1. Doloˇcite naravno definicijsko obmoˇcje funkcije f(x) = ln(x + 2) + p

(1)

PRIIMEK IME VPISNA ˇSTEVILKA SMER NALOGA TO ˇCKE 1.

2.

3.

4.

SKUPAJ

RA ˇ CUNSKI DEL IZPITA IZ PREDMETA

OSNOVE MATEMATI ˇ CNE ANALIZE

17.9.2007

Toˇckovanje: 25+25+25+25=100

1. Doloˇcite naravno definicijsko obmoˇcje funkcije f(x) = ln(x + 2) + p

1 − x − |x

²

+ x − 2|.

2. (a) Doloˇcite ravnino Π, ki gre skozi toˇcke A(4, 0, 3), B (5, 1, 0) in C(2, 4, 3).

(b) Prezrcalite toˇcko T (2, 1, 0) ˇcez ravnino Π. Koliko je toˇcka T oddaljena od zrcalne slike?

3. Dan je funkcijski predpis

f (x) = e

^x

x

²

Doloˇcite definicijsko obmoˇcje, niˇcle, ekstreme, intervale monotonosti, konveksnosti in konkavnosti funkcije. Raziˇsˇcite obnaˇsanje funkcije na krajiˇsˇcih definicijskega obmoˇcja in funkcijo nariˇsite.

4. Nariˇsite integracijsko obmoˇcje, zamenjajte vrstni red integriranja in izraˇcunajte integral Z

1

0

dx Z

x

x 2

x p

x

²

+ y

²

dy + Z

2

1

dx Z

1

x 2

x p

x

²

+ y

²

dy

1

(2)

REˇSITVE 1. naloga:

Funkcija f(x) je definirana, kadar jex+ 2>0 in 1−x− |x²+x−2| ≥0. Ker jex+ 2>0 zax∈(−2,∞) in ker je 1−x− |x²+x−2| ≥0 zax∈[−3,−1]∪ {1}, je definicijsko obmoˇcje funkcijef(x) enako (−2,−1]∪ {1}.

2. naloga:

(a) Enaˇcbo ravnine Π : 2x+y +z = 11 lahko dobimo na veˇc naˇcinov (npr. s pomoˇcjo meˇsanega produkta [^*r −^*r_A,^*r_B−^*r_A,^*r_C−^*r_A]).

(b) Premicopskozi toˇckoT(2,1,0), ki je pravokotna na ravnino Π, zapiˇsemo v parametriˇcni oblikip:x= 2+2λ, y= 1 +λ, z =λin vstavimo v enaˇcbo ravnine Π. Premica pseka ravnino pri λ= 1, torej v toˇckiP(4,2,1). Zrcalna toˇcka T⁰ ima radij vektorOT^*⁰=OT^* +2T P^*= (6,3,2). Oddaljenost toˇckeT do toˇckeT⁰ je enakakT T^*⁰k= 2√

6.

3. naloga:

Df =R\ {0}, f nima niˇcel , asimptota jey= 0 in limx&0f(x) = limx%0f(x) =∞. Odvodf jef⁰(x) = ^(x−2)e_x3 ^x, lokalni minimumima vx= 2,f(2) = ^e₄², in pada na intervalu (0,2). Drugi odvod jef⁰⁰(x) = ^(x²^−4x+6)e_x4 ^x, torej je funkcija konveksna na celem definicijskem obmoˇcju. Graf funkcije:

-2 0 2 4

1 2 3 4 5 6

e^x x²

4. naloga:

Integracijsko obmoˇcje je trikotnik.

1 2

1

Z1 0

dx Zx

x 2

xp

x²+y²dy+ Z2 1

dx Z1

x 2

xp

x²+y²dy= Z1 0

dy Z2y y

xp

x²+y²dx

= Z1 0

dy

5y²

Z

2y²

√u 2 du=1

3 Z1 0

u³²

¯¯

¯^5y

2

2y²dy=

√125−√ 8 3

y⁴ 4

¯¯

¯¹

0=

√125−√ 8 12 Pri raˇcunanju dvojnega integrala uvedemo novo spremenljivko u=x²+y².

2