Napake, ki so jih učenci delali pri tej nalogi, so zelo podobne napakam in prejšnjih nalog. Gre za nepoznavanje postopkov, kar je vzrok za napake.
Učenci, ki imajo izkušnje z delitvijo ulomkov, ne potrebujejo posebnih algoritmov za ugotovitev, koliko šestin je v 1, to bi znali na pamet (Lamon, 1999).
Slika 13: Primer pogoste napake pri dvojnih ulomkih
30 Zaključek
V spodnji tabeli so prikazane naloge od najslabše reševane (naloge, kjer so učenci v povprečju dosegli najmanj točk) do najbolje reševane (naloge, kjer so učenci v povprečju dosegli največ točk), povprečni dosežek učencev, ki so reševali preizkus, ter klasifikacija najpogostejših napak. Dosežki posamezunih učencev so v prilogi (Priloga 8.3).
Tabela 2: Najpogostejše napake po nalogah
Št. naloge Kratek opis
6 Vrednost ulomka,
ki ima v imenovalcu 0.
13,0 Napake so posledica nerazumevanja
ulomkov.
12 Vrednost ulomka,
ko mu večamo imenovalec.
23,9 Napake so posledica nerazumevanja
ulomkov.
14 Dvojni ulomek 23,9 Napake so posledica
nepoznavanja postopkov.
4 Iskanje neznanke 54,3 Napake so posledica
nepazljivosti.
5 Množenje ulomka
z neznanko
60,9 Napake so posledica nerazumevanja algebrskih ulomkov.
3 Besedilna naloga 60,9 Napake so posledica
nerazumevanja pomena postopkov.
7 Rešitev enačbe z
neznanko
69,6 Računske napake pri osnovnih operacijah.
13 Iskanje dvanajstin 69,6 Napake so posledica
nepoznavanja postopkov.
8 Iskanje dela
ulomka
71,7 Napake so posledica nerazumevanja
31
ulomkov.
10 Primerjanje po
velikosti
80,4 Napake so posledica nepazljivosti.
9 Ocenitev velikosti
razlike
87,0 Računske napake pri osnovnih operacijah
11 Primerjanje po
velikosti
89,1 Napake so posledica nepazljivosti.
2 Okrajšanje ulomka 89,1 Napake so posledica
nepazljivosti.
1 Računski izrazi 90,8 Posledica
nerazumevanja ulomkov
Najbolje so učenci rešili prvo nalogo: v povprečju so imeli kar 3,6 točk od 4 možnih.
Najslabše so reševali šesto nalogo, kjer so imeli v povprečju le 0,13 točke od 1 možne.
Analiza napak je pokazala dobre rezultate. Povprečen rezultat testa je bil kar 67,6 %.
Učenci razmeroma dobro obvladajo postopke z ulomki. Veliko napak je bila posledica nepopolnega reševanja (ne okrajšajo), nenatančnega branja navodil, skromnih algebrajskih izkušenj – torej stvari, ki so sicer zelo pomembne, a niso neposredno vezane na ulomke.
Nekaj rezultatov je bilo nerazumljivih, kar prikazuje nerazumevanje operacij in algoritmov, ki so jih učenci uporabili pri izračunu. Na primer, če učenec trdi, da je 1
2𝑜𝑑2
3
enako 3
4 je očitno, da ne razume relativne velikosti ulomka. (Benander, Clement, 1985). Tudi v moji raziskavi ni noben učenec uporabil slikovne prezentacije, kar bi lahko pomagalo pri rešitvi nekaterih nalog.
32 4.4.2. Analiza drugega preizkusa
Preizkus vsebuje 5 skupin po 3 naloge. Naloge v vsaki skupini obravnavajo isto tematiko:
A naloga na ravni interiorizacije, B na ravni kondenzacije, C na ravni reifikacije. Skupaj je torej 15 nalog: 5 nalog je v fazi interiorizacije, 5 faze kondenzacije in 5 reifikacije. Naloge B3, B4, C4 ter C5 so subjektivnega tipa, tj. odgovori na naloge so odprtega tipa.
Da bi ugotovila stopnjo razumevanja ulomkov učencev sedmega razreda osnovne šole Stražišče, sem iz članka Levels of students’ “conception” of fractions (Pantziara, Philippou, 2012) priredila preizkus. Vsaka naloga je vredna 1 točko (torej skupek nalog A je vreden 3 točke). Stopnjo razumevanja posameznega učenca v celotnem preizkusu sem določila tako, da sem učencu seštela dosežene točke in mu po spodnjem kriteriju določila stopnjo:
Tabela 3: Kriterij za določitev stopnje razumevanja ulomkov
Točke Stopnja
0 točk Stopnja 0
1 - 5 točk Stopnja 1
6 – 10 točk Stopnja 2
11 – 15 točk Stopnja 3
Učenec, ki je dosegel 9 točk ima 2. stopnjo razumevanaja ulomkov.
Uspešnost oziroma stopnjo razumevanja pa sem ugotavljala tudi pri posamezniih nalogah. Če je učenec dobil 3 točke, je izkazal stopnjo 3, stopnjo reifikacije. Če je dobil 2 točki, je dosegel stopnjo kondenzacije, 1 točko stopnjo interiorizacije. Če pa ni dobil 0 točk, pa je dosegel stopnjo 0.
33 Predstavitve nalog
Shema preizkusa je pri vseh nalogah enaka: Naloga A ugotavlja, ali je dosežena interiorizacija, naloga B, ali je dosežena kondenzacija in naloga C, če je dosežena reifikacija.
Učenec, ki je rešil neko stopnjo, je praviloma rešil tudi vse predhodne stopnje.
1. Naloga Naloga:
A1 B1 C1
Obkroži 1
4. Ob vsak lik napiši, kolikšen del lika je pobarvan.
Napiši, kolikšen del lika je pobarvan.
Namen naloge: Naloga se nanaša na dele celote in preverja, ali je učenec sposoben določiti, kolikšen del lika je pobarvan.
Rezultati:
Stopnja razumevanja Učenci, ki so dosegli to stopnjo
N %
Stopnja 0 2 4,3
Stopnja 1 7 15,2
Stopnja 2 21 45,7
Stopnja 3 16 34,8
34 2. Naloga
Naloga:
A2 B2 B3
Z ulomkom napiši, kolikšen delež likov je trikotnikov.
Na desni sliki pobarvaj tolikšen delež, kot je predstavljen na levi sliki.
S črtami poveži slike, ki predstavljajo isti ulomek.
Namen naloge: Namen naloge je bil ugotoviti, kako uspešno učenci sledijo določenemu postopku, ki jim pomaga pri rešitvi naloge.
Rezultati:
Stopnja razumevanja Učenci, ki so dosegli to stopnjo
N %
Stopnja 0 0 0,0
Stopnja 1 9 19,6
Stopnja 2 32 69,6
Stopnja 3 5 10,8
35
Najprej zapiši, kateri ulomek prikazuje spodnja slika, nato pa ta ulomek označi na
številski premici.
V okenček napiši ustrezen ulomek.
Namen naloge: Naloga je namenjena ugotavljanju razumevanja velikosti ulomka.
Rezultati:
Stopnja razumevanja Učenci, ki so dosegli to stopnjo
N %
Opiši dva načina, kako lahko upodobiš, kateri od spodnjih
36
Namen naloge: Naloga je namenjena ugotovitvi, če učenec zna uspešno primerjati ulomke.
Rezultati:
Stopnja razumevanja Učenci, ki so dosegli to stopnjo
N %
Zapiši besedilno nalogo, ki jo rešiš z računom 2
5 + 1
6 =.
Namen naloge: Namen naloge je ugotoviti, katero stopnjo znanja učenec doseže pri računanju vsote ulomkov.
Rezultati:
Stopnja razumevanja Učenci, ki so dosegli to stopnjo
N %
Stopnja 0 2 4,3
Stopnja 1 3 6,5
Stopnja 2 37 80,4
Stopnja 3 4 8,8
37 Zaključek
Povprečen dosežek drugega testa je bil 64,3 % (9,6 točk od 15), kar pomeni, da so učenci v povprečju dosegli 2. stopnjo razumevanja ulomkov po Sfardovi. 2 (4,3 %) učenca sta usvojila le 1. stopnjo, kar 13 (28,3 %) učencev pa je doseglo 3. stopnjo razumevanja. 32 učencev je doseglo 2. stopnjo, 12 pa 3. stopnjo razumevanja. Podrobni dosežki učencev so v prilogi (priloga 8.4).
Najslabše so učenci reševali 4. nalogo (v povprečju so dosegli le 1,3 točke), najbolje pa 3. nalogo (v povprečju so dosegli 2,3 točke).
Presenetljivo slabo so učenci reševali nalogo A1, kjer so morali obkrožiti lik, ki prikazuje 1
4 celote. Naloga spada v prvo stopnjo, fazo interiorizacije, a so učenci bolje reševali B1, ki spada v 2. stopnjo razumevanja, fazo kondenzacije. V fazi interiorizacije je torej učencem največ težav naredila naloga A1.
Izmed nalog, ki prikazujejo fazo kondenzacije, je učencem največ preglavic delala naloga B4, pri kateri so morali opisati dva načina, ki opisujeta, kateri ulomek izmed predstavljenih je večji. Rešilo jo je le 11 (23,9 %) učencev. Najmanj težav so imeli z nalogo B5, kjer so morali sešteti ulomka z različnima imenovalcema.
V celotnem testu so učenci najslabše reševali nalogo C5 (faza reifikacije). Besedilno nalogo so napisali, ne da bi definirali celote.
V celoti je fazo reifikacije doseglo le 12 (26,1 %) učencev, kar pa ni presenetljivo, saj se zdijo naloge same po sebi tako težke, da so na nekaterih ravneh za nekatere učence praktično nedosegljive.