UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOˇ SKA FAKULTETA

UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOˇ SKA FAKULTETA

FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO

DIPLOMSKO DELO

TADEJA LAH

UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOˇ SKA FAKULTETA

FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO

Studijski program: Matematika in fizika ˇ

Kvaternioni in Eulerjevi koti

DIPLOMSKO DELO

Mentor: Kandidatka:

prof. dr. Matija Cencelj Tadeja Lah

Ljubljana, september 2016

.

PROGRAM DELA

Predstavite vrtenja prostora z Eulerjevimi koti in kvaternioni.

Osnovna literatura naj vam bo J. B. Kuipers, Quaternions and rotation sequences, Princeton University Press, Princeton 1999.

prof. dr. Matija Cencelj

.

POVZETEK

Kvaternione lahko predstavimo na razliˇcne naˇcine: kot pare kompleksnih ˇstevil, s pomoˇcjo vektorjev, s pomoˇcjo 2×2 kompleksne matrike in s pomoˇcjo 4×4 realne matrike.

Rotacijo v prostoru predstavimo kot operator, ki ustre- za produktu treh kvaternionov – rotacij okoli koordinatnih osi, ki jim pravimo Eulerjevi koti.

KLJU ˇ CNE BESEDE

Kvaternion, ˇcisti kvaternion, enotski kvaternion, operator rotacije, ope- rator vrtenja, Eulerjevi koti, precesijski kot, nutacijski kot, kot zasuka.

SUMMARY

Quaternions are presented in various ways: as pairs of complex numbers, using vectors, as 2×2-dimensional complex matrices, or 4×4-dimensional real matrices.

Space rotation is presented as an operator which is a product of three quaternions – elemental rotations around coordinate axes, known as Euler angles.

KEY WORDS

Quaternion, pure quaternion, unit quaternion, quaternion rotation opra- tor, the aerospace sequence, Euler angles, heading angle, elevation angle, bank angle.

.

KAZALO VSEBINE

1 UVOD 14

2 DEFINICIJA IN PREDSTAVITEV KVATERNIONOV 17

2.1 Definicija kvaterniona . . . 17

2.1.1 Enakost kvaternionov . . . 17

2.1.2 Definicija vsote kvaternionov . . . 18

2.1.3 Definicija produkta kvaternionov . . . 18

2.2 Predstavitev kvaternionov . . . 22

2.2.1 Definicija konjugiranega kvaterniona . . . 27

2.2.2 Definicija norme kvaterniona . . . 29

3 DRUGE PREDSTAVITVE KVATERNIONOV 31 3.1 Predstavitev s kompleksno matriko . . . 31

3.2 Predstavitev z realno matriko . . . 34

3.3 Ali lahko vektor predstavimo s kvaternionom? . . . 36

3.4 Mnoˇzenje ˇcistega kvaterniona s kvaternionom . . . .37

3.5 Poseben produkt kvaternionov . . . 40

4 ROTACIJE IN KVATERNIONI 42 4.1 Operator rotacije . . . 42

4.1.1 Dokaz, da je operator rotacije res rotacija . . . 43

4.2 Rotacija vektorja v prostoru R³ . . . 47

4.3 Kompozitum dveh rotacij . . . 49

4.4 Eulerjevi koti . . . 50

.

KAZALO SLIK

Slika 1.1: Sir William Rowan Hamilton . . . .15

Slika 3.1: Povezava med vektorjem in kvaternionom . . . 37

Slika 3.2: Operator kvaterniona . . . 39

Slika 4.1: Komponente rotiranega vektorja . . . 45

Slika 4.2: Geometrijska predstavitev operatorja rotacije . . . 45

Slika 4.3: Kompozitum dveh rotacijL_q◦L_p . . . 50

Slika 4.4: Operator vrtenja . . . 52

.

Poglavje 1 UVOD

Poznavanje ˇstevil sega daleˇc v zgodovino. V zaˇcetku so ˇstevila zapisovali z vrezovanjem ˇcrtic na razliˇcne predmete kot so npr. kost, palico ... Kmetje so te stvari uporabljali kot mersko in tipsko oznako blaga. Za pisanje ˇstevil so ljudje v zgodovini uporabljali razliˇcne znake. Danaˇsnji naˇcin zapisovanja ˇstevil izvira iz Indije in so ga v Evropo okoli leta 1000 prinesli arabski trgovci.

ˇStevila so ponazarjali tudi s prsti na rokah. To so bila naravna ˇstevila.

Mnoˇzico naravnih ˇstevil zapiˇsemo tako:

N={1,2,3,4,5, ...}

Razˇsirjena naravna ˇstevila so cela ˇstevila. Zgodovina teh je mnogo mlajˇsa od zgodovine naravnih ˇstevil, ker si matematiki niso znali predstavljati ne- gativne dolˇzine, ploˇsˇcine ali prostornine. Mnoˇzico naravnih ˇstevil razˇsirimo tako, da vse toˇcke na ˇstevilski premici, ki predstavljajo naravna ˇstevila, pre- zrcalimo prek izhodiˇsˇca. S tem dobimo nasprotne vrednosti naravnih ˇstevil.

Izhodiˇsˇce pa je slika celega ˇstevila 0. Mnoˇzico celih ˇstevil zapiˇsemo:

Z={...−3,−2,−1,0,1,2,3,4, ...}

Ce mnoˇˇ zici celih ˇstevil dodamo ulomke, dobimo mnoˇzico racionalnih ˇstevil, ki jo zapiˇsemo:

Q={p

q;p, q ∈Z, q6∈0}

Razˇsirjena racionalna ˇstevila so realna ˇstevila, ki jih oznaˇcimo z R. Do- bimo jih tako, da racionalnim ˇstevilom dodamo ˇstevila, ki imajo neskonˇcno decimalnih ˇstevk.

Kompleksna ˇstevila so ˇstevila oblike x=a+ib, kjer je a realna kompo- nenta, b pa imaginarna komponenta, a, b∈R.

Kompleksna ˇstevila oznaˇcimo s C. Velja:

N⊂Z⊂Q⊂R⊂C

V 19. stoletju je algebra pridobila abstraktnost, po kateri jo poznamo danes.

Vse do 19. stoletja je veljalo, da so vsi ˇstevilski sistemi komutativni. To, da zakon o komutativnosti ni nekaj vnaprej veljavnega, pa je ugotovil sir William Rowan Hamilton. (http://www.educa.fmf.uni-lj.si/izodel/ sola/

2001/ura/ korosec/Algebra.html)

William Rowan Hamilton se je rodil leta 1805 v Dublinu. Bil je ˇcudeˇzni otrok, saj je ˇze pri ˇstirih letih znal brati latinsko, grˇsko in hebrejsko.

(http://www.educa.fmf.uni-lj.si/izodel/sola/1999/ura/ marolt/hamilton.html)

Slika 1.1: Sir William Rowan Hamilton

(Vir: http://www.educa.fmf.uni-lj.si/izodel/sola/1999/ura/ marolt/

hamilton.html)

Z matematiko se je zaˇcel ukvarjati kot 13-letnik. V zaˇcetku je preuˇceval Clairautovo Algebro ter dela Newtona in Laplacea, kasneje pa se je vse bolj samostojno ukvarjal z matematiko, in sicer z matematiko kompleksnih ˇstevil.

Leta 1833 je predstavil kompleksna ˇstevila kot algebraiˇcne dvojice. Ha- milton je odkril vektorski produkt, ki ni komutativen. Dne 16. 10. 1834 je odkril sistem kvaternionov, ki temelji na nekomutativnem vektorskem pro- duktu. Ideja o kvaternionih se je Hamiltonu porodila med jutranjim spre- hodom po nekem mostu v Dublinu. Na kamen na mostu je z noˇzem vrezal enaˇcbo:

i² =j² =k² =ijk =−1 15

Tako so bili rojeni kvaternioni. (http://www.educa.fmf.uni-lj.si/izodel/

sola/2001/ura/ korosec/Algebra.html)

Poleg matematike se je Hamilton ukvarjal tudi z astronomijo in poezijo.

Vendar pa ne poezija ne astronomija ne doseˇzeta nivoja njegove matematike.

Umrl je 2. 9. 1865. (http://www.educa.fmf.uni-lj.si/izodel/sola/1999/ura/

marolt/ hamilton.html)

Ker Eulerjevi koti temeljijo na kvaternionih, bom predstavila tudi Eu- lerjeve kote. Ti se uporabljajo predvsem v letalstvu pri orientaciji na nebu.

Eulerjevi koti so v tej diplomski nalogi predstavljeni na straneh 50 – 53.

Zaradi preglednosti sem vektorje pisala v mastnem tisku in ne s puˇsˇcico, kot jih piˇsejo v srednji ˇsoli. Tak zapis je podan tudi na mathworld.wolfram.com.

Poglavje 2

DEFINICIJA IN PREDSTAVITEV KVATERNIONOV

Kvaternioni so razˇsiritev kompleksnih ˇstevil. Lahko jih predstavimo na veˇc naˇcinov: z vektorji, z matrikami ali kot par dveh kompleksnih ˇstevil.

Kvaternione bomo oznaˇcevali z malimi tiskanimi ˇcrkami (npr. q in p).

2.1 Definicija kvaterniona

Kvaternioni so neka oblika razˇsirjenih realnih ˇstevil. Mnoˇzica kvaternionov je enaka:

H:=R×R³ ={(q₀,q);q₀ ∈R,q∈R³}

2.1.1 Enakost kvaternionov

Dva kvaterniona q= (q₀,q) in p= (p₀,p) sta enaka:

(q₀,q) = (p₀,p) ˇce je

q0 =p0

in

q=p

2.1.2 Definicija vsote kvaternionov

Vsota dveh kvaternionov je po definiciji enaka:

(q₀,q) + (p₀,p) := (q₀+p₀,q+p)

2.1.3 Definicija produkta kvaternionov

Produkt dveh kvaternionov je po definiciji enak:

(q₀,q)(p₀,p) := (q₀p₀−q·p, q₀p+p₀q+q×p), kjer je q·p skalarni produkt inq×p vektorski produkt.

Mnoˇzica H je skupaj z zgornjima operacijama obseg.

DOKAZ:

Dokazati moramo, da za seˇstevanje veljata asociativnostni in komutativ- nostni zakon. Obstajati mora nevtralni element za seˇstevanje in nasprotni kvaternion. Za mnoˇzenje pa morajo veljati asociativnostni zakon, distribu- tivnostni zakon (levi in desni) ter inverzni element za vsak od niˇc razliˇcni kvaternion.

a) Preverimo, ali velja asociativnostni zakon za seˇstevanje kvaternionov.

Dokazati moramo, da velja enakost:

(q0,q) + ((p0,p) + (r0,r)) = ((q0,q) + (p0,p)) + (r0,r) Pomagali si bomo z definicijo vsote kvaternionov:

(q₀,q) + ((p₀,p) + (r₀,r)) = (q₀,q) + (p₀+r₀,p+r)

= (q₀+p₀+r₀,q+p+r) ((q₀,q) + (p₀,p)) + (r₀,r) = (q₀+p₀,q+p) + (r₀,r)

= (q₀+p₀+r₀,q+p+r) Ugotovimo, da velja asociativnostni zakon za seˇstevanje.

b) Preverimo ˇse, ali velja komutativnostni zakon oz. naslednja enakost:

(q0,q) + (p0,p) = (p0,p) + (q0,q)

(q0,q) + (p0,p) = (q0+p0,q+p) (p₀,p) + (q₀,q) = (p₀+q₀,p+q)

Iz zgornjih enakosti lahko sklepamo, da velja komutativnostni zakon za seˇstevanje.

c) Ali obstaja nevtralni element za seˇstevanje?

Da, to je tak kvaternion q, za katerega velja, da sta obe njegovi kom- ponenti enaki niˇc, torej je q = (0,0).

q+ 0 = q

q+ 0 = (q₀,q) + (0,0)

= (q₀+ 0,q+0)

= (q0,q)

= q

d) Preveriti moramo, ali obstaja nasprotni kvaternion.

To je tak kvaternion, ki ima vse komponente nasprotno predznaˇcene kot kvaternion q, torej −q = (−q0,−q)

q+ (−q) = 0

q+ (−q) = (q0,q) + (−q0,−q)

= (q₀−q₀,q−q)

= (0,0)

e) Preverimo ˇse, ali veljata asociativnostni in distributivnostni zakon za mnoˇzenje kvaternionov. Tukaj si bomo pomagali z definicijo mnoˇzenja kvaternionov.

Asociativnostni zakon bo veljal, ˇce velja enakost:

(q₀,q)((p₀,p)(r₀,r)) = ((q₀,q)(p₀,p))(r₀,r) 19

(q₀,q)((p₀,p)(r₀,r)) = (q₀,q)(p₀r₀−pr, p₀r+r₀p+p×r)

= (q₀p₀r₀−q₀pr−qp₀r−qr₀p−q(p×r), q₀p₀r+q₀r₀p+q₀(p×r) +p₀r₀q−qpr +q×(p₀r+r₀p+p×r))

= (q₀p₀r₀−q₀pr−qp₀r−qr₀p−q(p×r), q₀p₀r+q₀r₀p+q₀(p×r) +p₀r₀q−qpr +q×p0r+q×r0p+q×p×r)

= (q₀p₀r₀−q₀pr−qp₀r−qr₀p−q(p×r), q₀p₀r+q₀r₀p+q₀(p×r) +p₀r₀q−qpr +p₀(q×r) +r₀(q×p) +q×p×r) ((q₀,q)(p₀,p))(r₀,r) = (q₀p₀−q·p, q₀p+p₀q+q×p)(r₀,r)

= (q₀p₀r₀−qpr₀−rq₀p−rp₀q−r(q×p), q₀p₀r−qpr+r₀q₀p+r₀p₀q+r₀(q×p) +(q₀p+p₀q+q×p)×r)

= (q₀p₀r₀−qpr₀−rq₀p−rp₀q−r(q×p), q₀p₀r−qpr+r₀q₀p+r₀p₀q+r₀(q×p) +q0p×r+qp0×r+q×p×r)

= (q₀p₀r₀−qpr₀−rq₀p−rp₀q−r(q×p), q₀p₀r−qpr+r₀q₀p+r₀p₀q+r₀(q×p) +q₀(p×r) +p₀(q×r) +q×p×r)

Pri dokazu asociativnostnega zakona za mnoˇzenje kvaternionov smo upoˇstevali, da je

q(p×r) = p(q×r) =r(q×p).

f ) Distributivnostni zakon bo veljal, ˇce bosta veljali enakosti:

(q+p)r =qr+pr in r(q+p) = rq+rp

Preverimo, ali velja levi distributivnostni zakon.

(q+p)r = (q₀+p₀,q+p)(r₀,r)

= (q₀r₀+p₀r₀−qr−pr, p₀r+q₀r+qr₀ +pr₀+ (q+p)×r) qr+pr = (q₀,q)(r₀,r) + (p₀,p)(r₀,r)

= (q₀r₀−qr, q₀r+r₀q+q×r) + (p₀r₀−pr, p₀r+r₀p+p×r)

= (q₀r₀+p₀r₀ −qr−pr, q₀r+r₀q+q×r+p₀r+r₀p+p×r)

= (q₀r₀+p₀r₀ −qr−pr, q₀r+r₀q+p₀r+r₀p+ (q+p)×r) Preverimo ˇse, ali velja desni distributivnostni zakon.

r(q+p) = (r₀,r)(q₀+p₀,q+p)

= (r₀q₀+r₀p₀ −rq−rp, r₀q+r₀p+rq₀+rp₀+r×(q+p)) rq+rp = (r₀,r)(q₀,q) + (r₀,r)(p₀,p)

= (r0q0−rq, r0q+q0r+r×q) + (r₀p₀−rp, r₀p+p₀r+r×p)

= (r₀q₀+r₀p₀ −rq−rp, r₀q+r₀p+r×q+q₀r+p₀r+r×p)

= (r₀q₀+r₀p₀ −rq−rp, r₀q+r₀p+r×(q+p))

Ker enakosti veljata, velja tudi distributivnostni zakon za mnoˇzenje kvaternionov.

g) Ali ima vsak od niˇc razliˇcen element inverz?

Vzemimo kvaternionq = (q₀,q)6= 0.

Preverimo, ali je njegov inverz kvaternion p = ^(q_q2^0,−q)

0+|q²|. Veljati mora qp=pq= 1.

qp = (q₀,q)(q₀,−q) q₀²+|q²|

= (q₀²+q²,−q₀q+q₀q−q×q) q₀²+|q²|

= (q₀²+q²,0) q₀²+|q²|

= 1

pq = (q0,−q) q₀²+|q²|(q₀,q)

= (q₀²+q²,−q₀q+q₀q−q×q) q₀²+|q²|

= (q₀²+q²,0) q₀²+|q²|

= 1

21

Ker velja enakost qp = pq = 1, ima vsak od niˇc razliˇcen kvaternion inverz.

Dokazali smo, da je mnoˇzica kvaternionov skupaj z operacijama seˇstevanja

in mnoˇzenja obseg.

2.2 Predstavitev kvaternionov

Ker vemo, da je H obseg, lahko zapiˇsemo:

q = (q₀,q)

= (q₀,0) + (0,q)

= q₀+q kjer smo oznaˇcili:

q₀ := (q₀,0) q := (0,q)

S pomoˇcjo tega dogovora lahko zapiˇsemo kvaternion:

q = (q0,(q1, q2, q3))

= q₀ +iq₁+jq₂+kq₃

Kvaternion je vsaka ˇcetverica realnih ˇstevil q₀, q₁, q₂, q₃.

Imaginarne komponente i, j, kdefiniramo kot urejene pare tna naslednji naˇcin:

i= (0,i) j= (0,j) k= (0,k) pri ˇcemer velja:

i= (1,0,0) j = (0,1,0) k= (0,0,1)

TRDITEV:

i² =j² =k² =ijk=−1

ij=k=−ji

jk=i=−kj

ki =j=−ik

DOKAZ:

Zgornjo trditev bomo dokazali tako, da bomo imaginarne komponente i,j,k zapisali kot urejene pare, hkrati pa bomo uporabili tudi definicijo mnoˇzenja kvaternionov.

i² = (0,i)(0,i) = (0·0−ii,0·i+ 0·i+i×i)

= (−1,0) = −1

j² = (0,j)(0,j) = (0·0−jj,0·j+ 0·j+j×j)

= (−1,0) = −1

k² = (0,k)(0,k) = (0·0−kk,0·k+ 0·k+k×k)

= (−1,0) = −1

ijk = (0,i)(0,j)(0,k) = (0·0−ij,0·j+ 0·i+i×j)(0,k)

= (0,k)(0,k) = (−1,0) =−1

ij = (0,i)(0,j) = (0·0−ij,0·j+ 0·i+i×j)

= (0,k) =k

−ji = −(0,j)(0,i) = −(0−ji,0·i+ 0·j+j×i)

= −(0,−k) =k

jk = (0,j)(0,k) = (0·0−jk,0·k+ 0·j+j×k)

= (0,i) =i

−kj = −(0,k)(0,j) = −(0−kj,0·j+ 0·k+k×j) 23

= −(0,−i) = i

ki = (0,k)(0,i) = (0·0−ki,0·i+ 0·k+k×i)

= (0,j) =j

−ik = −(0,i)(0,k) = −(0−ik,0·k+ 0·i+i×k)

= −(0,−j) =j

Kvaternione lahko zapiˇsemo v obliki:

q=q₀ +iq₁+jq₂+kq₃

Ce jeˇ q₀ = 1 in q₁ = q₂ =q₃ = 0, zapiˇsemo kvaternion na kratko q = 1.

Podobno so q = i, q = j, q = k kvaternioni, pri katerih so tri komponente enake niˇc, ena pa je enaka 1. Te kvaternione imenujemo enote. Torej so med kvaternioni ˇstiri enote: realna 1 in imaginarne i,j,k.

S kvaternioni lahko tudi raˇcunamo. Oglejmo si osnovne operacije s kva- ternioni.

Kvaternionsko mnoˇzenje lahko s pomoˇcjo zgornje trditve realiziramo na obiˇcajen naˇcin: ko raˇcunamo produkt kvaternionov qp, ju zapiˇsemo v obliki

q=q₀ +iq₁+jq₂+kq₃ in

p=p₀+ip₁+jp₂ +kp₃

ter mnoˇzimo vsak ˇclen z vsakim in upoˇstevamo zgornjo trditev.

qp = (q₀+iq₁+jq₂+kq₃)(p₀+ip₁+jp₂+kp₃)

= q₀p₀+iq₀p₁+jq₀p₂+kq₀p₃+ iq₁p₀+i²q₁p₁+ijq₁p₂+ikq₁p₃+ jq₂p₀+jiq₂p₁+j²q₂p₂+jkq₂p₃+ kq₃p₀+kiq₃p₁+kjq₃p₂+k²q₃p₃

Z uporabo pravil dobimo:

qp = q₀p₀+iq₀p₁+jq₀p₂ +kq₀p₃+

iq₁p₀−q₁p₁+kq₁p₂ −jq₁p₃+ jq₂p₀−kq₂p₁−q₂p₂+iq₂p₃+ kq₃p₀+jq₃p₁−iq₃p₂−q₃p₃

Zapiˇsimo lepˇse:

qp = q₀p₀−(q₁p₁+q₂p₂+q₃p₃) +

q₀(ip₁+jp₂+kp₃) +p₀(iq₁+jq₂+kq₃) + i(q₂p₃−q₃p₂) +j(q₃p₁−q₁p₃) +k(q₁p₂−q₂p₁) Rezultat mnoˇzenja dveh kvaternionov je spet nek kvaternion.

Kvaternione lahko mnoˇzimo tudi s skalarjem. ˇCe je cskalar in je kvater- nion qenak q =q₀+iq₁+jq₂+kq₃, potem je produkt skalarja in kvaterniona enak:

cq =cq₀+icq₁+jcq₂+kcq₃

PRIMER 1:

Imejmo kvaterniona q = 3 + 2i+j−4k in p= 2−i+ 2j+ 4k . Izraˇcunajmoq+p, q−p in 2q.

q+p = (3 + 2i+j−4k) + (2−i+ 2j+ 4k)

= 5 +i+ 3j

q−p = (3 + 2i+j−4k)−(2−i+ 2j+ 4k)

= 1 + 3i−j−8k 2q = 2(3 + 2i+j−4k)

= 6 + 4i+ 2j−8k

Produkt dveh kvaternionov pa lahko zapiˇsemo tudi s skalarnim in vek- torskim produktom. Imamo kvaterniona p inq, podana na naslednji naˇcin:

p=p₀+p 25

in

q=q₀+q kjer stap= (p₁, p₂, p₃) in q= (q₁, q₂, q₃).

Produkt kvaternionov je enak:

qp=q₀p₀−q·p+q₀p+p₀q+q×p Skalarni produkt izraˇcunamo po enaˇcbi:

q·p=q₁p₁+q₂p₂+q₃p₃ Vektorski produkt pa izraˇcunamo po enaˇcbi:

q×p=

i j k q₁ q₂ q₃ p₁ p₂ p₃

Iz zgornjega produkta kvaternionov s skalarnim in vektorskim produktom je oˇcitno, da kvaternioni, ki imajo vzporedne vektorske komponente, komu- tirajo.

PRIMER 2:

Imejmo dva kvaterniona q inp. Zmnoˇzimo ju.

q= 3 + 2i+j−4k= 3 +q−→q= (2,1,−4) p= 2−i+ 2j+ 4k= 2 +p−→p= (−1,2,4)

Skalarni produkt je enak:

q·p= 2·(−1) + 1·2 + (−4)·4 =−2 + 2−16 =−16

Vektorski produkt je:

q×p =

i j k 2 1 -4 -1 2 4

= 12i−4j+ 5k

Zmnoˇzek qp je enak:

qp = 3·2−(−16) + 3(−i+ 2j+ 4k) + 2(2i+j−4k) + 12i−4j+ 5k

= 22 + 13i+ 4j+ 9k

Obstaja enota za mnoˇzenje oziroma identiteta za mnoˇzenje kvaternionov, ki je enaka:

q= 1 +0

Pri mnoˇzenju kvaternionov velja asociativnostni zakon. V to bi se pre- priˇcali, ˇce bi vzeli tri kvaternione q, p, r in bi izraˇcunali produkta (qp)r in q(pr). Izkaˇze se, da vedno velja:

(qp)r=q(pr) Velja pa tudi distributivnostni zakon:

(q+p)r=qr+pr in

q(p+r) = qp+qr

Iz tega sledi, da kvaternioni sestavljajo kolobar, katerega enota je enaka q= 1.

Kvaternione lahko tudi delimo z realnim ˇstevilom a, tako da delimo vse njegove komponente s ˇstevilom a.

2.2.1 Definicija konjugiranega kvaterniona

H kvaternionu q= (q₀,q) je konjugiran kvaternion q^∗ := (q₀,−q).

27

TRDITEV:

(qp)^∗ =p^∗q^∗

DOKAZ:

Naj bosta kvaterniona podana tako: q = (q₀,q) in p= (p₀,p).

(qp)^∗ = ((q0,q)(p0,p))^∗

= (q₀p₀−qp, q₀p+p₀q+q×p)^∗

= (q₀p₀−qp,−(q₀p+p₀q+q×p))

= (q₀p₀−qp,−q₀p−p₀q−q×p)

p^∗q^∗ = (p₀,−p)(q₀,−q)

= (p₀q₀−pq,−p₀q+ (−q₀p) + (−p× −q))

= (p₀q₀−pq,−p₀q−q₀p+p×q)

= (p0q0−pq,−p0q−q0p−q×p)

Upoˇstevali smo, da je q × p = −(p × q). Ugotovimo, da res velja:

(qp)^∗ =p^∗q^∗.

TRDITEV:

qq^∗ =q^∗q =q₀²+|q|²

DOKAZ:

qq^∗ = (q₀,q)(q₀,−q)

= (q₀q₀−q(−q), q₀(−q) +q₀q+q×(−q))

= (q₀²+q²,−q₀q+q₀q−q×q)

= (q₀²+q²,0)

= q₀²+|q|²

q^∗q = (q0,−q)(q0,q)

= (q₀q₀−(−q)q, q₀q+ (−q)q₀+ (−q×q))

= (q₀²+q², q₀q−q₀q−q×q)

= (q₀²+q²,0)

= q₀²+|q|²

2.2.2 Definicija norme kvaterniona

Normo kvaterniona oznaˇcimo zN(q) ali |q|.

N(q) =|q|:=√ q^∗q

TRDITEV:

|pq|=|p||q|

DOKAZ:

N²(pq) = (pq)(pq)^∗

= pqq^∗p^∗

= pN²(q)p^∗

= pp^∗N²(q)

= N²(p)N²(q)

OPOMBA:

Sedaj lahko inverzni kvaternion h kvaternionu q = (q₀,q) zapiˇsemo v obliki:

q⁻¹ = q^∗

|q|² 29

Ce je norma kvaternionaˇ q enaka ena, potem je inverzni kvaternion enak konjugiranemu kvaternionu.

N(q) = 1 −→q⁻¹ =q^∗

V tej obliki zapiˇsemo tudi reciproˇcno vrednost neniˇcelnega kompleksnega ˇstevila:

z⁻¹ = z

|z|²

PRIMER 3:

Danemu kvaternionu q doloˇcimo normo in konjugiran kvaternion.

q= 3 + 2i+j−4k= 3 +q−→q= (2,1,−4) q^∗ = (q₀,−q) =3−2i−j+4k

N² =q^∗q= 3²+ 2²+ 1²+ (−4)² = 30−→N(q) = √ 30

Poglavje 3

DRUGE PREDSTAVITVE KVATERNIONOV

3.1 Predstavitev s kompleksno matriko

Mnoˇzico kvaternionov H^MC lahko predstavimo kot podmnoˇzico dvovrstnih matrik nad obsegom kompleksnih ˇstevilC. Poljubnemu elementu te mnoˇzice pa pravimo kvaternion:

HMC =

α β

−β α

;α, β ∈C}

TRDITEV:

Mnoˇzica H^MC, opremljena z operacijama matriˇcne vsote in matriˇcnega produkta, je za ti dve operaciji zaprta.

DOKAZ:

Vzemimo matriki

Q=

α β

−β α

in

P =

γ δ

−δ γ

pri ˇcemer sta Q, P ∈HMC.

a) Dokaˇzimo najprej, da je seˇstevanje zaprto za vsoto:

Q+P =

α β

−β α

+

γ δ

−δ γ

=

α+γ β+δ

−β−δ α+γ

∈H^MC

b) Dokaˇzimo ˇse za mnoˇzenje:

QP =

α β

−β α

γ δ

−δ γ

=

αγ−βδ αδ+βγ

−(αδ+βγ) αγ −βδ

Ce vzamemo, da jeˇ λ=αγ−βδ inµ=αδ+βγ, potem je produkt enak:

QP =

λ µ

−µ λ

∈HMC

TRDITEV:

Obstaja izomorfizem kvaternionov H inH^MC: ψ :H−→HMC

ψ(q₀+iq₁+jq₂+kq₃) =

α β

−β α

kjer je α=q₀+iq₁ inβ =q₂+iq₃. DOKAZ:

Dokazati moramo injektivnost in surjekivnost.

a) Dokaz injektivnosti:

Imejmo dva razliˇcna kvaterniona q =q₀ +iq₁ +jq₂+kq₃ in p = p₀+ ip₁+jp₂+kp₃.

ψ(q₀+iq₁+jq₂+kq₃) =

q₀ +iq₁ q₂+iq₃

−q2 +iq3 q0−iq1

ψ(p₀+ip₁+jp₂+kp₃) =

p₀ +ip₁ p₂+ip₃

−p₂ +ip₃ p₀ −ip₁

Ce imamo dva razliˇˇ cna kvaterniona, vidimo, da sta tudi njuni sliki razliˇcni.

b) Dokaz surjektivnosti:

Dokazati ˇzelimo, da je vsaka matrika iz mnoˇzice H^MC slika vsaj enega elementa iz mnoˇzice H.

∀

α β

−β α

∈H^MC,∃q∈H:

α β

−β α

=ψ(q)

Matrika

α β

−β α

je doloˇcena z α=a₁+ia₂ in β =b₁+ib₂.

Iz predpisa za preslikavo ψ vidimo, da se bo v to matriko preslikal ele- menta₁ +ia₂+jb₁+kb₂.

ψ(a₁+ia₂+jb₁+kb₂) =

α β

−β α

Torej ugotovimo, da surjektivnost res velja.

c) Dokaˇzimo, da veljaψ(q+p) = ψ(q) +ψ(p).

ψ(q+p) = ψ(q₀+p₀+i(q₁+p₁) +j(q₂+p₂) +k(q₃+p₃))

=

q₀+p₀ +iq₁+ip₁ q₂+p₂+iq₃+ip₃

−q₂−p₂ +iq₃+ip₃ q₀+p₀−iq₁ −ip₁

33

=

q₀+iq₁ q₂+iq₃

−q2+iq3 q0−iq1

+

p₀+ip₁ p₂+ip₃

−p2+ip3 p0−ip1

= ψ(q) +ψ(p)

d) Dokaˇzimo, da velja tudi ψ(qp) =ψ(q)ψ(p).

ψ(qp) = ψ(q₀p₀−q₁p₁−q₂p₂−q₃p₃+i(q₁p₀+q₂p₃−q₃p₂+q₁p₀) + +j(q₀p₂ +q₃p₁−q₁p₂+q₂p₀) +k(q₀p₃+q₁p₂−q₂p₁+q₃p₀))

=













q₀p₀−q₁p₁−q₂p₂−q₃p₃ q₀p₂−q₁p₃+q₂p₀+q₃p₁ +i(q₀p₁+q₁p₀+q₂p₃−q₃p₂) +i(q₀p₃+q₁p₂−q₂p₁+q₃p₀)

−q₀p₂+q₁p₃−q₂p₀−q₃p₁ q₀p₀−q₁p₁−q₂p₂ −q₃p₃ +i(q₀p₃+q₁p₂−q₂p₁ +q₃p₀) −i(q₀p₁+q₁p₀+q₂p₃−q₃p₂)













=

q₀+iq₁ q₂+iq₃

−q₂+iq₃ q₀−iq₁

p₀+ip₁ p₂+ip₃

−p₂+ip₃ p₀−ip₁

= ψ(q)ψ(p)

3.2 Predstavitev z realno matriko

Ker je algebra kvaternionov asociativna, jo lahko preuˇcimo z matrikami. Vze- mimo naslednje ˇstiri realne 4×4 matrike.

I =









0 1 0 0

−1 0 0 0 0 0 0 −1

0 0 1 0









J =









0 0 1 0

0 0 0 1

−1 0 0 0

0 −1 0 0









K =









0 0 0 1

0 0 −1 0

0 1 0 0

−1 0 0 0









I =









1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1









Oglejmo si mnoˇzico 4×4 matrik.

H^MR := {aI +bI+cJ+dK;a, b, c, d∈R}

=



















a b c d

−b a −d c

−c d a −b

−d −c b a









;a, b, c, d∈R









 TRDITEV:

Obstaja izomorfizem kvaternionovHinHMR, definiran na naslednji naˇcin:

φ:H−→H^MR

φ{q₀+iq₁ +jq₂+kq₃}=q₀I+q₁I+q₂J+q₃K

DOKAZ:

Imejmo dva kvaternionap=p₀+ip₁+jp₂+kp₃ inq=q₀+iq₁+jq₂+kq₃. Slika vsote je enaka:

φ(p+q) = φ(p₀+q₀+i(p₁+q₁) +j(p₂+q₂) +k(p₃+q₃))

=









p₀+q₀ −(p₁+q₁) −(p₃+q₃) −(p₂ +q₂) p1+q1 p0+q0 −(p2+q2) p3+q3

p₃+q₃ p₂+q₂ p₀+q₀ −(p₁ +q₁) p₂+q₂ −(p₃+q₃) p₁+q₁ p₀+q₀









35

=









p₀ −p₁ −p₃ −p₂ p1 p0 −p2 p3

p₃ p₂ p₀ −p₁ p₂ −p₃ p₁ p₀







 +









q₀ −q₁ −q₃ −q₂ q1 q0 −q2 q3

q₃ q₂ q₀ −q₁ q₂ −q₃ q₁ q₀









= φ(p) +φ(q)

Poglejmo ˇse sliko produkta:

φ(pq) = φ(p₀q₀−p₁q₁−p₂q₂−p₃q₃+i(p₀q₁+p₂q₃−p₃q₂+p₁q₀) +j(p₀q₂+p₃q₁−p₁q₂+p₂q₀) +k(p₀q₃+p₁q₂−p₂q₁ +p₃q₀))

=









r₀ −r₁ −r₂ −r₃ r₁ r₀ −r₃ r₂ r2 r3 r0 −r1

r₃ −r₂ r₁ r₀









=









p₀ −p₁ −p₂ −p₃ p₁ p₀ −p₃ −p₂ p₂ p₃ p₀ −p₁ p₃ −p₂ p₁ p₀









·









q₀ −q₁ −q₂ −q₃ q₁ q₀ −q₃ q₂ q₂ q₃ q₀ −q₁ q₃ −q₂ q₁ q₀









= φ(p)·φ(q)

3.3 Ali lahko vektor predstavimo s kvaterni- onom?

Imejmo vektorv∈R³ in kvaternionv ∈H. Poljubnemu vektorjuv= (a, b, c) priredimo kvaternionv =ai+bj+ck, ki ima realno komponento enako niˇc, za imaginarne komponente pa komponente vektorja v. Kvaternion, ki ima realno komponento enako niˇc, imenujemo ˇcisti kvaternion. Mnoˇzico ˇcistih kvaternionov bomo oznaˇcili sH0. ˇCisti kvaternion lahko zapiˇsemo s pomoˇcjo vektorja na naslednji naˇcin:

v∈R³ ←→v = 0 +v= (0,v)∈H⁰ ⊂H.

Predpostavimo, da kvaternion q ∈ H predstavlja rotacijo in da moramo najti slikow∈R³ vektorja v∈R³, pri ˇcemer uporabimo pravilo produkta

w=qv

Produkt kvaternionaq in vektorjavni vedno definiran, razultat pa mora biti vedno vektor.

qv = (q₀+q)(0 +v)

= q₀·0−q·v+ 0·q+q₀v+q×v

= −q·v+q₀v+q×v

Ta enakost nam pove, da rezultat ni nujno element mnoˇzice H0.

Rezultat ne predstavlja vektorja v R³, razen v primeru, ko je q·v= 0, kar pa pomeni, da sta qin vpravokotna.

Slika 3.1: Povezava med vektorjem in kvaternionom (Vir: Kuipers, 1999, str. 115)

Vsoto poljubnih dveh vektorjev iz R³ lahko predstavimo kot vsoto ˇcistih kvaternionov, ˇcesar pa ne moremo trditi za ostale raˇcunske operacije, kot bomo prikazali v nadaljevanju.

3.4 Mnoˇ zenje ˇ cistega kvaterniona s kvater- nionom

Imejmo kvaternion q in ˇcisti kvaternion p, ki sta podana na naslednji naˇcin:

q=q₀+q 37

in

p= 0 +p Njun produkt je enak:

qp = (q₀+iq₁+jq₂+kq₃)(0 +ip₁ +jp₂+kp₃)

= 0 +iq₀p₁+jq₀p₂+kq₀p₃+ 0 +i²q₁p₁+ijq₁p₂+ikq₁p₃+ 0 +jiq₂p₁+j²q₂p₂+jkq₂p₃+ 0 +kiq₃p₁+kjq₃p₂ +k²q₃p₃

= −(q₁p₁+q₂p₂+q₃p₃) +i(q₀p₁+q₂p₃−q₃p₂)

= +j(q0p2−q1p3+q3p1) +k(q0p3+q1p2−q2p1)

Ce zmnoˇˇ zimo kvaternion in ˇcisti kvaternion, ne dobimo ˇcistega kvaterni- ona, ker realna komponenta ni enaka niˇc.

Kaj pa, ˇce zmnoˇzimo tri kvaternione?

Imejmo kvaterniona q in r ter ˇcisti kvaternion p, ki so podani sledeˇce:

q =q₀+q r=r₀+r p= 0 +p Kaj je produkt teh treh kvaternionov?

Po definiciji produkta velja, da je realna komponenta produktaqprenaka:

−r₀(qp)−q₀(pr)−(q×p)r Zelimo, da je konˇˇ cni produkt enak ˇcistemu kvaternionu.

Predpostavimo, da mora veljati:

r₀ =q₀

Ce to upoˇstevamo, je realna komponenta produkta enaka:ˇ

−q₀(q+r)·p−(q×p)r Realni del bo 0, ˇce bo −q=r. To pa pomeni

r =r₀+r=q₀−q=q^∗ =⇒r=q^∗

Produkt treh kvaternionov, od katerih je kvaternion p ˇcisti kvaternion, tretji faktor pa je konjugirani prvi faktor, lahko zapiˇsemo na dva naˇcina:

qpq^∗ ali

q^∗pq

V obeh primerih je produkt ˇcisti kvaternion.

Trojni produkt lahko definiramo tako:

w₁ =qvq^∗ in

w₂ =q^∗vq

Geometriska predstava trojnega produkta je ilustrirana na spodnji sliki.

Slika 3.2: Operator kvaterniona (Vir: Kuipers, 1999, str. 117)

Ali obstaja povezava med kotom in kvaternionom?

Imamo enotski kvaternion q = q₀ +q, to pomeni, da ima normo enako ena. Iz definicije norme sledi:

q²₀+|q|² = 1

Iz trigonometrije vemo, da za poljuben kot θ velja:

cos²θ+ sin²θ= 1 39

Torej mora obstajati tak kotθ, da velja:

cos²θ =q₀² in

sin²θ =|q|²

Kot θ bomo omejili na obmoˇcje −π < θ ≤π.

Tako imamo kot θ povezan s kvaternioni.

Poiskati moramo naˇcin, kako zapisati kvaternionq =q₀+qz danim ko- tom θ.

Definirati moramo ˇse enotski vektor u, ki predstavlja smer q:

u = q

|q| = q sinθ

Enotski kvaternion q lahko zapiˇsemo s kotom θ in vektorjemu na nasle- dnji naˇcin:

q=q0+q= cosθ+usinθ

Ce zamenjamoˇ θ s −θ, dobimo konjugirani kvaternion q^∗. cos(−θ) +usin(−θ) = cosθ+u(−sinθ)

= cosθ−usinθ

= q^∗

3.5 Poseben produkt kvaternionov

Imejmo enotska kvaterniona q inp, ki imata enak vektor u.

q = cosα+usinα p = cosβ+usinβ

Izraˇcunajmo produkt qp.

r =qp = (cosα+usinα)(cosβ+usinβ)

= cosαcosβ−(usinα)·(usinβ) + cosα(usinβ) + cosβ(usinα) +usinα×usinβ

= cosαcosβ−sinαsinβ +u(sinαcosβ+ cosαsinβ)

= cos(α+β) +usin(α+β)

= cosγ+usinγ =r

Ce zmnoˇˇ zimo dva kvaterniona q inp, ki imata enak vektor u, je produkt kvaternion, ki zopet vsebuje vektor u. Kot γ pa je enak:

γ =α+β

Kvaterniona z istim enotskim vektorjem u komutirata, torej:

qp =pq

Od tod bo sledilo, da kvaternioni predstavljajo rotacije.

Naj bo q enotski kvaternion inw=qvq^∗. Potem je norma N(w) enaka:

N(w) = N(qvq^∗)

= N(q)N(v)q)N(q^∗)

= 1·N(v)·1

= N(v) Enako velja tudi za w=q^∗vq.

Imejmo kvaternion q=q₀+qin vektorv= 0 +v. Produkt w=qvq^∗ je enak:

w = qvq^∗

= (q₀ +q)(0 +v)(q₀−q)

= (2q₀²−1)v+ 2(q·v)q+ 2q0(q×v)

= (q₀²− |q|²)v+ 2(q·v)q+ 2q₀(q×v)

41

Poglavje 4

ROTACIJE IN KVATERNIONI

Videli bomo, da je enotski kvaternionq podan kot:

q = cosθ+usinθ,

kjer jeuenotski vektor, ekvivalenten rotaciji za kot 2θokoli osi definirani zu.

4.1 Operator rotacije

Trojni produkt kvaternionov, ki smo ga ˇze omenili na strani 32, lahko poi- menujemo operator rotacije. Oznaˇcimo ga z L_q, definiramo pa sledeˇce:

L_q(v) := qvq^∗ kjer je q kvaternion, v pa vektorv∈R³.

Po definiciji produkta je operator rotacije enak:

L_q(v) = (q₀²− |q|²)v+ 2(q·v)q+ 2q₀(q×v) kjer je q0 = cosθ in q=usinθ.

Rotacija okoli osi, ki jo predstavlja vektorw, je taka operacija, ki vektorje, ki so kolinearni vektorjuw, ohranja, vse pravokotne vektorje pa preslika tako, da je med originalom in njegovo sliko vedno isti kot.

L_q je linearni operator, to pomeni, da za poljubna dva vektorja a,b∈R³ in poljuben skalark ∈R velja:

L(ka+b) = kL_q(a) +L_q(b) DOKAZ:

L(ka+b) = q(ka+b)q^∗

= (kqa+qb)q^∗

= kqaq^∗+qbq^∗

= kLq(a) +Lq(b)

Norma operatorja je enaka

||L_q||=|v|

DOKAZ:

Ce jeˇ q enotski kvaternion, je njegova norma enaka 1.

L_q(v) =qvq^∗

N(L_q(v)) =N(qvq^∗) =N(q)·N(v)·N(q^∗) = 1·N(v)·1 = N(v)

4.1.1 Dokaz, da je operator rotacije res rotacija

Imejmo kvaternion q=q₀+q in vektor v=a+n. Dokazati ˇzelimo, da pri operatorju rotacije qvq^∗ ostane komponenta a nespremenjena, komponenta n pa je rotacija okoli qza kot 2θ. Ker je operator rotacije linearen in ker je vektor v enak vsoti dveh komponent, lahko operator rotacije qvq^∗ predsta- vimo kot rotacijo v R³ za kot 2θ okoli osi q.

a) Imejmo kvaternion q=q₀ +q in vektorv∈R³. Zapiˇsimo vektor v kot:

v=a+n

kjer je a vzporedna komponenta k vektorskemu delu kvaterniona q in n pravokotna komponenta.

43

Ker vektora leˇzi vzporedno z vektorjem q, lahko zapiˇsemo a kot pro- dukt skalarja inq:

a=kq

Ce to vstavimo v enaˇˇ cbo, ki jo ˇzelimo dokazati, dobimo:

L(a) =L_q(kq) = kq=a Ugotovimo, da se komponentaa res ne spremeni.

b) Dokazati ˇzelimo, da linearni operator L_q rotira komponenton za kot 2θ okoli osiq.

L_q(n) = (q₀²− |q|²)n+ 2(q·n)q+ 2q₀(q×n)

= (q₀²− |q|²)n+ 2q0(q×n)

= (q₀²− |q|²)n+ 2q₀|q|(u×n)

pri ˇcemer je u= _|q|^q . ˇCe je u×n=n⊥, lahkoL_q(n) zapiˇsemo kot:

L_q(n) = (q₀²− |q|²)n+ 2q₀|q|n_⊥

c) Dokazati moramo ˇse, da imata vektorja n inn⊥ enaki dolˇzini.

Iz definicije vektorskega produkta vemo, da je kot med n in n⊥ enak

π

2. Ker je sin^π₂ = 1, lahko zapiˇsemo:

|n⊥|=|n×u|=|n||u|sinπ 2 =|n|

Z uporabo trigonometrije lahko zapiˇsemo:

Lq(n) = (cos²θ−sin²θ)n+ (2 cosθsinθ)n⊥

= cos 2θn+ sin 2θn⊥

Slika 4.1: Komponente rotiranega vektorja (Vir: Kuipers, 1999, str. 130)

d) Dokazali smo:

w = qvq^∗

= L_q(v)

= L_q(a+n)

= L_q(a) +L_q(n)

= a+m kjer je m=L_q(n) = cos 2θn+ sin 2θn⊥.

Slika 4.2: Geometrijska predstavitev operatorja rotacije

(Vir: Kuipers, 1999, str. 131)

45

Na danem dokazu temeljita naslednja dva izreka.

IZREK 1:

Za vsak enotski kvaternion:

q=q₀+q= cosθ+usinθ

in za vsak vektor v∈R³ operator Lq(v) =qvq^∗ geometrijsko interpretiramo kot rotacijo vektorja v za kot 2θ okoli q, ki predstavlja os rotacije.

Rotacijo, ki jo opisuje izrek 1, imenujemo rotacija vektorja. Ker sta moˇzna dva trojna produktaqvq^∗ inq^∗vq, lahko vzamemo za operator rotacije tudi drugi produkt. Tako je lahko operator enak:

L_q^∗(v) =q^∗vq Tudi za ta operator lahko zapiˇsemo izrek.

IZREK 2:

Za vsak enotski kvaternion:

q=q₀+q= cosθ+usinθ

in za vsak vektorv∈R³ lahko operatorL_q^∗(v) = q^∗vq geometrijsko interpre- tiramo kot rotacijo koordinatnega sistema glede na vektor v za kot 2θ okoli osi q, ki predstavlja os rotacije.

Pri tej rotaciji je vektor v fiksen. To rotacijo imenujemo tudi rotacija sistema.

Rotacijo okoli vektorja v za kotθ bomo zapisali sledeˇce:

R[v, θ]

Rotacijo toˇcke P v P⁰pa zapiˇsemo:

R[v, θ]P =P⁰

4.2 Rotacija vektorja v prostoru R

V tridimenzionalnem prostoru R³ zapiˇsemo poljubno toˇcko s koordinatami P = (x, y, z). Koordinate izhodiˇsˇca so O = (0,0,0). Vektor v je usmerjena daljica, ki ima zaˇcetek v izhodiˇsˇcu O in konec v toˇckiP.

Zaˇcnimo z rotacijo koordinatnega sistema, medtem ko je vektor fiksen.

Doloˇciti ˇzelimo koordinate vektorja, ki so povezane z rotiranim sistemom. ˇSe veˇc, doloˇciti ˇzelimo rotacijsko matrikoA tako, da bo veljala enakost:

v2 =Av1

pri ˇcemer je v1 vektor, ki ga bomo rotirali, v2 pa vektor, ki ga z rotacijo dobimo.

Navesti moramo, okoli katerih osi bomo rotirali.

Rotacijska matrika A, ki jo iˇsˇcemo, mora biti 3×3 matrika, ortogonalna in njena determinanta mora biti enaka +1.

Predpostavimo, da rotiramo za kot θ okoli osi, ki jo predstavlja vektor v. Skalarni produkt dveh vektorjev je enak rotaciji, kar pomeni, da za dva vektorja v₁ inv₂ velja:

(Av₁)^t(Av₂) =v₁^tv₂ Toda, potem imamo:

v1t

A^tAv2 =v1t

v2

ali

v₁^tA^tAv₂−v₁^tv₂ = 0 Potem je:

v₁^t(A^tA−I)v₂ = 0

Ker mora zadnja enakost veljati za poljuben par vektorjevv₁ inv₂, mora biti:

A^tA−I = 0 Od tod sledi, da je:

A^tA=I 47

To je dokaz, da je matrika A ortogonalna.

Dokazati pa moramo ˇse, da je det(A) = 1.

Vemo, da velja det(A^t) = det(A) in da je determinanta produkta enaka produktu determinant.

Ce jeˇ A ortogonalna, potem velja:

(det(A))² = det(A^t)det(A)

= det(A)

= det(A)

= 1

Torej je det(A) lahko +1 ali −1. Ker pa velja ”pravilo desne roke”, je det(A) = +1.

Naj bosta vektorja v₁ in v₂ podana tako: v₁ = (x₁, y₁, z₁) in v₂ = (x₂, y₂, z₂).

Vektor v₁ bomo rotirali okoli osi z za kot ψ. Pri rotaciji okoli osi z se koordinati v x in y smeri spremenita, v smeri osi z pa koordinata ostane enaka.

x₂ = x₁cosψ+y₁sinψ y₂ = −x₁sinψ+y₁cosψ z₂ = z₁

Zgornje enakosti preoblikujemo tako, da bomo lahko kasneje zapisali ma- trike.

x₂ = x₁cosψ+y₁sinψ+ 0·z₁ y₂ = −x₁sinψ+y₁cosψ+ 0·z₁ z₂ = 0·x₁+ 0·y₁+ 1·z₁

Zapiˇsimo to z matrikami.



 x2

y₂ z₂



 =





cosψ sinψ 0

−sinψ cosψ 0

0 0 1







 x1

y₁ z₁





Iz tega sklepamo, da je rotacija v R³ okoli osi z za kot ψ definirana z matriko:

R_ψ =





cosψ sinψ 0

−sinψ cosψ 0

0 0 1





Podobno lahko definiramo ˇse rotacijo okoli osiyza kotθ, ki jo predstavlja matrika:

R_θ =





cosθ 0 −sinθ

0 1 0

sinθ 0 cosθ





In ˇse rotacijo okoli osi x za kot φ.

R_φ=





1 0 0

0 cosφ sinφ 0 −sinφ cosφ





4.3 Kompozitum dveh rotacij

Naj bostap in q dva enotska kvaterniona, ki definirata operatorja rotacij:

L_p(a) =pap^∗ in

L_q(b) =qbq^∗ Naj bo u vektor za katerega velja:

v=L_q(u) = quq^∗ Definirajmo vektor w kot

w = L_p(v)

= pvp^∗

= p(quq^∗)p^∗

= (pq)u(pq)^∗ =L_pq(u) 49

Uporabili smo kompozitum dveh operatorjevL_qinL_p, kar lahko oznaˇcimo L_q◦L_p. Ker sta pin q enotska, je tudi njun produkt qp enotski.

IZREK 3:

Predpostavimo, da sta q in p enotska kvaterniona, ki definirata operatorja rotacije

L_p(u) =pup^∗ in

L_q(v) =qvq^∗

Potem produkt kvaternionov qp definira operator rotacije L_qp, ki predstavlja zaporedje operatorjev, L_p sledi operatorju L_q. Os in kot rotacije sta tista, ki ju dobimo pri produktu kvaternionov qp.

Ugotovimo, da je zaporedje dveh rotacij zopet rotacija.

Slika 4.3: Kompozitum dveh rotacijL_q◦L_p (Vir: Kuipers, 1999, str. 134)

Zaporedje dveh rotacij lahko zapiˇsemo tudi tako:

R[a, α]R[b, β]

kar pomeni rotacijiR[a, α] sledi rotacijaR[b, β].

4.4 Eulerjevi koti

Leonard Euler (1707−1783) je odkril teorem povezan z rotacijami.

EULERJEV TEOREM:

Poljubna rotacija (ali zaporedje rotacij) okrog neke toˇcke je ekvivalentna eni sami rotaciji okrog neke osi skozi to toˇcko.

Kote rotacij okoli koordinatnih osi imenujemo Eulerjevi koti. Eulerjevi koti imajo posebna imena:

ψ = precesijski kot θ = nutacijski kot φ= kot zasuka

Zaporedje rotacij pogosto imenujemo tudi zaporedje Eulerjevih kotov.

Moˇznih je dvanajst razliˇcnih zaporedij treh rotacij, to so:

xyz, yzx, zxy, xzy, yxz, zyx, xyx, yzy, zxz, xzx, yxy, zyz

Podrobneje si oglejmo zaporedje treh rotacij okoli osi zyx. To je zapo- redje Eulerjevih kotov, ki se navadno uporablja v letalstvu, imenujejo pa ga operator vrtenja. Pomeni pa

1. rotacija okoli z-osi za kot ψ 2. rotacija okoli nove y-osi za kot φ 3. rotacija okoli nove x-osi za kot θ

Imejmo kvaternion q =q₀+iq₁+jq₂+kq₃.

Pri rotaciji okoli osi z za Eulerjev kot ψ dobimo naslednjo enaˇcbo:

q_z = cosψ

2 +ksinψ 2

Pri rotaciji okoli nove osi y za Eulerjev kot θ dobimo:

qy = cosθ

2+jsinθ 2

Pri rotaciji okoli nove osi xza Eulerjev kot φ dobimo:

q_x = cosφ

2 +isinφ 2 51