4. EMPIRIČNI DEL
4.4. Analiza preizkusov
4.4.1. Analiza prvega preizkusa
Naloga Pravilen odgovor Napačen odgovor Primeri napak
N % N %
Komentar: Najpogostejša napaka je bila pri zaključku računanja, ko so morali rezultat samo še okrajšati (dogovor v razredu: neokrajšan odgovor ni pravilen odgovor.), a so imeli probleme pri iskanju najmanjšega skupnega večkratnika, tako da rezultat ni bil okrajšan.
Predstavljena napaka (primer 1b) sodi k napakam, ki so posledica nerazumevanja ulomkov.
17
Prikazana napaka v b primeru po mnenju Browna in Quinna (2006) kaže na pomanjkanje razumevanja povezave med naravnimi števili in ulomki. Učenec bi potreboval ponovno obravnavo z vizualno in verbalno razlago, ki bi pomagala usvojiti koncept racionalnih števil (Lamon, 1999).
2. Naloga
Naloga: Okrajšaj ulomek 𝟐𝟒
𝟑𝟔
Namen naloge: Namen druge naloge je bil preveriti poznavanje algoritmov, ki jih učenci uporabljajo za okrajšanje danega ulomka.
Rezultati:
Naloga Pravilen odgovor Napačen odgovor Primeri napak
N % N %
2. 41 89,1 5 10,9
Komentar: Najpogostejša napaka je bila, da učenec ulomka ni okrajšal do konca. Napaka je rezultat nepazljivosti, saj učenec, ki ulomka ni okrajšal do konca, ni opazil, da med imenovalcem in števcem obstaja skupni delitelj, ki je večji od ena.
Brown in Quinn (2006) menita, da je uspešnost reševanja te naloge odvisna od algoritma, ki so ga posamezni učenci uporabili za okrajšanje ulomka.
Slika 4: Ulomek ni dokončno okrajšan
18 3. Naloga
Naloga: Reši besedilno nalogo:
a) Na koncert gre polovica vseh učencev v šoli. Do tja jih bo peljalo 5 avtobusov.
Zapiši ulomek, ki označuje, kolikšen del vseh učencev šole se bo peljalo z enim avtobusom.
b) Jure je v video igri osvojil 6 zmajev, vendar je to le 𝟐
𝟓 vseh zmajev v igri.
Koliko je vseh zmajev v tej video igri?
Namen naloge: Namen naloge je bil ugotoviti, na kakšen način bodo učenci uporabili ulomek oziroma, če ga bodo znali pravilno umestiti v izračun oziroma enačbo.
Rezultati:
Naloga Pravilen odgovor Napačen odgovor Primeri napak
N % N %
Komentar: Kar polovica učencev, ki so primer a rešili napačno, je izbrala napačno operacijo.
Napake b primera izkazujeta, da učenec, ki je sicer usvojil različne algoritme, ne ve, kdaj katere uporabiti. Napake pri tej nalogi so posledica nerazumevanja pomena postopkov.
Brown in Quinn (2006) sta zaznala, da bi se napako iz a primera dalo preprečiti, če bi učence spodbujali, da uporabljajo slikovne pripomočke (si narišejo) ter če bi jim ponudili veliko različnih nalog, ki bi predstavljale različne operacije z ulomki.
Običajni pokazatelji, kdaj uporabiti kateri algoritem, v običajnih besedilnih nalogah pri tej nalogi niso očitni: posledično ti učenci razporedijo števila v poznano obliko, ter nato izberejo algoritem, za katerega mislijo, da ustreza. Ker ti učenci nimajo osnovnega razumevanja ulomkov in njihovih konceptov, ne znajo preveriti ustreznosti svojega odgovora na vprašanje.
19 4. Naloga
Naloga: Vemo, da je 𝟓
𝟖= 𝐱
𝟐𝟒. Koliko je x?
Namen naloge: Naloga vsebuje algebrski koncept. Enačba je lahko rešena 'na pamet' ali pa s postopkom.
Rezultati:
Naloga Pravilen odgovor Napačen odgovor Primeri napak
N % N %
4. 25 54,3 21 45,7 15
24
Komentar: Nalogo so učenci reševali zelo dobro, vendar jih kar 13 ni bilo pozornih na zastavljeno vprašanje (napisali so rešitev je 15
24, namesto 15 – napaka spada k nepazljivosti, oziroma lapsusu). Večina učencev je uporabila križni izračun, nekaj pa jih je ugotovilo, da je imenovalec na desni strani enačaja trikratnik imenovalca na levi strani: tako so ugotovili, da je x trikratnik števca na levi strani enačaja.
Slika 5: Primer nerazumevanja postopkov
Slika 6: Primer nepazljivosti pri pisanju odgovora
20 5. Naloga
Naloga:Zmnoži 𝟏
𝟑· 𝐚 =
Namen naloge: Namen naloge je bil ugotoviti, če učenci znajo nalogo, kot je 1
3∙ 5 =5
3
posplošiti v nalogo 1
3∙ a = a
3. Rezultati:
Naloga Pravilen odgovor Napačen odgovor Primeri napak
N % N %
5. 28 60,9 18 39,1 1
3𝑎 1
6 𝑎 = 2
Komentar: Naši sedmošolci praktično nimajo izkušenj z algebrskimi izrazi, zato je rezultat naloge presenetljivo dober. Napake pri tej nalogi spadajo v klasifikacijo napak, ki so posledica nerazumevanja ulomkov.
Benander in Clement (1985) sta v svojem seznamu napak napisala, da je prva napaka posledica tega, da učenci množenje ulomkov vidijo kot nekomutativno operacijo. Druga napaka pa je pogosta napaka pri osnovi algebre. Učence moti spremenljivka, zato ji določijo vrednost; algebrski izraz so rešili tako, kot če bi imeli aritmetični izraz.
Učencem moramo ponuditi primere posploševanja izrazov z ulomki ter jim omogočiti, da usvojijo formulo 𝑎
𝑏∙𝑐
𝑑 = 𝑎∙𝑐
𝑏∙𝑑 , pri kateri so različna pozitivna števila zamenjana s spremenljivkami.
Slika 7: Primer, ko učenec spremenljivki določi vrednost
21 6. Naloga
Naloga: 𝟏𝟖
𝟎 =?
Namen naloge: Namen naloge je ugotoviti, če učenec razume koncept racionalnih števil, za katere je Rotman (1991 po Brown, Quinn, 2006) prepričan, da so predpogoj za razumevanje algebre.
Rezultati:
Naloga Pravilen odgovor Napačen odgovor Primeri napak
N % N %
6. 5 10,9 41 89,1 18
0 = 0 18
0 = 18
Komentar: Učenci, ki so nalogo rešili napačno, imajo težave z razumevanjem ulomkov. Ideja, da deljenje z 0 ni definirano, je pogosto učencem predstavljena samo na kratko in je od njih zahtevano, da ji preprosto verjamejo. V učbenikih za šesti in sedmi razred sem poiskala, kako je opisano deljenje z 0:
V učbeniku Kocka 6, je v zgledu napisano: pri številki 0 moramo biti previdni. Ker celote ne moremo razdeliti na 0 enakih delov, ulomka 5
0 ter 6
0 nimata pomena.
Imenovalec ulomka ne sme biti 0,
v učbeniku Kocka 7 je na strani 86 v kotu napisano le: 0
0 ... pa ne, saj imenovalec ulomka ne sme biti 0. Tudi v definiciji ulomka ni razlage, zakaj v imenovalcu ne sme biti 0,
v učbeniku Skrivnosti števil in oblik 7 je na strani 41 napisano, da ene ali več celot ne moremo razdeliti na 0 enakih delov, torej ulomki z imenovalcem 0 ne obstajajo.
Razlaga je dobra, vendar bi morala biti bolj poudarjena, saj jo učenci zlahka zgrešijo.
Brown in Quinn (2006) sta rezultate učencev interpretirala takole: za učence je rešitev 0 zelo logična. Ne razumejo, zakaj imenovalec ne more biti 0, če je 0 v števcu sprejemljiva (Benander, Clement, 1985).
22
Drug rezultat, 18, je učencem prav tako logičen. Če imaš število in ga 'ne deliš z ničemer', se njegova vrednost ne bi smela spremeniti. Poleg tega, je deljenje ponavljajoče odštevanje:
zato je njihov rezultat še toliko bolj logičen (odšteješ 0 od 18 in ostane 18, nato ponavljaj odštevanje 0 od 18 in še vedno ostane 18).
Deljenje z 0 je abstrakten pojem, ki mora biti povezan z racionalnim konceptom števil.
Ker rezultat ni definiran, ne obstaja proces, s katerim bi prišli do pravilnega odgovora. Vendar pa bi bil rezultat lahko logično predstavljen s sledečim vzorcem:
18
9 = 2, zato je 2 ∙ 9 = 18
18
2 = 9, zato je 9 ∙ 2 = 18
18
0 = 0, ampak 0 ∙ 0 ≠ 18
18
0 = 18, ampak 18 ∙ 0 ≠ 18
Vzorec, ki je predstavljen zgoraj, je enak vzorcu, ki ga učenci uporabljajo pri preverjanju rešitve, ko se prvič srečajo z deljenjem ulomkov.
Slika 8: Primer napake, ko učenec ne razume deljenja z 0: primer
narezumevanja ulomkov
Slika 9: Primer napake, ko učenec ne razume deljenja z 0: primer nerazumevanja ulomkov
23 7. Naloga
Naloga:Reši enačbo 𝒙 +𝟏
𝟑= 𝟕.
Namen naloge: Namen naloge je bil ugotoviti, ali učenci znajo intuitivno rešiti enačbo brez uporabe postopka.
Rezultati:
Naloga Pravilen odgovor Napačen odgovor Primeri napak
N % N %
7. 32 69,6 14 30,4
Komentar: Kar 23 učencev je za izračun uporabilo algebro. 9 učencev je prepoznalo, da je 62
3+1
3= 7. Od 23 učencev, ki so uporabili algebro za izračun, jih je kar 18 uporabilo izračun 7 −1 prepoznali enakost pokaže, da učenci operacije ulomkov vidijo kot niz izoliranih algoritmov in ne kot niz povezanih idej, ki tvorijo en celoten koncept.
8. Naloga Naloga: Koliko je 1
2 od 2
3 ?
Namen naloge: Vidik, ki je bil preverjan v tej nalogi, je bil sposobnost uporabe ulomkov kot operatorjev. Ta primer ne zahteva računanja ali uporabe algoritma.
Rezultati:
Naloga Pravilni odgovor Napačen odgovor Primeri napak
N % N %
8. 36 78,3 13 21,7 1
2∶2 3=3
4
Komentar: Brown in Quinn (2006) sta zaznala, da je napaka še en primer razširitve operacij iz naravnih števil, kjer 'od' pomeni proces delitve.
24 9. Naloga
Naloga:
𝟏𝟐 𝟏𝟑−𝟑
𝟕je najbližje:
a) 1 b) 𝟏
𝟐
c) 0 d) Ne vem
Namen naloge: Namen te naloge je bil ugotoviti sposobnost razumevanja in ocene razmerja med števcem in imenovalcem za določitev relativne velikosti dveh ali več ulomkov.
Rezultati:
Naloga Pravilen odgovor Napačen odgovor Primeri napak
N % N %
9. 40 87,0 6 13,0
Komentar: Naloga je zahtevala ocenitev odgovora, zato mnogi sploh niso uporabili operacije odštevanja.
Brown in Quinn (2006) sta prepričana, da neformalna ocenitev ulomkov vključuje tudi dejavnosti, pri katerih se od učencev zahteva, da navedejo, kateremu številu izmed 0, 1
2 in 1, je glede na delež ulomek bližje. Take ocenitve velikosti ulomkov se kasneje razširijo na ocenitve seštevanja, odštevanja, množenja, deljenja. Razumevanje nalog tega tipa je pomembno predznanje za usvojitev bolj formalne obravnave računanja z ulomki. Bistveno za razvoj računskih algoritmov je sposobnost oceniti rezultat osnovnih operacij pri ulomkih (učenci morajo biti sposobni napovedati vsoto, razliko, produkt ali količnik, seveda z neko stopnjo natančnosti).
25 10. Naloga
Naloga: Vstavi na črto (večji/manjši/enak).
Količnik števil 𝟏
𝟐 ter 𝟏
𝟑 je__________________ od 𝟏
𝟐
Namen naloge: Vidik, ki je bil preverjan pri tej nalogi, je bil sposobnost uporabe razmerja med števcem in imenovalcem za določitev relativne velikosti dveh ali več ulomkov.
Rezultati:
Naloga Pravilen odgovor Napačen odgovor Primeri napak
N % N %
10. 37 80,4 9 19,6 3
6−2 6= 1
6<1 2
Komentar: 9 učencev je odgovorilo napačno. Od teh 9, sta 2 učenca količnik števil zapisala kot razliko števil. Te napake so torej posledica napak pri interpretiranju naloge.
Brown in Quinn (2006) sta mnenja, da napaka kaže, da so učenci verjetno poskušali uporabiti lastnost deljenja naravnih števil, kjer je količnik vedno manjši od deljenca.
Sprva naj učenec deli ulomek s celim številom, saj bo s tem dobil idejo, da pri pri deljenju ne dobimo vedno količnika, ki je manjši od deljenca. Ta koncept je treba razviti in povezati z deljenjem z 1, deljenjem z 0 ter deljenjem s števili med 0 in 1.
Slika 10: Napačno razumevanje besede 'količnik'
26 11. Naloga
Naloga:Napiši po vrsti ulomke od najmanjšega do največjega: 𝟒
𝟕, 𝟓
𝟗, 𝟑
𝟓
Namen naloge: Naloga je namenjena ugotovitvi učenčevega konceptualnega razumevanja velikosti ulomka.
Rezultati:
Naloga Pravilen odgovor Napačen odgovor Primeri napak
N % N %
11. 41 89,1 5 10,9 4
7, 3
5, 5
9
3
5, 4
7, 5
9
Komentar: Najpogostejša napaka je bila, da so učenci napisali ulomke od največjega od najmanjšega. To je tipična napaka, ki je posledica nepazljivosti in bi se ji dalo izogniti.
Vsi učenci, ki so na vprašanje odgovorili pravilno, so ulomke najprej dali na najmanjši skupni večkratnik, ter jih šele nato pravilno razporedili.
12. Naloga
Naloga:Če večamo n, se vrednost ulomka 𝟏
𝒏: a) Približa 1
b) Približa 0 c) Zelo poveča
Namen naloge: Namen naloge je ugotoviti učenčevo konceptualno razumevanje velikosti ulomka.
Slika 11: Površnost pri branju in odgovoru
27 Rezultati:
Naloga Pravilen odgovor Napačen odgovor Primeri napak
N % N %
12. 11 23,9 35 76,1
Komentar: Kar 35 učencev je na vprašanje odgovorilo napačno. Od tega je 23 učencev obkrožilo odgovor a, 12 pa odgovor c. V tej nalogi nastopa spremenljivka, česar učenci v sedmem razredu še niso srečali. Prav temu pripisujem slabe rezultate.
13. Naloga
Naloga: Koliko dvanajstin je v 𝟐𝟏
𝟒?
a) 28 b) 27 c) 25 d) 16 e) 12
Namen naloge: Namen naloge je ugotoviti, ali učenci obvladajo pojem ulomka in operacij do te mere, da z ulomki brez težav računajo v novih okoliščinah.
Rezultati:
Naloga Pravilen odgovor Napačen odgovor Primeri napak
N % N %
13. 32 69,6 14 30,4
Komentar: En učenec je napisal odgovor 45. Ta učenec, tako kot večina ostalih učencev, ni pokazal poteka računanja, zato je težko ugotoviti vzrok te napake.
28
Brown in Quinn (2006) sta mnenja, da se naloga lahko reši z uporabo osnovnih strategij računanja z ulomki.
Ena možnost reševanja te naloge je, da učenci narišejo številsko premico z dvanajstimi intervali med celimi števili vse do števila 21
4. Pri tem reševanju ni potrebno nobenega računanja.
Preden se učenci začnejo učiti algebro, morajo usvojiti znanje o dveh osnovnih konceptih, ki sta vključena v to nalogo. Najprej morajo razumeti, da 21
4 pomeni 2 + 1
4, nato pa, ker je v našem primeru zahtevano število dvanajstin, da je vsota lahko zapisana kot 24
12+ 3
12. S tem lahko ugotovijo, da je pravilni odgovor 24 + 3 = 27. Postopoma lahko ta proces posplošimo in skrajšamo.
14. Naloga
Naloga: Poenostavi 𝟏𝟏 𝟐 · 𝟏𝟑
Namen naloge: Namen naloge je ugotoviti, ali učenci obvladajo pojem ulomka in operacij do te mere, da z ulomki brez težav računajo v novih okoliščinah.
Slika 12: Prikaz napačnega in nerazumljivega odgovora
29 Rezultati:
Naloga Pravilen odgovor Napačen odgovor Primeri napak
N % N %
14. 11 23,9 35 76,1 1
1 6
1 6
Komentar: V naših učbenikih je nalog z dvojnimi ulomki bolj malo, vendar so. V učbeniku Skrivnosti števil in oblik 7 je naloga: Razreši dvojne ulomke, s primeri, kot je:
1 41 9
.
Napake, ki so jih učenci delali pri tej nalogi, so zelo podobne napakam in prejšnjih nalog. Gre za nepoznavanje postopkov, kar je vzrok za napake.
Učenci, ki imajo izkušnje z delitvijo ulomkov, ne potrebujejo posebnih algoritmov za ugotovitev, koliko šestin je v 1, to bi znali na pamet (Lamon, 1999).
Slika 13: Primer pogoste napake pri dvojnih ulomkih
30 Zaključek
V spodnji tabeli so prikazane naloge od najslabše reševane (naloge, kjer so učenci v povprečju dosegli najmanj točk) do najbolje reševane (naloge, kjer so učenci v povprečju dosegli največ točk), povprečni dosežek učencev, ki so reševali preizkus, ter klasifikacija najpogostejših napak. Dosežki posamezunih učencev so v prilogi (Priloga 8.3).
Tabela 2: Najpogostejše napake po nalogah
Št. naloge Kratek opis
6 Vrednost ulomka,
ki ima v imenovalcu 0.
13,0 Napake so posledica nerazumevanja
ulomkov.
12 Vrednost ulomka,
ko mu večamo imenovalec.
23,9 Napake so posledica nerazumevanja
ulomkov.
14 Dvojni ulomek 23,9 Napake so posledica
nepoznavanja postopkov.
4 Iskanje neznanke 54,3 Napake so posledica
nepazljivosti.
5 Množenje ulomka
z neznanko
60,9 Napake so posledica nerazumevanja algebrskih ulomkov.
3 Besedilna naloga 60,9 Napake so posledica
nerazumevanja pomena postopkov.
7 Rešitev enačbe z
neznanko
69,6 Računske napake pri osnovnih operacijah.
13 Iskanje dvanajstin 69,6 Napake so posledica
nepoznavanja postopkov.
8 Iskanje dela
ulomka
71,7 Napake so posledica nerazumevanja
31
ulomkov.
10 Primerjanje po
velikosti
80,4 Napake so posledica nepazljivosti.
9 Ocenitev velikosti
razlike
87,0 Računske napake pri osnovnih operacijah
11 Primerjanje po
velikosti
89,1 Napake so posledica nepazljivosti.
2 Okrajšanje ulomka 89,1 Napake so posledica
nepazljivosti.
1 Računski izrazi 90,8 Posledica
nerazumevanja ulomkov
Najbolje so učenci rešili prvo nalogo: v povprečju so imeli kar 3,6 točk od 4 možnih.
Najslabše so reševali šesto nalogo, kjer so imeli v povprečju le 0,13 točke od 1 možne.
Analiza napak je pokazala dobre rezultate. Povprečen rezultat testa je bil kar 67,6 %.
Učenci razmeroma dobro obvladajo postopke z ulomki. Veliko napak je bila posledica nepopolnega reševanja (ne okrajšajo), nenatančnega branja navodil, skromnih algebrajskih izkušenj – torej stvari, ki so sicer zelo pomembne, a niso neposredno vezane na ulomke.
Nekaj rezultatov je bilo nerazumljivih, kar prikazuje nerazumevanje operacij in algoritmov, ki so jih učenci uporabili pri izračunu. Na primer, če učenec trdi, da je 1
2𝑜𝑑2
3
enako 3
4 je očitno, da ne razume relativne velikosti ulomka. (Benander, Clement, 1985). Tudi v moji raziskavi ni noben učenec uporabil slikovne prezentacije, kar bi lahko pomagalo pri rešitvi nekaterih nalog.
32 4.4.2. Analiza drugega preizkusa
Preizkus vsebuje 5 skupin po 3 naloge. Naloge v vsaki skupini obravnavajo isto tematiko:
A naloga na ravni interiorizacije, B na ravni kondenzacije, C na ravni reifikacije. Skupaj je torej 15 nalog: 5 nalog je v fazi interiorizacije, 5 faze kondenzacije in 5 reifikacije. Naloge B3, B4, C4 ter C5 so subjektivnega tipa, tj. odgovori na naloge so odprtega tipa.
Da bi ugotovila stopnjo razumevanja ulomkov učencev sedmega razreda osnovne šole Stražišče, sem iz članka Levels of students’ “conception” of fractions (Pantziara, Philippou, 2012) priredila preizkus. Vsaka naloga je vredna 1 točko (torej skupek nalog A je vreden 3 točke). Stopnjo razumevanja posameznega učenca v celotnem preizkusu sem določila tako, da sem učencu seštela dosežene točke in mu po spodnjem kriteriju določila stopnjo:
Tabela 3: Kriterij za določitev stopnje razumevanja ulomkov
Točke Stopnja
0 točk Stopnja 0
1 - 5 točk Stopnja 1
6 – 10 točk Stopnja 2
11 – 15 točk Stopnja 3
Učenec, ki je dosegel 9 točk ima 2. stopnjo razumevanaja ulomkov.
Uspešnost oziroma stopnjo razumevanja pa sem ugotavljala tudi pri posamezniih nalogah. Če je učenec dobil 3 točke, je izkazal stopnjo 3, stopnjo reifikacije. Če je dobil 2 točki, je dosegel stopnjo kondenzacije, 1 točko stopnjo interiorizacije. Če pa ni dobil 0 točk, pa je dosegel stopnjo 0.
33 Predstavitve nalog
Shema preizkusa je pri vseh nalogah enaka: Naloga A ugotavlja, ali je dosežena interiorizacija, naloga B, ali je dosežena kondenzacija in naloga C, če je dosežena reifikacija.
Učenec, ki je rešil neko stopnjo, je praviloma rešil tudi vse predhodne stopnje.
1. Naloga Naloga:
A1 B1 C1
Obkroži 1
4. Ob vsak lik napiši, kolikšen del lika je pobarvan.
Napiši, kolikšen del lika je pobarvan.
Namen naloge: Naloga se nanaša na dele celote in preverja, ali je učenec sposoben določiti, kolikšen del lika je pobarvan.
Rezultati:
Stopnja razumevanja Učenci, ki so dosegli to stopnjo
N %
Stopnja 0 2 4,3
Stopnja 1 7 15,2
Stopnja 2 21 45,7
Stopnja 3 16 34,8
34 2. Naloga
Naloga:
A2 B2 B3
Z ulomkom napiši, kolikšen delež likov je trikotnikov.
Na desni sliki pobarvaj tolikšen delež, kot je predstavljen na levi sliki.
S črtami poveži slike, ki predstavljajo isti ulomek.
Namen naloge: Namen naloge je bil ugotoviti, kako uspešno učenci sledijo določenemu postopku, ki jim pomaga pri rešitvi naloge.
Rezultati:
Stopnja razumevanja Učenci, ki so dosegli to stopnjo
N %
Stopnja 0 0 0,0
Stopnja 1 9 19,6
Stopnja 2 32 69,6
Stopnja 3 5 10,8
35
Najprej zapiši, kateri ulomek prikazuje spodnja slika, nato pa ta ulomek označi na
številski premici.
V okenček napiši ustrezen ulomek.
Namen naloge: Naloga je namenjena ugotavljanju razumevanja velikosti ulomka.
Rezultati:
Stopnja razumevanja Učenci, ki so dosegli to stopnjo
N %
Opiši dva načina, kako lahko upodobiš, kateri od spodnjih
36
Namen naloge: Naloga je namenjena ugotovitvi, če učenec zna uspešno primerjati ulomke.
Rezultati:
Stopnja razumevanja Učenci, ki so dosegli to stopnjo
N %
Zapiši besedilno nalogo, ki jo rešiš z računom 2
5 + 1
6 =.
Namen naloge: Namen naloge je ugotoviti, katero stopnjo znanja učenec doseže pri računanju vsote ulomkov.
Rezultati:
Stopnja razumevanja Učenci, ki so dosegli to stopnjo
N %
Stopnja 0 2 4,3
Stopnja 1 3 6,5
Stopnja 2 37 80,4
Stopnja 3 4 8,8
37 Zaključek
Povprečen dosežek drugega testa je bil 64,3 % (9,6 točk od 15), kar pomeni, da so učenci v povprečju dosegli 2. stopnjo razumevanja ulomkov po Sfardovi. 2 (4,3 %) učenca sta usvojila le 1. stopnjo, kar 13 (28,3 %) učencev pa je doseglo 3. stopnjo razumevanja. 32 učencev je doseglo 2. stopnjo, 12 pa 3. stopnjo razumevanja. Podrobni dosežki učencev so v prilogi (priloga 8.4).
Najslabše so učenci reševali 4. nalogo (v povprečju so dosegli le 1,3 točke), najbolje pa 3. nalogo (v povprečju so dosegli 2,3 točke).
Presenetljivo slabo so učenci reševali nalogo A1, kjer so morali obkrožiti lik, ki prikazuje 1
4 celote. Naloga spada v prvo stopnjo, fazo interiorizacije, a so učenci bolje reševali B1, ki spada v 2. stopnjo razumevanja, fazo kondenzacije. V fazi interiorizacije je torej učencem največ težav naredila naloga A1.
Izmed nalog, ki prikazujejo fazo kondenzacije, je učencem največ preglavic delala naloga B4, pri kateri so morali opisati dva načina, ki opisujeta, kateri ulomek izmed predstavljenih je večji. Rešilo jo je le 11 (23,9 %) učencev. Najmanj težav so imeli z nalogo B5, kjer so morali sešteti ulomka z različnima imenovalcema.
V celotnem testu so učenci najslabše reševali nalogo C5 (faza reifikacije). Besedilno nalogo so napisali, ne da bi definirali celote.
V celoti je fazo reifikacije doseglo le 12 (26,1 %) učencev, kar pa ni presenetljivo, saj se zdijo naloge same po sebi tako težke, da so na nekaterih ravneh za nekatere učence praktično nedosegljive.
Slika 14: Učenec ni definiral celote
38
5. POVEZAVA MED STOPNJO RAZUMEVANJA IN ŠTEVILOM NAPAK
Povezavo med stopnjo razumevanja ulomkov ter številom napak, ki jih učenci delajo pri računanju z ulomki, sem iskala s pomočjo programa Microsoft Office Excel, v katerem sem izračunala Pearsonov koeficient korelacije. Pri izračunu korelacije sem za eno spremenljivko izbrala število točk, ki so jih posamezni učenci dosegli pri prvem preizkusu, za drugo spremenljivko pa število točk, ki so jih dosegli pri drugem preizkusu.
Vstavila sem spremenljivke in dobila naslednji graf:
Slika 14: Graf korelacije: x os: točke 1. preizkusa, y os: točke 2. preizkusa
Os x predstavlja točke 1. preizkusa, os y pa točke 2. preizkusa: torej prikazana rdeča pika na grafu prikazuje učenca, ki je pri prvem testu dosegel 3 točke, pri drugem pa 4.
Podatki so razpršeni v nagnjenem oblaku. Le-ta je obrnjen navzgor od leve proti desni,
Podatki so razpršeni v nagnjenem oblaku. Le-ta je obrnjen navzgor od leve proti desni,