UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA
Specialna in rehabilitacijska pedagogika, Posebne razvojne in učne težave
Mojca Žerjav
TRENING REŠEVANJA EKSPONENTNIH ENAČB IN NEENAČB Z DIJAKINJO Z UČNIMI TEŽAVAMI PRI
MATEMATIKI
Magistrsko delo
Ljubljana, 2021
UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA
Specialna in rehabilitacijska pedagogika, Posebne razvojne in učne težave
Mojca Žerjav
TRENING REŠEVANJA EKSPONENTNIH ENAČB IN NEENAČB Z DIJAKINJO Z UČNIMI TEŽAVAMI PRI
MATEMATIKI
TRAINING ON SOLVING EXPONENT EQUATIONS AND INEQUATIONS WITH A STUDENT WITH LEARNING DIFFICULTIES IN MATHEMATICS
Magistrsko delo
Mentorica: izr. prof. dr. Marija Kavkler
Ljubljana, 2021
ZAHVALA
Iskrena hvala mentorici izr. prof. dr. Mariji Kavkler za podporo in strokovno usmerjanje pri pisanju magistrskega dela. Hvala za Vašo stalno pomoč.
Matija, hvala za vso potrpežljivost in spodbudne besede, ko sem jih najbolj potrebovala. Hvala, da si mi stal ob strani.
Najlepša hvala vsem mojim domačim, sestram za vlivanje motivacije in staršem za zaupanje v moje sposobnosti.
Hvala dijakinji, ki je bila vedno pripravljena na nove izzive in sem se vedno veselila ponovnega srečanja z njo.
Hvala Endrina, Teja in Martina, da ste me kot moje sotrpinke bodrile pri doseganju zastavljenih ciljev.
Najlepša hvala Kseniji za lektoriranje celotnega magistrskega dela, da bo lažje berljivo.
POVZETEK
Splošne učne težave dijakov lahko izvirajo iz neustreznih vzgojno-izobraževalnih interakcij, nekaterih notranjih dejavnikov ali pa iz okolja. Pri tem sta kulturna različnost in drugojezičnost pogosto podcenjena dejavnika kot vzroka učnih težav. Prav tako je pri dijakih, ki počasneje usvajajo znanja, pričakovano počasnejše napredovanje pri usvajanju šolskih veščin in znanj, saj se pri njih raven storilnosti ali učni dosežki ujemajo z intelektualnimi sposobnostmi. Najpogosteje imajo dijaki z učnimi težavami pri matematiki slabše izobraževalne dosežke pri tem predmetu že v osnovni šoli. Na nacionalnih preverjanjih znanja se je pokazalo, da imajo devetošolci med drugim velike težave z nalogami iz algebre, kamor spada tudi reševanje enačb in neenačb, ter z nalogami potenciranja in računanja z ulomki, ki pa so osnova za reševanje eksponentnih enačb in neenačb. Pri uspešnejšem napredovanju jim lahko pomagamo z upoštevanjem njihovih posebno-izobraževalnih potreb, kot so potreba po konkretnih vizualno-shematskih predstavitvah, zapisovanju vmesnih rezultatov, vztrajanju pri nalogah in upoštevanju zaporedij primerov. Za izboljšanje kakovosti učenja je najprej potrebno oceniti napake dijakov in eden od načinov ocenjevanja je analiziranje napak dijakov. Na takšen način lahko ugotovimo vzrok težav in najdemo rešitve za njihovo odpravo. Napake, ki jih glede na rezultate raziskav dijaki najpogosteje naredijo pri reševanju eksponentnih enačb, so: nerazumevanje koncepta eksponentnih enačb, neustrezna uporaba in vrstni red računskih operacij ter napačna uporaba skupne osnove potenc. Pred poučevanjem reševanja eksponentnih enačb in neenačb mora učitelj sam dobro razumeti njihov koncept ter med poučevanjem in utrjevanjem snovi vključevati življenjske primere ter situacije, saj s tem dijaki pridobijo nove ideje reševanja problema in pridobijo globlje razumevanje.
Študijo primera sem izvedla z dijakinjo z učnimi težavami pri matematiki, ki je v času izvajanja treninga obiskovala 3. letnik srednje strokovne ekonomske šole in je dosegala predpisane vzgojno-izobraževalne cilje pri matematiki z velikimi težavami.
Oblikovala sem 16-urni trening reševanja eksponentnih enačb in neenačb z namenom oblikovati, izvesti in evalvirati trening za utrjevanje reševanja eksponentnih enačb in eksponentnih neenačb po začetni oceni temeljnih konceptualnih in proceduralnih znanj. Trening je vključeval utrjevanje predznanja, utrjevanje reševanja eksponentnih enačb in neenačb na analitičen in grafičen način ter utrjevanje sprotne učne snovi v šoli pri matematiki. Ob koncu izvajanja treninga sem preverila še morebitno spremembo samovrednotenja dijakinje na področju učnih dosežkov in uspehov pri matematiki. Rezultati raziskave so pokazali, da je dijakinja pred začetkom treninga imela primanjkljaje v konceptualnem in proceduralnem znanju na prav vseh področjih predznanj, ki so potrebna za reševanje eksponentnih enačb in neenačb. Z ustreznimi prilagoditvami, uporabo različnih pripomočkov, eksplicitnim poučevanjem, upoštevanjem postopnosti zaporedij in s predstavitvijo raznolikih strategij reševanja matematičnih problemov je dijakinja vidno napredovala pri reševanju eksponentnih enačb in neenačb. Prav tako je trening vplival na bolj pozitivno samovrednotenje dijakinje na področju uspehov in dosežkov pri matematiki. Trening je bil uspešen, saj se je pri dijakinji z učnimi težavami pri matematiki pokazal napredek na več področjih
reševanja eksponentnih enačb in neenačb, kot tudi na področjih predznanja, ki so bila vključena v trening. Ugotovitve po koncu treninga bodo tako lahko v pomoč specialno rehabilitacijskim pedagogom pri obravnavi dijakov z učnimi težavami pri matematiki.
KLJUČNE BESEDE: dijaki s splošnimi učnimi težavami, učne težave pri matematiki, reševanje eksponentnih enačb in neenačb, samovrednotenje učnih dosežkov in uspehov
ABSTRACT
Students' general learning difficulties can stem from inappropriate educational interactions, some internal factors, or the environment. Cultural and linguistic diversity, meanwhile, are often underestimated factors that can cause a learning difficulty. Also, students who are slower to acquire knowledge are expected to progress more slowly in acquiring school skills and knowledge, as their level of performance or learning achievements match their intellectual abilities. Most often, students with learning difficulties in mathematics already have poorer educational achievements in the subject in primary school. National examinations showed that ninth-graders have major problems with algebra problems, including equations and inequations solving, and with exponentiation and fractional problems, which are the basis for solving exponential equations and inequations. We can help them to progress more successfully by taking into account their special-educational needs, such as the need for concrete visual- schematic presentations, recording intermediate results, insisting on tasks and considering sequences of examples. To improve the quality of learning, it is first necessary to assess students ’mistakes and one way of assessing is to analyse students’ mistakes. This way we can determine the cause of the problems and find solutions to solve them. According to the research results, the most common mistakes made by students in solving exponential equations are: misunderstanding the concept of exponential equations, inappropriate use and order of computational operations, and incorrect use of the common power base. Before teaching to solve exponential equations and inequations, the teacher must have a good understanding of their concept and include life examples and situations during teaching and consolidation of material, as students thus gain new ideas for solving problems and gain a deeper understanding.
I conducted a case study with a student with learning difficulties in mathematics, who attended the 3rd year of secondary vocational school of economics during the training and achieved the prescribed educational goals in mathematics with great difficulty. I designed a 16-hour training to solve exponential equations and inequations in order to design, implement and evaluate training to consolidate the solving of exponential equations and exponential inequations after an initial assessment of basic conceptual and procedural skills. The training included consolidation of prior knowledge, consolidation of solving exponential equations and inequations in the analytical and graphical way, and consolidation of current teaching material in school in mathematics.
At the end of the training, I checked for a possible change in the student's self- evaluation of her learning achievements and success in mathematics. The results of the research showed that before the start of the training, the student had deficits in conceptual and procedural knowledge in all areas of prior knowledge which are needed to solve exponential equations and inequations. With appropriate adjustments, the use of various aids, explicit teaching, observance of the gradualness of sequences and the presentation of various strategies for solving mathematical problems, the student made visible progress in solving exponential equations and inequations. The training also influenced the student to be more positive in her self-evaluation in terms of success
and achievement in mathematics. The training itself proved to be successful, as the student with learning difficulties in mathematics showed progress in several areas of solving exponential equations and inequations, as well as in the areas of prior knowledge that were included in the training. Findings after the end of the training will thus be able to help special rehabilitation educators in dealing with high school students with learning difficulties in mathematics.
KEYWORDS: students with learning difficulties, learning difficulties in mathematics, solving exponential equations and inequations, self-evaluation of learning achievements and successes
KAZALO VSEBINE
1. UVOD ... 1
2. DIJAKI S SPLOŠNIMI UČNIMI TEŽAVAMI PRI MATEMATIKI ... 2
2.1. Značilnosti dijakov s splošnimi učnimi težavami pri matematiki ... 2
2.1.1. Dijaki, ki počasneje usvajajo znanja pri matematiki ... 3
2.1.2. Dijaki z učnimi težavami pri matematiki pogojenimi z drugojezičnostjo ... 5
2.2. Cilji diagnostičnega ocenjevanja težav dijakov pri učenju matematike ... 7
2.3. Splošne komponente uspešnega poučevanja dijakov z učnimi težavami pri matematiki ... 7
2.3.1. Prilagoditev učnega okolja ... 8
2.3.2. Uporaba eksplicitnega poučevanja ... 9
2.3.3. Uporaba raznolikih reprezentacij ... 11
2.3.4. Vključevanje življenjskih primerov v poučevanje matematike ... 12
2.3.5. Vpeljevanje in utrjevanje matematičnih pojmov ... 13
2.3.6. Verbalizacija lastnega matematičnega rezoniranja ... 13
2.3.7. Uporaba mnemotehnik ... 14
2.3.8. Vpogled v pravilno in nepravilno rešene naloge... 15
2.3.9. Vključevanje didaktičnih iger ... 15
2.3.10. Spodbujanje refleksije dijaka ... 15
3. REŠEVANJE EKSPONENTNIH ENAČB IN NEENAČB ... 16
3.1. Predpogoji reševanja eksponentnih enačb in neenačb ... 17
3.1.1. Strategije utrjevanja predznanja za reševanje eksponentnih enačb in neenačb ... 18
3.2. Napake pri reševanju eksponentnih enačb in neenačb ... 21
3.2.1. (Ne)razumevanje koncepta eksponentnih enačb ... 21
3.2.2. Neustrezna uporaba in vrstni red računskih operacij ... 21
3.2.3. Napačna uporaba skupne osnove potenc ... 22
3.3. Strategije reševanja eksponentnih enačb in neenačb ... 22
3.3.1. Učiteljevo razumevanje eksponentnih enačb in neenačb ... 22
3.3.2. Vključevanje življenjskih primerov in situacij pri poučevanju ... 22
3.3.3. Razvijanje sorazmernega mišljenja ... 24
4. SAMOVREDNOTENJE UČNIH DOSEŽKOV IN USPEHOV ... 25
4.1. Samovrednotenje učnih dosežkov in uspehov dijakov pri matematiki ... 25
5. EMPIRIČEN DEL... 27
5.1. Opredelitev raziskovalnega problema ... 27
5.2. Raziskovalni cilji in raziskovalna vprašanja ... 27
5.3. Metoda in raziskovalni pristop ... 28
5.3.1. Vzorec ... 28
5.3.2. Zbiranje podatkov in instrumenti ... 28
5.3.3. Postopki obdelave podatkov ... 31
5.4. Začetna ocena funkcioniranja dijakinje ... 31
5.4.1. Globalna ocena funkcioniranja ter analiza testov pred začetkom treninga ...31
5.4.2. Ključne ugotovitve za pripravo treninga ... 36
5.5. Trening reševanja eksponentnih enačb in neenačb ... 37
5.5.1. Načrtovanje treninga ... 37
5.5.2. Namen in cilji treninga ... 37
5.5.3. Opis in struktura treninga ... 39
5.6. Primerjava rezultatov začetnega in končnega testiranja ter interpretacija ... 82
5.6.1. Rezultati neformalnega preizkusa reševanja eksponentnih enačb in neenačb ... 82
5.6.2. Evalvacija zastavljenih ciljev treninga ... 84
5.6.3. Rezultati lestvice pozitivnega samovrednotenja dosežkov in uspehov pri matematiki ... 85
5.6.4. Odgovori na raziskovalna vprašanja ... 87
6. SKLEP ... 94
7. VIRI IN LITERATURA ... 97
8. PRILOGE ... 105
8.1. Preizkus predznanja, ki je potrebno za reševanje eksponentnih enačb in neenačb, z nalogami objektivnega tipa ... 105
8.2. Neformalen preizkus reševanja eksponentnih enačb in neenačb za začetno preverjanje obvladovanja konceptualnih in proceduralnih znanj reševanja ... 109
8.3. Neformalen preizkus reševanja eksponentnih enačb in neenačb za končno preverjanje obvladovanja konceptualnih in proceduralnih znanj reševanja ... 119
8.4. Lestvica pozitivnega samovrednotenja dosežkov in uspehov pri matematiki ...128
KAZALO SLIK
SLIKA 1: NALOGA Z EKSPONENTNO FUNKCIJO NA POKLICNI MATURI ... 16
SLIKA 2: PONAZORITEV ŠTEVILSKE PREMICE ... 19
SLIKA 3: PRIMER STRUKTURE CEPITVE PRI VPELJAVI POTENCE 2^3 ... 20
SLIKA 4: PRIMER STRUKTURE MNOŽENJA PRI VPELJAVI POTENCE 2^3 ... 20
SLIKA 5: PRIMER NEUPOŠTEVANJA OBRATNIH RAČUNSKIH OPERACIJ ... 22
SLIKA 6: PRIMERI NAPAČNEGA DAJANJA NA SKUPNO OSNOVO ... 22
SLIKA 7: GRAFIČEN PRIKAZ DELJENJA CELIC ... 23
SLIKA 8: PRIMER KARTICE Z NAVODILI IZVEDBE DIDAKTIČNE IGRE DOMINE Z INTERVALI ... 39
SLIKA 9: TERMOMETER SEŠTEVANJA IN ODŠTEVANJA CELIH ŠTEVIL ... 40
SLIKA 10: NAVPIČEN ŠTEVILSKI TRAK CELIH ŠTEVIL ... 41
SLIKA 11: KDO PRIDE PRVI DO CILJA?... 42
SLIKA 12: KONKRETEN PRIKAZ ENEGA DELA CELOTE OD ŠTIRIH DELOV ... 43
SLIKA 13: KONKRETEN PRIKAZ ENEGA DELA CELOTE OD ŠESTIH DELOV ... 43
SLIKA 14: POBARVAJ EN DEL CELOTE OD ŠTIRIH ENAKIH DELOV ... 44
SLIKA 15: POBARVAJ EN DEL CELOTE OD ŠESTIH ENAKIH DELOV ... 44
SLIKA 16: PRIMERJAVA DELOV CELOT PREDSTAVLJENIH NA KONKRETEN NAČIN ... 46
SLIKA 17: OBKROŽI PRAVILEN DEL CELOTE ... 46
SLIKA 18: PRIKAZ ULOMKOV S POMOČJO BARVNIH TRAKOV ... 48
SLIKA 19: PRIKAZ ULOMKA 1/3 NA ŠTEVILSKI PREMICI S POMOČJO PERLIC... 49
SLIKA 20: PRIKAZ ULOMKA 5/4 NA ŠTEVILSKI PREMICI S POMOČJO PERLIC... 50
SLIKA 21: UVRSTI ULOMEK NA PRAVO MESTO NA ŠTEVILSKI PREMICI ... 51
SLIKA 22: PREDSTAVITEV ULOMKA NA RAZLIČNE NAČINE ... 52
SLIKA 23: POVEŽI Z ELASTIKO ... 53
SLIKA 24: VOJNA ULOMKOV ... 54
SLIKA 25: RAZPOREDI PO VELIKOSTI ... 55
SLIKA 26: KARTONČEK PRAVILA OBRATNE VREDNOSTI ... 55
SLIKA 27: SPOMIN Z OBRATI ... 56
SLIKA 28: BARVNI KROG PRAVIL RAČUNANJA S POTENCAMI IN KORENI ... 57
SLIKA 29: ALI LAHKO REŠIŠ VSE NALOGE NA SVOJI POTI?... 58
SLIKA 30: MNEMOTEHNIKA ZA ZAPOMNITEV VLOGE ODPRTEGA IN ZAPRTEGA INTERVALA ... 58
SLIKA 31: DOMINE Z INTERVALI ... 59
SLIKA 32: KONKRETEN PRIKAZ EKSPONENTNE ENAČBE ... 60
SLIKA 33: GRAFIČEN PRIKAZ EKSPONENTNE ENAČBE ... 61
SLIKA 34: KARTONČEK SIMBOLNEGA ZAPISA EKSPONENTNE ENAČBE ... 61
SLIKA 35: GRAFIČEN PRIKAZ IN SIMBOLNI ZAPIS EKSPONENTNE ENAČBE ... 62
SLIKA 36: IZPOSTAVLJANJE SKUPNEGA FAKTORJA V EKSPONENTNI ENAČBI ... 63
SLIKA 37: POIŠČI PRAVILNO ZAPOREDJE KARTIC ... 64
SLIKA 38: IZBERI TEŽAVNOST IN ZBERI NAJMANJ 20 TOČK ... 65
SLIKA 39: POSTAVI PALČKO NA PRAVILNO MESTO ... 66
SLIKA 40: POKRIJ NEENAČBO S PRAVILNO REŠITVIJO V OBLIKI INTERVALA ... 67
SLIKA 41: POJMOVNA SHEMA REŠEVANJA EKSPONENTNIH ENAČB IN NEENAČB ... 68
SLIKA 42: ZBERI NAJVEČ TOČK IN PRIDI PRVA DO CILJA ... 69
SLIKA 43: GRAFIČNA UPRIZORITEV ŠIRJENJA POŽARA GLEDE NA PRETEKLI ČAS ... 70
SLIKA 44: GRAFIČNA UPRIZORITEV GLASNOSTI ZVONJENJA GLEDE NA ODDALJENOST OD ZVONA ... 71
SLIKA 45: ALI JE TO ENAČBA EKSPONENTNE FUNKCIJE? ... 72
SLIKA 46: RAZBERI ZNAČILNOSTI Z GRAFA EKSPONENTNE FUNKCIJE S POMOČJO MNEMOTEHNIKE ... 73
SLIKA 47: RISANJE GRAFA OSNOVNE EKSPONENTNE FUNKCIJE ... 74
SLIKA 48: POIŠČI OSNOVNO ENAČBO EKSPONENTNE FUNKCIJE (IGRA SPOMINA) ... 75
SLIKA 49: RAZTEG ALI SKRČITEV OSNOVNEGA GRAFA EKSPONENTNE FUNKCIJE V SMERI ORDINATNE OSI ... 76
SLIKA 50: PREMIK OSNOVNEGA GRAFA EKSPONENTNE FUNKCIJE V LEVO ALI DESNO GLEDE NA ABSCISNO OS ... 77
SLIKA 51: PREMIK OSNOVNEGA GRAFA EKSPONENTNE FUNKCIJE GOR ALI DOL ... 77
SLIKA 52: MISELNI VZOREC PREMIKOV IN RAZTEGOV OSNOVNEGA GRAFA EKSPONENTNE FUNKCIJE ... 78
SLIKA 53: UTRJEVANJE REŠEVANJA ENAČB IN NEENAČB NA GRAFIČEN NAČIN ... 79
SLIKA 54: MNEMOTEHNIKA SAMOSTOJNEGA REŠEVANJA PROBLEMOV ... 80
SLIKA 55: PRIMER MISELNEGA VZORCA Z ZNAČILNOSTMI GRAFA KOTNIH FUNKCIJ TANGENS IN KOTANGENS 81 SLIKA 56: PRIKAZ GEOMETRIJSKIH TELES PRIZEM IN PIRAMID S POMOČJO ZOBOTREBCEV IN PLASTELINA ... 81
SLIKA 57: REZULTATI LESTVICE POZITIVNEGA SAMOVREDNOTENJA DOSEŽKOV IN USPEHOV PRI MATEMATIKI ... 86
KAZALO PREGLEDNIC
PREGLEDNICA 1: REZULTATI DIJAKINJE NA PREIZKUSU PREDZNANJA GLEDE NA PODROČJA PREIZKUSA ... 32PREGLEDNICA 2: REZULTATI NEFORMALNEGA PREIZKUSA REŠEVANJA EKSPONENTNIH ENAČB IN NEENAČB ZA ZAČETNO PREVERJANJE OBVLADOVANJA KONCEPTUALNIH IN PROCEDURALNIH ZNANJ REŠEVANJA ... 34
PREGLEDNICA 3: CILJI PREDZNANJA, KI JIH DIJAKINJA ŽE DOSEGA ALI PA PRI UTRJEVANJU ŠE POTREBUJE POMOČ ... 36
PREGLEDNICA 4: CILJI REŠEVANJA EKSPONENTNIH ENAČB IN NEENAČB, KI JIH DIJAKINJA ŽE DOSEGA ALI PA PRI UTRJEVANJU ŠE POTREBUJE POMOČ ... 37
PREGLEDNICA 5: PRIMERJAVA REZULTATOV ZAČETNEGA IN KONČNEGA NEFORMALNEGA PREIZKUSA REŠEVANJA EKSPONENTNIH ENAČB IN NEENAČB ... 82
PREGLEDNICA 6: EVALVACIJA ZASTAVLJENIH CILJEV TRENINGA ... 84
1
1. UVOD
Skupina dijakov s splošnimi učnimi težavami je zelo heterogena, saj sta narava in intenzivnost pojavljanja težav odvisni od interakcije vplivov različnih notranjih in zunanjih dejavnikov (Grašič idr., 2010). Z določenim vidikom učenja matematike ima težave 15–25 % šolajoče populacije (Dowker, 2005). Matematika je predmet, pri katerem je predhodno usvojena snov temelj za nadaljnje usvajanje in napredovanje (Thaker, 2011, v Vipavc, 2015). Učne težave dijakov s pomanjkljivim predznanjem se pogosto tako ne izboljšajo, ampak se še poglabljajo, predvsem če niso deležni ustrezne pomoči in podpore. Pri tem jim pomagamo z upoštevanjem njihovih posebno- izobraževalnih potreb, kot so potreba po konkretnih vizualno-shematskih predstavitvah, raznovrstnih reprezentacijah in upoštevanju zaporedij primerov ter potreba po vztrajanju pri nalogah.
Težave s pomanjkljivim predznanjem imajo predvsem dijaki z nižjimi izobraževalnimi dosežki, prav tako pa le-ti težje prosijo za pomoč pri reševanju problemov, saj pogosto ne znajo razložiti, česa dejansko ne razumejo (Yew Hoong idr., 2013). Na morebitne pomanjkljivosti v predznanju pri reševanju eksponentnih enačb in neenačb nakazujejo že rezultati nacionalnega preverjanja znanja in rezultati mednarodne raziskave PISA.
Pri doseganju vzgojno-izobraževalnih ciljev jim lahko nudimo pomoč in podporo z ustrezno prilagoditvijo učnega okolja in s posredovanjem ustreznih strategij reševanja matematičnih problemov. Mnogi strokovnjaki zagovarjajo pomembnost eksplicitnega poučevanja učencev in dijakov z učnimi težavami (Kavkler, 2020; Rajkumar in Hema, 2017; Kavkler, 2011; Grašič idr., 2010). Le-to omogoči učenje ključnih veščin in znanj, prav tako pa vpliva na večjo motivacijo dijakov za učenje. Reševanje eksponentnih enačb in neenačb je abstraktna tema v okviru algebre, saj se za algebraično izražanje uporabljajo črke ali drugi znaki in ne števila, ter iz tega razloga predstavlja še večji izziv dijakom z učnimi težavami pri matematiki.
2
2. DIJAKI S SPLOŠNIMI UČNIMI TEŽAVAMI PRI MATEMATIKI
V šolskem sistemu je zelo pomembno doseganje predpisanih vzgojno-izobraževalnih ciljev pri vseh dijakih, a nekateri jih dosegajo z velikimi težavami (Dukes in Lamar- Dukes, 2009), predvsem dijaki z učnimi težavami. Skupina dijakov s splošnimi učnimi težavami je zelo heterogena, saj sta narava in intenzivnost pojavljanja težav odvisni od interakcije vplivov različnih notranjih in zunanjih dejavnikov (Grašič idr., 2010).
Splošne učne težave dijakov lahko izvirajo iz neustreznih vzgojno-izobraževalnih interakcij (npr. pomanjkanje učnih navad, strah pred neuspehom), nekaterih notranjih dejavnikov (npr. podpovprečne in mejne intelektualne sposobnosti) ali pa iz okolja (npr.
večjezičnost in večkulturnost, socialno-emocionalna prikrajšanost, ekonomska in kulturna prikrajšanost) (Magajna idr., 2008). Dijaki s splošnimi učnimi težavami tako svojih potencialov ne morejo realizirati zaradi različnih notranjih ali zunanjih dejavnikov in njihovi potenciali niso okrnjeni zaradi prisotnosti specifičnih motenj ali posebnosti pri predelovanju določene vrste informacij (Grašič idr., 2010).
2.1. Značilnosti dijakov s splošnimi učnimi težavami pri matematiki
Dijaki s splošnimi učnimi težavami imajo pri matematiki običajno težave tudi pri drugih šolskih predmetih in na splošno počasneje usvajajo znanja (Magajna idr., 2008), prav tako pa so pri njih težave stalno prisotne in za njih niso značilna dnevna nihanja izkazovanja znanja (Žakelj, 2014). Dowker (2005) navaja, da ima z določenim vidikom učenja matematike težave 15–25 % šolajoče populacije. Ocena matematike zaključnega razreda osnovne šole ima med splošnimi šolskimi predmeti (slovenščina, matematika, tuj jezik) najvišjo napovedano vrednost za šolsko neuspešnost v srednji šoli (Flere idr., 2009). Najpogosteje imajo dijaki z učnimi težavami pri matematiki slabše izobraževalne dosežke pri tem predmetu že v osnovni šoli, v srednji šoli pa se njihove učne težave pogosto ne izboljšujejo, ampak še poglabljajo. Pri nekaterih dijakih lahko učna uspešnost upada postopoma, ko se povečuje količina učne snovi in postaja tudi vedno bolj abstraktna. Stopnja učnih težav dijakov se na kontinuumu lahko zmanjša, če je delež ustrezne učne pomoči in podpore, ali pa se poveča, če te pomoči ni deležen (Grašič idr., 2010).
Keizer in Terwei (2004, v Yew Hoong idr., 2013) sta ugotovila, da je dijakom z nizkimi dosežki pri matematiki med drugim skupno to, da:
- imajo preveč pomanjkljive metakognitivne strategije, da bi zamenjali strategijo za reševanje, ki je delovala pri drugih problemih,
- imajo težave s kognitivno obremenjenostjo, predvsem pri reševanju kompleksnih problemov v resničnem življenju,
- jim primanjkuje bogato in dobro organizirano predznanje ter fleksibilna uporaba le-tega,
- imajo težave pri razvoju matematičnega jezika.
Poleg zgoraj naštetimi značilnostmi sta Abu-Hamour in Al-Hmouz (2013) dodala, da dijaki z nizkimi učnimi dosežki poročajo tudi o nizki ravni notranje in zunanje motivacije, o neustrezni rabi samoregulativnih strategij ter o negativnih odnosih do šole in učiteljev.
3
Prav tako se je izkazalo, da notranja motivacija pomembno vpliva na uporabo samoregulativnih strategij, zato je ključno, da učitelji hkrati upoštevajo motivacijo in kognicijo dijakov. Hong idr. (2010) trdijo, da mnogim dijakom primanjkujejo ustrezne učne veščine ali pa kljub poznavanju učinkovitih uporabljajo neučinkovite strategije. Ti dijaki ustreznih strategij pogosto ne uporabljajo zaradi pomanjkanja časa ali motivacije, pomanjkljivega predznanja ali pa so neuspešni pri zaznavanju priložnosti za uporabo le-teh razen v primeru, ko jim je tako naročeno. Iz tega razloga ti dijaki navadno dosegajo nizke rezultate na testih matematike.
Učna neuspešnost ima lahko dolgotrajne posledice za posameznika, saj se ne kaže samo v nižji stopnji dosežene izobrazbe, ampak tudi v možnosti zaposlitve, zdravstvenih težavah in slabši socialni vključenosti (Žakelj in Valenčič Zuljan, 2015).
2.1.1. Dijaki, ki počasneje usvajajo znanja pri matematiki
Izraz »dijaki, ki počasneje usvajajo znanja« uporabljamo za dijake, pri katerih raven splošnih intelektualnih sposobnosti bolj ali manj zaostaja za vrstniki (podpovprečne ali mejne sposobnosti) (Grašič idr., 2010). Intelektualne sposobnosti vključujejo sposobnost razmišljanja, reševanja problemov, analiziranja situacij, ter tako vključujejo sposobnost načrtovanja, abstraktnega razmišljanja, razumevanja idej in jezika za učenje (Rani in Prakash, 2015).
Rajkumar in Hema (2017) navajata glavne značilnosti dijakov, ki počasneje usvajajo znanja. Vsaka izmed naslednjih značilnostih se lahko pri njih pojavlja pogosteje kot pri vrstnikih:
- težko sledijo kompleksnejšim navodilom,
- imajo slabše razvite notranje strategije, kot so organizacijske sposobnosti, in imajo težave pri prenosu in posploševanju informacij,
- naloge rešujejo počasneje,
- na preizkus znanja običajno dosegajo nizke rezultate,
- spretnosti obvladujejo počasneje, nekaterih morda ne osvojijo, - dobro manipulirajo s praktičnimi materiali,
- imajo slabšo samopodobo,
- živijo v sedanjosti in nimajo ciljev za prihodnost in
- so nagnjeni k nezrelim medsebojnim odnosom kot vrstniki.
Lawrence (2013, v Rani in Prakash, 2015) je ugotovil, da so dosežki srednješolcev usklajeni z njihovimi intelektualnimi sposobnostmi. Pri teh dijakih je počasnejše napredovanje pri usvajanju šolskih veščin in znanj pričakovano, saj se pri njih raven storilnosti ali učni dosežki dijaka ujemajo z njegovimi intelektualnimi sposobnostmi.
Tako lahko pričakujemo, da bo potreben daljši čas usvajanja in da dijak nekaterih abstraktnih vsebin ne bo zmožen usvojiti (Grašič idr., 2010). Težave z učenjem matematike lahko pri njih vplivajo na usvajanje osnovnih pojmov števila in ovirajo razumevanje ter uporabo dejstev in postopkov (Metikasari idr., 2019). Učne težave dijakov, ki počasneje usvajajo znanja pri matematiki, vključujejo primanjkljaj pri
4
obvladovanju enega ali več področij iz matematike, od osnovnih veščin števila do bolj kompleksnih področij algebre in geometrije. Težave z algebro nas opozorijo na pomen poučevanja algebraičnih konceptov in spretnosti za zaviranje pojavljanja učnih težav pri matematiki v srednji šoli (Metikasari idr., 2019).
Pri poučevanju matematike dijakov, ki počasneje usvajajo znanja, uporabljamo naslednje ključne pristope:
- Upoštevamo dijakova močna področja, saj imajo številni dijaki, ki počasneje usvajajo znanja, nizko samozavest in niso suvereni pri reševanju matematičnih problemov (Rajkumar in Hema, 2017).
- Dijakom omogočimo več časa za usvajanje novih konceptov in za utrjevanje učne snovi pri matematiki. Dijaki, ki počasneje usvajajo znanja, potrebujejo več časa, da razumejo in znajo uporabi osnovne matematične pojme. Morda bodo potrebovali ponovno razlago in pregled osnovnih matematičnih konceptov, da bodo zanje postali smiselni. Časovna omejitev, ki presega njihove sposobnosti, lahko zmanjša njihovo samozavest in oteži učinkovito učenje (Rajkumar in Hema, 2017).
- Nove pojme poučujemo postopoma. Dijaki, ki počasneje usvajajo znanja, imajo težave z usvajanjem novih matematičnih konceptov, zato moramo, če je to le mogoče, nove koncepte povezati s predhodno naučenimi. Ti dijaki težje sledijo razlagi nove snovi, zato moramo izpostaviti ključne informacije, ki jih med poučevanjem matematike večkrat ponovimo (Rajkumar in Hema, 2017).
- Uporabimo raznolike reprezentacije. Dijakom, ki počasneje usvajajo znanja, različne reprezentacije omogočijo lažje razumevanje abstraktnih matematičnih pojmov. Pri tem moramo upoštevati postopnost prikazov (od lažjih do težjih, od enostavnejših do kompleksnejših) in dijakom jasno prikazati povezave med različnimi reprezentacijami, saj bodo samo tako v njih videli smisel (Ainsworth, 2006). Za dijake, ki počasneje usvajajo znanja, je značilno, da počasneje prehajajo na simbolni nivo in kažejo večji interes za praktične dejavnosti ipd. (Grašič idr., 2010).
- Vključujemo primere iz vsakdanjega življenja. Dijakom, ki počasneje usvajajo znanja, dajejo primeri iz vsakdanjega življenja usmeritev in strukturo za razumevanje in reševanje med učenjem abstraktnih pojmov in dejstev (Rajkumar in Hema, 2017).
- Vključimo veliko priložnosti za utrjevanje na novo usvojenega matematičnega znanja, pri katerih dajemo sprotno povratno informacijo (Rajkumar in Hema, 2017).
Metikasari idr. (2019) trdijo, da sta pogosto ponavljanje in utrjevanje matematičnih problemov eni izmed najbolj učinkovitih strategij pri poučevanju dijakov, ki počasneje usvajajo znanja.
5
2.1.2. Dijaki z učnimi težavami pri matematiki pogojenimi z drugojezičnostjo V Sloveniji smo imeli po rezultatih mednarodne raziskave PISA v letu 2018 v vzgojno- izobraževalni sistem vključenih 8,9 % sodelujočih petnajstletnikov s priseljenskim ozadjem. Ti so v povprečju na preizkusu PISA dosegli 63 točk manj od učencev brez ozadja priseljevanja (Pedagoški inštitut, 2019), kar nakazuje na neustrezno vključevanje in poučevanje drugojezičnih učencev. Rhodes idr. (2005) opozarjajo, da sta kulturna različnost in drugojezičnost pogosto podcenjena dejavnika kot vzroka učnih težav. Iz raziskav je razvidna nesorazmerna zastopanost učencev z učnimi težavami zaradi drugojezičnosti ali socialno-kulturne drugačnosti v skupinah učencev s specifičnimi učnimi težavami (Magajna, 2013). Dijaki, katerih učne težave so pogojene z drugojezičnostjo in multi-kulturalnostjo, pogosto obvladajo le površinsko sporazumevalno raven jezika, v katerem se šolajo, in ne obvladajo osnove šolskega učenja, ki zahteva globljo spoznavno-akademsko raven jezika (Grašič idr. 2010). Tudi v času srednješolskega izobraževanja so dosežki priseljencev pri matematiki v primerjavi z naravnimi govorci slovenskega jezika pomembno nižji, predvsem zaradi pomanjkljivega poznavanja slovenskega jezika kot učnega jezika (Kolednik, 2010).
V raziskavi, ki sta jo opravili Truxaw in Rojas (2013), so drugojezični dijaki navedli nekaj izzivov, s katerimi se spopadajo pri učenju matematike:
- akademski jezik jim je pri matematiki veliko bolj zahteven od pogovornega, - razumeti osnovna navodila v drugem jeziku je lahko zanje izčrpavajoče,
- pomanjkanje priložnosti razmišljanja v maternem jeziku lahko ovira uvid smiselnosti matematičnih problemov,
- vizualne predstavitve pomagajo pri boljšem razumevanju, vendar uporaba samo teh ni zadostna,
- neznane reprezentacije in konteksti lahko predstavljajo dodatne izzive.
Matematika je tesno povezana z jezikom in za uspeh pri matematiki mora biti dijak sposoben kompetentno razumeti in uporabljati matematični besednjak. Od dijakov se ne pričakuje samo, da poslušajo, govorijo in berejo z uporabo matematičnega besedišča, temveč tudi, da pišejo v matematičnem jeziku. Pri tem ni pomembno le, da razumejo matematične pojme, ampak tudi, da znajo svoje matematično znanje povezati s svojim vsakdanom in svoje znanje sporočati naprej. Predvsem drugojezičnim dijakom to predstavlja velik izziv, saj jim je težko sklepati na zapletenih kognitivnih ravneh z matematičnim govorom (Jourdain in Sharma, 2016). Abstraktnost oz. specifičnost matematičnega besednjaka pogosto potomce priseljencev vodi k učenju na pamet, brez povezav z vsakdanjim življenjem. Počasnejše predelovanje in usvajanje besed lahko otežujeta učinkovito sledenje razlagi in navodilom pri matematiki, kar lahko posledično vodi do učnih težav pri tem predmetu (Vipavc, 2015).
6
Drugojezični dijaki morajo pogosto še v srednji šoli utrjevati branje in reševanje besedilnih nalog. Po Adams (2013, v Jourdain in Sharma, 2016) imajo pri branju matematičnega jezika lahko težave na naslednjih področjih:
- pri razumevanju definicij,
- pri besedah z več pomeni (zlasti pri tistih, ki se uporabljajo tako v vsakdanjih interakcijah in kot tudi v matematičnem govoru, npr. meter kot priprava za merjenje ali meter kot merska enota),
- pri podobno zvenečih besedah (npr. površina in ploščina), - pri povezavi med besedami, števili in simboli.
Drugojezičnim dijakom lahko med poučevanjem matematike pomagamo z uporabo naslednjih strategij:
- Upoštevamo kulturno in jezikovno ozadje dijaka, pri tem se izražamo jasno in razumljivo, tako pri ustnem kot pisnem izražanju, ter upoštevamo jezikovne sposobnosti dijakov z učnimi težavami (Mitchell, 2008, v Grašič idr., 2010).
- Med poučevanjem vzpostavljamo povezave med matematičnimi izrazi in dijakovim lastnim jezikom, izkušnjami ter obstoječim znanjem (Barwell, 2003).
Na takšen način bogatimo njihovo razumevanje matematičnih procesov (Jourdain in Sharma, 2016).
- Številni učenci in dijaki z učnimi težavami pri matematiki slabše razumejo matematična navodila in besedilne naloge, zato je potrebno te dijake sistematično poučevati tudi matematične izraze oz. pojme (Kavkler, 2011).
Hansen (2009) trdi, da je Nyborgov model poučevanja pojmov še posebej primeren za dijake, katerih osnovni jezik ni enak jeziku okolja. V nadaljevanju je modelu poučevanja pojmov namenjena dodatna pozornost.
- Matematični jezik povežemo z matematičnimi predstavitvami, npr. s slikami, tabelami, grafi, enačbami. V raziskavi Khisty in Chval (2002), kamor so bili vključeni drugojezični dijaki, se je za zelo uspešen način usvajanja novih pojmov izkazala povezava pojma z besednimi težavami, risbami in modeli ter celo s telesno aktivnostjo.
- Uporabljamo vizualne pripomočke, diagrame in konkretne pripomočke, saj pomagajo dijakom uvrstiti matematične probleme v matematični kontekst.
Uporaba je pomembna, saj je akademski matematični jezik pogosto abstrakten, usvajanje in razumevanje le-tega pa je še posebej zahtevno drugojezičnim dijakom (Lee idr., 2011). Kognitivna obremenitev dijakov se poveča, če so izpostavljeni neznanim kontekstom pri spopadanju s tujim ali neznanim jezikom (Goldenberg, 2008), kar pomeni, da so drugojezični dijaki v primerjavi z vrstniki v velikem zaostanku pri reševanju matematičnih problemov zaradi neznanega konteksta. Iz tega razloga je pomembno, da jim učitelji pri poučevanju že vnaprej pomagajo pri usvajanju novih pojmov z vizualnimi oporami, kot so konkretni predmeti, videoposnetki in ilustracije (Moschkovich, 2002).
7
- Dijak si na list papirja zapiše bistvene ideje, koncepte, predstavitve in besede, tako da se lahko nanje opira skozi celotno uro poučevanja (Stigler idr., 1996).
- Igre, sestavljanke ali uganke lahko dijakom na zabaven način pomagajo pri povezovanju besednih, simbolnih, grafičnih in drugih reprezentacij v enake vrednosti in koncepte oz. pojme. Igre razvijajo povezave med matematičnimi besedami in pomeni, saj izzivajo dijake, da vzpostavijo povezave tudi v obratni smeri. Lahko jih razširimo tako, da vključujejo različne sklope, kot so števila, merjenje ali algebra (Jourdain in Sharma, 2016).
2.2. Cilji diagnostičnega ocenjevanja težav dijakov pri učenju matematike
Za uspešno načrtovanje pomoči in podpore dijaku z učnimi težavami pri matematiki moramo najprej narediti oceno težav pri učenju, da ugotovimo posebne potrebe dijaka.
Grašič idr. (2010) navajajo glavne cilje diagnostičnega ocenjevanja težav dijakov pri učenju:
- Identificiramo dijakova močna in šibka področja.
- Ugotovimo aktualno raven učnega funkcioniranja in dosežkov.
- Razložimo pomanjkanje napredka pri učenju.
- Identificiramo vidike dijakovega izvajanja, ki so značilne za določeno vrsto težav.
- Identificiramo specifična področja kompetentnosti.
- Razumemo stil učenja. Žakelj (2014) trdi, da če poznamo učni stil dijaka, lahko to pomaga učitelju pri pripravi primernega učnega okolja, npr. s pripravo materiala, učnih gradiv.
- Ugotovimo pokazatelje v kurikulu, ki dijaka zanimajo ali motivirajo (dejavniki v kurikulu, ki dijaka motivirajo in spodbujajo razvoj njegovega mišljenja in učno napredovanje).
2.3. Splošne komponente uspešnega poučevanja dijakov z učnimi težavami pri matematiki
Dijaki z nizkimi dosežki težje prosijo za pomoč pri reševanju problemov, saj pogosto ne znajo razložiti, česa dejansko ne razumejo (Yew Hoong idr., 2013). Kaksen idr.
(2021) so na Nizozemskem opravili raziskavo, v kateri so sodelovali dijaki z nizkimi dosežki pri matematiki. 94,7 % vseh opravljenih intervjujev z dijaki je pokazalo jasno prepoznavanje njihovih posebnih izobraževalnih potreb, kot so potreba po konkretnih vizualno-shematskih predstavitvah, po zapisovanju vmesnih rezultatih in po vztrajanju pri nalogah.
Tako kot učencem je potrebno tudi dijakom najprej za uspešno učenje v procesu poučevanja prilagoditi učno okolje.
8 2.3.1. Prilagoditev učnega okolja
Dijakom z učnimi težavami za uspešno učenje v praksi prilagodimo učno okolje, ki ga je Jereb (2011) razdelila na fizično, socialno, kurikularno okolje in didaktično učno okolje.
Dijaki potrebujejo manjše prilagoditve fizičnega učnega okolja, in sicer potrebujejo ustrezno svetlobo in temperaturo, urejenost mize, prostor za učne in tehnične pripomočke ipd. (Kavkler, 2020). Prilagoditev socialnega učnega okolja poleg uspešnosti pri učenju matematike vpliva tudi na čustveno stanje posameznika. Učitelj na tem področju prilagoditev poskrbi za pozitivno klimo, kot je upoštevanje močnih področij dijaka, razumevanje težav in spodbujanje, prav tako pa poskrbi za delovno klimo, kjer ima dijak možnost doživeti uspeh, kar močno poveča njegovo motivacijo za reševanje nalog (Vipavc in Kavkler, 2015).
V okviru kurikularnih prilagoditev učnega okolja učitelj kakovostno prilagodi učni načrt matematike, hkrati pa vključi učenje splošnih strategij, kot so npr. organizacijske in metakognitivne veščine, dobro poučevalno prakso ter konstruktivno reševanje problemov (Vipavc in Kavkler, 2015). Za še bolj učinkovito učenje matematike pa so potrebne prilagoditve ciljev, metod, vsebin in vrednotenje dela učenca oz. dijaka. Pri tem ne smemo pozabiti na sprotno refleksijo uresničevanja prilagoditev (Kavkler, 2020).
Po Kavkler (2020) učitelj ustrezno prilagodi didaktično učno okolje, če se drži naslednjih načel:
- Podaja snov po več senzornih poteh. Tudi Grašič idr. (2010) se strinjajo, da dijaki potrebujejo predstavitev snovi na različne načine, saj se vsi ne učijo na enak način. Nekateri potrebujejo informacije posredovane po vidni, slušni ali po taktilni poti.
- Eksplicitno poučuje. V nadaljevanju je eksplicitnemu poučevanju namenjena dodatna pozornost.
- Omogoči uporabo različnih učnih pripomočkov (npr. številske premice, kartončki s koraki reševanja postopkov). Dijakom pri uspešnosti lahko pomagamo s tem, da tempo učenja upočasnimo, jim ponudimo prilagojene učne pripomočke ter snov dodatno razložimo na konkretnih življenjskih primerih (Žakelj, 2014). Učni pripomočki pridobijo drug pomen, če jih posameznik izdela sam in jih pozneje aktivno uporabljajo. Pri tem jih spodbujamo k načrtovanju in izdelovanju različnih modelov, npr. teles, številskih premic in ulomkov. Ob uporabi učnih pripomočkov tako vizualizirajo pojme in objekte, kar prispeva k njihovemu poglobljenemu razumevanju in večji zapomnitvi (Žakelj in Valenčič Zuljan, 2015).
- Uporablja informacijsko-komunikacijsko tehnologijo.
- Prilagaja učne liste. Pri tem pazi na ustrezno obliko pisave, ustrezno razporedi vsebine (skice, barvne in grafične opore), deli informacije na več delov, predstavi korake postopkov ipd.
9 2.3.2. Uporaba eksplicitnega poučevanja
Eksplicitno poučevanje temelji na neposrednem poučevanju (Beckman, 2002). Po Kavkler (2020) omogoča uspešnejše učenje ključnih veščin in znanj ter vpliva na večjo motivacijo učencev za učenje. Beckman (2002) dodaja, da eksplicitno poučevanje prav tako vpliva na razvoj kompetentnosti in samozavesti dijaka ter poveča njegov občutek odgovornosti.
Archer in Hughes (2011) sta na osnovi analize rezultatov raziskav večletnega spremljanja učinkovitosti poučevanja v splošnih in specialnih šolah opredelila šest načel eksplicitnega poučevanja:
- Organizirati moramo ustrezno zahtevne in prilagojene naloge za dijaka. Tako bomo dosegli njegovo aktivno vključenost v učnem procesu, saj bolj kot so dijaki aktivni v učnem procesu pri matematiki, več se bodo naučili.
- Dijaku omogočimo doživljanje uspeha, tako da ustrezno prilagodimo matematične naloge njegovim potrebam. Dijak bo na takšen način bolj motiviran za delo in njegovo znanje bo bolj poglobljeno.
- Povečamo pokritost vsebin, kar opravimo s sistematično in uspešno obravnavo ključne snovi. Večja kot je pokritost vsebin, večjo možnost napredovanja ima dijak pri obravnavi nove učne snovi pri matematiki.
- Povečati moramo število skupinskih dejavnosti, ki poleg učenja po modelu učitelja omogoča tudi učenje po modelu od vrstnikov.
- Omogočimo podporo, strukturo in usmerjanje med poučevanjem, s čimer spodbujamo samostojnost dijakov pri reševanju matematičnih problemov.
Grašič idr. (2010) podarjajo, da je potrebno podpirati in razvijati neodvisnost dijaka, zato delamo skupaj z dijakom in ne namesto njega.
- S predstavitvijo različnih oblik veščin in znanja povečamo obseg matematičnega razumevanja na različnih ravneh (na deklarativni, proceduralni in ravni uporabnosti).
Zgoraj naštete principe učitelj udejanji, če v proces poučevanja vključi modeliranje novega pojma ali veščine, priložnosti za vodenje praktičnih vaj, preverjanje razumevanja z ustrezno povratno informacijo in vključenost učenca v samostojne praktične vaje (Kavkler, 2020). Dubé idr. (2011) so ugotovile, da eksplicitno poučevanje krepi pozitivne učinke sodelovanja učitelja in dijaka pri določenem matematičnem kontekstu, saj lahko učitelj upošteva njegove specifične posebne vzgojno-izobraževalne potrebe in temu prilagodi sprotne povratne informacije. Archer in Hughes (2011) trdita, da učinkoviti učitelji uporabljajo eksplicitno poučevanje za demonstracijo konceptov in da gradijo znanje in veščine dijakov. V praksi tako učitelji med eksplicitnem poučevanjem dijakom pokažejo, kaj naj naredijo, kako to naredijo, ter jim v okviru ure omogočijo, da pokažejo razumevanje in uporabijo predznanje.
10
2.3.2.1. Izvajanje eksplicitnega poučevanja
Eksplicitno poučevanje se ob začetku ure začne s tem, da učitelj najprej predstavi jasna pričakovanja oz. cilje ure, temu sledi učenje znanja in veščin v logičnem zaporedju. Upoštevanje zaporedij primerov (od življenjskih do povsem abstraktnih, od enostavnih do bolj zahtevnih, od enostopenjskih do kompleksnih itd.) vpliva na učinkovitejši prenos naučenega matematičnega znanja ali veščin na reševanje novih raznolikih nalog in problemov. Pri poučevanju matematičnih pojmov moramo uporabljati različne reprezentacije, ki so lahko konkretne, slikovne ali abstraktne (KSA- pristop). Z uporabo različnih in raznolikih primerov pri ponazarjanju matematičnih vsebin učitelj omogoča učencu in tudi dijaku, da naučeno veščino ali znanje uporabi pri reševanju različnih matematičnih nalog in problemov (Kavkler, 2020). Pri dejavnostih uporabljamo razumljiv in konsistenten matematični besednjak, izogibamo se nepotrebnim besedam (Hughes idr., 2017). Hattie (2009) je ugotovil, da ima uporaba razumljivega besednjaka med poučevanjem velik vpliv na učenje dijakov z učnimi težavami, predvsem dijakov z učnimi težavami zaradi drugojezičnosti ali kulturne različnosti.
Zatem sledi jasna demonstracija in razlaga postopka ali problema korak za korakom.
Po demonstraciji nove veščine ali strategije učitelj nudi začetne vadbene priložnosti, pri tem spodbuja natančnost in samozavest dijakov z uporabo ustreznih ponazoritev (konkretnih, grafičnih in simbolnih) (Hughes idr., 2017). Tudi Grašič idr. (2010) svetujejo, da se pri demonstraciji in razlagi uporablja veliko vizualnih in tehničnih pripomočkov, kot so table, razpredelnice, barvne osnove, puščice in risbe za ponazoritev. Pomoč in podporo s prikazi postopoma umikamo, ko vidimo, da so dijaki pripravljeni vaditi samostojno (Hughes idr., 2017). Prav tako je pomembna sprotna povratna informacija dijaku, saj z ustrezno povratno informacijo učitelji aktivno podpirajo dijake pri doseganju uspeha v učnem procesu (Archer in Hughes, 2011).
Dijak, ki počasneje usvaja znanja, pri izvajanju matematičnih postopkov potrebuje več časa med utrjevanjem znanja, zato moramo paziti, da nanj ne dajemo časovnega pritiska, ki presega njegove sposobnosti, saj bo takšno početje zmanjšalo njegovo samozavest in mu tako otežilo učenje (Rajkumar in Hema, 2017).
Na koncu ure skupaj z učencem povzamemo obravnavane pojme, postopke in veščine. S tem povzamemo bistva novo naučenih vsebin in jih povežemo s predhodnim znanjem (Kavkler, 2020), pri čemer potrebujejo pomoč predvsem učenci z učnimi težavami (Hughes idr., 2017).
2.3.2.2. Učinkovitost eksplicitnega poučevanja dijakov z učnimi težavami Raziskave potrjujejo, da je eksplicitno poučevanje najučinkovitejši pristop za poučevanje dijakov z učnimi težavami pri matematiki. Smith idr. (2018) trdijo, da eksplicitno poučevanje zmanjša kognitivno obremenjenost dijakov in je posledično najbolj primeren pristop za dijake, ki imajo pomanjkljivo predznanje in tako niso samostojni pri priklicu predpogojev reševanja matematičnih problemov. Swanson in Hoskyn (2001) sta izvedla metaanalizo 93 študij, ki so proučevale učinkovitost strategij poučevanja učencev z učnimi težavami. Izkazalo se je, da sta organizacija pred
11
začetkom poučevanja (predstavitev pričakovanj oz. učnih ciljev in potrebnih spretnosti za dokončanje naloge) in ponavljajoče izvajanje eksplicitnega poučevanja (ponavljajoča praksa s sprotnimi povratnimi informacijami) pokazala pomemben napredek v znanju učencev. Eksplicitno poučevanje se je pri učencih z učnimi težavami pri matematiki pokazalo za učinkovito pri poučevanju matematičnih veščin, kot so ulomki in decimalna števila (Scarlato in Bur, 2002) ter algebrske enačbe (Witzel idr., 2003). V raziskavi White (2020), kamor so bili vključeni dijaki z učnimi težavami pri matematiki, so bili v eksperimentalni skupini dijaki deležni pristopa eksplicitnega poučevanja pri matematiki, medtem ko so bili v kontrolni skupini poučevani na tradicionalen način. Dijaki v eksperimentalni skupini so dosegli statistično pomemben napredek pri akademskih dosežkih pri matematiki, čeprav so dosegali še zmeraj nižje učne dosežke kot vrstniki brez učnih težav. Ta raziskava potrjuje, da dijaki z učnimi težavami že v srednje šole prihajajo s pomembnimi primanjkljaji na področju matematičnega znanja.
2.3.3. Uporaba raznolikih reprezentacij
Uporaba različnih reprezentacij je pomemben del eksplicitnega poučevanja.
Reprezentacije so lahko konkretne, slikovne ali abstraktne (KSA-pristop). Pri poučevanju s pristopom KSA je pomembno upoštevanje zaporedja dejavnosti. Najprej uporabimo konkretne materiali, s pomočjo katerih skušamo prepričati dijake v povezanost problema z življenjskimi primeri. Nato uporabimo slikovne oz. grafične ponazoritve konkretnih predmetov in dogajanj (številska premica, slika, grafični prikazi), ki mu pomagajo vizualizirati operacije med reševanjem problema (Kavkler, 2011).
Dijaki imajo različne učne stile in tako uporabljajo različne učne tehnike. Tisti, pri katerih prevladuje vidni učni stil, uporabljajo pri učenju slike, barve in druge vidne opore (Žakelj in Valenčič Zuljan, 2015) ter potrebujejo več vizualnih ponazoritev. Vizualne ponazoritve se pogosto vključujejo v proces poučevanja matematike, ker pomembno vplivajo na matematične dosežke vseh učencev (Kavkler, 2020). Vizualne ponazoritve lahko vplivajo na učenje konceptualnega znanja, na verbalno računanje, grafično predstavljanje podatkov, algebro, reševanje problemov in drugo (Kavkler, 2020).
Nazadnje sledi abstraktna predstavitev problema s simboli, ki je najkrajši in najučinkovitejši način predstavitve numeričnih odnosov v operaciji. Najbolj učinkovito rabo simbolov bomo dosegli, če bomo upoštevali zaporedje predstavitev ter bomo organizirali veliko vaj reprezentacij matematičnih idej in problemov. Pristop KSA učitelji pogosteje uporabljajo na razredni stopnji, na predmetni stopnji in v srednji šoli pa prehitro preidejo na simbolno raven (Kavkler, 2011). Po Samsuddin in Retnawati (2018) različne matematične reprezentacije dijakom z učnimi težavami pomagajo pri:
- razumevanju matematičnih nalog in konceptov,
- obvladovanju in izražanju njihovega razmišljanja ter oblikovanju miselne sheme matematičnih znanj,
- razumevanju abstraktnih matematičnih pojmov.
12
Çetin in Aydın (2019) sta z metaanalizo 33 raziskav pokazala visoko pozitivno povezanost med uspešnostjo pri matematiki in rabo različnih reprezentacij. Prav tako je Witzel (2005, v Kavkler, 2011) z raziskavo pokazal, da so učenci, ki so jih poučevali po pristopu KSA, naredili manj napak v postopku reševanja algebrajskih izrazov kot tisti, ki niso bili deležni takšnega poučevanja. Le-to se je pokazalo za učinkovit način poučevanja tako pri učencih z visokimi kot srednjimi in nizkimi matematičnimi dosežki.
Različne študije so pokazale, da zagotavljanje več različnih reprezentacij samo po sebi ne izboljša matematičnega razumevanja, saj je povezovanje različnih reprezentacij med seboj običajno zahtevno, predvsem za dijake z učnimi težavami (Ainsworth, 2006;
Van der Meij in de Jong, 2006). Rau idr. (2009) so ugotovili, da so se učenci z uporabo več različnih slikovnih reprezentacij naučili več pri učenju ulomkov, ampak samo če so bili pozvani k pojasnitvi, kako se slikovne upodobitve navezujejo na simbolično upodobitev ulomkov. Upoštevati je potrebno, da je vsaka reprezentacija odvisna od individualne interpretacije, iz tega razloga je potrebno učence in dijake podpirati pri oblikovanju pomena glede na vsako posamezno matematično reprezentacijo in pri vzpostavljanju povezav med različnimi reprezentacijami (Renkl idr., 2013).
2.3.4. Vključevanje življenjskih primerov v poučevanje matematike
Thaker (2011, v Vipavc, 2015) poudarja, da je potrebno predstaviti uporabnost matematike v vsakdanjem življenju, saj jo sicer dojemamo kot abstraktno in nepomembno ter matematično znanje v praksi ne znamo uporabiti. Mnogo učiteljev še vedno poučuje matematiko na tradicionalen način, pri katerem poučevanje temelji na simboličnem oz. abstraktnem načinu ter dijake sili k zapomnitvi postopkov brez razumevanja. Tak pristop je v nasprotju s kognitivnim razvojem dijaka in jim tako tudi manj koristi. Učitelj bi moral imeti možnost, da abstraktne pojme in procese prikaže s pomočjo konkretnega materiala, saj bi jih dijaki na tak način lažje razumeli in v njih videli smisel uporabe v vsakdanjem življenju (Zakaria in Syamaun, 2017). Aktivno pridobivanje znanja in lastne rešitve problemov omogočajo tako intelektualno kot čustveno identifikacijo dijaka. Učitelj mora pri tem ponuditi učne situacije, ki dijakom omogočijo odkrivanja novih spoznanj, ob tem pa jih opremi z uporabnimi pripomočki, kot so konkretni modeli, sheme in nazadnje simboli (Scherer, 2019).
Raziskave so pokazale, da je učencem bolj všeč realističen način poučevanja matematike. Pri tem je presenetljiv podatek, da učenci na predmetni stopnji znajo rešiti problem s pomočjo resničnega življenja (rešujejo matematična vprašanja s pomočjo vsakodnevnih izkušenj), medtem ko srednješolci tega ne zmorejo (Zakaria in Syamaun, 2017), kar potrjuje, da v srednji šoli učitelji prehitro preidejo na simbolno raven razlage matematičnih problemov (Kavkler, 2011). Dijakom, ki počasneje usvajajo znanja, dajejo primeri iz vsakdanjega življenja usmeritev in strukturo za razumevanje in reševanje med učenjem abstraktnih pojmov in dejstev. Številni učenci, ki počasneje usvajajo znanja, uporabljajo prste pri izvajanju izračunov, ko so vrstniki to strategijo že pustili za sabo. Zato je pomembno pri poučevanju nove veščine dajati življenjske primere in predstaviti matematični problem s podporo didaktičnega materiala (Rajkumar in Hema, 2017).
13
2.3.5. Vpeljevanje in utrjevanje matematičnih pojmov
Pri vpeljevanju pojmov je pomembno, da poskrbimo za pravi vrstni red učenja pojmov.
Predstavimo jih lahko na konkretni, grafični, simbolni in abstraktni ravni. Pomembno je, da učitelj vpeljevanje in spoznavanje novih pojmov kot tudi morebitno spreminjanje obstoječih, napačnih ali nepopolnih pojmovanj organizira po naslednjih fazah (Žakelj in Valenčič Zuljan, 2015):
1. ugotavljanje obstoječih pojmovnih predstav in poglobljena analiza napak, 2. oblikovanje kognitivnega konflikta in ustreznega podpiranja v njegovem
razreševanju, ko dijaki nadgradijo obstoječe pojmovne predstave in sheme, 3. nudenje pomoči učencem in dijakom, da ubesedijo opredelitev oziroma
spremembe o svojih pojmih in jih tudi dokumentirajo.
Učencem kot tudi dijakom z učnimi težavami pogosto predstavlja problem prevelika količina pojmov, če jih učitelj vpeljuje sočasno ali prehitro, prav tako pa problem lahko predstavlja verbalizem (enačenje učenja pojmov z učenjem besed), prezahtevnost pojmov glede na kognitivno zmožnost učenca, nepovezanost pojmov, ne osmišljanje vsebin idr. (Žakelj in Valenčič Zuljan, 2015). Dijaki, ki počasneje usvajajo znanja, imajo pogosto težave pri usvajanju novih matematičnih pojmov, zato je potrebno le-te povezati s predhodno naučenimi, ko je to mogoče. Povezava s predhodnim konceptom pomaga dijaku graditi zaupanje v predmet matematike in predstavlja okvir za obvladovanje novih veščin (Rajkumar in Hema, 2017).
Nyborg je na Norveškem razvil model poučevanja pojmov, pri čemer gre za sistematično poučevanje osnovnih pojmovnih sistemov (npr. barv, oblik, velikostnih odnosov, števil itd.) in z njimi povezana verbalizacija pojmov. Model je razdeljen na tri faze: asociativna faza oz. faza združevanja, diskriminativna faza ali faza razlikovanja ter faza generalizacije (odkrivanje in verbalno izražanje podobnosti in razlik). Cilj pristopa je razviti pozitivna pričakovanja do učenja pri učencih, ki imajo negativne izkušnje s svojimi učnimi zmožnostmi. Poleg tega pa je cilj učence naučiti usmerjanja in prevzemanja nadzora nad njihovo pozornostjo ter jih usposobiti za razširitev kratkotrajnega spomina z zavestno rabo verbalizacije (tako zunanjega kot notranjega govora). Takšno poučevanje pojmov je primerno za dijake, katerih osnovni jezik ni prevladujoč jezik kulture, v kateri trenutno živijo (Hansen, 2009).
2.3.6. Verbalizacija lastnega matematičnega rezoniranja
Poleg priklica aritmetičnih dejstev mora posameznik priklicati tudi aritmetične postopke, da lahko reši določen matematični problem. Pri tem gre za proceduralno znanje, ki vključuje poznavanje pravil, algoritmov in postopkov (Vipavc, 2015), prav tako pa dijaki pri tem preverijo in utemeljijo pravilnost postopka z uporabo konkretnih modelov ali simbolnih metod. Proceduralno znanje vključuje tudi sposobnost branja in risanja grafa ter izvajanje neračunskih veščin, kot sta zaokroževanje in urejanje matematičnih podatkov (Mutawah idr., 2019). Za uspešno reševanje matematičnega problema je pomembno tako konceptualno kot tudi proceduralno znanje. V okviru mnogih raziskav je bila ugotovljena pozitivna povezava med obema vrstama znanja,
14
npr. pri uporabi ulomkov in decimalnih števil ter pri reševanju enačb (Durkin idr., 2011, v Mutawah idr., 2019). Po Dobravc (2010, v Žakelj in Valenčič Zuljan, 2015) med ukrepe pomoči pri načrtovanju, organizaciji in načrtu za reševanje nalog spada tudi učenčevo/dijakovo glasno branje in ubeseditev postopka po korakih. Na osnovi dijakove verbalizacije/ubeseditve učitelj pridobi pomembno povratno informacijo o učenčevem znanju in vrsti napak, ki jih dela. Pomemben vpliv na učinkovitost učenca ima ubeseditev postopkov, ki jo najprej izvaja učitelj kot model, ki ji sledi učenčeva ubeseditev postopkov. Ubeseditev vpliva tudi na razvoj samoregulacije v procesu reševanja večstopenjskih nalog in problemov. Predstavlja pa tudi enega od elementov eksplicitnega poučevanja. Učitelj in specialni pedagog morata spodbujati ubeseditev učencev pri izvajanju raznolikih dejavnosti (kot npr. opis načrtovanja dela, opis postopka računanja itd.), saj le-ta pomembno vpliva na uspešnost učenja matematike (Kavkler, 2020).
Pri razvoju proceduralnega znanja lahko pomagamo tako, da:
- dijak opisuje postopek, saj lahko tako prepoznamo morebitne napake, - dijak pred začetkom reševanja problema označi, kje bo začel z reševanjem, - strategijo reševanja predstavimo po korakih in demonstriramo vsak korak, ki ga
ubesedimo in zapišemo, - uporabljamo slike,
- uporabljamo kartončke z zapisanimi koraki s slikovnim prikazom (Vipavc, 2015).
2.3.7. Uporaba mnemotehnik
Mnemotehnične strategije so namenjene izboljšanju sposobnosti za zadrževanje in pridobivanje določenih informacij o vsebini (Boon idr., 2019). Mnemotehnike lahko predstavimo v obliki ključnih besed, stavkov, risb ali akronimov. Mnemotehnika v obliki ključnih besed vključuje besede, ki so zvočno podobne kot beseda, ki se jo mora dijak zapomniti. Prav tako lahko uporabi slikovno oporo ali pa si s pomočjo stavkov ustvari asociacije, ki omogočajo zapomnitev določenih dejstev. Mnemotehniko v obliki akronimov pa predstavljajo prve črke besed v stavku ali zaporedju korakov (Kavkler, 2011). V raziskavi Putnam (2015) se je pokazalo, da uporaba več vrst mnemotehnik izboljša akademske dosežke dijakov z učnimi težavami. Boon idr. (2019) so prav tako ugotovili, da so dijaki z učnimi težavami z uporabo mnemotehnike izboljšali natančnost priklica matematičnih dejstev in postopkov. S tem se strinja tudi Kavkler (2011), ki navaja, da z uporabo različnih mnemotehnik lahko izboljšamo pomnjenje ter priklic dejstev in postopkov (npr. zaporedje izvajanja korakov). Mnemotehnike pa so najbolj učinkovite, če jih dijak oblikuje sam, saj je pomembno, da razume bistvo mnemotehnične strategije, ki se je uči.
15
2.3.8. Vpogled v pravilno in nepravilno rešene naloge
Za premagovanje učnih težav so učinkovite strategije učenja in poučevanja, pri katerih ima učenec sočasno vpogled v pravilno in nepravilno rešene naloge oziroma je soočen z napakami (Žakelj in Valenčič Zuljan, 2015). Po Siegler (2002) je učenje bolj učinkovito, če omogoča vzporedni vpogled v pravilne in napačne strategije reševanja problemov. Pri tem dijak zna razložiti, zakaj so pravilni pristopi reševanja problemov pravilni in zakaj nepravilni pristopi nepravilni. Takšno učenje je učinkovitejše, kot pa če samo razložimo pravilne pristope reševanja ali zgolj podajamo definicije.
2.3.9. Vključevanje didaktičnih iger
Pri utrjevanju matematičnega znanja lahko uporabimo didaktične igre, npr. domine, spomin, igre tipa »Človek ne jezi se«, sestavljanke ipd. Didaktična igra se od navadne razlikuje po tem, da jo sestavi učitelj in ni povsem spontana, saj jo uporabimo v povezavi z vnaprej načrtovanimi izobraževalnimi cilji. Tako pri učencih kot tudi dijakih je pomembno uporabo didaktičnih iger prilagoditi njihovi razvojni stopnji in interesom (Mrak Merhar idr., 2013). Drugojezičnim dijakom lahko npr. igre s kartami na zabaven način pomagajo pri povezovanju besednih, grafičnih in simbolnih predstav enakih pojmov (Jourdain in Sharma, 2016). Matematične didaktične igre zagotavljajo aktivno udeležbo dijakov in tako spodbujajo matematično razmišljanje. S pomočjo didaktičnih iger dobimo uvid v dijakovo predznanje in že usvojene koncepte, prav tako pa s pogostim igranjem iste igre dijaki bolje utrdijo matematična dejstva in postopke.
Didaktične igre pa med drugim predstavljajo tudi dober motivacijski dejavnik predvsem za učence in dijake, ki počasneje uvajajo znanja (Nekang, 2018).
2.3.10. Spodbujanje refleksije dijaka
Kot učinkovito strategijo oblikovanja novega znanja Chi (2000) poudarja pomen refleksije. S pomočjo refleksije dijak razmišlja o strategijah in rezultatih reševanja problemov in tako poveže nove informacije s predznanjem, kar ga vodi do oblikovanja novega znanja. Prav tako lahko preko pojmovne sheme ali miselnega vzorca grafično prikažemo pomen nadgradnje znanja (Žakelj in Valenčič, 2015). Med izvajanjem strategij z dijakom z učnimi težavami je zelo pomembno, da poiščemo priložnost za pohvalo in razvijanje dijakovega občutka lastne vrednosti (Grašič idr., 2010).
16
3. REŠEVANJE EKSPONENTNIH ENAČB IN NEENAČB
Žakelj (2014, str. 6) navaja, da je pouk matematike »namenjen graditvi pojmov in povezav, spoznanju ter učenju postopkov, ki posamezniku omogočijo vključitev v sistem (matematičnih) idej in posledično vključitev v kulturo, v kateri živimo«. S pomočjo algebre rešujemo vsakodnevne življenjske probleme z uporabo matematičnega jezika, ki vodi do uvedbe spremenljivk ali neznank (Egodawatte, 2011).
Algebra vključuje koncepte reševanja aritmetičnih operacij, postopke za reševanje problemov in razmerje med količinami. Številne študije so pokazale, da imajo dijaki v okviru algebre težave z razumevanje algebrskih enačb, aritmetičnih operacij, razumevanjem pomena enakovrednih simbolov ter pomena spremenljivk (Pramesti in Retnawati, 2019). Reševanje eksponentnih enačb in neenačb je abstraktna tema v okviru algebre, saj se za algebraično izražanje uporabljajo črke ali drugi znaki in ne števila (Egodawatte, 2011) ter iz tega razloga predstavlja še večji izziv dijakom z učnimi težavami pri matematiki. Po katalogu znanja matematike za srednje strokovno izobraževanje (2007) dijaki v tretjem letniku srednjega strokovnega izobraževanja prepoznajo in rešijo eksponentno enačbo in eksponentno neenačbo. Dijak tako
»analitično in grafično reši eksponentno enačbo in neenačbo. Razume pomen rešitve na algebrski in grafični način, preizkusi pravilnost rešitve ter interpretira pot reševanja in pomen rešitve« (Katalog znanja. Srednje strokovno izobraževanje. Matematika, 2007, str. 31).
Rezultati poklicne mature kažejo, da dijaki najslabše rešujejo naloge prostorske geometrije, predvsem zaradi težav s prostorsko predstavo, naloge s trigonometrijskimi funkcijami in naloge s transcendentnimi funkcijami (RIC, 2019; RIC, 2018b; RIC, 2013). Med transcendentne funkcije uvrščamo tudi eksponentno funkcijo, ki je ključna za reševanje eksponentnih enačb in neenačb na grafičen način. Dijakom naloge iz sklopa transcendentnih funkcij na poklicni maturi vedno predstavljajo več težav, tudi če gre za preproste oz. osnovne naloge (glej Sliko 1). Veliko dijakov z reševanjem takšnih nalog sploh ne prične. Dijaki so na poklicni maturi v letu 2013 nalogo z eksponentno funkcijo reševali najslabše (indeks težavnosti je znašal 0,33) (RIC, 2013).
Slika 1
Naloga z eksponentno funkcijo na poklicni maturi
RIC (2013). Letno maturitetno poročilo o poklicni maturi 2013. Letno maturitetno poročilo.
https://www.ric.si/mma/Letno%20porocilo%20za%20poklicno%20maturo%202013/2014052913535193/
17
3.1. Predpogoji reševanja eksponentnih enačb in neenačb
Matematika je predmet, pri katerem je predhodno usvojena snov temelj za nadaljnje usvajanje in napredovanje (Thaker, 2011, v Vipavc, 2015). Če se dijak snovi ne bo naučil dovolj dobro ali pa bo njegovo znanje pomanjkljivo, ima lahko težave pri bolj zahtevnih primerih. Na poznejših stopnjah učenja se moramo vprašati, kje se je ta problem z učenjem začel (Chinn, 2012), zato moramo pred obravnavo novih vsebin vedno preveriti predznanje, pojmovne predstave, ki so nujne za razumevanje novih pojmov in vsebin (Žakelj in Valenčič Zuljan, 2015). Fauzi in Priatna (2019) sta v svoji raziskavi ugotovila, da dijaki potrebujejo intenzivno vodenje pri povezovanju matematičnega znanja s predznanjem skozi učni proces, da bi lahko izboljšali sposobnost reševanja matematičnih problemov, zlasti pri reševanju eksponentnih enačb. Predznanje, ki je potrebno za uspešno reševanje eksponentnih enačb in neenačb, je konceptualno in proceduralno znanje celih, racionalnih in realnih števil, torej uporaba negativnih števil, ulomkov, korenov, potenc ter reševanje linearnih enačb in neenačb.
Magajna in Žakelj (2011) sta ugotovila, da so za učence 9. razreda na preizkusu nacionalnega preverjanja znanja (NPZ) najzahtevnejše naloge iz geometrije, zatem aritmetike in algebre, nazadnje pa naloge s področja podatkov in verjetnosti. Kverh Žgur (2018) je na podlagi rezultatov NPZ-jev identificirala najpogostejše tipe napak devetošolcev z diskalkulijo ali primanjkljaji na področju učenja matematike in ugotovila, da večina učencev med drugim ne obvlada potenciranja, računanja z ulomki in ne zna reševati enačb, kar se je pokazalo tudi pri reševanju preizkusa NPZ-ja v šolskem letu 2017/18, kjer je imela večina vseh devetošolcev še posebej težave pri utemeljevanju ustrezne rešitve dane enačbe (RIC, 2018a).
Rezultati PISA, programa mednarodne primerjave dosežkov petnajstletnikov, v matematični pismenosti iz leta 2015 in 2018 kažejo, da v obeh letih približno 16 % sodelujočih v Sloveniji ne dosega temeljne druge ravni matematične pismenosti, torej ne izkazuje temeljnih in začetnih matematičnih znanj in spretnosti, ki bi jim omogočale uporabo matematike pri njihovem nadaljnjem izobraževanju (Pedagoški inštitut, 2019;
Pedagoški inštitut, 2016). Obvladovanje temeljnih konceptov in postopkov je nujen sestavni del učenja matematike, a komaj zadostuje za reševanje bolj zapletenih problemov. Podatki OECD (2016) so pokazali, da so se slovenski petnajstletniki le v 17,7 % v šolskem okolju pogosto srečali z uporabnim matematičnim problemom algebre iz resničnega življenja (npr. Koliko časa bi trajalo, da bi se pripeljali z enega kraja na drugega glede na vozni red vlaka?), medtem ko so se pogosteje (67,2 %) srečali s simbolnim zapisom matematičnega problema algebre (npr. 3x+5=17). Prav tako je analiza pokazala, da so slovenski petnajstletniki že slišali za koncept eksponentnih funkcij, kvadratnih funkcij in linearnih enačb (OECD, 2016).
Temelj reševanja eksponentnih enačb in neenačb je obvladanje pravil računanja s potencami. V raziskavi Tseng (2012) je bilo ugotovljeno, da dijaki težje osvojijo pravila računanja s potencami in njihovo uporabo. Pitta-Pantazi idr. (2007) so analizirali razumevanje potenc dijakov, ki so jih razdelili v tri skupine glede na njihove dosežke
