OD GRAVITACIJE DO ˇ CRNE LUKNJE

UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOˇSKA FAKULTETA

POU ˇCEVANJE, PREDMETNO POU ˇCEVANJE

TJAˇ SA MATI ˇ CI ˇ C

OD GRAVITACIJE DO ˇ CRNE LUKNJE

MAGISTRSKO DELO

LJUBLJANA, 2017

UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOˇ SKA FAKULTETA

POU ˇ CEVANJE, PREDMETNO POU ˇ CEVANJE

TJAˇ SA MATI ˇ CI ˇ C

OD GRAVITACIJE DO ˇ CRNE LUKNJE

Magistrsko delo

MENTOR: izr. prof. dr. BOJAN GOLLI

Zahvala

Iskreno se zahvaljujem mentorju izr. prof. Bojanu Golliju, ki je s strokovno pomoˇcjo, usmerjanjem in nasveti pripomogel k nastanku diplomskega dela.

Zahvaljujem se tudi Gregorju Tarmanu za pomoˇc pri postavitvi poskusov.

Srˇcno se zahvaljujem druˇzini za pomoˇc in podporo. Posebej bi se rada zahvalila oˇcetu Primoˇzu in materi Janji.

Zahvaljujem se tudi vsem kolegom in kolegicam za pomoˇc in popestritev ˇstudija.

Hvala tudi vama, Borut in Zala, za razumevanje in podporo.

Povzetek

V teoretiˇcnem delu predstavim temeljne koncepte Einsteinove sploˇsne teorije relativno- sti; masa, naˇcelo ekvivalence, gravitacijsko polje in prostor-ˇcas. Opiˇsem tudi gibanje toˇckastega telesa v prostoru-ˇcasu in Schwarzschildovo geometrijo prostora-ˇcasa. Oprede- lim klasifikacijo, nastanek, strukturo in zaznavanje ˇcrnih lukenj. Pregledam didaktiˇcna priporoˇcila nekaterih avtorjev pri vpeljavi Newtonovega in Einsteinovega modela gravita- cije, teˇze, naˇcela ekvivalence, brezteˇznosti in ˇcrne luknje. Podrobneje predstavim prikaz Einsteinove teorije gravitacije s proˇzno ponjavo. Izpostavim nekatere pomanjkljivosti takˇsnega modela in napaˇcne predstave, ki jih lahko pridobijo uˇcenci. V empiriˇcnem delu pregledam uˇcni naˇcrt za pouk fizike in uˇcbenike za fiziko v osnovni ˇsoli. Pripravim aktiv- nosti in preproste poskuse za vpeljavo Einsteinove teorije gravitacije, primerne za osnovno in srednjo ˇsolo. Izdelam model s proˇzno ponjavo in kroglicami, s katerim ponazorim uˇcinke gravitacije ter koncept ubeˇzne hitrosti, da lahko uˇcenci pridobijo ˇsirˇso sliko o ˇcrni luknji.

Kot didaktiˇcna pripomoˇcka uporabim tudi zemljevid sveta v Mercatorjevi projekciji in globus, s katerima prikaˇzem ravne in krive trajektorije. S spuˇsˇcanjem plastenke, v katero namestimo uteˇz, ki pritiska na balon, demonstriram brezteˇzno stanje.

Kljuˇcne besede: ˇcrna luknja, Einstein, gravitacija, naˇcelo ekvivalence, sploˇsna teorija relativnosti, ubeˇzna hitrost, uˇcinki gravitacije

Abstract

In the theoretical part, I present basic concepts of Einstein’s general theory of relativity;

the mass, the priciple of equivalence, the gravitational field and space-time. I explain the motion of a body in space-time and the properties of Schwarzschild’s geometry of space-time. I further describe classification, formation, structure and detection of black holes. I review didactic recommendations of some authors for introduction of Newton’s and Einstein’s models of gravitation, the weight, the principle of equivalence, weightles- sness and the black hole. I focus on Einstein’s theory of gravity and how to mimick it by using a flexible sheet. I also expose some deficiencies of such a model and misconcepti- ons that can arise from it. In the empirical part, I review curriculum and textbooks for physics in elementary school. I prepare activities and simple experiments to introduce Einstein’s theory of gravity, appropriate for elementary and high school. Using a gravity simulator composed of flexible sheet and balls I demonstrate effects of gravity and the concept of escape velocity, so that pupils can get a general idea of the black hole. I also use a map of the world in Mercator’s projection and a globe to introduce straight and curved trajectories. Weightlessness is demonstrated by an experiment - I drop a bottle with a sponge and a kilogram weight.

Key Words: black hole, Einstein, gravitation, principle of equivalence, general theory of relativity, escape velocity, effects of gravity

Kazalo

1 Uvod 1

2 Gravitacija 3

2.1 Zgodovinski pregled . . . 3

2.2 Newtonov gravitacijski zakon . . . 6

2.3 Einsteinova teorija gravitacije . . . 8

3 Osnove Einsteinove sploˇsne teorije relativnosti 9 3.1 Masa . . . 10

3.2 Naˇcelo ekvivalence . . . 11

3.3 Gravitacijsko polje . . . 13

3.4 Prostor-ˇcas . . . 15

3.4.1 Matematiˇcni opis trirazseˇznega in ˇstirirazseˇznega prostora . . . 16

3.4.2 Tenzorji v prostoru-ˇcasu . . . 20

3.5 Opis gibanja toˇckastega telesa v prostoru-ˇcasu . . . 22

3.5.1 Geodetka . . . 24

3.6 Schwarzschildova geometrija prostora-ˇcasa . . . 29

3.6.1 Schwarzschilldove koordinate . . . 30

3.6.2 Schwarzschildova reˇsitev . . . 30

3.6.3 Schwarzschildova metrika . . . 31

3.6.4 Schwarzschildov radij . . . 31

4 Crne luknjeˇ 33 4.1 Zgodovina . . . 33

4.2 Ubeˇzna hitrost . . . 33

4.3 Klasifikacija ˇcrnih lukenj . . . 36

4.4 Nastanek ˇcrnih lukenj . . . 37

4.5 Dogodkovni horizont in singularnost . . . 38

4.6 Zaznavanje ˇcrnih lukenj . . . 40

4.7 Gravitacijski valovi . . . 43

5 Didaktiˇcni vidik 44 5.1 Newtonova in Einsteinova teorija gravitacije . . . 45

5.2 Prikaz gravitacije z ukrivljeno ponjavo . . . 49 5.2.1 Pomanjkljivosti, nejasnosti in napaˇcne predstave prikaza s ponjavo . 51

5.5 Brezteˇznost . . . 55 5.6 Koncept ˇcrne luknje . . . 57 6 Pregled uˇcnega naˇcrta in predznanje uˇcencev 58

7 Aktivnosti za uˇcence 62

8 Zakljuˇcek 80

Slike

Slika 1: Krajevna vektorja . . . 17

Slika 2: Karl Schwarzschild . . . 29

Slika 3: Svetlobni ˇzarki . . . 35

Slika 4: Prikaz razliˇcnih sestav ˇcrnih lukenj . . . 38

Slika 5: Umetniˇska upodobitev ˇcrne luknje . . . 40

Slika 6: Sgr A* . . . 41

Slika 7: Ozvezdje Strelec in lega Sgr A* . . . 42

Slika 8: Primerjava trajektorij . . . 46

Slika 9: Primerjava trajektorij . . . 47

Slika 10:Dvorazseˇzen ukrivljen prostor-ˇcas . . . 49

Slika 11: Dvorazseˇzni prostor ˇcas v okolici razliˇcnih nebesnih teles . . . 50

Slika 12: Model s ponjavo . . . 64

Slika 13: Model gravitacije . . . 65

Slika 14: Model gravitacije . . . 67

Slika 15: Zemljevid sveta . . . 68

Slika 16: Globus . . . 69

Slika 17: Razdalja med Londonom in Tokiem . . . 70

Slika 18: Zemlja . . . 71

Slika 19: Poskus: prosti pad . . . 73

Slika 20: Posnetek poskusa s hitro kamero . . . 74

Slika 21: Vpeljava jakosti gravitacije . . . 77

Slika 22: Vpeljava koncepta ubeˇzne hitrosti . . . 78

1 Uvod

Z razvojem moderne fizike so se spremenili koncepti prostora, ˇcasa, gravitacije ipd. New- tonova teorija je postala limitni primer Einsteinove teorije relativnosti. Einsteinova teorija relativnosti je posredno pripeljala do novih odkritij na podroˇcju znanosti. 14. 9. 2015 je bila objavljena odmevna novica o zaznanem gravitacijskem valovanju, ki je nastalo ob zlitju dveh ˇcrnih lukenj. Prav takˇsna odkritja in novice lahko spodbudijo uˇcence k poi- zvedovanju in uˇcitelji lahko priˇcakujemo vpraˇsanja o sodobnih odkritjih. Med drugim je naloga uˇciteljev tudi ta, da spremljamo razvoj in doseˇzke s podroˇcja, ki ga pouˇcujemo, ter da o tem poroˇcamo tudi uˇcencem. Sodobna odkritja in koncepti lahko pri uˇcencih spodbudijo nadaljnje zanimanje za fiziko in znanost.

Da je ˇcrna luknja astronomsko telo, ki ima tako moˇcno gravitacijo, da ji niti svetloba ne more pobegniti, se lahko nauˇci vsak uˇcenec. Toda ali preko te razlage resniˇcno razume koncept ˇcrne luknje? Odgovor je ne, le s poznavanjem Newtonovega gravitacijskega za- kona ne more razumeti koncepta ˇcrne luknje. Za razumevanje mora poznati osnovne ideje Einsteinove sploˇsne teorije relativnosti in se seznaniti z

”novim“ pogledom na gravitacijo, tako imenovano Einsteinovo teorijo gravitacije. Prav tako mora poznati koncept ubeˇzne hitrosti.

V magistrskem delu najprej predstavim zgodovinski pogled na teˇzo in silo gravitacije, opiˇsem Newtonov gravitacijski zakon in zapiˇsem pogoje, pod katerimi lahko zanema- rimo relativistiˇcne uˇcinke. Nadaljujem z opisom nekaterih konceptov Einsteinove sploˇsne teorije relativnosti, kot so masa, naˇcelo ekvivalence, gravitacijsko polje in prostor-ˇcas.

Podrobneje opiˇsem gibanje toˇckastega telesa v prostoru-ˇcasu in prostor-ˇcas v okolici ˇcrne luknje (tako imenovana Schwarzschildova geometrija). V poglavju ˇCrne luknje najprej predstavim zgodovinski pogled na ˇcrne luknje, nato vpeljem koncept ubeˇzne hitrosti in nato opiˇsem klasifikacijo, nastanek, strukturo in zaznavo ˇcrnih lukenj. Omenim tudi gra- vitacijske valove.

V poglavju Didaktiˇcni vidik povzamem ideje in mnenja, ki so ˇze bila napisana na temo pouˇcevanja Newtonove in Einsteinove teorije gravitacije. Podrobneje opiˇsem model gravi- tacije z ukrivljeno ponjavo. Zberem tudi pomanjkljivosti, nejasnosti in napaˇcne predstave, ki jih lahko uˇcenci pridobijo s tem modelom in na katere morajo biti uˇcitelji pozorni. V nadaljevanju pregledam uˇcbenike za fiziko za osnovno ˇsolo in povzamem, kako avtorji definirajo teˇzo. Strnem tudi didaktiˇcna priporoˇcila za pouˇcevanje naˇcela ekvivalence, brezteˇznosti in ˇcrne luknje. Veˇcina didaktiˇcnih priporoˇcil je namenjena pouˇcevanju v sre- dnjih, viˇsjih in visokih ˇsolah.

V empiriˇcnem delu najprej preverim cilje in standarde znanja, ki so posredno povezani s koncepti, ki jih ˇzelim vpeljati. Pregledam uˇcbenike in na kratko opiˇsem teme, ki se obravnavajo pri pouku fizike in so posredno povezane s koncepti sploˇsne teorije relativ- nosti. Nato predstavim aktivnosti, ki jih lahko uˇcitelji vkljuˇcijo v pouˇcevanje Einsteinove teorije gravitacije. Izdelam model s proˇzno ponjavo, s katerim najprej ponazorim magne- tno in nato ˇse gravitacijsko polje. Nadalje model uporabim za prikaz uˇcinkov in jakosti gravitacije. Ukrivljenost prostora ponazorim z globusom. Prikaˇzem tudi ravne in krive trajektorije letala na zemljevidu, ki so analogne trajektorijam prosto padajoˇce ˇzoge v prostoru-ˇcasu. S spuˇsˇcanjem plastenke v kateri sta goba za brisanje table in kilogramska uteˇz prikaˇzem sistem, ki je v naravnem gibanju in v katerem je brezteˇzno stanje. Na koncu model s proˇzno ponjavo uporabim tudi za prikaz koncepta ubeˇzne hitrosti, ki ga nadalje poveˇzem s konceptom ˇcrne luknje. Predlagam, da uˇcitelji aktivnosti izvedejo v sklopu naravoslovnih dni ali ob zakljuˇcku pouka fizike.

2 Gravitacija

2.1 Zgodovinski pregled

Ko kamen spustimo z neke viˇsine, pade na tla. Vpraˇsanji zakaj in kako telesa prosto padajo, sta stari ˇze veˇc kot 2000 let. Koncept teˇze se je skozi zgodovino spreminjal.

V ˇcasu starih Grkov je teˇza oznaˇcevala eno od temeljnih lastnosti telesa, podobno kot oblika, barva, vonj in togost. Prvi, ki so omenjali koncept teˇze, so bili Platon, Anaksa- gora in Aristotel. Tako Platon kot Aristotel sta v teˇzi videla vzrok padanja. Padanje so imenovali naravno gibanje. Prepriˇcani so bili, da na to lastnost telesa vpliva lokacija.

Aristotel je na primer menil, da teˇza naraˇsˇca s pribliˇzevanjem srediˇsˇcu vesolja. Nasprotno sta Hiparh in Arhimed trdila, da teˇza naraˇsˇca z viˇsino. Arisototel je trdil, da teˇzja telesa padajo hitreje kot laˇzja. Ta ideja se je obdrˇzala vse do 16. stoletja. [1]

Okoli leta 600 je Johannes Philoponus teˇzo oznaˇcil za nespremenljivo lastnost telesa, ki je neodvisna od okolice telesa. Menil je, da bi se telesa gibala tudi v praznem prostoru, ˇce bi obstajalo, saj je v takratnem ˇcasu ˇse veljalo Aristotlovo prepriˇcanje, da prazen prostor ne more obstajati in da gibanje kamna, ki ga vrˇzemo v vodoravni smeri, vzdrˇzuje gibanje zraka. [2]

Konec 16. stoletja je Galileo Galilej opravil prvo eksperimentalno opazovanje prostega pada. Galileo je namesto hitrosti prosto padajoˇcih teles meril hitrosti kroglic, ki jih je spuˇsˇcal po klanˇcini. Ker v njegovem ˇcasu ˇse ni bilo ˇstoparic, je ˇcas meril posredno s ˇstetjem srˇcnega utripa, posluˇsanjem udarcev kroglic ob strune, ki jih je ovil okoli klanˇcine ali z iztekanjem vode. Priˇsel je do zakljuˇcka, da je prosti pad enakomerno pospeˇseno gibanje in da vsa telesa padajo z enakim pospeˇskom. [2]

Pomemben preobrat se je zgodil v 17. stoletju z Descartesovim novim pogledom na teˇzo.

Descartes je bil prvi, ki je iskal vzrok teˇze zunaj telesa. Menil je, da je vzrok teˇze kohe- zivni pritisk, ki ga obˇcuti telo zaradi vrteˇcega se etra, ki obdaja Zemljo. Verjel je tudi, da lahko telo deluje na drugo telo le z dotikom. Snov, ki po njegovem mnenju napolnjuje celotno vesolje, je poimenoval eter. [1, 2]

Prvo fizikalno teorijo, ki velja pod doloˇcenimi pogoji ˇse danes in jo imenujemo Newto- nova ali klasiˇcna mehanika, je v 17. stoletju postavil Isaac Newton. Leta 1686 je izˇslo njegovo znamenito delo Matematiˇcni principi filozofije narave. Veliko zaslugo za New- tonovo formulacijo univerzalnega zakona privlaˇcnosti med telesi ima med drugimi tudi Johannes Kepler. Kepler je zaˇcel prvi razmiˇsljati o vzajemni privlaˇcnosti, ki deluje med telesi na daljavo. To je Newtona vodilo do gravitacijskega zakona, s katerim je postavil nove temelje fizike. Matematiˇcno je opisal silo gravitacije in sestavil zakon, ki natanˇcno opisuje gibanje nebesnih teles. Zapisal je, da je velikost privlaˇcne sile F med toˇckastima telesoma z masamam₁inm₂na razdaljirsorazmerna s produktom njunih mas in obratno sorazmerna z kvadratom razdalje.

F ∝ m₁m₂

r² . (1)

Sorazmernostnega koeficienta, ki ga danes poznamo kot gravitacijsko konstanto G, New- ton ni zapisal. Prvi je gravitacijsko konstanto izmeril Henry Cavendish ˇsele dobrih 100 let pozneje. Pri tem je uporabil torzijsko tehtnico in svinˇceni krogli. [2]

Newtonov gravitacijski zakon je potrdil obstoj gravitacijske sile in pojavilo se je vpraˇsanje, ali sila, ki ureja celotno vesolje, deluje tudi na Zemlji. Na podlagi Galilejevega razmiˇsljanja je Newton pokazal enakost inercialne in gravitacijske mase ter tako teoretiˇcno dokazal, da vsa telesa padajo z enakim pospeˇskom. Enakost inercialne in gravitacijske mase je doka- zoval z nitnim nihalom. S takˇsno eksperimentalno metodo lahko vidimo, da je relativna razlika

δ = m_I/m_G−m⁰_I/m⁰_G

1

2(m_I/m_G+m⁰_I/m⁰_G) (2)

manjˇsa od 10⁻³. Ekvivalentnost inercialne in gravitacijske mase je leta 1893 pokazal tudi madˇzarski fizik Lor´and Eotv¨ os. Uporabil je torzijsko tehtnico, na katero je obesil dve¨ uteˇzi iz razliˇcnih snovi, a enakih mas. Pokazal je, da sta vztrajna in teˇzka masa enaki z relativno natanˇcnostjo (2) 10⁻⁹. Danaˇsnji poskusi kaˇzejo relativno natanˇcnost (2) 10⁻¹³. Enakost inercialne in gravitacijske mase je tudi osnova naˇcela ekvivalence, na katerem sloni Einsteinova teorija sploˇsne relativnosti. [1, 2]

Dojemanje teˇze se je ponovno moˇcno spremenilo v zaˇcetku 20. stoletja, ko je leta 1916 Einstein izdal sploˇsno teorijo relativnosti. Glavna ideja teorije je, da sta prostor in ˇcas neloˇcljivo povezana in skupaj tvorita ˇstirirazseˇzni prostor, ki ga imenujemo prostor-ˇcas.

Gravitacijska sila ni veˇc zunanja sila, ampak je ukrivljenost prostora-ˇcasa. Povezave med prostorom in ˇcasom se spremenijo, kar imenujemo ukrivljenost. Povezave med prostorom in ˇcasom opiˇsemo z metriko prostora. Prostoru, ki se ukrivi, se spremeni metrika. Z Einsteinovo teorijo se zruˇsijo tudi Newtonove ideje o absolutnem prostoru, ˇcasu in etru.

Daleˇc stran od masivnih teles, kjer je prostor-ˇcas raven, se Newtonova in Einsteinova teorija gravitacije ujemata, toda na sploˇsno se razlikujeta. Newtonova teorija je limitni primer Einsteinove. Razlika med teorijama se najbolje vidi v bliˇzini zelo majhnih teles z veliko gostoto (na primer v bliˇzini nevtronske zvezde ali ˇcrne luknje). Z Einsteinovo teorijo lahko razloˇzimo, kako se prostor, svetloba in snov vedejo v okolici ˇcrne luknje.

Newton pravi, da imajo telesa z veˇcjo gostoto tudi veˇcjo ubeˇzno hitrost. V Einsteinovi interpretaciji to pomeni, da telesa z veˇcjo gostoto naredijo globljo udrtino v prostoru- ˇcasu. [3]

2.2 Newtonov gravitacijski zakon

Gravitacijska sila, ki deluje med dvema telesoma, ima matematiˇcno obliko F =GM m

r² , (3)

kjer je telo z masom na oddaljenostir od telesa z masoM, ki je izvor gravitacije. Soraz- mernostni koeficient Gje gravitacijska konstanta G= 6,67384·10⁻¹¹ m³kg⁻¹s⁻². Enaˇcbi (3) pravimo tudi Newtonov gravitacijski zakon. Gravitacijska sila deluje na daljavo in je vedno privlaˇcna.

Masi, ki nastopa v gravitacijskem zakonu, reˇcemo tudi gravitacijska masa in je za gravi- tacijo to, kar je elektriˇcni naboj v elektromagnetizmu. Spomnimo se, da tudi elektriˇcna sila med naboji deluje na daljavo in je odvisna od nabojeve₁ ine₂ ter oddaljenosti rmed njima

Fel = 1 4πε₀

e₁e₂

r² . (4)

Opazimo, da imata gravitacijska (3) in elektriˇcna sila (4) enako obliko. V obeh nastopa konstanta, produkt mas oziroma nabojev in reciproˇcna vrednost kvadrata razdalje med njima. Obe sili delujeta na daljavo, vendar je gravitacijska vedno le privlaˇcna, medtem ko je elektriˇcna sila lahko tudi odbojna. Elektriˇcna sila deluje med nabitimi delci, gravita- cijska sila pa deluje med vsemi delci. Z analogijo nadaljujemo ˇse s potenciali. Spomnimo se, da ˇcuti elektriˇcni naboj e₂ v elektriˇcnem polju naboja e₁ elektriˇcni potencial

V_el(r) = − 1 4πε₀

e₁

r , (5)

pri ˇcemer jee₁naboj, ki je izvir elektriˇcnega polja,roddaljenost od izvira,ε₀ pa influenˇcna konstanta. Podobno lahko zapiˇsemo tudi gravitacijski potencial

V_g(r) =−GM

r , (6)

pri ˇcemer je M masa, ki je izvir gravitacijskega polja, r oddaljenost od izvira in G gra- vitacijska konstanta. Opazimo, da sta potenciala po obliki podobna. Elektriˇcno energijo W_el izraˇcunamo tako, da potencial pomnoˇzimo z nabojem e₂

W_el =e₂V_el, (7)

potencialno energijo W_p pa tako, da gravitacijski potencial pomnoˇzimo z maso m, ki je v polju

Relativistiˇcni uˇcinki so majhni oziroma zanemarljivi, ˇce je potencialna energija mnogo manjˇsa od ostale mirovne energije

|W_p| mc². (9)

Pri kroˇzenju v gravitacijskem polju pogoja (9) sledi iz pogoja, da so hitrosti mnogo manjˇse od svetlobne hitrosti

v c. (10)

Pri kroˇzenju telesa z masom okoli telesa z masoM velja, da je njegova kinetiˇcna energija enaka polovici potencialne energije

W_kin= 1

2W_pot, (11)

kar imenujemo tudi virialni teorem. Izpiˇsimo ˇse izraz za kinetiˇcno energijo W_kin = ¹₂mv² in potencialno energijoW_pot=GmM/r, iz katerih sestavimo

1

2mv² = 1 2

GmM

r . (12)

Ce je hitrost gibanja majhna v primerjavi s svetlobno hitrostjo lahko pogoj (10) zapiˇsemoˇ

mv² mc². (13)

Levo stran neenakosti (13) zapiˇsemo kot 2¹₂mv² in upoˇstevamo enakost (12). Dobimo pogoj, ki je ekvivalenten pogoju (9)

GmM

r mc². (14)

Izpostavimor in dobimo pogoj, ki mora veljati za razdaljo, da lahko zanemarimo relati- vistiˇcne uˇcinke

r GM

c² . (15)

Torej, ˇce je razdalja telesa od srediˇsˇcne mase dovolj velika, so odstopanja od Newtonove teorije zelo majhna.

Oglejmo si pogoj za Sonˇcev sistem. V izrazGM/c² vstavimo maso SoncaM_S = 2·10³⁰kg in dobimo vrednost 2 km, ki je v srediˇsˇcu Sonca. Pokazali smo, da lahko v Sonˇcevem sis- temu relativistiˇcne uˇcinke zanemarimo. Drugaˇce pa je v okolici masivnih teles, na primer nevtronske zvezde ali ˇcrne luknje, kjer relativistiˇcni uˇcinki niso zanemarljivi.

[4, 5]

V Newtonovi fiziki pravimo, da telo prosto pada, ˇce nanj deluje le gravitacijska sila. Pro- sto padanje je premo enakomerno pospeˇseno gibanje. Obiˇcajno pri opisu prostega pada predpostavimo, da ni zraˇcnega upora. Tedaj padajo vsa telesa enakomerno pospeˇseno z enakim teˇznim pospeˇskom, ki na Zemlji znaˇsa g = 9,81 m/s². Telesa vedno padajo proti srediˇsˇcu Zemlje.

2.3 Einsteinova teorija gravitacije

V klasiˇcni fiziki na prosto padajoˇce telo deluje le gravitacijska sila, ki je zunanja. V sploˇsni teoriji relativnosti vpliv gravitacije izrazimo s spremembo lastnosti prostora-ˇcasa in tako gravitacijske sile ne ˇstejemo veˇc med zunanje sile. V Einsteinovi teoriji gravitacije se telo giblje po geodetki, ˇce nanj ne deluje nobena sila, torej se telo, ki prosto pada, skozi prostor-ˇcas giblje po geodetki. Opazovalec v sistemu, ki miruje na Zemlji, obˇcuti le silo podlage, sorazmerno z njegovo maso (F_g =mg). ˇCe podlage ni, opazovalec in sistem pro- sto padata in opazovalec zato ne obˇcuti nobene sile - je v brezteˇznostnem stanju. [5, 6, 7].

Za razumevanje Einsteinove teorije gravitacije moramo poznati osnovne koncepte sploˇsne teorije relativnosti, ki jih bomo podrobneje spoznali v naslednjem poglavju.

3 Osnove Einsteinove sploˇ sne teorije relativnosti

Klasiˇcno fiziko lahko razdelimo na tri veˇcja podroˇcja: Newtonovo mehaniko (osnova so znameniti trije klasiˇcni Newtonovi zakoni), termodinamiko (osnova sta prvi in drugi zakon termodinamike) in Maxwellovo elektrodinamiko (osnova so Maxwellove enaˇcbe). Vsi ti zakoni dobro opiˇsejo opazovanja, merjenja in poskuse za makroskopska telesa, ki mirujejo ali se gibljejo s hitrostmi, mnogo manjˇsimi od svetlobne hitrosti. Pri telesih, ki se gibljejo s hitrostmi blizu svetlobni hitrosti, klasiˇcni fizikalni zakoni odpovejo. Poleg tega klasiˇcni fizikalni zakoni odpovejo tudi v mikroskopskem svetu.

V zaˇcetku 20. stoletja se zato pojavijo nove teorije, ki jih priˇstevamo med moderno fiziko.

Moderno fiziko lahko v grobem razdelimo na kvantno mehaniko in Einsteinovi teoriji re- lativnosti (posebna in sploˇsna). Kvantna mehanika opisuje atomski svet, posebna teorija relativnosti se ukvarja s hitrimi delci, sploˇsna teorija, imenovana tudi gravitacijska teo- rija, pa obravnava vesolje kot celoto, opiˇse natanˇcno gibanje satelitov in planetov, opredeli prostor-ˇcas v bliˇzini masivnih teles, kakrˇsni sta na primer nevtronska zvezda in ˇcrna lu- knja in podobno.

Posebna teorija relativnosti sloni na dveh Einsteinovih naˇcelih. Prvo naˇcelo je posebno naˇcelo relativnosti, v skladu s katerim so vsi inercialni opazovalci enakovredni. Drugo pa je naˇcelo o invariantnosti svetlobne hitrosti, ki pravi, da je svetlobna hitrost za vse sisteme enaka. Ti dve osnovni naˇceli sta zdruˇzeni v naˇcelo relativnosti. Dodatno velja tudi naˇcelo o homogenosti ˇcasa in o homogenosti in izotropnosti prostora. Omenimo ˇse naˇcelo korespondence, ki pravi, da enaˇcbe Newtonove mehanike dobro opiˇsejo pojave pri hitrostih, ki so majhne v primerjavi s svetlobno hitrostjo.

Gibanje planetov in ostalih vesoljskih teles lahko zadovoljivo opiˇsemo z Newtonovimi za- koni, vendar ne vedno. V nekaterih primerih se eksperimentalni rezultati ne ujemajo z Newtonovimi teoretiˇcnimi napovedmi. Tak primer je gibanje Soncu najbliˇzjega planeta, Merkurja. Perihelij (to je toˇcka, kjer se planet najbolj pribliˇza Soncu) Merkurja se ves ˇcas spreminja, ˇcesar Newtonova teorija ne more razloˇziti, Einsteinova sploˇsna teorija pa lahko.

[3, 8]

V tem poglavju bomo spoznali osnovne koncepte sploˇsne teorije relativnosti, kot so masa, naˇcelo ekvivalence in gravitacijsko polje. Podrobneje bomo opisali ˇstirirazseˇzni prostor-ˇcas in gibanje toˇckastega telesa v njem.

3.1 Masa

Koncept mase se v fiziki razume na dva razliˇcna naˇcina. Moderna fizika loˇci med vztrajno (oz. inercialno) in teˇzko (oz. gravitacijsko) maso, medtem ko klasiˇcna fizika privzame, da sta ti dve masi enaki, in za obe uporablja enako enoto (kilogram).

• Vztrajna masa pove, kako se snov upira spremembi gibanja. Masa, ki nastopa v drugem Newtonovem zakonu F =m_Ia, je vztrajna.

• Gravitacijska masa nastopa v Newtonovem gravitacijskemu zakonuF_g =Gm_GM_G/r² in pove, kako se neko telo odzove na gravitacijo drugega telesa. Po analogiji s Co- ulombovim zakonom in elektriˇcnim nabojem v elektrostatiki bi lahko to maso ime- novali gravitacijski naboj telesa.

Newtonov zakon za prosti pad zapiˇsemo

m_Ia=F_g =m_Gg, (16)

iz ˇcesar sledi

a= mG

m_Ig. (17)

Ce vsa telesa padajo z enakim pospeˇskom, je vztrajnostna masa enaka gravitacijski masi.ˇ Enakostm_I =m_Gimenujemo Newtonov princip ekvivalence vztrajnostne in gravitacijske mase. ˇCe vztrajnostna masa ne bi bila enaka gravitacijski, bi razliˇcna telesa padala z razliˇcnim pospeˇskom, kar je razvidno iz enaˇcbe (17).

Ce v enaˇˇ cbi (17) okrajˇsamo masi, dobimo Galilejev princip ekvivalence, ki pravi, da v danem gravitacijskem polju vsa toˇckasta telesa padajo z enakim pospeˇskom. Princip so poimenovali tako, ker so na to namigovali ˇze Galilejevi poskusi.

[4, 6, 9].

3.2 Naˇ celo ekvivalence

Posebna teorija relativnosti poudarja, da je vse gibanje relativno. Vzemimo na primer dva sistema, ki se gibljeta relativno eden na drugega z enako konstantno hitrostjo. Opa- zovalca v obeh sistemih lahko enako utemeljeno trdita, da se gibljeta ali mirujeta, odvisno od njunega glediˇsˇca. O relativnem enakomernem gibanju je ˇze v 16. stoletju pisal Gior- dano Bruno, ki se je spraˇseval o gibanju kamna, ki ga vrˇzemo z jamborja na ladji. Tudi Galileo je razmiˇsljal o gibanju metuljev v zaprti kletki na ladji, ki se premika z enakomerno hitrostjo. Prav tako je Newton v delu Matematiˇcni principi filozofije narave pisal, da so medsebojna gibanja teles enaka v prostoru, ki miruje ali se giblje premo enakomerno.

Prvi, ki je posploˇsil zamisel o relativnem gibanju ˇse na pospeˇseno relativno gibanje, pa je bil Einstein. Idejo, da lahko vzrok teˇze pripiˇsemo gravitaciji ali pospeˇsevanju, je strnil v naˇcelo ekvivalence. [10]

Einsteina do naˇcela ekvivalence pripelje primerjava dveh opazovalnih sistemov. Prvi sis- tem naj se giblje enakomerno pospeˇseno v smeri svoje osix s pospeˇskom g, drugi sistem pa naj miruje v homogenem gravitacijskem polju z jakostjog. Ker vsa telesa v teˇznostnem polju (vakuumu) padajo z enakim pospeˇskom, z nobeno fizikalno eksperimentalno metodo ne moremo razloˇciti, v katerem sistemu smo.

”Torej lahko predpostavimo popolno fizi- kalno ekvivalenco med nepospeˇsenim sistemom, v katerem je prisotno gravitacijsko polje, in ustrezno pospeˇsenim sistemom, v katerem ni gravitacijskega polja.“[11].

Prav tako so fizikalni zakoni ekvivalentni v sistemu, ki miruje ali se giblje enakomerno v ravnem prostoru, in v sistemu, ki pada v homogenem gravitacijskem polju. Zaprt sistem med padanjem v gravitacijskem polju ne ˇcuti nobene sile. Prav tako sistem ne ˇcuti sile, ˇce miruje ali se giblje premo enakomerno nekje v globinah vesolja, kjer gravitacijsko polje ni prisotno. [6, 12]

Osnova naˇcela ekvivalence je enakost vztrajnostne in (pasivne) gravitacijske mase, kar imenujemo ˇsibka razliˇcica naˇcela ekvivalence. Polkrepka razliˇcica naˇcela ekvivalence trdi, da so zakoni fizike, z izjemo zakonov za gravitacijo, enaki v prosto padajoˇcem in v majhnem, nevrteˇcem inercialnem opazovalnem sistemu. Polkrepka razliˇcica vsebuje ˇsibko naˇcelo ekvivalence. [13]

Prikaˇzimo naˇcelo ekvivalence ˇse na primeru, ko je naˇs sistem popolnoma zaprta vesoljska raketa. Tedaj

• z nobeno eksperimentalno metodo ne moremo razloˇciti, ali naˇsa raketa prosto pada v Zemljinem homogenem gravitacijskem polju ali se raketa giblje premo enakomerno (ali miruje) zunaj vpliva gravitacijskega polja oziroma daleˇc stran od Zemlje in vseh ostalih nebesnih teles. Fizikalni zakoni so v vseh primerih ekvivalentni. Obˇcutimo brezteˇznost.

• z nobeno eksperimentalno metodo ne moremo razloˇciti, ali naˇsa raketa miruje na povrˇsju Zemlje ali se giblje pospeˇseno s pospeˇskom g. Fizikalni zakoni so v obeh primerih ekvivalentni. Obˇcutimo tako imenovano teˇzo oziroma pritisk tal.

[6, 11, 12]

Plimske sile

Naˇcelo ekvivalence velja za majhne sisteme. Torej, dokler je opazovalec v dovolj majhnem sistemu, ne more z nobeno eksperimentalno metodo razloˇciti, ali prosto pada v homoge- nem gravitacijskem polju ali se giblje enakomerno (ali miruje) v odsotnosti gravitacijskega polja. Toda takoj ko je sistem dovolj velik, lahko opazovalec na podlagi plimskih sil ugo- tovi, da prosto pada v gravitacijskem polju. Dokler je po celotnem sistemu gravitacijska sila konstanta, velja naˇcelo ekvivalence. Ko je sistem dovolj velik, pa gravitacijska sila ni konstantna, saj je odvisna od razdalje F = mg(r). Drugaˇce povedano, s pribliˇzevanjem izviru se silnice gravitacijskega polja gostijo. Zaradi tega opazovalec izmeri razliˇcne sile v razliˇcnih toˇckah telesa. Na primer, na razseˇzno telo deluje v neki toˇcki ˇcim veˇcja sila, tem bliˇzje je ta toˇcka izviru in obratno; ˇcim dlje je toˇcka telesa oddaljena od srediˇsˇca izvira, tem manjˇsa je sila na to toˇcko. Rezultanta sil vseh toˇck tega telesa poskuˇsa telo raztegniti v smeri silnic (tj. v smeri delovanja gravitacijske sile) in skrˇciti v preˇcni smeri.

Takˇsnim silam reˇcemo plimske sile. V primeru Zemlje in Sonca plimske sile izdajo, da Zemlja

”prosto pada“ proti Soncu. Plimske sile se pojavijo, ker je Zemlja dovolj velik opazovalni sistem, da je gravitacijska sila Sonca in Lune razliˇcna na razliˇcnih mestih, kar je vzrok plime in oseke na Zemlji. [5]

3.3 Gravitacijsko polje

Newtonova gravitacijska teorija govori o delovanju sile na daljavo. O delovanju gravita- cijske sile na daljavo je razmiˇsljal ˇze Newton, ki pa se mu je takˇsno delovanje zdelo preveˇc skrivnostno. Predlagal je, da se interakcija med telesoma prenaˇsa po materialnem mediju, s ˇcimer se je pribliˇzal modernemu pogledu na gravitacijo. Takˇsen pogled ima prednost, saj nas pripelje do gravitacijskega polja, ki je osrednji pojem teorije relativnosti. [4]

Znanstveniki, ki so ˇziveli v Newtonovem ˇcasu, so kljub nenavadnemu delovanju vseeno sprejeli silo na daljavo. Ta trend sta prva obrnila in ovrgla neposredno delovanje sile na daljavo Michael Faraday in James Clerk Maxwell, s preuˇcevanjem elektromagnetnih pojavov. Faradayeve risbe polj in Maxwellovi matematiˇcni opisi polj so zaˇcetki uporabe polj v fiziki. Magnet, ki privlaˇci kos ˇzeleza, ne vpliva nanj skozi prazen prostor, ampak po Faradayu v okoliˇskem prostoru ustvari

”nekaj fizikalno realnega“, imenovanega magnetno polje, ki vpliva na kos ˇzeleza, da se priˇce gibati proti magnetu. Podobno je tudi Einstein obravnaval gravitacijo. Vpeljal je gravitacijsko polje s konˇcno hitrostjo ˇsirjenja; vpliv preko polja se ne more ˇsiriti trenutno, paˇc pa najveˇc s svetlobno hitrostjo. Izviri gravita- cijskega polja so mase oziroma energije. Einstein je vpeljal tudi enaˇcbe, tako imenovane Einsteinove enaˇcbe polja, ki povezujejo gravitacijsko polje in njegove izvire (mase). [4, 11]

Dandanes se vse temeljne interakcije na daljavo obravnavajo kot polja, saj teorija polj podpira zakon o ohranitvi energije in gibalne koliˇcine. Moderna fizika se z razlago, da gravitacijska sila deluje na daljavo, ne zadovolji veˇc. V sploˇsni teoriji relativnosti masa v prostoru povzroˇci

”nekaj fizikalno realnega“, ˇcemur reˇcemo gravitacijsko polje, ki vpliva na mase, s katerimi je v stiku. Analogno si lahko predstavljamo elektriˇcni naboj, ki pov- zroˇci elektriˇcno polje, in magnet, ki je izvir magnetnega polja. Vsa polja so fizikalno realne koliˇcine in jih lahko merimo. Razlika je le, da je gravitacijsko polje kar prostor sam s svojo dinamiko in tako prostor postane fizikalna koliˇcina, podobno kot elektriˇcno in magnetno polje. [4, 6]

Na elektriˇcno nabit delec e, ki se znajde v elektriˇcnem polju E, zaˇ~ cne delovati elektriˇcna sila F~_e v smeri silnic elektriˇcnega polja

F~_e =e ~E. (18)

Za delec z maso m, ki se zaradi vpliva elektriˇcne sile giblje enakomerno pospeˇseno s pospeˇskom~a, uporabimo drugi Newtonov zakon in zapiˇsemo

F~_e =m~a. (19)

Izenaˇcimo (18) in (19) in dobimo

~a= e m

E.~ (20)

Vidimo, da je pospeˇsek delca odvisen od dveh lastnosti telesa: naboja in (inercialne) mase. Oglejmo si ˇse, od ˇcesa je odvisen pospeˇsek v Zemljinem gravitacijskem polju~g. Na telo, ki se znajde v gravitacijskem polju ~g, priˇcne delovati gravitacijska sila F~_g v smeri silnic gravitacijskega polja (torej proti srediˇsˇcu Zemlje)

F~_g =m_G~g. (21)

Za telo, ki se giblje pod vplivom sile F~_g, lahko zapiˇsemo drugi Newtonov zakon

F~g =mI~a. (22)

V enaˇcbi (21) nastopa gravitacijska, v enaˇcbi (22) pa inercialna masa telesa. Enaˇcbi izenaˇcimo in dobimo

~a= m_I

m_G~g. (23)

Velja enakost gravitacijske in inercialne mase (m_G = m_I). Vidimo, da ima gravitacijsko polje, v nasprotju z elektriˇcnim in magnetnim poljem, lastnost, da telesa, ki se gibljejo le pod vplivom gravitacijskega polja, obˇcutijo pospeˇsek, ki ni odvisen od mase ali ostalih lastnosti telesa, ampak le od lastnosti prostora. Na primer prosti pad kladiva in peresa (v brezzraˇcnem prostoru) je popolnoma enak. [4, 11]

Sodoben odgovor na vpraˇsanje, zakaj kamen, ki ga spustimo z neke viˇsine, pade na tla, ni, ker ga privlaˇci Zemlja. Moderna fizika razloˇzi, da je Zemljin vpliv na kamen posre- den, preko gravitacijskega polja, ki ga povzroˇca. Gravitacijsko polje pa je kar prostor sam.

3.4 Prostor-ˇ cas

V klasiˇcni fiziki se prostor in ˇcas obravnavata loˇceno. Prostor je trirazseˇzen, ˇcas pa teˇce neodvisno - je absoluten. V teoriji relativnosti ni veˇc tako. ˇCas ni le zunanji parameter, ampak je zajet v dodatni, ˇcetrti komponenti. Prostor obravnavamo kot ˇstirirazseˇzen in ga imenujemo ˇcetverni prostor, kot ga je poimenoval Hermann Minkowski, ki je prvi ma- tematiˇcno vpeljal ˇstirirazseˇzni prostor.

V sploˇsni teoriji relativnosti je gravitacijsko polje tesno povezano s prostorom in ˇcasom in ˇce ga ˇzelimo opisati, moramo poznati strukturo prostora-ˇcasa. Do 19. stoletja se je uporabljal Newtonov opis prostora in ˇcasa. Ta opis ni popolnoma pravilen, je pa ustrezen za pojave, ki jih sreˇcujemo in poznamo iz vsakdanjega ˇzivljenja, saj pravilno opiˇse pojave za telesa s hitrostmi, ki so mnogo manjˇse od svetlobne hitrosti. Pravo strukturo prostora- ˇcasa je v teoriji relativnosti prvi opisal Einstein z vpeljavo ˇstirirazseˇznega prostora, ki ga imenujemo prostor-ˇcas.

Newtonova prostor in ˇcas vsebujeta dve loˇceni geometrij: trirazseˇzno Evklidsko geometrijo za prostor in enorazseˇzno geometrijo za ˇcas. Relativistiˇcni prostor-ˇcas pa vsebuje eno ˇstirirazseˇzno geometrijo, ki prepleta prostor in ˇcas. Vsaka geometrija je definirana z razdaljo (metriko). Razdalja je zelo pomemben pojem, saj ima enako vrednost ne glede na koordinatni sistem oziroma reˇcemo, da je invariantna za vsako koordinatno transformacijo.

Newtonov prostor in ˇcas imata dve loˇceni razdalji, Einsteinov prostor-ˇcas pa ima eno razdaljo.

Newtonov prostor in ˇcas Einsteinov prostor-ˇcas prostorni interval

dl² =dx²+dy²+dz² interval prostor-ˇcas

ˇcasovni interval −ds² =−c²dt²+dx²+dy²+dz² dt

Ce se izvir v koordinatnem sistemu giblje s hitrostjoˇ v vzdolˇz osi x, so edine moˇzne transformacije, ki razdaljo obdrˇzijo invariantno, poleg trivialne transformacije in rotacije okoli osi:

• za Newtonov prostor in ˇcas: Galilejeve transformacije,

• za relativistiˇcni prostor-ˇcas: Lorentzove transformacije.

[4]

3.4.1 Matematiˇcni opis trirazseˇznega in ˇstirirazseˇznega prostora

V trirazseˇznem prostoru je toˇcka doloˇcena s tremi koordinatami (x, y, z), v ˇstirirazseˇznem prostoru pa toˇcka dobi obliko (ct, x, y, z). Toˇcki se razlikujeta le v ˇcasovni komponenti, ki jo po navadi zapiˇsemo na prvem mestu, in sicer kot ˇcast, pomnoˇzen s svetlobno hitrostjo c. Takˇsen dogovor je sprejet, ker ima produkt hitrosti in ˇcasactenoto meter, kar se sklada z ostalimi krajevnimi koordinatami, ki imajo prav tako enoto meter.

Trirazseˇzni prostor si lahko preprosto predstavljamo, ˇstirirazseˇznega pa ne. Vseeno se raˇcunsko prostora kaj dosti ne razlikujeta. V obeh prostorih je na primer mnoˇzenje vektorja s skalarjem ter seˇstevanje in odˇstevanje vektorjev enako definirano:

• vektor pomnoˇzimo s skalarjem tako, da vsako od njegovih komponent pomnoˇzimo s skalarjem,

• vektorja seˇstejemo/odˇstejemo tako, da seˇstejemo/odˇstejemo ustrezne komponente.

V trirazseˇznem in ˇstirirazseˇznem prostoru pa se razlikuje definicija skalarnega produkta.

Skalarni produkt v trirazseˇznem prostoru je med vektorjema (a1, a2, a3) in (b1, b2, b3) de- finiran

a¹b¹+a²b²+a³b³, (24) v ˇstirirazseˇznem prostoru pa je skalarni produkt med vektorjema (a₀, a₁, a₂, a₃) in (b₀, b₁, b₂, b₃) definiran

−a⁰b⁰+a¹b¹+a²b²+a³b³. (25) [8]

Podrobneje si oglejmo trirazseˇzni in ˇstirirazseˇzni prostor.

Trirazseˇzni prostor

V trirazseˇznem prostoru toˇcki priredimo usmerjeno daljico, ki je doloˇcena s koordinatnim izhodiˇsˇcem in toˇcko. Usmerjeno daljico poimenujemo krajevni vektor, ki ga zapiˇsemo r= (x, y, z). Vektor med toˇckama T₁(x₁, y₁, z₁) in T₂(x₂, y₂, z₂) oznaˇcimo z r₁₂ (Slika 1) in ga zapiˇsemo

r₁₂ =r₂−r₁ = (x₂−x₁, y₂−y₁, z₂−z₁). (26)

Slika 1: Krajevna vektorja r₁ inr₂ ter vektor r₁₂ med toˇckama T₁ in T₂.

Ce ˇˇ zelimo izraˇcunati razdaljo med toˇckama T₁ inT₂, izraˇcunamo kar dolˇzino vektorjar₁₂, ki jo oznaˇcimo z r. Dolˇzina vektorja je definirana kot skalarni produkt vektorja samega s seboj pod korenom

r=√

r₁₂·r₁₂. (27)

Skalarni produkt vektorjar₁₂ (26) samega s seboj je po definiciji (24)

r₁₂·r₁₂= (x₂ −x₁)²+ (y₂ −y₁)²+ (z₂−z₁)². (28) Dolˇzina vektorjar₁₂ je tako

r=p

(x₂ −x₁)²+ (y₂−y₁)²+ (z₂−z₁)². (29) Zaradi boljˇse preglednosti se pogosto uporablja kar kvadrat razdalje med toˇckamaT1(x1, y1, z1) inT₂(x₂, y₂, z₂), ki je

r² = (x₂−x₁)²+ (y₂−y₁)²+ (z₂−z₁)². (30)

Ce je razlika med krajevnima vektorjema infinitezimalno majhnaˇ

r₂−r₁ =dr, (31)

kvadrat razdalje zapiˇsemo kot

dr² =dx²+dy²+dz². (32) [8]

Stirirazseˇˇ zni prostor

V ˇstirirazseˇznem prostoru ne govorimo veˇc o toˇckah, ampak o dogodkih. Dogodek je doloˇcen s tremi krajevnimi koordinatami, ki definirajo lego dogodka, in s ˇcasom, ki defi- nira, kdaj se je dogodek zgodil. Dogodku priredimo ˇstirirazseˇzni vektor oziroma vektor ˇ

cetverec

r₁ = (ct, x₁, y₁, z₁). (33)

Razmik med ˇcetvercema r₁ inr₂ zapiˇsemo

r₁₂=r₂−r₁ = (ct₂−ct₁, x₂−x₁, y₂−y₁, z₂ −z₁). (34) Ce sta dogodka blizu skupaj, zapiˇsemoˇ

dr = (cdt, dx, dy, dz). (35)

Razdaljo med dogodkoma doloˇcimo s korenom skalarnega produkta dveh ˇcetvercev. Za- radi preglednosti bomo v nadaljevanju pisali kvadrat razmika med dogodkoma. Kva- drat razmika med dogodkoma dr² ima podobne znaˇcilnosti kot kvadrat razdalje med toˇckama, vendar lastnosti iz trirazseˇznega prostora ne moremo kar posploˇsiti na lastno- sti ˇstirirazseˇznega, saj se na primer definicija skalarnega produkta v prostorih razlikuje.

Skalarni produkt ˇcetverca r12 s samim seboj je po definiciji (25)

r₁₂·r₁₂=−c²(t₂−t₁)²+ (x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²+ (z₂−z₁)². (36) Kvadrat razmika za dogodka, ki sta se zgodila blizu skupaj, tako zapiˇsemo kot

dr² =−c²dt²+dx²+dy² +dz². (37) [4, 6, 8, 13]

Primerjava trirazseˇznega in ˇstirirazseˇznega prostora

trirazseˇzni prostor ˇstirirazseˇzni prostor

toˇcka dogodek

(x, y, z) (ct, x, y, z)

razdalja razmik

krajevni vektor vektor ˇcetverec r = (x, y, z) r= (ct, x, y, z)

kvadrat razdalje med toˇckama kvadrat razmika med dogodkoma dr² =dx²+dy²+dz² dr² =−c²dt²+dx²+dy²+dz²

3.4.2 Tenzorji v prostoru-ˇcasu

V posebni in sploˇsni teoriji relativnosti je metriˇcni tenzor pomembna koliˇcina, saj lahko z njim opiˇsemo lastnosti prostora. Tudi izvir gravitacijskega polja je tenzor, ki ga imenu- jemo napetostni tenzor. Napetostni tenzor sestavljajo polna energija, gibalna koliˇcina in trirazseˇzni napetostni tenzor. Gravitacijsko polje in njegove izvire povezujejo Einsteinove enaˇcbe.

Prostor brez masnih teles imenujemo raven, prostor, v katerih so masna telesa, pa ukrivljen prostor. Metriˇcni tenzor za raven in ukrivljen prostor je razliˇcen. Nanj vpliva porazdelitev mas (energij) v prostoru. Zapiˇsimo

x⁰ ≡ct x¹ ≡x x² ≡y x³ ≡z .

Invarianto razdalje (37) v ravnem prostoru lahko zapiˇsemo z metriˇcnim tenzorjem

ds² =η_µνdx^µdx^ν. (38)

Za raven prostor metriˇcni tenzor zapiˇsemo z matriko

η_µν =













η00 η01 η02 η03

η₁₀ η₁₁ η₀₂ η₁₃ η₂₀ η₂₁ η₂₂ η₂₃ η₃₀ η₃₁ η₃₂ η₃₃













=













−1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1













. (39)

Elementi matrike so

η₀₀=−1 in

η_µν =

( 1 ˇceµ=ν 0 ˇceµ6=ν

Metriˇcni tenzor (39) definira prostor brez masnih teles. Takˇsnemu prostoru reˇcemo tudi prostor Minkowskega.

Za opis ukrivljenega prostora zamenjamo konstantni Minkowski tenzor η_µν s simetriˇcnim tenzorjemg_µν, ki je funkcija prostora in ˇcasa

η_µν →g_µν. (40)

Tenzor g_µν lahko zapiˇsemo kot vsoto tenzorja za raven prostor η_µν in tenzorja h_µν

g_µν =η_µν+h_µν(r, t), (41)

pri ˇcemer elementi tenzorja h_µν merijo odmik od tenzorja ravnega prostora.

Invarianto razdalje (37) v ukrivljenem prostoru zapiˇsemo

ds² =g_µνdx^µdx^ν. (42)

[4, 6]

3.5 Opis gibanja toˇ ckastega telesa v prostoru-ˇ casu

Pojave v prostoru-ˇcasu opisujemo v okviru opazovalnega sistema, ki ga sestavljata koor- dinatni sistem in ura. ˇCe koordinatni sistem miruje ali se giblje enakomerno, govorimo o nepospeˇsenem oziroma inercialnem opazovalnem sistemu. ˇCe se koordinatni sistem giblje pospeˇseno, pravimo, da je neinercialen. [6]

Telo se giblje v prostoru-ˇcasu, ki ga opiˇsemo v ravni ali ukrivljeni geometriji. ˇZe ravnega ˇstirirazseˇznega prostora-ˇcasa si ne moremo predstavljati, kaj ˇsele ukrivljenega. Lahko pa raziskujemo pot, po kateri se predmet giblje skozi (ukrivljen) prostor-ˇcas. Opis gibanja telesa poveˇzemo z geometrijo prostora-ˇcasa. [12]

Loˇcimo lastni in koordinatni ˇcasovni razmik.

• Lastni ˇcasovni razmik dτ je ˇcasovni razmik med dogodkoma, ki se zgodita v enaki toˇcki, izmeri pa ga opazovalec ali ura v lastnem sistemu, ki se giblje skupaj z opa- zovalnim sistemom (telesom).

• Koordinatni ˇcasovni razmik med bliˇznjima dogodkoma dt meri opazovalec, ki opa- zuje gibanje telesa, z dvema merilnima napravama, ki mirujeta v inercialnem sis- temu.

Koordinatni ˇcasovni razmik se z lastnim ˇcasovnim razmikom razlikuje za koeficient γ

dt =γdτ, (43)

pri ˇcemer je koeficient γ odvisen od hitrosti v, s katero se giblje opazovalni sistem

γ = 1

q 1− ^v_c²2

. (44)

Izraz (43) torej lahko zapiˇsemo

dt = 1 q

1−^v_c2²

dτ. (45)

[6, 8, 13]

V poglavju 3.4.1 smo nakazali, kako dobimo kvadrat razmika dr² (37). Obiˇcajno za kva- drat razmika med dogodkoma uporabljamo oznakods². Za poljuben inercialni opazovalni sistem velja, da je kvadrat razmika dveh bliˇznjih dogodkov invarianten, kar pomeni, da se pri prehodu iz enega koordinatnega sistema v drugega ne spremeni

ds² =−c²dt²+dx²+dy²+dz² =−c²dt⁰²+dx⁰²+dy⁰²+dz⁰² =ds⁰². (46) Opiˇsimo sedaj gibanje toˇckastega telesa v inercialnem opazovalnem sistemu. Potreben pogoj za ustrezen opis opazovalnega sistema je, da je koordinatni sistem dovolj oddaljen od masivnih teles, ki ustvarjajo moˇcno gravitacijsko polje, saj ima dovolj veliko gravitacijsko polje vpliv na opazovalni sistem in ta vpliv moramo upoˇstevati. Za laˇzje razumevanje in veˇcjo preglednost bomo gibanje toˇckastega telesa v inercialnem opazovalnem sistemu opisali v dveh razseˇznostih. Privzeli bomo, da dy= 0 in dz = 0 ter kvadrat razmika (37) zapisali kot

ds² =−c²dt²+dx². (47)

Na desni strani enaˇcbe (47) izpostavimodt² in dobimo zvezo

ds² =dt²(−c²+ dx²

dt²). (48)

Odvod poti po ˇcasu je ravno koordinatna hitrost v_x =dx/dt

ds² =dt²(−c²+v_x²). (49) Sedaj na desni strani enaˇcbe izpostavimo −c²

ds² =−c²dt²(1− v_x²

c²) (50)

in izrazimodt²

dt² =− 1 1−^v_c2²

ds²

c² . (51)

Primerjajmo (51) in (45) in rezultat je enakost dτ² = −ds²

c² . (52)

Za gibanje toˇckastega telesa v inercialnem sistemu tako velja

c²dτ² =−ds² =c²dt²−dx². (53) Ugotovimo, da je lastni ˇcasdτ sorazmeren z invarianto ds².

3.5.1 Geodetka

Najkrajˇso pot skozi prostor-ˇcas, po kateri se giblje opazovalec skupaj s telesom, imenu- jemo geodetka. Za geodetko velja, da je razdalja med dogodkoma najkrajˇsa. Prav tako je za telo, ki se giblje po geodetki, ˇcas potovanja v lastnem sistemu oziroma lastni ˇcasdτ najkrajˇsi. Zapisali bomo enaˇcbo za gibanje po geodetki v ravnem in ukrivljenem prostoru.

V ravnem prostoru velja enakost (53), ki jo lahko zapiˇsemo v obliki

∆τ =

√−∆s

c (54)

.

Za ∆s vstavimo (47) in dobimo

∆τ =

√c²∆t²−∆x²

c =

r

∆t²− 1

c²∆x². (55)

Enaˇcba velja le za infinitezimalno majhen odsek, za katerega je geodetska krivulja ravna ˇ

crta. Na daljˇsem odseku v ukrivljenem prostoru pa je geodetska krivulja kriva. Razda- ljo med dogodkoma sedaj dobimo tako, da pot razdelimo na zelo majhne odseke in jih seˇstejemo - uporabimo integriranje

∆τ = Z B

A

dτ. (56)

Ker pojav opisujemo v krivem prostoru-ˇcasu, moramo posameznim ˇclenom pripisati ustre- zne elemente metriˇcnega tenzorjag_µν (41). Lastni ˇcas (55) tako zapiˇsemo kot

dτ = r

−g₀₀dt²−g₁₁ 1

c²dx². (57)

Zapiˇsemo ˇse dt= (∂t/∂τ)dτ in dx= (∂x/∂τ)dτ in dobimo izraz

∆τ = Z B

A

r

−g₀₀(∂t

∂τ)² −g₁₁1 c²(∂x

∂τ)² dτ. (58)

Na Zemlji se telesa gibljejo z majhnimi hitrostmi v primerjavi s svetlobno hitrostjo, Ze- mljino gravitacijsko polje pa je ˇsibko v primerjavi z gravitacijskim poljem ˇcrne luknje, zato si bomo najprej ogledali geodetske krivulje v limiti majhnih hitrosti in ˇsibkega polja.

Naˇsa izkuˇsnja je, da vsi opazovalci izmerijo enak ˇcas (t=τ). Izraz (58) se tako poenostavi

Oglejmo si najprej geodetsko krivuljo v ravnem prostoru, kjer sta g₀₀ = −1 in g₁₁ = 1.

Izraz (59) se tako poenostavi

∆τ = Z B

A

r 1− v_x²

c² dt. (60)

Kot smo ˇze omenili, za geodetko velja, da je razdalja med dogodkoma najkrajˇsa, zato mora veljati

∆τ = ekstrem, (61)

iz ˇcesar sledi, da je odvod funkcije pod korenom enak niˇc d

dt(1− v_x²

c²) = 0. (62)

Ker sta 1 inc² konstanti, ostane enaˇcba

−dv_x²

dt = 0. (63)

Reˇsitev enaˇcbe (63) je

vx· dv_x

dt = 0, (64)

iz ˇcesar sledi, da je hitrost v smeri x enaka niˇc

v_x = 0 (65)

ali da je odvod hitrosti po ˇcasu (pospeˇsek v smeri x) enak niˇc dv_x

dt =ax = 0. (66)

Pokazali smo, da geodetka v ravnem prostoru ustreza bodisi mirovanju bodisi enakomer- nemu gibanju. V ravnem prostoru je geodetka kar premica. Po Einsteinovi teoriji na telo ne deluje nobena sila, ˇce se giblje po geodetki. Dovolj majhen sistem, ki se giblje po geodetki, je v brezteˇznem stanju. Takˇsna sistema sta vesoljska postaja, ki kroˇzi oziroma prosto pada proti Zemlji, in letalo, ki se giblje po paraboli.

Poglejmo ˇse, kakˇsno je gibanje toˇckastega sistema v ukrivljenem prostoru, ki je ekviva- lentno gibanju telesa v neinercialnem opazovalnem sistemu oziroma v homogenem gravi- tacijskem polju. Elementa metriˇcnega tenzorja (41) g00 ing11 nista veˇc konstanti, ampak postaneta funkciji, odvisni od x. Zvezo (59) zapiˇsemo

∆τ = Z B

A

r

−g₀₀(x)−g₁₁(x)1

c²v_x² dt. (67)

Recimo, da sta funkciji

g₀₀(x) =−1 + 2gx

c² , (68)

g11(x) =

1− 2gx c²

−1

. (69)

Funkciji g_oo(x) in g₁₁(x) vstavimo v zvezo (67) in upoˇstevamo gibanje v limiti v c.

Dobimo

∆τ = Z B

A

p1−gx−v_x² dt. (70) Ponovno upoˇstevamo (61) in dobimo

d

dt(1−gx−v²_x) = 0 (71)

−gdx

dt − dv²_x

dt = 0 (72)

gv_x=−v_xdvx

dt (73)

a_x=−g (74)

Vidimo, da geodetka v ukrivljenem prostoru ustreza pospeˇsenemu gibanju pod vplivom gravitacijskega pospeˇska, pri ˇcemer smo upoˇstevali, da je os x usmerjena pravokotno na povrˇsje Zemlje in kaˇze navpiˇcno navzgor. Primera takˇsnih gibanj na Zemlji sta prosti pad in poˇsevni met.

[6, 12]

Radialno gibanje toˇckastega telesa

Omenili smo ˇze metriˇcni tenzorh_µν, katerega elementi merijo odmik od tenzorja ravnega prostoraη_µν. Izpeljimo komponento h₀₀, s ˇcimer bomo dobili komponento g₀₀ za statiˇcno gravitacijsko polje. V izhodiˇsˇce postavimo krogelno simetriˇcno telo. Zaradi simetrije velja hµµ =hµµ(r), kjer jer razdalja od koordinatnega izhodiˇsˇca. Upoˇstevamo (39) in (41) ter zapiˇsemo komponentig₀₀ in g₁₁

g₀₀=η₀₀+h₀₀(r) =−1 +h₀₀(r) (75)

g₁₁=η₁₁+h₁₁(r) = 1 +h₁₁(r). (76) Vstavimog₀₀ing₁₁v izraz za geodetsko krivuljo (59), upoˇstevamo gibanje v limitiv c, zaradi ˇcesar lahko nekatere ˇclene zanemarimo. Dobimo

∆τ = Z B

A

r

1−h₀₀(r)− 1

c²(v_x²+v_y²+v_z²)dt, (77) pri ˇcemer upoˇstevamo ˇseyinzsmer za hitrosti. Ponovno velja, da je razdalja med dogod- koma najkrajˇsa, zaradi ˇcesar mora veljati (61). Reˇsitev dobimo, ˇce integrand, v naˇsem primeru korenska funkcija, ki jo oznaˇcimo z L, zadoˇsˇca Euler-Lagrangeevim enaˇcbam.

Euler-Lagrangeeva enaˇcba za koordinato x je

∂L

∂x − d dt

∂L

∂v_x = 0, (78)

podobni pa sta ˇse enaˇcbi za koordinati y in z. Izpiˇsimo prvi ˇclen enaˇcbe (78) v limiti ˇsibkega poljah_µµ(r)η_µµ, kjer velja L= 1. Dobimo

∂L

∂x =−1

2L⁻¹dh00(r) dr

∂r

∂x =−1 2

dh00(r) dr

∂r

∂x. (79)

Izpiˇsimo ˇse drugi ˇclen enaˇcbe (78) d

dt

∂L

∂vx

= d dt

1

2L⁻¹2v_x

c² =−L⁻¹ dv_x

c²dt =−a_x

c². (80)

Prvi (79) in drugi ˇclen (80) vstavimo nazaj v enaˇcbo (78) in izpostavimoa_x. Za koordinato x pospeˇska a dobimo

a_x = 1

2c²dh₀₀(r) dr

∂r

∂x. (81)

Podobno naredimo ˇse za koordinati a_y in a_z in dobimo, da je pospeˇsek

~a = (a_x, a_y, a_z) = c² 2

dh₀₀(r)

dr r. (82)

Zapiˇsimo ˇse zvezo iz Newtonove mehanike m~a=−GmM

r² r. (83)

Izraza (82) in (83) primerjamo

dh₀₀(r)

dr =−2 c²

GM

r² (84)

in dobimo

h₀₀(r) = 2GM

c²r . (85)

Upoˇstevamo (75) in dobimo, da je

g₀₀(r) = −1 + 2GM

c²r . (86)

Za produkt g₀₀(r)g₁₁(r) izberemo vrednost iz posebne teorije relativnosti [13]

g₀₀(r)g₁₁(r) =−1. (87)

Tako dobimo ˇse

g11(r) =

1− 2GM c²r

−1

. (88)

Za radialno gibanje toˇckastega telesa v bliˇzini krogelno simetriˇcnega telesa z maso M in s srediˇsˇcem v izhodiˇsˇcu torej velja, da je kvadrat loˇcnega elementa

c²dτ² =g₀₀(r)c²dt²+g₁₁(r)dr². (89) Kvadrat razmika je tako v ˇsibkem gravitacijskem polju (npr. v gravitacijskem polju Zemlje)

−ds² =c²dτ² =

1− 2GM c²r

c²dt²− 1 1− ^2GM_c2r

!

dr². (90)

V ukrivljenem prostoru je geodetska krivulja lahko parabola, elipsa ali hiperbola. Primeri takˇsnih gibanj so kroˇzenje in gibanje po elipsi ali hiperboli, okoli zvezde, planeta ali ˇcrne luknje.

3.6 Schwarzschildova geometrija prostora-ˇ casa

V posebni teoriji relativnosti prostor obravnavamo kot raven prostor, v sploˇsni teoriji relativnosti pa prostor postane ukrivljen. V bliˇzini masivnega telesa (na primer Zemlje, Sonca ali ˇcrne luknje) se metrika prostora spremeni. V nadaljevanju bomo spoznali Sch- warzschildovo geometrijo prostora, s katero lahko opiˇsemo prostor-ˇcas tudi v okolici ˇcrne luknje.

Karl Schwarzschild je bil nemˇski astronom. Rodil se je leta 1873. Njegov pomemben pri- spevek je odkritje toˇcne reˇsitve Einsteinovih enaˇcb polja za krogelna, nevrteˇca se telesa brez naboja (ˇcrne luknje). Reˇsitev je izdal enakega leta, kot je Einstein izdal sploˇsno teorijo relativnosti (1915). Schwarzschild je elegantno uporabil krogelne koordinate in dobil toˇcno reˇsitev, medtem ko je Einstein upoˇsteval pravokotne koordinate in dobil le pribliˇzno reˇsitev. Schwarzschild se je reˇsitve domislil na ruski fronti med drugo svetovno vojno. Poslal jo je Einsteinu, ki ni priˇcakoval, da lahko kdo pride do reˇsitve na tako pre- prost naˇcin. Schwarzschild je pokazal, da lahko gravitacijsko polje zvezde postane tako moˇcno, da ga niti svetloba ne more zapustiti. Torej je dokazal teoretiˇcni obstoj ˇcrnih lukenj. Schwarzschild je umrl leto po iznajdbi enaˇcb zaradi bolezni, ki jo je dobil na ruski fronti. [14, 15]

Slika 2: Nemˇski astronom Karl Schwarzschild [14].

Da pridemo do Schwarzschildove reˇsitve Einsteinovih enaˇcb, uporabimo Schwarzschildove koordinate in Schwarzschildovo metriko. Iz Schwarzschildove reˇsitve lahko nadalje izpe- ljemo Schwarzschildov radij, ki je pravzaprav velikost dogodkovnega horizonta nevrteˇce se ˇcrne luknje brez elektriˇcnega naboja.

3.6.1 Schwarzschilldove koordinate

Za opis gibanja delca v bliˇzini krogelno simetriˇcnega telesa z veliko masoM in s srediˇsˇcem v izhodiˇsˇcu bomo uporabili krogelne koordinate oziroma tako imenovane Schwarzschil- dove koordinate. Spomnimo se, da toˇcko v trirazseˇznem sfernem koordinatnem sistemu doloˇcajo tri koordinate

• razdalja toˇcke od izhodiˇsˇca (r),

• polarni kot ϑ, ki lahko zavzame vrednost med 0 inπ,

• azimutni kot ϕ, ki je definiran med 0 in 2π.

V krogelnih koordinatah mora biti oblika kvadrata razdalje (37)

−ds² =−A(r)dt²+B(r)(dr² +r²dϑ²+r²sin²ϑdϕ²) +C(r)dr², (91) pri ˇcemer so A(r), B(r) in C(r) funkcije.

3.6.2 Schwarzschildova reˇsitev

Toˇcno reˇsitev Einsteinove enaˇcbe gravitacijskega polja podaja tako imenovana Schwarz- schildova reˇsitev

−ds² =c²dτ² =

1− 2GM c²r

c²dt²− 1 1− ^2GM_c2r

!

dr²−r²dϑ²−r²sinϑ²dϕ². (92) Enaˇcba opiˇse gravitacijsko polje, ki obdaja sferiˇcno, simetriˇcno in mirujoˇco maso brez naboja. [4]

3.6.3 Schwarzschildova metrika Schwarzschildova metrika je

g_µν =















−(1− ^2GM_c2r ) 0 0 0 0 ₁₋2GM¹

c2r

0 0

0 0 r² 0

0 0 0 r²sin²ϑ















. (93)

Clenaˇ g₀₀ = 1−(2GM/c²r) in g₁₁ = 1/(1−2GM/c²r) smo v poglavju 3.5.1 izpeljali iz predpostavke, da dobimo v limiti ˇsibkega polja sferno simetriˇcnega izvira klasiˇcno gravi- tacijsko polje. Schwarzschild pokaˇze, da reˇsitev velja zag₀₀ing₁₁sploˇsno. ˇClenag₂₂ =r² in g₃₃ = r²sin²ϑ sta diagonalna elementa metriˇcnega tenzorja, zapisanega v krogelnih koordinatah. [6]

3.6.4 Schwarzschildov radij Oznaˇcimo

r_s= 2GM

c² . (94)

Tedaj lahko enaˇcbo (92) zapiˇsemo c²dτ² =

1− rs

r

c²dt²− 1

1− ^r_r^s

dr²−r²dϑ²−r²sinϑ²dϕ². (95) Oglejmo si, kaj se zgodi z reˇsitvijo, ˇce v enaˇcbo vstavimor =r_s. V tem primeru je ˇclen

g₀₀ = 1− r_s r = 0, ˇclen

g₁₁= 1

1− ^r_r^s → ∞

pa konvergira. Vrednost rs (94) imenujemo Schwarzschildov radij in je mejni radij ˇcrne luknje. [6]

Oglejmo si klasiˇcno izpeljavo Schwarzschildovega radija. V mejnem primeru, tik nad horizontom ˇcrne luknje, je ubeˇzna hitrost enaka svetlobni hitrosti, torej se teoretiˇcno telo giblje s svetlobno hitrostjo in ima kinetiˇcno energijo E_kin = ¹₂mc². Potencialna energija telesa v gravitacijskem polju ˇcrne luknje jeE_p =−GM m/r. V mejnem primeru je skupna energija telesa niˇc, kar izrazimo

Ekin+Epot = 0, (96)

zapiˇsemo

E_kin =−E_pot. (97)

Vstavimo izraza za kinetiˇcno in potencialno energijo 1

2mv² = GmM

r , (98)

izpostavimo r in dobimo izraz za Schwarzschildov radij r_s =r = 2GM

c² . (99)

Kljub temu da se rezultat klasiˇcne izpeljave Schwarzschildovega radija ujema z relativi- stiˇcnim, izpeljava ni pravilna, saj smo uporabili klasiˇcni izraz za kinetiˇcno energijo.

[6, 13]