UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA
SPECIALNA IN REHABILITACIJSKA PEDAGOGIKA POSEBNE RAZVOJNE IN UČNE TEŽAVE
JELKA BRAČIČ
TRENING REŠEVANJA NALOG SEŠTEVANJA IN ODŠTEVANJA Z NEZNANIM ČLENOM ZA UČENCE S
SPECIFIČNIMI UČNIMI TEŽAVAMI PRI MATEMATIKI
MAGISTRSKO DELO
LJUBLJANA, 2020
UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA
SPECIALNA IN REHABILITACIJSKA PEDAGOGIKA POSEBNE RAZVOJNE IN UČNE TEŽAVE
JELKA BRAČIČ
TRENING REŠEVANJA NALOG SEŠTEVANJA IN ODŠTEVANJA Z NEZNANIM ČLENOM ZA UČENCE S
SPECIFIČNIMI UČNIMI TEŽAVAMI PRI MATEMATIKI
TRAINING TO SOLVE ADDITION AND SUBTRACTION PROBLEMS WITH AN UNKNOWN FOR PRIMARY STUDENTS WITH SPECIFIC LEARNING DIFFICULTIES IN
MATHEMATICS
MAGISTRSKO DELO
Mentorica: izr. prof. dr. MARIJA KAVKLER
LJUBLJANA, 2020
ZAHVALA
Najprej bi se želela zahvaliti mentorici dr. Mariji Kavkler za vse strokovne usmeritve, spodbudne besede in hitro odzivnost pri nastajanju magistrskega dela. Iskrena hvala
za Vašo stalno pripravljenost pomagati.
Velika zahvala velja tudi osnovni šoli in ravnatelju, ki mi je omogočil izvajanje treninga z učenci. Hvala učiteljicam Vlasti, Milici in Danici za vso razumevanje in
omogočanje izvedbe praktičnega dela magistrske naloge. Hvala staršem, ki so dovolili delo s svojimi otroki. Hvala vam, dragi učenci, da smo se lahko skupaj veliko
naučili!
Iskrena hvala tebi, Žaneta, za lektoriranje besedila. Draga Alja, hvala za vso kreativno pomoč in pomoč pri oblikovanju slikovnega gradiva. Prisrčna hvala pa velja
mojima največjima vzornikoma, ki vaju žal ni več ob meni. S svojim vzgledom bosta vedno moj kažipot v življenju.
Najlepša hvala vsem za pomoč in spodbude pri študiju in izdelavi magistrskega dela.
IZJAVA O AVTORSTVU
Izjavljam, da je magistrsko delo z naslovom Trening reševanja nalog seštevanja in odštevanja z neznanim členom za učence s specifičnimi učnimi težavami pri matematiki rezultat lastnega raziskovalnega dela.
Jelka Bračič
POVZETEK
Učenci neznane člene v računskih operacijah seštevanja in odštevanja računajo že v prvem vzgojno-izobraževalnem obdobju v osnovni šoli. Ta znanja prištevamo k temeljnim matematičnim vsebinam, ki so pomembne za nadaljnje osnovnošolsko izobraževanje. Gre za znanja, pomembna v vsakdanjem življenju posameznika, ki pa hkrati predstavljajo eno izmed težjih matematičnih vsebin. Za znanje računanja neznanih členov morajo učenci obvladati in hkrati uporabljati obsežna prej usvojena matematična znanja s področja aritmetike in algebre. Težave učencev na področju algebrskih znanj potrjujejo tudi rezultati preverjanj znanj pri matematiki, kot sta Nacionalno preverjanje znanja na državnem nivoju in TIMSS na mednarodnem.
Računske naloge z neznanim členom so še posebno zahtevne za učence s
specifičnimi učnimi težavami pri matematiki, zato je slabša zmožnost reševanja teh nalog pogosto navedena kot znak specifičnih učnih težav.
Namen magistrskega dela je bil s teoretičnega vidika osvetliti problem računanja neznanih členov pri seštevanju in odštevanju v povezavi s specifičnimi učnimi težavami pri matematiki. Osrednji cilj empirične raziskave je bil po začetni oceni razvoja občutka za števila, avtomatizacije aritmetičnih dejstev in postopkov ter proceduralnega in konceptualnega znanja računanja neznanih členov pri seštevanju in odštevanju v trening vključenih učencev oblikovati, izvesti in evalvirati trening za razvoj konceptualnega in proceduralnega znanja računanja z neznanimi členi pri seštevanju in odštevanju. Raziskovalni vzorec je zajemal štiri učence tretjega razreda osnovne šole, ki imajo specifične učne težave pri matematiki in so vključeni v pomoč na tretji stopnji petstopenjskega modela pomoči učencem z učnimi težavami. Trening je vključeval raznolike vaje združevanja, razdruževanja, spoznavanja odnosov med členi v računskih operacijah seštevanja in odštevanja, spoznavanja odnosa med seštevanjem in odštevanjem ter računanje neznanih členov na konkretnem, slikovnem in abstraktnem nivoju. Po izvedbi treninga smo preverili tudi znanje računanja neznanih členov pri seštevanju in odštevanju pri vrstnikih v trening vključenih učencev in na ta način primerjali napredek učencev, ki so bili vključeni v trening. Primerjava rezultatov prvega in drugega merjenja znanja računanja neznanih členov pri seštevanju in odštevanju z rezultati vrstnikov na končnem preizkusu je pokazala, da so vsi v trening vključeni učenci napredovali na področju računanja neznanih členov in se precej približali oz. skoraj izenačili s povprečjem rezultatov vrstnikov.
Teoretične osnove, zasnova primera treninga in spoznanja empirične raziskave so lahko v pomoč učiteljem, izvajalcem učne in dodatne strokovne pomoči ter
specialnim in rehabilitacijskim pedagogom pri obravnavi učencev s specifičnimi
učnimi težavami na področju računanja neznanih členov pri seštevanju in odštevanju.
KLJUČNE BESEDE: specifične učne težave, računanje z neznanim členom, seštevanje, odštevanje, pojem števila, koncept deli-celota
ABSTRACT
Students solve addition and subtraction exercises with missing factors as part of their earliest arithmetic lessons in primary school. These are understood to be basic
mathematical skills, which are an essential foundation for further primary school studies. These skills are simultaneously important in an individual's everyday life and also considered one of the harder topics in mathematics. In order to successfully calculate the missing factors, students must first master and then use a number of previously acquired arithmetical and algebraical concepts. The results of different mathematics assessment tests, i.e. Slovenian national standardised testing and the Trends in International Mathematics and Science Study (TIMSS), also confirm that students have difficulty with algebra. Arithmetic tasks involving a missing factor are especially challenging for students with specific learning difficulties in mathematics, which is why problems with solving these tasks are often considered indicative of specific learning difficulties.
The aim of this master's thesis was to examine the problem of solving addition and subtraction exercises with missing factors from a theoretical standpoint and in connection with specific learning difficulties in mathematics. The primary goal of the empirical research was first to assess the developed sense for numbers, the degree of automation of arithmetic facts and procedures and the procedural and conceptual skills for solving addition and subtraction exercises with missing factors of the
students taking part in the practice sessions and then to develop, carry out, and evaluate a practice programme for developing the conceptual and procedural skills necessary for solving addition and subtraction exercises with missing factors. The research sample included four students from Year 3 of primary school with specific learning difficulties in mathematics, who were included in Stage 3 of a 5-stage model for helping students with learning difficulties. The practice programme included various exercises for associating, breaking apart, and becoming familiar with the relationship between factors involved in addition and subtraction, learning about the relationship between addition and subtraction, and calculating missing factors using concrete pictorial and abstract examples. Following the completion of the practice programme, we also assessed the ability to solve addition and subtraction exercises with missing factors of those classmates not included in the programme, which allowed us to compare their results with the progress made by the study participants.
Comparing the results of the first and second assessment of solving addition and subtraction exercises with missing factors with the results achieved by non-
participating classmates during the final test showed that all the students included in the practice programme made progress in solving addition and subtraction exercises with missing factors, coming close to and almost equalling the average achieved by their classmates.
The theoretical bases, the practice programme outline, and the results of the empirical research can help teachers, staff offering remedial programmes and
additional help, as well as specialised and rehabilitation teachers, when working with students with specific learning difficulties associated with solving addition and
subtraction exercises with missing factors.
KEY WORDS: specific learning difficulties, calculating missing factors, addition, subtraction, number concept, part-whole concept
KAZALO VSEBINE
1. UVOD ... 1
2. NALOGE Z DOPOLNJEVANJEM NEZNANIH ČLENOV PRI SEŠTEVANJU IN ODŠTEVANJU DO 100 V UČNEM NAČRTU IN VPLIV NA UČENJE MATEMATIKE V VIŠJIH RAZREDIH OSNOVNE ŠOLE ... 2
2.1 Pomen znanja algebre ... 4
2.2 Uspešnost učencev prvega vzgojno-izobraževalnega obdobja pri računanju neznanih členov v računskih operacijah seštevanja in odštevanja ... 5
3. UČNE TEŽAVE PRI MATEMATIKI... 6
3.1 Splošne in specifične učne težave ... 7
3.1.1 Specifične učne težave pri matematiki ... 8
3.2 Petstopenjski model pomoči učencem z učnimi težavami ... 10
3.3 Individualna in skupinska učna pomoč (ISP) ... 12
4. NALOGE DOPOLNJEVANJA NEZNANIH ČLENOV PRI SEŠTEVANJU IN ODŠTEVANJU ... 14
4.1 Pojem števila ... 17
4.1.1 Občutek za števila ... 18
4.1.2 Občutek za strukture ... 20
4.1.3 »Razumevanje števil in odnosov med njimi v konkretni računski nalogi« 21 4.2 Razvoj pojma števila ... 22
4.2.1 Vsebinski vidik razvoja pojma števila ... 26
4.2.2 Razvoj številskih predstav ... 32
4.2.3 Ravni matematičnega razumevanja in didaktični material za razvoj številskih predstav ... 34
4.3 Koncept deli-celota ... 38
4.4 Od štetja do fleksibilnega računanja ... 41
4.5 Načini zapisovanja združevanja, razdruževanja in dopolnjevanja celote ... 44
4.6 Naloge dopolnjevanja neznanih členov v delovnih zvezkih ... 51
5. MATEMATIČNA ZNANJA ... 56
6. DIAGNOSTICIRANJE UČNIH TEŽAV PRI MATEMATIKI ... 61
6.1 Področja učnih težav pri matematiki v 3. razredu osnovne šole, ki so predpogoj tudi za računanje neznanih členov v računskih operacijah ... 62
7. PRIPOROČILA ZA POUČEVANJE IN POMOČ UČENCEM S SPECIFIČNIMI UČNIMI TEŽAVAMI ZA RAZVOJ PREDPOGOJEV IN ZNANJA RAČUNANJA NEZNANIH ČLENOV... 67
7.1 Vaje za razvoj koncepta deli-celota in spretnosti računanja neznanih členov 70
7.2 Direktno poučevanje ... 72
8. EMPIRIČNI DEL ... 74
8.1 Opredelitev raziskovalnega problema, cilji raziskave in raziskovalna vprašanja ... 74
8.1.1 Opredelitev raziskovalnega problema ... 74
8.1.2 Cilji raziskave ... 75
8.1.3 Raziskovalna vprašanja ... 75
8.2 Raziskovalni pristop in metoda ... 75
8.2.1 Opis vzorca... 75
8.2.2 Postopek zbiranja podatkov in instrumenti ... 76
8.2.3 Postopek obdelave podatkov... 76
8.3 Začetna splošna ocena posameznih učencev pred treningom ... 77
8.3.1 Učenka A ... 77
8.3.2 Učenec B ... 79
8.3.3 Učenka C ... 81
8.3.4 Učenka D ... 83
8.3.5 Primerjava rezultatov začetnih preizkusov med štirimi vključenimi učenci 85 8.4 Trening reševanja nalog seštevanja in odštevanja z neznanim členom za učence s specifičnimi učnimi težavami pri matematiki ... 89
8.4.1 Opis in struktura treninga ... 89
8.4.2 Aktivnosti in didaktične igre za utrjevanje aritmetike in algebre ... 91
8.4.3 Aktivnosti in didaktične igre za razvoj konceptualnega in proceduralnega znanja računanja neznanih členov pri seštevanju in odštevanju ... 98
8.5 Primerjava in interpretacija rezultatov začetnega in končnega merjenja znanja računanja neznanih členov pri seštevanju in odštevanju ter primerjava z znanjem vrstnikov na končnem preizkusu ... 120
8.6 Odgovori na raziskovalna vprašanja ... 126
9. SKLEP ... 133
10. VIRI ... 135
11. PRILOGE ... 141
KAZALO SLIK
Slika 1Enačaj v pomenu tehtnice v ravnovesju, kadar je na obeh straneh enaka teža
... 14
Slika 2Enačaj v pomenu »je skupaj« ... 14
Slika 3Enačaj kot znak enakosti med dvema izrazoma ... 15
Slika 4Dopolnjevanje neznanega člena ... 16
Slika 5Tehtnica s števili ... 22
Slika 6Razvoj matematičnih kompetenc po Fritz, Ricken in Gerlach ... 23
Slika 7Razumevanje inkluzije razredov ... 26
Slika 8Povezava konceptov in dejavnosti z vidiki števil po Rechtsteiner-Merz ... 28
Slika 9Ponazoritev števil do 20 s krožci v dveh vrsticah po 10 ... 30
Slika 10Ponazoritev desetice v pravokotni obliki z desetimi polji ... 31
Slika 11Računska ladjica Spectra Material ... 34
Slika 12Računalo ... 35
Slika 13Stotično polje (leseno) ... 35
Slika 14Stotično polje ... 36
Slika 15 Stotični kvadrat ... 36
Slika 16Leporelo tisočice... 36
Slika 17Dienesove kocke ... 37
Slika 18Kartice mestnih vrednosti ... 37
Slika 19Tabela mestnih vrednosti ... 37
Slika 20Številska os do 20 ... 38
Slika 21Računska premica ... 38
Slika 22Sprememba celote ... 39
Slika 23Celota se ne spremeni ... 39
Slika 24Aditivna sestava števil, zakon o komutativnosti in inverzni odnos med seštevanjem in odštevanjem ... 40
Slika 25Celoto lahko razdružimo na različne dele. ... 41
Slika 26Prikaz razdruževanja kot »matematična gora« ... 44
Slika 27Prikaz razdruževanja kot »matematična gora« z neznanim členom ... 44
Slika 28Prikaz razdruževanja z dodano slikovno ponazoritvijo ... 45
Slika 29Razdruževanje v tabeli ... 45
Slika 30Številske hiše in stolpnice ... 46
Slika 31Računski stolpi ... 46
Slika 32Slikovna ponazoritev naloge z neznanim členom s pomočjo tehtnice ... 47
Slika 33Tabela za beleženje celote in delov ... 47
Slika 34Primer naloge z računom in tabelo ... 48
Slika 35Primerjava računa v simbolni obliki in »matematične gore« ... 48
Slika 36Računski zid ... 49
Slika 37 Računski trikotnik ... 49
Slika 38Računanje s pomočjo računske premice ... 50
Slika 39Matematična zgodba za računanje drugega seštevanca ... 50
Slika 40Primer zgleda za iskanje drugega seštevanca ... 51
Slika 41Naloga računanja neznanih členov s slikovno ponazoritvijo ... 52
Slika 42Računanje neznanih členov s pomočjo številske osi ... 52
Slika 43Računanje neznanih členov s pomočjo diagrama ... 53
Slika 44Primeri ilustriranih računov dopolnjevanja neznanih členov ... 53
Slika 45Primeri ilustriranih računov dopolnjevanja neznanih členov ... 53
Slika 46Številske hiše ... 54
Slika 47Dopolnjevanje neznanih členov v obliki zidakov ... 54
Slika 48Naloge dopolnjevanja neznanih členov v matematičnih besedilnih nalogah ... 55
Slika 49Kartončki s števili in znaki ... 93
Slika 50Račun brez računskega znaka ... 97
Slika 51Združevanje s steklenimi kamenčki ... 99
Slika 52Združevanje s frnikolami... 99
Slika 53Zapis količin v obliki »matematične gore« in tabele ... 100
Slika 54Ponazoritev količin v pravokotniku z desetimi polji ... 100
Slika 55Vrvica s kroglicami ... 101
Slika 56Združevanje s stotičnim poljem ... 101
Slika 57Lesena škatla za razdruževanje ... 102
Slika 58Pravokotnik z desetimi polji in krogci ... 104
Slika 59Primer beleženja razdruževanja števil ... 104
Slika 60Razdruževaje števila 5 ... 104
Slika 61Razdruževanje števila 10 v obliki sonca ... 105
Slika 62Številske hiše ... 105
Slika 63Krožni diagram nasprotnosti operacij seštevanja in odštevanja ... 107
Slika 64Kartica s pravilom o zamenjavi seštevancev ... 109
Slika 65Kartica s pravilom o nasprotnosti operacij seštevanja in odštevanja ... 110
Slika 66Štiri naloge s tremi števili ... 111
Slika 67Štiri naloge s tremi števili ... 111
Slika 68Škatla s pokrito polovico za računanje neznanega člena ... 113
Slika 69Računanje neznanih členov s pomočjo ščipalk na vrvici ... 113
Slika 70Koliko kroglic je skritih v vrečki? ... 114
Slika 71Računanje neznanih členov s pomočjo tehtnice ... 115
Slika 72Računanje neznanih členov s pomočjo risanja v tehtnico ... 116
Slika 73Določanje neznanega člena s skico uteži ... 116
Slika 74Računi z neznanim členom z zapisom rezultata tudi na levi strani enačaja ... 117
Slika 75Sestavljanka z računi ... 118
Slika 76Računanje neznanih členov s prekrivanjem števil v računu ... 118
Slika 77Kartice za pomoč pri oblikovanju matematičnih besedilnih nalog ... 119
KAZALO TABEL
Tabela 1 Didaktični material za razvoj številskih predstav (Englisch idr., 2018) ... 34 Tabela 2 Strateška orodja do 20 (Rathgeb-Schnierer in Rechtsteiner, 2018) ... 43 Tabela 3 Primerjava rezultatov vključenih učencev v trening pri Desetminutnem testu za ugotavljanje avtomatizacije aritmetičnih dejstev in postopkov ... 85 Tabela 4 Primerjava rezultatov vključenih učencev v trening pri preizkusu za
ugotavljanje predznanj za seštevanje in odštevanje ter znanja seštevanja in
odštevanja ... 86 Tabela 5 Primerjava rezultatov vključenih učencev v trening pri začetnem preizkusu znanja računanja neznanih členov v računih seštevanja in odštevanja ... 88 Tabela 6 Obravnavana vsebinska področja na treningu po posameznih srečanjih .. 91 Tabela 7 Sklopi aktivnosti za razvoj konceptualnega in proceduralnega znanja
računanja neznanih členov pri seštevanju in odštevanju ... 98 Tabela 8 Rezultati vprašalnika za ugotavljanje motivacije pri delu vključenih učencev v trening ... 124
KAZALO GRAFOV
Graf 1 Rezultati učenke A pri začetnem in končnem merjenju znanja računanja neznanih členov v računih seštevanja in odštevanja ter primerjava z rezultati
vrstnikov ... 120 Graf 2 Rezultati učenca B pri začetnem in končnem merjenju znanja računanja neznanih členov v računih seštevanja in odštevanja ter primerjava z rezultati
vrstnikov ... 121 Graf 3 Rezultati učenke C pri začetnem in končnem merjenju znanja računanja neznanih členov v računih seštevanja in odštevanja ter primerjava z rezultati
vrstnikov ... 122 Graf 4 Rezultati učenke D pri začetnem in končnem merjenju znanja računanja neznanih členov v računih seštevanja in odštevanja ter primerjava z rezultati
vrstnikov ... 123 Graf 5 Primerjava rezultatov začetnega in končnega preizkusa reševanja neznanih členov v računih seštevanja in odštevanja vključenih učencev v trening ... 128 Graf 6 Primerjava povprečij doseženih točk preizkusa znanja računanja neznanih členov v računih seštevanja in odštevanja vključenih učencev v trening pred in po treningu s povprečjem rezultatov vrstnikov ... 131
1
1. UVOD
Matematika je eden temeljnih predmetov v osnovni šoli. Namenjen je graditvi pojmov, povezav in učenju postopkov, ki nam omogočajo vključitev v sistem matematičnih idej in posledično vključitev v kulturo, v kateri živimo (Program osnovna šola matematika. Učni načrt, 2011). Obravnava temeljne in za vsakogar pomembne matematične pojme, zato je ključno, da jih učenci dobro usvojijo, kajti od
matematičnih rezultatov je pomembno odvisno njihovo nadaljnje izobraževanje in zaposlitvene možnosti (Kavkler, 2007).
Računanje neznanih členov v računskih operacijah seštevanja in odštevanja je v učnem načrtu za matematiko v osnovni šoli opredeljeno kot obvezni učni cilj v prvem vzgojno-izobraževalnem obdobju in predstavlja enega od temeljev za nadaljnje osnovnošolsko izobraževanje. Hkrati so to znanja, ki spadajo med težje matematične vsebine, kar potrjujejo tudi rezultati preverjanj znanj pri matematiki, kot sta
Nacionalno preverjanje znanja (NPZ) na državnem nivoju in TIMSS na
mednarodnem. Te naloge so še posebno zahtevne za učence s specifičnimi učnimi težavami.
Pouk matematike mora potekati na načine, ki so usklajeni z otrokovim kognitivnim razvojem, z njegovimi sposobnostmi, osebnostnimi značilnostmi in življenjskim okoljem (Program osnovna šola matematika. Učni načrt, 2011). Različnost in
drugačnost, skratka individualnost učencev predstavlja učitelju enega izmed izhodišč za pripravo na pouk, kajti le tako so lahko vsi učenci, tudi učenci s specifičnimi učnimi težavami, v vzgojno-izobraževalnem procesu dejavno soudeleženi na svoj lasten, izviren in individualen način (Magajna idr., 2008). Učenje matematike z lastnima aktivnostjo in ustvarjalnostjo je zabavno in zanimivo ter omogoča doživljanje uspeha.
Takšen način učenja matematičnih znanj je priložnost za razvoj mišljenja, spretnosti, osebnostno rast in oblikovanje pozitivne samopodobe vsakega učenca.
Učiti se matematiko pomeni, jo vedno na novo izumljati.
Donal O'Shea
2
2. NALOGE Z DOPOLNJEVANJEM NEZNANIH ČLENOV PRI SEŠTEVANJU IN ODŠTEVANJU DO 100 V UČNEM
NAČRTU IN VPLIV NA UČENJE MATEMATIKE V VIŠJIH RAZREDIH OSNOVNE ŠOLE
Naloge z dopolnjevanjem neznanih členov pri seštevanju in odštevanju učni načrt uvršča v tematsko področje aritmetike in algebre (Program osnovna šola matematika.
Učni načrt, 2011). Da jih učenci znajo uspešno izračunati, morajo imeti usvojen kompleksen pojem števila in računske operacije. Te naloge predstavljajo osnove za kasnejše učenje enačb in neenačb, ki jih učenci podrobneje spoznajo v drugem vzgojno-izobraževalnem obdobju.
V prvem vzgojno-izobraževalnem obdobju si učenci najprej zgradijo konceptualni sistem za reprezentacijo številskih predstav in pojmov ter prepoznajo, opišejo in znajo uporabljati zakonitosti osnovnih računskih operacij. V prvem razredu spoznajo števila do 20, v drugem do 100 in v tretjem do 1000. V teh številskih obsegih
spoznajo računski operaciji seštevanja in odštevanja, v drugem ter predvsem v tretjem razredu tudi operaciji množenja in deljenja v obsegu 10 x 10. V kontekstu računskih operacij znajo pojasniti zakon o zamenjavi in združevanju ter da sta seštevanje in odštevanje ter množenje in deljenje nasprotni operaciji. Računske operacije učenci prav tako uporabijo pri reševanju problemov. Naloge dopolnjevanja neznanih členov računajo v prvem razredu v množici naravnih števil do 10, v drugem do 20 in v tretjem do 100 (Program osnovna šola matematika. Učni načrt, 2011).
Mulec idr. (2002) poudarjajo, da učenci seštevanje in odštevanje do 100 s prehodom obvladajo šele, ko znajo v tem obsegu izračunati neznane člene, ob tem upoštevati, da sta seštevanje in odštevanje nasprotni operaciji, ter ko znajo ti dve računski operaciji uporabiti pri reševanju problemov. Obvladovanje dopolnjevanja neznanih členov je zelo pomembno za uspešno računanje s prehodom desetice in kasneje za pisno odštevanje (na način dopolnjevanja) (Heinz, 2015).
V drugem vzgojno-izobraževalnem obdobju učenci podrobneje spoznajo enačbe, neenačbe in številske izraze s črkovnimi oznakami. Neznane člene, ki so bili v prvem vzgojno-izobraževalnem obdobju označeni s praznim kvadratkom, v četrtem razredu zamenjajo neznanke v obliki črkovne oznake (x, y ipd.). V tretjem vzgojno-
izobraževalnem obdobju učenci spoznajo preproste algebrske izraze, rešujejo enačbe znanih oblik s pozitivnimi racionalnimi števili, kasneje z vso množico
racionalnih števil. Spoznajo linearno enačbo in jo uporabijo pri reševanju besedilnih nalog ter rešujejo sistem linearnih enačb (Program osnovna šola matematika. Učni načrt, 2011). Reševanje enačb je v posameznih obdobjih šolanja usklajeno z matematičnim znanjem učencev (Pavasovič, 1998).
3
Algebrsko mišljenje v osnovni šoli je tesno povezano z aritmetičnimi vsebinami (obe področji se medsebojno dopolnjujeta, čeprav v začetku učenja matematike aritmetika prevladuje). Pogosto gre le za majhen korak in razširitev perspektive. Z algebrskimi sredstvi ne samo da lahko rešimo posamezne, konkretne probleme, ampak lahko z njimi sočasno obravnavamo celo vrsto problemov. Pri tem lahko prepoznamo, opišemo in uporabimo splošne matematične strukture. Algebrski pogled pomembno izboljša razumevanje računskih postopkov in tako razvija aritmetične sposobnosti. Pri zgodnji algebri torej ne gre za dodatne vsebine v učnem načrtu, ampak za obravnavo običajnih aritmetičnih vsebin z (dopolnilne) drugačne perspektive oz. za eksplicitno tematiziranje inherentnih algebrskih vidikov (Fritzlar, 2015).
Na vprašanje, kako razvijati algebrsko mišljenje v osnovni šoli, Fritzlar in Karpinski- Siebold (2011, v Fritzlar, 2015) navajata naslednje komponente algebrskega mišljenja:
izvajanje računskih operacij s konkretnimi objekti in njihovo izvajanje v obratni smeri (poznavanje lastnosti računskih operacij in uporaba teh v obliki
računskih pravil);
prepoznavanje odnosov med števili, količinami in relacijami (poznavanje odnosov med števili in operacijami izboljša računanje);
posploševanje (ima velik pomen na algebrskem področju, kajti oblikovanje splošnih lastnosti s pomočjo konkretnih objektov velja za bistven izziv algebrskega mišljenja);
ustrezno operiranje z neznankami (odnosi med neznankami, npr. x + a = y) in
uporaba reprezentacij (ustrezna raba algebrskih izrazov; razumevanje enačaja kot relacijskega znaka in dualnega značaja izrazov kot procesov in produkta).
Algebrsko mišljenje je možno tudi brez črkovnih spremenljivk.
Ameriška Nacionalna svetovalna skupina za matematiko za kasnejše učenje algebre navaja naslednja pomembna predznanja, ki jih morajo učenci usvojiti v osnovni šoli (National Mathematics Advisory Panel, 2008):
fluentno operiranje s celimi števili
Učenci morajo najprej razviti dober občutek za števila. Ta obsega
razumevanje vrednosti števil in sposobnost združevanja ter razdruževanja števil. Učenec mora razumeti pomen osnovnih računskih operacij, njihovo jezikovno, asociativno in razločevalno dimenzijo (vključno z razumevanjem povezave med seštevanjem in odštevanjem oz. množenjem in deljenjem), zmožnost izpeljave in uporabe v reševanju problemskih situacij. Dober občutek za števila vključuje tudi sposobnost ocenjevanja rezultatov in ocenjevanja količin v vsakdanjem življenju (npr. koliko ljudi lahko sprejme dvorana).
4
fluentno operiranje z ulomki
Predpogoji za učenje algebrskih znanj so dobro razumevanje ulomkov, njihova lokalizacija na številski osi, njihovo ponazarjanje in primerjava (vključno z decimalnimi števili in odstotki) ter ocenjevanje njihove vrednosti. Učenci morajo razumeti, da so vsote, razlike, zmnožki in količniki ulomkov prav tako ulomki, in jih uspešno izračunati. Poznati morajo povezavo med decimalnimi števili in ulomki ter razumeti pomen odstotkov. Razumeti morajo probleme v vsakdanjem življenju, ki so povezani z ulomki. Obvladovanje spretnosti računanja s specifičnimi števili, ulomki, posledično omogoča učencem
prehajanje na simbolno raven razumevanja in posploševanja. Obe področji pa sta sestavni del algebre.
posamezni vidiki geometrije in merjenja
Izkušnje učencev na predmetni stopnji v osnovni šoli, ki so povezane z različnimi trikotniki, neposredno vplivajo na učenje algebre. Obravnava
poševne premice in linearne funkcije je logično odvisna od lastnosti podobnih trikotnikov. Prav tako morajo učenci znati analizirati lastnosti dvo- in
tridimenzionalnih oblik s pomočjo formul, ki se uporabljajo za računanje obsega, ploščine, prostornine in površine. Učenci naj bi znali izračunati neznane dolžine, kote in ploščine.
2.1 Pomen znanja algebre
Matematična znanja so pomembna za posameznika, saj mu omogočajo
izobraževalne in poklicne zmožnosti ter s tem boljši družbeni položaj. V ameriškem okolju je Nacionalni svet za znanost (National Science Board) indiciral pomembno večjo rast delovne sile, ki zahteva intenzivno znanje matematike, v primerjavi z ostalimi poklici in znaša 3 : 1. Ugotovili so, da dobro obvladovanje algebrskih znanj v srednji šoli pomembno korelira s posameznikovimi možnostmi vpisa na študij in z dokončanjem študija, zato želijo učencem zagotoviti optimalne pogoje za pridobitev tistih matematičnih znanj v času osnovnega šolanja, ki predstavljajo temelj, na katerem učenec kasneje gradi algebrska znanja (National Mathematics Advisory Panel, 2008).
Temelje za učenje algebre učenci pridobijo v predšolskem in osnovnošolskem obdobju. Ameriška Nacionalna svetovalna skupina za matematiko (National
Mathematics Advisory Panel, 2008) zelo poudarja pomembnost obvladovanja celih števil, ulomkov ter posameznih vidikov geometrije in merjenja v osnovni šoli pred učenjem dejanske algebre. Da so učenci pripravljeni na učenje algebre, mora učni načrt sočasno razvijati konceptualno znanje, računske spretnosti in sposobnosti reševanja problemov. Omenjena področja znanj oz. sposobnosti so povezana tako, da eno podpira in hkrati olajšuje razvoj drugega. Učitelj naj pri pouku poudari
5
povezave med temi področji; na splošno konceptualno razumevanje računskih operacij, avtomatizirano izvajanje postopkov in hiter priklic številskih kombinacij omogočajo uspešno in učinkovito reševanje problemov. Pouk naj bo zato usmerjen v učenje konceptualnih in proceduralnih znanj, v nadaljevanju pa v reševanje
specifičnih problemov.
2.2 Uspešnost učencev prvega vzgojno-izobraževalnega obdobja pri računanju neznanih členov v računskih operacijah
seštevanja in odštevanja
Učenci imajo pogosto težave pri reševanju kompleksnih nalog, ki vključujejo
obvladovanje spretnosti štetja in razumevanje kardinalnega vidika števila. Reševanje nalog z dopolnjevanjem neznanih členov pri seštevanju in odštevanju tako zahteva fleksibilno rabo znanja o številih v povezavi z računskimi operacijami. Te naloge so še posebno zahtevne za učence s specifičnimi učnimi težavami pri matematiki. Ostad (1998, v Dornheim, 2007) je v svoji študiji ugotovil, da učenci s specifičnimi učnimi težavami pri matematiki znajo rešiti enostavne naloge seštevanja in odštevanja, ki jih je mogoče rešiti s pomočjo štetja, ne pa nalog z dopolnjevanjem neznanih členov.
Slabša zmožnost reševanja teh nalog je zato pogosto navedena kot znak specifičnih učnih težav pri matematiki (»Symptome einer Rechenschwäche«, b. d.).
Težavnost teme potrjujejo tudi rezultati preverjanj znanj pri matematiki, kot sta Nacionalno preverjanje znanja (NPZ) na državnem nivoju in TIMSS na
mednarodnem.
V slovenskem prostoru se znanje matematike preverja vsako leto na NPZ že od leta 2001. Od šolskega leta 2017/18 se preizkus izvaja tudi v tretjem razredu osnovne šole. V tem šolskem letu so bile v preizkus vključene tudi naloge dopolnjevanja
neznanega člena pri seštevanju in odštevanju do 100. Povprečni dosežek postavk po nalogah, ki preverjajo znanja na tretji taksonomski stopnji (uporaba kompleksnih postopkov), kamor prištevamo naloge dopolnjevanja v računih tipa a + ___ = c in ___
− b = c, je bil 75 %. Pri nalogi dopolnjevanja neznanega člena drugega seštevanca, ki jo je moral učenec sestaviti na podlagi matematičnega besednega problema, so učenci izkazali najnižji dosežek (69 %) v okviru druge taksonomske stopnje (izvajanje rutinskih postopkov); povprečje le-te je znašalo 82 %. Težave so imeli tako pri zapisu računa kot pri uporabi ustrezne strategije reševanja (Felda idr., 2018). V šolskem letu 2018/19 so učenci pri nalogi dopolnjevanja neznanega člena zmanjševanca v
povprečju z nalogami iste taksonomske stopnje, uporabe kompleksnih postopkov, dosegli 55 %. Še nižji dosežek je bil izkazan pri nalogah iz vsakdanjega življenja, kjer morajo učenci uporabiti znanje o delih in celoti, pri nalogah tretje taksonomske
stopnje uporaba znanja, in sicer le 20 % (Felda idr., 2019).
V drugem vzgojno-izobraževalnem obdobju v osnovni šoli naloge z dopolnjevanjem neznanih členov zamenjajo naloge z neznankami (x), enačbe in neenačbe.
6
Težavnost reševanja enačb tudi v višjih razredih osnovne šole potrjuje letno poročilo o izvedbi NPZ iz matematike v šolskem letu 2018/19, kjer so rezultati devetošolcev pri reševanju enačb uvrščeni v rdeče območje. To označuje učence, katerih dosežki določajo mejo zgornje četrtine dosežkov. V tem območju je 10 % učencev, katerih dosežki so višji od spodnjih 70 % in nižji od 20 % preostalih dosežkov (Lunder Verlič idr., 2019). Glede na navedeno ne preseneča ugotovitev, ki jo je pokazala analiza rezultatov dosežkov učencev s primanjkljaji pri učenju matematike na NPZ iz leta 2015 v 9. razredu. V primerjavi z ostalimi vsebinskimi področji (npr. geometrija, računske operacije, pretvarjanje količin …) učenci ravno naloge z enačbami (29 %) ter naloge z reševanjem in raziskovanjem problemov (17,91 %) rešujejo najslabše (Kverh Žgur, 2016).
Naloge s področja algebre so vključene tudi v mednarodno raziskavo trendov znanja matematike in naravoslovja TIMSS. Raziskave slednje že od leta 1995 vodi
Mednarodni center za raziskave TIMSS & PIRLS z univerze Boston College v ZDA.
Izsledki raziskave TIMSS iz leta 2011 na področju algebre pri osmošolcih navajajo za 12 točk slabši rezultat od lastnega povprečja (Japelj Pavešić idr., 2012), leta 2015 celo za 18 točk (Japelj Pavešić in Svetlik, 2016). Leta 2015 je odstotek pravilnih odgovorov za nalogo tipa __ − b = c znašal 54,3 odstotka, za nalogo tipa a + b = ___+_c 36,2 odstotka in za nalogo uporabe znanja s področja enačb 61,5 odstotka. Slovenski splošni dosežek iz matematike je relativno dober, saj se uvršča prav na sredino vključenih 49 držav. Relativno šibko področje glede na skupni nacionalni dosežek je raziskava ugotovila prav za vsebinsko področje števil (za 9 točk statistično nižji kot skupen matematični dosežek), ki je v primerjavi s področjem geometrije in merjenja ter prikazovanja podatkov najnižje (Japelj Pavešić in Svetlik, 2016).
3. UČNE TEŽAVE PRI MATEMATIKI
Opažamo, da imajo učenci pogosteje učne težave pri matematiki kot pri ostalih učnih predmetih (Kavkler, 2007; Žakelj in Valenčič Zuljan, 2015). Pri reševanju
matematičnih problemov se razlikujejo v predznanju in različnem delovnem tempu (Englisch idr., 2018).
Učenci z učnimi težavami so zelo heterogena skupina otrok z različnimi kognitivnimi, socialnimi, emocionalnimi in drugimi značilnostmi, ki imajo pri učenju pomembno večje težave (Kavkler, 2007). V primerjavi z vrstniki pri njih opažamo v
matematičnem znanju in strategijah večja ter dolgotrajnejša odstopanja od povprečja.
Na to, kako bo učenec uspešen pri doseganju pričakovanih dosežkov in ciljev pouka, vplivajo zunanji dejavniki, kot so kakovost učenčevega življenja, spodbudno ali
nespodbudno okolje, iz katerega izhaja (Žakelj in Grmek, 2010, v Žakelj in Valenčič
7
Zuljan, 2015), intelektualne sposobnosti, bistveno pa tudi šolski dejavniki, organizacija pouka in učiteljeva ravnanja (Žakelj in Valenčič Zuljan, 2015).
3.1 Splošne in specifične učne težave
Učne težave delimo na splošne in specifične, te pa se lahko razprostirajo od lažjih do težjih in od enostavnih do zapletenih. Po trajanju so lahko prisotne krajši čas ali pa daljše časovno obdobje, nekatere lahko trajajo vse življenje (Magajna idr., 2008).
Magajna idr. (2008) navajajo, da so splošne učne težave značilne za zelo heterogeno skupino učencev, ki imajo pomembno večje težave kot vrstniki pri usvajanju znanj in spretnosti pri več učnih predmetih. Tako imajo splošne učne težave pri matematiki učenci, ki dosegajo nižje izobraževalne dosežke pri matematiki in najpogosteje tudi pri drugih predmetih, ker na splošno počasneje usvajajo znanja, imajo čustvene težave, motnje pozornosti in hiperaktivnosti, imajo podpovprečne ali mejne intelektualne sposobnosti, pomanjkanje motivacije, slabše razvite
samoregulacijske sposobnosti, ali pa so pri njih učne težave posledica ovir v socialno-emocionalnem prilagajanju, socialno-kulturne drugačnosti in socialno-
ekonomske oviranosti. Vsi našteti dejavniki se lahko povezujejo tudi z neustreznim in neprilagojenim poučevanjem.
Z izrazom »specifične učne težave« razumemo heterogeno skupino primanjkljajev, ki se kažejo z zaostankom v zgodnjem razvoju in/ali težavah na kateremkoli od
naslednjih področij: pozornost, mišljenje, pomnjenje, komunikacija, koordinacija, branje, pisanje, pravopis, računanje, socialna kompetentnost in čustveno
dozorevanje (Magajna idr., 2008). Vplivajo na posameznikovo sposobnost predelovanja, interpretiranja in povezovanja zaznanih informacij ter tako ovirajo učenje osnovnih šolskih veščin (branja, pisanja, računanja). So notranje narave oz.
so nevrofiziološko pogojene in niso primarno pogojene s senzornimi in motoričnimi okvarami, motnjami v duševnem razvoju, čustvenimi motnjami, neustreznimi okoljskimi dejavniki, lahko pa se pojavljajo skupaj z njimi.
Ugotovitev specifičnih učnih težav pri učencu moramo dokazati s potrditvijo naslednjih petih kriterijev (Magajna idr., 2008): neskladje med splošnimi
intelektualnimi sposobnostmi in dejansko uspešnostjo na določenih področjih učenja, izrazite težave na področju osnovnih šolskih veščin, slabša učna učinkovitost zaradi pomanjkljivih kognitivnih in metakognitivnih strategij ter motenega tempa učenja, motenost enega ali več psiholoških procesov in izključenost okvar čutil, motenj v duševnem razvoju, kulturne različnosti, neustreznega poučevanja, čustvenih in vedenjskih motenj.
8 3.1.1 Specifične učne težave pri matematiki
Najpogostejše težave, ki so prisotne pri učencih s specifičnimi učnimi težavami pri matematiki, so (Kavkler, 1997, v Kavkler, 2011b; Montague, 1996, v Kavkler, 2011b):
Slabše pomnjenje in obvladovanje strategij, ki vplivata na pojmovno znanje operacij, predstave, pomnjenje zaporedij (težave pri štetju v zaporedjih zaradi slabše zmožnosti zadrževanja numeričnih informacij v delovnem spominu), avtomatizacijo priklica dejstev (priklic nepravilnih dejstev ali štetje s prsti namesto priklica, to pa zmanjšuje zmogljivost delovnega spomina) (Geary, 1994, v Vipavc, 2015; Magajna idr., 2008) in postopkov ter reševanje besednih matematičnih problemov (Kavkler idr., 2004, v Kavkler, 2011c). Pri učencih so lahko prisotni kratkotrajno pomnjenje, slabše dolgotrajno pomnjenje in zato slabši priklic podatkov.
Primanjkljaji pri izvajanju postopkov (težave pri obvladovanju postopka štetja, počasno izvajanje postopkov (Prior, 1996, v Kavkler, 2014), težave pri izvajanju računskih zaporedij, pogoste napake pri izvajanju postopkov
(Kavkler, 2011c), težave pri prenosu življenjske situacije v matematični simbolni zapis).
Učenci si težko zapomnijo postopke in zato tudi slabše izvršujejo daljša zaporedja korakov v aritmetičnih postopkih, številskih izrazih, besednih in drugih nalogah ali problemih. Pri reševanju se poslužujejo razvojno manj zrelih postopkov (npr. preštevanje vsega, namesto da bi šteli od večjega števila naprej) (Vipavc, 2015).
Slabše jezikovne in komunikacijske sposobnosti (poslušanje ali branje navodil, pisanje nalog, opisovanje strategij reševanja matematičnih problemov, opisovanje dejavnosti z materiali). Usvojen matematični simbolni jezik učencu omogoča, da lahko govori o matematičnih problemih, razvija pojme in
strategije. Za to potrebuje veliko dejavnosti z različnimi konkretnimi materiali in hkrati trening matematičnih izrazov, da lahko poveže različne ravni
ponazoritev.
Slabše razvite zaznavne sposobnosti, ki vplivajo na sprejem matematičnih informacij. Sem prištevamo:
o težave pri razlikovanju lika od ozadja (učenec se izgublja na listu, netočno bere večmestna števila itd.);
o težave sprejemanja informacij po slušni poti (težave pri ustnem računanju, netočno nadaljevanje štetja po modelu itd.);
o težave v zvezi z razlikovanjem števil (zamenjevanje vidno podobnih števil, npr. 6 – 9, zamenjevanje računskih znakov itd.);
o slabše razvite prostorsko-orientacijske sposobnosti (pisanje v črtovje, podpisovanje pri pisnem računanju, orientacija levo-desno, zgoraj- spodaj itd., zamenjevanje števk v dvomestnih številih, orientacija na številski osi).
9
Različni vidiki pozornosti (impulzivnost, kratkotrajna pozornost) vplivajo na učinkovitost pri matematiki. Posledično učenec naredi več napak, spregleda informacije, jih pozablja, težko prehaja z ene dejavnosti na drugo.
Slabše razvite finomotorične sposobnosti vplivajo na točnost in hitrost zapisa ter tudi na tempo reševanja nalog.
Motivacija za učenje in samopodoba (dalj časa trajajoča izkušnja doživljanja neuspeha zmanjša motivacijo za delo).
Opisane značilnosti vplivajo na posameznikovo sposobnost zaznavanja,
predelovanja, interpretiranja in povezovanja zaznanih informacij ter tako ovirajo učenje. Pri učencih s specifičnimi učnimi težavami pri matematiki posledično opažamo primanjkljaje na naslednjih področjih (Magajna idr., 2014):
Razvoj občutka za števila (sposobnost prepoznavanja pomena in razumevanja števil, odnosov med njimi ter njihove raznolike uporabe; fleksibilna raba števil v vseh štirih aritmetičnih operacijah; uporaba in razumevanje števil v
strategijah štetja in računanja; sposobnost razvoja strategij za reševanje kompleksnih matematičnih problemov; merjenje, ocenjevanje, prepoznavanje odnosa del-celota itd.).
Pri učencih z učnimi težavami je bilo ugotovljeno, da tudi ob koncu
osnovnošolskega izobraževanja ne znajo suvereno razdruževati števil do 10 (Schipper, 2009, v Peter-Koop in Rootmann, b. d.).
Razvoj avtomatizacije aritmetičnih dejstev (slabše avtomatizirana dejstva, namesto priklica se poslužuje materialnih opor, za to pa porabi več časa).
Razvoj sposobnosti hitrega in tekočega računanja oz. točnosti izvajanja in/ali avtomatizacije aritmetičnih postopkov (proceduralno znanje).
Slabše konceptualno matematično znanje.
Razvoj točnosti matematičnega rezoniranja oz. sklepanja (matematično rezoniranje omogoča otroku evalvacijo matematične naloge ali problema, izbiro strategije reševanja naloge ali problema, oblikovanje logičnih sklepov, opis rešitev in prepoznavanje rabe teh rešitev ter refleksijo rešitev naloge ali problema in ugotovitev smiselnosti rešitev).
Učenca, ki ima slabše razvit občutek za števila, prepoznamo po naslednjih značilnostih:
ima težave z miselnim računanjem, saj že račune v manjšem številskem obsegu rešuje s pomočjo pripomočkov ali pisno,
ne razume odnosov med števili v operacijah (npr. za nalogo deljenja zapiše račun odštevanja, npr. namesto 9 : 3 = zapiše 9 – 3 =),
ima skromen seznam strategij za reševanje problema,
ne oceni rezultata pred računanjem,
10
ne preveri smiselnosti rezultata,
pri matematiki doživlja neuspeh s čustvenimi stiskami, zato razvije negativen odnos do matematike (Crean, 2012, v Kavkler, 2014).
Učenci z učnimi težavami pri matematiki dojemajo števila le kot ordinalna števila. To pomeni, da vidijo števila le kot enoto v zaporedju: ena, dva, tri, štiri … in ne kot kardinalno število, torej število s pojmom količine. Posledica tega je, da vedno
računajo s pomočjo štetja, ker nimajo usvojenega pojma količine, npr. ne prepoznajo povezave med računoma 1 + 5 = 6 in 2 + 5 = 7. Namesto da bi računa povezali in ugotovili, da je rezultat drugega računa za ena več, tudi pri računanju drugega računa znova začnejo šteti od ena naprej. Težave imajo tudi pri upoštevanju zakona o zamenjavi, računanju neznanih členov v operacijah seštevanja in odštevanja, pri reševanju matematičnih besedilnih nalog (Eckert idr., 2012). Če torej učenec ne prepozna povezav in odnosov med števili, ne more pri reševanju novih nalog upoštevati že poznanih dejstev in nalog, ki jih je že rešil. Vsako novo nalogo, ki jo rešuje, tako dojema kot izolirano in jo mora izračunati s pomočjo štetja
(»Beziehungen herstellen«, b. d.).
Specifične učne težave pri matematiki so pogosteje povezane z bralno-napisovalnimi težavami, ADHD, neverbalnimi specifičnimi učnimi težavami, čustvenimi in drugimi.
Te še dodatno znižujejo učinkovitost učenca pri matematiki (Kavkler, 2011c).
Učenci s specifičnimi učnimi težavami pri matematiki imajo kompleksne vzgojno- izobraževalne potrebe na štirih področjih (Kavkler, 2007):
na organizacijskem področju, kar se odraža tako, da imajo neurejene šolske potrebščine, učne pripomočke, slabo razporejajo zapis na listu, težko določajo prioritete in slabo načrtujejo porabo časa itd.;
na področju fine motorike imajo težave pri geometriji, pri dejavnostih z drobnimi učnimi pripomočki, pisanju itd.;
na področju socializacije, saj težje razumejo pravila, socialne relacije, neverbalna sporočila itd. in
na področju matematičnih izobraževalnih vsebin, ki vključujejo deklarativno, konceptualno, proceduralno in problemsko znanje.
3.2 Petstopenjski model pomoči učencem z učnimi težavami
Učence s specifičnimi učnimi težavami pri matematiki je treba čim prej odkriti in jim zagotoviti ustrezno pomoč ter tako preprečiti nastanek izrazitih učnih težav.
V slovenski šolski praksi se izvaja petstopenjski model nudenja učne pomoči učencem z učnimi težavami, ki predvideva odkrivanje učenca takoj, ko se pojavijo
11
težave, spremljanje napredka, obravnavo in evalvacijo uspešnosti obravnave. Pomoč se razprostira od manj do bolj intenzivnih oblik. Na prvi stopnji predvideva pomoč učitelja pri pouku. Če ta ne zadostuje, sledita pomoč šolske svetovalne službe na drugi stopnji ter organizacija individualne in skupinske učne pomoči na tretji. Pomoč zunanje specializirane ustanove je predvidena na četrti stopnji in na peti usmeritev v izobraževalni program s prilagojenim izvajanjem z dodatno strokovno pomočjo (Magajna idr., 2011).
Večstopenjski model obravnave učencem z učnimi težavami torej omogoča čim bolj zgodnjo obravnavo, ki je organizirana čim bolj fleksibilno (glede na potrebe, npr. 10 minut na dan), čim manj opazno (brez pretiranega poudarjanja drugačnosti), čim bliže učencu in čim krajši čas, a takrat intenzivno in učinkovito (Magajna idr., 2008).
Učitelj mora za učence s posebnimi potrebami uporabiti le sistematične, dobro izbrane in intenzivne strategije poučevanja (Mitchell, 2008, v Kavkler, 2011a).
V tujih virih zasledimo v okviru tristopenjskega modela pomoči učencem z učnimi težavami model odziv na obravnavo. Ta tudi učencem z učnimi težavami pri
matematiki omogoča kakovostna odkrivanje in poučevanje, saj učencem s težavami nudi takojšnjo intenzivno pomoč ob odkritju težav (Kavkler, 2011b).
Glede na stopnjo težav slovenska zakonodaja učence s specifičnimi učnimi težavami deli na:
učence z lažjimi in deloma zmernimi specifičnimi učnimi težavami, ki zahtevajo prilagoditev v načinih dela in individualni pomoči brez odločbe ter prejemajo pomoč na prvih štirih stopnjah petstopenjskega modela, in
na učence s hudimi oblikami specifičnih učnih težav, ki zahtevajo usmerjanje v izobraževalni program s prilagojenim izvajanjem in dodatno strokovno
pomočjo (Žakelj in Valenčič Zuljan, 2015).
Lažje specifične učne težave pri matematiki zaradi različnih posebnih potreb učencev vplivajo na njihove učne dosežke. Učenci tako potrebujejo več časa za avtomatizacijo aritmetičnih dejstev in postopkov ter za reševanje nalog, za zapomnitev podatkov, formul potrebujejo različne opore ipd. Zaradi višjih kognitivnih sposobnosti
posameznika okolje manj zaznava njegove stiske, ki jih doživlja pri učenju. Ustrezni podpora in pomoč ter razumevanje odraslih, ki so usmerjeni v otrokova močna
področja, lahko v veliki meri izboljšajo učenčevo uspešnost (Vipavc in Kavkler, 2015).
Zmerne specifične učne težave pri matematiki se pri učencu odražajo v tolikšni meri, da jih odrasli v domačem in šolskem okolju prepoznajo. Učenec na večini področij kurikula dosega temeljna znanja, pri nekaterih matematičnih znanjih in spretnostih, kot so npr. avtomatizacija dejstev in postopkov, usvajanje zaporedij, reševanje problemov, pa dosega nižje rezultate od pričakovanih. Učenec praviloma pri drugih predmetih nima težav, pri matematiki pa potrebuje bolj specialno pedagoške pristope, ki jih izvajajo strokovni delavci od druge do četrte stopnje petstopenjskega modela pomoči odziv na obravnavo (Vipavc in Kavkler, 2015).
12
Prva stopnja predvideva pomoč učitelja pri pouku in pri dopolnilnem pouku ter pomoč učitelja podaljšanega bivanja. Ta ne sme biti pozoren le na učenčeve primanjkljaje, ampak mora odkriti tudi njegova močna področja in jih upoštevati pri blaženju težav pri učenju matematike. Učencu skuša pomagati z izvajanjem dobre poučevalne prakse, mu diferencira in individualizira učne zahteve, naloge, načine pridobivanja, utrjevanja in preverjanja znanja. Za model odziv na obravnavo je značilno, da učencu, ki je rizičen za učne težave, ob pojavu nizkih dosežkov takoj organiziramo pomoč in podporo ter ne čakamo na njegov neuspeh (negativne ocene, ponavljanje) (Vipavc in Kavkler, 2015).
Na drugi stopnji se vključi pomoč šolske svetovalne službe, ki upošteva učiteljeve ugotovitve, naredi podrobnejšo diagnostično oceno učenčevih močnih področij, primanjkljajev in posebnih potreb, svetuje učitelju in staršem ter nudi konkretno pomoč učencu pri učenju matematike (Vipavc in Kavkler, 2015).
3.3 Individualna in skupinska učna pomoč (ISP)
V empiričnem delu magistrskega dela bo izveden trening računanja neznanih členov pri seštevanju in odštevanju za učence, ki so deležni pomoči na tretji stopnji
petstopenjskega modela pomoči učencem z učnimi težavami, zato v nadaljevanju predstavljamo pomoč na tej stopnji.
Če ima učenec kljub pomoči na prvih dveh stopnjah še vedno težave pri matematiki, se na osnovi pisno utemeljene potrebe po individualni ali skupinski pomoči, ki jo izvaja praviloma enkrat tedensko šolska svetovalna služba (specialni pedagog, psiholog, socialni pedagog, pedagog) ali usposobljen učitelj, organizira učencu pomoč na tretji stopnji. Izvajalec individualne in skupinske pomoči poglobi
diagnostično oceno primanjkljajev in močnih področij ter na podlagi te začne izvajati bolj specialno obliko pomoči. Delo skupaj z učencem podrobno načrtuje, spremlja in dokumentira napredek ter evalvira rezultate (Kavkler, 2011b; Vipavc in Kavkler, 2015). Za namen dodatne diagnostične ocene pri bolj zapletenih težavah se v obravnavo lahko vključijo tudi specializirane zunanje strokovne ustanove, in sicer na pobudo bodisi šole bodisi staršev. V dokumentaciji se zabeležijo glavne učenčeve ovire in posebne potrebe ter vse potrebne prilagoditve (Magajna idr., 2008).
Pomoč na tretji stopnji se lahko izvaja kot individualna ali kot skupinska pomoč.
Individualna učna pomoč je bolj specifična oblika in se organizira za učenca z zmernimi specifičnimi primanjkljaji, ki potrebuje več specifičnega treninga in več učiteljeve pozornosti. Individualna in skupinska pomoč se praviloma začne z individualno obliko pomoči, saj tako učitelj najbolje oceni učenčeve primanjkljaje in njegova močna področja. Projekt pomoči se kasneje nadaljuje s kombiniranjem individualne in skupinske pomoči. Učitelj učenca v individualni izvedbi pripravi na
13
delo v skupini. Pri tem se učenec uči strategij, ki so potrebne za njegovo uspešno funkcioniranje v skupini (npr. strategij poslušanja, pogovarjanja, rabe opor in učnih pripomočkov ipd.). Skupinske oblike pomoči in podpore omogočajo vključevanje več učencev v obravnavo in več komunikacije med njimi ter sodelovalnega učenja, to pa je koristno za njihov napredek pri učenju matematike. Skupinska učna pomoč je primerna za izvajanje treningov avtomatiziranja posameznih veščin (npr. računanja ipd.). Za učinkovitost pomoči naj skupina ne bo prevelika, optimalna velikost je od štiri do šest učencev (Magajna idr., 2008).
V procesu poučevanja so učencem na tretji stopnji pomoči organizirane zmerne prilagoditve, ki npr. vključujejo prilagoditev oblike gradiva (manj nalog na listu, več prostora za zapis, dodana naloga kot model za reševanje, označene ključne
informacije itd.), dodatne razlage z dodatnimi ponazoritvami, različne nivoje bralne ali pisne zahtevnosti gradiv, drugačne načine predstavljanja rezultatov, večje časovne prilagoditve (več časa pri zapisovanju, reševanju nalog, preverjanju znanja),
fotokopiranje pisnih gradiv, več ustnega preverjanja znanja, več tehničnih
pripomočkov (npr. žepno računalo) itd. Del prilagoditev učitelju pripravi izvajalec individualne ali skupinske učne pomoči oz. učitelj sam, lahko pa oba skupaj delata v razredu (Kavkler, 2008; Kavkler, 2011b).
Pomoč učencu v smislu povečanega obsega vaj v večini primerov ni učinkovita.
Pomembneje je, da se pomoč usmeri v pridobivanje temeljnih kompetenc in vsebin ter naj vključuje rabo ustreznih didaktičnih materialov. Didaktični material naj bo skrbno izbran, tako da bo spodbujal učenčevo aktivnost in ustrezno rokovanje z njim (Englisch idr., 2018). Kavkler (2007) poudarja, da učenci v prvem vzgojno-
izobraževalnem obdobju, predvsem učenci z izrazitejšimi specifičnimi učnimi
težavami, potrebujejo tudi bolj specifične pristope pomoči, ki jih je treba upoštevati od samega začetka šolanja. Na področju težav s priklicem osnovnih aritmetičnih dejstev tako potrebujejo različne intenzivne oblike treninga, ki vključujejo multisenzorno poučevanje, vaje v manjših časovnih obdobjih (npr. 10 minut na dan), malo število dejstev, ki se jih uri istočasno, učenje kompenzacijskih strategij itd.
14
4. NALOGE DOPOLNJEVANJA NEZNANIH ČLENOV PRI SEŠTEVANJU IN ODŠTEVANJU
Naloge z dopolnjevanjem neznanih členov v računskih operacijah seštevanja in odštevanja so naloge, pri katerih ne iščemo vsote ali razlike, temveč enega od seštevancev oz. zmanjševanec ali odštevanec.
Za uspešno reševanje nalog dopolnjevanja neznanih členov pri seštevanju in odštevanju morajo učenci:
imeti usvojen pojem števila;
razumeti pojem seštevanja in odštevanja ter znati seštevati in odštevati;
razumeti pomen enačaja, ki pomeni »je enako kot«; lahko si ga predstavljamo kot tehtnico v ravnovesju, kot vidimo na Sliki 1 (»Ergänzungsaufgaben (Klasse 1)«, b. d.);
Slika 1
Enačaj v pomenu tehtnice v ravnovesju, kadar je na obeh straneh enaka teža
Gleichheitszeichen. (b. d.). Grundschule – KAPIERT! https://grundschule-kapiert.de/gleichheitszeichen/
Slika 2
Enačaj v pomenu »je skupaj«
Gleichheitszeichen. (b. d.). Grundschule – KAPIERT! https://grundschule-kapiert.de/gleichheitszeichen/
15
Pod izrazom »3 + 2« (Slika 2) si predstavljamo, da najprej na eno stran tehtnice damo 3 zidake in potem še 2 zraven. Tehtnica je v ravnovesju, ko je na drugi strani enako število zidakov. V tem primeru enačaj pomeni »je skupaj«.
Kot vidimo na Sliki 3, lahko številski izraz stoji na obeh straneh enačaja.
Slika 3
Enačaj kot znak enakosti med dvema izrazoma
Gleichheitszeichen. (b. d.). Grundschule – KAPIERT! https://grundschule-kapiert.de/gleichheitszeichen/
Veliko učencev brez težav sešteva in odšteva v obsegu do 20, imajo pa težave pri dopolnjevanju neznanih členov, saj enačaj povezujejo s pomenom »je enako« oz. »znaša«. Pri nalogah dopolnjevanja neznanih členov se potem sprašujejo, kaj naj izračunajo, saj je vsota oz. razlika že dana. V tem primeru je pomembno, da poznajo dejanski pomen enačaja, ki pomeni »je enako kot« (»Ergänzungsaufgaben«, b. d.). V prvotno
navedenem smislu je enačaj za učence operacijski simbol in ne relacijski. Zaradi tega imajo težave pri branju računov, ki ne predstavljajo vrstnega reda njihovega računanja, npr. ____ = 3 + 4 (Leskovar, 1996). Za lažje razumevanje si lahko pomagajo z dopolnjevanjem, kot je prikazano v primeru na Sliki 4:
16 Slika 4
Dopolnjevanje neznanega člena
Gleichheitszeichen. (b. d.). Grundschule – KAPIERT! https://grundschule-kapiert.de/gleichheitszeichen/
razumeti koncept deli-celota in
razumeti inverzno lastnost seštevanja in odštevanja.
V vsakdanjem življenju se pogosto srečujemo z reverzibilnimi dejanji, nalogami, npr. oblačenje jopice, preden gremo iz stanovanja, in potem slačenje jopice, ko se vrnemo domov, nalivanje kozarca s sokom in potem praznjenje kozarca, ko sok izpijemo. Za razumevanje nalog z neznanimi členi mora
posameznik razumeti zaporedje nekega postopka, procesa, v našem primeru računske operacije, in tudi obratni vrstni red tega procesa, postopka. Razumeti mora torej obratni potek nekega procesa vse do izhodiščne situacije. V povezavi z računskimi nalogami to pomeni, da učenec ve, da k nalogi seštevanja sodi vedno določena naloga odštevanja in obratno. Tako razume, da sta seštevanje in odštevanje nasprotni operaciji
(»Umkehraufgaben (Klasse 1)«, b. d.).
Tridelna struktura problemov dodajanja, odvzemanja in združevanja ter
razdruževanja je sestavljena tako, da dobro podpira dejstvo, da je neznani člen lahko katerikoli del enačbe (»Unknown Numbers in Addition and Subtraction − Unit 3«, b.
d.).
17
Učenci morajo razumeti situacijo, da vedo, za kateri tip problema gre. Učitelj naj pri predstavitvi problema uporablja ključne besede, iz katerih učenec razbere ustrezno računsko operacijo. Problemi dodajanja ali odvzemanja vključujejo neko akcijo.
Problemi združevanja in razdruževanja pa vključujejo dve količini, ki skupaj
sestavljata tretjo količino. To lahko razumemo v fizičnem ali konceptualnem smislu.
Učenci najprej takšne situacije izvajajo s konkretnimi objekti, pozneje pa si jih predstavljajo mentalno kot razmerja med deli in celoto (»Unknown Numbers in Addition and Subtraction − Unit 3«, b. d.).
Učenci pričnejo razvijati algebrske predstave več let prej, preden začnejo uporabljati algebrske simbole in metode. Razumeti poskušajo problemske situacije in jih
ponazarjajo, ugotavljajo kvantitativne odnose z izrazi in enačbami, manipulirajo s predmeti za namene reprezentacije, uporabljajo lastnosti računskih operacij in odnose med računskimi operacijami. Povezovanje enačb s konkretnim materialom, risanjem in drugimi reprezentacijami problemskih situacij spodbuja dobro in
fleksibilno razumevanje temeljnih elementov algebre (»Unknown Numbers in Addition and Subtraction − Unit 3«, b. d.).
4.1 Pojem števila
Za spretnost računanja, tudi neznanih členov, mora učenec imeti usvojen pojem števila. Če primerjamo razvoj pojma števila s hitrim razvojem jezika v prvih letih življenja, ugotovimo, da v tem obdobju poteka prvi precej počasneje kot drugi. Števila so namreč abstraktni konstrukti, sam pojem števila pa zelo kompleksen.Uporabljamo jih v različne namene in v različnih vidikih (Grevsmühl, 1995):
Naravna števila uporabljamo za navedbo količine oz. moči določene množice.
Na vprašanje: »Koliko?« odgovorimo: »Tri žoge.«, »Pet kock.« itd. Je naravno število, ki ga imenujemo kardinalno število.
Naravna števila kot ordinalna števila ali vrstilne števnike uporabljamo za urejanje količin in s tem za določanje mesta elementa v vrsti. Na vprašanje:
»Kateri?« odgovorimo: »Prvi učenec.«, »Tretja hiša.«
Za navedbo velikosti služijo naravna števila kot merska števila. Vedno jih navajamo skupaj z določeno mersko enoto. Na vprašanja: »Kako dolg?«,
»Kako dolgo?«, »Kako hiter?« odgovorimo z: »Dva metra.«, »10 minut.«, »50 kilometrov na uro.« itd.
Števila služijo za navedbo kvantitete določenih dejanj, ravnanj ali nekega postopka. Na vprašanji: »Kako pogosto?«, »Za koliko moram povečati?«
odgovorimo: »Šla je trikrat v park.«, »Trak povečaj za dvojno količino«. Ta uporaba števila kot operatorja ni vezana samo na naravna števila, ampak tudi
18
na rabo ulomkov: »Avtomobil stane deset in polkratno višino mojega prihodka.«
Naravna števila lahko seštevamo in množimo. Rezultat dveh naravnih števil v obeh računskih operacijah je vedno le eno določeno naravno število.
Naravna števila služijo kot oznake določenih objektov. V tem primeru služijo števila kot oznake poštnih števil, telefonskih števil itd.
Za opis raznolikih pomenov števil uporabljamo izraz aspekti oz. vidiki pojma števila (Grevsmühl, 1995) in so naslednji:
1. kardinalni vidik, 2. ordinalni vidik, 3. merski vidik, 4. vidik operatorja, 5. računski vidik in 6. kodirni vidik.
Največ težav imajo otroci pri usvajanju ter razumevanju kardinalnega in ordinalnega vidika števila ter v razumevanju medsebojnih odnosov teh dveh vidikov števila.
4.1.1 Občutek za števila
Pojem »občutek za števila« uporabljajo različna strokovna področja: kognitivna in razvojna psihologija ter didaktika. V skladu s tem se nekoliko razlikujejo tudi
pojmovanja tega izraza. V literaturi se pojavljata izraza »number sense«, »structure sense«, v poučevalni praksi pa tudi »Blitzblick« (hiter pogled, npr. ko brez štetja, s hitrim pogledom oceniš število točk na sliki, v polju). Različna pojmovanja občutka za števila se razlikujejo v domenah, kako in kdaj nastane občutek za števila. Je občutek za števila prirojen ali se razvija v nekem naravnem procesu razvoja oz. odraščanja?
Je treba razvoj občutka za števila pri posamezniku v procesu učenja spodbujati?
(Rathgeb-Schnierer in Rechtsteiner, 2018)
Tudi Kavkler (2014) navaja različna pojmovanja občutka za števila, saj enotna definicija izraza ne obstaja. Osebe z občutkom za števila so uspešne pri učenju matematike, ker razumejo števila in jih učinkovito uporabljajo v vsakdanjem življenju.
Občutek za števila povezujejo tudi z intuitivnim občutkom za števila, raznoliko rabo števil in različnimi interpretacijami števil. Razumljen je tudi kot dober konceptualni okvir informacij o številih, ki posamezniku omogočajo, da razume števila in številske povezave, da reši matematične probleme, ki jih s tradicionalnimi algoritmi ne more (The National Council of Teachers, 1989, v Kavkler, 2014). Občutek za števila otroku prav tako omogoča vpogled v konceptualni svet števil, ki vključuje občutek za
pravilnost rezultata in reševanje problemov na ustrezen in smiseln način. Dober
19
občutek za števila vključuje sposobnost dobrega ocenjevanja količin, prepoznavanja nesmiselnosti rezultatov, fleksibilnost pri miselnem računanju in sposobnost
prehajanja med različnimi reprezentacijami ter uporabo najbolj smiselne
reprezentacije za rešitev določenega problema (Singh, 2009, v Kavkler, 2014).
Razvit občutek za števila je pomemben za avtomatizacijo aritmetičnih dejstev in postopkov ter matematično rezoniranje (Kavkler, 2014).
Didaktika Gersten in Chard (1999) poudarjata pomen koncepta občutka za števila, saj ima ta tako pomemben vpliv na učenje matematike, kot ga ima fonološko
zavedanje na učenje branja. Občutek za števila se razvija že v predšolskem obdobju.
Delno je genetsko pogojen, delno pa pridobljen z izkušnjami, zato nanj vpliva tudi spodbuda iz okolja. Otroci iz družin z višjim socialno-ekonomskim statusom (SES) praviloma bolje razvijejo občutek za števila, kar lahko pripišemo številnim
spodbudnim vsakodnevnim aktivnostim, neformalnemu poučevanju staršev, didaktično bogatemu domačemu okolju itd.
Kognitivna razvojna psihologija uporablja izraz občutek za števila v povezavi s prirojenimi matematičnimi sposobnostmi, kot sta npr. razlikovanje med količinami in urejanje števil. Če ima posameznik težave pri prepoznavanju razlik med količinami, govorimo o odsotnosti občutka za števila v smislu prirojenih sposobnosti (Wilson in Dehaene 2007, v Rathgeb-Schnierer in Rechtsteiner, 2018).
Na didaktičnem področju ni enotne definicije pojmovanja občutka za števila. Nekatere definicije razumejo aritmetične vsebine, kot sta obsežen pojem števila in
razumevanje računskih operacij, kot občutek za števila. Druge spet k naštetemu dodajo strateška orodja (Sayer in Andrews, 2015, v Rathgeb-Schnierer in
Rechtsteiner, 2018); strateška orodja omogočajo posamezniku, da nalogo spremeni ali poenostavi − npr. zna razdružiti in spet združiti števila, uporablja pomožne naloge, analogije, za razliko od strategij reševanja, ki predstavljajo oblikovane, določene poti do rešitev (Rathgeb-Schnierer, b. d.). Spet tretje definicije ne pojmujejo občutka za števila s stališča aritmetičnih vsebin, ampak ga definirajo kot fleksibilno rabo strategij in uporabo znanja o odnosih (Almeida in Bruno, 2015 ter Lorenz, 1997, v Rathgeb- Schnierer in Rechtsteiner, 2018).
Medtem ko kognitivna psihologija občutek za števila pojmuje kot prirojene
sposobnosti, pa na področju didaktike pomeni kompetenco, ki se je lahko naučimo in jo v skladu s tem razvijamo. V Ameriških nacionalnih standardih znanja za
matematiko NCTM iz leta 1998 sta zajeta oba vidika (Rathgeb-Schnierer in Rechtsteiner, 2018, str. 79):
»Občutek za števila je intuitivni občutek o številih in je zgrajen na osnovi raznolikih pomenov števil. Sestavlja ga naslednjih 5 komponent:
1. Razvoj razumevanja pomenov števil. […]
2. Odkrivanje številskih odnosov z manipulacijo. […]
20 3. Razumevanje relativnih velikosti števil. […]
4. Razvoj občutka o relativnem učinku števil v računskih operacijah. […]
5. Razvoj občutka za velikosti na osnovi merjenja vsakdanjih objektov in stanj v okolju.«
Občutek za števila je torej intuitiven, lahko pa ga razvijamo z aktivnostmi za razvoj pojma števila in tako razvijamo razumevanje odnosov med števili. Občutek za števila se tako kontinuirano razvija hkrati z razvojem pojma števila.
Greeno (1991, v Rathgeb-Schnierer in Rechtsteiner, 2018) navaja občutek za števila kot široko pojmovano sposobnost, ki se nanaša na tri naslednje vidike: fleksibilno računanje, ocenjevanje rezultatov in količin. Osnova za to je obsežen razvoj pojma števila.
Razumevanje občutka za števila je torej zelo raznoliko. Obsega lahko prirojene sposobnosti temeljnih matematičnih predstav preko vsebinskih izzivov na poti učenja računanja do priučenih sposobnosti fleksibilnega operiranja s števili (Rathgeb-
Schnierer in Rechtsteiner, 2018).
4.1.2 Občutek za strukture
Pod pojmom občutek za strukture ali »strukture sense« razumemo tako prirojene kot v zgodnjem otroštvu pridobljene (v naravnem razvojnem procesu) in v učnem
procesu priučene sposobnosti. Lüken (2012, v Rathgeb-Schnierer in Rechtsteiner, 2018) razume občutek za strukture v zgodnjem otroškem razvoju kot del občutka za števila. Sem prišteva sposobnosti:
prepoznavanja zaporedja, nekega že prej znanega vzorca ali strukture (npr.
slike ploskve na kocki; predvsem prepoznavanje znanega vzorca v njegovi osnovni obliki in kot del kompleksnega vzorca oz. zaporedja vzorca);
razstavljanja vzorca v posamezne dele (enote strukture);
prepoznavanja medsebojnih povezav, odnosov in zvez med enotami strukture (npr. prepoznavanje pravil, odkrivanje podobnosti, razlik);
združevanja strukturnih enot in opazovanja vzorca kot celote (npr.
nadaljevanje vzorca).
Naštete sposobnosti so temeljne in predpogoj za učenje matematike. Če pri učencih ob vstopu v šolo niso dovolj razvite, jih je treba razvijati. Linchevski in Livneh (1999, v Rathgeb-Schnierer in Rechtsteiner, 2018) sta s svojo študijo dokazala, da je razvoj občutka za strukture nujen za prepoznavanje algebrskih povezav.
