UNIVERZA V MARIBORU
FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO Oddelek za matematiko in ra£unalni²tvo
Prvi test iz ELEMENTARNIH FUNKCIJ 9. 11. 2017
Navodila:
• as re²evanja je 120 minut.
• Ugasni in odstrani mobilni telefon.
• Uporaba knjig in zapiskov iz predavanj ter vaj ni dovoljena.
• Pozorno preberi vsako vpra²anje in vsak odgovor skrbno utemelji.
Odgovori brez utemeljtve ne bodo to£kovani.
• Pi²i £itljivo; neberljivi odgovori ne bodo to£kovani.
• Dovoljeni pripomo£ki so: kemi£ni svin£nik, svin£nik, radirka, A4 list s formulami.
...
1. [30] Podana je preslikava
F :N×N→N F : (a, b)7→ab.
(a) Izra£unaj ter zapi²i mnoºico F(A), kjer je A ={(a, b)∈N×N|a=b+ 1∧a≤5}, in mnoºico F−1({9,10}).
(b) Ugotovi, ali je F injektivna oz. surjektivna. Svoje trditve dokaºi ali s protiprimerom ovrºi.
(c) FunkcijaG:N→N×Nnaj bo podana s predpisomG(n) = (n+ 1, n2) za vsakn ∈N.
Dolo£i domeno in kodomeno kompozituma F ◦Gter izra£unaj predpis funkcije F ◦G. 2. [15] Za neprazni podmnoºiciA in B mnoºice R deniramo A+B ={a+b|a∈A, b∈B}.
(a) e jeA= (0,3) inB = [2,7), dolo£i mnoºico A+B.
(b) Naj bostaA inB poljubni neprazni podmnoºici mnoºiceR, ki sta omejeni. Dokaºi, da je tudi mnoºica A+B omejena.
3. [15] Naj bosta p inq razli£ni pra²tevili. Pokaºi, da je ²tevilo log√pq iracionalno.
4. [25] Dana je elipsa E z ena£box2+ 2y2 = 18.
(a) Skiciraj elipsoE ter zapi²i vsa ²tiri temena in obe njeni gori²£i. Zapi²i ²e ena£bo elipse E0, ki jo dobimo tako, da elipso E vzporedno premaknemo za vektor −→s = (2,3). (b) V elipso E je v£rtan enakokraki trikotnik T, katerega dve ogli²£i leºita na premici z
ena£bo y=−x+ 3. Izra£unaj vsa tri ogli²£a trikotnika T.
5. [15] Mnoºici A in B naj imata neprazen presek in naj bosta f : A → C, g : B → D dve bijektivni funkciji, za kateri velja f(x) = g(x), £e je x∈A∩B.
(a) Dokaºi, da C∩D6=∅.
(b) Ali je funkcija h:A∪B →C∪D, denirana s predpisom h(x) =
f(x), x∈A g(x), sicer nujno bijektivna? Utemelji!
