(a) Doloˇcite enaˇcbo ravnine Π.

PRIIMEK IME VPISNA ˇSTEVILKA SMER NALOGA TO ˇCKE 1.

2.

3.

4.

5.

6.

SKUPAJ

RA ˇ CUNSKI DEL IZPITA IZ PREDMETA

OSNOVE MATEMATI ˇ CNE ANALIZE

24.1.2006

Toˇckovanje: 20+15+10+25+20+10=100

1. Naj bo Π ravnina, ki je vzporedna ravnini Σ : x + 2y − 3z = 2 in gre skozi toˇcko A(2, 3, 1).

(a) Doloˇcite enaˇcbo ravnine Π.

(b) Poiˇsˇcite toˇcko B, ki je pravokotna projekcija toˇcke T (2, −4, 1) na ravnino Π.

(c) Izraˇcunajte ploˇsˇcino trikotnika ∆OAB.

2. Izraˇcunajte determinanto matrike

A =



 



1 0 4 −1

2 5 1 0

3 10 1 −2

−4 10 8 0



 

 .

3. Doloˇcite a tako, da bo funkcija

f (x) =

 



sin 3x

√4−x−2

x 6= 0

a x = 0 zvezna.

4. Dan je funkcijski predpis

f (x) = (x − 2)

e

.

Doloˇcite definicijsko obmoˇcje, niˇcle, ekstreme, intervale monotonosti, konveksnosti in konkavnosti funkcije. Raziˇsˇcite obnaˇsanje funkcije na krajiˇsˇcih definicijskega obmoˇcja in funkcijo nariˇsite.

5. Izraˇcunajte integral

Z

3

x ln(x − 2) dx.

6. Poiˇsˇcite stacionarne toˇcke funkcije g(x, y) = x(y + 1)e

in izraˇcunajte vrednosti funkcije v njih.

1

REˇSITVE 1. naloga:

(a) Ker je ravnina Π vzporedna ravnini Σ, imata enak vektor normale ^*n= (1,2,−3). ˇCe upoˇstevamo, da toˇckaA leˇzi v ravnini, dobimo Π :x+ 2y−3z= 5.

(b) ToˇckoB(3,−2,−2) dobimo, ˇce poiˇsˇcemo presek premice skozi toˇckoT s smernim vektorjem^*n in ravnine Π.

(c) Ploˇsˇcino trikotniko ∆OAB dobimo z uporabo vektorskega produkta: pl(∆OAB) =^k

OA×* OBk^*

2 = ^3√₂²⁶.

2. naloga: Iz drugega stolpca lahko izpostavimo 5, iz ˇcetrte vrstice pa 2. Nadaljujemo z Gaussovim postopkom in dobimodet(A) = 450.

3. naloga: S pomoˇcjo l’Hospitalovega izreka izraˇcunamo, da je limx→0 = −12. Torej bo f(x) zvezna, ˇce bo a=−12.

4. naloga:

Df =R, f ima dvojno niˇclo vx= 2, limx→−∞f(x) = 0 in limx→∞f(x) =∞. Odvod f jef⁰(x) =x(x−2)e^x, lokalni maksimum ima v toˇcki x= 0, f(0) = 4, lokalni minimum v toˇckix = 2,f(2) = 0, in pada na intervalu (0,2). Drugi odvod je f⁰⁰(x) = (x²−2)e^x, torej ima f prevoja v toˇckah x=−√

2 inx=√

2 ter je konkavna na intervalu (−√

2,√

2). Graf funkcije:

-6 -4 -2 2

2 4 6 8 10 Hx-2L²e^x

5. naloga:

Naloge se lahko lotimo na veˇc naˇcinov:

• Najprej uporabimo metodo per partes. Ker pod integralskim znakom dobimo integral racionalne funkcije, katere ˇstevec je viˇsje stopnje kot imenovalec, delimo.

Z4

3

xln(x−2)dx= x²ln(x−2) 2

¯¯

¯⁴

3−1 2 Z4

3

x²

x−2dx= 8 ln 2−1 2



 Z4

3

(x+ 2)dx+ 4 Z4

3

1 x−2dx



=. . .= 6 ln 2−11 4

• Najprej uvedemo novo spremenljivkot=x−2 in potem uporabimo metodo per partes.

6. naloga:

Stacionarne toˇcke funkcije so reˇsitve sistema enaˇcb ^∂g_∂x= 0,^∂g_∂y = 0.

Ker je ^∂g_∂x = (1 +x)(1 +y)e^x+y in ^∂g_∂y = x(2 +y)e^x+y, imamo dve stacionarni toˇcki T1(0,−1), g(0,−1) = 0, in T2(−1,−2), g(−1,−2) =e⁻³.

2