Seznam slik

Univerza v Ljubljani Pedagoška fakulteta

Oddelek za matematiko in računalništvo

Marko Razpet

KNJIGA KVADRATOV LEONARDA PISANSKEGA

Študijsko gradivo Zgodovina matematike

Ljubljana, april 2019

Vsebina

Seznam slik 4

Predgovor 5

Uvod 9

1 Prva trditev 11

2 Druga trditev 12

3 Tretja trditev 13

4 Četrta trditev 15

5 Peta trditev 15

6 Šesta trditev 16

7 Sedma trditev 18

8 Osma trditev 18

9 Deveta trditev 19

10 Deseta trditev 19

11 Enajsta trditev 20

12 Dvanajsta trditev 22

13 Trinajsta trditev 23

14 Štirinajsta trditev 23

15 Petnajsta trditev 29

16 Šestnajsta trditev 30

17 Sedemnajsta trditev 30

18 Osemnajsta trditev 31

19 Devetnajsta trditev 31

20 Dvajseta trditev 32

21 Enaindvajseta trditev 32

22 Dvaindvajseta trditev 32

23 Triindvajseta trditev 34

24 Štiriindvajseta trditev 34

Viri 36

Seznam slik

1 Leonardo Pisanski. . . 5

2 Bedˇzaja v Alˇziriji. . . 6

3 Cesar Friderik II. Hohenstaufen . . . 8

4 Vsota zaporednih lihih števil. . . 11

5 K izpeljavi enakosti (2). . . 14

6 Število 24je kongruum. . . 25

7 Eliptična krivuljaE₆. . . 28

Predgovor

Leonardo Pisanski ali Leonardo iz Pise, v italijanščini Leonardo Pisano, bolj znan kot Fibonacci, velja za najpomembnejšega evropskega srednje- veškega matematika. Njegova pomembnost je predvsem v tem, da je na- pisal knjigoLiber abbaci, v kateri opiše indijsko-arabske številke in raču- nanje z njimi. To naredi predvsem na številnih uporabnih primerih. Raču- nanje je tako postalo preprosto in so ga zlahka usvojili ne le učenjaki, am- pak tudi navadni ljudje, zlasti trgovci in obrtniki. Zato se je hitro razširilo po Italiji in od tam po celotni Evropi. Namen tega gradiva pa je pred- stavitev druge pomembne Leonardove knjige,Liber quadratorum.

Slika 1. Leonardo Pisanski.

PridevnikPisanskije v soglasju s Slovenskim pravopisom in tradicijo.

Mesto Pisa, po svetu verjetno najbolj znano po poševnem stolpu, ki se je začel nagibati že v Leonardovem otroštvu, leži ob izlivu toskanske reke Arno v Ligursko morje. Pisa se običajno izgovarja kotpiza, po pravopisu so njeni prebivalciPisánci, prebivalkePisánke, stavbe v Pisi pa sopisánske.

Po naši tradiciji bi bil neki pomembnež Janez iz Pise lahkoJanez Pisan- ski, tako kot je Andrej s Turjaka Andrej Turjaški, Jovan Vesel iz Kosez Jovan Vesel Koseski, Josipina Urbančič z gradu Turn pri PreddvoruJosi-

pina Turnograjska, Aleksander Veliki Aleksander Makedonski, Tomaž iz AquinaTomaž Akvinskiin še bi lahko naštevali.

O Leonardovem življenju v resnici vemo bore malo. Rodil se je okoli leta 1170, verjetno v Pisi, pomembnem pristanišču in mestni državi, ki se je pogosto z Genovo in Benetkami borila za prevlado v sredozemski trgovini. Leonardov oče Guglielmo je bil pisanski trgovec, ki je svoje posle opravljal po nekaterih pristaniških mestih ob Sredozemskem morju.

Pogosto je še rosno mladega sina jemal s seboj na potovanja. Indijsko- arabske številke in računanje z njimi se je Leonardo hitro naučil od Arab- cev, s katerimi sta z očetom pogosto trgovala v Egiptu, Siriji, Grčiji in Provansi ter na Siciliji. Verjetno se je Leonardo naučil največ matem- atike v sredozemskem mestu Bedžaja, arabsko

éKAj.K.

, v današnji Alžiriji (tudi Bougie, Bugia). Tam je namrečLeonarda njegov oče kot predstavnik pisanske države za nekajčasa zaupal neki arabski šoli.

Slika 2. Bedžaja v Alžiriji.

Računanje in geometrijo pa je Leonardo kmalu tako dobro obvladal, da je poleg Liber abbaci napisal še Liber quadratorum, Practica geome- triae, Flos in Liber minoris guise, ki je bila namenjena predvsem trgov- cem. Latinska besedaflospomeni cvet,liber minoris guisepa dobesedno knjiga na manjši način. Pogosto omenjajo še Leonardovo pismoEpistola ad Magistrum Theodorumin traktat o deseti knjigi EvklidovihElementov, ki obravnava nesoizmerljive količine. Leonardo je umrl okoli leta 1250, najbrž v Pisi.

Knjigo Liber abbaci je posvetil Mihaelu Skotu, ki si je zaradi svojih dejavnosti prislužil mesto v Dantejevem osmem kroguPekla, prvem delu

slovite Božanske komedije. Mihaela je pahnil v četrto kotanjo, kjer so z zasukanimi glavami na večno trpljenje obsojeni vedeži in čarodeji. Pesnik je Skotu posvetil celo tercino v dvajsetem spevu:

Quell’ altro che ne’ fianchi e cosi poco, Michele Scotto fu, che veramente de le magiche frode seppe ’l gioco.

Ob njem naslednji, z mršavimi boki je Miha Skot; kakor nihče nikoli je vedel on, kajčar je, kaj uroki.

Slovensko besedilo pisatelja, esejista, pesnika, romanista, prevajalca, uni- verzitetnega profesorja, politika in diplomata Andreja Capudra (1942–

2018) razlaga pomen Dantejevih verzov.

Liber abbaciso vneto prepisovali in prilagajali lokalnim posebnostim, kot so narečje, denar, mere in uteži. Včasih so v prepisih tudi pozabili omeniti avtorja, na katerega se je z leti pozabilo. Znanje, ki je zajeto v tej knjigi, pa se je hitro razširilo. Na Leonarda se je spet z velikim spoštova- njem spomnil Luca Pacioli (1445–1517). Šele v 19. stoletju se je pojavilo imeFibonacciin prav tako pojemFibonaccijeva števila. ImeFibonaccinaj bi nastalo iz besedFilius(sin)Bonaccii(genitiv družinskega imena Bonac- cio). Zgodovinsko ni nikjer izpričano, da bi Leonarda kdorkoli v času njegovega življenja imenoval Fibonacci. To ime je baje skoval italijansko- francoski matematik in bibliofil Guillaume Libri (1803–1869) leta 1838.

Sam Leonardo se je v deluFlosimenovalLeonardo Pisano Bigollo. Beseda bigollo pomeni popotnik, kar je v skladu z Leonardovim načinom živl- jenja.

V Leonardovem času je pisanska mestna država pripadala Svetemu rimskemu cesarstvu, ki ji je vladal zelo izobražen cesar Friderik II. Ho- henstaufen (1194–1250). Zanimali so ga jeziki, filozofija, medicina, na- ravoslovje in matematika. S svojim dvorom, vključno s pesniki, glas- beniki, učenjaki in filozofi, je pogosto potoval po Italiji. Okoli leta 1225 je magister Dominik Leonarda predstavil dvoru. Takrat so organizirali matematično tekmovanje, v katerem je Leonardo med drugim dejansko pokazal, da je 5 tako imenovanokongruentno število. Problem je bil znan magistru Janezu iz Palerma, ki ga je verjetno našel v nekem arabskem

Slika 3. Cesar Friderik II. Hohenstaufen

viru in posredoval Leonardu. Več o tem problemu pride na vrsto kas- neje, ko bomo natančneje pregledali vsebino njegovega delaLiber quadra- torum, kar pomeniknjiga kvadratov. Čeprav daje naslov občutek, da gre za geometrijske probleme, v resnici ni tako. Knjiga se ukvarja s kvadrat- nimi števili, ki so kvadrati naravnih ali pozitivnih racionalnih števil, to je ulomkov z naravnimi števci in imenovalci.

Leonardovo knjigoLiber quadratorum, ki jo je avtor posvetil samemu cesarju, je iz pozabe obudil sredi 19. stoletja zgodovinar matematike Bal- dassarre Boncompagni (1821–1894). V milanski knjižnici Biblioteca Am- brosianaje med drugim našel rokopis delaLiber quadratorum.

Našli so se tudi kritiki, ki so Leonardu očitali preveliko prepisovanje iz Diofantove Aritmetike in del nekaterih arabskih matematikov. Res je dobro poznal dela Evklida, Herona iz Aleksandrije, Diofanta in Platona iz Tivolija, ki je veliko prevajal arabska astronomska in matematična dela.

Tudi Evklidovo deloO delitvi (likov),Περὶ διαιρέσεων βιβλίον, je bilo Leonar- du znano. Deloma ga poznamo samo prek arabskih prevodov. V bran je Leonarda vzel Ettore Picutti, ki je dokazoval v njegovih delih veliko

izvirnost. Zato imamo Leonarda lahko za velikega naslednika tradicional- ne grške in arabske matematike.

Uvod

LeonardovaKnjiga kvadratovje razdeljena na petindvajset delov: na uvod in štiriindvajset trditev. Matematično besedilo še ne pozna današnjih sim- bolov, opira se na grško tradicijo. Števila pogosto obravnava kot dolžine daljic, na primer .ab., .bc.. Take interpretacije v pričujočem gradivu ne bomo uporabljali. Število je za Leonarda naravno število ali pozitivno racionalno število, ulomek z naravnim števcem in imenovalcem. Če je številon=k²kvadratno število, je številoknjegovkoren. Leonardo v stro- gem matematičnem izražanju ni posebno dosleden. Kvadratnemu številu pogosto reče kar kvadrat.

Leonardo ne uporabljačrk za števila. Seveda tudi ne v zaporedju, zato našteje nekaj njegovih prvihčlenov in pravilo zanje posploši. Ne pozna še matematične indukcije. Svoj uvod se začne nekako tako (prevod iz [3]):

Razmišljal sem o izvoru kvadratnih števil in odkril, da se pojavljajo pri naraščajočem zaporedju lihih števil; enica je kvad- rat, ki da prvi kvadrat, namreč 1; če tej enici dodamo 3, do- bimo drugi kvadrat, namreč4s korenom2;če tej vsoti dodamo tretje liho število, namreč5, naredimo tretji kvadrat, namreč9 s korenom 3; in te vsote zaporednih lihih števil in zaporedje kvadratov se skupno pojavljajo urejeno.

Dandanes bi zgornje izjave zapisali takole:

1 = 1², 1 + 3 = 2² 1 + 3 + 5 = 3², 1 + 3 + 5 + 7 = 4².

Iz tega sledi splošna enakost

1 + 3 + 5 + 7 +. . .+ (2n−1) =n². (1) Da dobimo kvadrat števila 5, vanjo postavimon= 5:

1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 5². Rezultat je poznal že Pitagora okoli leta 500 p.n.š.

Zgornjo enakost lahko izpeljemo zelo preprosto:

1 + 3 + 5 + 7 +. . .+ (2n−1)

= 1

2(1 + 3 + 5 + 7 +. . .+ (2n−1) +1 + 3 + 5 + 7 +. . .+ (2n−1)) =

= 1

2(1 + (2n−1) + 3 + (2n−3) +. . . +(2n−3) + 3 + (2n−1) + 1)

= 1

2(2n+ 2n+ 2n+. . .+ 2n)

= 1 2n·2n

= n².

Včasih bomo v tem gradivu kakšno trditev dokazali tudi na nam bolj znani način. Za primer dokažimo (1) z metodo matematične indukcije. Enakost dokažimo najprej zan= 1. Dobimo 1 = 1² = 1. Torej zan= 1 res velja. Če pa velja zan, potem imamo

(1 + 3 + 5 +. . .+ (2n−1)) + (2n+ 1) =n²+ (2n+ 1) = (n+ 1)². Zato je

1 + 3 + 5 +. . .+ (2n−1) + (2n+ 1) = (n+ 1)². Enakost je zato pravilna za vsako naravno številon.

Enakost ima tudi grafično razlago. Načrtamo kvadrat s stranico n in ga razdelimo na n kotnikov, kot kaže slika 4. Kvadrat razdelimo na n² enotskih kvadratov. V vsakem kotniku je liho število enotskih kvadra- tov. Primerjamo vsoto ploščin vseh kotnikov s ploščino kvadrata. Dobimo iskano enakost.

Slika 4. Vsota zaporednih lihih števil.

1 Prva trditev

Obstajata kvadratni števili, katerih vsota je tudi kvadratno število.

Leonardo trditev utemeljuje z zapisoma:

(1 + 3 + 5 + 7) + 9 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9, 4²+ 3²= 5².

V splošnem je treba upoštevati, da je kvadrat lihega števila tudi liho število:

(2n−1)²= 4n²−4n+ 1.

Predhodno liho število je

4n²−4n−1 = 2(2n²−2n)−1.

Po enakosti (1) je vsota zaporednih 2n²−2nlihih števil 1 + 3 +. . .+ (2(2n²−2n)−1) = (2n²−2n)², vsota zaporednih 2n²−2n+ 1 lihih števil pa

(1 + 3 +. . .+ 2(2n²−2n)−1) + (2(2n²−2n) + 1) = (2n²−2n)²+ (2n−1)²,

kar je enako

1 + 3 +. . .+ (2n²−2n)−1) + (2(2n²−2n+ 1)−1) = (2n²−2n+ 1)². Torej velja za vsako naravno številonenakost

(2n²−2n)²+ (2n−1)²= (2n²−2n+ 1)².

S tem dobimo nešteto pitagorejskih trojk (A, B, C), za katere velja: A, B, C so naravna števila, za katera jeA²+B²=C². Trikotnik s stranicamiA,Bin C je pravokoten. Njegovi kateti staAinB, hipotenuza paC. Pitagorejska trojka (A, B, C) je primitivna,čeA,BinC nimajo skupnega delitelja.

Našli smo torej pitagorejske trojke (A, B, C), kjer je A= 2n(n−1), B= 2n−1, C= 2n(n−1) + 1.

Niso pa to vse pitagorejske trojke. Te določajo tiste pravokotne trikot- nike, pri katerih je hipotenuza za 1 večja od katete. Pitagorejske trojke (20,21,29) ni med njimi. Vse dobimo po formulah

A=k(m²−n²), B= 2kmn, C=k(m²+n²),

pri čemer sta si m in n tuji naravni števili različnih parnosti, m > n in k naravno število. Zgornje formule, nekoliko modificirane, je poznal tudi Leonardo, saj navaja v svoji tretji trditvi deseto knjigo Evklidovih Elemen- tov, ki obravnava to tematiko. Sicer so jih poznali že babilonski matem- atiki za reševanje kvadratnih enačb.

2 Druga trditev

Vsako kvadratno število presega predhodno kvadratno število za vsoto ko- renov obeh.

To trditev je dandanes enostavno dokazati:

(n+ 1)²−n² =n²+ 2n+ 1−n²= 2n+ 1 = (n+ 1) +n.

Velja tudi zan= 0,česar pa Leonardo ne omenja.

Trditev uporabi za sestavljanje pitagorejskih trojk. Če je namrečvsota (n+ 1) +n =y² kvadratno število, velja (n+ 1)²−n² =y², torej n²+y² = (n+ 1)². S tem imamo pitagorejsko trojko (n, y, n+ 1). Za n= 12 je vsota (n+ 1) +n= 25 = 5², kar nam day= 5 in relacijo 12²+ 5²= 13². Našli smo celo primitivno pitagorejsko trojko (12,5,13).

Leonardo navaja tudi trditev:Če se korena razlikujeta za dve, potem se njuna kvadrata razločujeta za štirikratnik vmesnega korena. To dejansko pomeni, da velja za naravnenrelacija

(n+ 2)²−n²= 4(n+ 1).

Če jen+ 1 =y²kvadratno število, potem je (n+ 2)²−n²= (2y)²,

kar pomeni, da je trojka (n,2y, n+ 2) pitagorejska. Na koncu Leonardo utemeljuje še enakost

m²−n²= (m−n)(m+n).

Vse trditve dokazuje geometrijsko.

3 Tretja trditev

Obstaja še drugačen način, kako najti dva kvadrata, katerih vsota je tudi kvadrat.

Leonardova trditev temelji na peti trditvi v drugi knjigi Evklidovih Elementov. Evklid z metodo tako imenovanegeometrijske algebredokaže enakost

x+y 2

2

= x−y

2 2

+xy. (2)

Znana je bila že babilonskim matematikom.

Slika 5. K izpeljavi enakosti (2).

Dokaz poteka nekako takole. Vzamemo pravokotnikABCD (slika 5), pri katerem je |AB|= 2|BC|. DaljicaEF deli pravokotnik na skladna kva- drataAFED inFBCE. MedF inBizberemo točkoI, nato pa pravokotnik ABCD razširimo v pravokotnik KLCD, pri čemer je |KA| = |FI|. Daljico EF podaljšamo do točke G, daljico HI pa do točke J. ŠtirikotnikGJIF je kvadrat. Očitno sta pravokotnikaGLBF inFIHEskladna. Zato je ploščina kotnikaGLCHIFenaka ploščini kvadrataAFED.

Označimox=|AI|iny=|IB|. Velja x > y. KvadratAFED ima stranico (x+y)/2, kvadratGJIF pa (x+y)/2−y= (x−y)/2. DaljicaLC ima dolžino (x+y)/2 + (x−y)/2 =x. Ploščina kotnikaGLCHIF je zato ((x−y)/2)²+xy, ploščina kvadrataAFED pa ((x+y)/2)². S tem pridemo do zaključka, da velja relacija: ((x+y)/2)² = ((x−y)/2)²+xy. Očitno staxinylahko poljubna, saj jima lahko stranici pravokotnika v vsakem primeru prilagodimo.

Drugačen način v tretji Leonardovi trditvi pomeni, da v enakost (2) postavimox=m² iny=n² zam > n. Dobimo

m²+n² 2

!2

= m²−n² 2

!2

+ (mn)².

Pitagorejske trojke (A, B, C) potem dobimo po formulah A=m²−n², B= 2mn, C=m²+n².

Leonardo tukaj dopušča tudi neprimitivne pitagorejske trojke.

4 Č etrta trditev

Obstaja še en način, kako dobimo zaporedje kvadratov iz urejenih vsot lihih števil od ena do neskončno.

Način poteka z večkratno uporabo druge trditve, to se pravi z enakostjo k²−(k−1)²=k+ (k−1) = 2k−1. Zapišimo jo zak= 1,2,3, . . . , n−1, n:

1 = 1², 3 = 2²−1², 5 = 3²−2²,

... ...

2n−3 = (n−1)²−(n−2)², 2n−1 = n²−(n−1)².

Ko vse zgornje enakosti seštejemo, dobimo znano enakost 1 + 3 + 5 +. . .+ (2n−3) + (2n−1) =n².

5 Peta trditev

Obstajata števili, katerih vsota kvadratov je kvadrat, ki ga dobimo kot vsoto kvadratov dveh drugih števil.

Leonardo začne z neodvisnima relacijama A²+B²=C², p²+q² =r²

z naravnimi števili. Drugo deli zr², da dobi relacijo p

r 2

+ q

r 2

= 1, ki jo nato pomnoži sC²:

pC r

² +

qC r

²

=C².

S tem jeC²vsota kvadratov racionalnih števil, ki sta sorazmerni številoma pinq.

6 Šesta trditev

Dana so štiri števila, ki niso v sorazmerju, od katerih je prvo manjše kot drugo, tretje pa manjše kotčetrto.Če vsota kvadratov prvih dveh in vsota kvadratov zadnjih dveh nista kvadrata, potem je produkt teh dveh vsot enak vsoti dveh kvadratov na dva načina. Če je ena od vsot kvadrat, je pro- dukt vsot enak vsoti kvadratov na tri načine.Če pa sta obe vsoti kvadratov kvadrata, je produkt vsot enak vsoti kvadratov na štiri načine. To je možno brez ulomkov.

Dana naravna števila naj bodo a, b, c, d, pri čemer jea < b in c < d. To pomeni, da jeac < bd. Da niso v sorazmerju, pomeni, daa/b,c/doziroma ad ,bc. V Leonardovemčasu sta bili že znani enakosti

(a²+b²)(c²+d²) = (ac+bd)²+ (bc−ad)², (3) (a²+b²)(c²+d²) = (ad+bc)²+ (bd−ac)². (4) Formalno drugo enakost dobimo iz prve,če med seboj zamenjamoc ind.

Uporabljal ju je že Diofant v svojiAritmetiki, pa islamski matematik in as- tronom Al-Khazin (900–971), v arabščini

à PA jË@

. V sodobni matematiki ju imenujemoLagrangeevi enakostiin veljata za poljubna realna števila. In- dijski matematik in astronom Brahmagupta (598–668), v sanskrtub}hmgpt,

je poznal splošnejši enakosti:

(a²+N b²)(c²+N d²) = (ac+N bd)²+N(bc−ad)²= (ac−N bd)²+N(bc+ad)². ZaN = 1 dobimo Lagrangeevo. Brahmaguptova enakost je pomembna pri reševanju Pellove enačbex²−Dy² = 1. Pri tem D ni kvadrat. Dandanes enakost (3) izpeljemo mimogrede s kompleksnimi števili. Naj boz=a−bi in w = c+di. Njun produkt je zw = (ac+bd) + (ad−bc)i. Za kvadrate absolutnih vrednosti velja enakost |z|²|w|² = |zw|². Upoštevamo relacije

|z|²=a²+b²,|w|²=c²+d²in|zw|²= (ac+bd)²+(bc−ad)², ki nam takoj dajo enakost (3). Leonardo pa dokaže enakosti (3) in (4) geometrijsko.

V (3) in (4) ne moreta biti pri pogojih trditve kvadrata (ac+bd)² in (ad+bc)² enaka. V nasprotnem primeru bi dobili relacijoac+bd=ad+bc, iz katere sledia(c−d) =b(c−d). Iz pogojac < d sledia=b, kar nasprotuje pogoju a < b. Torej (ac+bd)² in (ad+bc)² nista enaka. Posledično tudi kvadrata (bc−ad)² in (bd−ac)² nista enaka. Pogoja/b,c/d pa zagotavlja, da je (bc−ad)²>0. Ker jeac < bd, je tudi (bd−ac)²>0. Pri pogojih trditve je zato res produkt (a²+b²)(c²+d²) na dva načina vsota dveh kvadratov.

Če je vsota a²+b² kvadrat, denimoa²+b² =k², vsota c²+d² pa ne, še vedno veljata zapisa (3) in (4), poleg tega pa je

(a²+b²)(c²+d²) =k²(c²+d²) = (kc)²+ (kd)²,

kar je tudi vsota dveh kvadratov. Enak sklep velja tudi,če vsotaa²+b² ni kvadrat, vsotac²+d² pa je kvadrat.

Če sta obe vsoti kvadrata, denimo a²+b² =k² in c²+d² = h², lahko razen zapisov (3) in (4) zapišemo še

(a²+b²)(c²+d²) = (kc)²+ (kd)²= (ha)²+ (hb)².

Hitro se vidi, dakc,hainkc,hb, kar pomeni, da sta zapisa različna.

Leonardo ni preveč natančen. Ni znano, ali je vrstni red zapisa vsote kvadratov pomemben ali ne. Tudi ne drži, da so zapisi trije. Primer a= 1, b= 2, c= 3, d= 4:

(1²+ 2²)(3²+ 5²) = (1·3 + 2·4)²+ (2·3−1·4)²= 11²+ 2²= 125,

(1²+ 2²)(3²+ 5²) = (1·4 + 2·3)²+ (2·4−1·3)²= 10²+ 5²= 125, (1²+ 2²)(3²+ 5²) = (1²+ 2²)5²= 5²+ 10²= 125.

Različna zapisa z vsoto kvadratov sta le dva. Verjetno bi morali popraviti del besedila v trditvi v: "Če je ena od vsot kvadrat, je produkt vsot enak vsoti kvadratov na kvečjemu tri načine."

Leonardo tudi ni natančen v tipu števil. Kdaj gre za naravno in kdaj za racionalno, mora ugotavljati bralec sam.

7 Sedma trditev

Obstaja še en način, kako poiskati kvadrata, katerih vsota je kvadrat.

V enakostih (3) in (4) izberemo števila a, b, c, d tako, da je bc =ad in bd,ac. Potem dobimo

(a²+b²)(c²+d²) = (ac+bd)²= (ad+bc)²+ (bd−ac)².

Primer: a= 3, b= 4, c= 6, d= 8,ac+bd= 50,ad+bc= 48,bd−ac= 14, 50²= 48²+ 14².

Trojka (48,14,50) je pitagorejska, če jo delimo z 2, dobimo primitivno pitagorejsko trojko (24,7,25). Res je 24²+ 7²= 576 + 49 = 625 = 25².

8 Osma trditev

Obstajata taka kvadrata, za katera je njuna vsota enaka kvadratu vsote kvadratov dveh danih števil.

V sedmi trditvi izberimoa=c,b=d pri pogojua < b. S tem jebc=ad inbd,ac. Dobimo:

(a²+b²)²= (2ab)²+ (b²−a²)².

To je pravzaprav splošen način iskanja pitagorejskih trojk.

9 Deveta trditev

Obstajata števili, katerih vsota kvadratov je nekvadrat, ki je vsota kvadra- tov dveh danih števil.

Denimo, da stac in d taki dani števili, za kateri je z= c²+d² in z ni kvadrat. Bodita ain b števili, za kateri jek² =a²+b² kvadrat inad ,bc.

Sestavimo številoy=k²z= (a²+b²)(c²+d²). Po šesti trditvi obstajata števili pinq, za kateri jey=p²+q². S tem imamo relacijop²+q²=k²z, iz katere dobimo z = (p/k)²+ (q/k)². Torej je z vsota kvadratov dveh racionalnih števil.

Za primer vzemimoz= 41 = 4²+ 5²,k²= 3²+ 4². Po šesti trditvi lahko zak²z= (3²+ 4²)(4²+ 5²) zapišemo

k²z= 1²+ 32²= 8²+ 31². Pri tem je sevedak= 5. Našli smo celo dva zapisa:

41 = (1/5)²+ (32/5)²= (8/5)²+ (31/5)².

Leonardo še ni poznal izreka, da se liho praštevilo, ki pri deljenju s 4 da ostanek 1, da zapisati kot vsoto dveh kvadratov. Preostala liha praštevila pa niso vsota dveh kvadratov. Praštevilo 2 je vsota dveh kvadratov: 2 = 1²+ 1². Praštevilo 19 ni vsota dveh kvadratov, praštevilo 29 pa je: 29 = 5²+ 2².

10 Deseta trditev

Produkt dveh zaporednih števil, začenši z ena, in njune vsote je enak šestkratniku vsote kvadratov vseh števil od ena do najmanjšega v pro- duktu.

To pomeni, v naših oznakah, da je za vsako naravno številonpravilna enakost

n(n+ 1)((n+ 1) + 1) =n(n+ 1)(2n+ 1) = 6(1²+ 2²+ 3²+. . .+ (n−1)²+n²).

Leonardo jo izpelje potem, ko dokaže pomožno enakost k(k+ 1)(2k+ 1)−(k−1)k(2k−1) = 6k². Če na levi strani izpostavimok, dobimo

k((k+ 1)(2k+ 1)−(k−1)(2k−1)) =k(2k²+ 3k+ 1−2k²+ 3k−1) = 6k². Nato zapišemo pomožno enakost zak= 1,2,3, . . . , n−1, n:

1·2·3 = 6·1², 2·3·5−1·2·3 = 6·2², 3·4·7−2·3·5 = 6·3²,

... ...

(n−1)n(2n−1)−(n−2)(n−1)(2n−3) = 6·(n−1)², n(n+ 1)(2n+ 1)−(n−1)n(2n−1) = 6·n². Ko vse te enakosti seštejemo, dobimo

n(n+ 1)(2n+ 1) = 6·1²+ 6·2²+ 6·3²+. . .+ 6·(n−1)²+ 6·n²

= 6(1²+ 2²+ 3²+. . .+ (n−1)²+n²), kar je bilo treba dokazati.

11 Enajsta trditev

Produkt zaporednih lihih števil, začenši z ena, in njune vsote je enak dvanajstkratniku vsote kvadratov vseh lihih števil od ena do najmanjšega v produktu.

To pomeni, v naših oznakah, da je za vsako naravno številonpravilna enakost

(2n−1)(2n+ 1)((2n−1) + (2n+ 1)) = 4n(2n−1)(2n+ 1)

= 12(1²+ 3²+ 5²+. . .+ (2n−3)²+ (2n−1)²).

Leonardo jo izpelje potem, ko dokaže pomožno enakost

4(2k−1)(2k+ 1)k−4(2k−3)(2k−1)(k−1) = 12(2k−1)². Če na levi strani izpostavimo 4(2k−1), dobimo

4(2k−1)((2k+ 1)k−(2k−3)(k−1) = 4(2k−1)(2k²+k−2k²+ 5k−3)

= 4(2k−1)(6k−3) = 12(2k−1)². Nato zapišemo pomožno enakost zak= 1,2,3, . . . , n−1, n:

4·1·3·1 = 12·1², 4·3·5·2−4·1·3·1 = 12·3², 4·5·7·3−4·3·5·2 = 12·5²,

... ...

4(2n−3)(2n−1)(n−1)−4(2n−5)(2n−3)(n−2) = 12(2n−3)² 4(2n−1)(2n+ 1)n−4(2n−3)(2n−1)(n−1) = 12(2n−1)². Ko vse te enakosti seštejemo, dobimo

4(2n−1)(2n+ 1)n= 12·1²+ 12·3²+ 12·5²+. . .+ 12·(2n−3)²+ 12·(2n−1)²

= 12(1²+ 3²+ 5²+. . .+ (2n−3)²+ (2n−1)²), kar je bilo treba dokazati.

Na koncu Leonardo še opiše, kako se izpelje enakosti 12(2²+ 4²+ 6²+. . .+ (2n)²) = 2n(2n+ 2)(4n+ 2), 18(3²+ 6²+ 9²+. . .+ (3n)²) = 3n(3n+ 3)(6n+ 3), 24(4²+ 8²+ 12²+. . .+ (4n)²) = 4n(4n+ 4)(8n+ 4).

12 Dvanajsta trditev

Če sta si dve števili tuji in dasta sodo vsoto, potem je produkt teh dveh števil z njuno vsoto in razliko med večjim in manjšim številom deljiv s štiriindvajset.

Sodi številiminnsicer dasta sodo vsoto, toda si nista tuji. Vsota lihega in sodega pa tudi ne pride v poštev, ker je njuna vsota liho število. Zato lahko vzamemo, da staminnlihi tuji si števili. Vsotam+nin razlikam−n sta torej sodi števili. Dokazati je treba, da je pri opisanih pogojih produkt N =mn(m+n)(m−n) deljiv s 24.

Če je (m−n)/2 liho število, potem je število n+ (m−n)/2 = (m+n)/2 sodo število, kar pomeni , da je (m+n)(m−n)/4 sodo število. Zato je število (m+n)(m−n) deljivo z 8, prav takoN.

Če je (m−n)/2 = 2ksodo število, potem je številon+(m−n)/2 = (m+n)/2 liho število. To pomeni, da jem−n= 4kinm+n= 2hza naravni številik inh. Zato je (m+n)(m−n) = 8kh, kar pomeni spet, da jeN deljivo z 8. V vsakem primeru je številoN deljivo z 8.

Ker sta si m in n tuji, nista deljivi s 3. Torej dasta pri deljenju s 3 ostanek 1 ali 2. Če jem= 3k+ 1 inn= 3h+ 1, jem−n= 3(k−h), torej jeN deljiv s 3. Če jem= 3k+ 2 inn= 3h+ 2, jem−n= 3(k−h), torej jeN prav tako deljiv s 3.Če jem= 3k+ 1 inm= 3h+ 2 alim= 3k+ 2 inm= 3h+ 1, je m+n= 3(k+h+ 1), kar pomeni, da jeN v vsakem primeru deljiv s 3. Ker jeN deljiv z 8 in s 3, je pri danih pogojih res deljivo s 24.

Leonardo ni dokazal, da je število N =mn(m+n)(m−n) za nekatere netuje pare številm inn,m > n, tudi lahko deljivo s 24. V takem primeru je treba poiskati največji skupni deliteljd številminn, ki ju potem lahko zapišemo kot m = dm1 in n = dn1, pri čemer sta si n1 in n2 tuji števili.

Če stan1 inn2 lihi števili, je po zgoraj dokazani trditvi tudi število N1 = m1n1(m₁+n1)(m₁−n1) deljivo s 24. Potem je tudi število

N = (dn₁)(dn₂)(d₁m+dn1)(dm₁−dn1) =d⁴m1n1(m₁+n1)(m₁−n1) =d⁴N1

deljivo s 24.

13 Trinajsta trditev

Če so okoli danega števila razporejena manjša in večja števila, pri čemer je število manjših števil enako številu večjih števil inče vsako večje število presega dano število za prav toliko kot presega dano število neko manjše število, potem je vsota vseh manjših in vseh večjih števil enako produktu števila razporejenih števil in danega števila.

Dano število naj bos. Večja kotsnaj bodov₁, v₂, . . . , v_n, manjša kotspa m₁, m₂, . . . , m_n. Pri tem naj veljajo relacije:

v₁−s=s−m₁, v₂−s=s−m₂, . . . , v_n−s=s−m_n. Prepišimo jih v enakovredno obliko

m₁+v₁= 2s, m₂+v₂= 2s, . . . , m_n+v_n= 2s in nato seštejemo. Dobimo:

m₁+m₂+. . .+m_n+v₁+v₂+. . .+v_n=n·2s= 2n·s.

Vsota okoli s razporejenih števil je res 2n·s. Povprečje na opisani način okoli številasrazporejenih števil jes.

Posledica.Če sestavljajo številaa₁, a₂, . . . , a_naritmetično zaporedje, po- tem je njihova vsota enakan(a₁+a_n)/2.

14 Štirinajsta trditev

Obstaja število, ki prišteto in odšteto kvadratnemu številu da spet kvadrat- no število.

Poiskati je treba številax, y, zinc, za katera veljata relaciji x²+c=y², y²+c=z².

Tako število c je Leonardo imenoval numerus congruus. Lahko se zgodi, da so x, y in z naravna števila. V takem primeru je Leonardo število c imenoval congruum, v slovenščinikongruum. V splošnem, ko sox,yinz racionalna števila, uporabljamo zacizrazkongruentno število. Vsak kon- gruum je kongruentno število. Vsako kongruentno število je neki kon- gruum, deljen s kvadratom naravnega števila. Latinska besedacongruus pomeni soglasen, skladen, primeren, prikladen, priležen.

Leonardo se je problema lotil z vsotami lihih števil:

(1 + 3 +. . .+ (2x−1)) +c= (1 + 3 +. . .+ (2y−1)), (1 + 3 +. . .+ (2y−1)) +c= (1 + 3 +. . .+ (2z−1)).

Pri tem jex < y < z. Nato je zapisal

c= (2x+ 1) + (2x+ 3) +. . .+ (2y−1), c= (2y+ 1) + (2y+ 3) +. . .+ (2z−1).

V prvem izrazu za c je y−x lihih števil. Njihova vsota je po posledici trinajste trditvec= (y−x)((2x+ 1) + (2y−1))/2 = (y−x)(y+x) =y²−x². V drugem izrazu za c je z−y lihih števil. Njihova vsota je c =z²−y². Nič novega. Toda relacijo

z²−y² y²−x² =r,

kjer je r dano racionalno število, v našem primerur= 1, je obravnaval že Diofant in našel rešitve. Leonardo jo študira v dvaindvajseti trditvi.

Preprost primer. Število 24 je kongruentno, ker velja:

1²+ 24 = 5², 5²+ 24 = 7². Slika 6 ponazarja kongruentnost števila 24.

Leonardo po dolgem postopku pride do splošnega pravila za iskanje kongruentnih števil. Vendar odgovora na vprašanje, kdaj je c kongru- entno število, ne pozna. V resnici na to vprašanje še danes ne poznamo popolnega odgovora.

Slika 6. Število 24 je kongruum.

Najlaže pridemo do neskončno mnogo kongruentnih števil s pitagorej- skimi trojkami (A, B, C). Vzamemo, da jeA > B. Iz osnovne zvezeA²+B²= C²dobimo :

(A−B)²+ 2AB=C², C²+ 2AB= (A+B)². Torej jec= 2ABkongruentno število. Po znanih formulah

A=m²−n², B= 2mn, C =m²+n²

lahko zam > nzgornji relaciji za kongruentnost zapišemo v obliki (m²−n²−2mn)²+ 4mn(m²−n²) = (m²+n²)²,

(m²+n²)²+ 4mn(m²−n²) = (m²−n²+ 2mn)².

Številiminn, za kateri vzamemom > n, sta v teh zvezah naravni. Torej je število 4mn(m²−n²) = 4mn(m+n)(m−n) kongruentno.

Tako kot pri pitagorejskih trojkah zadoščajo primitivne, tudi pri kon- gruentnih številih iščemo primitivne. Primitivno kongruentno število je brezkvadratno, kar pomeni, da ni deljivo z nobenim kvadratnim številom razen z 1. Kvadratne faktorje pospravimo k x, y, z v relacijahx²+c =y² in y² +c =z², ko dovolimo, da so x, y, z lahko tudi pozitivna racionalna števila, kongruentno število c pa mora v vsakem primeru biti naravno

število. Če je namreč c =k²c⁰ in c⁰ nima kvadratnega faktorja, potem iz zvez x²+c =y² in y²+c=z² sledita zvezix²+k²c⁰ =y² iny²+k²c⁰=z², od tod pa (x/k)²+c⁰ = (y/k)² in (y/k)²+c⁰ = (z/k)², kar pomeni, da je c⁰ primitivno kongruentno število.

Števila 1,2,3,4 niso kongruentna. Najmanjše kongruentno število je 5.

Leonardo navede nekaj primerov. Zam= 5 inn= 3 dobimo 14²+ 960 = 34², 34²+ 960 = 46². Ker je 960 = 2²·240, sledi po deljenju s 4

7²+ 240 = 17², 17²+ 240 = 23².

Račun se izide v naravnih številih. Števili 960 = 2²·240 in 240 = 4²·15 sta kongruentni, toda ne primitivno kongruentni, ker vsebujeta kvadratni faktor. Primitivno kongruentno število je 15, ker je:

(7/4)²+ 15 = (17/4)², (17/4)²+ 15 = (23/4)². Zam= 3 inn= 1 dobimo

2²+ 96 = 10², 10²+ 96 = 14².

Število 96 je kongruentno, toda ne primitivno kongruentno, ker je 96 = 2²·24 in 24 = 2²·6. Zato veljajo tudi relacije

1²+ 24 = 5², 5²+ 24 = 7², (1/2)²+ 6 = (5/2)², (5/2)²+ 6 = (7/2)². To pomeni, da je 6 primitivno kongruentno število.

Zam= 5 inn= 2 dobimo

1²+ 840 = 29², 29²+ 840 = 41².

Število 840 je kongruentno, toda ne primitivno kongruentno, ker je 840 = 2²·210. Zato veljata relaciji

(1/2)²+ 210 = (29/2)², (29/2)²+ 210 = (41/2)².

Število 210 je primitivno kongruentno.

Zam= 5 inn= 4 dobimo

31²+ 720 = 41², 41²+ 720 = 49².

Število 720 je kongruentno, toda ne primitivno kongruentno, ker je 720 = 12²·5. Zato veljata relaciji

(31/12)²+ 5 = (41/12)², (41/12)²+ 5 = (49/12)². Število 5 je primitivno kongruentno.

Zadnji primer je znana naloga z matematičnega tekmovanja med obis- kom cesarja Svetega rimskega cesarstva Friderika II. okoli leta 1225 v Pisi.

Poiskati je bilo treba število, katerega kvadrat, povečan in zmanjšan za 5 da spet kvadrat. To število je Leonardo hitro našel: 41/12

Kongruentna števila so povezana tudi z eliptičnimi krivuljami, očemer obstaja bogata matematična literatura, na primer [5].Če je naravno število ckongruentno, obstaja tako racionalno številox, za katero sox,x−cinx+c kvadrati racionalnih števil, recimo

x=u², x−c=v², x+c=w². Za produkt dobimo

x(x−c)(x+c) =x³−c²x= (uvw)².

Če označimoy=uvw, potemxzadošča enačbi y²=x³−c²x. V pravokot- nem kartezičnem koordinatnem sistemuOxypredstavlja enačbay² =x³− c²ximplicitno dano krivuljo, ki jo imenujemoeliptična krivulja. Označimo jo zEc. Na njej so vsaj tri točke z racionalnimi koordinatami: (−c,0),(c,0) in (0,0). To so trivialne točke. Problem pri eliptični krivulji je obstoj netrivialnih točk z racionalnimi koordinatami na njej. Če najdemo dve taki točki, od katerih je vsaj ena netrivialna, potem premica skoznju pre- seka eliptično krivuljo še v eni točki, ki ima racionalni koordinati. Točki sta lahko tudi enaki. V tem primeru namesto sekante vzamemo tangenti.

V primeru štirinajste trditve smo videli, da je c = 24 kongruentno število, ker je 1²+ 24 = 5² in 5²+ 24 = 7². Ker ima 24 kvadratni faktor 4, enakosti delimo s 4 in dobimo

(5/2)²−6 = (1/2)², (5/2)²+ 6 = (7/2)².

Število 6 je torej primitivno kongruentno. Ustrezna eliptična krivulja je E₆, ki ima enačbo y² = x³−36x. Na njej je točka T(25/4,35/8). Pre- mica skozi to točko in skozi točko (6,0) preseka krivuljo E₆ še v točki (294,5040). Premica skozi točki T in (−6,0) preseka krivuljo E₆ tudi v točki (−6/49,720/343).

Slika 7. Eliptična krivuljaE₆.

Vsaka racionalna točka (x, y) na eliptični krivuljiE_c, kjer jey,0, nam da racionalen pravokotni trikotnik s stranicami

A=

x²−c² y

, B=

2cx y

, C=

x²+c² y

. in ploščinoc. Preizkus:

A²+B²= (x²−c²)²+ 4c²x²

c² =(x²+c²)² y² =C².

Ploščina tega trikotnika pa je p= 1

2AB=

(x²−c²)cx y²

=(x³−c²x)c y² =c.

Iz znanih enačb

(A−B)²+ 2AB=C², C²+ 2AB= (A+B)² dobimo po deljenju s 4 enačbi

A−B 2

2

+c= C

2 2

, C

2 2

+c=

A+B 2

2

,

kar pomeni da jeckongruentno število. Z najdenima točkama (294,5040) in (−6/49,720/343) na eliptični krivuljiE6 dobimo pravokotni trikotnik s stranicami

A= 120

7 , B= 7

10, C= 1201 70 in ploščino 6.

Iz (A−B)/2 = 1151/140, C/2 = 1201/140 in (A+B)/2 = 1259/140 do- bimo relaciji

(1151/140)²+ 6 = (1201/140)², (1201/140)²+ 6 = (1259/140)², ki tudi izpričujeta, da je 6 kongruentno število. Takih relacij je nešteto.

15 Petnajsta trditev

Če je neko število kongruentno, ostane kongruentno tudi, če ga pom- nožimo s kvadratnim številom.

Če jec kongruentno število, obstajajo taki kvadratix², y², z², da veljata relaciji x²+c = y² in y²+c = z². Za kvadratno število k² potem očitno veljata relaciji X²+c⁰ = Y² in Y² +c⁰ = Z² za X = kx, Y = ky, Z = kz in c⁰=k²c. Pri tem je lahkoktudi racionalno število.

Pierre de Fermat (1601–1665) je dokazal, da število 1 ni kongruentno.

Zato tudi k² = k² ·1 ni kongruentno za nobeno naravno število k. To pomeni, da ne obstajajo taka racionalna številax, y, z, za katera bi bili raz- likiz²−y²iny²−x² enaka naravna kvadrata.

Če bi biloz²−y²=y²−x²=k², kjer jeknaravno število, bi veljali relaciji x²+k² =y² in y²+k² =z². To bi pomenilo, da jek² kongruentno število.

Potem bi bilo števio 1 tudi kongruentno, ker bi veljali relaciji (x/k)²+ 1 = (y/k)² in (y/k)² + 1 = (z/k)². To nasprotuje trditvi, da 1 ni kongruentno število.

16 Šestnajsta trditev

Obstaja kongruentno število, ki je petkratnik kvadratnega števila.

Kot smo že videli v primerih štirinajste trditve, zam = 5 in n= 4 do- bimo

31²+ 720 = 41², 41²+ 720 = 49².

Število 720 = 5·12², ki je petkratnik kvadrata, je res kongruentno.

17 Sedemnajsta trditev

Obstaja kvadrat, ki povečan in zmanjšan za 5 da kvadrat.

Po prejšnji trditvi veljata relaciji

31²+ 5·12²= 41², 41²+ 5·12²= 49², iz katerih sledita relaciji

(31/12)²+ 5 = (41/12)², (41/12)²+ 5 = (49/12)² oziroma

(41/12)²+ 5 = (49/12)², (41/12)²−5 = (31/12)² Število 5 je primitivno kongruentno.

18 Osemnajsta trditev

Če imata števili sodo vsoto, potem razmerje te vsote z razliko večjega in manjšega števila ni enako razmerju večjega in manjšega števila.

Števili naj bostaminn, pričemer jem > n. Trdimo, da je m+n

m−n ,m n.

Leonardo je trditev dokazal na precej zapleten način, s kongruentnimi števili. V resnici sta m in n lahko racionalni števili. Tudi ni razvidno, zakaj naj bi bila vsotam+nsodo število. Če bi trditev ne veljala, bi imeli relacijo

m+n m−n = m

n,

iz katere dobimo n(m+n) = m(m−n), iz te pa n²+ 2nm+m² = 2m². To pomeni (m+n)² = 2m²oziroma (m+n)²/m²= 2. Potemtakem bi bilo število 2 kvadrat racionalnega števila, kar ni mogoče, saj je dobro znano, da je√

2 iracionalno število. V začetni relaciji torej ne velja enačaj.

19 Devetnajsta trditev

Obstaja kvadrat, ki povečan in zmanjšan za svoj koren da spet kvadrat.

Za dokaz je treba vzeti kongruentno številocter številax, y, z, za katera jex²+c=y² iny²+c=z². Prvo enačbo delimo sc:x²/c+ 1 =y²/c. Nastalo relacijo pomnožimo zy²/c. Dobimo (xy/c)²+y²/c= (y²/c)². Število (y²/c)² je kvadrat, ki zmanjšan za svoj koren da kvadrat. Drugo enačbo delimo sc:

y²/c+1 =z²/c. Dobljeno relacijo pomnožimo zy²/c: (y²/c)²+y²/c= (yz/c)². Število (y²/c)² je kvadrat, ki povečan za svoj koren tudi da kvadrat.

Primer:

(25/24)²−25/24 = (5/24)², (25/24)²+ 25/24 = (35/24)².

20 Dvajseta trditev

Obstaja kvadrat, ki povečan in zmanjšan za dvakratnik svojega korena da spet kvadrat.

Za dokaz je treba spet vzeti kongruentno številoc ter številax, y, z, za katera je x²+c = y² in y²+c = z². Prvo enačbo delimo s c: x²/c+ 1 = y²/c. Nastalo relacijo pomnožimo z 4y²/c. Dobimo (2xy/c)²+ 2(2y²/c) = (2y²/c)². Število (2y²/c)² je kvadrat, ki zmanjšan za dvakratnik svojega korena da kvadrat. Drugo enačbo delimo s c: y²/c+ 1 = z²/c. Dobljeno relacijo pomnožimo s 4y²/c: (2y²/c)²+ 2(2y²/c) = (2yz/c)². Število (2y²/c)² je kvadrat, ki povečan za dvakratnik svojega korena tudi da kvadrat.

Primer:

(25/12)²−2·25/12 = (5/12)², (25/12)²+ 2·25/12 = (35/12)².

21 Enaindvajseta trditev

Za katerekoli tri zaporedne lihe kvadrate največji presega srednjega za osem bolj kot srednji najmanjšega.

Lihi zaporedni kvadrati naj bodo

(2n+ 1)², (2n+ 3)², (2n+ 5)². Razlike so

D₂= (2n+ 5)²−(2n+ 3)²= 2(4n+ 8) = 8(n+ 2), D₁= (2n+ 3)²−(2n+ 1)²= 2(4n+ 4) = 8(n+ 1).

Vidimo, da je resD₂−D₁= 8.

22 Dvaindvajseta trditev

Obstajajo trije kvadrati, za katere sta razliki v danem razmerju.

Iskani kvadrati pozitivnih števil naj bodo x², y² in z², urejeni po ve- likosti takole: x²< y²< z². Velja naj

y²−x² z²−y² =r,

kjer je r dano pozitivno racionalno število. Ker za vsak racionalenα >0 velja tudi

(αy)²−(αx)² (αz)²−(αy)² =r,

lahkoαizberemo tako, da boαy−αx=α(y−x)1. To pomeni, da lahko že od vsega začetka vzamemo, da je y=x+ 1 inz=x+e, kjer jee racionalno število. Začetna enačba je potem

(x+ 1)²−x²

(x+e)²−(x+ 1)² = 2x+ 1

2xe+e²−2x−1 =r.

Če iz dobljene enačbe izrazimox, dobimo:

x= e²−(1 +r)/r 2((1 +r)/r−e). Da box >0, mora biti izpolnjen pogoj

√

1 + 1/r < e <1 + 1/r.

Za r = 1 mora veljati

√

2 < e < 2. Za e = 9/5 dobimo x = 31/10, y = 41/10, z= 49/10. Seveda velja

(49/10)²−(41/10)²= (41/10)²−(31/10)²= 36/5.

Če obe dobljeni relaciji pomnožimo s 100, dobimo 49²−41²= 720, 41²−31²= 720 oziroma

31²+ 720 = 41², 41²+ 720 = 49²,

kar smo že srečali v primerih štirinajste in šestnajste trditve.

Leonardo si je nalogo izposodil iz Diofantove Aritmetike (druga knjiga, naloga 19).

23 Triindvajseta trditev

Obstajajo taki trije kvadrati, za katere je vsota prvih dveh kvadrat in vsota vseh treh tudi kvadrat.

Uporabimo preprosto enakost a+

a−1 2

2

= a+ 1

2 2

,

katere veljavnost je očitna. Vanjo vstavimo najprej a= 9 = 3² in nato še a= 25 = 5²in dobimo

3²+ 4²= 5², 5²+ 12² = 13².

Ker je 3²+ 4²+ 12²= 13², kvadrati 9,16,144 ustrezajo trditvi.

24 Štiriindvajseta trditev

Obstajajo taka tri števila, za katera je njihova vsota skupaj s kvadratom prvega kvadrat. Vsota tega kvadrata in kvadrata drugega števila je spet kvadrat. Če slednjemu prištejemo kvadrat tretjega števila, pa tudi dobimo spet kvadrat.

To je bila naloga, ki jo je Leonardo dal v reševanju Magistru Teodorju, cesarjevemu filozofu. Iščemo racionalna številaa,binc, za katera je

a+a²+b+c=x², x²+b²=y², y²+c²=z², kjer sox, y, zracionalna števila.

Leonardo je postavilx= 3k, b= 4k, c= 12k, tako da je dobil enačbe a+a²+ 16k= (3k)², (3k)²+ (4k)²= (5k)², (5k)²+ (12k)²= (13k)². To pomeniy= 5k, z= 13k. Koeficiente je izbral tako zato, ker se pitagorej- ski trojki (3,4,5) in (5,12,13) stikata s 5. Nato je postavil a = 3k−t in

dobil k =t(t−1)/(6t−19). Za t = 4 imamo k = 12/5, a= 16/5, b = 48/5, c = 144/5, x = 36/5, y = 12 in z = 156/5. To je racionalna rešitev naloge.

Leonardo si je tudi tukaj pomagal z Diofantovo Aritmetiko (druga knjiga, naloga 20), pa morda tudi z Al-Karkhijevim delomFakhri, ki uporabljata podobne prijeme, Al-Karkhi (953–1029), tudi Al-Karadži, arabsko

ù

kQºË@

oziroma

ù

k.QºË@

, je bil islamski matematik, ki je deloval v Bagdadu.

Leonardo je našel tudi celoštevilsko rešitev naloge. Uporabil je pitago- rejski trojki (7,24,25) in (25,60,65), ki se stikata s 25. Če postavimo x= 7k, b = 24k, c = 60k, dobimo enačbo a+a²+ 84k = 49k². Vanjo vstavimo a= 7k−tin dobimok=t(t−1)/(14t−91). Zat= 7 dobimok= 6, a= 35, b= 144, c= 360, x= 42, y= 150, z= 390.

Leonardo je nalogo tudi posplošil na več števil, na primer: Iščemo racionalna številaa,b,c ind, za katera je

a+a²+b+c+d=x², x²+b²=y², y²+c²=z², z²+d²=w², kjer sox, y, z, wracionalna števila.

Viri

[1] K. Devlin, Finding Fibonacci – The Quest to Rediscover the Forgotten Mathematical Genius Who Changed the World, Princeton University Press, Princeton and Oxford 2017.

[2] The Man of Numbers: Fibonacci’s Arithmetic Revolution, Bloomsbury Pub- lishing, London in drugje 2011.

[3] Leonardo Pisano Fibonacci,The Book of Squares, prevod L. E. Siglerja, Aca- demic Press, Orlando, Florida 1987.

[4] M. Razpet,Nekoliko drugačna obravnava kubičnih enačb, http://www.pef.uni-lj.si/matwww/kubicna01.pdf (dosegljivo 5. aprila 2019)

[5] I. Vidav,Eliptične krivulje in eliptične funkcije, DMFA, Ljubljana 1991.