Telo v prostoruR3 je dolo£eno takole x2+y2+z2+ 2Rz ≤0 in z≥ −p x2+y2

UM FNM, Oddelek za matematiko in ra£unalni²tvo Izpit pri predmetu Analiza IV

16. 6. 2020

Navodila: Pripravi osebni dokument. Ugasni in odstrani mobilni telefon. Pi²i

£itljivo, vse odgovore natan£no utemelji in jih nedvoumno podaj. Dovoljena sta najve£ dva A4 lista s formulami in priro£nik, re²ene naloge so prepovedane. ƒas re²evanja je 120 minut.

1. [25] Naj bo R >0. Telo v prostoruR³ je dolo£eno takole x²+y²+z²+ 2Rz ≤0 in z≥ −p

x²+y².

Izra£unaj vztrajnostni moment homogenega telesa pri vrtenju okoli osi z. Telo tudi skiciraj.

2. [25] KrivuljaKje podana parametri£no~r:R→R³,~r(t) = (t,1−t⁴, t²−1). (a) Skiciraj pravokotne projekcije krivuljeKna ravnine z ena£bamix= 0,

y = 0 in z = 0. Nato poi²£i ²e ploskev na kateri leºi krivulja K in s pomo£jo le-te ter projekcij skiciraj krivuljo K.

(b) Ali obstaja to£ka na krivulji K, v kateri tangenta na krivuljo K seka os y? Utemelji!

3. [25] Ploskev P dobimo tako, da krivuljo z ena£bo(x²+y²)² =x, ki leºi na ravnini z ena£bo z = 0, zavrtimo okoli osi x.

(a) Parametriziraj in skiciraj ploskevP.

(b) Poi²£i ena£bo tangentne ravnine na ploskevP v to£kiT

1 2√³

2,−

√3 2√³

2,0 . 4. [25] Telo G v prostoruR³ je dolo£eno z

x²+y² ≤1 in 0≤z ≤x+y+ 3,

vektorsko poljeF~ :R³ →R³ pa s predpisomF~(x, y, z) = (xy,0,1). Skiciraj obmo£jeG in izra£unaj pretok vektorskega poljaF~ skozi ploskev∂Gv smeri zunanje normale na dva na£ina:

(a) direktno,

(b) s pomo£jo Gaussovega izreka.