PRIIMEK IME VPISNA ˇSTEVILKA SMER NALOGA TO ˇCKE 1.
2.
3.
4.
SKUPAJ
RA ˇ CUNSKI DEL IZPITA IZ PREDMETA
OSNOVE MATEMATI ˇ CNE ANALIZE
28.8.2006
Toˇckovanje: 25+25+25+25=100
1. Naj bo f (x) = x
2in g(x) = x − 1. Poiˇsˇcite vsa realna ˇstevila x, ki zadoˇsˇcajo neenaˇcbi
|(f ◦ g)(x)| < |(g ◦ f )(x)|
2. Obravnavajte sistem za razliˇcne vrednosti a in zapiˇsite njegove reˇsitve
x + y + z = 1
ax + 2y − 2z = 2
x + ay + (2 − a)z = 0
3. Dan je funkcijski predpis
f (x) = (x + 3)x x − 1 .
Doloˇcite definicijsko obmoˇcje, niˇcle, asimptoto, ekstreme, intervale monotonosti, konveksnosti in konkavnosti funkcije. Raziˇsˇcite obnaˇsanje funkcije na krajiˇsˇcih definicijskega obmoˇcja in funkcijo nariˇsite.
4. Nariˇsite integracijsko obmoˇcje, zamenjajte vrstni red in izraˇcunajte integral Z
10
dx Z
1x
p x
x
2+ y
2dy
1
REˇSITVE 1. naloga:
Neenaˇcba|(f◦g)(x)|<|(g◦f)(x)| se prepiˇse v|(x−1)2|<|x2−1|, ki jo reˇsijox∈(0,∞)\ {1}.
2. naloga:
• Ce jeˇ a= 1, sistem nima reˇsitve.
• Ce jeˇ a= 0, ima sistem neskonˇcno reˇsitev oblike
x y z
=
0 1 0
+z
−2 1 1
, z∈R.
• Ce jeˇ a6= 0 ina6= 1, ima sistem natanko eno reˇsitev
x y z
=
2 a−1 a−4 2(a−1)
a−2 2(a−1)
.
3. naloga:
Df = R\ {1}, f ima niˇcli v x = 0 in x = 3 ter asimptoto y = x+ 4. V x = 1 ima f pol, limx&1f(x) = ∞ in limx%1f(x) = −∞. Prvi odvod je f0(x) = (x−3)(x+1)(x−1)2 , lokalni minimum ima v x = 3, lokalni maksimum pa v x=−1 in naraˇsˇca na intervalih (−∞,−1) in (3,∞). Drugi odvod je f00(x) = (x−1)8 3, torej je f konveksna na (1,∞). Graf funkcije:
-6 -4 -2 2 4 6
-20 -10 10 20 30 Hx+3Lx
x-1
4. naloga:
Integracijsko obmoˇcje je trikotnik.
0.2 0.4 0.6 0.8 1
0.2 0.4 0.6 0.8 1
0.2 0.4 0.6 0.8 1
0.2 0.4 0.6 0.8 1
Z1
0
dx Z1
x
p x
x2+y2dy= Z1
0
dy Zy
0
p x
x2+y2dx= Z1
0
dy
y√
Z 2
y
du= Z1
0
u
¯¯
¯y
√2
y dy=. . .=
√2−1 2 Pri raˇcunanju dvojnega integrala uvedemo novo spremenljivko u=p
x2+y2.
2
