1. Doloˇcite naravno definicijsko obmoˇcje funkcije f(x) = ln(|x

PRIIMEK IME VPISNA ˇSTEVILKA SMER NALOGA TO ˇCKE 1.

2.

3.

4.

5.

SKUPAJ

RA ˇ CUNSKI DEL IZPITA IZ PREDMETA

OSNOVE MATEMATI ˇ CNE ANALIZE

6.6.2007

Toˇckovanje: 20+20+20+10+30=100

1. Doloˇcite naravno definicijsko obmoˇcje funkcije f(x) = ln(|x

− 4| − 4|x − 1|).

2. Naj bo A =



 −1 1 −2

1 1 2

1 3 0



 in B =



 1 −2 3

1 0 −2

−3 1 5



 . Reˇsite matriˇcno enaˇcbo AX = B − X.

3. Dolˇcite a in b tako, da bo funkcija

f (x) =

 

 

 

 

 



sin(x²)

1+2x−e^2x

x < 0

b x = 0

√9+x−3

ax

x > 0 zvezna.

4. Naj bo f (x, y) = xe

.

Doloˇcite smer najhitrejˇsega naraˇsˇcanja funkcije f(x, y) v toˇcki (−1, 2).

5.(a) Dan je funkcijski predpis

f (x) = x

ln x.

Doloˇcite definicijsko obmoˇcje, niˇcle, ekstreme, intervale monotonosti, konveksnosti in konkavnosti funkcije. Raziˇsˇcite obnaˇsanje funkcije na krajiˇsˇcih definicijskega obmoˇcja in funkcijo nariˇsite.

(b) Izraˇcunajte R

1

f (x)dx.

1

REˇSITVE 1. naloga:

Funkcija f(x) je definirana, kadar je |x²−4| −4|x−1| > 0. Torej je definicijsko obmoˇcje funkcije f enako (−∞,−2−2√

3)∪(0,−2 + 2√

3)∪(4,∞).

2. naloga:

Iz matriˇcne enaˇcbe izrazimoX = (A+I)⁻¹B.

(A+I)⁻¹=



 4 7 −6

−1 −2 2

−1 −1 1



in X=



 29 −14 −32

−9 4 11

−5 3 4



.

Lahko pa nalogo reˇsimo tudi hitreje tako, da Gaussov postopek delamo na razˇsirjeni matriki [A+I...B] toliko ˇcasa, da dobimo razˇsirjeno matriko [I...X].

3. naloga:

Funkcija bo v zvezna v x= 0, ˇce bo leva limita limx%0 sin(x²)

1+2x−e^2x =−¹₂ enaka desni limiti limx&0

√9+x−3 ax =−_6a¹ in funkcijski vrednostif(0) =b. Temu pogoju je zadoˇsˇceno, ˇce jea=−¹₃ in b=−¹₂.

4. naloga:

(grad f)(x, y) = (1 +x−xy)e^x−xy+y2, x(−x+ 2y)e^x−xy+y2)

Smer najhitrejˇsega naraˇsˇcanjaf v toˇcki (−1,2) je enaka (grad f)(−1,2) = (2e⁵,−5e⁵).

5. naloga:

(a)Df = (0,∞),f ima niˇclo vx= 1, limx&0f(x) = 0 in limx→∞f(x) =∞. Prvi odvod jef⁰(x) =x²(3 lnx+ 1), lokalni minimum ima v x = e⁻¹³, f(e⁻¹³) = −_3e¹, in naraˇsˇca na intervalu (e⁻¹³,∞). Drugi odvod je f⁰⁰(x) = x(6 lnx+ 5), prevoj ima vx=e⁻⁵⁶ in je konveksna na (e⁻⁵⁶,∞). Graf funkcije:

0.5 1 1.5 2

-0.1 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

x³ln x

(b) Pri raˇcunanju integrala si pomagamo z metodo per partes.

Z2

1

x³lnx dx= x⁴ 4 lnx

¯¯

¯²

1− Z2

1

x³

4 dx= 4 ln 2−x⁴ 16

¯¯

¯²

1= 4 ln 2−15 16

2