Pisni izpit pri predmetu KOMBINATORIKA IN VERJETNOST 27. januar 2015 1.

(1)

Univerza v Mariboru

Fakulteta za naravoslovje in matematiko Oddelek za matematiko in ra£unalni²tvo Izobraºevalna matematika

Pisni izpit pri predmetu KOMBINATORIKA IN VERJETNOST

27. januar 2015

1. [25]Naj bo n∈N inn ≥3. n prijateljic se ºeli nau£iti plesati. V mestu so na voljo 3 razli£ne plesne ²ole. Na koliko na£inov se lahko prijateljice vpi²ejo v plesne ²ole, £e

(a) ni nobenih omejitev?

(b) je Ana skregana z Brino in Cvetko, ter zato no£e obiskovati iste ²ole kot onidve?

(c) se prijateljice vpisujejo v plesne ²ole v "parih"(nobena si plesne ²ole ne ºeli obiskovati sama, ampak se v ²olo vpi²e ²e z neko prijateljico)?

2. [25] Na tekmovanju alpskih smu£ark nastopa pet Avstrijk, ²tiri vicarke in tri Italijanke. Na koliko na£inov jim lahko dodelimo ²tartne ²tevilke tako, da smu£arke iz iste drºave nikoli ne bodo dobile zaporednih ²tartnih ²tevilk?

3. [25]Igralca izmeni£no me£eta dve razli£ni igralni kocki. Zmaga igralec, ki prvi vrºe kocki tako, da je vsota pik 8 ali 9. Kak²na je verjetnost, da zmaga igralec, ki je igro za£el?

4. [25]Trije proizvajalci dobavljajo tovarni enake polizdelke v razmerju 5 : 3 : 2. Med polizdelki prvega proizvajalci je 95% kvalitetnih, med tistimi od drugega je 90% kvalitetnih in od tretjega 85% kvalitetnih.

(a) Naklju£no izberemo polizdelek. Kolik²na je verjetnost, da je kvaliteten?

(b) Kolik²na je verjetnost, da je naklju£no izbrani kvaliteten polizdelek proizvedel prvi proi- zvajalec?

Navodila:

• Pozorno preberi vsako vpra²anje in vsak odgovor skrbno utemelji. Odgovori brez utemeljitve ne bodo to£kovani.

• Dovoljeni pripomo£ki so: kemi£ni svin£nik, svin£nik, radirka, kalkulator, matemati£ni priro£nik in en ro£no zapisan list s formulami.

(2)

19. junij 2015

1. [25] Mednarodne konference sta se udeleºila po dva predstavnika iz petih razli£nih drºav. Na koliko na£inov se lahko udeleºenci konference posedejo za okroglo mizo z 10 stoli, £e:

(a) morajo predstavniki istih drºav sedeti skupaj?

(b) nobena dva predstavnika iste drºave ne smeta sedeti skupaj?

2. [25] Pot dolºine n tlakujemo s sivimi in rde£imi tlakovci, obojih imamo na razpolago vsaj n. Tlakovcev med seboj razen po barvi ne lo£imo. Na koliko na£inov lahko pot tlakujemo tako, da

(a) bodo rde£i tlakovci stali skupaj?

(b) dva rde£a tlakovca nikoli ne bosta poloºena eden za drugim?

Opomba: e naloge ne znate re²iti za splo²en n, jo re²ite za n = 8. Pravilna re²itev v tem posebnem primeru prina²a 15 to£k.

3. [25]Iz intervala [0,1] naklju£no izberemo dve ²tevili. Ozna£imo dogodka A inB: A: Vsota izbranih ²tevil je manj²a od treh £etrtin.

B : Obe ²tevili sta bodisi manj²i, bodisi ve£ji od ene polovice.

Izra£unajte verjetnosti dogodkovA, B, A|B in B|A.

4. [25] V posodi so 4 bele in 3 rde£e kroglice. Naklju£no izberemo kroglico in je ne vrnemo v posodo. Postopek ponavljamo, dokler ne izberemo rde£e kroglice. Naj naklju£na spremenljivka X meri ²tevilo izvle£enih kroglic vklju£no z zadnjo rde£o kroglico.

(a) Zapi²ite verjetnostno in porazdelitveno funkcijo naklju£ne spremenljivke X. (b) Izra£unajte matemati£no upanje in disperzijo naklju£ne spremenljivke X.

Navodila:

• Pozorno preberite vsako vpra²anje in vsak odgovor skrbno utemeljite. Odgovori brez utemeljitve ne bodo to£kovani.

• as re²evanja je 120 minut.

(3)

Univerza v Mariboru

Pisni izpit pri predmetu KOMBINATORIKA IN VERJETNOST

3. julij 2015

1. [20] Na lokostrelsko tekmovanje je prijavljenih 20 tekmovalcev, od tega 5 deklet in 15 fantov.

(a) Na koliko na£inov lahko zaporedoma nastopijo vsi tekmovalci?

(b) Na koliko na£inov lahko nastopijo tako, da nobeni dve dekleti ne streljata zaporedoma?

2. [25] Poi²£ite splo²ni £len rekurzivno podanega zaporedja a_n−a_n−2 = 4(a_n−1−a_n−3), kjer je a₀ = 2, a₁ =a₂ = 7.

3. [30] V treh ko²arah so sadeºi razporejeni takole:

1. ko²ara: 6 jabolk, 5 hru²k;

2. ko²ara: 4 jabolka, 3 hru²ke;

3. ko²ara: 5 jabolk, 4 hru²ke;

(a) Seºemo v naklju£no izbrano ko²aro in iz nje naklju£no naenkrat izberemo dva sadeºa.

Kolik²na je verjetnost, da smo izbrali dve hru²ki?

(b) Kolik²na je verjetnost, da smo sadeºa izbrali iz tretje ko²are, £e vemo, da sta bili izbrani dve hru²ki?

(4)

Navodila:

• Pozorno preberite vsako vpra²anje in vsak odgovor skrbno utemeljite. Odgovori brez utemeljitve ne bodo to£kovani.

• as re²evanja je 120 minut.

(5)

Univerza v Mariboru

Pisni izpit pri predmetu KOMBINATORIKA IN VERJETNOST

26. avgust 2015

1. [15]V razvoju binoma √

x+_3x¹2

10

izra£unajte prosti £len (t.j. koecient, ki ne vsebuje x-a).

2. [15]Koliko 7-mestnih naravnih ²tevil, sestavljenih iz ²tevk 1, 2, 3, 4 in 5 je takih, ki vsebujejo natanko ²tiri sode ²tevke?

3. [25] 2n otrok posedemo na vrtiljak z 2n o²tevil£enimi stoli tako, da na vsakem stolu sedi en otrok. Na koliko na£inov se lahko otroci presedejo tako, da nih£e ne bo sedel nasproti istega otroka kot pred presedanjem?

4. [20] V prvi skupini je 200 izdelkov, od tega 10 pokvarjenih, v drugi skupini pa 150 izdelkov, od tega jih je 9 pokvarjenih. Iz naklju£no izbrane skupine izberemo en izdelek.

(a) Kolik²na je verjetnost, da je izbrani izdelek kvaliteten?

(b) Kolik²na je verjetnost, da smo kvaliteten izdelek izbrali iz prve skupine?

5. [25] Naklju£no izberimo dve razli£ni ogli²£i pravilnega 6-kotnika s stranico a. Vrednost naklju£ne spremenljivkeXje dolºina najkraj²e poti po obodu 6-kotnika med izbranima ogli²£ema.

(a) Zapi²ite verjetnostno in porazdelitveno funkcijo naklju£ne spremenljivke X. (b) Izra£unajte matemati£no upanje in disperzijo naklju£ne spremenljivke X.

Navodila:

• Pozorno preberi vsako vpra²anje in vsak odgovor skrbno utemelji. Odgovori brez utemeljitve ne bodo to£kovani.