Žiga Gradišar DINAMIČNA ODVISNOST NEKLASIČNIH EFEKTOV KVANTNE PREPLETENOSTI

(1)

UNIVERZA V LJUBLJANI

FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO ODDELEK ZA FIZIKO

Računalniška fizika

Žiga Gradišar

DINAMIČNA ODVISNOST NEKLASIČNIH EFEKTOV KVANTNE PREPLETENOSTI

Magistrsko delo

MENTOR: doc. dr. Martin Horvat

Ljubljana, 2021

(2)

(3)

Zahvala

Hvala vsem, ki smo mi pomagali, verjeli vame in mi stali ob strani. Družini, prija- teljem, mentorju in Meti.

(4)

(5)

Dinamična odvisnost neklasičnih efektov kvantne prepletenosti Izvleček

Kvantno prepletenost in njen klasičnim analog, to je t.i. klasična separabilnost, bomo obravnavali v dinamičnemu sistemu dveh sklopljenih perturbiranih mačjih preslikav.

Dinamiko klasičnega sistema opazujemo s pomočjo časovnega razvoja verjetnostne gostote na klasičnem faznem prostoru. Za študij kvantno-klasične korespondence je omenjeni klasični sistem ustrezno kvantiziran in kvantna dinamika je preko Wi- gnerjevih funkcij predstavljena v obliki časovnega razvoja kvaziverjetnostnih gostot na klasičnem faznem prostoru. Za doseganje optimalne korespondence med kvantno in klasično različico bo začetno stanje na faznem prostoru enako Wignerjevi funkciji koherentnega stanja. Za funkcije na faznem prostoru, specifično za klasično verjetnostno gostoto in Wignerjevo funkcijo kvantnega sistema, uvedemo entropijo separabilnosti, ki je v primeru Wignerjeve funkcije enostavno povezana z entropijo kvantne prepletenosti. Kot rezultate bomo predstavili podobnosti in razlike med časovnim razvojem entropije separabilnost klasičnega in kvantnega sistema pri raz- ličnih dinamičnih parametrih.

Ključne besede: prepletenost, separabilnost, Wignerjeva funkcija, torus, kvantizacija, entropija, kvantna mehanika, mačja preslikava, lokalizacija

(6)

(7)

Non-classical Effects of Quantum Entanglement and Their Dependence on Dynamics

Abstract

Quantum entanglement and its classical analogue - classical separability - will be treated in a dynamical system consisting of two coupled perturbed cat maps. The dynamics of the classical system will be observed through time evolution of the probability density on the classical phase space. To study the quantum-classical correspondence the classical dynamical system is quantized and the stemming quantum dynamics are presented as time-evolving quasi-probabilities on the classical phase space via Wigner functions. To reach optimal quantum-classical correspondence the initial state on phase space is equal to Wigner function of a coherent state. For phase space functions, specifically for classical probability density and Wigner function, we introduce separability entropy, which is in the case of a Wigner function related simply to quantum entanglement entropy. The results will be presented as the similarities and the differences between time-evolved separability entropies of a classical and quantum systems under variable dynamical parameters.

Keywords: entanglement, separability, Wigner function, torus, quantiza- tion, entropy, quantum mechanics, cat map, localization

(8)

(9)

Kazalo

1 Uvod . . . 11

2 Teoretični uvod . . . 15

2.1 O Wignerjevi funkciji v ravnini . . . 15

2.2 Klasični sistem . . . 17

2.2.1 Izbira točk na faznem prostoru . . . 20

2.3 Kvantni sistem . . . 21

2.3.1 Na kratko o kvantni mehaniki na torusu . . . 22

2.3.2 Projekcija koherentnega stanja na torus . . . 22

2.3.3 Klasično začetno stanje . . . 23

2.3.4 Wignerjeva fukcija na torusu . . . 25

2.3.5 Wignerjeva funkcija za celotni fazni prostor . . . 26

2.3.6 Kvantizacija klasične dinamike . . . 26

2.4 O entropijah prepletnosti/separabilnosti . . . 28

2.4.1 Entropija prepletenosti -E(|ψ⟩) . . . 28

2.4.2 Entropija prepletenosti operatorskega prostora -E(ρˆ) . . . 30

2.4.3 Entropija klasične separabilnosti -E(ρ) . . . 31

2.4.4 Wignerjeva entropija separabilnosti -E(F_W) . . . 31

2.5 Ehrenfestov in Heisenbergov čas . . . 32

2.5.1 Ehrenfestov čas -t_E . . . 32

2.5.2 Heisenbergov čas - t_H . . . 33

2.6 Statistika lastnih faz kvantnega propagatorja . . . 35

2.6.1 Preverjanje izbrane dinamike . . . 36

2.7 Dinamična lokalizacija . . . 38

2.7.1 IPR . . . 38

3 Rezultati . . . 41

3.1 Hitra ponovitev namena magistrske naloge . . . 41

3.2 Empirične lastnosti sistema . . . 42

3.3 Dinamika na klasičnem in kvantnem faznem prostoru . . . 42

3.4 Časovna odvisnost entropij separabilnosti . . . 45

3.4.1 Entropija klasične separabilnosti za PWP . . . 45

3.4.2 Entropija klasične separabilnosti za UGP, D = 1 . . . 45

3.4.3 Entropija klasične separabilnosti za UGP, D = 2, 10 . . . 47

3.4.4 Entropija prepletenosti - EE . . . 48

3.4.5 Saturacija EE . . . 49

3.4.6 Empirična ocena za nivoje saturacije EE . . . 50

4 Zaključek . . . 53

(10)

Literatura . . . 55

(11)

Poglavje 1 Uvod

Ko so ob koncu 19. stoletja fiziki svetovnega slovesa zatrjevali, da so preobrnili in zabeležili vsak fizikalni kamen, se je neki Max Planck spotaknil ob skalo, imenovano kvantna mehanika. Novoodkrita fizikalna teorija, fokusirana na manjše od majhnega, je svetu predstavila celo zakladnico nepredstavljivih fenomenov. Morda najslavnejša je ravno kvantna prepletenost, ki skupaj z nelokalnostjo kvantne mehanike buri ne samo fizikalne, temveč vse radovedne duhove še danes.

Čeprav je tak pristop malo iz (fizikalne) mode, lahko kvantno mehaniko do razumne mere aproksimiramo s prefinjeno uporabo klasične fizike. Tako se ne smemo čuditi, da so se bistre glave začele spraševati, ali se da zgraditi klasični ekvivalent kvantne prepletenosti. Odgovor je pritrdilen, vendar bo klasična prepletenost v tem delu naslovljena s klasično separabilnostjo, da bosta koncepta jasno ločena.

To delo bo primerjalo klasično separabilnost in kvantno prepletenost. Imeli bomo dva dvodelna dinamična sistema, enega klasičnega in enega kvantnega. Oba dvodelna sistema bosta imela fazni prostor, sestavljen iz dveh torusov. Izbiri je botrovalo predvsem dejstvo, da imamo za preučevanje takih sistemov na voljo že dolgo uve- ljavljene postopke, ki nam bodo v marsičem olajšali delo. Specifično, namesto da bi reševali diferencialne enačbe, katerih rešitve bi nam definirale dinamiko, bomo za diskretne korake v času uporabljali dobro znano dinamično preslikavo, ki je definirana ravno na torusu. Preslikavi bomo dodali perturbacijo in sklopitev med deloma dvodelnega sistema, preko katere se bo lahko prepletenost oziroma separabilnost tvorila. Poleg bomo tega uvedli nekaj različnih realizacij klasične propagacije glede na izbiro točk na faznem prostoru.

Da bi bilo klasično seperabilnost in kvantno prepletenost sploh smiselno primerjati, moramo postopati previdno. Če kot klasični dinamični sistem izberemo klasično preslikavo, moramo za kvantni dinamični sistem izbrati kvantno preslikavo, ki je konceptualno kar se da blizu klasične. Zato bomo uvedli postopek, imenovan kvantizacija, ki bo klasično preslikavo transformiral v smiselno kvantno.

Izkušen bralec bo opazil, da smo tudi kvantnemu sistemu pripisali fazni prostor.

To v okviru običajnega formalizma kvantne mehanike nima smisla, vendar z nekaj kompromisi lahko to dosežemo, in sicer z uporabo tako imenovane Wignerjeve funkcije. Ta nam pomaga valovno funkcijo prikazati na kvantnem faznem prostoru in jo primerjati s klasično verjetnostno gostoto, ki bo definirana na klasičnem faznem prostoru. Ponovno, da bo primerjava smiselna, potrebujemo tako za valovno funkcijo kot za klasično verjetnostno gostoto primerljivo začetno stanje. Odgovor se skriva v koherentnih stanjih valovne funkcije, ki po obliki močno spominjajo na normalno

(12)

Poglavje 1. Uvod

porazdeljene klasične verjetnostne gostote.

Da bi lahko opazili razlike ali podobnosti med kvantno prepletenostjo in klasično separabilnostjo, jima moramo pripisati mero, po kateri ju bomo primerjali. To bomo naredili tako, da bomo uvedli in izvrednotili entropijo prepletenosti in entropijo separabilnosti.

Ko bomo naredili vse opisano, bomo z rahlim spreminjanjem dinamike lahko za naš specifičen primer dvodelnega sistema preverili, ali je klasična separabilnost lahko primerljiva s kvantno prepletenostjo kljub njenim neklasičnim efektom.

Naslednji del uvoda je namenjen grobemu opisu magistrske naloge po delih.

Magistrska naloga je sestavljena iz dveh poglavij: na kratko opisane teorije, ki sem jo potreboval za nalogo, in rezultatov numeričnih izračunov.

Teoretični uvod se začne s podpoglavjem z opisom standardne Wignerjeve funkcije, definirane na ravnini [1]. To pa ni edina kvantna porazdelitvena funkcija v faznem prostoru, poznamo še druge, kot so npr. Husimijeva [2], ali pa Glauberjeva in Kirkwoodova [3]. Vsaka služi svojemu specifičnemu namenu, mi pa smo si izbrali Wignerjevo zato, ker je konceptualno najlažja in splošno uporabna. Lahek uvod ponuja [4], malo težjega pa [5].

V naslednjem podpoglavju razložimo, da je računska praksa kvantne mehanike, ker smo si za topologijo dinamičnega sistema izbrali torus, rahlo drugačna, kot smo je vajeni. Dobro razlago najdemo v [6, 7]. Poleg tega moramo najti novo definicijo za koherentno stanje na tej drugačni geometriji, dobro pomoč najdemo v [8]. Drugačna računska pravila kvantne mehanike narekujejo tudi drugačno konstrukcijo Wigner- jeve funkcije, ki postane diskretna, vendar ohrani najpomembnejše lastnosti, kot to pokažejo v [9, 10].

Podpoglavje za tem je o dinamičnemu sistemu, ki je bil izbran kot dvodelen in sklo- pljen. Ideje za preučevanje takih sistemov niso nove [11], za nas pa so celo ključne, saj bomo merili prepletenost oziroma separabilnost teh dveh podsistemov. Bralec si o prepletenosti lahko osveži spomin v poglobljenem članku [12]. Ker želimo kvantni sistem izbrati tako, da imamo na voljo tudi klasični ekvivalent, začnemo pravzaprav s klasičnim sistemom in ga nato kvantiziramo; eden prvih člankov o tem je [13].

Sami si bomo za specifični dinamični sistem izbrali mačjo preslikavo [14, 15] (“cat map” v angleščini), ki ji bomo dodali perturbacijo in sklopitev med podsistemoma.

Pri tem se bomo zgledovali po [16] in podobno [17], saj oba članka predstavljata dobro uhojeno pot, ki ji bomo vsaj na začetku sledili.

V naslednjem delu teoretičnega uvoda se bomo posvetili različnim načinom merjenja prepletenosti oziroma separabilnosti preko entropije: za kvantni sistem na tri načine [18, 19, 20], medtem ko bo klasična separabilnost merjena samo na en način [18]. Spet se bomo posvetili Wignerjevi funkciji, saj med drugim s sabo prinaša zelo intuitiven način iskanja korespondence med klasično in kvantnimi entropijami.

Tukaj tudi uvedemo rahlo spremenjeno obliko omenjene funkcije, ki nam bo olajšala primerjavo s klasično porazdelitveno funkcijo.

Nekaj strani bomo posvetili tudi razmisleku o časovnih skalah v našem sistemu.

Ne samo, da imamo z numeričnimi simulacijami računski čas vedno omejen, tudi kvantno-klasična korespondenca in z njo povezani efekti so časovno omejeni. Opi- sali bomo dve pomembni časovni skali: Ehrenfestovo in Heisenbergovo [21, 22], ki nam bosta pomagali umestiti časovno odvisne lastnosti sistema v pravilen kontekst.

Ker si želimo preveriti, ali za naš izbrani dinamični sistem velja, da ima tako ime-

(13)

novane generične spektralne lastnosti, se v predzadnjem podpoglavju posvetimo definiciji generičnih dinamičnih sistemov, s pomočjo teorije naključnih matrik, ki jo verjetno najbolje opiše učbenik [23].

V zadnjem podpoglavju pa se posvetimo še slavnemu kvantnemu efektu - dinamični lokalizaciji lastnih stanj. Prvi je lokalizacijo v trdni snovi opisal Anderson, pregleden članek o tem je [24]. Tam je lokalizacijo generiral nered v opazovanem materialu, pri nas pa bo nered generiral dinamični sistem. Ker imamo razumen sum, da lokalizacija vpliva na entropijo separabilnosti sistema, jo je dobro poznati in prepoznati;

veliko lahko bralec o njej izve v [25, 26].

Naslednje poglavje obravnava rezultate. Zaradi dolgega teoretičnega uvoda bralca na začetku spomnimo o naših ciljih.

Nato navedemo nekaj empirično spoznanih lastnosti izbranih dinamičnih sistemov, navedemo recimo izračunane Lyapunove eksponente in podobno.

Naslednji del je bolj zanimiv, ker primerjamo Wignerjevo funkcijo in verjetnostno gostoto na faznem prostoru. Opazne bodo začetne podobnosti in končne razlike, ki pa ne bodo nastale samo zaradi kvantnih efektov. Predvsem pa se bomo prepričali, da smo problem primerjanja separabilnosti in prepletenosti zastavili dobro, vsaj po izgledu faznih prostorov.

Predzadnjo podpoglavje prinese glavne rezultate numeričnih izračunov: časovno odvisnost entropij separabilnosti in prepletenosti za različne dinamične sisteme. Tukaj se zadržimo dlje, da komentiramo zanimive rezultate.

Zadnje podpoglavje je posvečeno iskanju enostavne, a smiselne empirične ocene za numerično izračunane saturacijske nivoje entropije prepletenosti, kjer želimo upo- števati morebiten pojav dinamične lokalizacije.

(14)

Poglavje 1. Uvod

(15)

Poglavje 2

Teoretični uvod

2.1 O Wignerjevi funkciji v ravnini

Prednost uporabe faznega prostora v kvantni mehaniki leži ne le v možnosti primer- jave kvantnih sistemov s klasičnimi, ampak tudi v poenostavitvi izračunov zaradi transformacij opazljivk iz operatorjev v funkcije. Tako lahko privzeti način računa- nja pričakovane vrednosti ⟨Aˆ (t)⟩ z ozirom na gostotni operatorρˆ

⟨Aˆ (t)⟩= Tr{ρˆAˆ (t)} (2.1) nadomestimo s klasičnim izračunom v ravnem prostoru preko funkcije porazdelitve faznega prostora F(q, p, t) kot [27]

⟨Aˆ (t)⟩=

∫︂

dq

∫︂

dp A(t)F(q, p, t), (2.2) kjer jeA(t) zdaj skalarna funkcija, pripadajoča operatorju Aˆ (t), q in ppa predstavljata pozicijo in moment na ravnini. Toda ker operatorja qˆin pˆne komutirata

[qˆ, pˆ] =qˆpˆ−pˆqˆ =iℏ, (2.3) izbira kvantne funkcije porazdelitve faznega prostoraF(q, p, t) in ustrezne skalarne funkcije A(t) ni enolična, temveč terja odločitev.

Za razumevanje izbireF(q, p, t) inA(t)bo morda lažje, če problem pogledamo še z druge, klasične strani. Klasične količine moramo, če jih želimo obravnavati v okviru kvantne mehanike, “kvantizirati”. S tem mislimo, da jih iz klasične fizike prenesemo v formalizem kvantne fizike tako, da jim čimbolj zvesto ohranimo prvoten fizikalen pomen.

Naravno je domnevati, da klasično opazljivko položajaqprevedemo v operator kotqˆ, opazljivko momentappa vpˆ. Težava nastane, ko želimo napisati splošno opazljivko, recimo A = A(q, p) = qp. Če se odločimo za kvantizacijo, ki nam da simetričen rezultat vq inp kot

qp kvantizacija

−−−−−−→ 1

2(qˆpˆ +pˆqˆ), (2.4) smo se odločili za tako imenovana Weylova pravila oziroma Weylovo ureditev [3].

Z odločitvijo o kvantizaciji nam avtomatično pripada tudi fazna porazdelitvena funkcija F(q, p, t), ki je asociirana z ρˆ. Bolj natančno, Weylovi ureditvi pripada

(16)

Poglavje 2. Teoretični uvod

F_W(q, p, t), ki ji bomo rekli kar Wignerjeva funkcija.

Da bi lahko Wignerjevo funkcijo zapisali eksplicitno, bomo uvedli malo bolj abstrak- ten trik v obliki tako imenovanega točkovnega operatorja ωˆ(q, p) [28], ki da

2πℏ A(q, p, t) = Tr{Aˆ (t)ωˆ(q, p)}. (2.5) Tako imamo na voljo idejo, kako narediti “obratno kvantizacijo”. Za točkovni operator vzamemo nekakšno razširjeno definicijo δfunkcije [3], vendar najprej spomnimo, kaj je mišljeno z δ funkcijami,

∫︂

dpe^i(x−x^′^)p

2π =δ(x−x^′),

∫︂

dxe^i(p−p^′^)x

2π =δ(p−p^′). (2.6) Kot je razvidno, sta zgornji dve funkciji enaki 1 zgolj, če x = x^′ oziroma p = p^′. Imejmo to lastnost v mislih in razširimo tak koncept v že omenjeni točkovni operator wˆ kot [29]

wˆ (q, p) = “δ([qˆ, pˆ]−[q, p])” = 1 (2πℏ)²

∫︂

dξ

∫︂

dη e^ℏⁱ^ξ(q^ˆ−q)+^ℏⁱ^η(p^ˆ−p). (2.7) Tako definirani točkovni operator prevede splošni operator Aˆ (t) v smiselno skalarno funkcijo A(t), pri čemer implicitno upošteva Weylovo ureditev.

Iz tega naravno sledi definicija Wignerjeve funkcije kot “skalarne verzije” gostotnega operatorja

FW(q, p, t) = Tr{ρˆ(t)wˆ (q, p)}. (2.8) Zgornjo enačbo (2.8) lahko s pomočjo znanih relacij

Tr{ρˆωˆ}(q, p) =

∫︂

dq^′

∫︂

dq^′′ ⟨q^′|ρˆ|q^′′⟩ ⟨q^′′|ωˆ(q, p)|q^′⟩, (2.9) eîξq^ˆ+iηp^ˆ =eîηp^ˆ/2eîξq^êîηp^ˆ/2, e⁻ⁱ^ℏ^ηp^ˆ|q⟩=|q−η⟩, (2.10) prevedemo na znano obliko Wignerjeve funkcije

F_W(q, p, t) = 1 2πℏ

∫︂

dη⟨q−η/2|ρˆ|q+η/2⟩e⁻^ℏⁱ^ηp, (2.11) kjer smo uvedli bazo dobrih pozicij {|q⟩, q ∈ R}. Navedimo še nekaj pomembnih lastnosti Wignerjeve funkcije [30]. Zanjo rečemo, da je:

• realna,

• da pravilne marginalne porazdelitve:

∫︂

dp F_W(q, p, t) =⟨q|ρˆ|q⟩,

∫︂

dq F_W(q, p, t) =⟨p|ρˆ|p⟩ ,

• ni strogo pozitivna, zatorej jo lahko obravnavamo zgolj kot kvaziverjetnost in ne kot pravo, klasično porazdelitveno funkcijo; to je direktna posledica Heisenbergovega načela nedoločenosti.

Morda še enkrat pojasnimo, zakaj sploh potrebujemo Wignerjevo funkcijo. Če že- limo primerjati klasično in kvantno fiziko, je to morda najbolj naravno narediti tako, da primerjamo klasično porazdelitveno funkcijo in Wigerjevo funkcijo. Lahko jima namreč podamo enakovredno začetno obliko in jima izberemo enakovreden di- namični sistem, nato pa lahko spremljamo podobnosti in razlike, ki bodo nastale.

Tukaj imamo z enakovrednostjo v mislih, da imamo poleg klasične dinamike in za- četnega stanja na voljo tudi njuni kvantizirani enačici.

(17)

2.2. Klasični sistem

2.2 Klasični sistem

Ujemanje med klasično in kvantno fiziko - temu bomo rekli kvantno-klasična korespondenca - bomo preverjali ne na evklidski ravnini, marveč na torusu. Klasični fazni prostor X bo tako sestavljen kot

X =Q×P ={x= (q, p)∈T²}, (2.12) kjer staQ koordinatni in P momentni fazni prostor na torusu T²

Q={q∈T}, P ={p∈T}, (2.13) T= [0,1), T² = [0,1)×[0,1). (2.14) Klasično verjetnostno gostoto na faznem prostoru, poimenujmo jo ρ(x, t), lahko propagiramo direktno preko reševanja Liouvillove enačbe [31]

ρ̇ (x, t) = ρ̇ ([q, p], t) =Lρ([q, p]), (2.15) kjer je L Liouville-ov operator

L= ∂H

∂q

∂

∂p− ∂H

∂p

∂

∂q, (2.16)

H pa hamiltonka dinamičnega sistema. Namesto tega bo naša dinamika generirana časovno diskretno s pomočjo preslikaveϕ(x)kot¹

ρ(x, t+ 1) =ρ(ϕ⁻¹(x), t). (2.17) kjer bot predstavljal časovne korake, torej bo začetno stanje klasične gostote ozna- čeno kot ρ(x,0).

Za dinamični sistem smo si izbrali preslikavo, ker kljub zelo preprosti uporabi omo- goča odlično izhodišče za razumevanje in razlago fizikalnih fenomenov; pri nas bo to razumevanje naraščanja entropije prepletenosti v dvodelnem sistemu, a več o tem kasneje.

Za naš primer smo si izbrali klasično mačjo preslikavo (angleško “cat map”), nič kaj zapleten, a zelo poučen linearni avtomorfizem na torusu

ϕ(x) = G·x, (2.18)

kjer je G matrika mačje preslikave

⎡

⎣ qt+1

p_t+1

⎤

⎦=G

⎡

⎣ qt

p_t

⎤

⎦=

⎡

⎣

g11 g12

g₂₁ g₂₂

⎤

⎦

⎡

⎣ qt

p_t

⎤

⎦ mod 1. (2.19)

Pri tem smo uvedli oznake q(t) = qt in p(t) = pt. Od tukaj naprej bomo preslikavo ϕ naslavljali kar z njeno matriko G, da zmanjšamo število simbolov v uporabi.

Elementi Gso cela števila g_ij ∈Z zaradi zagotavljanja zveznosti preslikave, pogoja TrG > 2 in detG = 1 pa zagotavljata hiperboličnost in ohranjanje faznega prostora.

1Pri tej definiciji propagacije smo implicitno upoštevali, da je preslikavaϕ(x)simplektična, torej da se volumen faznega prostora ohranja.

(18)

Preslikavo G nam podaja generirajoča funkcija S_G(q_t+1, q_t), kjer je S_G akcija traj- ektorije enega časovnega koraka od (q_t, p_t) do(q_t+1, p_t+1), z lastnostjo

pt=−∂SG/∂qt, pt+1 =∂SG/∂qt+1.

Ker je naša preslikava že podana, smo S_G definirali, saj jo bomo potrebovali pri kvantizaciji mačje preslikave, omenjamo pa jo zdaj, ker je konceptualno klasična količina.

Akcija mačje preslikave je na evklidski ravnini definirana kot S_G(q_t+1, q_t) = 1

2g₁₂(g₁₁q_t²−2q_tq_t+1+g₂₂q_t+1² −2g₁₂q_t+1). (2.20) Navadni mačji preslikavi bomo dodali gladko nelinearno periodično perturbacijo, podano kar v matrični obliki kot ϵ [32]

S_ϵ = K

4π² cos(2π[q_t+δ]), (2.21)

G˜ =G+G◦ϵ, (2.22)

ϵ=

⎡

⎣

0

−_2π^K sin(2π[q_t+δ])

⎤

⎦, (2.23)

kjer jeS_ϵakcija perturbacije,G˜ pa je nova, perturbirana preslikava v matrični obliki.

Nova akcija preslikave je sedaj

S_G˜(qt+1, qt) =SG(qt+1, qt) +Sϵ(qt) = 1

2g₁₂(g11q_t²−2qtqt+1+g22q²_t+1−2g12qt+1) + K

4π² cos(2π[qt+δ]). (2.24) Perturbacija bo odvisna le od q_t, spreminjali pa ji bomo lahko skalarni parameter K, ki bo določal amplitudo perturbacije, in skalarni parameterδ, ki bo določal fazo perturbacije.

Perturbacija bo dodana ne samo, ker bomo imeli tako na voljo skalarna dinamična parametra, ki ju je enostavno spreminjati, ampak tudi, ker neperturbirana mačja preslikava s svojo periodičnostjo s sabo prinese lastnosti, ki jih za naš dinamični sistem ne bi želeli.

Anosov teorem nam pove, da sta G˜ in Gtopološko ekvivalentna,² pod pogojem

||G◦ϵ||= max

(︃|∂(G◦ϵ)/∂x·x|

|x|

)︃

<1−λ, x= (q, p), (2.25) kjer je λ najmanjša lastna vrednost matrike G. Za izračun mejne vrednosti za K, ki izpolnjuje pogoj (2.25) (izbira δ za ta pogoj ni pomembna) si kar izberimo [17]

G=

⎡

⎣ 2 1 3 2

⎤

⎦, λ_G = 2±√

3, (2.26)

(2.27)

2S tem imamo v mislih, da preslikava kljub perturbaciji ostane hiperbolična na celotnem faznem prostoru.

(19)

2.2. Klasični sistem

Po (2.25) tako dobimo

||G◦ϵ||=√

5K <√

3−1, (2.28)

kar nam da pogoj

K_mejni<

√3−1

√5 ≈0.32. (2.29)

Na sliki 2.1 lahko vidimo, da je upoštevanje pogoja (2.29) potrebno, čeprav je kriterij kar strog.

Slika 2.1: Mešan fazni prostor klasičnega dinamičnega sistema pri koeficientu perturbacije dinamičnega sistema K = 6.5, kjer zaradi neupoštevanja Anosovega pogoja K < K_mejni pride do nastanka eliptičnih otokov.

Ker je cilj tega dela preučevati separabilnost dveh sklopljenih sistemov, moramo poleg predstavljenega klasičnega sistema temu priklopiti dodaten, a enakovreden sistem, ki ga poganja primerljiva dinamika. Željen dvodelen sistem tvorimo na naslednji način. Definirajmo fazni prostor

X_Λ=X_A×X_B ={x_Λ= (x_A,x_B)∈T²×T²} (2.30) Celoten dvodelni sistem poimenujemo kot Λ, A in B pa bosta podsistema. Sistem Λ se zapiše v matrični obliki kot

⎡

⎣ q_t+1^A p^A_t+1

⎤

⎦=G_A

⎡

⎣

q_t^A

q^A_t − _2π^K sin(2π[q_t^A+δA]) +κ

⎤

⎦, (2.31)

⎡

⎣ q_t+1^B p^B_t+1

⎤

⎦=G_B

⎡

⎣

q^B_t

q^B_t − _2π^K sin(2π[q_t^B+δB]) +κ

⎤

⎦. (2.32)

Sklopitev med A inB smo uvedli kot

κ=−KC

2π sin(2πq_t^A+ 2πq^B_t ), κ=

⎡

⎣ 0 κ

⎤

⎦, (2.33)

kjer jeκmatrična oblika sklopitve. Razlogi za tako obliko sklopitve so enaki kot pri uvedbi perturbacije (2.23), to je, da mora biti periodična, gladka in nelinearna.

(20)

2.2.1 Izbira točk na faznem prostoru

Zdaj ko smo dobro definirali klasično dinamiko, se moramo posvetiti še izbiri točk na faznem prostoru. To je malo v nasprotju s konceptom klasične fizike, saj je tam točk neskončno veliko, mi pa jih za numerične izračune lahko vedno izberemo zgolj končno število. Ravno zato bomo predstavili dva različna načina izbire točk, posledice izbire pa bomo komentirali v poglavju z rezultati.

1. način - propagacija po točkah - PWP

Prvi način bo bolj preprost od dveh, imenovali ga bomo propagacija po točkah (kratica PWP, angleško “point wise propagation”). Začetne fazne točke bodo poseljene ekvidistančno kot

x_Λ = (︃

[Q_A/N, P_A/N],[Q_B/N, P_B/N] )︃

∈T²×T², (2.34) kjer bodo pozicije Q_A, P_A, Q_B, P_B tekle kot 0,1, . . . N −1; N pa bo dimenzija podsistema. Propagacija bo potekala kot

ρ^t_(Q

A,PA),(QB,PB)=ρ⁰ (︃

G^−t([Q_A/N, P_A/N],[Q_B/N, P_B/N]) )︃

, (2.35) kjer smo implicitno uvedli matriko gostote kot

ρ^t=[︁

ρ^t_(Q_A_,P_A_),(Q_B_,P_B₎]︁

(QA,PA),(QB,PB). (2.36) ρ⁰(x) predstavlja analitično funkcijo začetnega stanja, ki bo pri nas normalna porazdelitev.

Tukaj nas ne bo pretirano skrbel problem, da se integral gostote po prostoru ne ohranja čisto natančno, v smislu

∫︂

Λ

ρ⁰(x)dV(x)≈

N⁴

∑︂

i

ρ⁰_i ∆≈

N⁴

∑︂

i

ρ^t_i ∆, (2.37)

∆ = 1/N⁴. 2. način - Ulam-Garlekinova propagacija - UGP

Pri drugem načinu [33] bomo klasični fazni prostor razdelili na mrežo disjunktnih (klasičnih) celic, ki bodo pokrile celoten fazni prostor. Pri vsakem časovnem koraku se bodo rezultati preslikave povprečili po teh celicah. Ideja je uvesti tako imenovani

“coarse graining”, kjer bomo želeli brisati vse podrobnosti pod to celico. Tako se želimo približati mehanizmu kvantnih sistemov, ki tudi ne dopuščajo podrobnosti pod Planckovimi celicami,³ ki bodo na faznem prostoru enako velike kot klasične celice.

Fazni prostor bomo torej razdelili na mrežo N⁴ = N˜ enakih disjunktnih celic kot XΛ=⋃︁

iMi, kjer

M_i =M_[i₁_,i₂_,i₃_,i₄_] =

4

∏︂

k=1

[i_k/N,(i_k+ 1)/N] (2.38)

3Planckova celica je na kvantnem faznem prostoru definirana kot∆q∆p= 2πℏ.

(21)

2.3. Kvantni sistem

predstavlja eno celico faznega prostora označeno z multi-indeksom i = [i₁, i₂, i₃, i₄] iz[0, N −1]⁴.

Fazno porazdelitveno funkcijo ρ bomo uvedli rahlo drugače kot prej, in sicer kot ρ^t(x) =∑︂

i

ρ^t_i χ_i(x), (2.39)

χ_i(x) =

{︄1 : x∈ M_i,

0 : drugače. (2.40)

kjer je ρ^t_i trenutna lokalna gostota na celici M_i, torej ρ^t_i = ρ^t(M_i). Evolucijo po korakih v času bomo izvajali preko spreminjanja lokalnih gostot ρ^t_i. Če definiramo še potrebne integrale

∫︂

M_i

dV(x) =V₀, (2.41)

∫︂

M

χ_i(x)χ_j(x)dV(x) =δ_i,jV₀, (2.42) lahko zapišemo lokalne gostote za nov časovni korak kot

ρ^t+1_i =∑︂

j

ρ^t_j 1 V₀

∫︂

dV(x)χ_i(x)χ_j(G⁻¹(x)). (2.43) Zaradi simplektičnosti preslikave (dV(x) = dV(G(x)) lahko prejšnji integral zapi- šemo v obliki

ρ^t+1_i =∑︂

j

ρ^t_j 1 V0

∫︂

dV(x)χ_i(G(x))χ_j(x). (2.44) oziroma v matrični obliki

ρ^t+1 =M ρ^t, ρ^t= [ρ^t_i]_i, M = [M_i,j]_i,j, (2.45) Mi,j = 1

V₀

∫︂

dV(x)χj(G(x))χi(x). (2.46) Integral M_i,j bo izvrednoten numerično. Potrebno se je odločiti, v koliko točkah na M_i ga bomo vzorčili. Dogovorimo se, da v vsaki celici za vzorčenje izberemo enakomerno razporejenih D⁴ točk.

Za namen magistrske naloge si bomo izbrali tri različne D = 1,2,10. Izkazalo se bo, da je D = 1 bistven drugačen od ostalih dveh, saj pri samo eni točki v celici povprečevanja po celici efektivno ni.

2.3 Kvantni sistem

V tem podpoglavju se bomo posvetili kvantnemu sistemu na torusu, kjer bomo vpeljali osnovni formalizem kvantne mehanike in definirali začetno stanje valovne funkcije, ki bo analogno koherentnemu stanju na ravnini.

Poleg tega bomo potrebovali tudi novo definicijo Wignerjeve funkcije, do sedaj smo jo definirali le na ravnini. Potrebno bo nekaj truda, da jo vpeljemo na novi geometriji torusa T². Le to bomo nato posplošili na celotni fazni prostorT²×T².

Ker smo že definirali klasično dinamiko na torusu, bo zadnji del tega podpoglavja namenjen kvantizaciji te dinamike.

(22)

2.3.1 Na kratko o kvantni mehaniki na torusu

Ker je očitno valovna funkcija na torusuT²periodična tako v pozicijski kot v momentni reprezentaciji, je Planckova konstanta določena s številom dimenzij kot h= 1/N [34]. To omeji Hilbertov prostor stanj H_N na diskretne valovne funkcije z dimenzijo N.

Uvedimo bazo dobre pozicije |Q⟩ ∈ H_N, Q ∈ ZN in bazo dobrega momenta |P⟩ ∈ H_N, P ∈ ZN, kjer ZN = {−[N/2], . . .[(N − 1)/2]}. Bazi bosta periodični kot

|Q+N⟩ = |Q⟩ in |P +N⟩ = |P⟩ . Med bazami momentne in pozicijske repre- zentacije prehajamo preko diskretne Fourierove transformacije

|P⟩= 1

√N

∑︂

Q∈ZN

e^i2πQP/N|Q⟩, |Q⟩= 1

√N

∑︂

P∈ZN

e^−i2πQP/N|P⟩. (2.47) Prav tako so te baze kompletne

∑︂

Q∈ZN

|Q⟩ ⟨Q|= 1, ∑︂

P∈ZN

|P⟩ ⟨P|= 1. (2.48)

Valovno funkcijo bomo razvili po pozicijski bazi

|ψ⟩= ∑︂

Q∈ZN

c_Q|Q⟩, (2.49)

uvedli pa bomo tudi operatorje translacije e^{i2πM Q}^ˆ^/N ine^{−i2πM P}^ˆ^/N z lastnostmi e^{−i2πM P}^ˆ^/N|Q⟩=|Q+M⟩, e^{i2πM Q}^ˆ^/N|P⟩=|P +M⟩, (2.50)

M ∈Z^N, Qˆ|Q⟩=Q|Q⟩, Pˆ|P⟩=P|P⟩. (2.51) Ker bomo potrebovali tudi komutacijsko pravilo za Qˆ, Pˆ, ga zapišemo kot⁴ [35]

“[Qˆ, Pˆ ] =iN/2π”. (2.52)

2.3.2 Projekcija koherentnega stanja na torus

Začetno stanje valovne funkcije bo koherentno. Tako stanje je korespondenčno kla- sični verjetnostni gostoti, ki ima obliko normalne porazdelitve. Drugače povedano, če koherentno stanje prikažemo na faznem prostoru s pomočjo Wignerjeve funkcije, bo ta izgledala praktično enako kot normalno porazdeljena klasična verjetnostna gostota

ρ⁰(x)≈Fkoherentno, t=0

W (x). (2.53)

Vzemimo koherentno stanje na premici Ψx,R ∈L²(R), definirano kot Ψ_x,_R(q) =

(︃ 1 ℏπ

)︃1/4

e^−(1/2^ℏ^)(q−q⁰⁾²^+(ip⁰^q/^ℏ⁾, (2.54)

4Enačba je v narekovajih, ker tako komutacijsko pravilo nima vseh matematičnih lastnosti kanoničnih komutacijskih relacij, kljub temu pa daje pravilno fizikalno intuicijo in bo za nas dovolj dobra.

(23)

2.3. Kvantni sistem

kjer je x = [q₀, p₀] koordinata centra koherentnega stanja na faznem prostoru R². Tako stanje je simetrično v pˆin qˆreprenzentaciji.

Koherentno stanje na torusu Ψx,N ∈ HN bomo dobili s projiciranjem Ψx,R na T² [36]

Ψ_x,N =Pˆ

T²Ψ_x,_R, (2.55)

in sicer tako, da bomo za projektorPˆ

T² vzeli kar navijanje Ψ_x,R okoli torusa kot Ψ_x,N(q) = Ψ_x,N

(︃Q N

)︃

=Pˆ

T²Ψ_x,_R (︃Q

N )︃

=∑︂

ν∈Z

Ψ_x,_R (︃Q

N +ν )︃

=

= (2N)^1/4 e^i2πQp⁰ ∑︂

ν∈Z

e^−(π/N^)(Q−q⁰^N+νN)²e^{i2πN p}⁰^ν,

(2.56)

pri čemer smo upoštevali ℏ = 1/2πN, in diskretizacijo položajev na torusu q = Q/N, Q= 0,1, . . . , N −1.

Če si izberemox= [q₀, p₀] = [M₁/N, M₂/N], M₁, M₂ ∈Z, se vsota v zgornji enačbi (2.56) zapiše kot

∑︂

ν∈Z

e−(πσ/N)(Q−q0N+νN)²e^{i2πN p}⁰^ν =∑︂

ν∈Z

e^−(πσN^)(Q/N−q⁰^+ν)²e^i2πM²^ν =

∑︂

ν∈Z

e^−(πσN^)(Q/N−M¹^/N+ν)². (2.57) Ker bodo členi v vsoti, ki bodo vsebovali faktor ν, pojemali hitreje kot tisti brez, lahko vsoto v približku zapišemo kot

∑︂

ν∈Z

e^−(πσN^)(Q/N−M¹^/N+ν)² ≈e−(πσN)(Q/N−M₁/N)², (2.58) kar nam posledično da

Ψx,N

(︃Q N

)︃

≈Ψx,R

(︃Q N

)︃

, (2.59)

saj vsote po ν ni več potrebno upoštevati. Ker pri vsakem dovolj velikem N velja [q0, p0] ≈ [M1/N, M2/N], koherentno stanje na torusu lahko aproksimiramo kar s stanjem v ravnimi, samo N mora biti dovolj velik.

Tako smo zdaj dobili koherentno valovno funkcijo na torusu, odvisno od parametrov, kot

|ψ⟩_x,N =

N−1

∑︂

j=0

Ψx,N(qj)|Qj⟩, qj =Qj/N, Qj ∈Z^N, (2.60) začetno stanje valovne funkcije na celotnem sistemu, torej na obeh torusih pa bo

|ψ⟩_Λ =|ψ⟩_x

A,N⊗ |ψ⟩_x

B,N. (2.61)

2.3.3 Klasično začetno stanje

Čeprav se nahajamo v podpoglavju, ki obravnava kvantno mehaniko, si bomo tukaj vseeno vzeli prostor za definicijo začetnega stanja klasične verjetnostne gostote, saj smo ravno zaključili z definicijo koherentnega stanja.

(24)

Za analitično začetno stanje ρ⁰(x) na torusu T si bomo izbrali normalno porazdelitev, ki je korespondenčna koherentnemu stanju. Normalna porazdelitev je na ravnini definirana kot

ρ^µ,σ

R (x) = 1

√

2πσ² exp

(︃−(x−µ)² 2σ²

)︃

. (2.62)

To porazdelitev bomo projicirali na torus tako, da jo bomo večkrat navili okoli njega, v smislu

ρ^µ,σ

T (x) = J∑︂

ν∈Z

√ 1

2πσ²exp

(︃−(x−µ+ν)² 2σ²

)︃

, (2.63)

kjer preko J lahko vsilimo željeno normalizacijo.

Ker imamo dva podsistema in za vsak podsistem dve spremenljivki q, p, ki sta obe (na začetku) neodvisno in normalno porazdeljeni, lahko začetno stanje zapišemo kot

ρ⁰(x) =ρ^q

0 A,σ_qA

T (q_A)·ρ^p

0 A,σ_pA

T (p_A)·ρ^q

0 B,σ_qB

T (q_B)·ρ^p

0 B,σ_pB

T (p_B), (2.64) x= [q_A, p_A, q_B, p_B],

kjer so (q⁰_A, p⁰_A, q_B⁰, p⁰_B) =x_center koordinate centra normalnih porazdelitev, σ_q_A, σ_p_A, σ_q_B, σ_p_B pa so standardne deviacije za vsako spremenljivko posebej.

Centerx_center si lahko prosto izberemo, standardne deviacije porazdelitev pa so med seboj povezane, če želimo, da dobro korespondirajo Wignerjevi funkciji koherentnega stanja.

Iz definicije koherentnega stanja vemo, da

σ_q_ˆ_Aσ_p_ˆ_A =ℏ/2, (2.65)

kjer sta σ_q_ˆ_A in σ_p_ˆ_A kvantnomehanski nedoločenosti operatorjev qˆ in pˆ. Zaradi kvantno-klasične korespondence predpostavimo σ_q_ˆ_A = σ_q_A, σ_p_ˆ_A = σ_p_A. Na torusu je ℏ(N) = 1/2πN. Če si izberemo, da je začetna gostotna funkcija podsistema ρ⁰_A simetrična, si izberemo σ_q_A =σ_p_A in posledično

σ_q_Aσ_p_A =ℏ/2 = 1/4πN, (2.66) torej

σ_q_A =σ_p_A =√︁

1/4πN . (2.67)

Analogno si izberemo za podsistem B.

Naša končna oblika analitične porazdelitvene funkcije ρ_Λ bo tako ρ⁰(x) =ρ⁰([q_A, p_A, q_B, p_B]) = J₂ ∑︂

ν1,ν2,ν3,ν4∈Z

exp

(︃−(q_A−q_A⁰ +ν₁)² 2σ²

)︃

exp

(︃−(p_A−p⁰_A+ν₂)² 2σ²

)︃

·

·exp

(︃−(qB−q_B⁰ +ν3)² 2σ²

)︃

exp

(︃−(pB−p⁰_B+ν4)² 2σ²

)︃

, (2.68) kjer je σ =√︁

1/4πN, J2 pa vsili izbrano normalizacijo.

(25)

2.3. Kvantni sistem

2.3.4 Wignerjeva fukcija na torusu

Pogledati si moramo še, kako bomo valovno funkcijo na torusu T² prikazovali s pomočjo Wignerjeve funkcije. Ta bo na torusu diskretna. Sestavljena bo iz mreže, spletene izN×N točk v faznem prostoru, kjer jex_Q,P = [Q/N, P/N]in[Q, P]∈Z²N. Da nam ni potrebno pretirano listati, še enkrat zapišimo Wignerjevo funkcijo

FW(q, p, t) = Tr{ρˆ(t)ωˆ(q, p)}. (2.69) Da zgornjo enačbo prepišemo v diskretno obliko, nadomestimo zvezni wˆ (2.7) z njegovo diskretno različico tako, daδ funkcije podamo v diskretni obliki

∑︂

P∈ZN

eⁱ^2π^N^(Q−Q^′^)P

N =δ_Q,Q^′, ∑︂

Q∈ZN

eⁱ^2π^N^(P^−P^′^)Q

N =δ_P,P^′. (2.70) Torej res, če uporabimo zgornje enačbe, izpeljemo

wˆ (Q, P) = 1 N²

∑︂

Q^′∈ZN

∑︂

P^′∈ZN

eⁱ^2π^N^(Q^ˆ^−Q)Q^′⁺ⁱ^2π^N^(P^ˆ^−P)P^′ = (2.71)

= 1 N²

∑︂

Q^′∈ZN

∑︂

P^′∈ZN

eⁱ^2π^N^(Q^ˆ^−Q)Q^′eⁱ^2π^N^(P^ˆ^−P^)P^′e^iQ^′^P^′^N^π, (2.72)

kjer smo za komutacijska pravila uporabili “[Qˆ, Pˆ ] =i_2π^N” (2.52). S pomočjo diskretne različicewˆ in enačbe (2.69) dobimo željeno diskretno verzijo Wignerjeve funkcije

F_W(Q, P) = Tr{ρˆ ωˆ(Q, P)}= ∑︂

Q^′∈ZN

⟨Q^′| ρˆ(t) ωˆ(Q, P)|Q^′⟩. (2.73)

Če zgornjo enačbo malo preobrnemo, dobimo za čisto stanje [29]

F_W(Q, P) = 1 N

∑︂

Q^′∈ZN

∑︂

L∈ZN

e^−i2πQ^′^P/N δ˜(2L−2Q+Q^′)⟨L+Q^′|ψ⟩ ⟨ψ|L⟩, (2.74) kjer je bila uporabljena t. i. debela δ funkcija kot

δ˜(L) = 1 N

∑︂

K^′∈ZN

e^iπK^′^L/N = 1 N

sin(πL/2)

sin(πL/2N). (2.75) Takšna definicija Wignerjeve funkcije ima pričakovane lastnosti [37]

∑︂

Q∈ZN

W(Q, P) =| ⟨P|ψ⟩ |², ∑︂

P∈ZN

W(Q, P) = | ⟨Q|ψ⟩ |², ∑︂

Q,P∈ZN

W(Q, P) = 1.

(2.76) Zaradi tehničnih razlogov je zgornja izpeljava smiselna zgolj za lihe N [28]. Razši- ritev diskretne Wignerjeve funkcije na sode dimenzije je odlično opisana v [37, 38], vendar je pri tem potrebna razširitev dimenzij kot N →2N.

(26)

2.3.5 Wignerjeva funkcija za celotni fazni prostor

Ker bo naš celotni fazni prostor sestavljen iz dveh torusov XΛ =T²×T², moramo razširiti definicijo Wignerjevo funkcije.

Ker imamo Hilbertov prostor kvantnega sistema sestavljen kot H_Λ = H_A ⊗ H_B, na faznem prostoru, kjer bo Wignerjeva funkcija definirana, pričakujemo produktno stanje Ω_Λ = Ω_A×Ω_B. Za vsak fazni podprostor Ω_A inΩ_B lahko zgradimo Wigner- jevo funkcijo posebej s pomočjo točkovnih operatorjev ωˆ_A in ωˆ_B.

Da lahko zgradimo Wignerjevo funkcijo na celotnem faznem prostoru ΩΛ, potrebujemo “separabilnost” oziroma komutacijo točkovnih faktorjev ωˆ_A in ωˆ_B. To že imamo zagotovljeno, saj operatorji potiska na H_A komutirajo z operatorji potiska na HB, kar je zadosten pogoj [39].

Tako lahko zapišemo, da je točkovni operator za celotni Hilbertov prostor H_Λ

ωˆ_Λ=ωˆ_A⊗ωˆ_B. (2.77)

Wignerjeva funkcija bo tako definirana kot

F_W_Λ = Tr{ρˆ_Λ(wˆ_A⊗wˆ_B)}. (2.78) Za separabilna stanja, ρˆ_Λ=ρˆ_A⊗ρˆ_B, lahko (2.78) poenostavimo v

F_W_Λ = Tr{(ρˆ_A⊗ρˆ_B)(wˆ_A⊗wˆ_B)}= Tr{ρˆ_Awˆ_A}Tr{ρˆ_Bwˆ_B}=F_W_AF_W_B, (2.79) kar močno spominja na začetno klasično stanje ρ^t=0_Λ = ρ^t=0_A ρ^t=0_B . Splošni izračun diskretne F_W_Λ pa sledi naravno iz (2.74) kot

F_W_Λ([Q_A, P_A],[Q_B, P_B]) = 1 N²

∑︂

Q^′_A,Q^′_B,LA,LB∈ZN

e^−i2πQ^′^A^P^A^/Ne^−i2πQ^′^B^P^B^/N·

· δ˜(2LA−2Q_A+Q^′_A) δ˜(2LB−2Q_B+Q^′_B)⟨L_A+Q^′_A, L_B+Q^′_B|ψ_Λ⟩ ⟨ψ_Λ|L_A, L_B⟩, (2.80) kjer je |L_A, L_B⟩=|L_A⟩ ⊗ |L_B⟩,˜(x)δ pa je definirana na (2.75).

2.3.6 Kvantizacija klasične dinamike

Tu bomo kvantizirali preslikavo, ki smo jo uvedli kot klasični dinamični sistem.

Uporabljali bomo tehniko, predstavljeno v [32]. Najprej bomo kvantizirali preslikavo na enem torusu, nato pa bomo kvantizacijo izvedli za preslikavo na faznem prostoru obeh torusov.

Časovno evolucijo valovne funkcije v qˆ reprezentaciji |ψ⟩= ∑︁

QcQ|Q⟩ v kvantnem sistemu na torusu bomo izvajali kot

ψ^t+1 =U^Gψ^t, (2.81)

kjer je ψ = [c_Q]_Q valovna funkcija v vektorski obliki, U = [U^G(Q^′, Q)]_Q^′_,Q pa unitarni propagator v matrični obliki.

Da se dokopljemo do pravilne oblike propagatorja, zapišimo najprej semiklasični propagator za ravnine za klasično akcijo (2.20) S_G(q, q^′)do faze natančno kot [40]

U^G(q^′, q) =

(︃−i∂²S_G(q^′, q) h∂q^′∂q^′

)︃1/2

e^ℏⁱ^S^G^(q^′^,q) (2.82)

(27)

2.3. Kvantni sistem

Tako za ravnine dobimo matrični element propagatorja U^G

R(q^′, q) = (︃ N

ig₁₂ )︃1/2

exp (︃iπN

g₁₂ (g₁₁q²−2qq^′+g₂₂q^′2) )︃

. (2.83)

Ker potrebujemo semiklasični propagator za torus, bomo postopali analogno izde- lavi koherentnega stanja na torusu: propagator za ravnino bomo projicirali na torus tako, da ga bomo navili okoli.

Ker imamo na torusu N diskretnih stanj, si izberemo q = Q/N +m ∈ R, kjer je m, Q ∈ Z. m bo služil preslikavi q nazaj na torus. Tako bo matrični element propagatorja na torusu enak seštevku U_R^G(q^′, q) po vseh možnihm, s primerno normalizacijo [40]

U^G

T (Q^′, Q) = (︃g₁₂

iN

)︃1/2⟨︃

exp (︃ iπ

N g₁₂(g₁₁[Q+mN]²−2Q^′[Q+mN] +g₂₂Q^′2 )︃⟩︃

m

. (2.84) kjer⟨⟩_mpredstavlja povprečenje pom. Na tem mestu omenimo, da zgornji postopek deluje le, če je G oblike [41]

⎡

⎣

liho sodo sodo liho

⎤

⎦ ali

⎡

⎣

sodo liho liho sodo

⎤

⎦, (2.85)

kar pojasni našo izbiro matričnih elementov.

Na žalost je tak propagator periodičen kotU^l=1; posledično ima na voljolrazličnih lastnih vrednosti, kjer je l mnogokrat manjša od N, kar pomeni, da bodo zagotovo nekatere lastne vrednosti degenerirane. Več o tem, zakaj degeneracije ne želimo, je v podpoglavju o statistiki lastnih faz. Na kratko, če ima preslikava degenerirane lastne vrednosti, v luči teorije naključnih matrik propagacijska matrika preslikave nima generičnih spektralnih lastnosti, sami pa bi radi, da naša preslikava take lastnosti lahko ima.

Zato uvedemo perturbacijo, da nam pomaga odpraviti degenerirane lastne vrednosti

“navadne” kvantne mačje preslikave. Propagator perturbacije uvedemo kot

U^ϵ = [U^ϵ(Q^′, Q)]_Q^′_,Q∈_Z_N, (2.86) z matričnimi elementi

U^ϵ(Q^′, Q) = exp(i2πN Sϵ[Q/N]), (2.87) ki je že povprečen po m, S_ϵ pa je akcija perturbacije,⁵ ki smo jo že uvedli, a jo zapišimo še enkrat S_ϵ= _4π^K2 cos(2π[q_t+δ]).

Tako smo dobili naš unitarni perturbirani propagator na torusu U^G,ϵ

T (Q^′, Q) = (︃g12

iN

)︃1/2⟨︃

exp (︃ iπ

N g₁₂(g₁₁[Q+mN]²−2Q^′[Q+mN] +g₂₂Q^′2) )︃⟩︃

m

·exp(i2πN Sϵ(Q/N).

(2.88)

5Kar se tiče kvantizacije, je pomembno, da je bila Sϵ izbrana kot periodična funkcija in kot preprost strig v momentu; podrobnosti o tem so odlično opisane v [32].

(28)

ki ima pokvarjeno periodičnost in tako lastne vrednosti ne bodo degenerirane.

Zdaj lahko končno zapišemo matrične elemente kvantnega propagatorja na torusu za našo specifično izbiro za Gin perturbacijo [16]

U^G,ϵ

T (Q^′, Q) = (︃ 1

iN )︃1/2

exp (︃iπ

N(2Q²−2Q^′Q+ 2Q^′2) +iN Kcos(2π[Q/N +δ]) )︃

, (2.89) kjer smo že opravili povprečenje po m in Q^′, Q∈Z^N.

Z U^G,ϵ

T (Q^′, Q) smo definirali propagator za posamezni Hilbertov podprostor H_A oziroma H_B, naš celotni prostor pa je H_Λ =H_A⊗ H_B. Za konec je torej potrebno še združiti dinamična sistema posameznih torusov.

Valovna funkcija celotnega kvantnega dinamičnega sistema bo dimenzij N², njena časovna propagacija pa bo imela matrično obliko

ψ_Λ^t+1 = (︃

U^G^A^,ϵ

T ⊗U^G^B^,ϵ

T

)︃

C^κ ψ_Λ^t =U^G^A^,G^B^,ϵ,κ

T ψ_Λ^t, (2.90)

kjer so matričnimi elementi propagacijske matrike U^G^A^,G^B^,ϵ,κ

T

U^G^A^,G^B^,ϵ,κ

T (Q^′_A, Q_A, Q^′_B, Q_B) = U^G^A^,ϵ

T (Q^′_A, Q_A) U^G^B^,ϵ

T (Q^′_B, Q_B) C^κ(Q_A, Q_B).

(2.91) Sklopitev med sistemoma A in B je podana z matričnimi elementi C^κ, ki so kore- spondenčni klasični sklopitvi med sistemoma κ, v kvantni sistem pa smo jo uvedli analogno perturbaciji. Njena matrika je C^κ, z matričnimi elementi

C^κ(Q_A, Q_B) = exp

(︃iN K_c 2π cos

(︃2π

N[Q_A+Q_B] )︃)︃

. (2.92)

2.4 O entropijah prepletnosti/separabilnosti

Naš cilj bo primerjati kvantno-klasično korespondenco preko prepletenosti oziroma separabilnosti dvodelnega sistema. To poglavje bo obravnavalo tehnične podrobnosti štirih različnih načinov merjenja te količine preko tako imenovanih entropij prepletenosti oziroma separabilnosti.

Na tem mestu bomo opozorili, da bomo pri kvantnih izračunih operirali s čistimi stanji z lastnostmi ρˆ = |ψ⟩ ⟨ψ|, Tr(ρˆ²) = 1. Razlog je v tem, da bodo izračuni in razumevanje snovi mnogo lažje, hkrati pa osnovna fizika ne bo trpela.

2.4.1 Entropija prepletenosti - E(|ψ⟩)

Naš dinamični sistemΛbo razdeljen na dva ločena delaΛ =A×B. Posledično mora biti razdeljen tudi Hilbertov prostor kot H_Λ=H_A⊗ H_B. Da izmerimo prepletenost med A in B, uvedemo tako imenovano entropijo prepletenosti (kratica EE, angle- ško “Entanglement Entropy”) - E(|ψ⟩_Λ), ki je preprosto von Neumannova entropija reduciranega operatorja gostote [42]

E(|ψ⟩_Λ) = Svon Neumann(ρˆ_A) = −Tr(ρˆ_Alogρˆ_A), (2.93)

(29)

2.4. O entropijah prepletnosti/separabilnosti

kjer je ρˆ_A= Tr_B(ρˆ) =∑︁

n∈H_B⟨n|ρ|n⟩ reducirani gostotni operator. Velja tudi Svon Neumann(ρˆ_A) = Svon Neumann(ρˆ_B), (2.94) dokaz pa lahko najdemo v [43]. Namesto, da bi EE izračunali direktno, se spomnimo, da lahko |ψ⟩_Λ s pomočjo Schmidtove dekompozicije [42] razstavimo na vsoto pro- duktnih stanj iz A inB

|ψ⟩_Λ=

M

∑︂

µ=1

λ_µ|ϕ_µ⟩_A⊗ |χ_µ⟩_B, (2.95) kjer je M ≤min{dimA,dimB}, λ_µ∈R koeficient dekompozicije, vektorji |ϕ_µ⟩_A in

|ϕ_µ⟩_A pa tvorijo bazo za H_A inH_B.

Dekompozicije se bomo v resnici lotili v matrični obliki. Prepišimo |ψ⟩_Λ v matrično obliko kot

Ψ= [Ψ_a,b]_a,b, Ψ_a,b = (⟨a|_A⊗ ⟨b|_B)|ψ⟩_Λ, (2.96) kjer {|a⟩_A} in {|b⟩_B} sestavljajo ortonormirano bazo za H_A in H_B. Tako lahko na Ψopravimo standardni SVD razcep, ki nam da

Ψ=U DV^†, (2.97)

kjer soU ∈C^A×A,D ∈R^A×B,V ∈C^B×B matrike z matričnimi elementi

Ua,µ =⟨a|ϕµ⟩ ∈C, (2.98)

V_b,µ^∗ =⟨b|χ_µ⟩ ∈C, (2.99)

D_µ,ν =λ_µδ_µ,ν ∈R. (2.100)

Ker smo predpostavili ortonormirane baze, sta zgornji matriki unitarni V V^† = 1, U U^†=1,zato lahko zapišemo

ΨΨ^† =U DV^†V D^†U^†=U D²U^†. (2.101) Pokažimo, da je ΨΨ^† le matrika reduciranega gostotnega operatorja ρˆ_A: zapišimo matrični element

(ΨΨ^†)_a,a^′ =∑︂

b

⟨a^′, b|ψ⟩ ⟨ψ|a, b⟩=⟨a^′|Tr_B(|ψ⟩ ⟨ψ|)|a⟩=⟨a|ρˆ_A|a^′⟩. (2.102) Tako dobimo metodo za izračun EE

E(|ψ⟩_Λ) = −Tr(ρˆ_Alogρˆ_A) =−Tr(U D²U^†logU D²U^†) =

=−Tr(D²logD²) =−

M

∑︂

µ=1

λ²_µlogλ²_µ, (2.103) kjer smo upoštevali logU D²U^†=Ulog(D²)U^†.

Pri tem ne smemo pozabiti omeniti, da velja Tr(ρˆ²_Λ) =∑︂

n

λ²_n = 1. (2.104)

Da je seštevek kvadratov Schimdtovih koeficientov enak 1, bomo zahtevali tudi pri drugih entropijah prepletenosti/separabilnosti, tako, da jim bomo vsilili pravilno normalizacijo.