VIVIANIJEV IZREK IN NJEGOVE POSPLO’ITVE

Pou£evanje, predmetno pou£evanje

Terezija Ceferin

VIVIANIJEV IZREK IN NJEGOVE POSPLO’ITVE

Magistrsko delo

Ljubljana, 2016

Pou£evanje, predmetno pou£evanje

Terezija Ceferin

VIVIANIJEV IZREK IN NJEGOVE POSPLO’ITVE

Magistrsko delo

Mentor: dr. Du²an Repov², red. prof.

Somentor: dr. Matija Cencelj, red. prof.

Ljubljana, 2016

Zahvalo izrekam tudi svojim najbliºjim, ki so me spodbujali tekom ²tudija in pri pisanju magistrskega dela.

vi²ini trikotnika oziroma vsota razdalj je konstantna. V delu ugotavljamo, ali je vsota razdalj od to£ke do stranic neenakostrani£nega trikotnika tudi enaka kateri izmed vi²in trikotnika oziroma raziskujemo, ali obstaja kak²no drugo raz- merje med vsoto razdalj in vi²inami. Nadalje preu£ujemo posplo²itve izreka na mnogokotnike in poliedre. Koncept posplo²itve na izbranih primerih prika- ºemo z uporabo razli£nih metod. V ta namen lo£eno preu£ujemo konveksne in konkavne mnogokotnike (oziroma poliedre). V zaklju£nem delu navedemo konkretne primere obravnave izreka pri matematiki v ²oli in primer njegove uporabe pri risanju diagramov, ki imajo obliko enakostrani£nega trikotnika.

Klju£ne besede: Vivianijev izrek, enakostrani£ni trikotnik, lastnost konstan- tne Vivianijeve vsote (CVS lastnost), segment izosumarnih to£k, izosumarni prerez, konveksni mnogokotnik, konveksni polieder.

and the sides equals the triangle's altitude i.e. that the sum of the distances is constant. In the paper it is investigated whether the sum of the distances from an interior point to the sides of a nonequilateral triangle also equals any of the triangle's altitudes or whether there exists any other relation between the sum of the distances and the altitudes. A further investigation refers to a genera- lisation of the theorem to other polygons and polyhedra. The generalisation concept on chosen examples is shown by the use of various methods. To this end, convex and concave polygons (or polyhedra) are investigated separately.

The conclusion gives concrete examples of dealing with the theorem in class and an example of its use in the drawing of diagrams having the form of an equilateral triangle.

Key words: Viviani's theorem, equilateral triangle, constant Viviani sum pro- perty (CVS property), isosum segment, isosum cross section, convex polygon, convex polyhedron.

1 Uvod 1

2 Vivianijev izrek 3

2.1 Vincenzo Viviani . . . 3

2.2 Vivianijev izrek . . . 6

2.3 ’e nekaj dokazov Vivianijevega izreka . . . 7

2.3.1 Geometrijski dokaz . . . 7

2.3.2 Vektorski dokaz - po Samelsonu . . . 9

2.3.3 Prvi dokaz brez besed . . . 11

2.3.4 Drugi dokaz brez besed . . . 12

2.3.5 Dokaz z uporabo lastnosti podobnih trikotnikov in pa- ralelograma . . . 12

2.4 Obrat Vivianijevega izreka . . . 14

2.5 To£ka izven enakostrani£nega trikotnika . . . 16

3 Ugotovitvi izhajajo£i iz Vivianijevega izreka 19 3.1 Po²evni Vivianijev izrek . . . 19

3.2 Bratranec Vivianijevega izreka . . . 21

4 Vivianijev izrek v neenakostrani£nih trikotnikih 23 4.1 Vivianijev izrek v raznostrani£nih trikotnikih . . . 23

4.2 Vivianijev izrek v enakokrakih trikotnikih . . . 26

5 Posplo²itve Vivianijevega izreka 31 5.1 Lastnost konstantne Vivianijeve vsote . . . 34

5.2 Posplo²itev na poljubne trikotnike . . . 35

5.3 Posplo²itev na konveksne mnogokotnike . . . 37

5.4 Posplo²itev na konveksne poliedre . . . 39

5.5 Posplo²itev na konkavne mnogokotnike in poliedre . . . 40

5.6 Primeri . . . 44

6.4 Pomen obravnave razli£nih dokazov . . . 68

7 Uporaba Vivianijevega izreka 69

8 Zaklju£ek 71

2.1 Vincenzo Viviani. . . 5

2.2 Enakostrani£ni trikotnik s pravokotnimi projekcijami to£ke P. . 6

2.3 Razdelitev enakostrani£nega trikotnika na manj²e trikotnike. . . 7

2.4 Geometrijski dokaz. . . 8

2.5 Koncikli£ne to£ke. . . 9

2.6 Vektorski dokaz po Samelsonu. . . 10

2.7 Dokaz brez besed - z rotacijo in s translacijo. . . 11

2.8 Dokaz brez besed - s translacijo. . . 12

2.9 Vzporednice stranic. . . 13

2.10 Obrat Vivianijevega izreka. . . 15

2.11 Nosilke stranic. . . 16

2.12 Izbira to£keP izven 4ABC. . . 17

3.1 Ali veljaP M +P N+P O =AD? . . . 20

3.2 Konstantna vsota dolºin daljicBD, CE in AF. . . 21

4.1 Velikosti vi²in v raznostrani£nem trikotniku. . . 23

4.2 Vsota razdalj v raznostrani£nem trikotniku - primerjava z naj- kraj²o vi²ino. . . 24

4.3 Vsota razdalj v raznostrani£nem trikotniku - primerjava z naj- dalj²o vi²ino. . . 24

4.4 Minimalna in maksimalna vsota razdalj v raznostrani£nem tri- kotniku. . . 25

4.5 Vsota razdalj v enakokrakem trikotniku, kjer je kraj²a vi²ina tudi simetri£na os. . . 26

4.6 Vsota razdalj v enakokrakem trikotniku, ko je to£kaP na osnov- nici. . . 27

4.7 Vsota razdalj v enakokrakem trikotniku, kjer dalj²a vi²ina pred- stavlja simetri£no os. . . 27

4.8 Vsota razdalj, ko je to£ka P izven enakokrakega trikotnika. . . . 28

5.3 Konveksni mnogokotnik. . . 33

5.4 Konkavni mnogokotnik. . . 33

5.5 Segmenti izosumarnih to£k v konkavnem mnogokotniku . . . 41

5.6 Razdelitev konkavnega mnogokotnikaABCDEF GH na konve- ksne mnogokotnike. . . 43

5.7 Deltoid. . . 44

5.8 Segmenti izosumarnih to£k vzporedni premici y= (1 +√ 2)x. . . 47

5.9 To£ka P v enakostrani£nem trikotniku petkotnika. . . 47

5.10 To£ka P v pravokotniku petkotnika. . . 48

5.11 Konstantna vsota razdalj v asimetri£nem petkotniku. . . 49

5.12 Postavitev pravilnega petkotnika v enakokotni petkotnik. . . 50

5.13 To£ko P na robu tetraedra. . . 53

5.14 To£ka P na ploskvi tetraedra. . . 54

5.15 To£ka P znotraj tetraedra. . . 54

6.1 Problem minimizacije vsote a+b+c. . . 56

6.2 Dokaz v programu Geometer's Sketchpad. . . 58

6.3 Koordinatni geometrijski dokaz. . . 59

6.4 Transformacijski dokaz: prvi korak. . . 60

6.5 Transformacijski dokaz: drugi korak. . . 60

6.6 Transformacijski dokaz: tretji korak. . . 61

6.7 Invariantna vsota razdalj, ko se to£ka premika vzdolº vi²ine. . . 62

6.8 Invariantna vsota razdalj, ko se to£ka premika horizontalno. . . 62

6.9 Raziskovanje Vivianijevega izreka v programu Geometer's Sket- chpad. . . 64

6.10 Potek dokaza v 6 korakih. . . 65

6.11 Prikaz re²evanje problema v enakokotnem petkotniku v Geome- ter's Sketchpad. . . 67

7.1 Trikomponentni fazni diagram. . . 69

7.2 Diagram vnetljivosti metana. . . 70

Uvod

Vivianijev izrek sodi med izreke elementarne geometrije. Ime nosi po Vincenzu Vivianiju, ki je izrek prvi dokazal, in sicer na podlagi vsote plo²£in. Dokazi so ena najpomembnej²ih prvin matematike. Najbolj²i dokazi nam poleg potrditve resni£nosti dolo£ene trditve uspejo predstaviti tudi razlog, zakaj je resni£na.

V ta namen se v prvem delu magistrskega dela osredoto£imo na razli£ne pri- mere dokazovanja Vivianijevega izreka. Samelson¹ je izrek dokazal z uporabo vektorjev, Chen in Liang pa sta izrek prav tako z vektorsko metodo uteme- ljila v obratni smeri. Kawasaki je za dokazovanje izreka uporabil rotacije, kar je prikazal s tako imenovanim dokazom brez besed. Tretje poglavje je name- njeno predstavitvi dveh izrekov, ki sta se oblikovala na podlagi Vivianijevega izreka:po²evni Vivianijev izrek in bratranec Vivianijevega izreka.

Vivianijev izrek je bil prvotno dokazan za enakostrani£ne trikotnike. Kasneje se je izkazalo, da ga lahko posplo²imo tudi na mnogokotnike oziroma poliedre.

V ta namen smo si postavili problemsko vpra²anje, kako analiti£no oz. ge- ometrijsko dokazati veljavnost Vivianijevega izreka za mnogokotnike oziroma poliedre. Odgovori na ta vpra²anja so predstavljeni v £etrtem in petem po- glavju. Posplo²itev izreka na konveksne mnogokotnike pravi, da lahko vsak konveksni mnogokotnik razdelimo na vzporedne segmente, na katerih je vsota razdalj konstantna. Druga£e re£eno: to£ke na dolo£enem segmentu imajo enako vsoto razdalj do stranic. Pri tem vpeljemo pojem lastnosti konstantne Vivianijeve vsote. Podobno kot pri mnogokotnikih dokaºemo posplo²itev Vivi- anijevega izreka na konveksne poliedre. Izkaºe se, da vsak konveksni polieder lahko razdelimo na vzporedne preseke tako, da je vsota razdalj konstantna na vsakem pre£nem preseku. Nadalje ugotovimo, da pri konkavnih mnogokotnikih

1Hans Samelson (19162005): nem²ko-ameri²ki matematik

1

in konkavnih poliedrih posplo²itve izreka, ki velja za konveksne mnogokotnike in poliedre, ne moremo dokazati.

Vivianijev izrek spada med preprostej²e geometrijske izreke in je primeren za obravnavo v osnovni ²oli. V ²estem poglavju podamo primere u£nih ur. V zaklju£nem poglavju si ogledamo ²e primer uporabnosti Vivianijevega izreka v kemijski stroki. Koncept izreka se nana²a na oblikovanje diagramov, ki imajo obliko enakostrani£nega trikotnika.

Pri raziskovanju tematike se v magistrskem delu posluºujemo teoreti£nega pri- stopa na osnovi ²tudija tuje literature. Delo doprina²a k bolj²emu poznavanju Vivianijevega izreka v slovenskem prostoru, saj je malo slovenske literature na to temo.

Vivianijev izrek

Odkritje Vivianijevega izreka izhaja iz re²itve problema, s katerim je Pierre de Fermat¹ izzval Galilejevega² u£enca E. Torricellija³ : v trikotniku4ABC poi-

²£i tako to£koF, da bo vsota razdalj|AF|+|BF|+|CF|minimalna. Toricelli je na²el ve£ re²itev tega problema. Iskano to£ko so poimenovali Fermatova to£ka.

Geometrijsko Fermatovo to£koF dobimo tako, da nad vsako stranico 4ABC nari²emo enakostrani£ne trikotnike. ƒe poveºemo na novo nastala ogli²£a z ogli²£i prvotnega 4ABC, se bodo vse tri premice sekale v Fermatovi to£ki.

Poleg tega je Toricelli tudi pokazal, da re²itev problema obstaja le, £e so vsi koti 4ABC manj²i od120^◦. Torricellijevo re²itev problema je objavil njegov

²tudent Viviani leta 1659 v delu De maximis et minimis geometrica Divinatio, v katerem je tudi zapisal izrek, ki se imenuje po njem Vivianijev izrek [26].

2.1 Vincenzo Viviani

Vincenzo Viviani (16221703)(slika 2.1) je bil italijanski matematik in zik.

Rodil se je 5. 4. 1622 v Firencah. Sprva je ²tudiral humanistiko na jezuitski

²oli. S svojo inteligenco in matemati£nim talentom je navdu²il G. Galilea in pri sedemnajstih letih je postal njegov ²tudent ter sodelavec. Pri njem se je usmeril v ²tudij zike in geometrije. Po Galilejevi smrti je sodeloval z E. Torricellijem, s katerim je z eksperimenti pripomogel k razvoju barometra. Leta 1647 je bil Viviani imenovan za predavatelja na Akademiji za oblikovanje (Accademia del Disegno) v Firencah, postal je tudi u£itelj matematike v druºini Medici ter bil

1Pierre S. de Fermat (1601-1665): francoski pravnik, matematik in zik.

2Galileo Galilei (1564-1642): italijanski zik, matematik, astronom in lozof.

3Evangelista Torricelli (1608-1647): italijanski zik in matematik.

3

imenovan za inºenirja na Uziali dei Fiumi, kjer je delal do svoje smrti.

Leta 1657 je Viviani postal eden prvih £lanov Eksperimentalne akademije (Accademia del Cimento), kjer je izvajal znanstvene poskuse. Leta 1696 je postal £lan Kraljeve druºbe v Londonu. ƒez tri leta je bil izvoljen za enega od osmih tujih £lanov Academie Royale des Sciences v Parizu [26]. V sodelova- nju z Giovannijem Borellijem⁴ je raziskoval podro£je hitrosti in ²irjenja zraka.

Leta 1656 sta z uporabo nihala kot napravo za merjenje £asa dokazala, da zrak prepotuje dvakrat ve£jo razdaljo pri podvojitvi £asa, z drugimi besedami: hi- trost zraka je konstantna. Dva dni po tej ugotovitvi sta naredila eksperiment za dolo£itev hitrosti zraka. S pomo£jo nihala sta izmerila £as med bliskom ob izstrelitvi topovske krogle in sli²anim pokom. S tem sta dobila izra£un, da je hitrost zraka 350 m/s in za 128 m/s izbolj²ala vrednost dotedanje izmerjene vrednosti. Dana²nji natan£ni rezultati kaºejo, da zrak potuje s hitrostjo 331,29 m/s pri temperaturi0 ^◦C. Na akademiji je izumil ²tevilne instrumente za pre- u£evanje kompresije zraka, speci£ne teºe teko£in, kapilarnih pojavov. Izdelal je zra£ni termometer, vlagomer in teleskop.

V svoji dolgoletni karieri je Viviani objavljal knjige z matemati£nimi in zi- kalnimi temami. Po Galilejevi smrti je uredil prvo izdajo Galilejevih zbranih del (16551656). Svoje raziskovanje je usmeril predvsem v ²tudij geometrije.

Velik projekt, ki je potekal skoraj celo njegovo ºivljenje, je bila obnova dela Aristeja Starej²ega (De locis solidis secunda divinatio geometrica in quinque libros iniuria temporum amissos tristaei senioris geometrae). To je bil priro£- nik o stoºnicah, £igar prva izdaja je iz leta 1673, dopolnjeno delo pa je iz²lo dve leti pred njegovo smrtjo, leta 1701. Obnavil je peto Apolonijevo knjigo o stoºnicah (Apollonius' Conics), ki je bila izdana leta 1695. V delu Quinto libro degli Elementi d'Euclide: ovvero Scienza universale delle proporzioni spiegata colla dottrina del Galileo, con nuov'ordine distesa (1674) se je posvetil dopolni- tvi nekaterih geometrijskih problemov. Med njimi je re²il problem delitve kota na tri dele - re²il ga je z uporabo cilindri£ne spirale ali cikloide ter problem podvajanje kocke (kako konstruirati kocko, ki ima dvakrat ve£jo prostornino od prvotne kocke) - re²il ga je s sredinami stoºnic oziroma s kubom xy² = k. Pomembno Vivianijevo delo je bilo tudi dokon£anje obnovitve pete knjige Ev- klidovih Elementov, ki sta jo za£ela Torriceli in Galileo. Prva izdaja te knjige je bila leta 1674, £ez dve leti je sledila druga dopolnjena razli£ica.

4Giovanni Alfonso Borelli (1608-1679): italijanski ziolog, zik, astronom in matematik.

Viviani je objavil knjigi Diporto Geometrico (1676) in Enodatio problematum universis geometris propositorum (1677). Prvo delo je vsebovalo re²itve dva- najstih geometrijskih problemov, ki jih je kot izziv postavil Cristoforo Sadler.

Kot inºenir je objavil delo Discorso intorno al difendersi da' riempimenti e dalle corrosione de' umi (1687) ter zapustil ²tevilne rokopise o hidravliki. Po njegovi smrti je iz²lo njegovo delo o odpornosti trdnih snovi, ki ga je dokon£al in izdal Guido Grandi [27].

Slika 2.1: Vincenzo Viviani.

2.2 Vivianijev izrek

Izrek 2.2.1 (Vivianijev izrek) V enakostrani£nem trikotniku je vsota raz- dalj med poljubno notranjo to£ko P in stranicami enaka vi²ini trikotnika.

Dokaz: Naj bo dan enakostrani£ni trikotnik 4ABC z dolºino stranice a, vi²ino h_a in ogli²£i A, B in C. V notranjosti trikotnika izberimo poljubno to£ko P. S to£kami P_AB, P_BC in P_CA ozna£imo pravokotne projekcije to£keP na stranice AB, BC inCA trikotnika 4ABC (slika 2.2).

Slika 2.2: Enakostrani£ni trikotnik s pravokotnimi projekcijami to£ke P. To£ko P poveºemo z ogli²£i4ABC in ga s tem razdelimo na tri manj²e triko- tnike4ABP,4BCP in4CAP (slika 2.3). Vsota plo²£in manj²ih trikotnikov je tedaj enaka plo²£ini prvotnega trikotnika:

S =S_ABP +S_BCP +S_CAP. (2.1)

Slika 2.3: Razdelitev enakostrani£nega trikotnika na manj²e trikotnike.

Ker se plo²£ina poljubnega trikotnika izra£una kot polovi£ni produkt osnovnice in pripadajo£e vi²ine, dobimo izra£un (2.3), da je vi²ina prvotnega trikotnika enaka vsoti vi²in manj²ih trikotnikov. Vi²ine manj²ih trikotnikov ozna£imo P PAB =h1, P PBC =h2, P PCA =h3 in preoblikujemo ena£bo (2.1):

(a·h_a)

2 = (a·h₁)

2 + (a·h₂)

2 + (a·h₃)

2 , (2.2)

in z mnoºenjem ena£be (2.2) z ²_a dobimo

h_a=h₁+h₂+h₃. (2.3)

2.3 ’e nekaj dokazov Vivianijevega izreka

Osnovni dokaz Vivianijevega izreka temelji na izra£unu povr²ine in ga imenu- jemo algebrski dokaz. V nadaljevanju so predstavljeni ²e nekateri drugi na£ini dokazovanja tega izreka.

2.3.1 Geometrijski dokaz

Dokaz: (Geometrijski dokaz) V enakostrani£nem trikotniku 4ABC skozi to£ko P nari²emo daljico A₁B₁, ki je vzporedna stranici AB (slika 2.4). Pri

tem je jasno, da ne glede na to, kje se to£ka P nahaja na daljiciA₁B₁, ostaja razdalja med P in AB enaka. Nadalje pokaºemo, da je vsota razdalj od P do stranicBC in CAenaka ne glede na to, kje na daljici A₁B₁ je to£ka P (vsota

|P E|+|P F| je konstantna). Za ta namen dolo£imo novo to£ko P₁ na daljici A1B1 in nari²emo pravokotnici P1E1 in P1F1 od to£ke P1 na stranici BC oz.

CA. Dokazati moramo, da|P E|+|P F|=|P₁E₁|+|P₁F₁|. Nari²emo pravoko- tnici P Q⊥P₁F₁ in P₁R⊥P E. Pri premiku to£ke P v to£ko P₁ se razdalja do stranice BC zmanj²a za |P R|, medtem ko se razdalja do stranice CA pove£a za|P₁Q|. Torej moramo pokazati, da |P₁Q|=|P R|.

Slika 2.4: Geometrijski dokaz.

Ker P Q⊥P₁Q in P₁R⊥P R, so to£ke P, Q, R, P₁ koncikli£ne to pomeni, da to£ke leºijo na isti kroºnici (po Talesovem izreku, ki pravi, da je obodni kot nad premerom kroºnice pravi kot, je v na²em primeru P P₁ premer kroºnice) (slika 2.5). Nadalje, obodna kota nad lokoma P R in P₁Q sta enaka in merita 60^◦. Po izreku o sredi²£nem in obodnem kotu v ravninski geometriji, ki pravi, da so vsi obodni koti nad istim lokom med seboj skladni, sledi zaklju£ek, da imata P R in P₁Q enako dolºino. Pri tem ne smemo pozabiti, da je P QRP₁ enakokraki trapez. Iz tega sledi, da £e to£koP premikamo vzdolº daljice, ki je vzporedna katerikoli stranici trikotnika, potem vsota razdalj do stranic ostaja konstantna [17].

Slika 2.5: Koncikli£ne to£ke.

2.3.2 Vektorski dokaz - po Samelsonu

Pri re²evanju problemov v ravnini in v prostoru si velikokrat pomagamo z uporabo vektorjev. Tako re²evanje ponavadi zahteva ra£unanje dolºin, kotov, preverjanje pravokotnosti ali vzporednosti in podobno. V primeru dokazovanja Vivianijevega izreka, je moºno oblikovati dokaz z vektorji na razli£ne na£ine.

Hans Samelson je bil prvi, ki je Vivianijev izrek dokazal z uporabo vektorjev po slede£em principu:

Dokaz: (Vektorski dokaz po Samelsonu [15])

|−→u1|=|−→u2|=|−→u3|

−

→u₁+−→u₂ +−→u₃ = 0

−

→u1· −→w +−→u2· −→w +−→u3 · −→w = 0 (d₁−d⁰₁) + (d₂−d⁰₂) + (d₃−d⁰₃) = 0

d₁+d₂+d₃ =d⁰₁+d⁰₂+d⁰₃

Slika 2.6: Vektorski dokaz po Samelsonu.

Skica dokaza: naj bo P poljubna notranja to£ka v 4ABC. Z −→u₁,−→u₂ in −→u₃ ozna£imo enotske vektorje, ki imajo izhodi²£e v to£ki P in so pravokotni na stranice trikotnika. Z d₁, d₂, d₃ oz. d⁰₁, d⁰₂ ind⁰₃ ozna£imo razdalje od to£ke P oz. P⁰ do stranic trikotnika (slika 2.6). Enotski vektorji imajo dolºino 1, zato velja: |−→u₁| = |−→u₂| = |−→u₃|. Vsak kot enakostrani£nega trikotnika meri 60^◦, kot med dvema enotskima vektorjema pa 120^◦ (po izreku o vsoti notranjih kotov v ²tirikotniku). Iz tega sledi, da je vsota enotskih vektorjev enaka 0:

−

→u₁+−→u₂ +−→u₃ = 0.

ƒe to£koP prestavimo za vektor−→w v to£koP⁰, se vsota vektorjev ne spremeni:

−

→u₁ · −→w +−→u₂· −→w +−→u₃ · −→w = 0.

Nadalje velja: cosσ = ^d1−d01

|−→w^| (kjer je σ kot med −→w in−→u₁). Podobno zapi²emo cosα = ^d2−d02

|−→w^| in cosβ = ^d3−d03

|−→w^| (kjer je α kot med −→w in −→u2, in je β kot med −→w in−→u₃). Iz tega sledi:

|−→w|·(d₁−d⁰₁)

|−→w| +|−→w|·(d₂−d⁰₂)

|−→w| +|−→w|·(d₃−d⁰₃)

|−→w| = 0 in dobimo:

(d₁−d⁰₁) + (d₂−d⁰₂) + (d₃ −d⁰₃) = 0.

2.3.3 Prvi dokaz brez besed

Pri dokazovanju imajo slike pomembno vlogo pri pojasnjevanju danih spremen- ljivk. Toda brez ena£b slike malo povedo o veljavnosti obravnavanega izreka.

Vendar to vedno ne drºi. V nasprotju s takim dokazom obstaja t.i. dokaz brez besed - DBB (ang. proof without words - PWW), kjer ima glavno vlogo slika. Namen takega dokaza je, da slika predstavlja jasen dokaz in (skoraj) ni potrebe po dodatni besedni razlagi ali zapisovanju ena£b.

Dokaz:

Slika 2.7: Dokaz brez besed - z rotacijo in s translacijo.

Na sliki 2.7 opazimo, da lahko razumemo dokaz Vivianijevega izreka zgolj z vrtenjem in s translacijo notranjih enakostrani£nih trikotnikov ter z upo²teva- njem odnosov med pravokotnicami in vi²ino trikotnika.

Pojasnilo dokaza: izberimo poljubno to£ko P znotraj enakostrani£nega tri- kotnika in nari²imo pravokotnice od to£ke P na vse tri stranice. Nato na- redimo tri nove enakostrani£ne trikotnike tako, da skozi to£ko P nari²imo daljice, ki so vzporedne s stranicami prvotnega enakostrani£nega trikotnika.

Pravokotne daljice, ki smo jih predhodno narisali, so vi²ine novonastalih ena- kostrani£nih trikotnikov (slika 2.7a). Naslednji korak je rotacija trikotnikov tako, da so narisane vi²ine v navpi£ni legi (slika 2.7b). Sledi translacija levega trikotnika (slika 2.7c) in translacija ostalih dveh trikotnikov tako, da vi²ine manj²ih enakostrani£nih trikotnikov predstavljajo vi²ino prvotnega trikotnika

(slika 2.7d)[4].

2.3.4 Drugi dokaz brez besed

Dokaz:

Slika 2.8: Dokaz brez besed - s translacijo.

Slika 2.8 dokazuje izrek na podoben na£in kot prvi dokaz brez besed. Razlika je v tem, da se v tem dokazu uporabi le translacija trikotnikov. Pri tem manj²e enakostrani£ne trikotnike premaknemo k eni izmed stranic prvotnega trikotnika. Ker so vse vi²ine na stranice v enakostrani£nem trikotniku enako velike, lahko zaklju£imo, da je vsota razdalj poljubne notranje to£ke do stranic enakostrani£nega trikotnika enaka njegovi vi²ini [20].

2.3.5 Dokaz z uporabo lastnosti podobnih trikotnikov in paralelograma

Dokaz: Pri tem dokazu bomo uporabili naslednja dva glavna koncepta: po- dobni trikotniki in njihove lastntosti ter lastnosti paralelogramov. Najprej nari²emo daljice skozi poljubno to£ko P: daljico IL, ki je vzporedna stra- nici AC, daljicoM J vzporedno stranici AB in daljicoKN vzporedno stranici BC (slika 2.9). Trikotniki 4LKP, 4M P N in 4P J I so podobni trikotniku 4ABC in so torej enakostrani£ni. Daljice P D, P E, P F in CS ozna£ujejo vi²ine v posameznem trikotniku. Izhajajo£ iz podobnosti trikotnikov zapi²emo razmerja:

|P D|

|CS| = |LK|

|AB|

|P E|

|CS| = |J I|

|BC|

|P F|

|CS| = |N M|

|CA|

Slika 2.9: Vzporednice stranic.

Nadalje zapi²emo enakost:

|P D|

|CS| +|P E|

|CS| +|P F|

|CS| = |LK|

|AB| + |J I|

|BC| + |N M|

|CA| . Ker velja|AB|=|BC|=|CA|, sledi:

|P D|

|CS| + |P E|

|CS| + |P F|

|CS| = |LK|

|AB| + |J I|

|AB| +|N M|

|AB| . Ker velja|N M|=|M P|=|AL| (ALP M je paralelogram) in

|J I|=|P J|=|KB| (KBJ P je paralelogram), sledi:

|P D|

|CS| +|P E|

|CS| +|P F|

|CS| = |LK|

|AB| +|KB|

|AB| + |AL|

|AB|

in dobimo

|AL|+|LK|+|KB|=|AB|.

Iz tega sledi [21]:

|P D|

|CS| +|P E|

|CS| +|P F|

|CS| = 1 in dobimo, da

|P D|+|P E|+|P F|=|CS|.

2.4 Obrat Vivianijevega izreka

V nadaljevanju je podan obrat Vivianijevega izreka: £e je vsota razdalj od poljubne to£ke znotraj trikotnika do stranic konstantna, potem je trikotnik enakostrani£ni.

Izrek 2.4.1 Naj bo 4ABC trikotnik, v katerem obstaja podmnoºica R z ne- prazno notranjostjo, da je vsota razdalj poljubne to£ke P ∈ R do vseh treh stranic neodvisna od P. Tedaj je 4ABC enakostrani£ni trikotnik.

Dokaz: Naj bo P to£ka v podmnoºici R in naj bodo −→u₁, −→u₂ in −→u₃ enotski vektorji, ki imajo izhodi²£e v to£ki P in so usmerjeni pravokotno na stranice trikotnika (slika 2.10). Pokazati ºelimo, da vsak kot med dvema enotskima vektorjema meri 120^◦, iz £esar bo sledilo, da vsak kot trikotnika meri 60^◦. Najprej dokaºemo, da je vsota treh enotskih vektorjev−→u =−→u₁+−→u₂+−→u₃ enaka 0. Recimo, da to ne drºi. Iz na²e hipoteze sledi, da obstaja neka to£kaP⁰ 6=P v podmnoºici R. ƒe trdimo, da je −→u =−→u₁ +−→u₂ +−→u₃ neni£elni vektor, potem predpostavimo, da je P⁰ taka to£ka, da ima vektor −−→

P P⁰ isto smer kot vektor

−

→u, kar pomeni, da sta −−→

P P⁰ in −→u vzporedna.

Naj −→w ozna£uje vektor −−→

P P⁰ in naj bo θ kot med −→u₁ in −→w. Z d₁, d₂ in d₃ ozna£imo razdalje od to£ke P do stranic 4ABC, z d⁰₁, d⁰₂ in d⁰₃ pa zapi²imo razdalje od to£keP⁰ do stranic. Po predpostavki velja enakost d1+d2+d3 = d⁰₁+d⁰₂+d⁰₃ oziroma

(d₁−d⁰₁) + (d₂−d⁰₂) + (d₃−d⁰₃) = 0 (2.4)

Slika 2.10: Obrat Vivianijevega izreka.

Z uporabo kotnih funkcij ter skalarnega produkta zapi²emo: cosθ = ^d1−d01

|−→w| , oziroma cosθ = −→u1·−→w

|−→w| (kjer je −→u₁ enotski vektor).

Ena£bi zdruºimo in dobimo−→u₁·−→w =d₁−d⁰₁. Podobno zapi²emo−→u₂·−→w =d₂−d⁰₂ in−→u₃ · −→w =d₃−d⁰₃, ter vstavimo v ena£bo 2.4: −→u₁· −→w +−→u₂· −→w +−→u₃ · −→w = 0, kar druga£e zapi²emo: −→u · −→w = 0. Ker gre za vzporedna vektorja, sledi da je velikost vektorja|−→u|= 0 in pridemo do protislovja.

Sedaj moramo ²e dokazati, da−→u1· −→u2 =−→u2· −→u3 =−→u3· −→u1 =−¹₂. Za i= 1,2in3 velja, da je−→u_i·(−→u₁+−→u₂+−→u₃) = 0. Ker velja−→u₁· −→u₁ = 1in−→u_i(−→u₁+−→u₂+−→u₃) = 0, sledi 1 +−→u₁ · −→u₂ +−→u₁· −→u₃ = 0 in−→u₁ · −→u₂ +−→u₁· −→u₃ =−1., Iz £esar sledi, da

−

→u₁(−→u₂ +−→u₃) =−→u₂(−→u₁ +−→u₃) = −→u₃(−→u₁+−→u₂) =−1.

ƒe z λ ozna£imo −→u₁ · −→u₂ =λ, potem velja −→u₁ · −→u₃ =−→u₂ · −→u₃ =−1−λ.

Z izra£unom−→u₁ · −→u₃ +−→u₂· −→u₃ =−1dobimo

−1−λ−1−λ=−1 λ=−1

2.

Tako dobimo, da je−→u1·−→u2 =−¹₂, kar pomeni, da vsak kot med dvema enotskima vektorjema meri ^2π₃ . To pomeni, da je 4ABC enakostrani£ni trikotnik [5].

2.5 To£ka izven enakostrani£nega trikotnika

ƒe povzamemo, Vivianijev izrek pravi, da za vsako to£ko znotraj enakostra- ni£nega trikotnika velja, da je vsota razdalj od to£ke do stranic konstantna.

Ta enakost velja tudi, £e izbrana to£ka leºi na eni izmed stranic enakostra- ni£nega trikotnika. Kaj pa v primeru, £e to£ka P leºi izven enakostrani£nega trikotnika? Videli bomo, da v tem primeru obstaja neko razmerje med tremi pravokotnicami iz to£ke P na stranice in vi²ino prvotnega trikotnika, vendar se to razmerje spreminja glede na poloºaj to£ke P.

S podalj²anjem stranic prvotnega trikotnika (nari²emo nosilke stranic triko- tnika) se ravnina zunaj trikotnika razdeli na 6 obmo£ij (slika 2.11).

Slika 2.11: Nosilke stranic.

Izberemo si poljubno to£ko P v obmo£ju V in konstruiramo pravokotnice (d, e, f) iz to£ke P na vse tri stranice oz. nosilke trikotnika (slika 2.12a). Nato poveºemo to£koP z ogli²£i trikotnika, da dobimo daljiceP A,P BinP C. Tako skonstruiramo nove trikotnike: 4AP B,4BP C in 4AP C (slika 2.12b).

Slika 2.12: Izbira to£keP izven 4ABC.

V 4AP B s f ozna£imo vi²ino trikotnika na stranicoAB. Plo²£ina 4AP B je potem ^|AB|·f₂ . Podobno velja za plo²£ini trikotnikov 4BP C in4AP C, ki sta

|BC|·d

2 in ^|CA|·e₂ . S primerjavo teh plo²£in s plo²£ino prvotnega enakostrani£nega

4ABC, dobimo slede£o povezavo: p4AP B+p4AP C−p4BP C =p4ABC, kar zapi²emo:

|AB| ·f

2 +|CA| ·e

2 − |BC| ·d

2 = |AB| ·h 2 , kjer je h vi²ina prvotnega trikotnika.

Ker je 4ABC enakostrani£ni trikotnik, torej velja|AB|=|BC|=|CA|, sledi f +e−d =h.

Poglejmo si, kaj se zgodi v primeru, ko si izberemo to£ko P v obmo£ju I. Podobno kot prej konstruiramo pravokotnice iz to£ke P na vse tri stranice trikotnika ter poveºemo to£ko P z ogli²£i trikotnika, da dobimo nove triko- tnike: 4AP B,4BP C in 4AP C. S primerjavo teh plo²£in s plo²£ino prvo- tnega enakostrani£nega4ABC, dobimo slede£o enakost: p4AP B+p4BP C−

p4AP C =p4ABC, kar zapi²emo:

|AB| ·f

2 +|BC| ·d

2 − |CA| ·e

2 = |AB| ·h 2 .

Ker je 4ABC enakostrani£ni, sledi:

f+d−e=h.

Podobno zapi²emo za ostala ²tiri obmo£ja [16].

Ugotovitvi izhajajo£i iz Vivianijevega izreka

Na osnovi Vivianijevega izreka sta bila v enakostrani£nem trikotniku dokazana tudi izreka, ki sta predstavljena v nadaljevanju.

3.1 Po²evni Vivianijev izrek

Miguel Ochoa Sanchez je raziskoval vsoto dolºin daljic od poljubne notranje to£ke P, ki niso pravokotne na stranice enakostrani£nega trikotnika. Dokazal je slede£e:

Izrek 3.1.1 Naj bo 4ABC enakostrani£ni trikotnik. Nadalje naj bo to£ka D na stranici BC, to£ka E na AC in to£ka F na AB tako, da bodo daljice ("ne-pravokotnice"na stranice trikotnika) AD, BE, CF enako dolge. To£ke M, N, Onaj leºijo na stranicah BC, CA, AB tako, da velja P MkAD, P NkBE in P OkCF. Potem velja |P M|+|P N|+|P O|=|AD| (slika 3.1).

Pri dokazovanju upo²tevamo slede£e:

Lema 3.1.1 Naj bo P notranja to£ka enakostrani£nega trikotnika 4ABC in U prese£i²£e nosilke daljice AP s stranico BC. Potem velja: ^pl(4BCP_pl(4ABC)⁾ = ^{|P U}_|AU|^|. Dokaz: Dejansko se plo²£ini trikotnikov nana²ata na njihovi vi²ini na stranico BC, ki sta sorazmerni z AU in P U. Sorazmernost velja (Talesov izrek), ker sta vi²ini naBC vzporedni si stranici dveh podobnih trikotnikov, katera imata

tudi straniciAU inP U.

19

Slika 3.1: Ali velja P M+P N +P O =AD?

Dokaz izreka 3.1.1:

Dokaz: StraniceAD, BE inCF ozna£imo ss, plo²£ine trikotnikovpl4BCP z x, pl4AP C z y in pl4ABP z z. Prese£i²£e nosilke daljice AP s stranico BC je to£ka U. Glede na zgornjo lemo lahko zapi²emo: ^{|P U}_|AU|^| = _x+y+z^x .

V 4ADU, kjer P M kAD, uporabimo Talesov izrek: ^{|P U}_|AU^|_| = ^{|P M|}_|AD|.

Odtod dobimo: |P M| = _x+y+z^sx . Analogno zapi²emo za ostali daljici P N in P O: |P N|= _x+y+z^sy , |P O|= _x+y+z^sz .

Sledi le ²e izra£un vsote [25]:

sx

x+y+z + sy

x+y+z + sz

x+y+z = s(x+y+z) x+y+z =s.

3.2 Bratranec Vivianijevega izreka

V prej²nem poglavju (v razdelku Obrat Vivianijevega izreka) smo ºe dokazali, da je vsota projekcij v enakostrani£nem trikotniku−−→

P B·−→u₁+−→

P C·−→u₂+−→

P A·−→u₃ konstantna ne glede na poloºaj to£ke P. Pri tem smo izhajali iz dejstva, da je vsota enotskih vektorjev −→u₁ +−→u₂ +−→u₃ = 0. To dejstvo uporabimo tudi za izhodi²£e podobnega izreka, ki ga imenujemo bratranec Vivianijevega izreka.

Izrek 3.2.1 Naj bo trikotnik 4ABC enakostrani£ni in naj bo P njegova no- tranja to£ka. Naj bodo P D, P E in P F pravokotnice na stranice BC, CA, AB. Potem velja, da ima vsota |BD|+|CE|+|AF| konstantno vrednost ne glede na poloºaj to£ke P (slika 3.2).

Slika 3.2: Konstantna vsota dolºin daljicBD, CE in AF.

Dokaz: Dokaz tega izreka temelji na Pitagorovem izreku. Ker velja |P B|² =

|P D|²+|BD|² (podobno velja za |P C|² in|P A|²), dobimo: |P B|²− |P C|² =

|BD|² − |DC|² = (|BD| − |DC|)· (|BD|+|DC|) = a(|BD| − |DC|), kjer je a stranica trikotnika Podobno velja za |P C|² − |P A|² in |P A|² − |P B|². Zapi²emo:







|P B|²− |P C|² =a(|BD| − |DC|),

|P C|²− |P A|² =a(|CE| − |EA|),

|P A|²− |P B|² =a(|AF| − |F B|).

Vsota vseh treh zgornjih koli£in na levi strani je enaka 0, zato je vsota na desni tudi enake 0. Iz tega sledi, da je (|BD| − |DC|) + (|CE| − |EA|) + (|AF| −

|F B|) = 0. Zato je |BD|+|CE|+|AF|=|DC|+|EA|+|F B|. Kar pomeni

|BD|+|CE|+|AF|= ^3a₂ =|DC|+|F B|+|EA| [17].

Vivianijev izrek v

neenakostrani£nih trikotnikih

V nadaljevanju bomo pogledali, kako je z veljavnostjo Vivianijevega izreka v poljubnih trikotnikih. Raziskali bomo, ali je vsota razdalj od to£ke do stranic neenakostrani£nega trikotnikov enaka kateri izmed vi²in trikotnika. V pri- meru, da razdalje niso enake vi²ini, bomo raziskali, £e obstajajo kak²na druga razmerja med vsoto razdalj in vi²ino.

4.1 Vivianijev izrek v raznostrani£nih trikotni- kih

Raznostrani£ni trikotnik ima vse tri stranice razli£no dolge in vsi notranji koti so razli£no veliki. Pred obravnavo veljavnosti izreka v raznostrani£nem trikotniku si oglejmo, kak²ne ima le-ta vi²ine (slika 4.1).

Slika 4.1: Velikosti vi²in v raznostrani£nem trikotniku.

23

Za vse raznostrani£ne trikotnike velja naslednja trditev:

Trditev 4.1.1 Naj bo V vsota razdalj od notranje to£ke P trikotnika do vseh treh stranic. Potem je vsota razdalj ve£ja ali enaka najkraj²i vi²ini oziroma je manj²a ali enaka najdalj²i vi²ini trikotnika (najkraj²a vi²ina trikotnika ≤ V ≤ najdalj²a vi²ina trikotnika).

To velja tudi za vse topokotne trikotnike (pri tem se razdalja do stranice tri- kotnika interpretira kot razdalja do nosilke stranice).

Dokaz: (Dokaz brez besed)

Slika 4.2: Vsota razdalj v raznostrani£nem trikotniku - primerjava z najkraj²o vi²ino.

Slika 4.3: Vsota razdalj v raznostrani£nem trikotniku - primerjava z najdalj²o vi²ino.

Pojasnilo k sliki 4.2: v raznostrani£nem trikotniku nari²emo pravokotnice od to£ke P na stranice. Te pravokotnice so hkrati tudi vi²ine manj²ih raznostra- ni£nih trikotnikov, katere stranice so vzporedne stranicam prvotnega trikotnika in vsak od teh trikotnikov ima eno ogli²£e v to£kiP (slika 4.2). ƒe pogledamo

posamezni manj²i trikotnik in v njem za£rtano vi²ino, vidimo, da je v enem trikotniku narisana najdalj²a vi²ina, v drugem srednje dolga, v tretjem pa je najkraj²a glede na ostali dve vi²ini v posameznem trikotniku (slika 4.2 - prvi trikotnik na sliki). Nato v trikotnikih, ki nimata narisanih najkraj²ih vi²in, nari²emo njuni najkraj²i vi²ini (slika 4.2 - drugi trikotnik na sliki). S transla- cijo (slika 4.2 - tretji trikotnik na sliki) dobimo dokaz, da je vsota najkraj²ih vi²in enaka najkraj²i vi²ini prvotnega trikotnika (slika 4.2 - £etrti trikotnik na sliki). S tem dokaºemo, da je vsota razdalj v raznostrani£nem trikotniku ve£ja ali enaka njegovi najkraj²i vi²ini. Podobno pojasnimo sliko 4.3 (V ≤najdalj²a

vi²ina trikotnika).

Iz dokaza je razvidno, da neenakost najkraj²a vi²ina trikotnika < V velja v primeru, £e poljubna to£ka P ni v ogli²£u, do katerega sega najkraj²a vi²ina (slika 4.2). Prav tako velja druga neenakostV < najdalj²a vi²ina trikotnika, £e to£kaP ni v ogli²£u najdalj²e vi²ine (slika 4.3). To pomeni da je vsota razdalj maksimalna oz. minimalna v dveh ogli²£ih. Vsota razdalj V zavzame mini- malno vrednost v ogli²£u, skozi katerega poteka najkraj²a vi²ina. V primeru, da poljubno to£ko izberemo v ogli²£u, skozi katerega poteka najdalj²a vi²ina, je vsota razdalj maksimalna (slika 4.4).

Slika 4.4: Minimalna in maksimalna vsota razdalj v raznostrani£nem triko- tniku.

4.2 Vivianijev izrek v enakokrakih trikotnikih

Enakokraki trikotnik je trikotnik, pri katerem sta dve stranici enako dolgi (skla- dni). Enako dolgi stranici se imenujeta kraka, tretja stranica je osnovnica. V primeru enakokrakega trikotnika bomo obravnavali vsoto razdalj glede na po- loºaj dolo£ene vi²ine. V primeru enakokrakega trikotnika imamo dve razli£no dolgi vi²ini (poimenovali ju bomo kraj²a oz. dalj²a vi²ina).

Primer 1: Enakokraki trikotnik, v katerem je kraj²a vi²ina sime- tri£na os.

V tem primeru imamo eno kraj²o vi²ino in dve enako dolgi dalj²i vi²ini. Po- dobno kot pri raznostrani£nih trikotnikih v takem enakokrakem trikotniku ugo- tovimo, da dobimo najmanj²o vsoto razdalj, ko je poljubna to£ka kar ogli²£e, do katerega poteka kraj²a vi²ina. Najve£jo vsoto razdalj pa dobimo, £e po- ljubno to£ko izberemo kjerkoli na osnovnici (slika 4.5). Torej neenakost V <

najve£ja vi²ina trikotnika velja, ko to£ka P ne leºi na osnovnici trikotnika.

Slika 4.5: Vsota razdalj v enakokrakem trikotniku, kjer je kraj²a vi²ina tudi simetri£na os.

Nadalje ugotovimo, da je v primeru, ko to£ka leºi na osnovnici, vsota razdalj kar enaka dalj²i vi²ini enakokrakega trikotnika (slika 4.6).

Slika 4.6: Vsota razdalj v enakokrakem trikotniku, ko je to£kaP na osnovnici.

Pojasnilo slike 4.6: poljubna to£kaP leºi na osnovnici enakokrakega trikotnika.

Nari²emo pravokotni projekciji to£keP na ostali dve stranici. Ti dve projekciji sta hkrati tudi vi²ini manj²ih dveh enakokrakih trikotnikov, katere stranice so vzporedne stranicam prvotnega trikotnika. V obeh manj²ih trikotnikih je na- risana dalj²a vi²ina. Za bolj²o predstavo dokaza v enem manj²em trikotniku nari²emo drugo, a enako dolgo vi²ino, ter s translacijo dokaºemo, da je raz- dalja od to£ke do stranic enaka dalj²i vi²ini prvotnega enakokrakega trikotnika.

Primer 2: Enakokraki trikotnik, v katerem je dalj²a vi²ina simetri£na os.V tem primeru imamo eno dalj²o vi²ino in dve enako dolgi kraj²i vi²ini. Po- dobno kot pri predhodnih primerih ugotovimo, kje je maksimalna oziroma minimalna vsota razdalj v takem enakokrakem trikotniku (slika 4.7) [4].

Slika 4.7: Vsota razdalj v enakokrakem trikotniku, kjer dalj²a vi²ina predstavlja simetri£no os.

Primer 3: To£ka izven enakokrakega trikotnika (na nosilki osnov- nice).

V primeru, da poljubna to£ka P leºi zunaj enakokrakega trikotnika na nosilki osnovnice AB (slika 4.8), je razlika razdalj od to£ke do obeh krakov enaka vi²ini na kraka trikotnika:

e−f =h.

Slika 4.8: Vsota razdalj, ko je to£ka P izven enakokrakega trikotnika.

Vsoto razdalj v neenakostrani£nem trikotniku je moºno argumentirati tudi s pomo£jo segmentov, imenovanih segmenti isosumarnih to£k (gre za druºino vzporednih premic). V tem primeru trikotnik razdelimo na vzporedne se- gmente izosumarnih to£k, na katerih je vsota razdalj do stranic od katerekoli to£ke na dolo£enem segmentu konstantna. Nadalje velja, da je vsota razdalj od to£k, ki leºijo na razli£nih segmentih, razli£na.

Predhodno smo ºe pokazali, da imajo vse to£ke na osnovnici v enakokrakem trikotniku enako vsoto razdalj. Glede na zgornji odstavek velja, da so segmenti v enakokrakem trikotniku vzporedni osnovnici [4].

Ve£ o segmentih sledi v naslednjem poglavju, kjer je opisano, kako dolo£imo njihov poloºaj. Za primer je na sliki 4.9 prikazan raznostrani£ni trikotnik s

segmenti, iz £esar lahko sklepamo, da se segment, ki izhaja iz tretjega ogli²£a (ogli²£a, kjer ni minimalne oz. maksimalne vsote), dotika robu, ki povezuje ogli²£a z maksimalno oz minimalno vsoto.

Slika 4.9: Segmenti v raznostrani£nem trikotniku.

Posplo²itve Vivianijevega izreka

V prej²njem poglavju smo raziskovali veljavnost Vivianijevega izreka v neena- kostrani£nih trikotnikih. V tem razdelku se bomo osredoto£ili na mnogokotnike in poliedre. Zanimalo nas bo, kako lahko Vivianijev izrek posplo²imo na mno- gokotnike oz. poliedre. Pogledali si bomo, ali v mnogokotnikih in poliedrih tudi obstaja vsota razdalj, ki je konstantna ne glede na poloºaj notranje to£ke.

Pred tem najprej denirajmo nekaj pojmov.

Denicija. MnoºicaL⊂Rⁿje konveksna, £e za vsak par to£kA,B ∈Lvelja, da je vsa daljica AB podmnoºica mnoºice L (slika 5.1).

Slika 5.1: Konveksna mnoºica.

31

Pozitivna in negativna stran: vzemimo trikotnik 4ABC. Stran oz. breg poljubne nosilke stranice trikotnika, ki vsebuje tretje ogli²£e, imenujemo po- zitivna stran (oz. pozitivni breg). Ogli²£e, ki ni na stranici, je nasproti te stranice in ta stranica je nasproti ogli²£u. Mnoºico vseh to£k, ki so hkrati na pozitivnih bregovih vseh treh nosilk stranic trikotnika, je notranjost triko- tnika; druge to£ke, ki niso na meji (meja je mnoºica vseh to£k na stranicah trikotnika), so zunaj (v zunanjosti) trikotnika. Notranji kot trikotnika ima vrh v ogli²£u, kraka pa dolo£ata drugi ogli²£i. Notranjost notranjega kota tvorijo vse to£ke, ki so hkrati na pozitivnih bregovih nosilk krakov. Torej je notranji kot trikotnika vedno izbo£en kot.

Na podlagi predhodne denicije velja slede£i izrek:

Izrek 5.0.1 ƒe sta to£ki M in N znotraj trikotnika 4ABC, je tudi daljica M N znotraj trikotnika.

Dokaz: DaljiceM N ne seka nobena nosilka stranice trikotnika, sicer ne bi bili

to£kiM inN na pozitivnem bregu vsake nosilke.

Zaradi lastnosti trikotnika, ki jo izraºa izrek 5.0.1 pravimo, da je notranjost trikotnika konveksna (izbo£ena) mnoºica. ƒe kak²na mnoºica to£k nima te lastnosti, je konkavna (vdrta) mnoºica (slika 5.2).

Slika 5.2: Konkavna mnoºica.

Mnogokotnik (ve£kotnik ali poligon) je ravninski geometrijski lik, ki ga oklepa enostavna sklenjena lomljenka. Daljice, ki sestavljajo mnogokotnik, imenujemo stranice mnogokotnika, to£ke, v katerih se stranici stikata, pa ogli²£a. Ogli²£a in stranice enostavnega mnogokotnika tvorijo mejo. Meja razdeli vse druge to£ke ravnine na dva dela: v notranjost in zunanjost. To nam pove Jordanov izrek, ki pravi, da £e je C sklenjena lomljena £rta v ravnini, potem je R²\C sestavljen iz natanko dveh odprtih, nepraznih, disjunktnih, povezanih mnoºic

ext(C)inint(C), ki sta omejeni sC. Za konveksne mnogokotnike je zna£ilno, da leºijo vsa ogli²£a, razen dveh, na istem bregu poljubne nosilke stranice, ki gre skozi izvzeti ogli²£i (slika 5.4). ƒe imenujemo ta breg pozitivni breg, je po- tem notranjost hkrati na pozitivnih bregovih vseh nosilk; mnoºica vseh to£k, ki niso na meji, tvori zunanjost konveksnega mnogokotnika. Mnogokotnik je konveksen, £e je vsak notranji kot manj²i od180^◦C ali £e je vsaka daljica med dvema nesosednjima ogli²£ema znotraj mnogokotnika. Konkavni mnogokotnik ima vedno notranji kot, ki je ve£ji od180^◦C. Vsak konkavni mnogokotnik lahko razdelimo na mnoºico konveksnih mnogokotnikov. Te trditve smo povzeli po [14].

Slika 5.3: Konveksni mnogokotnik.

Slika 5.4 prikazuje konkavni mnogokotnik. Vsa ogli²£a so sicer na istem bregu nosilkeA₄A₅, niso pa na istem bregu nosilke A₁A₂.

Slika 5.4: Konkavni mnogokotnik.

Enakostrani£ni mnogokotnik je mnogokotnik, pri katerem imajo vse stranice enako dolºino - so skladne. Enakokotni mnogokotnik je mnogokotnik, pri kate- rem so vsi notranji koti enaki oziroma skladni. Mnogokotnik je pravilen, ko je hkrati enakostrani£ni in enakokotni. Po tej deniciji je med trikotniki pravilen samo enakostrani£ni trikotnik, med £etverokotniki pa samo kvadrat [23].

Polieder je trirazseºno geometrijsko telo, ki je omejeno s kon£nim ²tevilom ravnih ploskev, ploskve se stikajo v ravnih robovih, robovi pa se stikajo v ogli²£ih. Primeri poliedrov so kocka, piramida in prizma. Polieder je lahko:

konveksen (£e je vsaka daljica med katerimakoli to£kama poliedra v celoti vse- bovana v poliedru) ali nekonveksen (daljica med poljubnima to£kama poliedra ne leºi vsa v notranjosti ali na povr²ini telesa). Polieder je pravilen, £e je omejen s skladnimi pravilnimi mnogokotniki tako, da se v vsakem ogli²£u stika enako ²tevilo ploskev). ƒe so vsi robovi enake dolºine, pravimo, da je enakorob [24].

5.1 Lastnost konstantne Vivianijeve vsote

Predhodno smo ºe zapisali, da ima po Vivianijevem izreku enakostrani£ni tri- kotnik konstantno vsoto razdalj. V nadaljevanju bomo videli, da imajo tudi nekateri mnogokotniki (oz. poliedri) konstantno vsoto razdalj. Za take mnogo- kotnike (in poliedre) pravimo, da imajo lastnost konstantne Vivianijeve vsote CVS lastnost (ang. constant Viviani sum property - CVS property).

Denicija. Naj bo T mnogokotnik ali polieder, ki je sestavljen iz robnih in notranjih to£k. Deniramo funkcijo vsote razdaljV :T →R, kjer je za vsako to£ko P ∈ T vrednost V(P)denirana kot vsota razdalj od to£ke P do stanic (oz. robov) T-ja.

Torej, £e je funkcija V konstantna, re£emo, da ima T CVS lastnost. Izkaºe se, da to velja za vse pravilne, enakostrani£ne in enakokotne konveksne mno- gokotnike ter za2n-kotnike, v katerih so si nasproti leºe£e stranice vzporedne.

Podobno velja za konveksne poliedre.

V primeru, daT nima CVS lastnosti, velja, da lahko vsak konveksni mnogoko- tnik razdelimo na vzporedne £rtne segmente tako, da je vrednostV na vsakem od teh segmentov konstantna. V primeru poliedrov pa velja, da jih razdelimo na vzporedne prese£ne ravnine tako, da je na vsaki od teh vrednostV konstan-

tna. Te segmente oz. ravnine, na katerih jeV konstantna, imenujemo segmenti izosumarnih to£k (omenjeni ºe v predhodnjem poglavju) oz. izosumarni prerezi (pri poliedrih). To pomeni, da poljubna to£kaP pripada tistemu izosumarnem segmentu ali prerezu, v katerem imajo vse to£ke isto vsoto razdalj do meja kot P. Vrednost V se pove£uje v dolo£eni smeri od enega segmenta izosumarnih to£k do drugega [1].

Sedaj sledi vpra²anje, kako karakteristi£no oz. geometrijsko dokaºemo, da mnogokotniki in poliedri izpolnjujejo pogoje za CVS lastnost. Pri iskanju od- govora na to vpra²anje bomo videli, da obstaja korelacija med Vivianijevem izrekom, njegovim obratom in linearnim programiranjem. V nadaljevanju bo prikazan izra£un funkcije V(P) v mnogokotnikih in poliedrih, tako v konkve- ksnih kot v konkavnih. Najprej bomo predstavili linearno programiran problem za splo²ni trikotnik. Glavna izjava bo: trikotnik ima CVS lastnost, £e je ena- kostrani£ni oz. £e ima tri nekolinearne to£ke, ki imajo enako vsoto razdalj do stranic. Potem bomo dokazali izreka za konveksne mnogokotnike in poliedre.

Nadalje bomo pogledali, kaj se zgodi s konkavnimi mnogokotniki in poliedri.

5.2 Posplo²itev na poljubne trikotnike

Naj bo4ABC in naj bodoa₁, a₂, a₃ dolºine stranicBC,AC inAB. Izberimo poljubno notranjo to£ko trikotnika in jo imenujmoP ter s h₁, h₂, h₃ ozna£imo razdalje od to£keP do stranic.

Za 1 ≤ i ≤ 3 naj bo x_i = P3^hi

i=1hi, kjer je V(P) = P3

i=1h_i. Tedaj za vsak 1≤i≤3 velja0≤x_i ≤1 inP3

i=1x_i = 1. Naj bo x= (x₁, x₂, x₃) in zapi²imo linearno funkcijo treh spremenljivkF(x) = P3

i=1a_ix_i. Ta funkcija je povezana zV, bolj natan£no:

F(x) =

n

X

i=1

a_ix_i = P3

i=1aihi

P3

i=1h_i = 2S V(P), kjer je S plo²£ina trikotnika.

To lahko izrazimo kot naslednji problem linearnega programiranja. Objektivna funkcija je

F(x) =

3

X

i=1

a_ix_i,

in ima omejitveno obmo£je:

P3

i=1x_i ≤1, x_i ≥0,1≤i≤3.

Pri tem velja, da F(x) = P3

i=1a_ix_i zavzame enake vrednosti v podskupini to£k v omejitvenem obmo£ju, £e ima funkcija V enake vrednosti pri vseh teh to£kah v podskupini.

Vsak trikotnik lahko razdelimo na vzporedne segmente izosumarnih to£k, na katerih je V konstantna. Za enakostrani£ni trikotnik velja, da ima CVS la- stnost in da znotraj trikotnika obstajajo tri nekolinearne to£ke, pri katerih ima V enake vrednosti.

Podobno velja za ostale konveksne mnogokotnike: objektivna funkcija razdeli omejitveno obmo£je na segmetne izosumarnih to£k in ti segmenti so si med seboj vzporedni in vsebujejo mnoºico to£k, na katerih ima objektivna funk- cija konstantno vrednost. Nadalje se s pravokotnim premikom na vzporedne segmente v dolo£eno smer pove£uje vrednost objektivne funkcije. V primeru poliedrov objektivna funkcija razdeli omejitveno obmo£je na izosumarne pre- reze [1].

Nekaj besed o linearnem programiranju: je matemati£na metoda, ki nam omo- go£a poiskati optimalno (maksimalno in minimalno) vrednost izbranih odvi- snih spremenljivk, ki zado²£ajo dolo£enim omejitvam. Re²evanje linearnega problema pomeni pove£evanje ali zmanj²evanje objektivne funkcije v omejitve- nem obmo£ju in ta optimalna vrednost se mora pojaviti na neki kotni to£ki.

Pri linearnem programiranju je pomembno, da je objektiva funkcija linearna in tudi vse omejitve morajo imeti obliko linearne ena£be ali neena£be. Na£inov re²evanja problemov linearnega programiranja je ve£. Najpogostej²a je simple- ksna metoda. Toda v na²em primeru ni pomembna optimalna vrednost (ker mi i²£emo segmente, na katerih je V konstantna). Da bi bolje razumeli povezavo linearnega programiranja z Vivianijevim izrekom, bomo namesto simpleksne algebrske metode uporabili geometrijsko metodo [22].

5.3 Posplo²itev na konveksne mnogokotnike

Za konveksne mnogokotnike velja:

Izrek 5.3.1 a) Vsak konveksni mnogokotnik lahko razdelimo na vzporedne se- gmente izosumarnih to£k tako, da je vrednost V na vsakem od teh segmentov konstantna.

b) ƒe je vrednostV enaka na treh nekolinearnih to£kah v konveksnem mnogok- tniku, potem ima mnogokotnik CVS lastnost.

Dokaz: Vzemimo mnogokotnik z n stranicami in ga poloºimo v kartezi£no ravnino. Denimo, da njegove stranice leºijo na premicah z ena£bami:

α_iX+β_iY +γ_i = 0. (5.1)

Ker celotni mnogokotnik leºi na pozitivni strani vseh nosilk, se izrazu α_ix+ β_iy+γ_i predznak ne spremeni pri nobeni to£ki P = (x, y) znotraj mnogoko- tnika. Zato je razdaljah_i od to£ke P do vseh stranic mnogokotnika podana z ena£bo:

h_i = (−1)^εiα_ix+β_iy+γ_i pα_i²+β_i² ,

kjer je ε_i ∈ {0,1} in funkcija V je podana z linearnim izrazom V(x, y) =

n

X

i=1

(−1)^εiα_ix+β_iy+γ_i

pα_i²+β_i² . (5.2) Vsoto izena£imo z dolo£eno konstanto c in dobimo ena£bo premice, kateri so vzporedni segmenti izosumarnih to£k:

n

X

i=1

(−1)^εiα_ix+β_iy+γ_i

pα_i²+β_i² =c. (5.3)

ƒe jeP = (x, y)notranja to£ka mnogokotnika, potem z razli£nimi vrednostmi konstantec dobimo vzporedne segmente. Segment je deniran kot daljica oz.

kot maksimalna podmnoºica premice, na kateri ima vsota razdalj konstantno vrednostc. To je dokaz izreka 5.3.1(a).

Ena£ba 5.2 je neodvisna od (x, y) v primeru, ko variabilen del funkcije V v resnici konstanta. To pomeni, da ima V konstantno vrednost na vseh to£kah mnogokotnika. ƒe obstajajo tri nekolinearne to£ke znotraj mnogokotnika, pri

katerih ima V enako vrednost, potem obstajata dva razli£na segmenta izosu- marnih to£k, pri katerih funkcija V zavzame isto vrednost. To se zgodi le, ko je V konstanta in mnogokotnik ima CVS lastnost. To je dokaz za izrek 5.3.1

(b).

Izhajajo£ iz predhodnega izreka 5.3.1 sledi posledica:

Posledica 5.3.1 a) ƒe obstaja izometrija ravnine, ki preslika mnogokotnik samega vase, segmenti izosumarnih to£k pa se ne preslikajo sami vase, potem ima mnogokotnik CVS lastnost.

b) ƒe konveksni mnogokotnik vsebuje rotacijsko simetrijo okoli sredi²£ne to£ke, potem ima mnogokotnik CVS lastnost.

c) ƒe konveksni mnogokotnik vsebuje zrcalno simetrijo okoli osi l, potem ima mnogokotnik CVS lastnost ali pa so segmenti izosumarnih to£k pravokotni na os l.

Dokaz: a) ƒe obstaja izometrija, ki preslika mnogokotnik samega vase, ne pa segmente, to pomeni, da obstajajo tri nekolinearne to£ke v mnogokotniku, pri katerih imaV enake vrednosti. To je zato, ker izometrija ohranja razdalje, ohranja rob in unijo notranjih to£k mnogokotnika. Tako iz izreka 5.3.1 (a) dobimo, da ima mnogokotnik CVS lastnost.

b) Sledi iz dela a).

c) ƒe se pri zrcaljenju segmenti izosumarnih to£k ne preslikajo sami vase, potem ima mnogokotnik glede na posledico 5.3.1 (a) CVS lastnost. V naspro- tnem primeru (£e se segmenti preslikajo sami vase) so segmenti izosumarnih

to£k pravokotni na zrcalno os.

Iz posledice 5.3.1 sklepamo, da imajo vsi pravilni mnogokotniki CVS lastnost.

Prav tako ima vsak paralelogram to lastnost, £e vsebuje rotacijsko simetrijo okoli ogli²£a za kot 180^◦. O£itno je, da vsebnost dveh zrcalnih simetrij okoli dveh razli£nih osi mnogokotnika kaºe na rotacijsko simetrijo, kar pomeni, da ima mnogokotnik CVS lastnost. Nadalje velja, da obstoj rotacijske simetrije v trikotnikih in ²tirikotnikih pomeni, da imajo ti mnogokotniki CVS lastnost. Iz tega sledi, da imajo to lastnost le enokostrani£ni trikotniki in paralelogrami.

Zato n-kotnik (n ≥5 ), ki nima CVS lastnosti, ima pa eno simetrijo, vsebuje le eno zrcalno simetrijo [1].

Po drugi strani obstajajo tudi izjeme, saj pogoj, da le mnogokotniki, ki imajo simetrijo, imajo CVS lastnost, ne velja v vseh primerih. To bomo dokazali na

primeru asimetri£nega mnogokotnika in mnogokotnika, ki ima le eno zrcalno simetrijo.

5.4 Posplo²itev na konveksne poliedre

Za poliedre velja slede£i izrek:

Izrek 5.4.1 a) Vsak konveksni polieder lahko razdelimo na vzporedne prereze tako, da je na vsakem od teh vrednost V konstantna.

b) ƒe je vrednost V enaka na ²tirih nekomplanarnih to£kah v konveksnem po- liedru, potem ima polieder CVS lastnost.

Dokaz: Dokaz za poliedre je podoben kot pri mnogokotnikih. Ploskve leºijo na ravnini z ena£bo:

α_ix+β_iy+γ_iz+δ_i = 0, in linearna funkcija V je:

V(x, y, z) =

n

X

i=1

(−1)^εiα_ix+β_iy+γ_iz+δ_i pα_i²+β_i²+γ_i² , kjer ε_i ∈ {0,1}.

Vsoto izena£imo s konstanto c in dobimo ena£bo ravnine, kateri so vzporedni izosumarni prerezi:

n

X

i=1

(−1)^εiα_ix+β_iy+γ_iz+δ_i

pα_i²+β_i²+γ_i² =c. (5.4)

ƒe je P = (x, y, z) notranja to£ka poliedra, potem pri razli£nih vrednostih konstantecdobimo izosumarne prereze. In na vsakem takem prerezu funkcija V zavzama konstantno vrednost c. To je dokaz izreka 5.4.1 (a).

ƒe obstajajo ²tiri nekomplanarne to£ke znotraj poliedra, pri katerih ima V enako vrednost, potem obstajata dva razli£na izosumarna prereza, pri katerih zavzame funkcija V enako vrednost. To se zgodi v primeru, ko jeV konstanta in polieder ima CVS lastnost. To je dokaz za drugi del izreka 5.4.1(b).

Iz tega sledi posledica:

Posledica 5.4.1 a) ƒe obstaja izometrija prostora, ki preslika polieder samega vase ne pa izosumarne prereze, potem ima polieder CVS lastnost.

b) ƒe konveksni polieder vsebuje dve rotacijski simetriji okoli dveh razli£nih osi, potem ima polieder CVS lastnost.

Dokaz: a) Dokaz sledi iz dokaza izreka 5.4.1(b).

b) Dve rotacijski simetriji poliedra okoli dveh razli£nih osi zagotavljata ob- stoj ²tirih nekomplanarnih to£k v poliedru, na katerih ima V enake vrednosti.

Glede na izrek 5.4.1(b) je dokaz kon£an.

Na podlagi posledice 5.4.1 sklepamo, da imajo vsi pravilni poliedri CVS la- stnost, prav tako tudi vsak paralepiped, ker ima tri rotacijske simetrije za kot 180^◦ okoli treh razli£nih osi, ki potekajo skozi centroide paroma vzporednih ploskev [1].

5.5 Posplo²itev na konkavne mnogokotnike in poliedre

Posplo²itev Vivianijevega izreka na konkavne mnogokotnike in poliedre je pre- cej druga£na kot pri konveksnih. Izreka 5.3.1 in 5.4.1 ne veljata ve£. V splo-

²nem konkavni mnogokotniki in poliedri nimajo CVS lastnosti. Pri mnogoko- tnikih je klju£no dejstvo, ki razlikuje konveksne mnogokotnike od konkavnih, da vse to£ke znotraj konkavnega mnogokotnika ne leºijo na istem bregu oz.

isti strani posamezne nosilke. Ta lastnost ima klju£ni pomen pri deniranju funkcije vsote razdalj V.

Za bolj²o ilustracijo je podan primer konkavnega mnogokotnika. Naj boABCD konkavni mnogokotnik z ogli²£i (0, 8), (−6, 0), (0, 2.5) in (6, 0). Naj bodo l₁, l₂, l₃, l₄ nosilke stranic AB, BC, CD, DA ter E in F prese£i²£i nosilk l₁ in l₃ ter l₂ in l₄ (slika 5.5). Mnogokotnik ABCD razdelimo na tri razli£na kon- veksna obmo£ja: AECF, EBC and F CD. Za vsakega od teh treh obmo£ij zapi²emo izraz za vsoto razdalj V ter razloºimo uporabo dokaza izreka 5.3.1.

Vsako obmo£je ima vzporedne segmente izosumarnih to£k. Vse to£ke v posa- meznem obmo£ju leºijo na isti strani nosilkl_i,1≤i≤4. Pri tem upo²tevamo, da vsaka nosilka l razdeli ravnino na dve polravnini (v nadaljevanju ju bomo imenovali pozitivna (O_l) in negativna polravnina (O_l^C).

Slika 5.5: Segmenti izosumarnih to£k v konkavnem mnogokotniku Spodnja tabela prikazuje lokacijo to£k znotraj posameznega obmo£ja glede na nosilkel_i, 1≤i≤4.

Tabela 5.1: Lokacija to£k glede na nosilke stranic mnogokotnika.

obmo£je l₁ l₂ l₃ l₄ AECF O_l1 O_l^c

2 O_l^c

3 O_l4 EBC Ol1 O_l^c₂ Ol3 Ol4

F CD O_l1 O_l2 O_l^c

3 O_l4

Iz zgornje tabele je razvidno, da imata vsaki dve sosednji obmo£ji skupni rob, razlikujeta se le po eni navedbi. Na primer, to£ke iz obmo£ijAECF in EBC leºijo na isti strani nosilk l₁, l₂ in l₄ in na nasprotni strani nosilke l₃. Zato je funkcija vsote razdaljV sestavljena iz treh komponent:

V_ABCD(P) =







V_AECF(P), P v AECF, V_EBC(P), P v EBC, VF CD(P), P v FCD. kjer je vsaka komponenta podana z linearnim izrazom:

V_AECF(P) = 4x−3y+ 24

5 −5x−12y+ 30

13 −−5x−12y+ 30

13 +−4x−3y+ 24 5

VEBC(P) = 4x−3y+ 24

5 −5x−12y+ 30

13 +−5x−12y+ 30

13 +−4x−3y+ 24 5

V_DCF(P) = 4x−3y+ 24

5 +5x−12y+ 30

13 −−5x−12y+ 30

13 +−4x−3y+ 24

5 ,

kjer je 4x−3y+ 24 = 0 ena£ba nosilke l₁, 5x−12y+ 30 = 0 je ena£ba za l₂,−5x−12y+ 30 = 0je ena£ba zal₃ in−4x−3y+ 24 = 0je ena£ba nosilkel₄. Z izra£unom zgornjih izrazov dobimo:

VAECF(P) = 42y

65 +324 65

V_EBC(P) = −156y−100x

130 +624 65 V_DCF(P) = −156y+ 100x

130 +624 65

To nam pove, da vsako obmo£je lahko razdelimo na vzporedne segmente izo- sumarnih to£k, ki imajo razli£ne smeri. V navedenem primeru so segmenti v obmo£ju AECF vzporedni premici y =c, segmenti v obmo£ju EBC so vzpo- redni premici 100x+ 156y = 0, segmenti v DCF pa so vzporedni premici z izrazom 100x−156y= 0. Poleg tega imata dva segmenta iz dveh razli£nih ob- mo£ij skupno to£ko na skupnem robu in tako denirata tri nekolinearne to£ke (to£ke Z, X,Y) z enako vsoto razdalj.

Za poljubni konkavni mnogokotnik ali polieder velja slede£i izrek:

Izrek 5.5.1 a) Vsak konkavni mnogokotnik lahko razdelimo na konveksna mno- gokotna obmo£ja tako, da je vsako obmo£je razdeljeno na vzporedne segmente izosumarnih to£k. Pri tem velja, da imajo segmenti izosumarnih to£k sosednjih obmo£ij razli£ne smeri.

b) Obstajajo tri ne-kolinearne to£ke znotraj konkavnega mnogokotnika, ki imajo enako vsoto razdalj do stranic.

c) Vsak konkavni polieder lahko razdelimo v konveksna poliedri£na obmo£ja tako, da je vsako obmo£je razdeljeno na vzporedne izosumarne prereze. Pri tem imajo ti prerezi sosednjih obmo£ij razli£ne smeri.

d) Obstajajo ²tiri nekomplanarne to£ke znotraj konkavnega poliedra, ki imajo enako vsoto razdalj do ploskev poliedra.

e) Konkavni mnogokotniki in poliedri nimajo CVS lastnosti.