UNIVERZA V MARIBORU
FAKULTETA ZA NARAVOSLOVJE IN MATEMATIKO Oddelek za matematiko in ra£unalni²tvo
3. sprotni test pri predmetu ELEMENTARNE FUNKCIJE 24. 1. 2017
Navodila:
• as re²evanja je 120 minut.
• Ugasni in odstrani mobilni telefon.
• Uporaba knjig in zapiskov iz predavanj ter vaj ni dovoljena.
• Pozorno preberi vsako vpra²anje in vsak odgovor skrbno utemelji.
Odgovori brez utemeljtve ne bodo to£kovani.
• Pi²i £itljivo; neberljivi odgovori ne bodo to£kovani.
• Dovoljeni pripomo£ki so: kemi£ni svin£nik, svin£nik, radirka, A4 list s formulami.
...
1. [30] Dana je funkcijaf s predpisom
f(x) = e−x x .
(a) [8] Za funkcijo f dolo£i denicijsko obmo£je, ni£le in navpi£ne asimptote. Izra£unaj tudi limx→∞f(x).
(b) [15] Dolo£i intervale nara²£anja in padanja ter intervale konveksnosti in konkavnosti funkcije f. Poi²£i tudi stacionarne to£ke in jih klasiciraj.
(c) [7] Skiciraj graf funkcijef in dolo£i njeno zalogo vrednosti.
2. [15] Naj bodoa, b, c∈R+, tako da velja tudi c+b, c−b, a∈R+\{1}. Dokaºi, da je trikotnik s stranicamia, b, c, ki zado²£ajo enakostilogc+ba+ logc−ba= 2 logc+ba·logc−ba, pravokoten.
3. [20] Glede na parametera ∈R+\ {1} obravnavaj in re²i neena£bo loga
2x+ 1
x−3
>0.
4. [20] Re²i ena£bo
sin(2x)−cos(3x) = 0.
5. [15] Naj bo funkcija f odvedljiva na neki okolici to£ke a∈R.
(a) [5] Zapi²i diferen£ni kvocient funkcijef v to£kia.
(b) [10] Naj ima funkcija f v to£ki a lokalni ekstrem. Dokaºi, da jef0(a) = 0.
