ANALIZA NAPAK UČENCEV PRI RAČUNANJU Z ULOMKI

(1)

UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA

PETRA URANIČ

ANALIZA NAPAK UČENCEV PRI RAČUNANJU Z ULOMKI

DIPLOMSKO DELO

Ljubljana, september, 2016

(2)

(3)

UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA

ŠTUDIJSKI PROGRAM: DVOPREDMETI UČITELJ

MATEMATIKA - RAČUNALNIŠTVO

PETRA URANIČ

MENTOR: doc. dr. ZLATAN MAGAJNA

ANALIZA NAPAK UČENCEV PRI RAČUNANJU Z ULOMKI

DIPLOMSKO DELO

LJUBLJANA, 2016

(4)

(5)

ZAHVALA

"Skrivnost uspeha v življenju ni v tem, da človek dela tisto, kar ljubi, temveč da ljubi tisto, kar dela." Winston Churchill

Iskreno se zahvaljujem mentorju doc. dr. Zlatanu Magajni za vso strokovno pomoč, usmerjanje in dostopnost pri nastajanju diplomskega dela.

Diplomsko delo posvečam mami in očetu, ki sta v vseh mojih vzponih in padcih verjela vame, me optimistično spodbujala ter mi nesebično pomagala.

(6)

(7)

POVZETEK

V diplomskem delu obravnavam povezavo med pogostostjo napak, ki jih učenci delajo pri ulomkih, in stopnjo razumevanja ulomkov pri učencih sedmega razreda osnovne šole.

Ulomki so pomembna in zahtevna snov pri učenju matematike. Čeprav jih vsakodnevno uporabljamo, raziskave kažejo, da je za učence to zelo zahtevna snov. Učenci in učitelji večinoma ne zaznajo težav s samim konceptom ulomkov, temveč bolj z matematičnimi operacijami, kot so seštevanje ulomkov, odštevanje, deljenje, množenje, primerjanje in krajšanje ulomkov. V empiričnem delu so na osnovi dveh preizkusov znanja obravnavane napake pri delu z ulomki ter stopnja razumevanja ulomkov pri posameznih učencih. Preizkusa sta prirejeni in skrajšani verziji preizkusov iz člankov Levels of students’ “conception” of fractions (Pantziara, Philippou, 2012) in Algebra students' difficulty with fractions: an error analysis (Brown, Quinn, 2006). Povezanost med številom napak in stopnjo razumevanja ulomkov je ugotavljana s Pearsonovim koeficientom korelacije.

KLJUČNE BESEDE: ulomki, stopnja razumevanja ulomkov, računske napake, Pearsonov koeficient korelacije.

ABSTRACT

In this thesis I examine the correlation between the frequency of errors that seventh grade pupils make in their calculations with fractions and their level of understanding of fractions.

Fractions are a relevant and demanding theme in the mathematics curriculum.

Although we use fractions on a daily basis, pupils find learning fractions to be very difficult.

They generally do not struggle with the concept of fractions itself, but they frequently have problems with mathematical operations such as addition, subtraction, division, multiplication, comparing and cancelling. The empirical part of the thesis is based on two tests: the first focused on pupils' errors in dealing with fractions and the second focused on the level of understanding fractions. These tests are abridged and adapted versions of the tests from articles Levels of students’ “conception” of fractions (Pantziara, Philippou, 2012) and Algebra students' difficulty with fractions: an error analysis (Brown, Quinn, 2006). The

(8)

correlation between the number of errors in dealing with fractions and the level of understanding fractions was determined with the Pearson correlation coefficient.

KEY WORDS: fractions, level of understanding fractions, computational errors, Pearson correlation coefficient.

(9)

KAZALO

1. UVOD ...1

2. RAZUMEVANJE ULOMKOV ...2

2.1. Ulomki in učni načrt ...2

2.1.1. Četrti razred ...2

2.1.2. Peti razred ...2

2.1.3. Šesti razred ...3

2.1.4. Sedmi razred ...3

2.1.5. Osmi razred ...4

2.2. Pojmovanja ulomkov ...5

2.3. Koncepti razumevanja ulomkov ...7

2.4. Stopnje zahtevnosti razumevanja ulomkov ...9

3. UČNE NAPAKE ... 12

4. EMPIRIČNI DEL ... 14

4.1. Opredelitev raziskovalnega problema ... 14

4.2. Raziskovalna vprašanja ... 14

4.3. Metoda in raziskovalni pristop ... 14

4.4. Analiza preizkusov ... 16

4.4.1. Analiza prvega preizkusa ... 16

4.4.2. Analiza drugega preizkusa ... 32

5. POVEZAVA MED STOPNJO RAZUMEVANJA IN ŠTEVILOM NAPAK ... 38

6. SKLEPNE UGOTOVITVE ... 40

7. LITERATURA ... 41

8. PRILOGE... 43

8.1. Prvi preizkus ... 43

8.2. Drugi preizkus ... 45

8.3. Tabela rezultatov prvega preizkusa ... 47

(10)

8.4. Tabela rezultatov drugega preizkusa ... 48

8.5. Rezultati učencev obeh preizkusov ... 50

KAZALO SLIK

Slika 1: Primer naloge faze interiorizacije ... 10

Slika 2: Primer naloge faze kondenzacije ... 11

Slika 3: Primer naloge faze reifikacije ... 11

Slika 4: Ulomek ni dokončno okrajšan... 17

Slika 5: Primer nerazumevanja postopkov ... 19

Slika 6: Primer nepazljivosti pri pisanju odgovora ... 19

Slika 7: Primer, ko učenec spremenljivki določi vrednost ... 20

Slika 8: Primer napake, ko učenec ne razume deljenja z 0: primer narezumevanja ulomkov .. 22

Slika 9: Primer napake, ko učenec ne razume deljenja z 0: primer nerazumevanja ulomkov .. 22

Slika 10: Napačno razumevanje besede 'količnik' ... 25

Slika 11: Površnost pri branju in odgovoru ... 26

Slika 12: Prikaz napačnega in nerazumljivega odgovora ... 28

Slika 13: Primer pogoste napake pri dvojnih ulomkih ... 29

Slika 14: Učenec ni definiral celote ... 37

KAZALO TABEL

Tabela 1: Primeri napak, zaznane pri računskih postopkih z ulomki ... 12

Tabela 2: Najpogostejše napake po nalogah ... 30

Tabela 3: Kriterij za določitev stopnje razumevanja ulomkov ... 32

Tabela 4: Povprečno število točk prvega preizkusa pri posamezni doseženi stopnji razumevanja drugega preizkusa ... 39

Tabela 5: Rezultati prvega preizkusa ... 47

Tabela 6: Rezultati drugega preizkusa... 48

Tabela 7: Skupni rezultati obeh preizkusov ... 50

(11)

1

1. UVOD

Ulomki predstavljajo velik in pomemben del šolske matematike. To učno vsebino pa, bolj kot katero koli drugo, spremljajo napake.

V Sloveniji je ideja o ulomkih bežno predstavljena že v četrtem razredu osnovne šole, temeljiteje pa jih obravnavajo v sedmem razredu. Ob koncu sedmega razreda se od učencev pričakuje, da znajo računati z ulomki ter rešiti besedilne naloge povezane z operacijami z ulomki. Na splošno učitelji menijo, da so ulomki za poučevanje težka snov, učenci pa, da so težka snov za se naučiti. Zagotovo pa pri računanju z ulomki učenci delajo veliko napak.

Prepogosto poudarjamo le algoritme in njihovo izvajanje, učitelji in učenci pa so premalo pozorni na razumevanje. To pa pušča učenca, da se zanaša na neke korake prej naučenega algoritma, ki je lahko pravilen ali ne. Na primer, učenec bo pri seštevanju ulomkov seštel oba imenovalca ter oba števca. Med učenci namreč vlada prepričanje, da znanje o naravnih številih lahko popolnoma prenesejo na znanje o ulomkih. S tem prepričanjem seštevajo in odštevajo ulomke tako kot naravna števila. Učenec se mora zavedati, da ulomka ne sme videti kot par števil, ki nimata nič skupnega, ampak uvideti, da je med števcem in imenovalcem neka povezava.

V prvem delu diplomskega dela predstavljam zastopanost ulomkov v učnem načrtu slovenskih osnovnih šol. Najbolj se osredotočim na učne cilje sedmega razreda. V nadaljevanju predstavljam tudi stopnje razumevanja ulomkov ter najpogostejše napake, ki jih učenci delajo pri računanju z ulomki. Podrobneje obravnavam stopnje razumevanja po Sfardovi in te stopnje ilustriram na primeru ulomkov.

V empiričnem delu analiziram rezultate preizkusov. Preizkusa sem priredila in skrajšala iz člankov Levels of students’ “conception” of fractions (Pantziara, Philippou, 2012) ter Algebra students' difficulty with fractions: an error analysis (Brown, Quinn, 2006). S prvim preizkusom ugotavljam, katere so najpogostejše napake učencev sedmega razreda osnovne šole, z drugim preizkusom pa ugotavljam njihovo raven razumevanja ulomkov po Sfardovi. S Pearsonovim koeficientom korelacije iščem povezavo med številom napak pri reševanju prvega preizkusa ter stopnjo razumevanja ulomkov drugega preizkusa. Z analizo torej želim ugotoviti, če med številom napak in stopnjo razumevanja ulomkov obstaja povezava.

(12)

2

2. RAZUMEVANJE ULOMKOV

V empiričnem delu diplomskega dela bom ugotavljala raven razumevanja ulomkov pri sedmošolcih. Zato se bom najprej osredotočila na učni načrt in predstavila, kdaj in kako obravnavajo ulomke v slovenskih osnovnih šolah. Nato bom predstavila stopnje razumevanja ulomkov in različne modele za te stopnje, ki so jih razvili različni raziskovalci. Podrobneje bom obravnavala en model, ki ga bom uporabila tudi v empiričnem delu. Predstavila bom tudi klasifikacijo napak, ki jo bom uporabila pri analizi preizkusa o napakah.

2.1. Ulomki in učni načrt

Ulomki in delo z njimi so v učnem načrtu zastopani od četrtega razreda dalje v vseh razredih osnovne šole. Pri obravnavi snovi racionalnih števil gre za spiralni kurikulum: vsako leto ponovijo že znano o ulomkih, nato se naučijo nekaj novega. Zares temeljito je snov o ulomkih predstavljena šele v sedmem razredu. Zato se bomo v diplomskem osredotočili na učenje ulomkov v sedmem razredu. Ker so ulomki problematična snov večini učencev, je pomembno, da učenci osnove ulomkov usvojijo že pred sedmim razredom.

2.1.1. Četrti razred

V učnem načrtu (2011) se z ulomki oziroma deli celote srečamo že v četrtem razredu osnovne šole v sklopu racionalnih števil. Za ta razred je naveden cilj, da učenci prepoznajo, opišejo in poimenujejo polovico, četrtino in tretjino na konkretnih predmetih (čokolada, torta idr.).

2.1.2. Peti razred

Postavljeni učni cilji v petem razredu so prepoznavanje celote in delov celote na modelu in sliki. Znati morajo deliti celoto na enake dele (na modelu in sliki), poimenovati del celote (iz konkretnih primerov) in ga zapisati v obliki ulomka (npr. četrtina: ¹

4, polovica: ¹

2). Dele celote se za enkrat obravnava samo na konkretni in slikovni ravni, kar piše v didaktičnih priporočilih (Učni načrt, 2011).

(13)

3 2.1.3. Šesti razred

V šestem razredumorajo učenci med drugim prepoznati dele celote, ki so večji ali manjši od celote, jih zapisati v obliki ulomka, izračunati ^𝑎

𝑏 od c (samo, ko je c večkratnik števila b) ter s pomočjo modelov (ne računsko) in slike seštevati in odštevati dele celote.

Konkretneje obravnavajo pojem ulomka, uporabljajo izraze, kot so: števec, imenovalec, ulomkova črta. Ponazorijo dani ulomek kot del lika in na številski premici, ugotovijo, kateri ulomek je predstavljen z grafičnim prikazom ter usvojijo pojem desetiških ulomkov ^𝑎

10^𝑛 . V didaktičnih priporočilih piše še, da je 'računanje' z deli celote v petem in šestem razredu le na konkretni in slikovni ravni. V petem razredu je predlagano seštevanje in odštevanje enakih delov celote, pri čemer smo posebej pozorni na ekvivalentne zapise delov celote (primer: od ³

4 pice smo pojedli ¹

4 pice, ostali sta nam ²

4 oziroma ¹

2 pice). V šestem razredu začnemo s seštevanjem in odštevanjem poljubnih delov celote. Na primer, imamo tri enake kozarce z enako prostornino in enako obliko. Prvi kozarec napolnimo do ¹

2, drugega pa do ¹

4. Tekočino iz obeh kozarcev zlijemo v tretjega. Kako visoko sega tekočina v tretjem kozarcu (Učni načrt, 2011)?

2.1.4. Sedmi razred

V sedmem razredu začnejo ulomke obravnavati temeljiteje. Obravnavati začnejo računske operacije z ulomki (ulomke seštevajo, odštevajo, delijo, množijo).

Najprej ponovijo, kar so se naučili v prejšnjih letih. Opredelijo pojem ulomka, ga upodobijo na številski premici ali kot del lika in ugotovijo, kateri ulomek je predstavljen z danim grafičnim prikazom.

Sledi ukvarjanje z razširitvijo ulomka z danim številom oziroma razširitvijo ulomka na zahtevani imenovalec oziroma števec, krajšanjem ulomka z danim številom, oziroma ga okrajšajo.

Ulomek ^𝑛

1 zapišejo kot n, danim ulomkom poiščejo najmanjši skupni imenovalec, ulomek primerjajo s številom 1, ugotovijo, med katerima naravnima številoma leži dani ulomek, razčlenijo ulomek na celi del in ulomek, ki je manjši od 1, primerjajo ulomke z enakimi in različnimi imenovalci. Naučijo se ulomke urediti po velikosti ter oblikujejo ali nadaljujejo njihovo zaporedje.

V sklopu Računske operacije z ulomki usvajajo naslednje učne cilje:

(14)

4

 seštevajo, odštevajo, množijo in delijo ulomke,

 količnik naravnih števil zapišejo z ulomkom a : b = ^𝑎

𝑏 ,

 z ulomkom izrazijo ostanek pri deljenju dveh naravnih števil,

 danemu ulomku določijo obratni ulomek,

 rešijo besedilne naloge,

 sklepajo iz enote na množino in obratno,

 zapisujejo ulomek z decimalnim številom in decimalno število zaokrožijo na zahtevano število decimalnih mest,

 nedesetiške ulomke zapišejo s periodičnim decimalnim zapisom,

 množijo in delijo ulomke s potenco 10ⁿ .

V sklopu Računske operacije in njihove lastnosti z ulomki nadaljujejo:

 uporabljajo računske zakone pri računanju z ulomki,

 uporabljajo računske zakone pri spretnem računanju,

 z žepnim računalom pretvorijo ulomek v decimalno številko,

 z žepnim računalom izračunajo vrednost izraza z ulomkom.

Kasneje v sklopu Izrazi izračunajo vrednost številskega izraza, v katerem nastopajo tudi ulomki(Učni načrt, 2011).

2.1.5. Osmi razred

V osmem razredu najprej ponovijo, kar so se naučili v prejšnjih letih. Nato se naučijo, kako racionalno število preberejo in upodobijo na številski premici (realni osi), racionalnemu številu poiščejo nasprotno vrednost in mu določijo absolutno vrednost.

Nadaljujejo s sklopom Računske operacije in njihove lastnosti, kjer na številski osi ponazorijo vsoto racionalnih števil, prevedejo odštevanje racionalnih števil v seštevanje in poenostavijo izraz z odpravljanjem oklepajev. Racionalna števila seštevajo in odštevajo, pomnožijo racionalno število z (–1), racionalni števili množijo med seboj ter izračunajo zmnožek več racionalnih števil (Učni načrt, 2011).

(15)

5

2.2. Pojmovanja ulomkov

Preden začnemo analizirati napake učencev pri delu z ulomki, se moramo najprej vprašati, kaj vse sestavlja razumevanje in znanje ulomkov.

Da bi učenci bolje razumeli ulomke in posledično delali manj napak pri računanju z njimi, so različni raziskovalci podali številne ideje, na kakšne načine lahko ulomke predstavimo učencem.

Kieren (1976) je v svojem delu trdil, da so različne izkušnje z vrsto interpretacij racionalnih števil nujnost, saj se s tem učenci lahko ustrezno naučijo algebrskih vidikov, ki so neločljivo povezani s koncepti racionalnih števil.

Tako je podal več interpretacij racionalnih števil:

 Racionalna števila, ki ulomki, ki jih je mogoče primerjati, seštevati, odštevati itd..

 Racionalna števila, ki decimalni ulomki.

 Racionalna števil, ki ekvivalenčni razredi ulomkov. Torej so {¹

2, ²

4, ³

6 …} in {²

3, ⁴

6,

6

9 … } racionalna števila.

 Racionalna števila, ki števila oblike ^𝑝

𝑞, kjer 𝑞 ≠ 0. V tej obliki so racionalna števila predstavljena kot razmerja.

 Racionalna števila, ki multiplikativni operatorji.

 Racionalna števila, ki elementi neskončnega urejenega faktorskega kolobarja (oz.

polja). To so števila oblike 𝑥 = ^𝑝

𝑞, kjer je x rešitev enačbe 𝑞𝑥 = 𝑝, kjer sta p in q elementa kolobarja in p≠ 0.

 Racionalna števila, ki točke na številski premici.

Te interpretacije so med seboj povezane. S pravilnim izborom operacij in postopkov lahko dokažemo, da so med seboj v bistvu izomorfne. Vendar vsaka interpretacija omogoča drugačno perspektivo ulomkov.

Kasneje je Kieren seznam pojmovanj ulomkov preoblikoval v:

 Ulomek kot del celote: ulomek ima pomen le, če razumemo ključno besedo 'celota'.

Vpeljava mora biti torej nazorna, predstavljena na konkretni, grafični predstavi konkretnih primerov: kruh, čokolada, jabolko ... izhajamo iz celote in preidemo k delitvi celote na 2, 3, 4 ... enake dele. Ulomek kot del celote učenci obravnavajo v četrtem razredu na konkretni, grafični predstavi (Strnad, 1997).

(16)

6

 Ulomek kot mersko število neke količine: način definicije ulomka kot dela količine temelji na istem principu kot prikaz s konkretnim materialom, le da pri konkretnih materialih izhajamo iz vsakdanje prakse, tega pa utemeljujemo z merjenjem in izražamo z odnosom. Na primer, ²

3 od neke količine pomeni, da moramo količino najprej razdeliti na tri enake dele in nato vzeti dva taka dela. Poenostavljeno: količino najprej delimo s 3 in nato pomnožimo z 2 (Strnad, 1997).

 Ulomek kot količnik dveh naravnih števil: ulomek je eden najpogostejših zapisov racionalnih števil, v katerem sta tako števec kot imenovalec celi števili in imenovalec ne sme biti 0. Vsako racionalno število se zapiše kot ^a

b = ab⁻¹. Med racionalna števila uvrščamo tudi cela števila (a =^a

1). Vidik vpeljave ulomka kot količnika naravnih števil izhaja iz operacije deljenja, ki jo pri ulomku izraža ulomkova črta. Zato imamo lahko vsak ulomek za količnik dveh naravnih števil. S to vpeljavo razširimo množico naravnih števil, v kateri lahko brez omejitve samo seštevamo, množimo in potenciramo, na množico ulomkov, s katerimi brez omejitve lahko tudi delimo (Strnad, 1997).

 Ulomek kot del nabora: pri ulomku kot delu nabora je celota razumljena kot število objektov in vsak objekt je del celote. Na primer, trije avtomobili so ¹

4 celote. Torej je vseh avtomobilov 12. 12 je v tem primeru celota. Pogosta napaka pri reševanju takih nalog je, da objekte gledamo z vidika velikosti in ne po številu.

 Ulomek kot operator: ulomek se lahko uporabi kot operator za neko količino. Z drugimi besedami, ulomek razumemo kot operator med števili. Na primer, če hočemo poiskati ³

4 nečesa, lahko najprej delimo s 4 in nato pomnožimo s 3 ali pa najprej pomnožimo s 3 in nato delimo s 4. Rezultat bi bil manjše število kot prvotna količina.

Na primer ³

4 ∙ 12 = 9.

 Ekvivalenčni razredi: dva ulomka sta ekvivalentna, če predstavljata enako količino – če sta enaki količini. Da dobimo nek ekvivalenten ulomek, moramo množiti in deliti imenovalec in števec ulomka z enakim številom, ki ni enak 0 (Van de Wille, 2006 po Krajnc, 2005). Učenci v Sloveniji lahko zelo preproste primere ekvivalentnosti spoznajo že v četrtem razredu, vendar le pod pogojem, da učitelj oceni, da so učenci te ulomke sposobni razumeti.

(17)

7

2.3. Koncepti razumevanja ulomkov

Moss (2005 po Vamvakoussi, 2015) je povzel več razlogov, zakaj je učenje racionalnih števil tako zapleteno. Ugotovil je, da mora učenec izdelati neko kompleksno mrežo znanja, ki temelji na multiplikativnih, in ne aditivnih odnosih. Učencem prav težave delajo novi simboli in predstavitve, ki jih je pri usvajanju ulomkov potrebno razumeti (na primer pojma celote in dela celote).

Da bi učenje ulomkov približali učencem, ki bi se z dodatno pomočjo lažje naučili snov, raziskovalci iščejo načine, ki bi jim pri tem pomagali.

Sierpinska et al. (2002 po Nicolaou, Pitta-Pantazi, 2009) je zgradila celovit model, v katerem predstavlja teoretična razmišljanja bolj napredne matematike, kamor spada tudi razumevanje ulomkov. Nicolaou in Pitta-Pantazi (2009) sta model Sierpinske še bolj razvila in predstavila faktorje oziroma koncepte, ki so ključni za uspešno učenje in popolno razumevanje ulomkov. Prav te koncepte mora učenec usvojiti ob zaključku sedmega razreda osnovne šole.

Ti koncepti so:

 MATEMATIČNO MIŠLJENJE IN NEFORMALNO UTEMELJEVANJE

V ta koncept spadajo induktivno sklepanje, razumevanje in razlaganje deifinicij ter utemeljevanje.

Induktivno sklepanje: je miselni proces, kjer učenec zaključuje 'od posameznega k splošnemu': primerja bistvene karakteristike, išče razlike in skupne značilnosti posameznih primerov. Preko induktivnega sklepanja sčasoma pridemo do generalizacije oziroma posploševanja, kar pa je ključnega pomena za razumevanje ulomkov. To velja še posebej za učenje ulomkov pri učencih, ki so še na konkretni ravni razumevanja po Piagetu in potrebujejo številne vizualne pripomočke, saj jih na primer, enaka delitev čokolade, površine ali predmeta lahko privede do identifikacije koncepta ulomkov (de Koning, Hamers, Sijtsma & Vermeer, 2002).

Primer naloge: En izmed spodnjih ulomkov se razlikuje od ostalih. Najdi ga in ga obkroži.

2 7 ³

2 ¹⁴

49 ¹⁰

35 ⁴

14

Razumevanje in razlaganje definicij: Niemi (1996 po Nicolaou, Pitta-Pantazi, 2009) je trdil, da učenec ulomke razume, če lahko pojasni odgovore na vprašanja glede ulomkov ter jih opiše s svojimi besedami. To lahko naredi bodisi ustno ali pa s pomočjo simbolov

(18)

8

ali shem. Ulomke razume tudi, če lahko uporabi več kot en način, da pojasni svoj odgovor (na primer, vprašanje, kdaj sta dva ulomka ekvivalentna).

Primer naloge: Predstavljaj si, da bi te učitelj prosil, da svojim sošolcem razložiš, kaj je ulomek. Opiši ga na čim več načinov (Nicolaou, Pitta-Pantazi, 2009).

Utemeljevanje: Utemeljevanje lahko razkrije predstave učencev o ulomkih, njihovo poznavanje ulomkov in njihovih napak. Učenci morajo biti ob koncu sedmega razreda osnovne šole sposobni razvijati matematične argumente in dokaze (ki še niso formalni) in izbrati različne vrste sklepanja in metode dokazovanja za rešitev določene naloge.

Utemeljevanje lahko opredelimo kot sposobnost učenca, da spozna resnico ali neresnico iz matematičnega rezultata (Duval, 1992/1993 prav tam). Pokazatelj, da učenec razume ulomke, je lahko odgovor na vprašanje, kaj se zgodi z velikostjo ulomka, če povečamo imenovalec, in kaj, če povečamo števec. Odgovor učenca bo v tem primeru pokazal, ali razume, da je ulomek razmerje števil in da ne vidi števca in imenovalca kot dve različni števili, med katerima ni povezave.

Primer naloge: Če imenovalec in števec podvojim, bo nov ulomek dvakrat večji kot začetni ulomek (Nicolaou, Pitta-Pantazi, 2009).

Prav Narobe Svoj odgovor utemelji.

 UČENČEVA PREDSTAVA O VELIKOSTI ULOMKA

Učenčeva predstava o velikosti ulomka je ključnega pomena za razumevanje ulomkov.

Tako v primeru, ko učenec ne more zaznati, da je ¹

4 manj kot ¹

3, očitno ne razume pomena ulomkov in njihovih velikosti. Predstava o velikosti ulomkov je ključna za primerjanje ulomkov. Post, Behr in Lesh (1986 prav tam) so prišli do zaključka, da je učenčeva predstava o velikosti ulomka povezana z dobrim konceptualnim razumevanjem ulomkov.

Primer naloge: Spodnje ulomke napiši po velikosti od najmanjšega do največjega (Nicolaou, Pitta-Pantazi, 2009).

1 2, ⁴

3, ²

3, ¹

4

(19)

9

 PREDSTAVE ULOMKOV IN NJIHOVIH OPERACIJ

Za dobro razumevanje ulomkov so potrebne tudi dobre predstave ulomkov. To pomeni, da je učenec sposoben velikost ulomka narisati, pobarvati ter ga na več načinov (verbalno, simbolno in ikonično) predstaviti (Nicolaou, Pitta-Pantazi, 2009).

 POVEZAVE S SORODNIMI VSEBINAMI (decimalna števila, procenti, deljenje)

Pri povezovanju različnih oblik racionalnih števil se učenci soočajo s težavami (Sweeny in Quinn, 2000 prav tam). Učenčeva sposobnost, da ene vrste predstavitev racionalnega števila pretvori v drugo, je dober pokazatelj, da razume ulomke.

Primer naloge: Spodnje ulomke pretvori v decimalna števila (Nicolaou, Pitta-Pantazi, 2009):

1

4 = ²

5 = ³

10 =

2.4. Stopnje zahtevnosti razumevanja ulomkov

Znanje matematike sestavlja več komponent znanja. Komponenti, ki sta bistvenega pomena za razvoj razumevanja ulomkov, sta konceptualno in proceduralno znanje.

Konceptualno znanje je poznavanje dejstev in pojmov, proceduralno znanje pa obsega poznavanje in učinkovito obvladanje algoritmov in procedur.

Če imamo račun ¹

2 + ¹

4, bi konceptualno znanje izrazili tako, da bi pobarvali določen del lika ali števili označili na številski premici. S proceduralnim znanjem pa bi ulomkoma poiskali najmanjši skupni večkratnik in nato ulomka sešteli (Hecht, S. A., Vagi, K. J., 2012).

Več raziskovalcev (npr. Dubinsky, 1991; Gray & Tall, 1994; Sfard, 1991 po Pantziara, Philippou, 2012) meni, da proceduralno znanje usvojimo pred konceptualnim, tako da proceduralno znanje omogoča usvojitev konceptualnega. Razumevanje pojmov se gradi skozi konkretne situacije, procedure in procese vse do abstraktnih matematičnih pojmov ter razumevanja simbolov. Ta razvoj so opisali trije raziskovalci:

 Dubinsky: akcija – proces – objekt,

 Gray in Tall: postopek – proces – koncept,

 Sfard: interiorizacija – kondenzacija – reifikacija.

(20)

10

Sfardova (1991 po Pantziara, Philippou, 2012) je predstavila teoretični okvir za ustrezno usvojitev matematičnih pojmov. Razlikuje operativno in strukturno razumevanje pojma. Po njenem mnenju mora učenec najprej usvojiti operativno razumevanje, šele takrat lahko razume strukturno, saj je strukturno bolj abstraktno in napredno. Obstajajo izjeme, kot na primer v geometriji, kjer se zdi nek lik sam po sebi enostavnejši kot pa algoritmi in procesi, ki so potrebni, da ta lik narišemo. Prav tako poudarja, da bi bilo brez abstraktnih pojmov naše razumevanje matematičnih pojmov oteženo (Sfard, 1991 poWille, 2009).

V procesu od operativnega razumevanja do strukturnega je oblikovala tri stopnje:

 INTERIORIZACIJA (ang. interiorization): učenec usvoji procese izvajanja matematičnih problemov na nižji ravni in postopoma razvija kompetence za izvajanje postopkov. Učenci se seznanijo s procesi in operacijami na nižji ravni in na koncu pridobijo znanje o teh operacijah in procesih (Sfard, 1991 poWille, 2009).

Pri usvajanju ulomkov je to faza, ko učenec zna iz lika razbrati, kolikšen del lika je pobarvanega (prešej vse dele lika, preglej, če so deli enako veliki, preštej pobarvane dele), nato napiši ulomek: pogoj za razumevanje ulomka kot dela celote.

Primer: Obkroži ¹

4

 KONDENZACIJA (ang. condensation): učenec postane sposoben razmišljati o zapletenem procesu kot celoti in ne kot nizu korakov. V tej fazi učenec postopoma postaja sposoben spreminjanja dolgih zaporedij operacij v bolj obvladljive elemente v obliki, ki je lažje razumljiva zanj. Ukvarja se tudi z alternativnimi oblikami in reprezentacijami pojma, združuje procese in omogoča primerjave in posplošitve.

Učenec je sposoben združiti postopke, le-te primerjati in posplošiti (Sfard, 1991 po Wille, 2009).

V primeru ulomkov je to faza, ko je učenec zmožen razbrati del pobarvanega lika, ko le-ta 'ni cel' razdeljen na enake dele.

Slika 1: Primer naloge faze interiorizacije

(21)

11 Primer: Kolikšen del lika je pobarvan?

 REIFIKACIJA (ang. reification): reifikacija 'zamenja' kondenzacijo takrat, ko učenec postopek vidi kot popolno razvit objekt. To je preskok v razumevanju in ne postopno napredovanje. V tej fazi učenec postane sposoben dojemati postopek (proces) kot 'polnopraven predmet' (Sfard, 1991 poPantziara, Philippou, 2012). Učenec koncepte razume, tako da se mu ni treba več 'opirati' na postopek.

Pri ulomkih je to faza, ko je učenec zmožen ugotoviti velikost pobarvanega dela lika, ki ni razdeljen na enake dele.

Primer: Kolikšen del lika je pobarvan?

Medtem, ko po mnenju Sfardove brez težav postopoma preidemo iz stopnje interiorizacije v stopnjo kondenzacije, je pri prestopu iz kondenzacije v reifikacijo večji problem:

'Reifikacija (...) je opredeljena kot ontološki premik – nenadna sposobnost videti nekaj, kar sicer že poznajo v popolnoma novi luči. Interiorizacija in kondenzacija sta postopni, bolj kvantitativni, kot kvalitativni spremembi, reifikacija pa je nenaden kvantni preskok' (Sfard, 1991 poWille, 2009).

Slika 2: Primer naloge faze kondenzacije

Slika 3: Primer naloge faze reifikacije

(22)

12

3. UČNE NAPAKE

V šolah prepogosto učijo samo algoritem reševanja ulomkov, pri čemer ga učencu velikokrat ni potrebno razumeti, le znati izvršiti. To povzroča napake in težave ter pušča učenca, da se zanaša na neke korake prej naučenega algoritma. Na primer, učenec bo pri seštevanju ulomkov seštel imenovalca ter števca. Za pogoste napake, ki jih bom analizirala v empiričnem delu, sem izdelala klasifikacijo, ki mi bo pomagala pri obravnavi.

Glede na namen moje naloge sem razlikovala med:

 napakami, ki so posledica nerazumevanja ulomkov (na primer, ¹⁸

0 = 0),

 napakami, ki so posledica nepoznavanja postopkov (na primer, koliko dvanajstin je v 2¹

4?),

 drugo: nepazljivost, predznanje, lapsusi, računske napake pri osnovnih operacijah itd.

Spodnja tebela prikazuje primere napak, ki sem jih v empiričnem delu naloge zaznala pri računskih postopkih z ulomki, in vzroke zanje:

Tabela 1: Primeri napak, zaznane pri računskih postopkih z ulomki

Računski postopek Opis napake Primer napake Klasifikacija Razširjanje/krajšanje/

okrajšanje

Učenec ima težave pri ugotovitvi najmanjšega skupnega imenovalca.

24 72 = ²

6 (Ulomek ni okrajšan 'do konca'.)

Nepazljivost

Primerjanje po velikosti

Učenec nepozorno prebere nalogo.

Učenec ulomke

razvrsti od

najmanjšega do največjega, čeprav naloga od njega zahteva, da ulomke napiše od največjega do najmanjšega.

Nepazljivost

Seštevanje Učenec števec in imenovalec obravnava kot dve samostojni celi števili.

2 5+3

2= 5 7

Napaka, ki je posledica

nepoznavanja postopkov.

(23)

13 Odštevanje Učenec misli, da imajo

cela števila enak imenovalec kot ulomek, od katerega ga odštevajo.

4 −3 8=4

8−3 8=1

8

Množenje Učenec ne spremeni imenovalca.

2 3∙1

3=2 3

Deljenje Učenec 'obrne' napačen ulomek ali ne obrne nobenega.

2 3:4

5=3 2∙4

5=12 10

Številski izrazi z ulomki

Množenje ulomka in celega števila zaradi nepazljivosti (nepravilno prepisovanje) narobe izračunajo.

Med računanjem nekega izraza se ²

3∙ 2 'spremeni' v

2 3∙2.

Napaka zaradi nepazljivosti

(24)

14

4. EMPIRIČNI DEL

4.1. Opredelitev raziskovalnega problema

V Sloveniji je ideja o ulomkih bežno predstavljena že v četrtem razredu osnovne šole, temeljiteje pa jih obravnavajo v sedmem razredu. Ob koncu sedmega razreda se od učencev pričakuje, da znajo računati z ulomki ter rešiti besedilne naloge povezane z ulomki. Na splošno učitelji menijo, da so ulomki za poučevanje težka snov, učenci pa, da so težka snov za se naučiti. Pri reševanju le-teh učenci tako delajo veliko napak. Predvidevam, da učitelji pogosto poudarjajo le algoritme in njihovo izvajanje, pri čemer učencem ni potrebno razumeti niti pojmov niti ozadja algoritmov. To povzroča napake in težave ter pušča učence, da se zanašajo na neke korake prej naučenega algoritma, ki je lahko pravilen ali ne. Na primer, učenec bo pri seštevanju ulomkov seštel imenovalca ter števca.

4.2. Raziskovalna vprašanja

S pilotsko raziskavo želim ugotoviti želim raven razumevanja ulomkov ter najpogostejše napake pri računanju ulomkov učencev sedmega razreda. Zanima me tudi, ali obstaja povezava med stopnjo zahtevnosti razumevanja ulomkov ter najpogostejšimi napakami pri delu z ulomki.

Na podlagi teoretičnih izhodišč in opredelitve raziskovalnega problema želim v empiričnem delu odgovoriti na naslednja raziskovalna vprašanja:

RV1: Kakšna je raven razumevanja ulomkov pri naših sedmošolcih?

RV2: Katere so najpogostejše napake sedmošolcev pri računanju z ulomki?

RV3: Ali obstaja povezava med usvojeno stopnjo zahtevnosti razumevanja ulomkov in pogostostjo napak pri reševanju nalog?

4.3. Metoda in raziskovalni pristop

Učenčevo raven razumevanja ulomkov sem ugotovila z dvema preizkusoma, ki sem ju povzela iz literature. Naredila sem tudi analizo napak pri reševanju in računanju ulomkov učencev ter nato s korelacijo poskušala ugotoviti, ali obstaja med njima povezava.

 Vzorec: V vzorcu je bilo zajetih 46 učencev 7. razreda Osnovne šole Stražišče.

(25)

15

 Pripomočki: Uporabila sem dva preizkusa, ki sta v prilogi.

Prvi preizkus (priloga 8.1) sem priredila po članku Algebra students' difficulty with fractions: an error analysis (Brown, Quinn, 2012) in ga skrajšala. V članku so raziskali pogoste napake, ki jih delajo učenci pri računanju z ulomki. Analiza napak je namenjena učiteljem in učencem pri odkrivanju in odpravljanju pogostih napak pri računanju z ulomki. Preizkus vsebuje 15 nalog, od tega sta dve besedilni. Vse naloge so objektivnega tipa tj. odgovori na naloge so zaprtega tipa.

Drugi preizkus (priloga 8.2) sem priredila po članku Levels of students’ “conception”

of fractions (Pantziara, Philippou, 2006) in ga skrajšala. V članku so raziskali stopnjo razumevanja ulomkov učencev. Kot je predstavljeno v teoretičnem delu, učenci usvojijo konceptualno znanje šele po tem, ko imajo že usvojeno proceduralno. Zato ta analiza predvideva, da imajo učenci, ki rešujejo ta preizkus, že usvojeno tako proceduralno kot tudi konceptualno razumevanje. Preizkus vsebuje 5 skupin po 3 naloge. Naloge v vsaki skupini obravnavajo isto tematiko: A naloga na ravni interiorizacije, B na ravni kondenzacije, C na ravni reifikacije. Skupaj je torej 15 nalog: 5 nalog je v fazi interiorizacije, 5 faze kondenzacije in 5 reifikacije. Naloge B3, B4, C4 ter C5 so subjektivnega tipa, tj. odgovori na naloge so odprtega tipa.

 Postopek zbiranja informacij: Učenci so rešili dva preizkusa v dveh šolskih urah, testa sem popravila sama. Rezultati preizkusov so zbrani v prilogi (priloga 8.3 in priloga 8.4). Vsaka naloga je vredna 1 točko. Če jo učenec izračuna pravilno, dobi 1 točko, sicer pa 0 točk.

 Način obdelave podatkov: Napake učencev sem analizirala s frekvenčno porazdelitvijo grupiranih rezultatov. Povezanost stopnje razumevanja in količine napak pri delu z ulomki sem izrazila s Pearsonovim koeficientom korelacije. Pearsonov koeficient korelacijem sem izračunala v programu Microsoft Office Excel.

(26)

16

4.4. Analiza preizkusov

4.4.1. Analiza prvega preizkusa 1. Naloga

Naloga:

Izračunaj:

a) ^𝟓

𝟏𝟐+^𝟑

𝟖= b) 𝟖 −^𝟑

𝟓= c) ^𝟏

𝟐·^𝟏

𝟒= d) ^𝟔

𝟕·^𝟐

𝟑·^𝟕

𝟒=

Namen naloge: Primeri prve naloge so bili izbrani z namenom, da preverim poznavanje algoritmov, ki jih učenci uporabljajo za iskanje vsote, razlike in produkta dveh ali treh ulomkov.

Rezultati:

Naloga Pravilen odgovor Napačen odgovor Primeri napak

N % N %

1.a 44 95,7 2 4,3

1.b 28 60,9 18 39,1 8

5−3 5= 5

5= 1

1.c 46 100 0 0,0

1.d 46 100 0 0,0

Komentar: Najpogostejša napaka je bila pri zaključku računanja, ko so morali rezultat samo še okrajšati (dogovor v razredu: neokrajšan odgovor ni pravilen odgovor.), a so imeli probleme pri iskanju najmanjšega skupnega večkratnika, tako da rezultat ni bil okrajšan.

Predstavljena napaka (primer 1b) sodi k napakam, ki so posledica nerazumevanja ulomkov.

(27)

17

Prikazana napaka v b primeru po mnenju Browna in Quinna (2006) kaže na pomanjkanje razumevanja povezave med naravnimi števili in ulomki. Učenec bi potreboval ponovno obravnavo z vizualno in verbalno razlago, ki bi pomagala usvojiti koncept racionalnih števil (Lamon, 1999).

2. Naloga

Naloga: Okrajšaj ulomek ^𝟐𝟒

𝟑𝟔

Namen naloge: Namen druge naloge je bil preveriti poznavanje algoritmov, ki jih učenci uporabljajo za okrajšanje danega ulomka.

Rezultati:

N % N %

2. 41 89,1 5 10,9

Komentar: Najpogostejša napaka je bila, da učenec ulomka ni okrajšal do konca. Napaka je rezultat nepazljivosti, saj učenec, ki ulomka ni okrajšal do konca, ni opazil, da med imenovalcem in števcem obstaja skupni delitelj, ki je večji od ena.

Brown in Quinn (2006) menita, da je uspešnost reševanja te naloge odvisna od algoritma, ki so ga posamezni učenci uporabili za okrajšanje ulomka.

Slika 4: Ulomek ni dokončno okrajšan

(28)

18 3. Naloga

Naloga: Reši besedilno nalogo:

a) Na koncert gre polovica vseh učencev v šoli. Do tja jih bo peljalo 5 avtobusov.

Zapiši ulomek, ki označuje, kolikšen del vseh učencev šole se bo peljalo z enim avtobusom.

b) Jure je v video igri osvojil 6 zmajev, vendar je to le ^𝟐

𝟓 vseh zmajev v igri.

Koliko je vseh zmajev v tej video igri?

Namen naloge: Namen naloge je bil ugotoviti, na kakšen način bodo učenci uporabili ulomek oziroma, če ga bodo znali pravilno umestiti v izračun oziroma enačbo.

Rezultati:

N % N %

3.a 28 60,9 18 39,1 1

2∙ 5 =5 2 𝑥 10

3.b 26 56,5 20 43,5

6 ∙2 5= 12

5 = 22 5 6 ∙ 5 = 30

Komentar: Kar polovica učencev, ki so primer a rešili napačno, je izbrala napačno operacijo.

Napake b primera izkazujeta, da učenec, ki je sicer usvojil različne algoritme, ne ve, kdaj katere uporabiti. Napake pri tej nalogi so posledica nerazumevanja pomena postopkov.

Brown in Quinn (2006) sta zaznala, da bi se napako iz a primera dalo preprečiti, če bi učence spodbujali, da uporabljajo slikovne pripomočke (si narišejo) ter če bi jim ponudili veliko različnih nalog, ki bi predstavljale različne operacije z ulomki.

Običajni pokazatelji, kdaj uporabiti kateri algoritem, v običajnih besedilnih nalogah pri tej nalogi niso očitni: posledično ti učenci razporedijo števila v poznano obliko, ter nato izberejo algoritem, za katerega mislijo, da ustreza. Ker ti učenci nimajo osnovnega razumevanja ulomkov in njihovih konceptov, ne znajo preveriti ustreznosti svojega odgovora na vprašanje.

(29)

19 4. Naloga

Naloga: Vemo, da je ^𝟓

𝟖= ^𝐱

𝟐𝟒. Koliko je x?

Namen naloge: Naloga vsebuje algebrski koncept. Enačba je lahko rešena 'na pamet' ali pa s postopkom.

Rezultati:

N % N %

4. 25 54,3 21 45,7 15

24

Komentar: Nalogo so učenci reševali zelo dobro, vendar jih kar 13 ni bilo pozornih na zastavljeno vprašanje (napisali so rešitev je ¹⁵

24, namesto 15 – napaka spada k nepazljivosti, oziroma lapsusu). Večina učencev je uporabila križni izračun, nekaj pa jih je ugotovilo, da je imenovalec na desni strani enačaja trikratnik imenovalca na levi strani: tako so ugotovili, da je x trikratnik števca na levi strani enačaja.

Slika 5: Primer nerazumevanja postopkov

Slika 6: Primer nepazljivosti pri pisanju odgovora

(30)

20 5. Naloga

Naloga:Zmnoži ^𝟏

𝟑· 𝐚 =

Namen naloge: Namen naloge je bil ugotoviti, če učenci znajo nalogo, kot je ¹

3∙ 5 =⁵

3

posplošiti v nalogo ¹

3∙ a = ^a

3. Rezultati:

N % N %

5. 28 60,9 18 39,1 1

3𝑎 1

6 𝑎 = 2

Komentar: Naši sedmošolci praktično nimajo izkušenj z algebrskimi izrazi, zato je rezultat naloge presenetljivo dober. Napake pri tej nalogi spadajo v klasifikacijo napak, ki so posledica nerazumevanja ulomkov.

Benander in Clement (1985) sta v svojem seznamu napak napisala, da je prva napaka posledica tega, da učenci množenje ulomkov vidijo kot nekomutativno operacijo. Druga napaka pa je pogosta napaka pri osnovi algebre. Učence moti spremenljivka, zato ji določijo vrednost; algebrski izraz so rešili tako, kot če bi imeli aritmetični izraz.

Učencem moramo ponuditi primere posploševanja izrazov z ulomki ter jim omogočiti, da usvojijo formulo ^𝑎

𝑏∙^𝑐

𝑑 = ^𝑎∙𝑐

𝑏∙𝑑 , pri kateri so različna pozitivna števila zamenjana s spremenljivkami.

Slika 7: Primer, ko učenec spremenljivki določi vrednost

(31)

21 6. Naloga

Naloga: ^𝟏𝟖

𝟎 =?

Namen naloge: Namen naloge je ugotoviti, če učenec razume koncept racionalnih števil, za katere je Rotman (1991 po Brown, Quinn, 2006) prepričan, da so predpogoj za razumevanje algebre.

Rezultati:

N % N %

6. 5 10,9 41 89,1 18

0 = 0 18

0 = 18

Komentar: Učenci, ki so nalogo rešili napačno, imajo težave z razumevanjem ulomkov. Ideja, da deljenje z 0 ni definirano, je pogosto učencem predstavljena samo na kratko in je od njih zahtevano, da ji preprosto verjamejo. V učbenikih za šesti in sedmi razred sem poiskala, kako je opisano deljenje z 0:

 V učbeniku Kocka 6, je v zgledu napisano: pri številki 0 moramo biti previdni. Ker celote ne moremo razdeliti na 0 enakih delov, ulomka ⁵

0 ter ⁶

0 nimata pomena.

Imenovalec ulomka ne sme biti 0,

 v učbeniku Kocka 7 je na strani 86 v kotu napisano le: ⁰

3, ⁰

1, ⁰

9 … so ulomki, ⁵

0, ¹²

0 ,

33

0 ... pa ne, saj imenovalec ulomka ne sme biti 0. Tudi v definiciji ulomka ni razlage, zakaj v imenovalcu ne sme biti 0,

 v učbeniku Skrivnosti števil in oblik 7 je na strani 41 napisano, da ene ali več celot ne moremo razdeliti na 0 enakih delov, torej ulomki z imenovalcem 0 ne obstajajo.

Razlaga je dobra, vendar bi morala biti bolj poudarjena, saj jo učenci zlahka zgrešijo.

Brown in Quinn (2006) sta rezultate učencev interpretirala takole: za učence je rešitev 0 zelo logična. Ne razumejo, zakaj imenovalec ne more biti 0, če je 0 v števcu sprejemljiva (Benander, Clement, 1985).

(32)

22

Drug rezultat, 18, je učencem prav tako logičen. Če imaš število in ga 'ne deliš z ničemer', se njegova vrednost ne bi smela spremeniti. Poleg tega, je deljenje ponavljajoče odštevanje:

zato je njihov rezultat še toliko bolj logičen (odšteješ 0 od 18 in ostane 18, nato ponavljaj odštevanje 0 od 18 in še vedno ostane 18).

Deljenje z 0 je abstrakten pojem, ki mora biti povezan z racionalnim konceptom števil.

Ker rezultat ni definiran, ne obstaja proces, s katerim bi prišli do pravilnega odgovora. Vendar pa bi bil rezultat lahko logično predstavljen s sledečim vzorcem:

18

9 = 2, zato je 2 ∙ 9 = 18

18

2 = 9, zato je 9 ∙ 2 = 18

18

0 = 0, ampak 0 ∙ 0 ≠ 18

18

0 = 18, ampak 18 ∙ 0 ≠ 18

Vzorec, ki je predstavljen zgoraj, je enak vzorcu, ki ga učenci uporabljajo pri preverjanju rešitve, ko se prvič srečajo z deljenjem ulomkov.

Slika 8: Primer napake, ko učenec ne razume deljenja z 0: primer

narezumevanja ulomkov

Slika 9: Primer napake, ko učenec ne razume deljenja z 0: primer nerazumevanja ulomkov

(33)

23 7. Naloga

Naloga:Reši enačbo 𝒙 +^𝟏

𝟑= 𝟕.

Namen naloge: Namen naloge je bil ugotoviti, ali učenci znajo intuitivno rešiti enačbo brez uporabe postopka.

Rezultati:

N % N %

7. 32 69,6 14 30,4

Komentar: Kar 23 učencev je za izračun uporabilo algebro. 9 učencev je prepoznalo, da je 6²

3+¹

3= 7. Od 23 učencev, ki so uporabili algebro za izračun, jih je kar 18 uporabilo izračun 7 −¹

3= ²¹

3 −¹

3= ²⁰

3. Ostali so izračunali takole: 7 −¹

3= 6²

3. Opazka, da so le redki učenci prepoznali enakost pokaže, da učenci operacije ulomkov vidijo kot niz izoliranih algoritmov in ne kot niz povezanih idej, ki tvorijo en celoten koncept.

8. Naloga Naloga: Koliko je ¹

2 od ²

3 ?

Namen naloge: Vidik, ki je bil preverjan v tej nalogi, je bil sposobnost uporabe ulomkov kot operatorjev. Ta primer ne zahteva računanja ali uporabe algoritma.

Rezultati:

Naloga Pravilni odgovor Napačen odgovor Primeri napak

N % N %

8. 36 78,3 13 21,7 1

2∶2 3=3

4

Komentar: Brown in Quinn (2006) sta zaznala, da je napaka še en primer razširitve operacij iz naravnih števil, kjer 'od' pomeni proces delitve.

(34)

24 9. Naloga

Naloga:

𝟏𝟐 𝟏𝟑−^𝟑

𝟕je najbližje:

a) 1 b) ^𝟏

𝟐

c) 0 d) Ne vem

Namen naloge: Namen te naloge je bil ugotoviti sposobnost razumevanja in ocene razmerja med števcem in imenovalcem za določitev relativne velikosti dveh ali več ulomkov.

Rezultati:

N % N %

9. 40 87,0 6 13,0

Komentar: Naloga je zahtevala ocenitev odgovora, zato mnogi sploh niso uporabili operacije odštevanja.

Brown in Quinn (2006) sta prepričana, da neformalna ocenitev ulomkov vključuje tudi dejavnosti, pri katerih se od učencev zahteva, da navedejo, kateremu številu izmed 0, ¹

2 in 1, je glede na delež ulomek bližje. Take ocenitve velikosti ulomkov se kasneje razširijo na ocenitve seštevanja, odštevanja, množenja, deljenja. Razumevanje nalog tega tipa je pomembno predznanje za usvojitev bolj formalne obravnave računanja z ulomki. Bistveno za razvoj računskih algoritmov je sposobnost oceniti rezultat osnovnih operacij pri ulomkih (učenci morajo biti sposobni napovedati vsoto, razliko, produkt ali količnik, seveda z neko stopnjo natančnosti).

(35)

25 10. Naloga

Naloga: Vstavi na črto (večji/manjši/enak).

Količnik števil ^𝟏

𝟐 ter ^𝟏

𝟑 je__________________ od ^𝟏

𝟐

Namen naloge: Vidik, ki je bil preverjan pri tej nalogi, je bil sposobnost uporabe razmerja med števcem in imenovalcem za določitev relativne velikosti dveh ali več ulomkov.

Rezultati:

N % N %

10. 37 80,4 9 19,6 3

6−2 6= 1

6<1 2

Komentar: 9 učencev je odgovorilo napačno. Od teh 9, sta 2 učenca količnik števil zapisala kot razliko števil. Te napake so torej posledica napak pri interpretiranju naloge.

Brown in Quinn (2006) sta mnenja, da napaka kaže, da so učenci verjetno poskušali uporabiti lastnost deljenja naravnih števil, kjer je količnik vedno manjši od deljenca.

Sprva naj učenec deli ulomek s celim številom, saj bo s tem dobil idejo, da pri pri deljenju ne dobimo vedno količnika, ki je manjši od deljenca. Ta koncept je treba razviti in povezati z deljenjem z 1, deljenjem z 0 ter deljenjem s števili med 0 in 1.

Slika 10: Napačno razumevanje besede 'količnik'

(36)

26 11. Naloga

Naloga:Napiši po vrsti ulomke od najmanjšega do največjega: ^𝟒

𝟕, ^𝟓

𝟗, ^𝟑

𝟓

Namen naloge: Naloga je namenjena ugotovitvi učenčevega konceptualnega razumevanja velikosti ulomka.

Rezultati:

N % N %

11. 41 89,1 5 10,9 4

7, 3

5, 5

9

3

5, 4

7, 5

9

Komentar: Najpogostejša napaka je bila, da so učenci napisali ulomke od največjega od najmanjšega. To je tipična napaka, ki je posledica nepazljivosti in bi se ji dalo izogniti.

Vsi učenci, ki so na vprašanje odgovorili pravilno, so ulomke najprej dali na najmanjši skupni večkratnik, ter jih šele nato pravilno razporedili.

12. Naloga

Naloga:Če večamo n, se vrednost ulomka ^𝟏

𝒏: a) Približa 1

b) Približa 0 c) Zelo poveča

Namen naloge: Namen naloge je ugotoviti učenčevo konceptualno razumevanje velikosti ulomka.

Slika 11: Površnost pri branju in odgovoru

(37)

27 Rezultati:

N % N %

12. 11 23,9 35 76,1

Komentar: Kar 35 učencev je na vprašanje odgovorilo napačno. Od tega je 23 učencev obkrožilo odgovor a, 12 pa odgovor c. V tej nalogi nastopa spremenljivka, česar učenci v sedmem razredu še niso srečali. Prav temu pripisujem slabe rezultate.

13. Naloga

Naloga: Koliko dvanajstin je v 𝟐^𝟏

𝟒?

a) 28 b) 27 c) 25 d) 16 e) 12

Namen naloge: Namen naloge je ugotoviti, ali učenci obvladajo pojem ulomka in operacij do te mere, da z ulomki brez težav računajo v novih okoliščinah.

Rezultati:

N % N %

13. 32 69,6 14 30,4

Komentar: En učenec je napisal odgovor 45. Ta učenec, tako kot večina ostalih učencev, ni pokazal poteka računanja, zato je težko ugotoviti vzrok te napake.

(38)

28

Brown in Quinn (2006) sta mnenja, da se naloga lahko reši z uporabo osnovnih strategij računanja z ulomki.

Ena možnost reševanja te naloge je, da učenci narišejo številsko premico z dvanajstimi intervali med celimi števili vse do števila 2¹

4. Pri tem reševanju ni potrebno nobenega računanja.

Preden se učenci začnejo učiti algebro, morajo usvojiti znanje o dveh osnovnih konceptih, ki sta vključena v to nalogo. Najprej morajo razumeti, da 2¹

4 pomeni 2 + ¹

4, nato pa, ker je v našem primeru zahtevano število dvanajstin, da je vsota lahko zapisana kot ²⁴

12+ ³

12. S tem lahko ugotovijo, da je pravilni odgovor 24 + 3 = 27. Postopoma lahko ta proces posplošimo in skrajšamo.

14. Naloga

Naloga: Poenostavi 𝟏^𝟏 𝟐 · ^𝟏_𝟑

Namen naloge: Namen naloge je ugotoviti, ali učenci obvladajo pojem ulomka in operacij do te mere, da z ulomki brez težav računajo v novih okoliščinah.

Slika 12: Prikaz napačnega in nerazumljivega odgovora

(39)

29 Rezultati:

N % N %

14. 11 23,9 35 76,1 1

1 6

Komentar: V naših učbenikih je nalog z dvojnimi ulomki bolj malo, vendar so. V učbeniku Skrivnosti števil in oblik 7 je naloga: Razreši dvojne ulomke, s primeri, kot je:

1 41 9

.

Napake, ki so jih učenci delali pri tej nalogi, so zelo podobne napakam in prejšnjih nalog. Gre za nepoznavanje postopkov, kar je vzrok za napake.

Učenci, ki imajo izkušnje z delitvijo ulomkov, ne potrebujejo posebnih algoritmov za ugotovitev, koliko šestin je v 1, to bi znali na pamet (Lamon, 1999).

Slika 13: Primer pogoste napake pri dvojnih ulomkih

(40)

30 Zaključek

V spodnji tabeli so prikazane naloge od najslabše reševane (naloge, kjer so učenci v povprečju dosegli najmanj točk) do najbolje reševane (naloge, kjer so učenci v povprečju dosegli največ točk), povprečni dosežek učencev, ki so reševali preizkus, ter klasifikacija najpogostejših napak. Dosežki posamezunih učencev so v prilogi (Priloga 8.3).

Tabela 2: Najpogostejše napake po nalogah

Št. naloge Kratek opis naloge

Indeks zahtevnosti (%)

Klasifikacija najpogostejših napak

6 Vrednost ulomka,

ki ima v imenovalcu 0.

13,0 Napake so posledica nerazumevanja

ulomkov.

12 Vrednost ulomka,

ko mu večamo imenovalec.

ulomkov.

14 Dvojni ulomek 23,9 Napake so posledica

4 Iskanje neznanke 54,3 Napake so posledica

nepazljivosti.

5 Množenje ulomka

z neznanko

60,9 Napake so posledica nerazumevanja algebrskih ulomkov.

3 Besedilna naloga 60,9 Napake so posledica

nerazumevanja pomena postopkov.

7 Rešitev enačbe z

neznanko

69,6 Računske napake pri osnovnih operacijah.

13 Iskanje dvanajstin 69,6 Napake so posledica

8 Iskanje dela

ulomka

(41)

31

ulomkov.

10 Primerjanje po

velikosti

80,4 Napake so posledica nepazljivosti.

9 Ocenitev velikosti

razlike

87,0 Računske napake pri osnovnih operacijah

11 Primerjanje po

velikosti

89,1 Napake so posledica nepazljivosti.

2 Okrajšanje ulomka 89,1 Napake so posledica

nepazljivosti.

1 Računski izrazi 90,8 Posledica

nerazumevanja ulomkov

Najbolje so učenci rešili prvo nalogo: v povprečju so imeli kar 3,6 točk od 4 možnih.

Najslabše so reševali šesto nalogo, kjer so imeli v povprečju le 0,13 točke od 1 možne.

Analiza napak je pokazala dobre rezultate. Povprečen rezultat testa je bil kar 67,6 %.

Učenci razmeroma dobro obvladajo postopke z ulomki. Veliko napak je bila posledica nepopolnega reševanja (ne okrajšajo), nenatančnega branja navodil, skromnih algebrajskih izkušenj – torej stvari, ki so sicer zelo pomembne, a niso neposredno vezane na ulomke.

Nekaj rezultatov je bilo nerazumljivih, kar prikazuje nerazumevanje operacij in algoritmov, ki so jih učenci uporabili pri izračunu. Na primer, če učenec trdi, da je ¹

2𝑜𝑑²

3

enako ³

4 je očitno, da ne razume relativne velikosti ulomka. (Benander, Clement, 1985). Tudi v moji raziskavi ni noben učenec uporabil slikovne prezentacije, kar bi lahko pomagalo pri rešitvi nekaterih nalog.

(42)

32 4.4.2. Analiza drugega preizkusa

Preizkus vsebuje 5 skupin po 3 naloge. Naloge v vsaki skupini obravnavajo isto tematiko:

A naloga na ravni interiorizacije, B na ravni kondenzacije, C na ravni reifikacije. Skupaj je torej 15 nalog: 5 nalog je v fazi interiorizacije, 5 faze kondenzacije in 5 reifikacije. Naloge B3, B4, C4 ter C5 so subjektivnega tipa, tj. odgovori na naloge so odprtega tipa.

Da bi ugotovila stopnjo razumevanja ulomkov učencev sedmega razreda osnovne šole Stražišče, sem iz članka Levels of students’ “conception” of fractions (Pantziara, Philippou, 2012) priredila preizkus. Vsaka naloga je vredna 1 točko (torej skupek nalog A je vreden 3 točke). Stopnjo razumevanja posameznega učenca v celotnem preizkusu sem določila tako, da sem učencu seštela dosežene točke in mu po spodnjem kriteriju določila stopnjo:

Tabela 3: Kriterij za določitev stopnje razumevanja ulomkov

Točke Stopnja

0 točk Stopnja 0

1 - 5 točk Stopnja 1

6 – 10 točk Stopnja 2

11 – 15 točk Stopnja 3

Učenec, ki je dosegel 9 točk ima 2. stopnjo razumevanaja ulomkov.

Uspešnost oziroma stopnjo razumevanja pa sem ugotavljala tudi pri posamezniih nalogah. Če je učenec dobil 3 točke, je izkazal stopnjo 3, stopnjo reifikacije. Če je dobil 2 točki, je dosegel stopnjo kondenzacije, 1 točko stopnjo interiorizacije. Če pa ni dobil 0 točk, pa je dosegel stopnjo 0.

(43)

33 Predstavitve nalog

Shema preizkusa je pri vseh nalogah enaka: Naloga A ugotavlja, ali je dosežena interiorizacija, naloga B, ali je dosežena kondenzacija in naloga C, če je dosežena reifikacija.

Učenec, ki je rešil neko stopnjo, je praviloma rešil tudi vse predhodne stopnje.

1. Naloga Naloga:

A1 B1 C1

Obkroži ¹

4. Ob vsak lik napiši, kolikšen del lika je pobarvan.

Napiši, kolikšen del lika je pobarvan.

Namen naloge: Naloga se nanaša na dele celote in preverja, ali je učenec sposoben določiti, kolikšen del lika je pobarvan.

Rezultati:

Stopnja razumevanja Učenci, ki so dosegli to stopnjo

N %

Stopnja 0 2 4,3

Stopnja 1 7 15,2

Stopnja 2 21 45,7

Stopnja 3 16 34,8

(44)

34 2. Naloga

Naloga:

A2 B2 B3

Z ulomkom napiši, kolikšen delež likov je trikotnikov.

Na desni sliki pobarvaj tolikšen delež, kot je predstavljen na levi sliki.

S črtami poveži slike, ki predstavljajo isti ulomek.

Namen naloge: Namen naloge je bil ugotoviti, kako uspešno učenci sledijo določenemu postopku, ki jim pomaga pri rešitvi naloge.

Rezultati:

N %

Stopnja 0 0 0,0

Stopnja 1 9 19,6

Stopnja 2 32 69,6

Stopnja 3 5 10,8

(45)

35 3. Naloga

Naloga:

A3 B3 C3

Na številski premici vstavi ulomek ³

8.

Najprej zapiši, kateri ulomek prikazuje spodnja slika, nato pa ta ulomek označi na

številski premici.

V okenček napiši ustrezen ulomek.

Namen naloge: Naloga je namenjena ugotavljanju razumevanja velikosti ulomka.

Rezultati:

N %

Stopnja 0 0 0,0

Stopnja 1 9 19,6

Stopnja 2 14 30,4

Stopnja 3 23 50,0

A4 B4 C4

Obkroži večji ulomek.

4 7 2

7

Opiši dva načina, kako lahko upodobiš, kateri od spodnjih ulomkov je večji.

8

18 5 9

Napiši nek ulomek, ki je večji od ¹

9 ter manjši kot ¹

8.

(46)

36

Namen naloge: Naloga je namenjena ugotovitvi, če učenec zna uspešno primerjati ulomke.

Rezultati:

N %

Stopnja 0 0 0

Stopnja 1 31 67,4

Stopnja 2 12 26,1

Stopnja 3 3 6,5

A4 B4 C4

Izračunaj vsoto.

1 6 + ³

6 =

Izračunaj vsoto.

2 5 + 1

6 =

Zapiši besedilno nalogo, ki jo rešiš z računom ²

5 + ¹

6 =.

Namen naloge: Namen naloge je ugotoviti, katero stopnjo znanja učenec doseže pri računanju vsote ulomkov.

Rezultati:

N %

Stopnja 0 2 4,3

Stopnja 1 3 6,5

Stopnja 2 37 80,4

Stopnja 3 4 8,8