38
5. POVEZAVA MED STOPNJO RAZUMEVANJA IN ŠTEVILOM NAPAK
Povezavo med stopnjo razumevanja ulomkov ter številom napak, ki jih učenci delajo pri računanju z ulomki, sem iskala s pomočjo programa Microsoft Office Excel, v katerem sem izračunala Pearsonov koeficient korelacije. Pri izračunu korelacije sem za eno spremenljivko izbrala število točk, ki so jih posamezni učenci dosegli pri prvem preizkusu, za drugo spremenljivko pa število točk, ki so jih dosegli pri drugem preizkusu.
Vstavila sem spremenljivke in dobila naslednji graf:
Slika 14: Graf korelacije: x os: točke 1. preizkusa, y os: točke 2. preizkusa
Os x predstavlja točke 1. preizkusa, os y pa točke 2. preizkusa: torej prikazana rdeča pika na grafu prikazuje učenca, ki je pri prvem testu dosegel 3 točke, pri drugem pa 4.
Podatki so razpršeni v nagnjenem oblaku. Le-ta je obrnjen navzgor od leve proti desni, kar pomeni pozitivno povezanost spremenljivk. Koeficient korelacije je 0,63, torej gre v tem primeru za srednje močno povezanost spremenljivk.
0 2 4 6 8 10 12 14
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18
39
Iz korelacije sem razbrala, da obstaja povezava med številom napak, ki jih je naredil posamezni učenec in med njegovo stopnjo razumevanja ulomkov. Statistično gledano, manj napak je učenec naredil, višjo stopnjo razumevanja ima in obratno.
Zanimalo me je še, koliko točk so v povprečju pri prvem preizkusu dosegli učenci, ki so pri drugem preizkusu dosegli stopnjo 0, 1, 2, 3.
Tabela 4: Povprečno število točk prvega preizkusa pri posamezni doseženi stopnji razumevanja drugega preizkusa
Dosežena stopnja pri drugem preizkusu Povprečno število točk prvega preizkusa
Stopnja 0 /
Stopnja 1 8
Stopnja 2 11,8
Stopnja 3 15,3
Stopnje 0 pri drugem testu ni dosegel nihče. Največja razlika pri rezultatih prvega testa se je pokazala pri učencih, ki sta dosegla prvo stopnjo. En učenec je dosegel 3 (16,7 %) točke, drugi pa kar 13 (72,2 %).
40
6. SKLEPNE UGOTOVITVE
V diplomskem delu sem se ukvarjala z napakami pri ulomkih, ki se pogosto pojavljajo pri učencih v osnovni šoli. Dobre rezultate testov pripisujem tudi temu, da so učenci nekaj ur pred reševanjem mojega testa pisali kontrolno nalogo o ulomkih.
Na podlagi izvedene analize in raziskave si lahko odgovorim na zastavljena raziskovalna vprašanja.
RV1: Kakšna je raven razumevanja ulomkov pri naših sedmošolcih?
Sedmošolci iz raziskave so v povprečju dosegli drugo stopnjo razumevanja ulomkov.
Kar nekaj učencev je delalo napake, ki niso posledica nerazumevanja ulomkov ali postopkov, temveč posledica nepazljivosti in lapsusov. Zato bi lahko nekaj učencev doseglo boljše rezultate.
RV2: Katere so najpogostejše napake sedmošolcev pri računanju z ulomki?
Najslabše so učenci reševali naloge, pri katerih so reševali dvojne ulomke, morali ugotoviti vrednost ulomka, pri katerem je imenovalec 0 ter pri katerem se imenovalec veča.
Vse napake bi se dalo odpraviti, če bi si učitelji za take probleme vzeli več časa in razložili ZAKAJ, na primer, 18
0 ni 0 ali 18. Prepogosto poudarjajo le algoritme in njihovo izvajanje, pri čemer učencu ni potrebno razumeti niti pojmov niti ozadja algoritmov.
RV3: Ali obstaja povezava med usvojeno stopnjo zahtevnosti razumevanja ulomkov in pogostostjo napak pri reševanju nalog?
S pomočjo Pearsonovega koeficienta korelacije sem ugotovila, da obstaja povezava med stopnjo zahtevnosti razumevanja ulomkov ter številom napak pri reševanju. Podatki so v grafu razpršeni v nagnjenem oblaku, ki narašča, kar pomeni, da gre za pozitivno povezanost spremenljivk. Koeficient korelacije je 0,63. To pove, da gre za srednjo/zmerno povezanost spremenljivk.
41
7. LITERATURA
BENANDER, L., CLEMENT, J. (1985). Catalogue of Error Patterns Observed in Courses on Basic Mathematics, Working Draft. Massachusetts: (ERIC Document Reproduction Service No. ED 287 672), pridobljeno na naslovu:
http://files.eric.ed.gov/fulltext/ED287672.pdf, dne 5. 7. 2016.
BERK, J., ROBIČ. M, DRAKSLER, J. (2014). Skrivnosti števil in oblik 6. Učbenik za matematiko v 6. razredu osnovne šole. Ljubljana: Rokus Klett.
BERK, J., ROBIČ. M, DRAKSLER, J. (2014). Skrivnosti števil in oblik 7. Učbenik za matematiko v 7. razredu osnovne šole, Ljubljana: Rokus Klett.
BERK, J., ROBIČ. M, DRAKSLER, J. (2014). Skrivnosti števil in oblik 8. Učbenik za matematiko v 8. razredu osnovne šole, Ljubljana: Rokus Klett.
BERK, J., ROBIČ. M, DRAKSLER, J. (2014). Skrivnosti števil in oblik 9. Učbenik za matematiko v 9. razredu osnovne šole, Ljubljana: Rokus Klett.
BROWN G., QUINN R. J. (2006). Algebra students' difficulty with fractions: an error analysis, The Australian Mathematics Teacher, vol. 62 (4), str. 26–40.
DE KONING, E., HAMERS, J. H. M., SIJTSMA, K., VERMEER, A. (2002).
Teaching Inductive Reasoning in Primary Education, Developmental Review, 22, str.
211–241, pridobljeno na spletnem naslovu:
http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.496.6477&rep=rep1&type=
pdf, dne 5. 8. 2016.
DORNIK, M., SMOLEJ, T., TURK, M., VEHOVEC, M. (2002). Kocka 7, Ljubljana:
Modrijan.
HECHT, S. A., VAGI, K. J., (2012). Patterns of strengths and weaknesses in children’s knowledge about fractions, Journal of Experimental Child Psychology 111 (2012), str. 212 - 229.
42
KIEREN, E. T. (1976). On the Mathematical, Cognitive and Instructional Foundations of Rational Numbers. V: Lesh, Richard A., Bradbard, David A. (ur).
Number and Measurement. Papers from a Research Workshop. Athens, Georgia.
April 1976. str. 101-144.
KRAJNC, N. (2005). Razvojni pouk in ulomki. Diplomsko delo, Maribor: Univerza v Mariboru.
LAMON, S. J. (1999). Teaching Fractions and Ratios for Understanding: Essential Knowledge and Instructional Strategies for Teachers, Mahwah, NJ: Lawrence Erlbaum Associates, pridobljeno na spletnem naslovu:
http://samples.sainsburysebooks.co.uk/9781136631863_sample_535985.pdf, dne 5. 7. 2016.
NICOLAOU, A. A., PITTA – PANTAZI, D. (2009). A new theoretical model for understanding fractions at the elementary school, University of Cyprus, pridobljeno na spletnem naslovu: http://www.cerme7.univ.rzeszow.pl/WG/2/CERME7_WG2_Nicolaou-Pitta.pdf, dne 7. 8. 2016.
PANTZIARA M., PHILIPPOU G. (2012). Levels of students’ “conception” of fractions, Educational Studies in Mathematics, vol 79 , str. 62 – 83.
STRNAD, M. (1997). Vodnik po Presečišču 5. Priročnik za učitelje. Ljubljana: DZS.
STRNAD, M. idr (2002). Presečišče 7, Ljubljana: DZS.
UČNI NAČRT ZA MATEMATIKO (2011). Učni načrt. Program osnovna šola.
Matematika. Ljubljana: Ministrstvo za šolstvo in šport: Zavod RS za šolstvo.
VAMVAKOUSSI, X., (2015). The development of rational number knowledge: Old topic, new insights, Learning and Instruction 37 (2015), str. 50 - 55.
WILLE, M. A. (2009). Steps towards a structural conception of the notion of variable, University of Bremen, str. 659–668, pridobljeno na spletnem naslovu: http://ife.ens-lyon.fr/publications/edition-electronique/cerme6/wg4-25-wille.pdf, dne 30. 6. 2016.
43
8. PRILOGE
8.1. Prvi preizkus
KAKO RAZMIŠLJAŠ O ULOMKIH
Sem Petra Uranič in sem študentka na Pedagoški fakulteti v Ljubljani. Za diplomsko nalogo zbiram podatke o znanju ulomkov, zato te prosim, da rešiš naslednje naloge.
1. Izračunaj: 3. Reši besedilno nalogo:
c) Na koncert gre polovica vseh učencev v šoli. Do tja jih bo peljalo 5 avtobusov.
Zapiši ulomek, ki označuje, kolikšen del vseh učencev šole se bo peljalo z enim avtobusom.
d) Jure je v video igri osvojil 6 zmajev, vendar je to le 2
5 vseh zmajev v igri. Koliko je vseh zmajev v tej video igri?
4. Vemo, da je 5
44 f) 1
g) 20 h) Ne vem
10. Vstavi na črto (večji/manjši/enak).
Količnik števil 1
2 ter 1
3 ___________________ od 1
2
11. Napiši po vrsti ulomke od najmanjšega do največjega: 4
7, 5
9, 3
5
12. Če večamo n, se enačba 1
𝑛: d) približa 1,
e) približa 0, f) zelo poveča.
13. Koliko dvanajstin je v 21
4? a) 28
b) 27 c) 25 d) 16 e) 12 14. Poenostavi 11
2·13
Prosim te še, če mi napišeš svojo oceno iz matematike iz zadnje konference.
Hvala.
45
8.2. Drugi preizkus
KAKŠNO JE TVOJE RAZUMEVANJE
A1 Obkroži 1
4. B1 Ob vsak lik napiši, kolikšen del lika je pobarvan.
a)
b) b
C1 Napiši, kolikšen del lika je pobarvan.
A2 Z ulomkom napiši, kolikšen del like je trikotnikov.
B2 Na desni sliki pobarvaj tolikšen del, kot je predstavljen na levi sliki.
C2 S črtami poveži like, ki predstavljajo isti ulomek.
A3 Na številski premici označi vstavi ulomek 3
8.
B3 Najprej zapiši, kateri ulomek prikazuje spodnja slika, nato pa ta ulomek označi na številski premici.
C3 V okenček napiši ustrezen ulomek.
46 A4 Obkroži večji ulomek.
4 7 2
7
B4 Opiši dva načina, kako lahko upodobiš, kateri od spodnjih ulomkov je večji.
8
18 5 9
C4 Napiši nek ulomek, ki je večji od 1
9 ter manjši kot 1
8.
A5 Izračunaj vsoto.
1 6+3
6 =
B5 Izračunaj vsoto.
2 5+1
6=
C5 Zapiši besedilno nalogo, ki jo rešiš z računom 2
5+1
6 =.
47
8.3. Tabela rezultatov prvega preizkusa
V spodnji tabeli so prikazani rezultati učencev, ki so rešili preizkus.
Tabela 5: Rezultati prvega preizkusa
Uče
48
28 3 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 33
29 4 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 78
30 4 1 2 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 72
31 4 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 67
32 4 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 78
33 4 1 2 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 72
34 4 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 67
35 4 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 72
36 4 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 72
37 4 1 2 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 67
38 4 1 2 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 78
39 2 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 17
40 4 1 2 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 78
41 4 1 2 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 78
42 4 1 2 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 78
43 4 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 78
44 4 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 78
45 4 1 2 0 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 72
46 4 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 0 72
8.4. Tabela rezultatov drugega preizkusa
V spodnji tabeli so prikazani rezultati učencev, ki so rešili preizkus.
Tabela 6: Rezultati drugega preizkusa
Učenec 1. naloga 2. naloga 3. naloga 4. naloga 5. naloga Točke
1 3 2 3 1 2 11
2 2 2 3 1 2 10
3 1 2 2 1 2 8
4 3 2 3 1 2 11
5 3 2 2 3 3 13
6 1 2 1 1 2 7
7 2 2 3 1 2 10
49
50
8.5. Rezultati učencev obeh preizkusov
Tabela 7: Skupni rezultati obeh preizkusov
UČENEC TEST 1 (dosežene točke) Možnih točk: 18
TEST 2 (dosežene točke) Možnih točk: 15
51
22 8 10
23 16 9
24 14 10
25 12 11
26 14 11
27 11 12
28 6 7
29 14 11
30 13 10
31 12 10
32 14 10
33 13 9
34 12 10
35 13 10
36 13 12
37 12 11
38 14 9
39 3 4
40 14 11
41 14 10
42 14 9
43 14 10
44 14 9
45 13 10
46 13 5