PRIIMEK IME VPISNA ˇSTEVILKA SMER NALOGA TO ˇCKE 1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
SKUPAJ
RA ˇ CUNSKI DEL IZPITA IZ PREDMETA
OSNOVE MATEMATI ˇ CNE ANALIZE
20.6.2005
Toˇckovanje: 15+10+20+5+20+10+20=100
1. Dokaˇzite, da je ˇstevilo oblike n
3− 7n deljivo s 3 za vsako naravno ˇstevilo n.
2. Naj bo w =
2−ı1. Doloˇcite Im(w).
V kompleksni ravnini nariˇsite mnoˇzico toˇck, ki zadoˇsˇcajo enaˇcbi |z − 5w| = 3.
3.
(a) Poiˇsˇcite ravnino Σ, ki je pravokotna na premico p :
x−12= y = −z in gre skozi toˇcko A(4, 0, 1).
(b) Doloˇcite pravokotno projekcijo B
0toˇcke B(1, 1, 2) na ravnino Σ.
(c) Kolikˇsna je ploˇsˇcina ∆ABB
0?
4. Doloˇcite c in d tako, da bo matrika A =
· 4 −2 c d
¸
simetriˇcna z determinanto 8.
5. Dan je funkcijski predpis
f (x) = e
1xDoloˇcite definicijsko obmoˇcje, niˇcle, ekstreme, intervale monotonosti, konveksnosti in konkavnosti funkcije. Raziˇsˇcite obnaˇsanje funkcije na krajiˇsˇcih definicijskega obmoˇcja in funkcijo nariˇsite.
6. Doloˇcite a, da bo funkcija
f (x) =
2x + 3 x ≤ 0
x−sinx
ax3
x > 0 zvezna.
7. Nariˇsite integracijsko obmoˇcje, zamenjajte vrstni red in izraˇcunajte integral Z
10
dx Z
22x
e
y2dy
1
REˇSITVE 1. naloga:
Za n = 1 trditev velja, saj je 13−7·1 = −6 = −2·3. Indukcijsko predpostavko za n = k zapiˇsimo v obliki:
k3= 3m+ 7k,m∈Z. Zdaj si pa poglejmo naˇs izraz pri n=k+ 1 in uporabimo indukcijsko predpostavko:
(k+ 1)3−7(k+ 1) = k3+ 3k2+ 3k−1−7k−7 (po indukcijski predpostavki)
= 3m+ 7k+ 3(k2+k−2)−7k
= 3(m+k2+k−2).
2. naloga:
Ker je w = 2−ı1 = 2+ı5 , je Im(w) = 15. Mnoˇzica toˇck, ki zadoˇsˇcajo enaˇcbi |z−5w| = 3, je kroˇznica z enaˇcbo (x−2)2+ (y−1)2= 9.
3. naloga:
(a) Ker je premica ppravokotna na ravnino Σ, lahko za njen vektor normale vzamemo kar smerni vektor premice
*nΣ=*sp= (2,1,−1). Torej je enaˇcba ravnine Σ : 2x+y−z= 7.
(b) Doloˇcimo premicoq, ki gre skozi toˇckoB in je pravokotna na Σ, torej*sq= (2,1,−1):
q: *r= (1,1,2) +λ(2,1,−1), λ∈R.
Potem je pravokotna projekcija B0 toˇcke B(1,1,2) na ravnino Σ ravno presek premice q in ravnine Σ, torej B0(3,2,1).
(c) Ker je trikotnik ∆ABB0 pravokoten, je njegova ploˇsˇcina
pl(∆ABB0) =1
2|AB*0| · |BB*0|=
√30 2 . 4. naloga:
Da bo matrika simetriˇcna, mora biti c=−2. Ker jedet(A) = 4d−(−2)c= 4d−4, pogoju ustrezad= 3.
5. naloga:
Df =R\ {0}, f nima niˇcel, limx&0f(x) = 0 in limx%0f(x) =∞. Funkcija ima asimptotoy(x) = 1. Odvod f je f0(x) =−x12e1x, zato funkcija povsod na Df pada. Drugi odvod je f00(x) = 1+2xx4 e1x, torej ima prevoj v toˇcki x=−12 in je konveksna na intervalih (−12,0) in (0,∞). Graf funkcije:
-6 -4 -2 2 4 6
2 4 6 8
e1x
6. naloga:
Funkcija bo zvezna, ˇce bo
x%0limf(x) = lim
x&0f(x) =f(0).
Ker je limx%0f(x) =f(0) = 3 in z uporabo l’Hospitalovega pravila dobimo limx&0 = 6a1, bo funkcija zvezna za a=181.
7. naloga:
Integracijsko obmoˇcje je trikotnik z ogliˇsˇci (0,0), (1,2) in (0,2).
Z1
0
dx Z2
2x
ey2dy= Z2
0
dy
y
Z2
0
ey2dx= Z2
0
ey2 µ
x
¯¯
¯
y 2
0
¶ dy=
Z2
0
y
2ey2dy=e4−1 4 Pri raˇcunanju enojnega integrala uvedemo novo spremenljivko t=y2.
2
