AL KAŠI

UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA

DIPLOMSKO DELO

KRISTINA KLEČ

UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA Študijski program: Matematika in tehnika

AL KAŠI

DIPLOMSKO DELO

Mentor: Kandidatka:

dr. Marko Razpet, izr. prof. Kristina Kleč

Ljubljana, september, 2013

PROGRAM DELA

V diplomskem delu opišite ţivljenje in delo perzijskega matematika Al Kašija, še posebej njegovo računanje kroţne konstante in sinusa ene kotne stopinje.

Ljubljana, junij, 2013 Mentor: dr. Marko Razpet

Ko hodiš, pojdi zmeraj do konca.

Spomladi do rožne cvetice, poleti do zrele pšenice,

jeseni do polne police, pozimi do snežne kraljice, v knjigi do zadnje vrstice, v življenju do prave resnice,

a v sebi – do rdečice čez eno in drugo lice.

A če ne prideš ne prvič ne drugič do krova in pravega kova,

poskusi vnovič in zopet in znova.

Tone Pavček

Zahvalila bi se mentorju dr. Marku Razpetu za vso pomoč, mami, očetu in bratu za vse vzpodbudne besede skozi celotno šolanje, vsem sošolkam, sošolcem in prijateljem, ki so mi vedno stali ob strani in mi polepšali študij.

POVZETEK

V diplomskem delu obravnavamo ţivljenje in delo perzijskega matematika Al Kašija.

Osredotočimo se predvsem na njegovo računanje kroţne konstante in sinusa ene kotne stopinje ter na izpeljavo formule za kosinusni izrek.

Ključne besede: islamska matematika, Al Kaši, kroţna konstanta, število π, sinus kota, kosinusni izrek.

ABSTRACT – AL-KASHI

The thesis deals with life and work of the Persian mathematician Al-Kashi. The focus is mainly on the computation of the circular constant and sinus of one angular degree as well as on the derivation of law of cosines.

Key words: Islamic mathematics, Al-Kashi, circular constant, the number π, the sine of angle, law of cosines.

MSC(2010): 01A30, 65-03.

KAZALO

1 UVOD ... 1

2 ISLAMSKA MATEMATIKA ... 3

2.1 ZGODOVINSKI OKVIR ... 3

2.2 ISLAMSKI MATEMATIKI ... 3

3 AL KAŠI ... 6

3.1 ŢIVLJENJE IN DELO ... 6

3.2 KROŢNA KONSTANTA ... 8

3.2.1 O OBSEGU KROGA ... 8

3.2.2 KRATKA ZGODOVINA RAČUNANJA PRIBLIŢKOV ... 9

3.2.3 AL KAŠIJEV IZRAČUN ŠTEVILA π ... 10

3.3 SIN 1° ... 19

3.3.1 KONSTRUKTIBILNOST KOTA 1° ... 19

3.3.2 IZRAČUN SIN 3° ... 19

3.3.3 IZRAČUN SIN 1° ... 23

3.3.4 IZRAČUN SIN 2° PO AL KAŠIJU ... 30

3.4 KOSINUSNI IZREK ... 37

3.4.1O IZREKU... 37

3.4.2 POT DO ODKRITJA ... 38

3.4.3 DOKAZI KOSINUSNEGA IZREKA ... 44

4 UPORABA V OSNOVNI ŠOLI ... 51

4.1 KROŢNA KONSTANTA ... 51

4.2 SIN 1° ... 52

4.3 KOSINUSNI IZREK ... 52

5 ZAKLJUČEK ... 53

VIRI IN LITERATURA ... 54

KAZALO SLIK

Slika 3.1: Al Kaši [20]. ... 6

Slika 3.2: Kompleks treh medres na trgu Registan v Samarkandu [22]. ... 7

Slika 3.3: Arhimedov poligon s štirimi oglišči. ... 13

Slika 3.4: Krogu včrtan šestkotnik. ... 14

Slika 3.5: Eden izmed enakokrakih trikotnikov krogu včrtanega pravilnega n-kotnika. ... 15

Slika 3.6: Eden izmed enakokrakih trikotnikov krogu včrtanega pravilnega (2n)-kotnika. .... 16

Slika 3.7: Grafični prikaz določanja vrednosti sin 1°. ... 26

Slika 3.8: Trikotnik. ... 37

Slika 3.9: Stranico AB podaljšamo do točke D, dobimo pravokotni trikotnik ACD. ... 39

Slika 3.10: Pitagorov izrek. ... 39

Slika 3.11: Izrek 12 iz druge knjige Evklidovih Elementov. ... 40

Slika 3.12: Višina CD razdeli trikotnik ABC na dva pravokotna trikotnika. ... 40

Slika 3.13: Izrek 13 iz druge knjige Evklidovih Elementov. ... 41

Slika 3.14: Označimo kota z vrhom v točki B z in β′. ... 42

Slika 3.15: Al Kašijeva demonstracija kosinusnega izreka v ostrokotnem trikotniku. ... 43

Slika 3.16: Razdalja med dvema točkama... 44

Slika 3.17: Trikotnik postavimo v koordinatni sistem. ... 45

Slika 3.18: Konstruiramo višino na stranico a, da dobimo točko D. ... 45

Slika 3.19: V poljubnem trikotniku vpeljemo vektorje a, b in c. ... 46

Slika 3.20: Skalarni produkt dveh vektorjev. ... 47

Slika 3.21: Tetivni štirikotnik. ... 48

Slika 3.22: Trikotniku ABC očrtamo kroţnico. ... 48

Slika 3.23: Konstrukcija trikotnika ABD. ... 49

Slika 3.24: Tetivni štirikotnik ABCD. ... 49

Slika 3.25: Konstruiramo višini, dobimo točki E in F. ... 50

KAZALO TABEL

Tabela 3.1: Pribliţki števila π [24][25]. ... 9 Tabela 3.2: Novi pribliţki števila π [24]. ... 10 Tabela 3.3: Vrednost pribliţka števila π za različne n. ... 18

1

1 UVOD

V diplomskem delu je predstavljeno ţivljenje in delo perzijskega matematika Al Kašija. Bil je eden izmed mnogih matematikov, ki so se ukvarjali s problemom računanja čim boljšega pribliţka kroţne konstante in sinusa ene kotne stopinje. Zasluţen pa je tudi za zapis kosinusnega izreka v obliki, ki jo uporabljamo še danes.

Cilj diplomskega dela je predstaviti Al Kašijev postopek računanja pribliţka kroţne konstante in sinusa ene kotne stopinje ter predstaviti pot do odkritja kosinusnega izreka.

Uvodnemu poglavju sledi poglavje, v katerem je predstavljen zgodovinski okvir islamske matematike in v katerem spoznamo najpomembnejše matematike, ki so delovali v bagdadski Hiši modrosti.

Tretje poglavje predstavlja jedro diplomskega dela. Razdeljeno je na štiri podpoglavja.

V prvem podpoglavju je predstavljeno ţivljenje in delo Al Kašija.

V drugem podpoglavju najprej predstavimo definicijo kroţne konstante in kratko zgodovino računanja pribliţkov kroţne konstante. Osrednji del podpoglavja predstavlja Al Kašijev izračun števila π, ki ga je predstavil v knjigi Traktat o krožnici. Pri izračunu pribliţka se je zgledoval po Arhimedovi metodi računanja pribliţka števila π s poligoni. V podpoglavju je predstavljen celoten postopek Al Kašijeve izpeljave računanja pribliţka kroţne konstante na 16 decimalk natančno v desetiškem sistemu.

V tretjem podpoglavju najprej spoznamo, zakaj kot 1° ni konstruktibilen. Najmanjši kot, ki ga lahko konstruiramo s šestilom in neoznačenim ravnilom, je kot 3°. Podpoglavje vsebuje izračun pribliţkov za sinus kotov 3°, 1° in 2°. Najprej je predstavljen izračun sin 3°, s pomočjo katerega je Al Kaši izračunal pribliţek sinusa ene kotne stopnje. Sledi Al Kašijev postopek računanja sin 1° s pomočjo adicijskih izrekov, ki najprej pripeljejo do kubične enačbe in s postopkom iteracije do končnega pribliţka sin 1°. Po Al Kašijevem postopku je v podpoglavju izračunan tudi pribliţek sin 2° na 25 decimalnih mest natančno.

V četrtem podpoglavju spoznamo formulacijo kosinusnega izreka. Osrednja tema podpoglavja sta prva dva geometrijska izreka, ki sta bila enakovredna kosinusnemu izreku in ju je napisal Evklid v delu Elementi. Al Kaši se je zgledoval po Evklidu in s pomočjo primerjave ploščin zapisal kosinusni izrek v obliki, kot ga poznamo in uporabljamo še danes.

2

Podpoglavje vsebuje tudi dokaze kosinusnega izreka z uporabo formule za razdaljo med dvema točkama, z vektorji in z uporabo Ptolemajevega izreka.

V četrtem poglavju umestimo tematiko o delu Al Kašija v učni načrt za osnovne šole.

3

2 ISLAMSKA MATEMATIKA

2.1 ZGODOVINSKI OKVIR

Pomemben mejnik arabske zgodovine je bil Mohamed, ki je bil rojen okrog leta 570 v Meki in je ustanovitelj in zadnji prerok tretje večje abrahamske religije, islama. Leta 622 je prerok Mohamed skupaj z njegovimi privrţenci zbeţal iz Meke v Medino. Njegov beg imenujemo hidţra in od tega dogodka dalje muslimani štejejo leta [17]. Mohamed je vzpostavil drţavo s središčem v Meki, ki jo je ţelel razširiti na bizantinska ozemlja, a je v času priprav na razširitev, leta 632, umrl [18]. Ţeleni cilj razširitve so dosegli njegovi nasledniki in v naslednjem stoletju so tako Arabci razširili svoj imperij od Indije, preko Perzije, Mezopotamije in Severne Afrike vse do Španije [19]. Leta 750 je prišla na oblast nova dinastija, Abasidi. Takrat je prišlo do razcepa med vzhodnimi in zahodnimi deţelami.

Ustanovili so novo prestolnico imperija, ki so jo poimenovali Bagdad. To novo mesto je kmalu postalo kulturna prestolnica imperija. Zaradi svoje lege ob reki Tigris v sedanjem Iraku je bil Bagdad naravno kriţišče in mesto, kjer sta se srečevala Zahod in Vzhod [1]. Vzhod je obdrţal duhovno prvenstvo pribliţno do leta 1000. Ko pa so vzhodne deţele med ustanavljanjem velikega seldţuškega imperija zasedli seldţuški Turki, se je center arabske kulture premaknil v Španijo. Leta 1258 so Bagdad zasedli Mongoli, z uspešno rekonkvisto pa se je v 15. stoletju končala tudi mavrska vladavina v Španiji [19].

2.2 ISLAMSKI MATEMATIKI

Prve znanstvene knjige, ki so jih prinesli v kulturno prestolnico Bagdad, so bile knjige o astronomiji, ki naj bi prišle iz Indije. V začetku 9. stoletja so abasidski kalifi ustanovili Hišo modrosti, nekakšno akademijo znanosti, v katero je bil vstop, ne glede na stan, dovoljen vsakomur. Začeli so zbirati razprave v grščini in sanskrtu ter učenjake, ki so jih lahko prebirali in razumeli, s tem pa uporabili bolj odprt pristop h kulturnemu in intelektualnemu razvoju imperija. Eno od prvih grških besedil, ki so jih prevedli, so bili Evklidovi Elementi.

Imeli so ogromen vpliv na islamske matematike, saj so od tedaj naprej številni med njimi svoje izreke in dokaze oblikovali v Evklidovem slogu. Pomemben pečat v islamski matematiki je pustila raba skupnega jezika, saj so vsi veliki matematiki, tudi tisti, ki niso bili Arabci po narodnosti, pisali v arabščini, ki je veljala za jezik učenjakov [1].

4

Al Hvarizmi (780-850) je bil najpomembnejša osebnost zgodnje zgodovine islamske matematike in eden od največjih znanstvenih umov islama. Bil je član bagdadske Hiše modrosti. Napisal je knjiţico, kako računati z indijskimi številkami. V njej je pojasnil indijski sestav zapisovanja števil, desetiški sistem. Al Hvarizmi je opustil pisanje števil s črkami in jih začel označevati s številkami, vključno z ničlo. Najbolj znan je po razpravi »al jabr v'al mukabala«, kar okvirno pomeni »obnavljanje in nadomeščanje« [2]. Ta knjiga velja za najstarejšo arabsko knjigo o algebri. Ko so knjigo v 12. stoletju prevedli v latinščino, so besedo »al džabr« spremenili v algebro [1]. Izdelal je tudi astronomske in trigonometrične tabele »Zidž«, ki veljajo za prvi povzetek trigonometrije med Arabci [2]. Njegovo delo sta nadaljevala Abu Kamil (850-930), ki je znan po knjigi o algebri, in Al Karaji (953-1029), ki je osvobodil algebro trigonometrije. V 9. stoletju je deloval tudi Tabit ibn Kora (826-901), ki je uredil novo izdajo Evklidovih Elementov v prevodu Hunjana, prevajal pa je tudi Apolonija in Arhimeda. Skupaj z mojstrom trigonometrije Al Batanijem (858-929) sta delovala v Bagdadu v krogu matematikov bratov Banu Musa. Al Buzjani (940-998) velja za največjega islamskega matematika 10. stoletja. Ukvarjal se je s sferno geometrijo, kot matematik pa je najbolj znan po prevodih Diofanta, uvedbi tangensa v trigonometrijo in trigonometričnih tabelah sinusov in tangensov. Za enega največjih posrednikov indijske matematike v islamskem svetu velja Al Biruni (973-1048). Al Hajam (1038-1123) je podal kompletno klasifikacijo kubičnih enačb, katerih rešitev je znal poiskati s preseki stoţnic in s tem dal najgloblji in najbolj originalen prispevek k algebri. S kubičnimi enačbami se je ukvarjal in jih reševal tudi Šaraf al Din al Tusi (1150-1215). Pod mongolsko vladavino je bil glavni matematik Nasir al Din al Tusi (1201-1274), ki je ločil trigonometrijo od astronomije in zelo cenil tudi grško znanost. Zadnji veliki islamski matematik je bil Al Kaši, ki ga bom podrobneje predstavila v naslednjem poglavju [19].

Islamski matematiki so pustili velik pečat na področju algebre, geometrije, trigonometrije in kombinatorike. Za njih so imela pomen le pozitivna števila. Naučili so se veliko matematičnih spretnosti, med drugim tudi računanja s polinomi in razreševanja nekaterih algebrskih enačb, vse to pa so počeli brez uporabljanja simbolov, saj je vsa islamska algebra potekala z besedami. V geometriji so raziskovali peti Evklidov aksiom, znanje Grkov pa so razširjali z izvirnimi geometrijskimi raziskovanji. Raziskovanje trigonometrije, ki so jo predvsem uporabljali v astronomiji, je pripeljalo do metod za pribliţno reševanje enačb. V kombinatoriki so ţe poznali vrstice trikotne preglednice, danes bolj poznane pod imenom Pascalov trikotnik. Potrebno je omeniti tudi napredek uporabne matematike, ki se je kazal

5

predvsem v zapleteni in prefinjeni umetnosti krašenja stavb. Islamska matematična tradicija je bila osnovana na najboljših doseţkih grške in indijske matematike, ki jih je uspešno proučevala in razvijala še naprej. Ker pa je le manjši del doseţkov islamskih matematikov dosegel Evropo, je bilo potrebno veliko rezultatov ponovno odkriti, včasih šele stoletja pozneje, saj so evropski učenjaki začeli raziskovati arabska matematična besedila šele v 19.

stoletju [1]. Islamski matematiki so pustili velik pečat v matematičnem izrazoslovju, saj mnogi matematični izrazi, kot so npr. algebra, algoritem, sinus, izhajajo ravno iz arabščine [19].

S pojmom arabska besedila mislimo besedila, pisana v arabščini. Nosilci islamske matematike niso le Arabci, ampak tudi ljudje drugih narodnosti, na primer Perzijci.

6

3 AL KAŠI

3.1 ŢIVLJENJE IN DELO

Gijasedin Dţamšid ben Mas'ud ben Mahmud al Kaši Kašani, slika 3.1, se je rodil okoli leta 1380 v puščavskem mestu Kašan, ki leţi na vzhodnem delu drţave Iran. O njegovem ţivljenju ne vemo veliko. Nekaj podrobnosti izvemo iz njegovih del, saj mnogo del vsebuje zapis letnice njihovega dokončanja, veliko pa izvemo tudi iz pisem, ki jih je pisal svojemu očetu [20].

Slika 3.1: Al Kaši [20].

Svojo mladost je, kot mnogo ljudi tistega časa, preţivel v revščini. Poloţaj se je izboljšal po smrti vladarja Timurlenka leta 1405, ko je mesto sultana zavzel njegov sin Šahruh. Šahruh in njegova ţena, perzijska kraljica, sta zelo spodbujala umetnost in znanost. Takšno okolje je bilo idealno, da se je Al Kaši zapisal v zgodovino kot eden izmed največjih svetovnih matematikov [20].

Al Kaši se je v Kašanu ukvarjal z astronomijo, kjer je 2. junija 1406 opazoval Lunin mrk. 1.

marca 1407 je končal delo Sulam al-sama, katerega polni naslov je Stopnice do neba, o rešitvi problemov predhodnikov o določevanju razdalj in velikosti nebesnih teles. Med letoma 1410 in 1411 je napisal delo Astronomski priročnik, ki ga je posvetil enemu od potomcev Timuridske rodbine [20].

7

Leta 1414 je v Hakanskih tabelah (Hakani Zidž) zapisal sinuse in tangense kotov na 4 mesta natančno v šestdesetiškem številskem sestavu za vsako stopinjo argumenta z razlikami za vsako minuto, kar je v desetiškem številskem sestavu natančno na 5 decimalk. Tabele je posvetil Ulugbeku, takratnemu vladarju mesta Samarkand, temeljile pa so na Al Tusijevih tabelah al-Zidž al-Il-Kani. V Hakanskih tabelah pa so poleg tabel sinusov in tangensov zapisane tudi tabele transformacij med različnimi koordinatnimi sistemi na nebesni krogli, podrobne tabele gibanja Sonca, Lune in planetov, tabele paralakse v longitudi in latitudi za posamezne zemljepisne širine, tabele mrkov in tabele vidnosti Lune [21].

Leta 1420 je Ulugbek v Samarkandu na trgu Registan ustanovil medreso - visoko šolo za teologijo in znanost, slika 3.2, ki še danes velja za eno najlepših zgradb osrednje Azije. Na novo ustanovljeno visoko šolo je povabil najbolj ugledne znanstvenike tistega časa, med njimi sta bila tudi Al Kaši in Kvadi Zada. Ali je Al Kaši postal vodilni astronom in matematik Samarkanda, ni popolnoma jasno, vemo le, da se ga je prijel vzdevek drugi Ptolemaj [21].

Slika 3.2: Kompleks treh medres na trgu Registan v Samarkandu [22].

Al Kaši je tedanje znanstveno ţivljenje Samarkanda opisoval v pismih, ki jih je pošiljal svojemu očetu v Kašan. Čeprav Al Kašijeva pisma nimajo datumov, jih je zagotovo pisal v času gradnje Ulugbekovega observatorija med letoma 1424 in 1426. V pismih je hvalil Ulugbekove matematične sposobnosti, od drugih uglednih znanstvenikov pa je cenil le sposobnosti Kvadi Zade, s katerim sta dobro sodelovala na znanstvenih srečanjih, ki jih je vodil Ulugbek. Na teh srečanjih so pogosto razpravljali o raznih problemih v astronomiji, ki sta jih običajno uspela rešiti le Al Kaši in Kvadi Zada. Al Kaši je bil najboljši znanstvenik in najbliţji sodelavec Ulugbeka in čeprav ni imel potrebnih prirojenih dvorskih olik, ga je Ulugbek nadvse spoštoval in ga po njegovi smrti opisal kot enega najboljših znanstvenikov na svetu, ki bi lahko rešil tudi najteţje probleme [20].

8

Al Kaši je v delu Traktat o krožnici julija 1424 izračunal pribliţek števila 2π na 10 mest natančno v šestdesetiškem sestavu. Svoje najvplivnejše delo Ključ aritmetike, ki je bilo namenjeno študentom v Samarkandu in velja za eno najpomembnejših del srednjeveške matematike, pa je dokončal 2. marca 1427 [21].

Z uporabo desetiških ulomkov je rešil in podal pribliţke za gradnjo mukarn, posebnih okraskov, ki so zahtevali geometrijska telesa, omejena z ravnimi in ukrivljenimi površinami, podal pa je tudi postopek za izračun pribliţkov površin in prostornin kube, lupine v obliki posebne kupole, ki se uporablja kot nagrobni spomenik znanih oseb. V delu Ključ aritmetike je podal zadovoljivo razlago desetiških ulomkov, veliko pa pomenijo tudi njegove primerjave sestavov ulomkov, šestdesetiškega in desetiškega, pa tudi uporaba desetiških ulomkov za realna števila. Izkazal se je pri pribliţnem reševanju kubičnih enačb. Odkril je postopek za računanje korenov algebrske enačbe n-te stopnje kot poseben primer postopkov, ki sta jih mnogo kasneje iznašla Ruffini in Horner. Poznal je tudi aritmetični trikotnik binomskih simbolov, danes bolj poznan kot Pascalov trikotnik [21].

Zadnje Al Kašijevo delo je bilo Traktat o tetivi in sinusu, v katerem je našel pot do dobrih pribliţkov sinusa ene stopinje, ki ga je izračunal na 18 decimalk natančno. Ob njegovi smrti 22. junija 1429 je delo ostalo nedokončano, dokončal ga je Kvadi Zada [21].

3.2 KROŢNA KONSTANTA

3.2.1 O OBSEGU KROGA

Število, ki ga označujemo z grško črko π, je matematična konstanta, ki velja za eno najzanimivejših in najbolj nenavadnih števil, kar jih poznamo. Število π imenujemo tudi Arhimedova konstanta (po starogrškem matematiku Arhimedu) ali Ludolfovo število (po nemškem matematiku Ludolphu van Ceulenu), enaka pa je razmerju med obsegom kroga in njegovim premerom. Je iracionalno število, kar pomeni, da ima neskončen neperiodičen decimalni zapis in ga ne moremo zapisati kot razmerje dveh celih števil. To značilnost je leta 1761 dokazal švicarsko-nemški matematik Lambert. Leta 1882 je nemški matematik Lindemann dokazal, da je število π v bistvu transcendentno, kar pomeni, da ne obstaja polinom s celimi ali racionalnimi koeficienti, katerega koren je π. Iz tega sledi, da števila π ne moremo izraziti samo s končnim številom celih števil, ulomkov ali njihovih korenov [23].

9

3.2.2 KRATKA ZGODOVINA RAČUNANJA PRIBLIŽKOV

Lov na število π se je začel pribliţno 2000 let pred našim štetjem, ko so Egipčani in Mezopotamci uporabljali pribliţka ²⁵

8 = 3,125 in 10 = 3,162. Naslednja navedba števila π se pojavi v Svetem pismu, kjer na podlagi besedila lahko razberemo biblijski pribliţek π= 3.

Verz iz Stare zaveze pravi: »Nato je naredil ulito morje, od roba do roba široko deset komolcev, naokrog okroglo in pet komolcev visoko. Trideset komolcev dolga vrvica ga je mogla okrog in okrog obseči.« (1. knjiga kraljev 7, 23) [24]. Verz opisuje veliki premični umivalnik, ki so ga zaradi velikosti imenovali kar »ulito morje«, in je od okoli leta 968 pred našim štetjem stal v Salomonovem templju v Jeruzalemu [25].

Zgodnejši pribliţki števila π, vključno s svetopisemskim, so bili skoraj vedno dobljeni z meritvami. Na egipčanskem Rhindovem papirusu iz leta 1650 pred našim štetjem pa je jasno razvidno, da je π= 4∙ ⁸

9

2 = 3,16. Prvi teoretični izračuni števila π naj bi bili delo Arhimeda iz Sirakuz (287 – 212 pr.n.št.), ki naj bi dobil aproksimacijo ²²³

71 <π< ²²

7, pri čemer je vedel, da π zagotovo ni enak ²²

7 [24]. Pri izračunih si je pomagal s krogu včrtanimi in očrtanimi pravilnimi mnogokotniki s 6, 12, 24, 48 in 96 stranicami. Če torej vzamemo za najboljši pribliţek kar aritmetično sredino obeh meja, potem dobimo π= 3,14185110664 [25].

Za Arhimedom se je začelo pojavljati vse več pribliţkov števila π, tabela 3.1.

Tabela 3.1: Pribliţki števila π [24][25].

Ptolemaj okoli leta 150 π= 3,1416,

Ču Čungdţi leta 470 π= 355

133 Al Hvarizmi okoli leta 800 π= 3,1416

Al Kaši okoli leta 1430 izračun števila π na 16 decimalk Viète leta 1579 izračun števila π na 9 decimalk Van Roomen leta 1593 izračun števila π na 17 decimalk

Van Ceulen okoli leta 1600 izračun števila π na 35 decimalk

10

Ker je le Ču Čungdţi poznal Arhimedovo delo o pribliţku števila π, s teoretičnega vidika ni bil narejen noben korak naprej, povečala se je le natančnost računanja. Nov zagon na matematičnem področju je prinesla evropska renesansa, iz katere izvirajo prve formule za izračun števila π, med katerimi sta najbolj znani

π

4 = 1−¹

3+¹

5−¹

7+⋯ in

π

4 = 4arctg ¹

5 −arctg ¹

239 .

Nove formule so pripeljale do novih pribliţkov števila π, tabela 3.2.

Tabela 3.2: Novi pribliţki števila π [24].

3.2.3 AL KAŠIJEV IZRAČUN ŠTEVILA π

Al Kaši je izračunal pribliţek števila π v Traktatu o krožnici julija 1424, in sicer na 10 mest natančno v šestdesetiškem sestavu:

2π= 6; 16,59,28,01,34,51,46,14,50 2π= 6 +¹⁶

60+ ⁵⁹

60²+ ²⁸

60³+ ¹

60⁴+ ³⁴

60⁵+ ⁵¹

60⁶+ ⁴⁶

60⁷+ ¹⁴

60⁸+ ⁵⁰

60⁹,

Sharp leta 1699 izračun števila π na 71 decimalk Machin leta 1701 izračun števila π na 100 decimalk De Lagny leta 1719 izračun števila π na 112 decimalk

Vega

leta 1789 leta 1794

izračun števila π na 126 decimalk izračun števila π na 136 decimalk Rutherford

leta 1841 leta 1853

izračun števila π na 152 decimalk izračun števila π na 440 decimalk Shanks leta 1873

izračun števila π na 707 decimalk, vendar se je kasneje izkazalo, da jih je

pravilno izračunal samo 527

11

oziroma z vsemi pribliţki navadnih končnih veriţnih ulomkov še v desetiškem sistemu, in sicer kar na 16 decimalk natančno [6].

Razjasnimo najprej pojem veriţnih ulomkov. Veriţni ulomki so ulomki, ki imajo v števcu ali imenovalcu zopet veriţni ulomek in s pomočjo katerih lahko predstavimo racionalna in iracionalna števila. Končni veriţni ulomki so veriţni ulomki racionalnih števil, neskončni veriţni ulomki pa so ulomki iracionalnih števil, ki jih ne moremo zapisati s končno mnogo ulomki. Veriţni ulomki za pozitivna racionalna števila, ki so večja od ena, imajo obliko

a₀

a₁

= q

+

q₂+ ¹ q 3+ 1

⋱+ 1 q n−1+1

q n

,

pri čemer števila q_k, kjer je k = 1, 2,…, n, izračunamo s pomočjo Evklidovega algoritma:

a₀

a1 = q₁+^a2

a1, kjer je 0 <^a2

a1 < 1,

a1

a2 = q₂+^a3

a2, kjer je 0 < ^a3

a2 < 1,

…

an−2

a_n−1 = q_n−1+ ^an

a_n−1, kjer je 0 < ^an

a_n−1 < 1.

Pri tem so števila a_k, kjer je k = 0,1, 2,…, n, naravna. Veriţne ulomke lahko krajše zapišemo kot q₁; q₂, q₃,… , pri čemer mora biti q_k ≥1 [7].

Al Kaši je pri izračunu pribliţka števila π uporabil pravilni n-kotnik z n = 800355168 = 2⁵∙ 3⁴∙71∙4349 in dobil veriţni ulomek [21]:

π= 3; 7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,14,2,1,3,2,3,2,21,10,4,3,5,6,5 . Dani veriţni ulomek lahko daljše zapišemo kot:

12

3 + 1

7 + 1

15 + 1

1 + 1

292 + 1

1 + 1

1 + 1

1 + 1

2 + 1

1 + 1

3 + 1

1 + 1

14 + 1

2 + 1

1 + 1

3 + 1

2 + 1

3 + 1

2 + 1

21 + 1

10 + 1

4 + 1

3 + 1 5 + 1

6 +1 5

Za zaporedje pribliţkov tako dobimo [21]:

3,

7

,

2∙53

,

113

,

2∙3³∙613

,

5∙7∙13∙73

,

17∙47∙83

,

2²∙149∙167

,

265381

,

2³∙3∙37∙1291

101∙3613

,

2³∙5∙37∙919

,

3∙307∙1873

,

2∙31∙479∙859

,

,

2∙29∙1009∙4201

3∙53∙577∙853

,

2∙143758267

,

7∙93327121

,

5²∙11∙31∙47∙71∙79

,

2∙5⁴∙569∙22739

13∙3623∙109303

,

2²∙107∙4409∙58481

,

,

11∙31∙977∙42860329

2⁵∙3³∙5∙7²∙21472111

,

73∙22907∙8817287

,

,

3³∙31∙63841∙28476131

1307∙370578877121

,

2¹⁴∙5¹⁶

Če sedaj vzamemo zadnji pribliţek iz zaporedja pribliţkov, dobimo ravno Al Kašijev pribliţek števila π [21]:

7²∙2381∙57493∙1170899 2¹⁴ ∙5¹⁶ =

= 7853981633974483 2500000000000000 =

= 3,1415926535897932 ₁₀ .

13

Pri izračunih števila π si je Al Kaši pomagal z rekurzijo [26]:

C_2n = 2− 4−C_n², C₀ = 1.

Za števila C_n namreč velja [26]:

3∙2ⁿ ∙C_n ^n→∞ π.

Poglejmo, kako je prišel do teh formul.

Za začetek si poglejmo Arhimedovo metodo za izračun pribliţka števila π, po kateri se je Al Kaši zgledoval.

Arhimed je za pribliţno določitev vrednosti števila π uporabil pravilne poligone, torej like z ravnimi stranicami. Krogu je takšen poligon očrtal in včrtal, nato pa je izračunal količnika obsega poligona in premera kroga za oba poligona. Obseg zunanjega poligona je večji kot obseg kroga, obseg notranjega poligona pa je manjši od obsega kroga. Vrednost števila π tako predstavlja ravno aritmetična sredina obeh količnikov [10].

Poglejmo si Arhimedovo metodo na preprostem primeru kvadrata, torej poligona s štirimi oglišči, slika 3.3. Naj bo stranica večjega kvadrata enaka D. Obseg kvadrata je tako enak 4D, premer kroga pa je prav tako D. Prvi količnik je tako enak

4𝐷 𝐷 = 4.

Slika 3.3: Arhimedov poligon s štirimi oglišči.

14

Poiskati moramo še količnik manjšega kvadrata. Iz slike 3.3 razberemo, da je stranica manjšega kvadrata ravno ^{𝐷 2}

2 , njegov obseg pa je 4^{𝐷 2}

2 . Drugi količnik je tako enak

4𝐷 2 2

𝐷 = 2 2 = 2,828427…

Zdaj vemo, da je število π zagotovo manjše od 4 in večje od 2,828427…

Da pa bi dobili čim bolj natančno vrednost števila π, moramo postopek ponoviti s poligoni, ki imajo več stranic, tako da se njihov obseg bolje prilega obsegu kroga. Tako je Arhimed uporabil poligone s 96 stranicami in dokazal, da vrednost π leţi med ²²

7 in ²²³

71 [10].

Kot ţe omenjeno, se je Al Kaši zgledoval po Arhimedovi metodi računanja pribliţka števila π s poligoni. Začel je s šestkotnikom, ki ga je včrtal v krog s polmerom 1 in ga razdelil na 6 enakokrakih trikotnikov, kjer dolţino krakov predstavlja ravno polmer kroga. Ker je enakokraki trikotnik osno someren, ga lahko razdelimo na dva skladna pravokotna trikotnika, katerih kot z vrhom v srediču kroga meri ravno 30°, slika 3.4.

Slika 3.4: Krogu včrtan šestkotnik.

Da dobimo dolţino stranice krogu včrtanega šestkotnika, bomo uporabili enačbo za sinus kota, ki je enak razmerju dolţin nasprotne katete in hipotenuze:

sin 30° =

x 2 1 ¹

2= ^x

2 x = 1.

15 Tako dobimo relacijo:

2 sin 30° = 1 oziroma 2 sin ^π

6 = 1.

S pomočjo te relacije je Al Kaši izpeljal enačbo za izračun stranice krogu včrtanega pravilnega n-kotnika [26]:

C_n = 2 sin ^π

6∙2ⁿ ,

kjer 6∙2ⁿ predstavlja število stranic krogu včrtanega pravilnega n-kotnika, C_n pa dolţino njegove stranice.

Če n = 0, dobimo ravno krogu včrtan šestkotnik, zato je C₀ = 1.

Pri nadalnjih izračunih si je pomagal z naslednjima formulama iz trigonometrije [26]:

cos²x + sin²x = 1, 2sin^{2 x}

2= 1−cos x.

Krogu včrtan pravilni n-kotnik lahko razdelimo na n enakokrakih trikotnikov z dolţino krakov 1, slika 3.5. C_n predstavlja dolţino stranice krogu včrtanega n-kotnika, z pa označimo polovico kota z vrhom v središču kroga.

Slika 3.5: Eden izmed enakokrakih trikotnikov krogu včrtanega pravilnega n-kotnika.

Poglejmo, kaj se zgodi, če včrtamo pravilni (2n)-kotnik in ga razdelimo na 2n enakokrakih trikotnikov z dolţino krakov 1, slika 3.6.

16

Slika 3.6: Eden izmed enakokrakih trikotnikov krogu včrtanega pravilnega (2n)-kotnika.

Opazimo, da se polovični kot n-kotnika z vrhom v središču kroga pri (2n)-kotniku ravno razpolovi. Uporabimo enačbo za sinus kota, ki je enak razmerju dolţin nasprotne katete in hipotenuze. Dobimo:

sin^x

2=^s

2 s = 2sin^x

2.

Da dobimo ţeleno razmerje med dolţino stranice n-kotnika in (2n)-kotnika moramo 2sin^x

2

izraziti z 2sin x:

2sin ^x

2

2

= 2∙ 1−cos x

2sin ^x

2

2

= 2−2 cos x

2sin ^x

2

2

= 2−2 1−sin²x

2sin ^x

2

2

= 2− 4 1−sin²x

2sin ^x

2

2

= 2− 4−4sin²x

2sin ^x

2

2

= 2− 4− 2sinx ²

2sin ^x

2 = 2− 4− 2sinx ².

17 Če sedaj vstavimo x = ^π

6∙2ⁿ, dobimo še končno razmerje s C_n [26]:

2sin

π 6∙2n

2 = 2− 4− 2sin ^π

6∙2ⁿ

2

2sin ^π

6∙2^{n +1} = 2− 4− 2sin ^π

6∙2ⁿ

2

C_2n = 2− 4−C_n².

S pomočjo te relacije je dobil zaporedje, ki mu je pomagalo pri izračunu števila π. Ker pa je π razmerje med obsegom kroga in njegovim premerom, je Al Kaši predpostavil, da bi π lahko izračunal kot razmerje med obsegom pravilnega mnogokotnika, včrtanega v krog s polmerom 1 in njegovim premerom. Obseg pravilnega mnogokotnika lahko zapišemo kot 6∙2ⁿ ∙C_n, kjer 6∙2ⁿ predstavlja število stranic krogu včrtanega pravilnega mnogokotnika, C_n pa dolţino stranice mnogokotnika. Sedaj lahko zapišemo razmerje, ki pripelje do pribliţka za π:

obseg pravilnega mnogokotnika

premer kroga =6∙2ⁿ ∙C_n

2 = 3∙2ⁿ ∙C_n. Torej, dobili smo zaporedje, ki nas pripelje do pribliţka števila π in za katerega velja:

3∙2ⁿ ∙C_n^n→∞ π.

V tabeli 3.1 je prikazano, kako se zaporedje 3∙2ⁿ ∙C_n ^n→∞ π pri različnih vrednostih za n pribliţuje pravemu pribliţku števila π na 16 decimalnih mest natančno, torej pribliţku, ki ga je izračunal Al Kaši. Opazimo, da računalnik izračuna Al Kašijev pribliţek ţe pri n = 26.

Seveda bi lahko postopek nadaljevali v nedogled in izračunali pribliţek na poljubno decimalnih mest natančno.

Kot zanimivost naj omenimo, da je nemški matematik Ludolph van Ceulen (1540-1610) po istem postopku izračunal pribliţek števila π na 35 decimalnih mest natančno. Pri tem je uporabil mnogokotnik z 4.611.686.018.427.387.904 stranicami. Njemu na čast se π imenuje tudi Ludolfovo število [10].

18

Tabela 3.3: Vrednost pribliţka števila π za različne n.

n Število stranic večkotnika Pribliţek števila 𝛑

0 6 3

1 12 3,1058285412302491

2 24 3,1326286132812378

3 48 3,1393502030468667

4 96 3,1410319508905093

5 192 3,1414524722854620

6 384 3,1415576079118575

7 768 3,1415838921483177

8 1536 3,1415904632280500

9 3072 3,1415921059992713

10 6144 3,1415925166921568

11 12288 3,1415926193653836

12 24576 3,1415926450336906

13 49152 3,1415926514507673

14 98304 3,1415926530550368

15 196608 3,1415926534561036

16 393216 3,1415926535563709

17 786432 3,1415926535814376

18 1572864 3,1415926535877043

19 3145728 3,141592653589271

20 6291456 3,1415926535896626

21 12582912 3,1415926535897603

22 25165824 3,141592653589785

23 50331648 3,141592653589791

24 100663296 3,1415926535897922

25 201326592 3,1415926535897931

26 402653184 3,1415926535897932

27 805306368 3,1415926535897932

19

3.3 SIN 1°

3.3.1 KONSTRUKTIBILNOST KOTA 1°

Al Kašijeva začetna ideja za izračun sin 1° je bila, da bi krogu s polmerom 1 včrtali pravilni 360-kotnik. To idejo je moral opustiti, ker 360-kotnik ni konstruktibilen, saj kot pravi Gauss, lahko pravilni n-kotnik konstruiramo s šestilom in neoznačenim ravnilom, če je število stranic enako n = 2^k∙p₁∙p₂∙ … ∙p_n, kjer je k∈ ℕ₀, p₁, p₂,…, p_n pa so različna Fermatova praštevila. Fermatovo število je število oblike F_n = 2²ⁿ + 1, kjer je n ∈ ℕ₀ [27].

Poglejmo razcep števila 360 na prafaktorje:

360 = 2³∙3²∙5.

Števili 3 in 5 sta Fermatovi praštevili, saj 3 = 2²⁰ + 1 in 5 = 2²¹+ 1. Zaradi 3² število 360 ni produkt različnih Fermatovih praštevil in sledi, da pravilni 360-kotnik ni konstruktibilen.

Na podoben način ugotovimo, da tudi kot 2° ni konstruktibilen, saj pripadajočega pravilnega 180-kotnika ne moramo konstruirati s šestilom in neoznačenim ravnilom, ker število stranic 180 = 2² ∙3²∙5 ni produkt različnih Fermatovih praštevil.

Poglejmo si sedaj konstruktibilnost kota 3°, ki ga dobimo, če krogu s polmerom 1 včrtamo pravilni 120-kotnik. Število 120 razcepimo na prafaktorje in dobimo:

120 = 2³∙3∙5.

Kot smo ţe prej ugotovili, sta števili 3 in 5 različni Fermatovi praštevili, zato lahko pravilni 120-kotnik konstruiramo s šestilom in neoznačenim ravnilom.

3.3.2 IZRAČUN SIN 3°

Pri izračunu sin 1° si je Al Kaši pomagal s sin 3°. Ker pa je moral najprej izračunati vrednost sin 3°, je predpostavil, da krogu s polmerom 1 včrtamo pravilni štirikotnik, petkotnik in šestkotnik. Njihove stranice lahko izračunamo poljubno natančno. S pomočjo adicijskih izrekov lahko poiščemo sinus 18° in sinus razlike 60°−45° = 15°, nazadnje pa še sinus razlike 18°−15° = 3° [3].

Da bi lahko izrazili sin 3°, moramo najprej najti vrednosti funkcij sinus in kosinus za kota 18°

in 15°.

20

Pri iskanju vrednosti funkcije sinus in kosinus za kot 18° je potrebno najti vrednosti funkcij sinus in kosinus kakšnega naravnega mnogokratnika kota 18°, npr. kota 36°. S pomočjo adicijskih izrekov lahko poiščemo sinus vsote 18° + 18° = 36° in sinus razlike 90°−54° = 36°, ju enačimo in s pomočjo kvadratne enačbe poiščemo vrednost sinusa 18° [9].

Za sinus in kosinus kotov veljajo naslednji adicijski izreki [4]:

sin α+β = sinαcosβ+ cosαsinβ, sin α − β = sinαcosβ −cosαsinβ, cos α+β = cosαcosβ −sinαsinβ, cos α − β = cosαcosβ+ sinαsinβ.

Kotne funkcije dvojnih kotov za sinus in kosinus pa izračunamo po naslednjih formulah [4]:

sin 2α= 2 sinαcosα, cos 2α = cos²α −sin²α.

Z adicijskim izrekom lahko zapišemo sinus vsote 18° + 18°:

sin 18° + 18° = sin 18° cos 18° + cos 18° sin 18°

sin 18° + 18° = 2 sin 18° cos 18°.

Poiskati moramo še sinus razlike 90°−54°:

sin 90°−54° = sin 90°− 18° + 18° + 18°

sin 90°−54° = cos 18° + 18° + 18°

sin 90°−54° = cos 18° cos 2∙18° −sin 18° sin 2∙18°

sin 90°−54° = cos 18° cos²18°−sin²18° −sin 18° 2 sin 18° cos 18°

sin 90°−54° = cos 18° ( cos²18°−sin²18°−2 sin²18°) sin 90°−54° = cos 18° ( cos²18°−3 sin²18°).

21 Sledi:

sin 18° + 18° = sin 90°−54°

2 sin 18° cos 18° = cos 18° cos²18°−3 sin²18° /: cos 18°≠ 0 2 sin 18° = cos²18° + sin²18° −4 sin²18°

2 sin 18° = 1−4 sin²18°.

Za sin 18° uvedemo neznanko in rešimo kvadratno enačbo:

2x = 1−4x² 4x²+ 2x−1 = 0 x_1,2 = ^{−2± 22−4∙4∙ −1}

2∙4 =^{−2±2 5}

8 =^{−1± 5}

4 .

Ker je sinus v prvem kvadrantu pozitiven, je ustrezna le pozitivna rešitev kvadratne enačbe:

sin 18° =^{−1+ 5}

4 = ⁵⁻¹

4 .

Sedaj, ko poznamo vrednost sin 18°, lahko s pomočjo enakosti sin²α+ cos²α= 1 izračunamo tudi cos 18°:

sin²18° + cos²18° = 1 cos 18° = ± 1−sin²18°.

Zopet bomo izbrali samo pozitivno rešitev, saj je tudi kosinus v prvem kvadrantu pozitiven:

cos 18° = 1− ⁵⁻¹

4 2

cos 18° = 1−^{6−2 5}

16 cos 18° = ^{16−(6−2 5)}

16 cos 18° = ^{10+2 5}

4 .

22

Z adicijskimi izreki poiščimo sedaj še sinus in kosinus kota 15°.

Sinus razlike 60°−45° = 15° zapišemo kot:

sin 15° = sin 60°−45°

sin 15° = sin 60° cos 45°−cos 60° sin 45°

sin 15° = ³

2 ∙ ²

2 −¹

2∙ ²

2 sin 15° = ⁶

4 − ²

4 sin 15° = ^{6− 2}

4 .

Kosinus razlike 60°−45° = 15° zapišemo kot:

cos 15° = cos 60°−45°

cos 15° = cos 60° cos 45° + sin 60° sin 45°

cos 15° =¹

2∙ ²

2 + ³

2 ∙ ²

2 cos 15° = ²

4 + ⁶

4 cos 15° = ^{6+ 2}

4 .

Sedaj, ko smo izračunali vrednosti funkcij sinus in kosinus za kota 18° in 15°, lahko končno izračunamo vrednost sinusa funkcije za kot 3°:

sin 3° = sin 18°−15°

sin 3° = sin 18° cos 15°−cos 18° sin 15°

sin 3° = ⁵⁻¹

4 ∙ ^{6+ 2}

4 − ^{10+2 5}

4 ∙ ^{6− 2}

4 sin 3° = 5−1 6+ 2

4 − 6− 2 10+2 5

4

sin 3° = 0,05233595624294383…

23 3.3.3 IZRAČUN SIN 1°

Ker poznamo vrednosti sin 0° in sin 90°, lahko predpostavimo naslednje:

0 < sin 1° < 1.

S pomočjo adicijskih izrekov, lahko izračunamo sinus vsote 1° + 2° = 3°. Sledi:

sin 3° = sin 1° + 2°

sin 3° = sin 1° cos 2° + cos 1° sin 2°

sin 3° = sin 1° cos 1° + 1° + cos 1° sin 1° + 1°

sin 3° = sin 1° cos 1° cos 1°−sin 1° sin 1° + cos 1° sin 1° cos 1° + cos 1° sin 1°

sin 3° = sin 1° cos 1° ²− sin 1° ² + cos 1° 2 sin 1° cos 1°

sin 3° = sin 1° 1− sin 1° ²− sin 1° ² + 2 sin 1° cos 1° ² sin 3° = sin 1° 1−2 sin 1° ² + 2 sin 1° 1− sin 1° ² sin 3° = sin 1°−2 sin 1° ³+ 2 sin 1°−2 sin 1° ³

sin 3° = 3sin 1°−4 sin 1° ³.

Uvedemo neznanko x = sin 1° in dobimo enačbo tretje stopnje:

sin 3° = 3x−4x³. (1) Al Kaši se je zavedal neenakosti

sinφ > ¹

n sin n∙ φ , n∈ ℕ,

iz katere sledi, da je sin 1° >¹

3sin 3°. (2) Prav zato je enačbo (1) prepisal v naslednjo obliko [5]:

x = ⁴

3x³+¹

3sin 3°. (3)

24

Zaradi neenakosti (2) ne more biti bistveno večji od ¹

3sin 3°. Potemtakem je x decimalno število in morata biti njegovi prvi dve ali celo prve tri decimalke enake decimalkam iz izraza

1

3sin 3°. Al Kaši je uporabil ţe znano vrednost za sin 3° in dobil [5]:

1

3sin 3° = 0,01744531874…

Število x lahko sedaj zapišemo kot x = 0,01a₁a₂a₃…a_k, kjer so a_k števila med 0 in 9 [5].

Ko je v enačbo (3) vstavil oceno x₀ = 0,01, je dobil naslednje [5]:

0,01a₁a₂a₃…a_k = 4

3 0,01a₁a₂a₃…a_k ³+1

3sin 3°

0,01a₁a₂a₃…a_k = 0,0000013…+ 0,0174453… /−0,01 0,00a₁a₂a₃…a_k = 0,0000013…+ 0,0074453…

0,00𝐚_𝟏a₂a₃…a_k = 0,00𝟕4466…

Število a₁ iz leve strani enačbe je enako tretji decimalki iz desne strani enačbe, sledi a₁ = 7.

Tako je dobil prvo oceno x₁ = 0,017.

Ko je dobil oceno x₁, je ponovil postopek, le da je v enačbo (3) vstavil oceno x₁, sledi:

0,017a₂a₃…a_k = 4

3 0,017a₂a₃…a_k ³+1

3sin 3°

0,017a₂a₃…a_k = 0,0000065…+ 0,0174453… /−0,017 0,000a₂a₃…a_k = 0,0000065…+ 0,0004453…

0,000𝐚_𝟐a₃…a_k = 0,000𝟒518…

Iz enačbe razberemo a₂ = 4, torej je druga ocena enaka x₂ = 0,0174.

Za izračun tretje ocene je v enačbo (3) vstavil x₂: 0,0174a₃…a_k = 4

3 0,0174a₃…a_k ³+1 3sin 3°

0,0174a₃…a_k = 0,0000070…+ 0,0174453… /−0,0174 0,0000a₃…a_k = 0,0000070…+ 0,0000453…

25 0,0000𝐚_𝟑…a_k = 0,0000𝟓23…

Sledi, da je a₃ = 5 in če vstavimo to vrednost v , dobimo oceno x₃ = 0,01745.

Al Kaši je opazil, da je -ta decimalka vrednosti na desni strani odvisna od k−1 decimalnega števila za x. Nadaljeval je s postopnim računanjem ocene x in izračunal pribliţek x = sin 1° = 0,0174524064372835103712, ki ima pravilnih prvih 17 decimalk [5].

Pa poglejmo, zakaj Al Kašijev algoritem pripelje tako blizu prave vrednosti sin 1°. Naj bo [5]:

1

3sin 3° = p,

4

3x³+ p = f(x),

0,01a₁a₂a₃…a_k = x_k.

Opazimo, da zgoraj zapisani Al Kašijev algoritem pripelje do naslednjega zaporedja [5]:

x₁ = f x₀ ,

x₂ = f x₁ = f f x₀ ,

…

x_k = f f f …f x₀ … . (4) Pokazati moramo, da zaporedje (4) res konvergira k sin 1° in da je Al Kašijev algoritem res učinkovit postopek iskanja vrednosti sin 1°, slika 3.7.

26

Slika 3.7: Grafični prikaz določanja vrednosti sin 1°.

Pomagali si bomo z metodo navadne iteracije, ki je preprosta in učinkovita numerična metoda za določanje negibnih točk funkcije.

Iteracija je postopek, pri katerem enačbo f x = 0 rešujemo iterativno. To pomeni, da ponavljamo postopek, s katerim dobimo zaporedje pribliţkov, ki ima za limito rešitev enačbe 𝛼. Pri navadni iteraciji enačbo f x = 0 rešujemo tako, da najprej poiščemo ekvivalentno enačbo oblike x = g x , kjer je g iteracijska funkcija. To se da storiti na več načinov.

Naštejmo nekaj primerov:

g x = x−f x ,

g x = x−C f x , C≠ 0, g x =𝑥 −h x f x , h x ≠0.

Nato si izberemo začetni pribliţek x₀ in računamo pribliţke s predpisom x_r+1 = g(x_r)

27

za r = 0,1,2,… Pri tem moramo pravilno izbrati iteracijsko funkcijo in začetni pribliţek, saj v nasprotnem primeru pribliţki ne bodo konvergirali proti rešitvi. Za iteracijsko funkcijo g mora veljati

f x = 0 ⟺ g x = x,

kar pomeni, da ima negibne točke ravno v ničlah funkcije f [33].

Enačbo (3) preoblikujemo v obliko α= f α : x = ⁴

3x³+¹

3sin 3°

4x³ = 3x−sin 3°

x = ³

4x−¹

4sin 3°

3

f α = ³

4α −¹

4sin 3°

3 ;

opazimo, da je določanje korena enačbe (3) enakovredno iskanju negibne točke 𝛼 funkcije f α [28].

Obstoj in edinstvenost take negibne točke pa sta zagotovljena z dvema konvergenčnima izrekoma.

Prvi se nanaša na okolico korena, katerega eksistenco predpostavimo.

IZREK 3.1 Naj bo 𝛼 koren enačbe 𝑥=𝑔(𝑥). Naj bo funkcija g zvezno odvedljiva na intervalu 𝐼 = 𝛼 − 𝑎,𝛼+𝑎 in naj velja 𝑔^′(𝑥) ≤ 𝑚< 1 za vsak 𝑥 ∈ 𝐼.

Potem za vsak 𝑥₀ ∈ 𝐼 zaporedje 𝑥_𝑟+1 = 𝑔 𝑥_𝑟 , 𝑟= 0,1,… konvergira k 𝛼 in velja ocena za napako

𝑥_𝑟− 𝛼 ≤ ^𝑚

1−𝑚 𝑥_𝑟 − 𝑥_𝑟−1 .

Ker pa je 𝑥₀ ∈ 𝐼, ležijo vsi nadaljnji približki v notranjosti intervala I. Zato iz zgornje neenačbe sledi tudi

28 𝑥_𝑟 − 𝛼 ≤ 𝑚^𝑟 𝑥₀− 𝛼 [11].

Drugi izrek se nanaša na okolico začetnega pribliţka, eksistenca korena pa je posledica predpostavk.

IZREK 3.2 Naj zadošča funkcija g Lipschitzovemu pogoju na intervalu 𝐼= 𝑥_𝑜 − 𝑎,𝑥_𝑜+𝑎

𝑔 𝑥 − 𝑔(𝑦) ≤ 𝑚 𝑥 − 𝑦 , 𝑥,𝑦 ∈ 𝐼

s konstanto 0≤ 𝑚< 1 in naj velja 𝑔(𝑥₀)− 𝑥₀ ≤ 1− 𝑚 𝑎.

Potem ležijo vsi členi zaporedja 𝑥_𝑟+1 = 𝑔 𝑥_𝑟 , 𝑟= 0,1,… na intervalu I, zaporedje je konvergentno

lim_𝑟→∞𝑥_𝑟 =𝛼

in limita 𝛼 je edina rešitev enačbe 𝑥= 𝑔(𝑥) na intervalu I [11].

Izbrati moramo zaprti interval za funkcijo . Imamo kubično funkcijo f x = ⁴

3x³+ p, kjer je

p =¹

3sin 3°.

Ker je vrednost p = 0,01…, si lahko izberemo npr. interval I = 0.01,0.02 .

Odvod

f′ x = 4x²

je na izbranem zaprtem intervalu pozitiven, slika s funkcijo f pa je ravno na intervalu , saj velja

29 f 0,01 = 0,01744…> 0,01

in

f 0,02 = 0,01745…< 0,02.

Ker odvod f′ narašča na intervalu , ima na tem intervalu tudi maksimum, ki naj bi bil ravno pri x = 0,02. Sledi,

f′ x ≤0,0016 = 1,6∙10⁻³.

Ocenimo napako po izreku 3.1 za r = 19, kjer za m vzamemo največjo vrednost odvoda 4x² na intervalu I = 0.01,0.02 :

x₁₉− α ≤ ^m

1−m x₁₉−x₁₈ . x₁₉− α ≤ 1,6∙10⁻³

1−1,6∙10⁻³ 0,1∙10⁻²⁰ x₁₉− α ≤ 1,6∙10⁻²⁴.

To pa sedaj potrjuje Al Kašijeve domneve, da vsak korak iteracije pripelje vsaj do ene pravilne decimalke več, napaka pa naj bi znašala največ 1,6∙10⁻²⁴.

Metoda z zaporednimi pribliţki ima veliko prednost pred drugimi metodami, saj računska napaka v splošnem ne vpliva na točnost rezultata. Računska napaka nam kvečjemu podaljša računanje, do ţelenega rezultata pa pridemo vselej. Ţe med samim računanjem pribliţkov se manjše napake popravijo kar same [13].

Kubično enačbo, preko katere bi prišli do pribliţka za sin 1°, bi lahko natančno izrazili tudi s Cardanovo formulo za reševanje enačb tretje stopnje oblike

𝑥³+𝑝𝑥+𝑞= 0.

Za rešitev enačbe bi tako dobili

𝑥= −^𝑞

2+ ^𝑞

2

2+ ^𝑝

3 3 3

+ −^𝑞

2− ^𝑞

2

2+ ^𝑝

3 3 3

.

Kaj kmalu opazimo, da bi bilo takšno reševanje kubične enačbe zapleteno, saj bi poleg kvadratnega korena potrebovali še tretji koren [12].

30 3.3.4 IZRAČUN SIN 2° PO AL KAŠIJU

Pri izračunu sin 2° si bomo pomagali s sin 6°. Najprej bomo poiskali vrednost funkcije sinus in kosinus pri kotu 36°, nato pa bomo s pomočjo adicijskih izrekov poiskali sinus razlike 36°−30° = 6°, nazadnje pa še 2° + (2° + 2°) = 6°.

V podpoglavju 3.3.2 smo ţe izračunali vrednosti sin 18° in cos 18°, zato velja:

sin 36° = sin(2∙18°) sin 36° = 2sin 18° cos 18°

sin 36° = 2∙ ⁵⁻¹

4 ∙ ^{10+2 5}

4 sin 36° =^{( 5−1) 10+2 5}

8 .

Izračunamo še

cos 36° = ± 1−sin²36°, vzamemo samo pozitivno rešitev:

cos 36° = 1− ^{( 5−1) 10+2 5}

8

2

cos 36° = 64− 6−2 5 10+2 5

64

cos 36° = 64−(40−8 5)

8

cos 36° = ^{24+8 5)}

8 cos 36° = ^{4(1+ 5)}

2

8 cos 36° = ^{1+ 5}

4 .

31 Nadaljujemo z izračunom sin 6°:

sin 6° = sin 36°−30°

sin 6° = sin 36° cos 30°−cos 36° sin 30°

sin 6° =^{( 5−1) 10+2 5}

8 ∙ ³

2 −^{1+ 5}

4 ∙¹

2 sin 6° = 3 5−1 10+2 5−2(1+ 5)

16

sin 6° = 0,104528463267653471…

S pomočjo adicijskih izrekov zapišemo sinus vsote 2° + (2° + 2°) = 6°:

sin 6° = sin 2° + (2° + 2°)

sin 6° = sin 2° cos(2° + 2°) + cos 2° sin(2° + 2°)

sin 6° = sin 2° (cos²2°−sin²2°) + cos 2° (2 sin 2° cos 2°) sin 6° = sin 2° (1−2 sin²2°) + 2 sin 2° 1−sin²2°

sin 6° = sin 2°−2 sin³2° + 2 sin 2°−2 sin³2°

sin 6° = 3 sin 2°−4 sin³2°.

Uvedemo neznanko x = sin 2° in dobimo kubično enačbo, ki jo najprej preoblikujemo v ustrezno obliko:

sin 6° = 3x−4x³ 3x = 4x³+ sin 6°

x = ⁴

3x³+¹

3sin 6°.

Velja naslednja neenakost:

sin 2° >¹

3sin 6°.

32 Za sin 6° uporabimo ţe znano vrednost in dobimo:

1

3sin 6° = 0,0348428210892178237999447182…

Prvi dve decimalki sin 2° sta zagotovo isti kot prvi dve decimalki vrednosti ¹

3sin 6°, zato lahko zapišemo

x = sin 2° = 0,03a₁a₂…a_k, kjer so a_k števila med 0 in 9.

Sedaj lahko s postopkom Al Kašijeve iteracije izračunamo vrednost sin 2° poljubno natančno.

V nadaljevanju bomo izračunali z zaporednimi pribliţki sin 2° na 25 decimalnih mest natančno in ga primerjali z vrednostjo izračunano z računalom. Za prvi pribliţek vzamemo x₀ = 0,03.

0,03a₁a₂…a_k = ⁴

3 0,03a₁a₂…a_k ³ +¹

3sin 6°

0,03a₁a₂…a_k = 0,0348788… /−0,03 0,00𝐚_𝟏a₂…a_k = 0,00𝟒8788…

a₁ = 4 ⟹ x₁ = 0,034.

0,034a₂…a_k = 4

3 0,034a₂…a_k ³+1 3sin 6°

0,034a₂…a_k = 0,0348952… /−0,034 0,000𝐚_𝟐…a_k = 0,000𝟖952…

a₂ = 8 ⟹ x₂ = 0,0348.

0,0348a₃…a_k = 4

3 0,0348a₃…a_k ³+1 3sin 6°

0,0348a₃…a_k = 0,03489901… /−0,0348 0,0000𝐚_𝟑…a_k = 0,0000𝟗901…

a₃ = 9 ⟹ x₃ = 0,03489.

33 0,03489a₄…a_k =4

3 0,03489a₄…a_k ³+1 3sin 6°

0,03489a₄…a_k = 0,03489945… /−0,03489 0,00000𝐚_𝟒…a_k = 0,00000𝟗45…

a₄ = 9 ⟹ x₄ = 0,034899.

0,034899a₅…a_k =4

3 0,034899a₅…a_k ³+1 3sin 6°

0,034899a₅…a_k = 0,03489949… /−0,034899 0,000000𝐚_𝟓…a_k = 0,000000𝟒9…

a₅ = 4 ⟹ x₅ = 0,0348994.

0,0348994a₆…a_k =4

3 0,0348994a₆…a_k ³+1 3sin 6°

0,0348994a₆…a_k = 0,034899496… /−0,0348994 0,0000000𝐚_𝟔…a_k = 0,0000000𝟗6…

a₆ = 9⟹ x₆ = 0,03489949.

0,03489949a₇…a_k =4

3 0,03489949a₇…a_k ³+1

3sin 6°

0,03489949a₇…a_k = 0,0348994966698… /−0,03489949 0,00000000𝐚_𝟕…a_k = 0,00000000𝟔6698…

a₇ = 6⟹ x₇ = 0,034899496.

0,034899496a₈…a_k =4

3 0,034899496a₈…a_k ³+1

3sin 6°

0,034899496a₈…a_k = 0,034899496699078… /−0,034899496 0,000000000𝐚_𝟖…a_k = 0,000000000𝟔99078…

a₈ = 6⟹ x₈ = 0,0348994966.