešnimi reševalci. Medtem ko lahko uspešen reševalec ohranja številne uporabne podatke v svojem delovnem spominu, se na drugi strani šibkejši učenci obremenjujejo z večjim številom neuporabnih informacij.

Magajna (2003) opozarja, da je pri reševanju problemov treba velikokrat poleg specifičnih matematičnih vsebin obvladovati tudi določene komunikacijske procese (poslušanje, branje) in organizacijske, dokumentacijske procese, kot so razporejanje, razvrščanje, usklajevanje.

Omenjenih procesov se je mogoče učiti in naučiti, predvsem preko matematične vsebine, ki je bila uvedena v prenovljeni učni načrt za matematiko, tj. obdelava podatkov. Eden ključnih miselnih procesov pri reševanju problemov je analogno mišljenje. Analogno mišljenje lahko razložimo kot sposobnost, da v dani situaciji vidimo podobnost s situacijo iz nekega drugega področja. Da pa lahko reševalec uporablja analogno mišljenje, mora biti njegovo znanje globinsko. To pomeni, da ima posameznik uskladiščenih veliko izkušenj, ki so shematizirane, urejene in povezane po ključnih značilnostih.

(26)

12

V svojem delu Magajna (2003) zapiše, da je pri reševanju matematičnih problemov poleg kognitivnega znanja (poznavanje vsebine problema) pomembna tudi metakognicija.

Metakognicijo lahko razložimo kot zmožnost reševanja in zmožnost upravljanja oziroma obvladovanja postopka reševanja. In ravno metakognitivno znanje loči uspešnega reševalca od neuspešnega. Neuspešen reševalec bo celoten čas namenil le neuspešnemu iskanju rešitve naloge, medtem ko bo uspešen reševalec namenil pozornost tako samemu matematičnemu problemu kot poteku reševanja in seveda sebi kot reševalcu. Velik pomen metakognicije pri reševanju problema poudari tudi Rott (2013) in doda, da ima ta s samoregulacijo pomemben vpliv na načrtovanje, raziskovanje in refleksijo reševanja.

Bistvo reševanja problemov je v tem, da se učenci navajajo na dojemanje sporočila problema, na samostojno razčlembo problema na elemente ter na najdenje rešitve (Cencič in Cencič, 2002). Strmčnik (2007) omeni, da je za učence reševanje problemov najlažje takrat, kadar učitelj sam razkrije reševalne postopke. Zahtevnejše je, kadar učitelj problem samo razvozla in tako učence usmeri na ustrezno pot reševanja. Najtežje, a hkrati tudi najustvarjalnejše, pa je, če imajo učenci aktivno vlogo tako pri identificiranju problema kot pri iskanju rešitvenih postopkov. Cencič in Cencič (2002) še trdita, da je znanje, pridobljeno z reševanjem problemov, trajnejše in kakovostnejše.

5.1 POGOJI USPEŠNEGA REŠEVANJA PROBLEMOV

Na uspešnost reševanja problemov vpliva več dejavnikov. Nekateri dejavniki pomagajo reševalcu pri iskanju novih, uspešnih strategij reševanja, spet drugi pa ga pri tem zavirajo.

Marentič Požarnik (2000) in Žakelj (2013) menita, da je od posameznika, njegove motiviranosti, predznanja in že osvojenih strategij odvisno, kako uspešen bo pri reševanju.

Tudi Strmčnik (1992) se strinja, da imajo pri reševanju pomembno vlogo notranji reševalni pogoji, poleg tega pa dodaja, da ne smemo zanemariti tudi zunanjih reševalnih pogojev.

Mednje uvrščamo različne reševalne dražljaje, kot so problemska situacija, reševalna navodila in spodbujanje učencev. Cencič in Cencič (2002) dodajata, da sta najpomembnejša dejavnika pri reševanju problemov učitelj in učenec.

Na uspešnost reševanja vpliva kakovost učiteljevega dela. Učitelj mora biti iznajdljiv in imeti pozitiven odnos do matematičnih problemov. Izbrati mora ustrezno problemsko situacijo, imeti sposobnost oblikovanja problemov ter znati učence pri samem reševanju motivirati in pravilno usmerjati (Cencič in Cencič, 2002). Manfreda (1996) zapiše, da mora učitelj stopiti izven svojih okvirjev razmišljanja in biti pripravljen na odprto sprejemanje učenčevih metod dela.

Na drugi strani pa imajo pri reševanju velik pomen tudi posebnosti učencev. Cencič in Cencič (2002) ter Marentič Požarnik (2000) v ospredje postavljajo naslednje dejavnike učenca:

 Sposobnosti učencev. Osnovni pogoj za uspešno reševanje je razvitost splošnih sposobnosti reševalca. Kljub temu ne smemo zanemariti tudi specifičnih umskih sposobnosti in osnovnih spretnosti. Med specifične umske sposobnosti uvrščamo

(27)

13

besedne, prostorske in številske sposobnosti. Branje z razumevanjem, računanje in iskanje informacij spadajo med osnovne spretnosti.

 Učni stil. Eden ključnih dejavnikov učenca pri reševanju problema je tudi učni stil posameznika. Pri reševanju se kaže razlika med impulzivnim (sunkovitim) in refleksivnim (premišljenim) stilom. Za reševalce z impulzivnim stilom je značilno, da se odločijo za prvo rešitev, pa čeprav je lahko tudi napačna. Refleksivni reševalci pa, preden se odločijo, v glavi preizkušajo vse možne rešitve. Marentič Požarnik (2000) dodaja, da je za reševanje problemov ugoden stil tolerantnost do negotovosti.

Reševalec s tovrstnim stilom pusti polje iskanja odprto, čeprav se podatki ne dajo dovolj jasno uvrstiti.

 Čustva in motivacija. Pri reševanju problemov je potrebna zmerna raven napetosti, reševalec pa mora biti vztrajen, radoveden ter samozavesten z nekaj samokritičnosti.

Pomembno je tudi, da zna reševalec neuspeh sprejeti trezno. V začetni fazi reševanja je pomembna učenčeva motivacija in premagovanje strahu pred morebitnimi napakami. V nadaljevanju avtorice ključen pomen pripisujejo sistematični pozornosti učenca in tolerantnost do negotovosti. Tu je treba dodati še vzdrževanje radovednosti reševalca in skrbnost. Neugodne značilnosti pri reševanju problemov, ki zmanjšujejo raven delovanja, so pretirana čustvena napetost, anksioznost (plašnost) in stres. O motivaciji pri problemsko zastavljeni nalogi v svojem članku spregovori tudi Strmčnik (2007), ki opozarja, da mora biti učna situacija za učenca zares zahtevna oziroma zapletena, poleg tega mora biti težavnostno prilagojena njegovim zmožnostim (individualizirana) ter povezana z že pridobljenimi izkušnjami.

 Procesno znanje. Uspešno reševanje problema je odvisno tudi od obvladovanja spretnosti reševanja, torej od strategije reševanja in od specifičnega znanja. Znanje mora biti dostopno in urejeno, reševalec pa mora imeti zmožnost presojanja, kdaj in katero znanje v določeni situaciji potrebuje. Poleg procesnega znanja (poznavanje postopkov in strategij reševanja) sta pri reševanju pomembna tudi deklarativno znanje, kamor uvrščamo poznavanje podatkov in dejstev ter posplošeno znanje. Sem uvrščamo poznavanje pravil in zakonitosti.

 Izkušnje učencev. Tudi izkušnje učencev pomembno vplivajo na reševanje problemov. Začetnik bo izbral naučeno strategijo reševanja, še preden bo problem dobro opredelil. Na drugi strani pa bo izkušen reševalec problem najprej uvrstil v ustrezno kategorijo in ugotovil njegove značilnosti. Toda koristno in pomembno znanje lahko posameznika pri reševanju problemov tudi ovira. Kadar je količina specifičnega znanja prevelika, pride do rutinskega reševanja, miselne togosti ali funkcionalne fiksiranosti.

(28)

14 5.2 FAZE REŠEVANJA PROBLEMOV

Pri reševanju problemov sledimo določenim fazam reševanja. Pomembno je, da učitelj pozna faze reševanja ter se zaveda, kakšne težave lahko posamezna faza učencu prinese in katere sposobnosti se v posamezni fazi zahtevajo. Brajša (1993) in drugi strokovnjaki pa še večjo pomembnost pripisujejo komunikacijskim spretnostim učitelja in sposobnostim vodenja učencev skozi proces reševanja. Učitelj mora uporabljati tako verbalno kot neverbalno komunikacijo. Govor učitelja mora biti preprost, pregleden, strnjen in zanimiv. Pomembno je, da zna poudariti bistvene informacije, kajti le tako bodo učenci prepoznali njegova sporočila kot pomembna in uporabna.

V nadaljevanju bomo podrobno predstavili dve različni opredelitvi faz reševanja problemov.

Najprej se bomo osredotočili na faze reševanja problemov po avtorju Polyi, v nadaljevanju pa si bomo ogledali še faze reševanja problemov po Strmčniku.

5.2.1 FAZE REŠEVANJA PROBLEMOV PO POLYI

Matematik Polya (1989) je definiral štiri faze reševanja problemov: razumevanje problema, priprava načrta za rešitev problema, uresničitev načrta ter analiziranje rešitve in pregled opravljene poti. Vsaka od naštetih faz ima svoj pomen in funkcijo. Največkrat si sledijo v zgoraj zapisanem vrstnem redu, včasih pa se zgodi, da se faze med seboj prepletejo ali pa se kakšna faza izpusti.

1. Razumevanje problema

Na začetku je pomembno, da učenec problem razume, predvsem pa, da ima željo po reševanju problema. »Problem mora biti dobro izbran, ne pretežak niti ne prelahek, biti mora zanimiv in določen čas je treba žrtvovati zato, da bi problem predstavili življenjsko in privlačno.« (Polya, 1989, str. 28)

Učitelj mora preveriti, ali učenec problem razume. To najlažje preveri tako, da od učenca zahteva obnovitev naloge s svojimi besedami ter določitev neznank in pogojev (Polya, 1989).

Cotič (1999) dodaja, da kadar učenec ne zna rešiti problema, najprej pomislimo na to, da nima usvojenega ustreznega matematičnega znanja oziroma da je naloga miselno prezahtevna.

Vendar se pogosto skriva razlog v neuspehu v razumevanju jezika. Brajša (1993) opozarja, da mora biti jezik učitelja preprost in jasen ter primeren otrokovim izkušnjam in jezikovnim kompetencam.

Pri razumevanju problema si učenec lahko pomaga tudi z risanjem in skiciranjem ter s konkretizacijo (Polya, 1989). V svojem delu Cotič (1999) omenja, da so številne raziskave dokazale, da so učenci uspešnejši pri reševanju problemov, če si pomagajo s konkretnim materialom. Priporočljivo je tudi, da se učenci na začetku šolanja srečajo s problemi, ki so formulirani vizualno, saj bodo lahko dane informacije uspešneje predelali.

(29)

15

Številski podatki v nalogi so včasih koristni, velikokrat pa zgolj otežijo razumevanje problema. Učenca pogosto zavedejo. Namesto da bi se ukvarjal z reševanjem problemske situacije, pozornost posveča številkam (Cotič, 1999).

Cotič (1999) še trdi, da na razumevanje problema vpliva tudi velikost naravnih števil, ki nastopajo v matematičnem problemu. Učenci probleme pogosto rešujejo s strategijo poskusov in napak, zato »manjša« števila učencu olajšajo reševanje. V višjih razredih osnovne šole, ko je učenec intelektualno zrelejši, pa v pouk vključimo tudi naloge z večjimi števili.

2. Načrt za rešitev naloge

Pot od razumevanja problema do priprave načrta za rešitev problema je vijugasta in dolga. Pri reševanju problema je najpomembnejša zamisel načrta. Učitelj mora pomisliti na svoje lastne težave, izkušnje in uspehe pri reševanju nalog, saj bo le tako razumel učenca. Pri pripravi načrta je pomembno že pridobljeno znanje in minule izkušnje, ki smo jih usvojili pri reševanju sorodnih primerov (Polya, 1989). Cotič (1999) dodaja, da učitelj mora učencu pomagati pri pripravi načrta, a se hkrati zavedati, da pretirano vmešavanje ni zaželeno.

Pri izpeljavi načrta potrebujemo veliko vztrajnosti in potrpljenja. Vsak del načrta moramo potrpežljivo preizkusiti in se prepričati, da ni kakšne pasti, kamor bi se napaka lahko vrinila.

Če je učencu načrt razumljiv, ima učitelj v tej fazi reševanja relativno malo dela. Glavna naloga je, da vztraja pri tem, da učenec preveri vsako zaporedno stopnjo. Nevarnost nastane, da bi učenec svoj načrt pozabil ali pa ga celo dobil oziroma prepisal od nekoga drugega.

Bistveno pri tej fazi reševanja problema je, da je učenec prepričan o pravilnosti poteka reševanja problema (Polya, 1989).

Pri postopku reševanja lahko učenec uporablja različne matematične instrumente. Katerega bo uporabil, je odvisno od vrste problema. Najpreprostejši instrument je risba. Učenec nariše informacije, kot jih sam vidi, in zraven pripoveduje problem. Pri reševanju problemov se uporabljajo tudi različni diagrami (Carrolov diagram in Euler-Vennov diagram) in matematično drevo. S pomočjo slednjega uvedemo učenca v matematične posplošitve brez uporabe formalnih zapisov. V aritmetiki se postopek reševanja pogosto zapiše z enačbo.

Priporočljivo je, da se enačba zapiše najprej v obliki grafa, kar omogoča boljšo vizualno predstavljivost. Reševanje nalog s številskimi izrazi je na razredni stopnji prezahtevno, saj učenci pogosto rešujejo problem korak za korakom (Cotič, 1999).

3. Uresničitev načrta

Pri izpeljavi načrta potrebujemo veliko vztrajnosti in potrpljenja. Vsak del načrta moramo potrpežljivo preizkusiti in se prepričati, da ni kakšne pasti, kamor bi se napaka lahko vrinila.

Če je učencu načrt razumljiv, ima učitelj v tej fazi reševanja relativno malo dela. Glavna naloga je, da vztraja pri tem, da učenec preveri vsako zaporedno stopnjo. Nevarnost nastane, da bi učenec svoj načrt pozabil ali pa ga celo dobil oziroma prepisal od nekoga drugega.

Bistveno pri tej fazi reševanja problema je, da je učenec prepričan o pravilnosti poteka reševanja problema (Polya, 1989).

(30)

16

Pri postopku reševanja lahko učenec uporablja različne matematične instrumente. Katerega bo uporabil, je odvisno od vrste problema. Najpreprostejši instrument je risba. Učenec nariše informacije, kot jih sam vidi, in zraven pripoveduje problem. Pri reševanju problemov se uporabljajo tudi različni diagrami (Carrolov diagram in Euler-Vennov diagram) in matematično drevo. S pomočjo slednjega uvedemo učenca v matematične posplošitve brez uporabe formalnih zapisov. V aritmetiki se postopek reševanja pogosto zapiše z enačbo.

Priporočljivo je, da se enačba zapiše najprej v obliki grafa, kar omogoča boljšo vizualno predstavljivost. Reševanje nalog s številskimi izrazi je na razredni stopnji prezahtevno, saj učenci pogosto rešujejo problem korak za korakom (Cotič, 1999).

4. Analiza reševanja, pregled opravljenih poti

Ko učenci končajo z reševanjem naloge, je pomembno, da se o samem poteku reševanja in o rešitvi tudi temeljito pogovorimo. Prav s preučevanjem poti, ki jih je vodila do rezultata, razvijajo sposobnosti za reševanje problemov in utrjujejo znanje. Učenci bodo z navdušenjem sodelovali pri pregledu rešitev, če bodo tudi sami v to aktivno vključeni (Polya, 1989).

Učence moramo navajati tudi na kritično analizo dobljenega rezultata. »Učenec mora iz dobljene rešitve spet preiti na besedilo problema, saj preveriti pravilnost rešitve pomeni oceniti zvezo med rešitvijo in podatki, ki so dani v tekstu problema.« (Cotič, 1999, str. 48).

5.2.2 FAZE REŠEVANJA PROBLEMOV PO STRMČNIKU

Strmčnik (1992) pri definiranju faz reševanja problemov upošteva tako psihološko (spoznavni in motivacijski procesi) kot didaktično in metodično podlago. Poudarja, da moramo pri načrtovanju reševanja problemov upoštevati dane notranje in zunanje reševalne pogoje. Med notranje reševalne pogoje sodijo predznanje in zmožnosti učencev, njihova motiviranost ter problemska naravnanost. V zunanje reševalne pogoje pa uvrščamo reševalne dražljaje, torej problemsko situacijo, reševalna navodila in spodbujanje učencev. Strmčnik pri reševanju matematičnih problemov opredeljuje naslednje faze: evidentiranje problemske situacije, opredelitev in formuliranje problema, načrtovanje reševanja problemov, uresničevanje in preverjanje problemskega načrta ter formulacija in posplošitev rezultatov rešitve problema.

1. Evidentiranje problemske situacije

Stopnja evidentiranje problemske situacije predstavlja objektivno podlago drugim artikulacijskim procesom. Učiteljeva naloga je, da skrbi za problemske situacije ter omogoči učencem, da se čim večkrat znajdejo v situacijah, ki jim z obstoječim predznanjem niso kos. S tem učenci krepijo zmožnost za odkrivanje in reševanje problemov. Učitelj mora biti občutljiv na učenčeve interese, izkušnje in znanje, ki ni povezano z učno vsebino. Učencem so blizu predvsem tiste problemske situacije, ki so neposredno povezane z njihovim vsakdanjim življenjem, ali pa tiste, ki so nerealne, domišljijske (Strmčnik, 1992).

(31)

17 2. Opredelitev in formuliranje problema

V tej fazi je treba problemsko situacijo preoblikovati do takšne mere, da jo učenci zaznavajo kot svoj problem, kar pomeni, da so jasno določena problemska vprašanja in reševalni cilji, medtem ko so reševalne poti še neodkrite. Torej problem mora biti formuliran čim bolj jedrnato in nedvoumno, kar pa povzroča tako učencem kot učiteljem največ težav. Pomembno je, da učenci do problemske situacije pristopijo s pozitivnimi čustvi, z željo do reševanja in z veliko motivacije. Ravno pri zadnjem ima veliko vlogo učitelj, saj mora učencem pomagati zelo individualizirano in jih ne prepuščati samim sebi. »Potrebno je nenehno usklajevanje zahtevnosti problemske vsebine in njene logike na eni ter reševalnih zmožnosti in interesov učencev na drugi strani.« (Strmčnik, 1992, str. 61)

3. Načrtovanje reševanja problemov

V tretji fazi oblikujemo didaktično problemsko nalogo, kar pomeni, da problem didaktično opremimo in izdelamo reševalni načrt. Načrt za reševanje je treba razčleniti vsebinsko, organizacijsko in metodično, saj se bodo učenci le tako lahko s problemom identificirali in ga reševali nemoteno. Osredotočiti se moramo na reševalne hipoteze, pravila in na metodične postopke. Načrtovanje reševanja problema se začne z zbiranjem in urejanjem že znanih podatkov ter nadaljuje z iskanjem ali dopolnjevanjem tistih, ki so še zakriti. Za konstruktivno reševanje problemov so potrebne ustvarjalne ideje, ki izvirajo iz izkušenj, zamisli, spomina in ustvarjalnosti reševalca. Najpomembnejše v tej fazi pa so odločitve. Učenec mora konstruktivno razmisliti, kako v določeni situaciji delovati in kakšne so lahko posledice.

Predvsem naključne, površinske odločitve in impulzivno odzivanje je lahko nevarno. Na odločitve vplivajo osebna naravnanost posameznika, analiza problema, dobljena navodila in predznanje ter izkušnje s podobnimi problemskimi situacijami (Strmčnik, 1992).

4. Uresničevanje in preverjanje problemskega načrta

Pri uresničevanju problemskega načrta se reševalec giblje in odloča med začetnim reševalnim načrtom in zapleti, do katerih prihaja med samim reševanjem. Če je zaplet manjši, preprostejši, ga razrešimo tako, da spremenimo posamezne korake v reševalnem načrtu. Če pa pride do resnejših blokad, mora reševalec popolnoma spremeniti načrt reševanja. V tej fazi reševanja mora učitelj izredno dobro sodelovati z učenci, jim dajati moralno podporo, jih spodbujati in motivirati. Učiteljevo pomoč potrebujejo tako učenci, ki jim reševanje uspeva, najbolj pa posamezniki, ki imajo težave, se jim zatika, so razočarani, obupani in nezaupljivi sami vase (Strmčnik, 1992).

5. Formulacija in posplošitev rezultatov rešitve problema

V zadnji fazi, kjer ima glavno vlogo učitelj, si učenci izmenjajo izkušnje in rezultate. Nova spoznanja je treba formulirati, utrditi in jih povezati z obstoječim predznanjem. Učitelji morajo biti pozorni predvsem na učno šibkejše učence ter jih poskusiti čim bolj vključiti v aktivno sodelovanje (Strmčnik, 1992).

(32)

18

6 STRATEGIJE REŠEVANJA PROBLEMOV

Učenec za reševanje problemov potrebuje urejeno znanje, ki je dostopno priklicu. Znanje mora vsebovati pomembne pojme, zakonitosti in zveze med njimi (Žakelj, 2013). Ista avtorica (Žakelj, 2003) v svojem članku omenja, da pri pouku matematike ne pridobivamo le

»specifičnih znanj« iz matematičnega področja, temveč tudi »procesna znanja«, ki so prenosljiva in jih lahko koristno uporabimo še pri drugih predmetih. Ravno procesna znanja so glavno orodje pri reševanju problemov. V učnem načrtu za matematiko (2011) so zapisana procesna znanja, ki jih med drugim razvijamo tudi pri pouku matematike. To so: opis poteka dela, spreminjanje podatkov naloge, izbira primernega orodja/tehnologije, sistematično zapisovanje, predvidevanje in preverjanje, načrtovanje dela, posebni primeri, posplošitev, razbitje problema na podprobleme, strategije poskušanja, sistematičnega poskušanja in

»premišljenega« poskušanja, pisna predstavitev matematične obravnave, strategija izboljševanja rešitve oziroma postopka, hipotetiziranje, protiprimeri, postavljanje ključnih raziskovalnih vprašanj, kritično razmišljanje o potrebnih in zadostnih podatkih, kritičen odnos do rešitve, kritičen odnos do interpretacije podatkov in uporabljanje geometrijskega orodja. O procesnih znanjih piše tudi Štefanc (2011, str. 108), ki pravi: »Vsako procesno znanje je (implicitno ali eksplicitno) znanje o tem, kako neki proces izvajati, izvajanje nekega procesa pa nikoli ne poteka le na formalni ravni, ampak je vanj vselej vpisana vsebina, ki je predmet procesiranja.« Tudi B. Marentič Požarnik (2000) se strinja z avtorico Žakelj glede pridobivanja procesnih znanj pri pouku matematike in pravi, da je za uspešno reševanje problemov potrebno tako specifično znanje kot poznavanje ter obvladanje strategij reševanja.

Včasih pa se zgodi, da prevelika količina specifičnega znanja ovira posameznika pri reševanju. Predvsem takrat, kadar so določene strategije reševanja preveč avtomatizirane in se reševalec usmeri predvsem v eno smer in ne razmišlja o različnih poteh, ki vodijo do cilja.

Cencič in Cencič (2002) dodajata, da je rutinsko reševanje in mehanizacijo postopka mogoče nevtralizirati s spreminjanjem nalog.

Žakelj (2003) ugotovi, da je velikokrat največja težava pri reševanju matematičnih problemov, da ne vemo, kako začeti in katero strategijo uporabiti. Kot prvo je pomembno, da upoštevamo svoje predznanje. Vprašamo se, kaj o samem problemu že vemo, ali imamo mogoče že kakšne izkušnje z reševanjem podobnih problemov, ali poznamo ustrezno strategijo za reševanje problemov itd. Nato se osredotočimo na način zapisovanja podatkov.

Odločimo se, ali bomo podatke zapisovali/izpisovali v obliki tabele, seznama, diagrama ali pa si bomo mogoče pomagali s skicami oziroma slikami. Sledi opazovanje podatkov in iskanje povezav med njimi. Ob koncu podatke še urejamo in grupiramo glede na izbrano merilo.

Poudariti je treba, da se pristopi reševanja lahko med seboj zelo razlikujejo, saj so odvisni od vrste in ravni znanja reševalca.

V nadaljevanju bomo opisali posamezne strategije reševanja matematičnih problemov, ki bodo povzete po angleški knjigi Problem solving in mathematics, grades 3–6 (2009). Vsako strategijo bomo podkrepili s primerom.

(33)

19

 Ureditev podatkov

Večina matematičnih problemov vsebuje številske podatke, lahko pa se zgodi tudi, da so podatki slikovni. Bistvo urejanja je lažje spremljanje vseh podatkov v problemu ter hitrejša pot do rešitve. Eden od načinov urejanja podatkov so preglednice. Nekoliko bolj uraden način ureditve podatkov je seznam.

PRIMER: Andraž ima modro in zeleno majico ter sive in črne hlače. Na koliko različnih načinov se lahko obleče Andraž?

REŠEVANJE:

REŠITEV: Andraž se lahko obleče na 4 različne načine.

 Ugibanje in poskušanje

Strategijo ugibanja in poskušanja, ki je zelo učinkovita, v vsakdanjem življenju uporabljamo ves čas, čeprav se pogosto tega sploh ne zavedamo. Učenec ugiba. Če je ugibanje napačno, ugiba naprej. Vsako novo ugibanje temelji na rezultatih, pridobljenih iz prejšnjih ugibanj.

Poskušanje traja toliko časa, dokler reševalec ne pride do rešitve. Za lažje evidentiranje ugibanj se največkrat uporabljajo preglednice in seznami.

PRIMER: Mama se je odločila, da bo med svoje tri sinove razdelila 160 evrov. Najstarejši sin mora dobiti 20 evrov več kot srednji sin. Srednji sin pa mora dobiti 10 evrov več kot najmlajši sin. Koliko denarja dobi vsak od sinov?

REŠEVANJE:

ŠT.

UGIBANJA

NAJMLAJŠI SIN

SREDNJI SIN

NAJSTAREJŠI

SIN SKUPAJ X/✓

1. 10 € 20 € 40 € 70 € X

2. 20 € 30 € 50 € 100 € X

3. 30 € 40 € 60 € 130 € X

4. 40 € 50 € 70 € 160 € ✓

REŠITEV: Najmlajši sin dobi 40 €, srednji sin dobi 50 € in najstarejši sin dobi 70 €.

MAJICA HLAČE

modra sive

modra črne

zelena sive

zelena črne

(34)

20

 Reševanje preprostejših, sorodnih problemov

Pri reševanju matematičnih problemov se velikokrat znajdemo v situaciji, ko ne vemo, kako bi se naloge lotili. Na omenjeno oviro naletimo predvsem zaradi uporabljenih številskih in slikovnih podatkov v problemu. Težavo rešimo tako, da uporabimo strategijo reševanja preprostejših, sorodnih problemov. Problem torej rešimo tako, da ga spremenimo v njemu enakovreden problem s poenostavljenimi števili. Reševalec dobi vpogled, kako rešiti prvotno zastavljen problem. Ko reševalec reši preprostejši primer, se osredotoči na reševanje prvotnega matematičnega problema.

PRIMER: Poišči tri zaporedna soda števila, katerih vsota je 60.

REŠEVANJE: Uporabimo strategijo reševanja preprostejših primerov. Začnemo s tremi najmanjšimi zaporednimi pozitivnimi sodimi števili. To so 2, 4 in 6. Ugotovimo, da je vsota teh treh števil 12, kar je trikratnik srednjega števila – števila 4. Zdaj to prenesemo na število 60. Torej, če je vsota treh zaporednih sodih števil 60, srednje število pa je trikratnik tega števila, je srednje število 20. Sodi predhodnik tega števila je 18 in sodi naslednik tega števila je 22.

REŠITEV: Tri zaporedna soda števila, katerih vsota je 60, so 18, 20, 22.

 Igranje situacije

Strategija igranje situacije je najprimernejša za 3. in 4. razred osnovne šole, saj se takrat učenci najlažje vživijo v določeno vlogo in odigrajo situacijo. Pri igranju se lahko uporabljajo tudi posamezni pripomočki, ki omogočajo lažje razumevanje dogajanja.

PRIMER: Niko, Žiga in Karin so nedeljsko popoldne preživeli pri babici. Babica Mimi je svoje vnučke razvajala z bomboni. Niko, najstarejši vnuk, je dobil 8 bombonov. Žiga je dobil 4 bombone manj kot Karin. Niko je dobil 3 bombone več kot Žiga. Koliko bombonov so dobili vsi trije vnuki skupaj?

REŠEVANJE: Pripravimo bombone in v razredu izberemo tri učence, ki bodo predstavljali Nika, Žigo in Karin. Najprej damo Niku 8 bombonov. Ker dobi Niko 3 bombone več kot Žiga, razdelimo Žigu 5 bombonov. Žiga je dobil 4 bombone manj kot Karin, torej damo Karin 9 bombonov.

REŠITEV: Vsi trije vnuki skupaj so dobili 22 bombonov (8 + 5 + 9 = 22).

 Reševanje v vzvratni smeri

Strategija reševanja v vzvratni smeri je ena težjih strategij. Razlog tiči v tem, da pri večini matematičnih nalog začne reševalec z reševanjem na začetku naloge in jo rešuje počasi, korak za korakom. Reševanje v vzvratni smeri pa poteka ravno obratno. Reševalec začne s končnim