UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA PROGRAM: MATEMATIKA - TEHNIKA
RAZUMEVANJE ŠTEVILA NIČ PRI ŠESTOŠOLCIH DIPLOMSKO DELO
Mentorica: Kandidatka:
izr. prof. dr. Tatjana Hodnik Čadež Alenka Žnidaršič
Ljubljana, avgust 2016
ZAHVALA
Zahvaljujem se mentorici, dr. Tatjani Hodnik Čadež, za sprejem pod svoje mentorstvo in nudenje strokovne pomoči. Hvala za spodbudo in motivacijo, ki ste mi jo tekom konzultacij namenili. Hvala Vam za pomoč pri dokončanju mojega študija.
Posebej bi se zahvalila prijatelju Urošu Rajkoviču, brez katerega mi danega diplomskega dela ne bi uspelo začeti pisati. Hvala ti za vse nasvete, čas in trud ter spodbudne besede.
Zahvalila bi se partnerju Gregorju za vsako spodbudno besedo in vso podporo, ki si mi jo izkazal v obdobju zaključevanja študija.
Ne nazadnje se zahvaljujem svoji družini, ki me je ves čas mojega študija podpirala (finančno in moralno). Hvala mami Mileni in očetu Ivanu, da sta mi nesebično pomagala tekom študija in bila vesela vsakega opravljenega izpita. Prav tako hvala družini Žerjav, ker ste mi pomagali pri čuvanju moje Emice. Hvala tebi – Emica, ker si bila tako potrpežljiva in me v stresnih trenutkih vedno spravila v dobro voljo.
Hvala.
IZVLEČEK
Število nič je dolgo predstavljalo le odsotnost količine. Enega večjih matematičnih preskokov so naredili Hindujci v 9. stoletju našega štetja, ko so število nič začeli dojemati kot količino samo. Iz praznega prostora, ki je v začetku simboliziral število nič, je matematik Brahmagupta leta 628 našega štetja uvedel še danes obstoječ simbol za zapis števila nič (0). Tako smo pridobili simbol za število nič in znanje, s katerim lahko v življenju operiramo. Do spoznanja, da dano število izstopa iz množice celih števil, so prihajali različni avtorji. Iz tega ni težko sklepati, da imajo tudi učenci osnovnošolskega programa z razumevanjem števila nič kar nekaj težav. Dodatne nejasnosti se pri učencih pokažejo, ko število nič nastopi kot mestna vrednost v decimalnem številu.
Tekom preučevanja števila nič smo se odločili, da raziščemo, kakšne težave šestošolcem predstavlja razumevanje danega števila. S pomočjo preverjanja znanja smo preverjali uspešnost reševanja matematičnih nalog (računske operacije, primerjanje, urejanje in pozicioniranje), ki so vezane na razumevanje tega števila. Zanimala nas je tudi primerjava med spoloma in korelacija med uspešnostjo reševanja matematičnih vsebin, vezanih na število nič, v primerjavi z oceno pri matematiki. Podatke smo pridobili od 30 učenk in učencev šestih razredov na dveh različnih osnovnih šolah.
Raziskovalni del diplomske naloge nas je privedel do ugotovite, da skoraj polovica učencev nima pravilne predstave o mestni vrednosti števil pri decimalnih številih, ki vključujejo števko nič. Dana mestna vrednost jim je bolj predstavljiva v računskih operacijah seštevanje, odštevanje in množenje. Lahko posplošimo, da deljenje s številom nič vsem učencem predstavlja težavo, ko nič nastopa v vlogi delitelja. Z osveščanjem osnovnošolskih učiteljev o naših ugotovitvah – da imajo učenci s številom nič v različnih pomenih težave – bi želeli zbuditi zavest o pomembnosti poučevanja števila nič pri pouku matematike.
Ključne besede:
število nič, računske operacije, decimalno število, mestna vrednost
ABSTRACT
The number zero represented the absence of quantity for a long time. One of the major breakthroughs was made by the Hindu in the 9th century B.C. as they started to comprehend the number zero also as a quantity. In the beginning, they used empty space to symbolize number zero. In 628 A.D. the mathematician Brahmagupta introduced a symbol for number zero (0) that we still use nowadays. This way we have gained the symbol for the number zero and knowledge that enables us to use arithmetics. Many authors have pointed out that the given number steps out of the set of integers. Based on the history, it is easy to understand that the pupils in primary schools also face difficulties understanding the number zero. Additional obscurity arises as the number zero is used as a place-holder in decimal numbers as a digit value.
In the process of studying the number zero we have decided to investigate difficulties of sixth grade pupils in primary schools understanding the number zero. We have carried out tests in order to examine their successfulness in solving mathematical tasks (arithmetic operations, comparison, sorting and positioning) related to the understanding of the number zero. We have studied also possible differences between male and female pupils and correlation among test results and pupils’ grades at mathematics. Tests were carried out on the sample of 30 pupils at two primary schools.Our research has shown that almost the half of the pupils has not yet perceived the number zero as a place holder in decimal numbers.
The meaning of number zero was better understood in the arithmetic operations such as addition, subtraction, multiplication and division. We can summarize that division by zero is a problem for most pupils. With raising awareness of primary school teachers on the problems of pupils understanding number zero, we would like to reawaken their interest on the importance of teaching concepts related to the number zero at mathematics.
Keywords:
number zero, arithmetic operations , decimal number, place value
KAZALO
1. UVOD ... 1
2. TEORETIČNI DEL ... 3
2.1 Nastanek števila nič ... 3
2.2 Dileme pri računanju s številom nič ... 7
2.3 Število nič v različnih vsakdanjih kontekstih ... 9
2.4 Nič v decimalnem zapisu ... 11
3. ŠTEVILO NIČ V OSNOVNI ŠOLI ... 14
3.1 Učni načrt in število nič ... 14
3.1.1 Prvo triletje ... 14
3.1.2 Drugo triletje... 15
3.1.3 Tretje triletje ... 17
3.2 Razumevanje števila nič ... 18
3.3 Težave pri razumevanju pomenov števila nič med učenci ... 23
4. EMPIRIČNI DEL ... 30
4.1 Problem in cilji raziskave ... 30
4.1.1 Opredelitev problema ... 30
4.1.2 Cilj in raziskovalna vprašanja ... 31
4.2 Metodologija ... 32
4.2.1 Metoda in raziskovalni pristop ... 32
4.2.2 Vzorec ... 32
4.2.3 Opis postopka zbiranja podatkov ... 32
4.2.4 Postopki obdelave podatkov ... 33
4.3 Rezultati in interpretacija ... 34
4.4 Povzetek ugotovitev ... 60
5. ZAKLJUČEK ... 64
6. LITERATURA ... 66
7. PRILOGE ... 70
KAZALO SLIK
Slika 1: Babilonski šestdesetiški zapis števil ... 3
Slika 2: Babilonski simbol za ponazoritev praznega prostora ... 4
Slika 3: Babilonski zapis števil 3635 in 216035 s simbolom za prazen prostor ... 5
Slika 4: Mednarodna oznaka za javno stranišče... 9
Slika 5: Primer registrske tablice avtomobila, kjer se pojavlja simbol nič ... 10
Slika 6: Prikaz različnega zapisa istega časa ... 10
Slika 7: Mestni desetiški številski sestav ... 11
Slika 8: Mestni desetiški številski sestav decimalnih števil ... 11
Slika 9: Pretvarjanje merskih enot (masa)... 13
Slika 10: Graf linearne funkcije y = 2x + 3 ... 29
Slika 11: Primer pravilno rešene prve naloge z dopisanimi števili v rubriki »drugo« ... 37
Slika 12: Primer stranskih izračunov za izraz (250 : 50) : 0 ... 39
Slika 13: Prikaz napačnega pisnega odštevanja ... 43
Slika 14: Različna načina pravilnega pisnega odštevanja s prehodom preko desetink ... 44
Slika 15: Stranski račun pisnega deljenja dveh decimalnih števil ... 45
Slika 16: Primer napačno urejenih števil od najmanjšega proti največjemu ... 50
Slika 17: Primer razporeditve števil glede na število števk ... 50
Slika 18: Primer prikazovanja števil – vključno s številom nič – na številski osi ... 51
Slika 19: Prikaz prečrtanih števil, ki so razporejena na številski osi ... 51
Slika 20: Primer napačno rešene osme naloge preizkusa znanja ... 52
Slika 21: Primer napačnih rešitev osme naloge iz preizkusa ... 53
Slika 22: Primer urejanja števil, kjer učenec med števili uporabi znak »je manjše« (<) ... 57
KAZALO GRAFOV IN TABEL
Graf 1: Prikaz uspešnosti učencev pri posamezni nalogi preizkusa ... 34
Graf 2: Prikaz ocen pri predmetu matematika v primerjavi z uspešnostjo preizkusa znanja ... 35
Graf 3: Prikaz uspešnosti pri deljenju s številom 0 ... 38
Graf 4: Uspešnost odštevanja decimalnih števil, izražena v odstotkih pri 3. a, 3. b in 3. c nalogi... 42
Graf 5: Prikaz uspešnosti množenja dveh decimalnih števil v odstotkih ... 48
Graf 6: Prikaz uspešnosti reševanja osme naloge preizkusa znanja ... 54
Graf 7: Uspešnost razvrščanja števil po velikosti v povezavi s številom nič ... 55
Graf 8: Uspešnost pri primerjanju, urejanju in prikazovanju števil – vključno s številom nič ... 58
Tabela 1: Cene naftnih derivatov v obdobju od 10. 5. 2016 do 24. 5. 2016 ... 13
Tabela 2: Struktura vzorca glede na spol ... 32
1 1. UVOD
Če se v vsakdanjem življenju ozremo naokoli, je okoli nas vse polno števil. Ko je ura 7:00, nam zvoni budilka. Zatem popijemo 200 ml tople vode, se usedemo v avto in že upoštevamo omejitev hitrosti v naselju, ki znaša 50 km/h. Kaj je skupno vsem številom, ki jih srečujemo iz dneva v dan? Če zgoraj navedenim številom izvzamemo število nič, bi nastala prava zmeda, saj če čas opredelimo le z urami, izgubimo podatek o njegovi točnosti.
Če bi namesto 200 ml v kozarec natočili 20 ml ali celo 2 ml vode, bi občutili veliko razliko v potešitvi žeje. Tudi če se peljemo 5 km/h, kolikor je v povprečju hitrost naše hoje, je to bistveno počasneje, kot če se peljemo s hitrostjo 50 km/h. Iz navedenih primerov vidimo, kako pomembno vlogo zavzema števka nič v vsakdanjih kontekstih. Iz primerov lahko vidimo, da si življenja brez števila nič ne znamo predstavljati. Nič ne nastopa le v kontekstih, kjer skupaj z ostalimi števkami podaja neko numerično vrednost. Nič lahko izraža tudi nekaj, kar ne obstaja, ne biva, kot na primer »iz nič ni nič«. Največkrat se nič uporabi v prenesenem pomenu: »vse bo šlo v nič«, kar pomeni, da bo vse, kar je do sedaj nastalo, propadlo. V izrazu »vedno se prepirata za prazen nič« beseda nič nadomešča izraz brez razloga. Podali smo le nekaj različnih konceptov uporabe števila nič. Podrobneje si bomo različne pomene tega števila pogledali v teoretičnem delu diplomskega dela.
Teoretični del bomo začeli s podajanjem zgodovine števila nič, kako se je tekom stoletij zavest o pomembnosti števila nič dvigovala in do kakšnih zaključkov so prišli posamezni avtorji. Mnogo avtorjev je raziskovalo število nič in nekatere teorije o danem številu veljajo še danes. Medtem ko bomo na eni strani prikazovali različne teorije o številu nič in sam razvoj aritmetike, vezan na dano število, je na drugi strani avtorje razvojne psihologije in didaktike matematike zanimalo, kako učenci sprejemajo matematične vsebine, ki vključujejo razumevanje števila nič. Pregledali bomo, kako si učenci predstavljajo število nič in kako je to število vključeno v učni načrt matematike. Pri posameznem razredu bomo izpostavili problematiko, ki je povezana z napačnim razumevanjem števila nič.
V empiričnem delu bomo s pomočjo preizkusa znanja raziskovali, kako učenci v šestem razredu devetletnega osnovnošolskega programa razumejo število nič. Ali učenci na število nič gledajo kot na ostala števila (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) ali sámo število razumejo kot »čisto nič« in število nič povezujejo z odsotnostjo količine. V učnem načrtu šestega razreda učenci
2
svoje znanje števil razširijo na decimalna števila, kjer število nič dobi novo vlogo v sistemu mestnih vrednosti. Nadalje nas bo zanimalo, kako učenci razumejo sistem mestne vrednosti.
V ta namen bomo v preizkus znanja vključili naloge, kjer bodo učenci števila med sabo primerjali, urejali po velikosti in prikazovali na številski premici. Pri računanju s številom nič bo to število nastopilo kot člen računske operacije ali v povezavi s števili, pri katerih števka nič zavzema različne mestne vrednosti pri posameznih členih računa.
3 2. TEORETIČNI DEL
2.1 Nastanek števila nič
Do časa 1600 pred našim štetjem je nič predstavljalo »čisto nič«. Težavo so zaznali Babilonci, saj njihovo zaporedje simbolov ni bilo enopomensko opredeljeno. Prav oni so dodobra razvili šestdesetiški mestni številski sistem za pisanje števil in stvari razvrščali v skupine po 60 (danes je iz časa Babiloncev ohranjenih 60 sekund in 60 minut). Iz slike 1 je razvidno, katera dva klinasta simbola so Babilonci uporabljali za zapisovanje števil. Če si na spodnji sliki ogledamo števili 1 in 60, sta ti na pogled videti enako (enak klinast simbol so uporabili za dve različni števili), števili je bilo mogoče razlikovati le glede na lego oz.
položaj (število 60 je v prostorčku zapisano bolj levo, kar nakazuje odsotnost enic).
Babilonci so se zavedali težav, da je treba število, kjer je bil zapis z babilonskimi števili dvoumen, razbrati iz konteksta (Berlinghoff in Gouvea, 2008).
Slika 1: Babilonski šestdesetiški zapis števil
(vir: http://gwydir.demon.co.uk/jo/numbers/babylon/, 15. 5. 2016)
Težava je nastala pri zapisu števil, večjih od 60. Za primer poglejmo babilonski zapis števil 74 in 3614, kjer simbol ponazarja enko, simbol pa ponazarja deset.
4
74 =
3614 =
Na prvi pogled je videti, kot da sta števili 74 in 3614 zapisani enako (6 simbolov, ki si sledijo v enakem vrstnem redu). Prvi zapis (74) je predstavljen kot 601, ki mu prištejemo 10 in 4. Medtem je drugi zapis (3641) zapisan kot 602, ki mu prištejemo 10 in 4. Daljši odmik prvega simbola od nadaljnjih nam pri številu 3614 ponazarja odsotnost potence 601, kar je ponazorjeno z dolžino praznega prostora med tisočico (3) in stotico (6) števila 3614.
Da je potenca števila 60 pri številu izpuščena, so Babilonci sprva ponazarjali s praznim prostorom na ustreznem mestu. Enako dolžino praznega prostora je bilo težko zagotoviti, saj so Babilonci za zapise uporabljali glinene tablice. Tako je prazen prostor (med letoma 700 in 300 pred našim štetjem) nadomestil simbol pika, ki ga danes uporabljamo za ločilo, ki ponazarja konec povedi. Ta simbol so uporabili pri številih, kjer so želeli ponazoriti odsotnost določene potence števila 60. Namesto daljšega praznega prostora so zapisali piko in presledek med števili poenotili, kar vidimo v spodnjem primeru:
74 = 3614 = .
Ničla je tako na začetku predstavljala prazno mesto in tudi simbol za konec stavka (Berlinghoff in Gouvea, 2008).
Praznemu prostoru so Babilonci posvečali veliko pozornosti in tekom stoletij začeli uporabljati nov simbol, s katerim so zapisali odsotnost potence števila 60. Okoli 300 let pred našim štetjem so prazen prostor nadomestili s simbolom, prikazanim na sliki 2 (Razpet 2015).
Slika 2: Babilonski simbol za ponazoritev praznega prostora (Razpet, 2015)
5
V nadaljevanju si poglejmo, kako so simbol, ki je nadomestil prazen prostor, umestili med števila (slika 3). Na znanje velja vzeti, da so Babilonci pravilno določili števila brez danega simbola. Na sliki 3 je prikazan zapis dveh števil, in sicer na levi strani 3635 in na desni strani 216035. Število 3635 je sestavljeno kot 602, sledi simbol za odsotnost potence 601, ki mu prištejemo število 30 in 5. Število 216035 pa sestavlja 603, simbola za odsotnost potence 601 in 602, kateremu prištejemo število 30 in 5. Pri uvedbi danega simbola se razmak med simboli poenoti (Razpet, 2015).
Slika 3: Babilonski zapis števil 3635 in 216035 s simbolom za prazen prostor (Razpet, 2015)
Leta 600 so Hindujci razvili mestni desetiški sestav. Ta t. i. »desetiški sistem« uporabljamo še danes. Ti so za označitev praznega prostora uporabili krogec. V Evropo se je ta sistem razširil okoli 11. in 12. stoletja, razširili so ga Arabci. Arabci so za označitev praznega mesta uporabljali piko, saj je krogec simboliziral število 5. Indijci so besedo za odsotnost količine imenovali »sunja«, Arabci pa »sifr«. Evropejci so za odsotnost količine uporabljali
»zephirum«, kar je le napol polatinjena »cifra«. Zadnji dve besedi sta se razvili v še danes uporabljeni angleški besedi »zero« in »cipher« (ničla in številka). Hindujci so do 9. stoletja naredili miselni preskok, ki še dandanes velja za enega najpomembnejših matematičnih preskokov vseh časov. »Sunjo« (odsotnost količine) so začeli dojemati kot količino samo in s tem odprli vrata v razvoj algebre. Indijski matematiki so tako prišli do velikih, v večini pravilnih ugotovitev. Pomembnejše je samo dejstvo, da so se o odsotnosti količine začeli zanimati, jo poimenovali in jo upodabljali s poenotenim simbolom. Da premoreš ta miselni preskok, je treba na števila 0, 1, 2, 3 … gledati kot na neodvisne pojme – kot na stvari, ki jih opredeljuješ – brez razmišljanja o tem, kakšne objekte v resnici preštevaš. Pri številu nič pa je bila dodana posebnost, in sicer da ga navajamo celo tedaj, ko ne preštevamo ničesar (Berlinghoff in Gouvea, 2008).
Sami začetki uporabe zapisovanja števila 0 (kot ga zapisujemo še danes) se pripisujejo indijskemu matematiku Brahmagupti (Bentley, 2010). Število nič je bilo tako prvič
6
zapisano v njegovi knjigi Brahmasphutasiddhanta, kar je prevedeno kot Odpiranje vesolja in sega v leto 628 našega štetja. Njemu gredo tudi prve zasluge, da je število nič opredelil in razložil, kaj naj si ljudje predstavljajo, ko se z danim simbolom srečajo. To je predstavil z operacijo odštevanje, torej če poljubno število odštejemo od samega sebe (n – n). Razlaga je bila ostalim zelo nerazumljiva, ker so veliko razmišljali na konkretnih predmetih. Rezultat je dejansko število, čeprav ne preštevamo ničesar. Če kot primer navedemo, da nekdo iz hladilnika vzame 4 jajca; kot rezultat v hladilniku ostane 0 jajc, kar nam je enostavno predstavljivo. Omenjeni avtor je navedel veliko matematičnih pravil za dokazovanje matematičnega pomena novega števila, in sicer števila nič. Dana pravila so podrobneje pradstavljena v naslednjem poglavju (Dileme o računanju s številom nič).
Arabski učenjak Muhamed Ibn Muse Al Hvarizma je deloval v 9. stoletju. Zanj število nič ni predstavljalo števila, ampak prazen prostor. V enem od njegovih prevodov je vloga ničle opisana takole (Berlinghoff in Gouvea, 2008, str. 83–84):
»Ko pa je na mesto enic napisano število (deset) in so ga prestavili na drugo mesto, kjer je imelo obliko ena, so potrebovali za znak desetice zaradi dejstva, da je bila po obliki podobno ena, tako da bi lahko s pomočjo tega znaka vedeli, da gre zanj (deset). Zato so naredili presledek in vanj zapisali majhen krogec, podoben črki o, tako da so s pomočjo tega vedeli, da je mesto enice prazno in da na njem ne stoji nobeno število razen malega krogca…«. Napisal je dve knjigi, eno o aritmetiki in drugo o reševanju enačb. S pomočjo teh knjig se je dotedanje vedenje o številu nič (kot simbolu, kot pojmu) razširilo na zahod.
Sam prevod njegovih knjig v latinico je v 12. stoletju povzročil širitev znanja po Evropi.
Tako so ničlo kot število v Evropi začeli dojemati relativno pozno (16. in 17. stoletje) glede na Hindujce, ki so »sunjo« dojeli že v 9. stoletju. Miselnemu preskoku so botrovala nova pravila za računanje. Tako se je ničla do konca 18. stoletja iz pripomočka za prazen prostor razvila v pravo algebrsko orodje. Matematik Tomas Harriot (1560–1621) je s pomočjo števila nič predlagal metodo za reševanje enačb. Predlagal je, da se vse člene enačbe postavi na eno stran, tako da enačba dobi obliko anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a2x2 + a1x + a0 = 0.
V 19. stoletju so matematiki posplošili strukturo števil in v sodobno algebro uvedli kolobarje in obsege. Število nič je postalo zgled posebnega elementa teh struktur (Berlinghoff in Gouvea, 2008).
7
2.2 Dileme pri računanju s številom nič
Za dokazovanje obstoja števila 0 je Brahmagupta navedel vrsto primerov (Bentley, 2010):
- če izbranemu število x prištejemo število 0, to ostane nespremenjeno;
- če izbranemu številu x odštejemo število 0, to ostane nespremenjeno;
- pri množenju števila x s številom 0 je zmnožek števil 0;
- pri deljenju je bila njegova ugotovitev pravilna, in sicer če 0 delimo s številom, je količnik število 0. Napačno pa je domneval, da če poljubno število delimo z nič, je rezultat neskončno in da je pri deljenju števila 0 s samim sabo rezultat neskončno.
Več o njegovi teoriji podajamo v nadaljevanju.
Nekatera njegova dognanja, npr. o deljenju s številom 0, so se kasneje izkazala za napačna.
Ena izmed njegovih napačnih domnev je bila, da je 0 : 0 = 0. . Z nič v matematiki ne delimo, četudi bi preizkusi pri deljenju 0 : 0 = 0, 0 : 1 = 0, 0 : 2 = 0 … z množenjem pokazali, da se rezultat izide. Z dano tematiko, o deljenju s številom nič, se učenci soočajo že v šestem razredu osnovnošolskega programa.
V času raziskovanja števila nič so matematiki pri operaciji deljenje, natančneje ko deljenec delimo s številom 0, prihajali do raznolikih ugotovitev. Tako je npr. matematik Braskaračar, ki se je rodil leta 486, ugotovil, da velja ∶ 0 = ∞; ∈ ℕ. Kot pojasnilo možnega razmišljanja, ki ga je pripeljalo do tega zaključka, vzemimo za primer račun 8 : 0:
8 : 0, 5 = 16 8 : 1 = 8 8 : 2 = 4 8 : 4 = 2 8 : 8 = 1
Če delitelj narašča, se količnik manjša ter obratno, če delitelj pada, količnik narašča. To pomeni: ko se deljenec približuje številu 0, količnik raste v neskončnost. Posledično je omenjeni matematik sklepal, da je rezultat pri deljenju z 0 neskončno (Bentley, 2010).
8
Učenci preizkus deljenja preverijo z množenjem na način, da množijo delitelj s količnikom in kot rezultat pravilnega deljenja izračunajo deljenec. Če bi takratni matematiki izhajali iz dejstva, da je deljenje obratna operacija od množenja, bi že v 1. stoletju našega štetja postavljali pravilne matematične teze. S katerim faktorjem moramo pomnožiti faktor 0, da dobimo zmnožek 8? In če bi rezultat poiskali v množicah, bi se lahko vprašali: koliko množic z nič elementi nam da 8 elementov? Oziroma koliko elementov v prazni množici združimo, da dobimo 8 elementov? Ta in podobna vprašanja pojasnjujejo, zakaj so nekatere izmed omenjenih tez napačne.
Če število 0 nastopa v vlogi deljenca, ki ga delimo s poljubnim številom, različnim od nič, je rezultat pri deljenju ponovno število 0. Tudi Brahmagupta je prišel do te pravilne ugotovitve. Rezultat dobimo z uporabo operacije množenje, in sicer se vprašamo npr., kateri faktor moramo pomnožiti s številom 8, da dobimo zmnožek 0. Nič deljeno z nič ima lahko za rezultat poljubno število, zato vrednost računa ni definirana (Bentley, 2010).
Tudi če sta deljenec in delitelj števili 0, je Brahmagupta napačno sklepal in trdil, da je 0 : 0 = 1. Kot že omenjeno, je izhajal iz pravil za računanje v množici naravnih števil. Če velika števila delimo sama s seboj, je količnik 1 – ne glede na to, kako majhno je število.
Šele leta 1661 je L'Hopital zasnoval pravilo za deljenje z 0 (Cencelj, 2007). Z njegovim pravilom računamo limite funkcij nedoločenih izrazov, ki jih zaporedno odvajamo in privedemo do izraza, katerega limito lažje izračunamo. Kadar lahko izraz privedemo na 0 : 0 ali ∞ : ∞, vemo, da je rezultat nedefiniran (Bentley, 2010).
9
2.3 Število nič v različnih vsakdanjih kontekstih
A. Janežič (2012) je v svojem članku na temo števila nič v različnih kontekstih povezala naslednje raziskovalce: Hughesa (1986), Clemsona in Clemsona (1994) ter Worhingtona in Carruthersa (2008). Skupna jim je teza, da je matematika kot tuj jezik, ki se ga morajo otroci naučiti. Če pogledamo množico naravnih števil, ki vsebuje števila 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 …, se vsako število izgovarja drugače. Pri tem ne gre za izpeljave oz. logične predstave. Vsako število je sestav različnih črk, ki nam »naučeno« predstavljajo simbol za posamezno števko. Beseda nič ni enopomensko določena in vezana izključno na matematično vsebino, za katero je raba najpogostejša. Nič ima v različnih kontekstih svojevrsten pomen, čeprav njegov zapis ostaja enak.
Poglejmo, kje v našem vsakdanjiku se pojavlja število nič (0) kot simbol. Kot vidimo, je zapis simbola vedno enak (0), predstavlja pa v vsakem primeru nekaj svojega (SSKJ, 2007):
- % (1/100) – dve števili nič v ulomku nam predstavljata znak za odstotek (procent).
- Mednarodna oznaka za javno stranišče sta dve ničli: 00.
Slika 4: Mednarodna oznaka za javno stranišče (vir: http://www.mit-grnjak.com/znaki_za_obvestila, 1.4.2016)
- Izid nogometne tekme je 1 : 0, kjer ničla ponazarja število doseženih golov.
- 0 ˚C je oznaka ledišča. Pri dani temperaturi voda prehaja v led.
- 100 ˚C je oznaka za vrelišče, kjer voda prehaja v vodno paro.
- Čas 0.00 na štoparici je izhodiščni čas za začetek štopanja.
- Leto 0 ne obstaja ne v gregorijanskem ne v julijskem koledarju. Letu 1 pred našim štetjem tako sledi leto 1 našega štetja. Leto 0 obstaja v astronomskem številčenju let
10
ter v nekaterih budističnih in hindujskem lunarnem koledarju (Nauk.si, Napredne učne kocke, 2007).
- Ena od oznak za krvno skupino poleg AB, A in B je tudi 0.
- Pritlično nadstropje se v dvigalu označi s številom 0.
- Na registrski tablici se pojavi številka nič, vendar nikoli skupaj s črko O.
Slika 5: Primer registrske tablice avtomobila, kjer se pojavlja simbol nič (vir: https://sl.wikipedia.org/wiki/Slika:Reg_oznaka_slo_nova.png, 11. 4. 2016)
- V primeru telefonske številke 041 220 330 je ničla ena od klicnih števk, ki se ponovi trikrat.
- Dovoljena hitrost vožnje je podana v prometnem znaku, kjer ničla v kombinaciji z drugimi števkami podaja omejitev hitrosti.
- Ob 00.00 ali 24.00 je ura polnoč, gre za različna zapisa istega časa.
Slika 6: Prikaz različnega zapisa istega časa
(vir: https://sl.wikipedia.org/wiki/Cestni_promet, 10. 4. 2016)
Tako smo predstavili nekaj primerov, kjer nič nastopa v obliki simbola (0). Nič pa lahko nastopa tudi v zapisani obliki, in sicer v naslednjih različicah: ničla, nula, ničeln, ničen, ničti, nulti …
11
2.4 Nič v decimalnem zapisu
Najprej si bomo pogledali, kaj pomeni mestna vrednost naravnih števil. Vsako število je sestavljeno iz končno ali neskončno mnogo števk, ki imajo svoj pomen glede na mesto, na katerem stojijo. Skrajna desna števka pri naravnih številih predstavlja enice (E), levo od nje so desetice (D), levo od desetic so stotice (S), nato sledijo tisočice (T) itd (E-um, 2007=).
Slika 7: Mestni desetiški številski sestav (Končan, Moderc in Stojan, 2010)
Na sliki 7 so prikazane desetiške enote: enice, desetice, stotice, tisočice, itd,. Števila, ki imajo del manjši od enice, so decimalna števila. Pri danih številih za celim delom števila zapišemo decimalno vejico (lahko tudi piko), za tem po vrsti sledijo desetiške enote:
desetine, stotine, tisočine … danega števila, kot prikazuje slika 8.
Slika 8: Mestni desetiški številski sestav decimalnih števil
Če število ne vsebuje katere od desetiških enot (enice, desetice, stotice itd.), dano mesto zasede število nič. Tako je zapis enoličen in vsi točno vemo, o katerem številu je govora.
Pred vpeljavo ničle je tukaj nastajala dilema, ali je število 75 ali 705 ali 750. Desetiški celi del
decimalno ločilo decimalni del Ime stotic
e desetice enice desetine stotine tisočine
Oznaka S D E , d s t
Potenca 102 101 100 1
10 1
10 1
Faktor 1 5 9 7 5 103
Število 1 5 9 , 7 5 3
12
številski sestav lepo definira, da se dano število zmanjšuje, npr. 0,5; 0,005; 0,0005 itd., če število nič vpeljemo pred naravno število. Če nič dodajamo za številom, se dano število povečuje, npr. 5, 50, 500 itd.
Še pred decimalnim zapisom števila so uporabljali ulomke. Ulomki predstavljajo količnik dveh števil. Tako na primer tretjino zapišemo kot količnik 1 : 3 oz. z ulomkom . Tako so npr. zapisovali enake vrednosti pri trgovanju z živili, ko so npr. izmenjevali prašiča za vreče krompirja. Čeprav pri tem niso uporabljali decimalnega zapisa, so ga nadomeščali z ulomki. Težava je, ker ulomka ne zapisujemo enolično. Vzemimo za primer ulomke: , , in . Vsi navedeni ulomki predstavljajo eno polovico, torej gre za isto vrednost. Sam zapis je različen, kar je v svetu matematike predstavljalo zmedo. Abu I Hasan Ahmad ibn Ibrahim Al-Uklidisi je zapisal prvo decimalno število 7,375 z ulomkom 7 (Bentley, 2010).
Pomembnost decimalnih števil se ne kaže samo v matematiki, ampak ima velik pomen v fiziki, ekonomiji in drugih vedah.
- Navajeni smo, da nam število decimalnih mest podaja natančnost v fiziki, tako na primer 0,90 m predstavlja izmerjeno dolžino na 1 cm natančno. Čeprav natančnosti ne pojmujemo enako pri zapisovanju finančnih zneskov, so ti praviloma podani na dve decimalni mesti, kar ustreza vrednosti v centih, ki predstavljajo najmanjšo denarno enoto, zastopano s kovancem. S tem želimo povedati, da sicer ne moremo poravnati zneska na pol centa natančno, zatorej bi lahko sklepali, da takšni zneski ne obstajajo. Pa vendar imamo cene podane tudi z večjo natančnostjo od enega centa, na primer cene goriva, cene telekomunikacijskih storitev.
Takšne zneske pri plačevanju zaokrožamo na najbližji cent.
13
Tabela 1: Cene naftnih derivatov v obdobju od 10. 5. 2016 do 24. 5. 2016 (Ministrstvo za gospodarski razvoj in tehnologijo, 2016)
- Predpone pri merskih enotah pomenijo, da osnovno število množimo z deset na izbrano potenco. Pri tem se spremeni zapis, in sicer se spremeni pozicija decimalne vejice in z njo povezano število mest, s katerimi zapisujemo število. Sprememba števila mest se poleg pozicije decimalne vejice odraža v številu uporabljenih ničel, ki nam podobno kot predpone spreminjajo faktor deset na neko potenco. Na sliki 9 je prikazano pretvarjanje merskih enot – kako med njimi prehajamo.
Slika 9: Pretvarjanje merskih enot (masa) (I-učbeniki)
- Operiranje z merskimi enotami je težavno oz. praktično nemogoče, če ne poznamo pomena predpon. Tako si mnogi težko predstavljajo dolžino enojne kovalentne vezi med dvema ogljikovima atomoma, ki znaša v diamantu približno 142 pikometrov.
Morda bi si nekateri lažje predstavljali vrednost 0,142 nanometra. Podobnih težav nimamo npr. s kilometri, ki jih pogosto srečamo v prometu. Če bi poznali, kakšen delež metra predstavlja pikometer, bi podatek lažje interpretirali in ga uporabili v izračunih. Zatorej je mnogim koristnejši podatek, da je omenjena kemijska vez dolga 142 · 10-12 metra. Seveda bi številko lahko zapisali kot 0,000000000142 m, vendar moramo za razumevanje prešteti število decimalnih mest, kjer so si vse ničle
14
med seboj podobne. Posledično lahko naredimo napako. Število, čeprav redkeje, lahko zapišemo tudi v obliki 0,000.000.000.142 m, kjer je štetje ničel še vedno dolgotrajnejše od branja potence števila 10, vendar pa enostavnejši proces kot v prejšnjem primeru.
Razumevanje mestne desetiške vrednosti števil je pri razumevanju decimalnih števil bistveno. Pri učencih je zato pomembno usvajanje samega desetiškega sistema in razumevanje, da v danem kontekstu simbol števila nič predstavlja odsotnost določene desetiške enote. Kot vidimo, je tovrstno znanje uporabno tudi zunaj meja šolskega sistema.
Učenci tako znajo operirati s količinami, ki so predstavljene z decimalnim zapisom.
3. ŠTEVILO NIČ V OSNOVNI ŠOLI
3.1 Učni načrt in število nič
V tem poglavju bomo predstavili, kako je zastopano število 0 v osnovni šoli. V ta namen smo si natančno ogledali vsebine in cilje iz učnega načrta osnovne šole.
3.1.1 Prvo triletje PRVI RAZRED
V prvem razredu se učenci s številom nič srečajo v simbolni obliki, kjer štejejo, zapisujejo in berejo števila od 0 do 20. Do simbolnega zapisa prehajajo iz konkretnega preštevanja in odštevanja. Ko učenec generalizira to izkustvo, preko slikovnega gradiva preide na abstraktno razumevanje simbolov (števil) kot tudi simbola 0. Učenci spoznajo, da je število 0 razlika dveh enakih števil. S številom nič se srečajo tudi pri množicah, kjer določajo število elementov v množici. Poiskati se učijo naslednika in predhodnika števil, skratka oblikujejo zaporedje naravnih števil.
15 DRUGI RAZRED
V drugem razredu se njihovo znanje razširi do števila sto. Števila do sto štejejo, zapisujejo, berejo, jih urejajo po velikosti in zapisujejo odnose med števili, kot so »večje«, »manjše«,
»je enako«. Učenci že v drugem razredu razlikujejo desetiške enote: enice, desetice in stotice. Razumejo tudi medsebojne odnose med njimi.
V sklopu Računske operacije in lastnosti učenci vključno s številom nič odštevajo in seštevajo do števila 20, kjer pri omenjenih računskih operacijah tudi pojasnijo vlogo števila 0. Z didaktičnimi pripomočki računski operaciji seštevanje in odštevanje razširijo do števila 100. V konkretnih matematičnih primerih seštevanje in odštevanje uporabijo kot nasprotni računski operaciji. Z računskimi operacijami se učijo reševanja enostavnih problemov.
TRETJI RAZRED
Učenci zadnjega razreda prve triade razširijo obseg števil do števila tisoč. Tako učenci zapisujejo, berejo in štejejo do števila tisoč, prav tako ta števila urejajo po velikosti ter iščejo predhodnik in naslednik števil. Razumevanju desetiških enot se poleg enic, desetic in stotic pridruži še mestna vrednost tisočic.
V sklopu Računske operacije in lastnosti učenci tretjega razreda spoznajo računske zakone množenja in deljenja. Posebej je pri omenjenih računskih operacijah poudarjena uporaba števil 0 in 1, saj si na ta način učenci ustvarijo predstavo o pomembnosti in drugačnosti števila 0 v primerjavi z ostalimi števili. Učenci se naučijo produkte poštevanke v obsegu 10 x 10. Pri dopolnjevanju je poudarjeno, da je uporaba števila nič dovoljena tako pri seštevanju kot tudi pri odštevanju (a ± x = b, x ± a = b), medtem ko je pri množenju in deljenju predpostavljen pogoj za število 0 (x ⋅ a = b, a ⋅ x = b, x : a = b, pri čemer velja a ≠ 0).
3.1.2 Drugo triletje ČETRTI RAZRED
Učenci 4. razreda se znotraj računskih operacij učijo pomena števila 0, ravno tako pomena števila 1. Tako učenci razširijo pisno seštevanje in odštevanje v množici naravnih števil do števila 10 000. Znotraj množice naravnih števil do števila 10 000 učenci ustno in pisno
16
množijo z enomestnim številom ter pisno množijo z večkratniki števila 10. Množenje in deljenje s številoma 10 in 100 je ustno, medtem ko deljenje z večkratnikom števila 10 izvedejo pisno, pri čemer je pogoj, da je ostanek enak nič. Pri pisnem deljenju z enomestnimi števili učenci izvedejo preizkus. Vse zgoraj omenjene zakonitosti uporabijo pri reševanju besedilnih nalog.
Učijo se pretvarjanja med enotami, npr. med metri in decimetri, kar zajema razumevanje koncepta števila 0 kot mesta v desetiškem sestavu. Pri računanju denarnih vrednosti se srečajo z decimalnim zapisom, ki prav tako spada v okvir te naloge.
PETI RAZRED
Tu učenci obseg naravnih števil razširijo do milijona. Učenci berejo in pišejo naravna števila do milijona in celo preko milijona. Številsko vrsto (urejanje naravnih števil) razširijo do milijona ter poiščejo tudi predhodnik in naslednik števila. Ta »velika« števila predstavijo tudi na številski premici. Prepoznajo in ločijo med lihimi in sodimi števili ter razlikujejo desetiške enote.
Pri sklopu Računske operacije in lastnosti učenci osvajajo operacije seštevanje, odštevanje, množenje in deljenje naravnih števil, pri čemer vrednosti ne presegajo milijona. Poudarek pri deljenju je na uporabi dvomestnega delitelja. V petem razredu se učenci prvič srečajo s potenčnim zapisom števil, kjer potenco razumejo kot produkt enakih faktorjev. Učijo se razčlenjanja naravnih števil na večkratnike potenc števila 10.
S premislekom in z diagramom učenci rešujejo enačbe, kjer veljajo računske enakosti, in jih preverjajo s preizkusom.
ŠESTI RAZRED
V 6. razredu učenci razumevanje števila nič vključijo pri spoznavanju števil prek milijona in pri potencah, svojo izjemnost pa dano število 0 kaže pri razumevanju decimalnih števil.
Pri sklopu Računske operacije in lastnosti učenci decimalna števila urejajo na številski premici ter jih seštevajo in odštevajo. Pri deljenju števil sta deljenec in delitelj naravni števili, količnik je lahko decimalno število. Naredijo preizkus pisnega deljenja. Pri množenju decimalnih števil sta lahko tako faktorja kot tudi zmnožek decimalno število.
Decimalna števila delijo in množijo tudi s potenco števila 10, kjer učenci premikajo
17
decimalno vejico za n mest v desno oz. levo. Učenci računajo vrednosti računskih izrazov, kjer je število 0 lahko vrednost dane spremenljivke. Med členi številskih izrazov srečajo decimalna števila. Učenci 6. razreda potenco in vrednost potence zapisujejo z naravnimi števili. Med dvema številoma poiščejo najmanjši skupni večkratnik in največji skupni delitelj ter se naučijo zakonitosti deljivosti naravnega števila s števili 2, 3, 5, 9 in 10.
3.1.3 Tretje triletje SEDMI RAZRED
Nova znanja se v sedmem razredu pridobijo pri računskih operacijah ulomkov. Ulomek zapišejo kot celo število oz. ga zapišejo kot decimalno število, kjer decimalno število zaokrožijo na ustrezno število decimalnih mest. Ulomke uredijo po velikosti ter jih prikažejo na številski premici. Pri potencah učenci množijo in delijo s potenco 10n.
OSMI RAZRED
V osmem razredu se množicam naravnih, celih in realnih števil priključi množica racionalnih števil. Elemente razvrstijo v množice in jih uredijo po velikosti na številski premici. Ulomkom poiščejo nasprotno, obratno in absolutno vrednost.
DEVETI RAZRED
Znanje, povezano s številom nič, učenci zadnjega razreda osnovne šoli vključijo pri seštevanju, odštevanju in množenju algebrskih izrazov. Različne dvočlenike množijo (npr.
množenje vsot in razlik), vpeljejo tudi pravilo za kvadrat dvočlenika. Algebrske izraze enačijo z nič in izračunajo vrednost izraza.
Pri linearni funkciji opredelijo osnove, kot so sam zapis linearne funkcije y = k·x + n, in pomen koeficientov k in n. Na število nič je vezano presečišče z ordinatno osjo, kjer mora biti izpolnjen pogoj x = 0, in abscisno osjo, kjer mora biti izpolnjen pogoj y = 0. Kjer graf seka abscisno os, se enači z iskanjem ničle grafa linearne funkcije.
Razumevanje števila nič koristi pri pretvarjanju merskih enot v nalogah iz vsakdanjega življenja.
18
3.2 Razumevanje števila nič
Otrok se s samim številom 0 sreča že v predšolskem obdobju, s sistematičnim učenjem pa z vstopom v 1. razred, kjer število 0 vpeljemo kot moč prazne množice in kot rezultat pri odštevanju, kjer sta zmanjševanec in odštevanec enaka. Kako na vpeljavo in razumevanje števila nič gledajo različni avtorji, ki so se ukvarjali z razvojno psihologijo otrok? Ti podajajo različne teorije, kdaj je otrok sposoben dojemati koncept števila nič. V nadaljevanju si bomo ogledali nekaj teorij (Janežič 2012).
Piaget je razumevanje števila nič pripisal stopnji kognitivnega razvoja. Njegova teorija razlaga, da se otrokov koncept o številu nič dokončno razvije pri 11-ih letih, ko doseže formalno-operativno stopnjo, kjer je že zmožen logične presoje. Po njegovem je otrokova veja razvoja ločena od veje učenja, ki je nadgradnja razvoja in za katero meni, da je obdelava vrojenih značilnosti. Pri učenju odrasli (učitelji, starši …) nimajo vloge poučevanja, temveč usmerjanja in spodbujanja.
Psiholog Bruner je s tremi vrstami reprezentacij vplival na razvojno psihologijo. Enaktivna reprezentacija učenja poteka preko dejanskih motoričnih odzivov. Ta način mišljenja je značilen za mlajše otroke. Sledi ikonična reprezentacija, ki se odraža na podobah in slikah, s pomočjo katerih najdemo rešitev. Simbolična reprezentacija se nanaša na reprezentacijo pojmov in hipotez skozi simbole. Tu načina reprezentacije ne pogojujemo z učenčevo starostjo, kot to razume Piaget. Pri poučevanju matematike vključujemo vse tri reprezentacije, pri čemer fazo usvojitve snovi razumemo kot tekoče prehajanje med vsemi tremi reprezentacijami.
Medtem je ruski psiholog Lev Semjonovič Vigotski spontanemu razvoju pripisoval manjšo veljavo. Vigotski veliko vlogo pri razvoju pripisuje učitelju oz. odraslemu, ki otrokovo mišljenje usmerja. S tem želi poudariti, da učenec potrebuje učitelja, da mu ta aktivira kognitivne strukture do meje, ko je učenec sposoben nadaljnjega samostojnega učenja.
Vigotski je bil eden prvih, ki je pri procesu učenja pripisoval velik poudarek metakogniciji (izraz metakognicija v času njegovega raziskovanja še ni bil v veljavi). Menil je, da je vzajemen napredek, če učenci, ki izkazujejo višjo raven razumevanja, pomagajo učencem, ki izkazujejo nižjo raven znanja. Učencem, ki nastopijo v vlogi »predavatelja«, se z razlago drugim poveča lastno razumevanje snovi (Žist in Oblak 2004).
19
A. Janžič (2012) povzema različne avtorje, ki pri posamezni matematični ali nematematični rabi število nič vključujejo v različne koncepte. Spodaj je navedenih nekaj najpogostejših rab števila nič v matematičnem pomenu.
Število nič:
- je matematično število, ki je postavljeno na sam začetek številske vrste, - je točka na številski premici, ki deli pozitivna in negativna števila,
- je simbol, ki označuje/zavzema prazno mesto v sistemu mestnih vrednosti, - je nevtralni element za seštevanje in odštevanje,
- označuje moč prazne množice,
- predstavlja količino oz. odsotnost neke količine.
Tako povzema Hughesa, ki zagovarja, da je posebnost števila nič v tem, da to – če je zapisano samostojno – predstavlja odsotnost količine. Na primer 0 jabolk nam predstavlja odsotnost količine jabolk. Če isto število 0 zapišemo poleg števila 1, nam novo nastalo dvomestno število 10 predstavlja desetkrat večje število od prvotno podanega števila 1. V sistemu mestnih vrednosti ima tako lahko isto število različno funkcijo. Tako simbol nič na eni strani predstavlja odsotnost količine, na drugi strani pa nam v številu 3070 isto število 0 pove, katera potenca števila nič ni bila uporabljena v določenem številu. V primeru 3070 število nič nakazuje na odsotnost enic (0 E) in stotic (0 S).
Haylock in Cockburn zagovarjata, da če želimo doseči razumevanje pojma posameznega števila (nekaj pojmov o številu nič smo navedli zgoraj), je treba znanje oz. informacije zbirati iz različnih pojmov in si med njimi ustvariti določeno mrežo povezav. Učenec znanje črpa iz konkretnih situacij (nič čokolade ni v predalu – če navajamo primer za število nič, preko simbolov število nič poveže v različnih situacijah, na primer pri zapisu 0 : 1 gre za izid tekme, zapis 00:00 pa nam pove, da je ura polnoč itd.) s pomočjo jezika in slik. Če izpostavimo mrežo povezav, ki tvorijo matematični pojem, lahko nastopi težava, kadar se posamezna povezava preveč izpostavlja. Vzemimo primer, ko učenci na število nič gledajo kot na čisto nič, kot to navaja R. Catterall (2005) v svojem raziskovalnem delu. Ko pri otroku prevlada ideja, da je število nič enako čisto nič, ima otrok veliko težavo že pri postavljanju števil v številsko vrsto. Kako naj učenec neko novo izkušnjo umesti v pravilno mrežo povezav, če je ena od njih močno v ospredju? Že v prvem razredu osnovnošolskega programa je v učni načrt umeščeno zaporedje naravnih števil, kjer je število nič umeščeno
20
na sam začetek številske vrste (število nič se ne obravnava kot naravno število). Če je pri učencu mrežna povezava, da število nič predstavlja čisto nič, premočna, učenec število nič umesti na poljubno mesto v številski vrsti ali ga enostavno ne umesti (Catteral 2005).
Navedeni pojmi o številu nič so skozi zgodovino odpirali vprašanja številnim avtorjem – tudi o tem, ali otroci izbirajo med samo t. i. pravilnimi pogledi na število nič ali imajo še kakšne svoje predstave.
Wheeler in Feghali (1983) kot rezultat raziskave navajata, da je učenčeva predstava o številu nič lahko tudi napačna. Učenci si število nič lahko predstavljajo, kot da nič ni število, ker nima vrednosti. Druga razlaga, da nič ni število, je vezana na nominalno vrednost, in sicer število nič ima numerično vrednost nič, kar enačijo s tem, da število nič nima numerične vrednosti. Nekateri učenci celo navajajo, da nič ni število. Dano število se jim zdi smiselno v vlogi držanja določene pozicije v mestnem desetiškem sistemu. Če učenci število nič dojemajo na tak način, pride do točke, ko je treba spremeniti strukturo razumevanja ali pa se vseh matematičnih vsebin, ki zajemajo znanje o številu nič, učijo na pamet.
Veliko avtorjev je raziskovalo razumevanje števila nič s strani otrok, nekateri že s strani predšolskih. A. Janežič (2012) navaja raziskavo Hughesa, ki je s predšolskimi otroki in z otroki prvega razreda naredil preizkus predstavitve količine (količino so predstavljale kocke), kjer so morali otroci s kartončkom pokazati tudi položaj, ko na mizi ni nobene kocke. Otroci, ki so odgovorili s simbolom 0 (na mizi ni kock), so tudi ob 3 kockah na mizi uporabili konvencionalni simbol 3. Otroci, ki so za prikazovanje 3 kock uporabili simbolni zapis (narišejo 3 kocke na list papirja ali 3 pike), so tudi odsotnost kock narisali na različne načine, kot na primer: na list so narisali prazno mizo ali prazno škatlo. Nekateri so na list narisali piko ali pomišljaj, nekateri pa so list papirja pustili prazen. Zadnji odgovor je bil za raziskovalce dvoumen. Niso vedeli, ali so učenci s praznim listom upodobili, da na mizi ni kock ali naloge niso razumeli. To je spodbudilo nadaljnje raziskovanje, ki je vključevalo motivacijo otrok, da ti rezultate na list papirja zapišejo. Otrok je pri igri uporabil 4 identične pločevinke, v katerih je bilo poljubno število kock (ponavadi 0, 1, 2 ali 3 kocke). Otrok je pogledal, koliko kock je v posamezni konzervi, nato jih je raziskovalec zaprl, med sabo
21
premešal, otrok pa je ugibal, kje je konzerva, v kateri je npr. 1 kocka. Hughes je idejo igre nadgradil tako, da si je vsak otrok na listek označil število kock po svoje (s številom, pikami, z risbami, med katerimi so bile nekatere čisto nerazumljive) in pločevinke označil z njihovimi listki. Ponovno je pločevinke premešal med sabo in postavil enako vprašanje, in sicer kje je konzerva z 1 kocko. Pri tem je želel raziskati, ali si otroci s svojimi označbami, ki prikazujejo število kock v konzervi, lahko pomagajo ali ne. V 2/3 primerov so otroci pokazali pravo konzervo, zaradi česar lahko sklepamo, da jim simbol predstavlja vrednost/količino kock v konzervi. Na ta način so otroci enako predstavili konzervo z 1, 2 ali 3 kockami in konzervo z 0 kockami. Prvošolci so za odsotnost kock uporabili simbol 0, medtem ko so predšolski otroci pustili prostor prazen ali narisali simbol, ki raziskovalcu ni bil jasen; kot na primer črtica, ki ima rep in očitno ponazarja odsotnost kock v konzervi.
Otroke, ki so si izmislili lastne oznake, so čez določen čas (teden dni) ponovno izprašali o pomenu oznake oz. koliko kock je v posamezni konzervi. Otroci, ki so že prvič argumentirali svoje označbe (oznaka jim je predstavljala nek pomen), so znali te argumentirati tudi čez teden dni. Otroci, ki niso takoj vedeli, kaj jim oznaka pomeni, tega tudi čez 1 teden niso znali razložiti in povezati s številom kock v konzervi. Glede na rezultat raziskave je Hughes (1986) zaključil, da število nič povzroča težave pri razumevanju sistema mestne vrednosti in da število nič ne povzroča težav kot simbol za količino oz. odsotnost količine.
Avtorica R. Catteral (2005) je pri svojem raziskovanju primerjala število nič v odnosu do drugih števil (decimalnih števil in potenc). V raziskavi so sodelovali otroci, stari med 5 in 11 let. Dala jim je kartončke s števili, ki so jih morali urediti po velikosti. Na kartončkih so bila naslednja števila:
a) ¼; ½; 2; 1; 0 b) 0,3; 0,4; 0 0,5; 0,1 c) 0.4; 5; 1.2; 8; 0 d) 3; 0; 5; 4; 7
e) 8; 5; 7; 1; 0; 4; 3; 2; 9; 6
22
Učenci so podali različna znanja in razumevanja, ki vključujejo število nič. Ugotovitve smo podrobneje predstavili v empiričnem delu, kjer smo jih primerjali z rezultati, pridobljenimi z našim preizkusom znanja.
23
3.3 Težave pri razumevanju pomenov števila nič med učenci
Učenci imajo pri pouku matematike težave, ki so vezane na napačno razumevanje števila nič v posameznem matematičnem kontekstu. A. Janežič (2012) je dane težave učencev opredelila glede na razred, v katerem se pojavljajo. V nadaljevanju si jih bomo ogledali in jih razložili, kakor si jih predstavljamo sami.
PRVO TRILETJE OSNOVNE ŠOLE
Med samim raziskovanjem je A. Janežič (2012) navedla težave, ki jih učencem povzroča število 0 v prvem triletju osnovne šole. V prvem razredu učenci nesmiselno označujejo odsotnost predmeta s prisotnostjo števila. Če se učenci učijo risanja nekega števila elementov, razumejo, da ne bodo za primer 0 jabolk narisali ničesar. Če pa število jabolk prikažejo s simbolom, potem je treba narisati število 0. Učenci imajo zmotne predstave o tem, da je za odsotnost predmeta potrebna odsotnost simbola. Težava se pojavlja tudi, ko števili 0 in 10 na številski premici označimo z razmakom 10-ih polj, kar nam predstavlja sosledje števil: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. Če na ničlo poleg enke (kar nam predstavlja število 10) gledamo kot na čisto nič, lahko dani števili zapišemo eno poleg drugega (število 0, kateremu sledi število 10). Učenci tako dobijo zmotno predstavo in sicer, da je razdalja med 0 in 10 ena enota, čeprav je razdalja 10 enot.
R. Caterall (2005) dodaja, da učenci število 9 v številsko vrsto zapisujejo kot predhodnik števila 0. Predstavo o urejenosti števil v vrstnem redu 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 in na koncu 0, učenci pridobijo iz sheme osebnega računalnika. Števila od 1 do 9 so razporejena skladno s številsko vrsto od leve proti desni, tipki za številko 9 pa sledi številka 0. Lahko bi pričakovali tipko za število 0 pred tipko za število 1, vendar na današnjih tipkovnicah to ni skladno z mednarodno uveljavljenimi standardi.
V članku R. Catterall (2005) je učenec pri nalogi, kjer je bilo treba urediti števila 3, 0, 5, 4, 7 v številsko vrsto, obrazložil svoj odgovor. Kartico, na kateri je bila napisana številka nič, je najprej vzel iz številske vrste. Nato jo je premaknil na začetek, zatem med števili 3 in 4,
24
nato spet med drugi dve števili. Razložil je, da je vseeno, katero mesto na številski vrsti zasede, vseeno je, ali je kartica, na kateri je število nič, sploh vključena ali izvzeta. Kartica s številom nič pomeni »čisto nič« in zatorej je popolnoma vseeno, kje je oz. je sploh ni.
Anthony in Walshaw (2004) sta raziskala težavo pri osnovnih računskih operacijah – seštevanju in odštevanju s številom nič. Pri seštevanju števil se seštevek (vsota) običajno poveča, pri odštevanju se razlika zmanjša. Na primeru bomo razložili, kako si omenjeno težavo razlagamo. Kot primer vzemimo število 3 in mu prištejmo poljubno nenegativno celo število. Ker operacija seštevanja predstavlja dodajanje, učenci kot rezultat pričakujejo število, večje od 3. To predstavo učenci ohranijo, tudi če številu 3 prištejemo oz. dodamo število 0. Podobno velja pri odštevanju, kjer učenci kot rezultat pričakujejo število, manjše od 3. To sicer velja v množici naravnih števil (brez števila 0), vendar se to razumevanje lahko izkaže za zmotnega, ko uvedemo računanje s številom 0. Če od števila odštejemo ali prištejemo število 0, je rezultat enak začetnemu številu.
V drugem razredu se pojavijo težave pri zapisovanju in branju velikih števil v simbolni obliki in problem mestne vrednosti. Težava v tretjem razredu je množenje in deljenje naravnih števil s številom 0. Pri množenju s številom 0 učence do pravilnega rezultata privede napačna domneva in sicer, da se pri množenju s številom 0 ne naredi ničesar in temu sledi rezultat 0. Posledično se pojavijo težave pri razumevanju lastnosti števila 1 pri množenju. Posebni primeri so, ko število 0 pri deljenju nastopa v vlogi deljenca oz. delitelja (Janežič, 2012).
DRUGO TRILETJE OSNOVNE ŠOLE
Drugo triletje osnovne šole razumevanje števila nič vključujejo v različne matematične vsebine, kot so: potence, enostavne enačbe, decimalna števila itd., kjer je za pravilno dojemanje matematičnih vsebin, ki vključujejo število nič, razumevanje mestne vrednosti velikega pomena.
V četrtem razredu so težave s številom nič vezane na računski operaciji odštevanje in množenje. Težave pri pisnem odštevanju nastopijo, kjer je zmanjševanec naravno število oblike 10n (10, 100, 100 itd.). Tu pri odštevanju prehajamo preko enic, desetic, stotic, tisočic itd. Vsaka mestna vrednost, ki jo zavzame števka 0, nam nakazuje prehod preko
25
dane enote. Pri množenju dvočlenikov ali veččlenikov imajo učenci težavo s pravilnim podpisovanjem.
V petem razredu so v ospredju naslednje težave, vezane na razumevanje števila nič (Janežič, 2012):
- težava pri dojemanju, da je število 0 sodo število:
- računanje potence števila, pri katerem je eksponent 0;
- računanje enačb, kjer se med računanjem na eni strani enačbe pojavi vrednost 0.
Učenci v šestem razredu osnovne šole spoznajo decimalna števila, kjer lahko število nič nastopa kot eninka, desetinka, stotinka itd. Izpostavljene so naslednje težave:
- pri urejanju decimalnih števil po velikosti od najmanjšega do največjega učenci števila uredijo po velikosti/dolžini zapisa posameznega decimalnega števila ali števila uredijo glede na pozicijo števil po desetiškem sistemu;
- razumevanje pomena števila ničel, ki jih dodamo na koncu decimalnega števila (za decimalno vejico, katera ne vplivajo na velikost samega števila :
- pri množenju decimalnega števila z decimalnem številom se pri zmnožku prostori, kjer nastopi decimalna vejica, seštevajo med faktorjema – ne glede na to, če je katero od števil število 0 (razlaga sledi v empiričnemu delu).
Postopoma bomo dodajali lastno razmišljanje o mrežnih povezavah, ki so v ospredju pri učencih, ki prihajajo do napačnih zaključkov pri razumevanju števila nič.
V četrtem razredu imajo učenci težave s pisnim odštevanjem. Dano težavo ponazorimo s primeroma, kjer pri prvem primeru pri odštevanju prehajamo preko enic, desetic in stotic.
Pri drugem primeru so enice, desetice in stotice nič, zato se dane mestne vrednosti zmanjševanca ponovijo v količniku.
Primer 2:
T S D E 3 4 5 6 - 1 0 0 0 2 4 5 6 Primer 1:
T S D E
3 0 0 0+10E - 1 3 4+1D 5
1 6 5 5
26
Tu nastopi prepoznavanje pravila razlike. Razlika med danima primeroma je, da je prvo pisno odštevanje s prehodom, v drugem primeru pa pisno odštevanje brez prehoda. Pri drugem primeru učenci pisno odštevajo posamezne mestne vrednosti 6 E – 0 E = 6 E, 5 D – 0 D = 5 D, 4 S – 0 S = 4 S in 3 T -1 T = 2 T. Če je v odštevancu posamezna števka nič v enicah, deseticah, tisočicah …, se nič ne odšteje, števka zmanjševanca se samo prepiše.
Poglejmo, kakšen razmislek zahteva pri učencih prvi primer, kjer je potreben prehod preko desetiških enot. Pri tem računu bi morali od 0 odšteti 5, vendar tega ne moremo narediti.
Zato je treba pri pisnem odštevanju zmanjševancu dodati 10 E in odštevancu 1 D, da se razlika ohrani. Enako napravimo tudi pri ostalih desetiških enotah.
Kako četrtošolci razmišljajo pri množenju dvomestnih števil? Zmnožimo dve dvomestni števili, npr. 32 ˑ 21. Če dan primer rešimo pisno, kot to računajo učenci 5. razreda osnovne šole, je zapis videti tako:
32· 21 640 + 32 672
Pri pisnem množenju gre za algoritem, kjer število 32 najprej pomnožimo z 20, nato prvi faktor pomnožimo še z 1 (upoštevamo distributivnostni zakon: 32 ˑ 21 = 32 ˑ 20 + 32 ˑ 1).
Pri pisnem množenju je razumevanje mestne vrednosti, ki se izraža v ustreznem podpisovanju delnih zmnožkov, velikega pomena, da na koncu lahko ustrezno seštejemo vrednosti posameznih desetiških enot. Podobna težava lahko nastopi pri deljenju. Vzemimo naslednji primer:
4024 : 4 =
Pri deljenju tisočic delimo 4 T s 4 in dobimo 1 T. Nato pri stoticah nastopi situacija 0 S : 4, pri čemer nekateri učenci to razumejo kot situacijo, ki je brez vrednosti. Posledično se dogaja, da pozabijo v rezultatu zapisati 0 na mesto stotic in zato dobijo rezultat 106 in ne 1006, kot bi bil pravilen izračun deljenja. Zato je pri računanju pomembno učence navajti tudi na oceno rezultata, da do takih napak ne bi prihajalo.
27
V petem razredu učenci obravnavajo pojem sodosti in lihosti. Da učenci razumejo nič kot sodo število je potrebno ponovno razumevanje pomena števila nič pri deljanju. Soda so vsa števila, ki so deljiva s številom dve in med njih prištevamo tudi število 0. Pojem sodosti pa lahko vpeljemo tudi preko analogije, število je sodo, če ima na mestu enice števila 0, 2, 4, 6, 8 (Janžič, 2012). Da je število sodo avtorji definirajo tudi znotraj množice celih števil: n je sodo število, če velja naslednik ( naslednik ( n ) ) = sodo število. Skladno z dano definicijo je število 0 sodo število (Lovas in Pfeninf, 2008). Pri učencih nastane težava, če se od njih pričakuje razlaga sodosti števila 0, ki izhaja iz definicije deljenja. Nič kot odsotnost, npr.
jabolk, je težko razumeti kot sodo število jabolk. Lažje si zapomnijo pravilo, da so soda števila vsa tista cela števila, ki imajo na mestu enic števke 0, 2, 4, 6 ali 8.
Matematična razlaga, zakaj je x0, pri čemer je x celo število, enaka 1, je kompleksna in težavna za razumevanje. Učenci pogosto razmišljajo, da če je množenje z 0 enako 0, bi podoben koncept lahko uporabili tudi pri potenciranju, kjer je eksponent 0, kar je zmotno.
Pri reševanju enačb se učenci učijo o ekvivalentnosti preoblikovanja enačb. Pri tem upoštevajo pravila, da na obeh straneh enačbe prištejejo ali odštejejo isti člen. Če vse člene enačbe prenesemo na eno stran enačaja, nam na drugi strani enačaja ostane število nič kot rezultat pri odštevanju z nasprotnim številom. Podobno velja pri seštevanju nasprotnega števila (Berk, Draksler in Robič, 2005). Števila 0 na eni strani enačbe učenci ne pripišejo.
Primer manjših števil, ki so večja ali enaka nič in manjša od 1: 0,1120; 0,102; 0,0012; 0,1;
0,21; 0,00; 0,1002, so del obravnave pri decimalnih številih. Z danimi števili učenci operirajo v šestem razredu. Števila želimo urediti po velikosti od najmanjšega do največjega. Pravilno zaporedje števil je naslednje: 0,00; 0,0012; 0,1; 0,1002; 0,102; 0,1120;
0,21. Pri razporejanju števil smo uporabili razumevanje sistema mestne vrednosti. Pravilo za preverjanje velikosti decimalnih števil je naslednje: najprej primerjamo med sabo celi del števila. Če sta dani števili v celem delu enaki, nadaljujemo primerjanje decimalnega dela po vrstnem redu. Najprej primerjamo desetine, v primeru ujemanja nadaljujemo s stotinami, tisočinami itd. Število, katerega posamezna vrednost zavzame večjo vrednost, je večje (Berk, Draksler in Robič, 2008). Učenci lahko števila uredijo po velikosti od najmanjšega proti največjemu tudi tako, da preštejejo število števk, kjer daljši (večje število števk) zapis pomeni večje število. Kako učenci razumejo razporejanje decimalnih števil v številsko vrsto, bomo preučevali v empiričnem delu.
28 TRETJE TRILETJE OSNOVNE ŠOLE
Zadnje triletje pri učencih težave pri razumevanju števila nič niso vezane zgolj na osnovne računske operacije. V sedmem razredu imajo učenci zmotno predstavo o številu nič, ki je celo število, in ulomkih, ki niso cela števila. Učenci imajo težavo pri urejanju števil v številski vrsti, kjer nastopajo ulomki, število nič in naravna števila. Kar 20 % učencev je dana števila razporedilo na naslednji način: najprej ulomke, nato število nič in na koncu naravna števila. Pri sami interpretaciji odgovora so učenci odgovorili, da ulomki niso cela števila in jih zato v številsko vrsto vstavimo pred število 0. Številu nič sledijo naravna števila 1, 2, 3 itd. (Catterall 2005).
Pri osmošolcih se pojavlja vprašanje, ko želimo številu nič določiti absolutno vrednost. Vsa števila, razen števila nič, imajo absolutno vrednost pozitivno. Število nič je edino število, ki ima absolutno vrednost enako prvotnemu številu, ker je -0 = 0.
A. Janežič (2012) navaja, da učenci v zadnjem razredu osnovne šole zamenjajo vrednosti–
katera spremenljivka je enaka nič pri iskanju presečišča z ordinato in absciso. 0 lahko nastopa tudi kot rešitev linearne enačbe.
Na primeru linearne funkcije skušajmo predstaviti vrednost posamezne spremenljivke (x, y) pri sekanju koordinatnih osi (abscise in ordinate). Vzemimo primer linearne funkcije y = 2x + 3. Graf funkcije seka ordinatno os v točki y = 3, kjer je predpostavljen pogoj x = 0.
Podobno razmišljanje je od učencev zahtevano, ko graf y = 2x + 3 seka abscisno os v točki x = -1,5, kjer je vrednost spremenljivke y = 0. Učenci z grafa razberejo, kolikšna je vrednost spremenljivk x in y, ko graf linearne funkcije seka koordinatni osi. Postavlja se nam vprašanje, ali so učenci sposobni obratnega razmisleka, da je vrednost spremenljivke x = 0, ko graf seka y-os in obratno.
29
Slika 10: Graf linearne funkcije y = 2x + 3
Enačba 3x – 5= -5 ima enolično rešitev, pri kateri je x = 0. Ali učenci razumejo, da je rešitev število 0 ali v tem primeru vidijo, da enačba nima rešitve?
30 4. EMPIRIČNI DEL
4.1 Problem in cilji raziskave
4.1.1 Opredelitev problema
Otrok se s samim številom 0 sreča že v predšolskem obdobju, sistematično učenje pa se začne z vstopom v 1. razred osnovne šole, kjer število 0 vpeljemo kot moč prazne množice in kot rezultat pri odštevanju, kjer sta zmanjševanec in odštevanec enaka. Haylock in Cockburn (2008, str.113, 114) navajata, »da so težave pri množenju in deljenju, s čimer se učenec sreča na razredni stopnji, posledica lastnosti ničle v odnosu do množenja in deljenja«, ko učenec spoznava vlogo števila 0 pri računskih operacijah. Tako bomo v diplomski nalogi pregledali, pri katerih matematičnih vsebinah je razumevanje števila nič v posameznem razredu devetletnega osnovnošolskega programa izpostavljeno. V posameznem razredu bomo izpostavili tudi težave, s katerimi se učenci posameznega razreda v povezavi z razumevanjem konceptov števila nič soočajo. Težave so vezane na učni načrt matematike (Žakelj, 2011).
Kot je zapisala A. Janežič (2012), število nič kaže svojo posebnost tudi pri decimalnih številih, kjer imajo učenci težave že s samim urejanjem decimalnih števil po velikosti, kjer je razumevanje sistema mestnih vrednosti pomembno. Večje težave nastopajo, ko pridemo do računskih operacij, kjer je za pravilno rešitev potrebno tudi razumevanje števila nič.
Tako se bomo v raziskovalnem delu osredotočili na vprašanje, kako učenci 6. razreda osnovne šole razumejo število nič pri posameznih matematičnih vsebinah v povezavi z drugimi števili. Raziskovali bomo računske operacije, vezane na število nič, kjer to predstavlja člen računske operacije in kjer števka nič zavzema različno mestno vrednost pri posameznih členih računa. Učenci pri raziskovalnih nalogah primerjajo velikosti števil, urejajo števila v številsko vrsto in jih prikazujejo na številski osi v povezavi s številom nič.
31
V raziskavo je vključena tudi naloga, ki je izvzeta iz raziskovalnega dela (Catterall 2005).
Samo raziskavo bomo primerjali s podatki, ki jih bomo pridobili sami.
4.1.2 Cilj in raziskovalna vprašanja
Cilj diplomske naloge je ugotoviti, kako učenci šestega razreda devetletne osnovne šole razumejo oz. dojemajo število nič. Skladno s cilji smo si zastavili naslednja raziskovalna vprašanja:
Kako učenci razumejo število nič (nič kot števka, pozicijski pomen ničle pri naravnih številih, decimalnih številih)?
Kako uspešno učenci računajo s števili, kjer število nič predstavlja člen računske operacije?
Kako uspešni so učenci pri računanju, kjer števka nič zavzema različno mestno vrednost pri posameznih členih računa?
Kako uspešni so učenci pri primerjanju, urejanju in prikazovanju števil, kjer števka nič zavzema različno mestno vrednost pri posameznih členih računa?
Ali obstajajo razlike med spoloma učencev pri uspešnosti reševanja matematičnih nalog, vezanih na razumevanje števila nič v 6. razredu osnovne šole?
Ali je razumevanje števila nič v korelaciji z oceno pri matematiki? Ali učenci z boljšo oceno pri predmetu matematika boljše razumejo različne pomene števila nič?
32
4.2 Metodologija
4.2.1 Metoda in raziskovalni pristop
V raziskovalni nalogi smo za zbiranje podatkov uporabili deskriptivno in kavzalno- neeksperimentalno metodo pedagoškega raziskovanja. Podatke smo zbrali s pomočjo preizkusa znanja. Za lažje interpretiranje podatkov smo si pomagali tudi z do sedaj dognanimi teoretičnimi dejstvi.
4.2.2 Vzorec
Kvantitativna raziskava temelji na vzorcu, ki nam predstavlja 30 učencev 6. razreda osnovnih šol. Od tega je 11 učencev in 19 učenk. Pri učencih je zagotovljena anonimnost zbiranja podatkov. Od staršev smo pridobili soglasje za sodelovanje otrok pri raziskovalnem delu tega diplomskega dela.
SPOL f f % Deček 11 36,67 Deklica 19 63,33 Skupaj 30 100
Tabela 2: Struktura vzorca glede na spol
4.2.3 Opis postopka zbiranja podatkov
Da smo ugotovili, kako število nič razumejo učenci šestega razreda osnovne šole, smo uporabili vnaprej pripravljen pisni preizkus znanja z nalogami o razumevanju števila nič – nestandardiziran merski instrument (glej Prilogo 1).
Preizkus znanja je zajemal 9 nalog. Tri naloge so bile računskega tipa (2., 3. in 5. naloga), in sicer so učenci računali izraze, kjer je število nič nastopalo kot del računske operacije ali
